FICHA DE AVALIAÇÃO 4
Matemática 11.º Ano
NOME: ______________________________________ N.o: ____ TURMA: ____ DATA: _____________
Funções reais de variável real
Duração: 90 minutos
GRUPO I
Este grupo é constituído por cinco (5) itens de seleção.
Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais apenas uma está correta.
Deverá registar as suas respostas na folha de teste.
Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra
transcrita for ilegível.
Não apresente cálculos nem justificações.
1. Quais são as soluções da equação 𝟑 + 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝟏 no intervalo [−𝝅, 𝝅[?
(A) −
2𝜋
3
e
2𝜋
3
(B) −
;
𝜋
6
𝜋
e ;
6
(C) −
5𝜋
6
𝜋
e − 6;
(D) −
2𝜋
3
𝜋
e − 3.
2. Fixada, no espaço, uma unidade de comprimento e dados dois pontos 𝑨 e 𝑩, o plano perpendicular à reta 𝑨𝑩 em 𝑨 pode ser definido por uma das seguintes condições em P. Qual?
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0;
(A) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑃𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0;
(B) 𝐴𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0;
(C) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = −1.
(D) 𝐴𝐵
3. Considere a função real de variável real, 𝒇, par e contínua em IR e, a sucessão (𝒙𝒏 ) de termo
𝟏
geral 𝒙𝒏 = 𝟓 − 𝒏.
Sabe-se que 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙𝒏 ) = −𝟑.
Qual das seguintes afirmações é falsa?
(A) 𝑓(5) = −3;
(B)
lim 𝑓(𝑥) = 3;
𝑥→−5+
(C) lim 𝑓(𝑥) = −3;
𝑥→−5
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = −1.
(D) 𝐴𝐵
4. Sejam f e 𝒈 duas funções reais de variável real diferenciáveis em IR.
Sabe-se que f tem o mínimo relativo 𝒇(𝒂) = 𝒃, 𝒈(𝒃) = 𝟓 e 𝒈′ (𝒃) = −𝟑.
Qual é o valor de (𝒈 ∘ 𝒇)′ (𝒂)?
(A) −15;
(B) −3𝑏 + 5;
(C) −3𝑏;
(D) 0.
5. Seja f uma função real de variável real tal que 𝒇′ (𝟏) = 𝟓.
𝟑−𝟑𝒙
Então, o valor de 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)−𝒇(𝟏) é:
𝒙→𝟏
3
(A) − 5;
(B)
3
;
5
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5
(C) − 3;
5
(D) 3.
1
GRUPO II
Este grupo é constituído por cinco (5) itens de construção, pelo que deverá justificar
convenientemente as suas respostas.
Deverá registar todos os cálculos que efetuar.
Atenção: quando, para o resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor
exato.
1. Considere a família de funções definidas por:
𝒇(𝒙) = 𝒂 + 𝒃𝒄𝒐𝒔 𝒙.
1.1 Considere 𝑎 = 2 e 𝑏 = −3. Sabendo que 𝜋 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
2
41
e 𝑓(𝜃) = 13 determine tan 𝜃.
1.2 Para um certo valor de a e um certo valor de b, sabe-se que:
•
𝜋
2
𝑥 = − é um maximizante de 𝑓;
𝜋
2
•
𝑥 = é um minimizante de 𝑓;
•
𝐷´𝑓 = [−5, 1].
Determine os valores de a e de b.
2. Considere, num referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛, o plano 𝜶 de equação 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 + 𝟒 = 𝟎 e a reta 𝒓
definida por
𝒙−𝟐
𝟑
=
−𝒚
𝟐
∧ 𝒛 = 𝟓.
2.1 Escreva a equação vetorial da reta 𝑟.
2.2 Determina o ponto de interseção entre o plano 𝛼 e a reta 𝑟.
3. Considere a sucessão (𝒖𝒏 ) de termo geral 𝒖𝒏 =
𝟒𝒏+𝟏
𝟐𝟑𝒏
.
3.1 Prove que (𝑢𝑛 ) é uma progressão geométrica e indique a sua razão.
3.2 Seja 𝑆𝑛 a soma dos primeiros 𝑛 termos da sucessão (𝑢𝑛 ).
Determine lim 𝑆𝑛 .
𝑛
4. Para um determinado valor de 𝒌 ∈ 𝐈𝐑, considere a função 𝒇, de domínio ℝ\{𝟑}, definida por:
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 + 𝟓
.
𝒙−𝟑
4.1 Determine o valor de 𝑘 de modo que a reta de equação 𝑦 = 𝑥 − 1 seja assíntota ao gráfico
de 𝑓.
4.2 Sabendo que 𝑓 é a restrição da função 𝑔, contínua em ℝ, determine o valor de 𝑔(3) .
4.3 Considere 𝑘 = 6 e determine os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) ≤ 0.
5. Considere a função g, real de variável real, definida por:
𝒈(𝒙) =
(𝒙 − 𝟐)𝟐
.
𝟑𝒙
5.1 Determine, caso existam, equações das assíntotas do gráfico de g
5.2 Estude a função g quanto à monotonia e à existência de extremos relativos
5.3 Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de g no ponto de ordenada −1.
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