Université NAZI BONI
IUT- ELO-ETK
décembre 2021
Licence 1, TC
TD : Analyse
0.1
Fonctions réelles : limite-continuité-dérivabilité
Exercice 1
Soient f et g deux fonctions continues sur [0, 1] telles que ∀ x ∈ [0, 1] f (x) < g(x). Montrer qu’il existe
m > 0 tel que pour tout x ∈ [0, 1], f (x) + m < g(x).
Exercice 2
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b]. Montrer que si p et q sont deux réels strictement
positifs, alors :
1. Il existe c ∈ [a, b] tel que pf (a) + qf (b) = (p + q)f (c).
2. Si f est monotone, il existe c ∈]a, b[ tel que pf (a) + qf (b) = (p + q)f (c).
Exercice 3
1. Calculer la fonction dérivée d’ordre n des fonctions suivantes :
f (x) = sin(x), g(x) = sin2 (x), h(x) = sin3 (x) + cos3 (x).
2. Calculer les dérivées successives des fonctions suivantes :
f (x) = x2 ex , g(x) = x2 (1 + x)n , h(x) =
x2 + 1
, (˛x) = xn−1 ln(x).
(x + 1)2
3. Soit f (x) = (x − a)n (x − b)n avec a < b. Calculer f (n) et en déduire
Pn
k 2
k=0 (Cn ) .
Exercice 4
1. Ecrire sous forme d’expression algébrique.
f (x) = sin(arccos(x)), g(x) = cos(arcsin(x)), h(x) = cos(actan(x)), k(x) = sin(arctan(x)).
s
2. Simplifier l’expression de V (x) = arctan
1 − cos(x)
1 + cos(x)
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes :
π
(a) arctan(2x) + arctan(x) = .
4
√
(b) arcsin(2x) − arcsin(x 3) = arcsin(x).
√
7π
(c) arctan(x) + arctan( 3x) =
.
12
i
!
Exercice 6
En appliquant la règle de l’Hôpital, calculer des limites suivantes :
arcos(x)
(a) lim (1 − cos(x))cotan(x), (b) lim √
, (c) lim
x→0
x→1+
x→0
1 − x2
1
1
− 2
2
sin (x) x
Exercice 7
Vérifier les hypothèses du théorème des accroissement et étudier l’existence et l’unicité d’un réel c tel que
f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c) pour les fonctions suivantes :
1. f (x) = (x + 2)(x − 1) sur [−2, 1].
2. f (x) = sin(2x) + 2x sur [0, 2π].
Exercice 8
Soit la fonction f : R → R définie par :

2

 3 − x si x ≤ 1,
f (x) = 1 2


si 1 < x.
x
1. Montrer qu’il existe c ∈]0, 2[ tel que : f (2) − f (0) = (2 − 0)f 0 (c).
2. Déterminer les valeurs possibles de c.
Exercice 9
1. Montrer que pour tout réels x, y on a
|sin(x) − sin(y)| ≤ |x − y|
2. Montrer que pour tout x > 0, on a
x
< ln(1 + x) < x
1+x
ii
0.2
Développements limités
Exercice 1.
1. Déterminer
développement limité en 0 à l’ordre n des fonctions suivantes
2 le :
√
x +1
1
(a) ln
n=3
(b) (1 + x) x
n=2
(c) ln 1 + 1 + x n = 3
x+1
(d)
√
3 + cos x
n=3
(e) ex cos x
(g)
ex
(1 + x)3
n=2
(h)
n=3
(f) e
sin x
n=3
1 + ln(1 + x)
shx
x
(i) ln(3ex + e−x )
n=2
n=3
√
2. Déterminer un développement
limité
en
plus
l’infini
de
f
(x)
=
x2 + 2x − 2 sous la forme
1
c
f (x) = ax + b + + o
x
x
Exercice 2.
1
1. Écrire le développement limité de
au voisinage de 0, à l’ordre 3.
x+1
1
2. En déduire le développement limité de x
au voisinage de 0, à l’ordre 3.
e +1
x
3. Soit f (x) =
1 . En utilisant ce qui précède, déterminer l’asymptote au graphe de f pour x −→
1 + ex
+∞.
Exercice 3.
1. Calculer un développement limié d’ordre 4 au voisinage de 0 de :
f (x) =
sin x
x
2. En déduire qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en x = 0 et que la fonction ainsi
prolongée admet une dérivée première en x = 0.
3. Calculer un développement limité d’ordre 4 au voisinage de x = 0 de :
sin x
g(x) = ln
.
x
Exercice 4.
√
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1 + x + x2 .
1. Déterminer le développement limité, à l’ordre 2 au voisinage de 0.
2. En déduire l’équation de la tangente au point d’abscisse x0 = 0 et la position de la tangente par
rapport à la courbe.
3. Déterminer une équation de l’asymptote en +∞ ainsi que la position de cette asymptote par rapport
à la courbe.
Exercice 5.
1. Écrire un développement limité à l’ordre 3, en 0, de
iii
cos x
1
− 2 . En déduire sa limite en 0.
2
sin x x
2. Trouver a, b ∈ R tels que :
cos x −
1 + ax2
,
1 + bx2
soit un o(xn ) en 0, avec n maximal.
Exercice 6.
Calculer les limites suivantes en utilisant un développement limité d’ordre convenable :
2
√
ex − cos x
ln x
x2 + 3x + 2 − x)
(a) lim
(c)
lim
(
(b)
lim
x→0
x→+∞
x→1 x2 − 1
x2
2x
sin(3x)
(1 − ex ) sin x
2x + 1
(d) lim
(e) lim
(f) lim
x→0 tan(2x)
x→0
x→+∞
x2 + x3
2x − 1 √
x
x
x
1
e −1
1
a
∗
, a∈R
(h) lim
ln
(i) lim 1 + 2
(g) lim 1 +
x→+∞ x
x→+∞
x→+∞
x
x
x
Exercice 7. Déterminer les développements limités à l’ordre n au voisinage de a des fonctions suivantes :
π
1. u(x) = ecos x , a = , n = 2.
2
π
− arctan x
4
, a = 1, n = 1
2. v(x) =
ln x
π
3. w(x) = cos x, a = , n = 4.
3
√
1+x
4. k(x) =
, a = 1, n = 2.
x2
Exercice 8. Soit f la fonction définie de D =] − 1, 1[∪]1, +∞[ dans R par :
f (x) = (x2 − 1) ln
1+x
.
1−x
1. (a) Donner le développement limité de f , à l’ordre 3, dans un voisinage de 0.
(b) En déduire que le graphe de f admet une tangente (T ) au point d’abscisse 0.
(c) Donner une équation cartésienne de (T ) et préciser la position du graphe par rapport à (T ).
2. (a) En utilisant un développement asymptotique de f en +∞, démonter que le graphe de f admet
une asymptote (∆).
(b) Donner une équation cartésienne de (∆) et préciser la position du graphe de f par rapport à
(∆).
iv
0.3
Calculs des intégrales et primitives
Exercice 1.
Soit f une fonction définie et continue sur R.
1. Qu’appelle-t-on primitive de f sur R.
Z
x
f (t)dt.
2. Soit a un réel et F une primitive de f. Exprimer F (x) à l’aide de F (a) et
a
3. On suppose qu’il existe x > 0 tel que F (x) = F (a). Montrer que f s’annule au moins une fois sur
l’intervalle [a, x].
Z x
f (t)dt à l’aide de F.
4. En utilisant une intégration par parties, exprimer
a
Z x
e−t f (e − t)dt à l’aide de F.
5. Exprimer
a
Z π
Calculer I = 2
1
dx
2 + cos(x)
0
x
En posant u = tan( ), on a :
2
cos(x) =
1 − u2
2u
2u
2
, sin(x) =
, tan(x) =
, dx =
du
2
2
2
1+u
1+u
1−u
1 + u2
Exercice 2.
Les questions de cet exercice sont indépendantes
1. On considère les fonctions suivantes :
f (x) =
x+3
(x + 1)(x + 2)
g(x) =
x+1
(x − 2)(x2 − 5x + 6)
(a) Déterminer les réels a, b, c, d et e telles que :
f (x) =
b
a
+
x+1 x+2
g(x) =
c
d
e
+
+
.
x − 2 (x − 2)2 x − 3
(b) Calculer les primitives F de f et G de g vérifiant F (0) = −1 et G(−1) = 0.
(c) Calculer les intégrales suivantes :
Z
I=
1
Z
f (x)dx
0
J=
g(x)dx
−1
0
2. Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs.
Z
(a)
tan2 xdx.
Z
x
√
(b)
dx.
1+x
Z
1
(c)
dx.
x ln x
Z
(d)
arcsin xdx.
v
Z
(e)
x2
Exercice 3. Z
Soit In (x) =
x+2
dx.
− 3x − 4
x
tn
√
dt ; x, a des réels, n ∈ N, a > 0.
t2 + a2
0
1. Montrer que pour tout n ≥ 2, on a :
√
nIn (x) = xn−1 x2 + a2 − (n − 1)a2 In−2 (x).
2
t5
√
dt.
t2 + 5
0
n−1
X
3. Calculer la limite de la suite suivante un = n
Z
2. En déduire la valeur de I5 (2) =
k=0
k2
1
.
+ n2
Exercice 4.
1. Calculer l’intégrale suivante :
Z
2. Calculer l’intégrale suivante :
Z
1
dt (poser u = cos(t)).
sin(t) + tan(t)
π
2
1
dt, en posant u = tan
4 + sin(t)
− π2
t
.
2
Pour simplifier le résultat on admettra
la formule suivante :
1
π
si a > 0 alors arctan(a) + arctan
= .
a
2
3. Calculer
Z x
e 2 × ch( x2 )
dx (poser u = ex )).
ch(x)
4. Calculer :
π
2
Z
I=
0
cos x
dx, en posant u = sin x.
6 − 5 sin x + sin2 x
Exercice 5.
On considère les fonctions f et g définie sur ]0; +∞[ par :
1
1
1
1
f (x) = ln 1 +
−
et
g(x) = ln 1 +
−
.
x
x
x
x+1
1. (a) Déterminer les limtes de f et g en 0 et en +∞.
(b) Étudier les variations de f et de g. Puis dresser leurs tableaux de variations.
(c) En déduire le signe de f (x) et g(x) pour tout x ∈]0; +∞[.
2. Pour tout 0 < x < a, on pose :
Z
Ia (x) =
x
a
dt
t(1 + t)2
Z
et
Ja (x) = −
x
(a) Calculer Ia (x) et Ja (x).
vi
a
dt
+ t)
t2 (1
(b) Montrer que lim Ia (x) = g(x) et que lim Ja (x) = f (x)
a→+∞
a→+∞
3. Donner un développement limité de f et de g au voisinage de +∞.
Exercice 6.
On définit pour tout n ∈ N :
π
2
Z
In =
sinn (x)dx
0
1. Montrer que la suite (In )n∈N est positive et décroissante.
n+1
2. Montrer que In+2 =
In et expliciter In .
n + 2Z
1
(x2 − 1)n dx.
En déduire une valeur de
−1
3. Montrer que In ∼ In+1 .
r
4. À l’aide de (n + 1)In In+1 , montrer que In ∼
r
1.2.3 · · · (2n + 1)
n
∼2
.
5. En déduire que
2.4.6 · · · (2n)
π
Exercice 7.
Pour tout entier naturel n, on considère :
Z
π
2
−nx
e
In =
π
.
2n
Z
sin(x)dx et Jn =
0
π
2
e−nx cos(x)dx.
0
1. Calculer I0 et J0 .
2. En intégrant par parties In puis Jn , montrer que :
π
In + nJn = 1 et − nIn + Jn = e−n 2 .
3. En déduire les expressions de In et Jn en fonction de n.
4. Déterminer la limite de In puis celle de Jn en +∞.
Exercice 8.
Calculer la limite, si elle existe, des suites suivantes :
n−1
n
X
1
1X
n2
(a) S1 =
(b) S2 =
n+k
n k=1 (n + k)2
k=0
1
n−1
n X
Y
1
k2 n
(d) S4 = n
(e) S5 =
1+ 2
2 + k2
n
n
k=1
k=0
vii
(c) S3 =
n
X
k=1
1
√
2
n + 2kn
0.4
Equations différentielles
Exercice 1.
1. Résoudre dans R l’équation différentielle : 2y0 + y = 0.
2. Résoudre dans ]0; +∞[, l’équation différentielle :xy0 + y = 0.
3. (a) Déterminer les nombres réels a et b tels que l’on ait :
1−x
b
=a+
1+x
x+1
(b) Résoudre sur ] − 1; +∞[, l’équation différentielle : (x + 1)y0 + (x − 1)y = 0.
Exercice 2.
1. Résoudre sur un intervalle que l’on précisera les équations différentielles suivantes :
(a) (x + 1)y0 + y = (x + 1) sin x.
2x + 1
(b) xy0 − y = 2
x +1

1
(x − 2)2

y0(x) +
y(x) =
,
(c)
x−1
x−1

y(0) = 1.
2. Résoudre les équations différentielles suivantes :
(a) y00 − 2y0 + 5y = xex cos(2x) + 5x + 3.
e−2x
.
(b) y00 + 4y0 + 4y =
1 + x2
Exercice 3.
Résoudre dans R les équations différentielles suivantes :
(a) y0 + 2y = x2
(b) y0 + y = 2 sin x
(d) y00 − 3y0 + 2y = 0
(e) y00 + 6y0 + 9y = ex
Exercice 4.
On considère l’équation différentielle suivante :
(c) y0 − y = (x + 1)ex
(f) y00 + y = 2 cos2 x
(ED) : y00 − 4y0 + 4y = f (x),
où f est une fonction qui sera précisée plus loin.
1. Résoudre l’équation différentielle homogène (sans second membre) associée à (ED).
2. Trouver une solution particulière de (ED) lorsque :
(a) f (x) = e−2x .
(b) f (x) = e2x .
3. Donner la forme générale de (ED) lorsque :
f (x) =
e−2x + e2x
.
4
viii
Exercice 5.
Résoudre le problème de Cauchy suivant :
(
y 0 (x) + (3x2 − 1)y(x) = x2 ex ,
y(0) = −1.
ix