ELECTROTECNIA TEÓRICA– 2º Teste – 25 de Maio de 2013
R'
(0 ) ~
ug
i
u0
S
uR
uL
R
L
C
R '  50 
R  150 
L  95, 49 H
uC
i0
 r  2, 25
u g  U g cos  0 t   / 2 
0  2f 0 ,
Rw  50 
ia
f 0  1 MHz
Ug  2 V
Fig. 1
A) A Fig.1 representa um circuito RLC série a funcionar com o interruptor S aberto.
Considere o regime forçado sinusoidal de frequência angular 0 imposto pela tensão ug
de frequência f0, e amplitude dadas. Conhecem-se o coeficiente de auto-indução L do
circuito e as resistências R’ e R.
1) Escreva as equações em valores instantâneos do circuito que permitem calcular a
corrente i e as tensões uR, uL, uC e u0 com ug imposto. Escreva as correspondentes
equações vectoriais.
2) Considere que o circuito está em ressonância à frequência f0 dada. Estabeleça
justificadamente a condição de ressonância do circuito. Determine o valor da
capacidade C do circuito.
3) Tendo em conta que C=0,265 nF, determine as amplitudes complexas de i, uR, uL,
uC e u0. Indique os valores eficazes dessas grandezas. Represente as amplitudes
complexas dessas grandezas e da tensão ug num diagrama vectorial à escala, com
indicação do eixo real, e onde se mostrem as relações entre as grandezas, tensões e
correntes, atrás mencionadas.
4) Verifique o teorema de Poynting complexo.
B) Considere ainda o circuito da Fig. 1em que o interruptor S é fechado no instante
t=0, isto é, no instante em que a tensão ug passa por zero de valores positivos para
valores negativos.
1) Estabeleça a equação diferencial em valores instantâneos da tensão uC após o fecho
do interruptor S.
2) Indique justificadamente o tipo de regime livre que se obtém.
3) Estabeleça as condições iniciais do problema e determine a solução da tensão uC e
da corrente i para t  0 .
4) Preveja justificadamente o valor da sobreintensidade da corrente i por
considerações de natureza energética.
()
~
y
ua
u0
l
0
R
l   / 4  0,5 m
Pa  1 W
R  25 
Fig. 2
C) Considere o cabo coaxial representado na Fig.2, sem perdas, com resistência
característica de onda Rw, comprimento l e dieléctrico não magnético (=0) e com
constante dieléctrica relativa r, todos dados. A linha funciona em regime forçado
sinusoidal de frequência angular =2f, de modo que a linha seja de um quarto de
comprimento de onda. A linha está terminada por uma resistência R dada. A potência
activa posta em jogo na carga, Pa, é dada.
1) Calcule a velocidade de fase v, o comprimento de onda , a frequência f e a
constante de fase .
2) Determine o valor do coeficiente de reflexão  na carga. Escreva as expressões
das amplitudes complexas da tensão e da corrente ao longo da linha, em função da
coordenada y. Tendo em conta o comprimento da linha l, construa o diagrama
vectorial à escala dos vectores representativos da tensão e da corrente ao longo da
linha. Determine a impedância vista do gerador e indique a desfasagem entre a
tensão u0 e a corrente i0 do gerador.
3) Defina factor de onda estacionária, SWR. Com base no diagrama vectorial de 2),
determine SWR e faça o esboço do diagrama de onda estacionária da tensão e da
corrente, indicando os seus valores máximos e mínimos, sua localização e ainda os
valores no gerador (y=l) e na carga (y=0), tendo em conta o valor da potência
activa posta em jogo na carga Pa.
4) Determine a potência complexa posta em jogo no gerador. Comente o resultado.
Qual a relação entre os valores médios das energias magnética e eléctrica
armazenadas no cabo coaxial, entre o gerador e a carga? Comente o resultado.
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RESOLUÇÃO
A)
1)
di 1

u g  ( R'  R )i  L dt  C  idt

uR  Ri


di
uL  L

dt


1
uC   idt

C

u0  uR  uL  uC

1

U g  ( R'  R )I  j LI  j C I

U R  RI


U L  j LI


1

UC   j
I

C


U0  U R  U L  UC

2)
L 
1
1
 C  2  0,265 nF
C
 L
3)
U g  2 e j / 2 (V)
I  10 e j / 2 (mA)
U 0  U R  1,5 e j / 2 (V)
U C  U L  6 e j 0 (V)
4)
1
P  U g I *  10 e j 0 (mVA)
2
P  Re[ P ]  PJ  ( R ' R) I ef2  10 mW
Pq  Im[ P]  2[(Wm ) av  (We ) av ]  0
(Wm ) av 
1 2
LI ef  2,39 nJ
2
,
1
2
(We ) av  CU Cef
 2,39 nJ
2
B)
1)
du
di
 uC  0, i  C C
dt
dt
d 2 uC
duC
R
 2
 02 uC  0,  
, 0 
2
dt
2L
dt
Ri  L
1
LC
2)
  0,785  106 Nps1 , 0  6,286  106 rads1
  0  regime oscilatório amortecido,   02   2  6 , 23  106 rad s1
uc (t )  Re[U e st ]  Ue  t cos(t   )
U  U e j , s     j  0 e j ,   97 , 2º
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3)
Regime forçado anterior: uc ( 0 )  6 V, i( 0 )  0
iC
duC
 C Re[U s e st ] 
dt
U cos( )  uC (0)  6 V

cos(   )  0

U
L/C
e   t cos(t     )  
U
L/C
    90 º    7 , 2º


U  6 , 05 V


e   t sin(t )
U
L/C
 10 mA
4)
We ( 0 )  Wm (T / 4 ), T 
2

 1,01 μs ( aprox. fraco amortecimento)
u (0 )
1
1 2
C uC2 ( 0 )  LI max
 I max  C
 10 mA
2
2
L/C
C)
1)
v
c0

R  Rw
1

R  Rw
3
r
 2  10 8 m s-1 ;   4l  2 m ; f 
v

 100 MHz;  
2

  rad m-1
2)
' j y
2 j  y
)
 U( y )  U i e ( 1  e

' j y
2 j  y
)
 Rw I ( y )  U i e ( 1  e
Z0 
U( l   / 4 )
1 
 Rw
 100   tensão e corrente em fase no gerador.
I (l   / 4 )
1 
3)
SWR 
1 
1 
2
No diagrama de onda estacionária, a tensão é mínima e a corrente é máxima na carga:
U min  R Pa  5 V, I max 
U min
 200 mA .
R
A tensão é máxima e a corrente é mínima no gerador (linha de quarto comprimento de onda):
U max  SWR U min  10 V, I min 
U max
Z0
 100 mA .
4)
1
P0  U 0 I0*  1e j0 (VA)
2
P0  Pa  0  j0
 P0  Pa
e
Wm av  We av na linha de transmissão.
Verifica-se a seguinte igualdade por inspecção dos diagramas de onda estacionária da tensão e da corrente:
l  / 4
Wm av  
0
1 2
LI ef ( y )dy  We av 
2
l  / 4
1
 2 CU ( y )dy
0
2
ef