Dynamique :
Barre glissant sans frottement sur deux axes perpendiculaires
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Soit

m
la masse de la barre [kg] ;
IG
son moment d’inertie [kg·m2] ;
g
l’accélération terrestre, 9,81 m/s2.
y
sa longueur [m] ;
m 2
IG 
pour une barre mince ;
12
Conditions initiales :
 (0)   0 et (0)  0
G
 (t )
/2
x
/2
O
Comme il n’y a pas de frottement, l’énergie mécanique est conservée. Elle se compose de :

 l’énergie potentielle : E pot  mgh où h est la hauteur du centre de gravité h  cos ;
2
1 2
 l’énergie cinétique de translation : Ecin  mvG où vG est la vitesse du centre de gravité ;
2
1
 l’énergie cinétique de rotation : Erot  I G 2 où    est la vitesse angulaire.
2
mg
mg
1
1

cos  mvG2  I G 2  Cste 
cos 0 (valeur initiale)
2
2
2
2
Résolution analytique
2
2
   m 2
mg cos  m   
  mg cos 0
12
2 
m 2 2
  mg(cos 0  cos )
3
2 
3g
(cos 0  cos )

(1)
3g
 d 
(cos 0  cos )
 


 dt 
d
3g

dt

cos 0  cos
2


2
3g
 
F ;
t  Cste où F est l’intégrale elliptique de 1ère espèce.
2
1

cos


0 

Cette équation donne implicitement l’angle  en fonction du temps.
2
1  cos 0
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Barre_glissant_sur_2_axes.doc / APD
Page 2
Résolution numérique
Commencer par dériver l’équation (1) par rapport au temps.
 3g

2   sin   
 

Comme    , l’équation s’écrit :
 
3g
sin 
2
[rad/s2]
(2)
On retrouve au signe près l’équation du pendule physique. (La position d’énergie potentielle
minimale est ici    .)
theta
t
g
9.81
L
omega

1
2
0.5
  
I
I
Reset
Reset
Hold
sin
Hold
Ti 1 s
1.5

theta
Ti
1 s
theta0 0.01
Résolution numérique au moyen de 2 blocs intégrateurs (logicel SimApp ©)
Longueur de la barre   0,5 m et angle initial  0  0,01 rad
Groupe 0
theta
6.2731
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5 10 10.5
La barre oscille entre  0  0,01 et (2  0,01) radians avec une période de 5 secondes.