Chap 12
Séries de Fourier
I — Série trigonométrique
+∞
cos n θ
θ
= − ln(2 sin 2 )
∑ n
n=1
A-Deux exemples
Pour des suites réelles (a
! n ) et (b
! n ), on définit :
+∞
sin n θ
π −θ
=
∑ n
2
n=1
et
S!n : t ↦ a 0 +
!∀n ∈ ℕ,
La série ainsi définie s’appelle une « série trigonométrique réelle ».
B-Polynôme trigonométrique
n
∑[
k=1
(avec des restrictions sur θ)
ak cos(k t) + bk sin(k t) ]
Définition, produit scalaire, base orthonormée. Expression des coefficients
II — Analyse de Fourier d’une fonction périodique
0
0
Notons C
! 2π
l’ensemble des fonctions f! : ℝ → ℝ continues et 2π
! -périodiques. Lemme.— Si f!∈ C2π
alors pour tout
x+2π
x! ∈ ℝ, !
∫x
f (t) dt =
2π
∫0
0
f (t) dt. Produit scalaire sur C
! 2π
: (! f | g) =
2π
∫0
f (t) g(t)
dt
2π
.
n
0
—> Si f! ∈ C2π
sa projection orthogonale sur 𝒫n est S
!n( f ) : t ↦ a 0( f )+ [ ak ( f ) cos(k t) + bk ( f ) sin(k t) ] où
∑
a 0( f ) =
( f | f0 )
∥ f0∥2
=
1
2π
π
f (t ) dt,
∫−π
et ∀n ≥ 1,
an( f ) =
( f | fn )
∥ fn∥2
=
1
π
k=1
π
f (t ) cos(n t ) dt,
∫−π
( f | gn )
bn( f ) =
∥gn∥2
=
1
π
π
f (t) sin(nt) dt
∫−π
Les (!ak ( f ))
et (!bk ( f ))
s’appellent les coefficients de Fourier de f!. On appelle « série de Fourier » de
k∈ℕ
k∈ℕ⋆
n
f la série trigonométrique : ∀n ∈ ℕ, Sn : t ↦ a 0( f ) + ∑ [ ak ( f ) cos(k t) + bk ( f ) sin(k t) ].
k=1
0,m
—> On prolonge cette définition à f ∈ C2π
(fonction 2π
! -périodique continue par morceaux).
L’application !( f, g) ↦ ( f | g) n’est pas un produit scalaire : !( f | f ) = 0 !⇒ f! = 0 sauf en un nombre fini de points
Il est rare qu’un cours sur les espaces préhilbertiens se place dans le cadre des pseudo-produits scalaires, mais il est
bien connu que de nombreuses propriétés restent valables (thm de Pythagore, projection orthogonale, …).
Propriétés pratiques
-1- Si f est une fonction paire, alors ∀n ∈ ℕ⋆, bn ( f ) = 0, et de plus :
an( f ) =
-2- Si f est une fonction impaire alors ∀n ∈ ℕ, a n ( f ) = 0, et de plus :
bn( f ) =
2
π∫
2
π∫
π
0
f (t) cos(n t) dt.
π
0
f (t) sin(n t) dt.
III — Synthèse de Fourier
A-Synthèse de Fourier quadratique
Voici l’égalité de Parseval :
n
!a02 +
∑
k=1
ak2 + bk2
2
=
1
2π
2π
∫0
[ f (t)]2 dt
B-Synthèse de Fourier au sens ponctuel, pour une fonction de classe C 1,m
Théorème de Dirichlet
1,m
Soit f, g ∈ C2π
. Notons, pour tout t ∈ ℝ, f (t +o) la limite à droite de f en t, et f (t −o) sa
limite à gauche. Alors pour tout t ∈ ℝ, l’on a :
En tout point t où la fonction f est continue, l’on a :
f (t +o) + f (t −o)
.
2
lim Sn( f )(t) = f (t).
lim Sn( f )(t) =
n→+∞
n→+∞
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.