COMPTE RENDU TP 2
Analyse fréquentielles des
signaux périodiques
PAR :
- DAHMOUCHE FATIMA ZAHRA
- BRAHIMI MOHAMED LARBI
- GROUPE 1
2018/2019
Introduction :
Un signal analogique est défini à tout instant t et est donc représentable mathématiquement par une
fonction continue du temps f(t), il peut être périodique ou apériodique.
Parmi les outils qui permettent de faire une analyse fréquentielle sur les signaux analogiques, on
utilise le développement en série de Fourier, on en tire plusieurs paramètres qui nous aident à
déterminer les paramètres importants dans l’étude des signaux et tracer leurs allures.
En utilisant MATLAB, nous effectuerons les opérations suivantes afin de mener une étude sur les
signaux périodiques :
1- Calcul de puissance moyenne d’un signal.
2- Déterminer le développement en série de Fourier d’un signal.
3- Générer le signal sur MATLAB et tracer son allure.
Partie 1 : Analyse des signaux périodiques (série de Fourier) :
Soit le signal x(t) représenté dans la figure 1 :
I-1 Calcul de la valeur moyenne :

̅  1 ∫ sin(
sin() 
̅  1 cos
cos(() cos
cos(0)
(0)
̅  2
I-2 Calcul de la puissance moyenne :

1
(sin())²
   ∫ (sin(
 1cos
(22)) 
1
   ∫ 1cos(
2
cos(22))
  1 ∫ 21   12 ∫cos(
  12
I-3. Générer x(t) sous MATLAB :
On introduit le programme suivant :
t=-2*pi:0.001:2*pi;
x=abs(sin(t));
plot(t,x)
xlabel('t'),ylabel('x(t)' )
I-4. Tracer la courbe de x(t) et la courbe de son développement en série de Fourier :
-
Le développement en série de Fourier :
()  0  ∑∞=.cos(
os()
) .sin
.sin(()
)
os()
)
()   ∑∑∞=.cos(
Le signal est paire donc bn = 0 :
Avec :
−

+)).(−)
Donc
 :  (1 (1)). (+
∞ 1
2
1 ] .cos()
os()
()   
 2 [(1(1)
(1(1)). ( 1
[
)
(
)

1
.
1



Pour tracer cette fonction, on introduit le programme suivant et on essaye d’augmenter n à chaque
fois :
t=-2*pi:0.001:2*pi;
x=abs(sin(t));
s=0;
n=input('n=')
for i=1:n
s=s+((4/(pi*(1-4*i^2)))*cos(2*i*t));
end
x1=(2/pi)+s;
plot(t,x)
hold on
plot(t,x1,'r')
xlabel('t'),ylabel('x(t)')
pour n=6 : Le
L e signal en rouge représente celui trouvé par le développement en série de Fourier. On
remarque que les deux signaux sont proches aux eux-mêmes mais ils ne coïnci
coïncident
dent pas.
Pour n=1000 :
Conclusion : On peut déduire que la variation de n,
affecte la relation entre les deux courbes, le plus qu'on
augmente n, les deux courbes se superposent.
I-5. Calculer la puissance moyenne de x(t) en
utilisant son expression développée en séries de
Fourier pour différentes valeurs de n :
On introduit le programme suivant :
sp=0;
n=input('n=');
for i=1:n
sp=sp+2/(pi^2)*((1/(2*i+1))-(1/(2*i-1)))^2;
end
Pm= (2/pi)^2+sp
Pour n = 7 on a trouvé pm = 0.499960112436276
Pour n = 5000 on a trouvé pm = 0.5
Rappelons-nous que la valeur exacte est 0.5
Conclusion : L’exactitude des calculs faits sur le signal trouvé par le
développem
développement
ent en série de
Fourier est assuré lorsque n tend vers +∞ mais on ne peut pas avoir le même résultat calculé au
début.
I-6. Tracer le spectre unilatéral de x(t) sous MATLAB :
On introduit le programme suivant :
pour n=17 :
d(1)=2/pi;
for i=2:n
d(i)=abs((2/pi)*((1/(2*i+1))-(1/(2*i-1))));
end
stem(d)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Partie II:
1 - Génération de y(t) sur MATLAB :
On introduit le code suivant :
t = -5*pi:0.1:5*pi;
y=sawtooth(t-pi,0);
plot(t,y)
2 – Développement en Série de Fourier exponentielle de y(t)
y( t) :
+∞
+∞ cos
(..) 
()      cos(..)
=−∞
=−∞ ..
Le tracé de la fonction :
t = -3*pi:0.01:3*pi;
xf = 0;
lim = 1000;
for n =-lim:lim
if n ==0
xf =0
else
Cn = cos(n*pi)/(pi*j*n);
xf=xf+Cn*exp(n*j*t);
end
end
plot(t,xf,'r'), grid on,
hold on
-Le spectre Bilatéral :
n = -5:5;
for i=1:length(n)
if n(i)==0
Cn(i)=0;
else
Cn(i)=abs(cos(n(i)*pi)/(pi*j*n(i)))
end
end
stem(n,Cn), grid on;
on;
Conclusion :
-
D’après la représentation spectrale des signaux précédents, nous remarquons que le spectre
d’un signal nous renseigne d sur les différentes composantes fréquentielles qu’il contient.
L’intégration du spectre d’énergie sur tout l’axe des fréquences corresponde à l’énergie
totale calculée dans le temps. En effet, le développement en série de Fourier n’est qu’une
représentation alternative d’un signal autrement décrit dans le temps, c’est pour ça,
l’énergie est conservée.