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Æ Les intégrales et la formule de Wallis
Introduction
John Wallis (Ashford 1616 – Oxford 1703) est un mathématicien anglais. Son éducation fut
d’abord religieuse (il sera ordonné prêtre en 1640) mais à partir de quinze ans, il étudia, avec
talent, les mathématiques et, plus généralement, les sciences. A partir de 1649, il exercera la
fonction de professeur à l’université d’Oxford et ce, jusqu’à sa mort.
Il est l’un des membres fondateurs de la fameuse Royal Society (1663).
On lui doit le symbole « ∞ » pour désigner une quantité infinie (la hiérarchie des infinis ne
sera étudiée qu’au 19ème siècle).
Le 17ème siècle, en particulier grâce à Cavalieri, verra la théorie de l’intégration se construire
progressivement. Les motivations sont principalement le calcul d’aires et de volumes, les
difficultés principales, la définition et l’utilisation correctes d’infiniment petits. Wallis y
apportera une contribution significative et préparera ainsi l’avènement du calcul infinitésimal
de Newton.
Calcul des valeurs exactes
Définition-théorème
Pour tout entier naturel n, on appelle « intégrale de Wallis » l’intégrale définie suivante :
π
π
0
0
Wn = ∫ 2 cos n ( t ) dt = ∫ 2 sin n ( t ) dt
Pour établir l’égalité des deux intégrales, il suffit de considérer le changement de variable
⎡ π⎤
bijectif ϕ de l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ dans lui-même défini par :
⎣ 2⎦
ϕ :u
ϕ (u ) =
π
2
−u = t
En tenant compte de dt = ϕ ' ( u ) du = −du , on obtient :
∫
π
2
0
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π
0
⎛π
⎞
⎛π
⎞
cos n ( t ) dt = ∫π cos n ⎜ − u ⎟ ( −du ) = ∫ 2 cos n ⎜ − u ⎟ du
0
⎝2
⎠
⎝2
⎠
2
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⎛π
⎞
⎛π
⎞
Comme : cos ⎜ − u ⎟ = sin ( u ) , on a : cos n ⎜ − u ⎟ = sin n ( u ) puis
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
π
2
0
π
cos n ( t ) dt = ∫ 2 sin n ( u ) du .
0
L’égalité est ainsi établie.
Calculs des premiers termes
On a facilement :
π
π
π
0
0
W0 = ∫ 2 cos 0 ( t ) dt = ∫ 2 1. dt = ∫ 2 dt =
0
π
π
π
2
−0 =
π
2
⎛π ⎞
W1 = ∫ 2 cos1 ( t ) dt = ∫ 2 cos ( t ) dt = ⎡⎣sin ( t ) ⎤⎦ 02 = sin ⎜ ⎟ − sin ( 0 ) = 1
0
0
⎝2⎠
π
W0 =
π
2
, W1 = 1
Une relation de récurrence
Soit n un entier naturel. On a :
π
Wn + 2 = ∫ cos
2
0
n+2
( t ) dt = ∫
π
2
0
π
π
cos ( t ) cos ( t ) dt = ∫ 2 ⎡⎣1 − sin 2 ( t ) ⎤⎦ cos n ( t ) dt
2
n
0
π
= ∫ 2 cos n ( t ) dt − ∫ 2 sin 2 ( t ) cos n ( t ) dt
0
0
π
= Wn − ∫ 2 sin ( t ) × sin ( t ) cos n ( t ) dt
0
Pour calculer la deuxième intégrale, nous allons procéder à une intégration par parties.
⎡ π⎤
et donc sur l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ . Sa dérivée, la fonction
⎣ 2⎦
⎡ π⎤
et donc sur l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ .
cosinus est continue sur
⎣ 2⎦
n
comme produit de deux fonctions
La fonction t sin ( t ) cos ( t ) est continue sur
La fonction sinus est dérivable sur
⎡ π⎤
continues sur cet intervalle. Elle est donc continue sur l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ . Elle y admet pour
⎣ 2⎦
1
−
cos n +1 ( t ) .
primitive la fonction : t
n +1
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L’intégration par parties donne alors :
π
π
⎡
⎛ 1
⎞⎤ 2
n +1
2
t
t
t
dt
t
t
sin
×
sin
cos
=
sin
×
−
cos
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⎜
⎟⎥
⎢
∫0
⎝ n +1
⎠⎦0
⎣
n
π
⎛ 1
⎞
cos n +1 ( t ) ⎟ dt
− ∫ 2 cos ( t ) × ⎜ −
0
⎝ n +1
⎠
1 ⎛ ⎛ π ⎞ n +1 ⎛ π ⎞
⎞
=−
sin ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ − sin ( 0 ) cos n +1 ( 0 ) ⎟
⎜
n +1⎝ ⎝ 2 ⎠
⎝2⎠
⎠
1 π2
cos n + 2 ( t ) dt
n + 1 ∫0
1
1
Wn + 2
=−
(1× 0 − 0 ×1) +
n +1
n +1
1
Wn + 2
=
n +1
+
D’où :
π
Wn + 2 = Wn − ∫ 2 sin ( t ) × sin ( t ) cos n ( t ) dt = Wn −
0
On en tire :
1
Wn + 2
n +1
1
n+2
n +1
Wn + 2 + Wn + 2 = Wn , soit
Wn + 2 = Wn et, finalement : Wn + 2 =
Wn .
n +1
n +1
n+2
∀n ∈ , Wn + 2 =
n +1
Wn
n+2
Expression de la valeur exacte
Soit n un entier pair : n = 2 p .
D’après la relation précédente, on a :
2 p −1
W2 p − 2
2p
2 p −1 2 p − 3
W2 p − 4
=
×
2p
2p−2
= ...
W2 p =
2 p −1 2 p − 3
3
×
× ... × W2
2p
2p−2
4
2 p −1 2 p − 3
3 1
=
×
× ... × × W0
2p
2p−2
4 2
2 p −1 2 p − 3
3 1 π
=
×
× ... × × ×
2p
2p−2
4 2 2
=
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On a alors :
2 p × ( 2 p − 1) × ( 2 p − 2 ) × ... × 3 × 2 ×1
2 p −1 2 p − 3
3 1
×
× ... × × =
2p
2p−2
4 2 ⎡ 2 p × ( 2 p − 2 ) × ( 2 p − 4 ) ... × 4 × 2 ×1⎤ 2
⎣
⎦
( 2 p )!
=
2
⎡⎣ 2 p × 2 ( p − 1) × 2 ( p − 2 ) ... × 2 × 2 × 2 ×1⎤⎦
( 2 p )!
=
2
⎡⎣ 2 p × p × ( p − 1) × ( p − 2 ) ... × 2 ×1⎤⎦
( 2 p )!
= 2p
2
2 × ( p !)
Finalement :
W2 p =
2
( 2 p )! × π
2
× ( p !) 2
2p
Soit maintenant n un entier impair : n = 2 p + 1 .
En procédant de façon analogue à ce qui vient d’être fait, on obtient :
2p
W2 p −1
2 p +1
2p
2p−2
W2 p −3
=
×
2 p +1 2 p −1
= ...
2p
2p−2
4
=
×
× ... × W3
2 p +1 2 p −1
5
2p
2p−2
4 2
=
×
× ... × × W1
2 p +1 2 p −1
5 3
2p
2p−2
4 2
=
×
× ... × × × 1
2 p +1 2 p −1
5 3
W2 p +1 =
On a alors :
⎡ 2 p × 2 ( p − 1) × 2 ( p − 2 ) × ... × 2 × 2 × 2 ×1⎤⎦
2p
2p −2
4 2
×
× ... × × = ⎣
2 p + 1 2 p −1
5 3 ( 2 p + 1) × 2 p × ( 2 p − 1) × ( 2 p − 2 ) ... × 5 × 4 × 3 × 2
2
⎡⎣ 2 p × p × ( p − 1) × ( p − 2 ) ... × 2 ×1⎤⎦
=
( 2 p + 1)!
2
22 p ( p !)
( 2 p + 1)!
2
=
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Finalement :
W2 p +1 =
22 p ( p !)
2
( 2 p + 1)!
( 2 p )! π et W = 22 p ( p !)
, W2 p = 2 p
2 p +1
2
( 2 p + 1)!
2 ( p !) 2
2
∀p ∈
Comportement asymptotique
La suite (Wn ) est à termes strictement positifs
⎡ π⎤
La fonction cosinus prend des valeurs positives sur l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ ; la fonction x
xn
2
⎣
⎦
prend des valeurs positives sur + . On en déduit ainsi que la composée x cos n ( x ) prend
⎡ π⎤
des valeurs positives sur l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ .
⎣ 2⎦
π
π
⎡ π⎤ ⎡ π⎤
Comme ⎢ 0 ; ⎥ ⊂ ⎢ 0 ; ⎥ , il vient alors : Wn = ∫ 2 cos n ( t ) dt ≥ ∫ 4 cos n ( t ) dt .
0
0
⎣ 4⎦ ⎣ 2⎦
Comme on a cos ( t ) ≥
1
sur l’intervalle
2
⎡ π⎤
⎢⎣ 0 ; 4 ⎥⎦ et comme la fonction x
x n est
n
1
⎛ 1 ⎞
croissante sur + pour tout entier naturel n, on a : cos ( t ) ≥ ⎜
⎟ = n et donc
⎝ 2⎠
22
π
π
π
π
1
1
1 π
π
n
n
∫0 4 cos ( t ) dt ≥ ∫0 4 n dt = n ∫0 4 dt = n × 4 = n +2 > 0 . On a ainsi ∫0 4 cos ( t ) dt > 0 .
22
22
22
22
n
π
Par ailleurs, on vient de voir que l’on a : ∀n ∈ , Wn ≥ ∫ 4 cos n ( t ) dt . Il vient donc :
0
π
∀n ∈ , Wn ≥ ∫ 4 cos n ( t ) dt > 0
0
Finalement :
∀n ∈ , Wn > 0
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Monotonie de la suite (Wn )
Comme on s’intéresse à la monotonie de la suite (Wn ) , on peut tirer parti de la linéarité de
l’intégrale. Pour tout entier naturel n, on a :
π
π
0
0
Wn +1 − Wn = ∫ 2 cos n +1 ( t ) dt − ∫ 2 cos n ( t ) dt
π
= ∫ 2 ⎡⎣cos n +1 ( t ) − cos n ( t ) ⎤⎦ dt
0
π
= ∫ 2 cos n ( t ) ⎡⎣cos ( t ) − 1⎤⎦ dt
0
On a vu précédemment que la fonction t
cos n ( t ) prenait des valeurs positives sur
⎡ π⎤
l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ . Par ailleurs, on a : ∀t ∈ , − 1 ≤ cos ( t ) ≤ 1 et donc
⎣ 2⎦
∀t ∈ , − 2 ≤ cos ( t ) − 1 ≤ 0 . Ainsi, la fonction t cos n ( t ) ⎡⎣ cos ( t ) − 1⎤⎦ prend des valeurs
⎡ π⎤
négatives sur l’intervalle ⎢ 0 ; ⎥ et on en déduit immédiatement :
⎣ 2⎦
∫
π
2
0
cos n ( t ) ⎡⎣cos ( t ) − 1⎤⎦ dt ≤ 0
Soit : Wn +1 − Wn ≤ 0 et on conclut :
La suite (Wn ) est décroissante.
Limite du rapport
W n −1
Wn
La suite (Wn ) est décroissante, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a :
Wn ≤ Wn −1 ≤ Wn − 2
Or, on a vu précédemment que la suite (Wn ) était une suite à termes strictement positifs. On
en déduit, en divisant par Wn :
1≤
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Wn −1 Wn − 2
≤
Wn
Wn
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D’après la relation de récurrence obtenue plus haut, on peut écrire, pour tout entier n supérieur
ou égal à 2 :
Wn =
Soit :
n −1
Wn − 2
n
Wn − 2
n
.
=
Wn
n −1
La double inégalité obtenue précédemment se récrit alors :
1≤
Comme lim
n →+∞
Wn −1
n
≤
Wn
n −1
n
n
= lim = 1 , on en déduit immédiatement (théorème des gendarmes) :
n
→+∞
n −1
n
lim
n →+∞
Wn −1
=1
Wn
Une belle égalité
Les expressions exactes de W2 p et W2 p +1 obtenues à la fin de la partie précédente présentes de
fortes similitudes (comparer le numérateur de l’une avec le dénominateur de l’autre …). On
est ainsi conduit à considérer le produit Wn −1Wn .
Si n est pair non nul : n = 2 p ( p ≠ 0 ), on a :
Wn −1Wn = W2 p −1W2 p
=
=
22( p −1) ( ( p − 1) !)
( 2 p )! π
( 2 ( p − 1) + 1)! 2 ( p !)2 2
2
22 p 2−2 ( ( p − 1) !) ( 2 p ) ! π
2
( 2 p − 1)! 22 p ( p !) 2
2
×
2p
2−2 ( ( p − 1) !) 2 p ( 2 p − 1) ! π
2
=
( 2 p − 1)! p 2 ( ( p − 1)!)
2
2
1 π
×
2p 2
1 π
= ×
n 2
=
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On procède de façon tout à fait similaire avec n impair : n = 2 p + 1 . On a :
Wn −1Wn = W2 pW2 p +1
( 2 p )! π × 22 p ( p !)
= 2p
2
2 ( p !) 2 ( 2 p + 1) !
2
=
( 2 p )!
22 p ( p !)
2
22 p ( p !)
2
( 2 p + 1) × ( 2 p )!
π
2
1 π
2 p +1 2
1 π
= ×
n 2
=
On a donc, finalement :
∀n ∈ *, Wn −1Wn =
π
2n
Un équivalent en +∞
Pour tout entier naturel n non nul, on a, d’après la question précédente :
π
2
= nWn −1Wn = nWn2 ×
Wn −1
Wn
π
Soit : nWn2 = 2 .
Wn −1
Wn
Mais on a vu que l’on avait : lim
n →+∞
Wn −1
= 1 . On en déduit alors :
Wn
π
lim nWn2 = lim
n →+∞
Soit : lim
n →+∞
Wn2
π
n →+∞
π
2 = 2 =π
Wn −1 1 2
Wn
= 1.
2n
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La fonction racine carrée étant continue en 1, on en tire : lim
n →+∞
Wn2
π
= 1 =1.
2n
Comme Wn > 0 , on a :
2
n
W
π
2n
=
Wn
π
et, finalement : lim
Wn
π
n →+∞
2n
lim
n →+∞
= 1.
2n
Wn
π
= 1 , soit Wn ∼
+∞
π
2n
2n
La formule de Wallis
Rappelons que l’on a :
W2 p +1 =
2p
2p−2
4 2
2 p −1 2 p − 3
3 1 π
×
× ... × × ×1 et W2 p =
×
× ... × × ×
2 p +1 2 p −1
5 3
2p
2p−2
4 2 2
On en déduit :
W2 p +1
W2 p
2p
2p−2
4 2
×
× ... × ×
2 p +1 2 p −1
5 3
=
2 p −1 2 p − 3
3 1 π
×
× ... × × ×
2p
2p−2
4 2 2
⎡⎣ 2 p × ( 2 p − 2 ) × ( 2 p − 4 ) × ... × 4 × 2 ⎤⎦
2
=
×
2
2
2
2
( 2 p + 1) × ( 2 p − 1) × ( 2 p − 3) × ... × 5 × 3 ×1 π
2
⎡⎣ 2 p × ( 2 p − 2 ) × ( 2 p − 4 ) × ... × 4 × 2 ⎤⎦
2
=
×
⎡⎣( 2 p + 1) × ( 2 p − 1) ⎤⎦ × ⎡⎣( 2 p − 1) × ( 2 p − 3) ⎤⎦ × ... × [5 × 3] × [3 ×1] π
2
⎡⎣ 2 p × ( 2 p − 2 ) × ( 2 p − 4 ) × ... × 4 × 2 ⎤⎦
2
=
×
⎡⎣( 2 p + 1) × ( 2 p − 1) ⎤⎦ × ⎣⎡( ( 2 p − 2 ) + 1) × ( ( 2 p − 2 ) − 1) ⎦⎤ × ... × ⎡⎣( 2 + 1) × ( 2 − 1) ⎤⎦ π
2
2
⎛ p
⎞ 2
2k )
(
= ⎜∏
⎟×
⎜ k =1 ( 2k − 1)( 2k + 1) ⎟ π
⎝
⎠
⎛ p 4k 2 ⎞ 2
= ⎜∏ 2 ⎟×
⎝ k =1 4k − 1 ⎠ π
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Comme lim
W2 p +1
p →+∞
W2 p
+∞
π = 2×∏
k =1
4k 2
π
= . Soit :
∏
2
p →+∞
2
k =1 4k − 1
= 1 , on en déduit finalement : lim
p
+∞
4k 2
2k ⎞
2 2 4 4 6 6 8 8
⎛ 2k
=
×
×
2
∏
⎜
⎟ = 2 × × × × × × × × × ...
2
4k − 1
1 3 3 5 5 7 7 9
k =1 ⎝ 2k − 1 2k + 1 ⎠
Cette formule est encore appelée « produit de Wallis ».
Remarques :
•
Wallis est le premier à avoir écrit π sous la forme d’un produit infini de nombres
rationnels.
•
La convergence est très lente (essayez !) et cette formule, aussi esthétique soit-elle,
n’est pas utile pour le calcul effectif et efficace des décimales de π .
•
On peut, toujours à partir des intégrales de Wallis et en arrangeant différemment les
facteurs dans les expressions de W2 p et W2 p +1 , obtenir des variantes de la formule de
Wallis.
Par exemple :
2 2 4 4 6 6 8 8
1 3 3 5 5 7 7 9
2 4 4 6 6 8 8
= 4 × × × × × × × × ...
3 3 5 5 7 7 9
+∞
2k + 2 ⎞
⎛ 2k
= 4×∏⎜
×
⎟
2k + 1 ⎠
k =1 ⎝ 2k + 1
+∞
⎛ ( 2k + 1) − 1 ( 2k + 1) + 1 ⎞
= 4×∏⎜
×
⎟
2k + 1
2k + 1 ⎠
k =1 ⎝
π = 2 × × × × × × × × × ...
( 2k + 1) − 1
= 4×∏
2
k =1
( 2k + 1)
+∞
2
+∞ ⎛
⎞
1
= 4 × ∏ ⎜1 −
⎟
⎜ ( 2k + 1)2 ⎟
k =1
⎝
⎠
1⎞
1⎞ ⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛
⎛
= 4 × ⎜1 − 2 ⎟ × ⎜1 − 2 ⎟ × ⎜1 − 2 ⎟ × ⎜1 − 2 ⎟ × ...
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 9 ⎠
+∞
⎛
k =1
⎜
⎝
π = 4 × ∏ ⎜1 −
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⎞
1⎞ ⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛
1⎞
⎛
= 4 × ⎜ 1 − 2 ⎟ × ⎜1 − 2 ⎟ × ⎜1 − 2 ⎟ × ⎜1 − 2 ⎟ × ...
⎟
2
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 9 ⎠
( 2k + 1) ⎟⎠
1
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