Université Mohammed Premier
Filière : SMP-S3
Faculté des Sciences.
Module : Analyse 3
Département de Mathématiques
Année Universitaire : 2020/2021.
Examen Analyse 3
durée : 1h 30
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Exercice 1. 5pts
On considère le problème différentiel ci-dessous :
½ 00
y (t) + 2y 0 (t) + 2y(t) = f (t)
(S) :
y(0) = y 0 (0) = 0
où f (t) = 2(t + 1)u(t), u(t) est la fonction echelon unité.
1. Vérifier que la transformée de Laplace de
g(t) = e−t sin(t)u(t) est
G(p) =
1
p2 + 2p + 2
2. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction f (t) = 2(t + 1)u(t).
3. En notant Y (p) la transformée de Laplace de y, montrer que
Y (p) =
2 + 2p
+ 2p + 2)
p2 (p2
4. Montrer que pour tout p 6= 0, on a Y (p) =
1
1
− 2
2
p
p + 2p + 2
5. En déduire la solution y(t) de (S).
Exercice 2. 6pts
Soit la fonction triangle définie par :
½
π(1 − π|t|)
f (t) =
0
si − π1 ≤ t ≤
sinon
1. Montrer que sa transformée de Fourier est : fˆ(s) =
1
π
¡ sin s ¢2
s
.
2. En utilisant la formule de réciprocité, donner la transformée de Fourier ĝ(s) de
¶
µ
sin t 2
g(t) =
t
3. Déduire de l’égalité de Parseval Plancherel (formule de conservation de l’énergie) la
valeur de l’intégrale :
¶
Z +∞ µ
sin t 4
dt
t
−∞
1
Exercice 3.
n 5pts
Soit D = (x, y) ∈ R2 , |
x2
a2
+
y2
b2
o
≤1 .
1. Calculer l’aire du domaine D.
( On utilisera le changement de variables x = ar cos θ
0 ≤ r ≤ 1,
et y = br sin θ ,
0 ≤ θ ≤ 2π.)
2. Retrouver le résultat en utilisant la formule de Green-Riemann.
Exercice 4. 4pts
~ (x, y, z) = xz~i + yz~j + z 2~k,
Soit le champ vectoriel dans R3 définie par V
et soit la surface fermée définie par :
½ 2
x + y2 = 1
S=
0≤z≤1
1. Représenter graphiquement la surface S.
2. En utilisant la formule de la divergence (Ostrogradski), calculer le flux sortant du champ
~ à travers la surface S.
V
2