VEM alapjai
Első házi feladat
Rózsa Dániel
TXW2NG
2019. október 6.
-Rózsa Dániel TXW2NG-
VEM 1. hazi
BME Gépészmérnöki Kar
Műszaki Mechanikai Tanszék
BMEGEMMBXVE
Név: Rózsa Dániel
Végeselem módszer alapjai
Félév: 2019/20/01
NEPTUN-kód: TXW2NG
1. HF
Aláírás:
ÁBRA
KÓD2
KÓD3
KÓD4
2
4
3
2
Feladatkód:
Az ábrán vázolt szerkezetnél a rudak kapcsolatát csuklós kapcsolatokkal alakítottuk ki. A rudak keresztmetszete d belső
átmérővel rendelkező acélcső, melynek falvastagsága 0,1d. A cső anyagának rugalmassági modulusza E.
1. Készítsen méretarányos ábrát a tartóról a terhelések és a kényszerek feltüntetésével.
2. Határozza meg az A, B, C, D és E csuklós kapcsolatok elmozduláskomponenseit végeselemes módszer alkalmazásával
síkbeli egyenes rúdelemek használatával. A csuklós kapcsolatok között egy elemet használjon. A csomópontok számozása
az A, B, C, D és E sorrendnek megfelelően történjen (1,2,3,4,5). Ábrázolja a végeselemes modellt a csomóponti- és
elemszámozások, valamint a terhelések és kényszerek feltüntetésével!
3. Ábrázolja a deformált alakot! A csomóponti elmozdulásokat nagyítsa fel olyan mértékben, hogy a deformált alak jellege
jól kivehető legyen!
4. Számítsa ki a reakcióerőket!
5. Számítsa ki a rudakban keletkező normálfeszültségeket!
KÓD2
Feladatkód
A
D
A
T
O
K
1
2
3
4
E
[GPa]
150
170
190
210
KÓD3
a
[m]
3
2,5
2
1,5
d
[mm]
50
45
40
35
KÓD4
b
[m]
1,3
1,6
1,9
2,2
F1
[kN]
90
130
170
210
c
[m]
7
6
5
4
EREDMÉNYEK:
Csomóponti elmozdulások
U
V
[mm]
[mm]
2
Csomóponti terhelések
Fx
[kN]
Fy
[kN]
1
10,606703
163,25187
0
0
2
0
56,623979
-821,05263
-130,00000
3
5,9769755
148,99798
0
0
260,00000
-130,00000
4
0
165,37911
205,26316
5
0
0
615,78947
VEM 1. hazi
-Rózsa Dániel TXW2NG-
Tartalomjegyzék
1. Első feladat
1.1. A szerkezet méretarányos ábrája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Keresztmetszeti jellemzők számítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2. Második feladat
2.1. Végeselemes modell elkészítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Geometriai paraméterek meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Csomóponti elmozdulások kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
3. Harmadik feladat
3.1. A deformált alak ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
4. Negyedik feladat
4.1. Reakcióerők kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
5. Ötödik feladat
5.1. Normálfeszültségek kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
1. Első feladat
1.1. A szerkezet méretarányos ábrája
F1 = 130 kN
1. ábra. A szerkezet méretarányos ábrája a terhelések és a kényszerek feltüntetésével.
1.2. Keresztmetszeti jellemzők számítása
A d = 40 mm belső átmérővel rendelkező 0, 1 d falvastagságú acélcsövek keresztmetszeteinek területe az alábbi módon számítható:
3
-Rózsa Dániel TXW2NG-
A=
VEM 1. hazi
((d + 0, 2d)2 − d2 ) π
= 176 π = 552, 9203 mm2 = 5, 529203 · 10−4 m2
4
(1)
Az összes csőnek ennyi a keresztmetszete.
2. Második feladat
2.1. Végeselemes modell elkészítése
A csuklók között egy-egy rúd (link) elemet használunk fel a modellezés során.
A végeselemes modell az alábbi ábrán látható:
2. ábra. A szerkezet végeselemes modellje a csomóponti- és elemszámozások, valamint a
terhelések és kényszerek feltüntetésével.
A következő táblázat az egyes csomópontok geometriai koordinátáit tartalmazza:
Csomópont száma
1
2
3
4
5
x koordináta [m]
0
6
1, 5
0
6
y koordináta [m]
1, 9
1, 9
0, 95
0
0
1. táblázat. A csomópontok koordinátái.
A következő lépésben készítsünk elem-csomópont összerendelési táblázatot a modellhez:
4
VEM 1. hazi
-Rózsa Dániel TXW2NG-
Elem száma
1
2
3
4
5
6
7
első csomópont száma
1
2
3
4
1
3
1
második csomópont száma
2
3
4
5
3
5
4
2. táblázat. Adott elemhez tartozó csomópontok.
2.2. Geometriai paraméterek meghatározása
Számítsuk ki az egyes elemekhez tartozó hosszakat és szögeket (radiánban, az x tengelyhez képest):
L1 = L4 = 6 m
s
(6 − 1, 5)2 +
L2 = L6 =
s
L3 = L5 =
1, 52 +
1, 9
2
1, 9
2
2
= 4, 5992 m
2
= 1, 7755 m
L7 = 1, 9 m
α1 = α4 = 0
α2 = −2, 93354
α3 = −2, 57702
α5 = −0, 564569
α6 = −0, 208056
α7 = −1, 5708
2.3. Csomóponti elmozdulások kiszámítása
Állítsuk össze az egyes elemekhez tartozó merevségi mátrixokat az (x,y) koordinátarendszerben. A merevségi mátrixokat az alábbi paraméteres alakba való behelyettesítéssel
előállíthatjuk, helyspórolás céljából csak ezt az alakot írom ki:
cos2 αi
cos αi · sin αi
− cos2 αi
− cos αi · sin αi
2
AE cos αi · sin αi
sin αi
− cos αi · sin αi
− sin2 αi
Ki =
,
2
2
− cos αi
− cos αi · sin αi
cos αi
cos αi · sin αi
Li
− cos αi · sin αi
− sin2 αi
cos αi · sin αi
sin2 αi
i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Ezek alapján a globális merevségi mátrixot úgy kell előállítani, hogy az egyes elemek
merevségi mátrixainak adott szabadsági fokokhoz tartozó elemei a globális merevségi
5
-Rózsa Dániel TXW2NG-
VEM 1. hazi
mátrix azonos szabadsági fokaihoz tartozzanak. A mátrixban azonos "helyen" lévő elemek
összeadódnak. A globális K mátrixot helyspórolás céljából ismét nem írom ki.
Írjuk fel a globális elmozdulásvektort és a globális tehervektort paraméteresen és numerikusan is a kényszerek, valamint a külső terhelések figyelembevételével:
[m]
U1
U1
V1
V1
0
U2
V2
V2
U3
U3
U =
= V
3
V3
0
U4
V4
V4
0
U
5
0
V5
[N ]
0
F1x
F1y
0
F2x
F2x
−130000
F2y
F3x
0
=
, F =
0
F3y
F4x
F
4x
260000
F4y
F
F
5x
5x
F5y
F5y
(2)
A megoldandó egyenletrendszer K U = F alakú, de ha figyelembe vesszük a peremfeltételeket (jelen esetben az ismert elmozdulásokat) akkor az egyenletrendszer az alábbi
formára redukálódik:
Kk Uk = Fk
(3)
, ahol Kk a kondenzált globális merevségi mátrix, melyet úgy kapunk, hogy az ismert
elmozdulásokhoz tartozó szabadsági fokokhoz tartozó sorokat és oszlopokat töröljük az
eredeti K mátrixból. Az Uk és Fk vektorok hasonló módon képezhetők. A kondenzált
egyenletrendszer ekkor a következő alakot ölti:
6, 6 · 107
7
−2, 96 · 10
0
−4, 67 · 107
2, 96 · 107
3, 74 · 10−9
−2, 96 · 107
7, 98 · 107
0
2, 96 · 107
−1, 87 · 107
−6, 11 · 107
−4, 67 · 107
2, 96 · 107
−5, 1 · 106
1, 42 · 108
6, 52 · 10−9
−2, 96 · 107
0
0
1, 08 · 106
−5, 1 · 106
−1, 08 · 106
0
2, 96 · 107
−1, 87 · 107
−1, 08 · 106
6, 52 · 10−9
3, 96 · 107
−1, 87 · 107
3, 74 · 10−9
U1
0
−6, 11 · 107
V1
0
0
V2 = −130000 (4)
U
0
−2, 96 · 107
3
V
0
3
−1, 87 · 107
V4
260000
7, 98 · 107
Ezt az egyenletrendszert megoldva MATLAB R segítségével ("LU factorization with
partial pivoting" algoritmust használva) a következő eredményeket kapjuk Uk vektorra:
0, 0106067 [m]
U1
0, 163252
V1
V2
= 0, 056624
Uk =
U3
0, 00597698
V3
0, 148998
V4
0, 165379
(5)
Ezeket visszaírjuk a globális U vektorba:
U1
0, 0106067 [m]
V1
0, 163252
U2
0
V2
0, 056624
U3
= 0, 00597698
U =
V3
0, 148998
U4
0
V4
0, 165379
U5
0
V5
0
6
(6)
VEM 1. hazi
-Rózsa Dániel TXW2NG-
3. Harmadik feladat
3.1. A deformált alak ábrázolása
Az elmozdulások ismeretében könnyen ábrázolható a deformálatlan (fekete) és a deformált alak (piros):
3. ábra. A szerkezet deformált alakja.
A 3. ábrán a tényleges elmozdulások láthatók (egyszeres nagyítás).
4. Negyedik feladat
4.1. Reakcióerők kiszámítása
A globális elmozdulásvektort a K mátrixszal balról megszorozva megkapjuk a globális
tehervektort. Ebből pedig kiolvashatók az eddig ismeretlen reakcióerők. (A kerekítési
hibákból adódó 10−10 [N ] nagyságrendű erőket nullának vettem).
[N ]
0
0
−821052, 63
−130000, 0
0
F =KU =
0
205263, 16
260000, 0
615789, 47
−130000, 0
(7)
7
-Rózsa Dániel TXW2NG-
VEM 1. hazi
Ebből az ismeretlen reakcióerők:
F2x = −821052, 63 N
F4x = 205263, 16 N
F5x = 615789, 47 N
F5y = −130000, 00 N
(8)
(9)
(10)
(11)
5. Ötödik feladat
5.1. Normálfeszültségek kiszámítása
A normálfeszültségek számításához szükségünk van az egyes rudak hosszirányú alakváltozásaira, ezért először ezeket számoljuk ki:
(U2 − U1 ) · cos α1 + (V2 − V1 ) · sin α1
= −0, 0017677839
L1
(U3 − U2 ) · cos α2 + (V3 − V2 ) · sin α2
= −0, 0054202431
ε2 =
L2
(U4 − U3 ) · cos α3 + (V4 − V3 ) · sin α3
ε3 =
= −0, 0020925
L3
(U5 − U4 ) · cos α4 + (V5 − V4 ) · sin α4
ε4 =
=0
L4
(U3 − U1 ) · cos α5 + (V3 − V1 ) · sin α5
ε5 =
= 0, 0020925
L5
(U5 − U3 ) · cos α6 + (V5 − V3 ) · sin α6
ε6 =
= 0, 0054202431
L6
(U4 − U1 ) · cos α7 + (V4 − V1 ) · sin α7
ε7 =
= −0, 0011195965
L7
ε1 =
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Az alakváltozások, és a feladatlapon megadott E = 210 GP a rugalmassági modulusz
ismeretében, a Hooke törvény segítségével megkapjuk a rudakban ébredő normálfeszültségeket:
σ1 = E · ε1 = −0, 371234616063647 GP a
σ2 = E · ε2 = −1, 13825104677056 GP a
σ3 = E · ε3 = −0, 439424992647185 GP a
σ4 = E · ε4 = 0 GP a
σ5 = E · ε5 = 0, 439424992647220 GP a
σ6 = E · ε6 = 1, 13825104677059 GP a
σ7 = E · ε7 = −0, 235115256840313 GP a
8
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
