2023-12-11
Chapitre 1
Les oscillations
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Oscillation :
Fluctuation périodique de la valeur d’une grandeur physique
autour d’une certaine valeur centrale.
•Oscillation mécanique : la grandeur physique est en lien
avec le mouvement d’un objet (la mécanique!)
▪Pendule
▪Piston
▪Corde de guitare
▪Suspension
•Oscillation non mécanique : la grandeur physique n’est
pas en lien avec le mouvement d’un objet.
▪Voltage AC
▪Champ électrique de la lumière
2
1
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1.1. : Mouvement harmonique simple (MHS)
• Exemple : système masse-ressort (sec. 1.2)
Observations :
➢Le bloc oscille → x(t)
➢x(t) oscille de façon sinusoïdale→ harmonique
➢De x = -A à x = +A. Son amplitude est constante → simple
3
Décrire le mouvement :
x(t ) = A sin  (t )
Cette expression se
nomme la phase du
mouvement.
Période T : temps pour compléter un cycle (s)
Fréquence f : nombre de cycles par seconde (1 Hz = 1 s-1)
Si la masse est en x(0) à t = 0, elle y sera aussi une période plus
tard…deux périodes plus tard…etc.
La phase doit donc être cyclique sur T secondes et donc sur 2
radians.
 2 
x(t ) = A sin 
t
T 
4
2
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Fréquence angulaire 
=
Définition :
2
= 2f
T
Unité : rad / s
 x(t ) = A sin(t )
Ceci n’est valide que si x(0) = 0
En général, x ≠ 0 à t = 0, il y a donc un déphasage 
 x(t ) = A sin(t +  )
La valeur  est
nommée
déphasage, phase
initiale ou constante
de phase
5
Le déphasage 
Ce déphasage dépend des conditions
initiales du mouvement (à t = 0)
Convention :
Pour décrire un mouvement, on utilisera [0[
comme intervalle de valeur pour .
6
3
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Rappel :
Vitesse et accélération :
dx(t )
dt
dv(t ) d 2 x(t )
a=
=
dt
dt 2
v=
Pour le MHS :
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
v 𝑡 = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
a 𝑡 = −𝜔2 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
 a (t ) +  2 x(t ) = 0
d 2 x(t )

+  2 x(t ) = 0
dt 2
Équation différentielle
caractéristique des MHS
7
Caractéristiques des MHS :
Un MHS possède les caractéristiques suivantes :
➢ Une amplitude de mouvement constante.
➢ Une période indépendante de l’amplitude.
➢ Une oscillation sinusoïdale à fréquence unique.
➢ Une position d’équilibre stable.
8
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Exemple :
(a)
Un MHS de fréquence 0.5 Hz est à son amplitude maximale A = 0.25 m à
t = 2 s. (a) Quelle fonction décrit ce mouvement harmonique simple? (b)
Tracez la courbe de cette fonction (c) Combien de temps mettra le MHS
avant d’atteindre, pour la première fois, son amplitude minimale –A à
partir de sa position initiale?
Trouver A,  et 
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
Trouvons A
Trouvons  :
Trouvons  
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 ∙ 0.5 = 𝜋
⇒ 𝐴 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜋 ∙ 2 + 𝜑)
⇒ 1 = 𝑠𝑖𝑛(𝜋 ∙ 2 + 𝜑)
𝜋 5𝜋 9𝜋
, ,
,...= 𝜋 ∙ 2 + 𝜑
2 2 2
𝜋
𝜋 5𝜋 9𝜋
⇒ =𝜑
⇒ ,
, , … − 2𝜋 = 𝜑
2
2 2 2
⇒ 𝑠𝑖𝑛−1 (1) = 𝜋 ∙ 2 + 𝜑
⇒
⇒ 𝑥 𝑡 = 0.25𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡 + 𝜋2)
Ne pas oublier
la convention : 
entre 0 et 2.
9
(b)
x
0.25
1
2
t
Ne pas rire de cette courbe,
vous essayerez de tracer un
sin avec power point!
-0.25
(c)
Graphiquement : c’est clair!
Mathématiquement
⇒ −𝐴 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡 + 𝜋2)
⇒ −1 = 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡 + 𝜋2)
⇒ 𝑠𝑖𝑛−1 (−1) = 𝜋𝑡 + 𝜋2
7𝜋 11𝜋
𝜋
⇒ 3𝜋
, ,
,… = 𝜋𝑡 +
2 2 2
2
⇒ 𝑡 = 1 𝑠, 3 𝑠, 5 𝑠, …
10
5
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Une particule dont la position obéit à un MHS d’amplitude A =
1 m a une vitesse nulle et une accélération négative à
t=2
s. Elle met 24 s pour effectuer 2 cycles complets de mouvement,
quelle équation x(t) décrit sa position en fonction du temps?
Exemple :
24s
= 12s / cycle = T
2cycles
Trouvons  :
2 2 
=
= rad / s
T
12 6
 =
v = A cos(t +  )
Trouvons  :




0 = cos  2 +   = cos +  
6

3




  +  = 
2
3

11



  +  = 
2
3

+/2
=

=
6
1,5
− 5
7
→ =
6 Convention! 6
1,5
1
1
0,5
0,5
0
0
0
-0,5
-/2
2
4
6
8
10
12
14
0
2
4
6
8
10
12
14
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
**Pas besoin de tracer les graphiques…juste à « plugger » les deux valeurs possibles dans l’équation de
l’accélération pour voir laquelle donne une valeur négative**
Puisque l’accélération est négative à t = 2 s, on choisit le graph de gauche!


x(t ) = sin  t + 
6
6
12
6
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

La position d’une particule est donnée par : x(t ) = 0.7 sin  t + 
3
3
Quels sont les 3 premiers instants (t > 0) où |x| = A/2?
Exemple :
La position doit donc être : x(t ) = 

A
0.7
=
2
2
T=
0.7


1
 
= 0.7 sin  t +    = sin  t + 
2
3
3
2
3


3
+
-

1 
 sin −1   = t +
3
2 3

 0.524 =

 1 
 sin −1  −  = t +
3
 2 3
−

3
t1 +
 t1 = −0.5s

3
2
3
= 2 = 6s


 2.62 =

3
t2 +
 t 2 = 1.5s
 t1 + T = 5.5s


3
 −0.524 =
−

3
t3 +

 3.67 =
3
 t3 = −1.5s

3
t4 +

3
 t 4 = 2.5s
 t3 + T = 4.5s
13
Autres façons, avec les phases :
➢Donc, la phase doit être telle que le sinus vaut ±1/2 :
𝑠𝑖𝑛−1 ±12 = ±
𝜋
6
➢La phase de –/6 correspond à un retour dans le temps…
➢Prenons plutôt –/6 + 2 soit un cycle de plus.
➢Le déphasage (la phase initiale) est de /3 > /6.
➢Ainsi, la phase de /6 est aussi un retour en arrière.
➢Encore une fois, on prendra donc /6 + 2 comme valeur.
➢La fonction arc sinus a deux solutions possibles sur un cycle.
➢Si  est une solution, − est l’autre solution.
sin
/3
/6
0.5
/6
/6
cos
-0.5
/6
/6
−/6
14
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On doit donc résoudre :


5
3
3
6

 7
t2 + =
3
3
6

 11
t3 + =
3
3
6
t1 +
=
 t1 = 1.5s
 t 2 = 2.5s
 t3 = 4.5s
15
1.2. Le système masse-ressort:
k
m
La force exercée par le ressort
est la seule qui est
responsable du mouvement
de la masse
x
2ième loi de Newton
Loi de Hooke
d 2 x(t )
− kx(t ) = ma = m
dt 2
Réécrivons le tout afin d’obtenir l’expression d’un MHS
d 2 x(t )
m
+ kx(t ) = 0
dt 2
d 2 x(t ) k
+ x(t ) = 0
dt 2
m
Équation différentielle
caractéristique des MHS
𝑑2 𝑥(𝑡)
+ 𝜔2 𝑥 𝑡 = 0
𝑑𝑡 2
16
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Fréquence angulaire (masse-ressort) :
2 =
k
k
 =
m
m
Période d’oscillation :
T=
2

T =
2
m
= 2
k
k
m
➢Plus le ressort est « fort » (plus k est grand), plus les oscillations sont rapides
(période plus petite).
➢Plus la masse est grande, plus les oscillations sont lentes (période plus
grande).
17
Exemple (E8) :
=
Dans un système bloc-ressort, m = 0.25 kg et
k
= 4 N/m. À t = 0.15 s, la vitesse est v = -0.174 m/s, et
l’accélération, a = +0.877 m/s2. Écrivez l’expression
de la position en fonction du temps, x(t).
k
4
=
= 4rad / s
m
0.25
v = A cos(t +  )
a = − 2 A sin (t +  )
− 0.174 = 4 A cos(4  0.15 +  ) (1)
0.877 = −16 A sin (4  0.15 +  ) (2)
Pour s’affranchir du A, on divise (2) par (1)
0.877
− 16 A sin(0.6 +  )
=
= − 4 tan( 0.6 +  )
− 0.174
4 A cos(0.6 +  )
 0.877 
−1
0.6 +  = tan −1 
 = tan (1.26)
 4  0.174 
18
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tan −1 (1.26) = 0.900rad
ou tan −1 (1.26) = 0.900 +  = 4.042rad
Comment choisir?!
sin
v < 0 → cos( + ) < 0 →  <  +  < 3
a > 0 → sin ( + ) < 0 →  <  +  < 2
cos
 = 4.042 − 0.6 = 3.44 rad
Pour trouver A, on remplace  dans (1) et on isole :
− 0.174 = 4 A cos(0.6 + 3.44)
A=
− 0.174
= 0.0700m
4 cos(4.042)
x(t ) = 0.07 sin( 4t + 3.44 )
19
1.3. L’énergie dans un système bloc-ressort
Rappel :
énergie mécanique (E) = énergie potentielle (U) + énergie cinétique (K)
Pour le système masse-ressort :
1 2 1
1
2
kx = k ( A sin(t +  ) ) = kA2 sin 2 (t +  )
2
2
2
1
1
1
2
K = mv 2 = m(A cos(t +  ) ) = m 2 A2 cos2 (t +  )
2
2
2
U=
E=
1 2 2
1
kA sin (t +  ) + m 2 A2 cos2 (t +  )
2
2
Puisque 2 = k/m, on obtient :
E=
1 2 2
1 k
kA sin (t +  ) + m A2 cos2 (t +  )
2
2 m
20
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1
E=


1 2
kA sin 2 (t +  ) + cos2 (t +  )
2
1
Énergie mécanique d’un
E = kA2
système masse-ressort
2
https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.php
21
Exemple :
(a)
Un bloc de masse 5 kg est attaché à un ressort de constante
de rappel 300 N/m. Lorsque le bloc passe à la position
naturelle du ressort, il a une vitesse de 6.2 m/s. Déterminez
(a) l’amplitude d’oscillation du bloc; (b) la position du bloc
lorsque l’énergie cinétique est égale à l’énergie potentielle.
À x = 0, la position naturelle, l’énergie est purement cinétique → E = K
1
1
𝑚𝑣 2 = 5 ∙ 6.22 = 96𝐽
2
2
À x = A, l’énergie est purement potentielle → E = U
𝐸=
1
96𝐽 = 𝐸 = 𝑘𝐴2
2
(b)
⇒𝐴=
96 ∙ 2
= 0.8𝑚
300
K = U → E = K+U = 2U
1 2
1
𝑘𝐴 = 2 ∙ 𝑘𝑥 2
2
2
⇒
𝐴
𝐴2
= ±0.566𝑚
= 𝑥2 ⇒ 𝑥 = ±
2
2
22
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1.6 : Oscillations amorties et forcées
Amorties :
Entre en jeu une force de frottement
→ diminution des amplitudes
x(t ) = A0 e
−t
2m
sin ( ' t +  )
 ' =  −   2m 


2
2
0
23
Sous-amortie
Amortissement critique
A diminue
exponentiellement
Aucune oscillation
Amortissement sur-critique
Aucune oscillation
https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.php
24
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Forcées :
➢ Une force extérieure agit sur le système.
➢ Cette force agit à une certaine fréquence (e)
Pensez à une balançoire. Instinctivement, on pousse à une fréquence très proche de la
fréquence d’oscillation de la balançoire.
L’amplitude augmente à chaque poussée puisqu’une quantité d’énergie est transférée
entre les systèmes.
La résonance :
La fréquence naturelle (sans intervention externe) d’un système est nommée
fréquence propre (0).
Lorsqu’une force extérieure agit sur le système à une fréquence voisine de 0,
on la dit synchronisée avec le système.
Il se produit alors le phénomène de résonance. L’amplitude du système augmente.
25
Exemple :
Un bloc de masse m = 3 kg oscille sur un ressort de constante
de rappel inconnue. La position du bloc en fonction du temps
est donnée par l’expression suivante :
𝑥 𝑡 = 0,55sin(4𝑡 + 1,5) où x est en mètre et t en seconde
a) Déterminez le temps que prend le bloc pour effectuer un aller-retour.
b) Déterminez la position du bloc au temps t = 4 s.
c) Déterminez la constante de rappel du ressort.
d) Déterminez la vitesse maximale atteinte par le bloc.
e) Déterminez l’accélération du bloc lorsque le ressort est comprimé de 40 cm.
f) Déterminez les 5 premiers instants où |x| = 0,38 m.
g) Combien de fois par cycle d’oscillation les conditions suivantes surviennent-elles?
i. L’énergie potentielle est maximale.
ii. L’énergie cinétique est égale à l’énergie potentielle.
iii. La vitesse est nulle.
iv. La position est égale à 0,4 m.
v. L’énergie cinétique est nulle.
vi. La position est égale à 0,55.
h) À quelle fréquence devrait-on appliquer une force extérieure afin de faire entrer en
résonance ce système?
i) Expliquez brièvement ce qui adviendrait du système si le bloc oscillait sur une surface
où le frottement est faible, mais non-négligeable.
26
13