GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI
FUNDAMENTOS DE -
MATEMATICA
ELEMENTAR
CONJUNTOS FUNÇÕES
75 Exercícios resolvidos
326 Exercícios propostos - com resposta
272 Testes de Vestibulares - com resposta
3!\ edição
ATUAL
EDITORA
1
Capa
'(
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
APRESENTACÃO
•
Composição e desenhos
AM Produções Gráficas Ltda.
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H.O.P. Fotolitos Ltda.
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Gráfica Ed itora Hamburg Ltda.
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São Paulo - SP - Brasil
CIP-&rasil. CatalogAção-na-Fonte
câmara Brasileira do Livro, SP
F977
v.l-2,
4-6
FundBlllentDB dI! matemátlcllI elementar (por] Gelaon Iezzl (e outros)
5BO Paulo, 'Atul!l1
Ed., 1977-
CO-Butores: Carlos HurakBllll, Osvaldo Dolce
e Semuel H!!Izzsn;
8
Butarh dos volumes indi-
viduais vada entre 08 4 autores.
Conteúdo; v.l. Con1untos, funçeea.-v.2.
Logsrltmos.-v.4. SeQÜencias, mB~rize8 determl
Mantes, a1etl!lllB8.-v.5. CClllbln!tor1ll!l, prob!bllidsde.-v.6. Complexos, polinomioB, equsçoes.
1. Metemétlca (zg grau) 1. Dolce, Osvaldo,
1938-
lI. II!zzl, Gdson, 1939- IlI. Hl!!lzzan,
1\1. Hurskeml, C8rl08, 1943-
Sl!IIIlt1el, 1946-
77-1333
1::00-510
tndice
para catálogo sistemático:
1. Ket_tlce
510
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA l TOA
Rua José Antônio Coelho, 785
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"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,
ao nível da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha
das ciências" .
No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.
Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições
e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A
seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a
resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforço positivo ou partir à
procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria
estudada.
Queremos consignar aqu i nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vidas e sua obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores
e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores um{ apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quai's--agradecemos.
Os autores
,
INDICE
CAPiTULO I - NOCOES DE lÚGICA
X
Prop~çã()' . . . . . . . . . . . . . ..
1l.''Nega.çao ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
'1.1.1'. Proposição composta - conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
IV. -Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
V; Tautologias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
VI. Proposições logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
VII. Relação de implicação
VIII. Relação de equivalência
IX. ~tenças abertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
X. CÔi!íÔ negar proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
CAPiTU la 11 - CONJUNTOS
I.~njunto, elemento, pertinência
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11. ~escrição de um conjunto
1I1.(Ç,?)'ljunto unitário, conjunto vazio
IV. -obnjunto universo
V. ~~juntos iguais
VI. Subconjuntos
VII.' ~eunião de conjuntos
VIII. 1.lltersecção de conjuntos
IX'.tr0priedades
X;uiferença de conjuntos
X( ~mplementar de B em A
l-A
2-A
3-A
5-A
B-A
9-A
10-A
ll-A
l2-A
l4-A
19-A
20-A
22-A
23-A
25-A
26-A
29-A
30-A
3l-A
33-A
33-A
CAPI"rUlO 111 - CONJUNTOS NUMJ:RICOS
I. CoMunto dos números naturais ) )
11. cqJVunto dos números inteiros . Z.
111. C&r'junto dos números raciona is .. ;..\
IV. (\onjunto dos números reais
ti".:.
V. Ii4térvalos
VI. Coni\Jnto dos números complexos.
VII. Re~o
VIII. Princípiq'da indução finita
<-
. 39-A
. 40-A
. 43-A
. 46-A
.
. 49-A
52-A
. 52-A
. 53-A
G·
I
CAPlIU LO IV - RELAÇOES
I. Par ord enado
11. Sistema cartesiano ortogonal
111. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
IV. Relação binária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
V. Dom(nio e imagem
VI. Relação inversa
VII. Propriedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
59-A
60-A
62-A
65-A
68-A
70-A
71-A
CAPlIU LO V - FU NÇOES
I. Conceito de função
11. Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
111. Notação das funções
IV. Dom(nio e imagem
V. Funções iguais
APÊNDICE SOBRE INEQUAÇÕES
73-A
74-A
77-A
80-A
84-A
86-A
CAPlIULO VI - FUNÇOES DO 19 GRAU
I. Função constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-A
11. Função identidade
94-A
111. Função linear
94-A
IV. Função afim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-A
V. Gráfico
96-A
VI. Imagem
100-A
101-A
VII. Coeficientes da função afim
VIII. Zero da função afim
102-A
IX. Funções crescentes e decrescentes
103-A
X. Teorema
105-A
XI. Sinal de uma função
106-A
XII. Sinal da função afim
108-A
112-A
XIII. Inequações simultâneas
XIV. Inequações-produto
113-A
120-A
XV. Inequações-quociente
VI. Máximos e m(nimos
130-A
131-A
V 11. Vértice da parábola
VIII. Imagem
133-A
IX. Eixo de simetria
136-A
X. Gráfico
"
136-A
XI. Sinal
140-A
144-A
XII. Inequações do 2? grau
X 111. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-A
XIV. Comparação de um número real com as
150-A
ra(zes da equação do 2? grau. .
XV. Sinais das ra(zes da equação do 2<:' grau
155-A
CAPrrULO VIII - FUNÇAO MODULAR
I. Função definida por várias sentenças abertas
11. Módulo
111. Função modular
IV. Equações modulares
V. Inequações modulares
CAPliULO IX - OUTRAS FUNÇOES ELEMENTARES
I. Função f(x) = x 3 • . . . . . . . . . . . . . . . • • . • • . . . . . . . . . . . . . 171-A
11. Função rec(proca
172-A
111. Função máximo inteiro
177-A
CAPliuLO X - FUNÇAO COMPOSTA - FUNÇAO INVERSA
I. Função composta
11. Função sobrejetora
111. Função injetora
IV. Função bijetora
V. Função inversa
APÊNDICE I
Equações irracionais
APÊNDICE II
Inequações irracionais
181-A
187-A
188-A
189-A
195-A
208-A
217-A
CAPliULO VII - FUNÇAO QUADRATICA
I. Defin ição
11. Parábola
111. Concavidade
IV. Forma canônica
V. Zeros
123-A
123-A
125-A
125-A
126-A
159-A
161-A
161-A
166-A
168-A
-
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS
..
225-A
TESTES
269-A
RESPOSTAS DE TESTES
315-A
Johann F. C. Gauss
(1777 - 1855)
De plebeu a príncipe
CAPiTULOl
Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De fam(lia
humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira.
Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que
os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta
- 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aI' houvesse descoberto a
fórmula de uma soma de uma progressão aritmética.
Gauss foi para Gottingen sempre contando com o aux(lio financeiro do duque
de Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de março de 1796, quando se
tornou o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados somente com
o aux(lio de régua e compasso.
Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de HelmsÜidt e sua tese foi a
demonstração do "Teorema fundamental da Álgebra", provando que toda equação
polinomial f(x)=O tem pelo menos uma ra(z real ou imaginária e para isso baseouse em considerações geométricas.
Deve-se a Gauss a representação gráfica dos números complexos pensando
nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano.
Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritméticas) é o principal
responsável pelo desenvolvimento e notações da Teoria dos Números, nele apresentando a notação b=c (mod al, para relação de congruência, que é uma relação
de equivalência.
Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classificada por ele como a "jóia da aritmética" e demonstrando o teorema segundo o
qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto
de primos.
Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciências e a Aritmética como a rainha da Matemática.
No começo do séc. XI X abandonou a Aritmética para dedicar-se à Astronomia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje,
e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de Gottingen,
onde passou 40 anos.
Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funções e Geometria
aplicada ã teoria de Newton.
Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meio
de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetômetro bifiliar e o
telégrafo elétrico.
Sua única ambição era o progresso da Matemática pelo que lutou até o
momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatação cardíaca.
Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe da Matemática".
NOÇÕES DE LÓGICA
I. PROPOSiÇÃO
1.
Definição
Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser
classificada de verdadeira ou de falsa.
Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias:
1~)
sendo oração, tem sujeito e predicado;
é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa)
3~)
tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira
(V) ou é falsa (F).
2~)
2.
Exemplos
São proposições:
*- 5
b) 7> 3
c) 2 E ;Z
d) 3111
e) ;Z C O
a) 9
(Nove é diferente de cinco)
(Sete é maior que três)
(Dois é um número inteiro)
(Três é divisor de 11)
(O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos
racionais)
Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto d.
Não são consideradas proposições as frases:
f) 3· 5 + 1
(onde falta predicado)
g) V2 E O? (que é oração interrogativa)
h) 3x - 1 = 11 (que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa)
l-A
11.
NEGAÇÃO
A.2
3.
A partir de uma proposlçao p qualquer sempre podemos construir
outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p.
Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras?
b) 3 • 111 - 71
cl 3'2+1>4
di 5'7-2~5'6
el (2..)7<1~)3
fi
2
2
91 - 1-41 ;;;. 7
b)
p: 2EZ
d)
~p:
c)
~p:
e)
"*
9
5
9 = 5
p:
2gZ
p: 7 > 3
~p:
p:
~p:
7 ~ 3
3
1
111.
11
3111
A proposição ~ p tem sempre o valor oposto de p,
isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é falsa
quando p é verdadeira.
Este critério está resumido na tabela ao lado,
denominada tabela-verdade da proposição ~ p.
PROPOSiÇÃO COMPOSTA - CONECTIVOS
A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante
o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo 1\ (lê-se:
e) e o conectivo V (lê-se: ou).
p: ;z.C(}
-p: Zrj.O
4.
Para que ~p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de
classificá-Ia em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar)
o segu inte cri tér io de classificação:
5.
Conectivo 1\
Colocando o conectivo 1\ entre duas proposlçoes p e q, obtemos uma
nova proposição, p 1\ q, denominada conjunção das sentenças p e q.
Exemplos
10)
p
~p
V
F
F
V
Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que
no exemplo d e ~p é falsa nos demais.
~p
2?)
é verdadeira
2> O
p: -2 < -1
q: (_2)2 < (_1)2
p 1\ q: -2 < -1 e
(_2)2
< (_1)2
p: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a
q: um quadrado de lado a tem área a2
p 1\ q: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e
área
a2 •
4?)
EXERCICIOS
p: 2 I 5 (2 é divisor de 5)
q: 315 (3 é divisor de 5)
p 1\ q: 215 e 315 (2 e 3 são divisores de 5).
Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições quais são
verdadeiras?
ai 5' 4 o 20
cI 2+7,305,4+3
el 1 + 3
91 3 + 4
2-A
p:
q: 2"* 1
p 1\ q: 2 > O e 2"* 1
3?)
A.l
V2 <1
hl 317
Exemplos
a)
"* 5
ai 3 • 7 = 21
"*> O1 + 6
bl 5 - 4 o 3
di 5(3 + 1 I o 5 • 3 + 5 • 1
fi (-2)S;;;' 1_21 3
h)11-4'2
6.
Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (Vou F)
de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições
p e q:
3-A
A conjunçio P Â q é verdadeira sap e q são ambas
verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p  q
é falsa.
8.
Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (Vou F) de uma
disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:
A disjunção P Y q é verdadeira se ao menos urna das pro·
verdadeira; se p e q são ambas falo
posições p ou q
sas, então p y q é falsa.
e
Este critério está resumido na
tabela ao lado, onde são e~aminadas
todas as possibilidades para p e q.
Esta tabela é denominada tabela-verdade da proposição p  q.
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
PÂq
F
Este critério está resumido na
tabela ao lado, denominada tabela·
-verdade da proposição p Y q.
Reexaminando os exemplos anteriores, temos:
1~)
2~)
3~)
4~)
p é V
p é V
p é F
pé F
e q é V,
e q é F,
e q é V,
e q é F,
então pÂq é V
então PÂq é F
então pÂq é F
então pÂq é F
1~)
4~)
1~)
I
>
p Y q: 5 > O ou
5> 1
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:
a) 3> 1 e 4> 2
b) 3> 1 ou 3 = 1
c) 2 4 ou 2 (4 + 1)
p: 5> O
q: 5
1
V
V
EXERCICIO
A.3
Exemplos
Pyq
p é V e q é V, então Pyq é V
p é V e q é F, então pyq é V
p é F e q é V, então pyq é V
p é F e q é F, então p yq é F
2~)
Conectivo Y
Colocando o conectivo Y entre duas proposições p e q, obtemos uma
nova proposição, p y q, denominada disjunção das sentenças p e q.
q
Revendo os exemplos anteriores, temos:
3~)
7.
p
I
d) 3(5 + 2) = 3 • 5 + 3 • 2
e
3 I7
< ~4 ou 5111
2
t) (_1)6 = -1 e 2 s < (_2)7
e).!.
~)
4-A
p: 3 = 3
q: 3 < 3
p V q: 3';;; 3
g) ...,riS = 6 ou
mdc (4, 7) = 2
:1,»
p: 10 é número primo
q: 10 é número composto
p y q: 10 é número primo ou número composto
IV. CONDICIONAIS
4~)
p: ~
q: 22
< 26
< (_3)s
p V q: 3 4 < 26 ou 22 < (_3)s
Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposlçoes
através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:
o condicional se ... então ... (símbolo: -+) e o condicional ... se e somente se ...
(símbolo: +-+)
5-A
9.
Condicional
_
11.
Colocando o condicional -+ entre duas proposições p e q, obtemos
uma nova proposlçao, p -+ q, que se lê: "se p então q", "p é condição
necessária para q", "q é condição suficiente para p".
Exemplos
1?)
p: 10 = 5 • 2
q: 3110
p -+ q: 10 = 5·2 -+ 3110
3?l
p: 5 < 2
q: 2 E Z
p -+ q: 5 < 2 -+ 2 E Z.
l?l
p: 2112
q: 2.7112· 7
p<--+q: 2112<--+2.7112·7
2?l
p:
-ª-2 = 64
q:
3·4
p <--+ q:
p: 7';;; 3
q: 3 = 6·2
p -+ q:
Colocando o condicional *---+ entre duas proposições p e q, obtemos
uma nova proposição, p <--+ q, que se lê: "p se e somente se q", "p é condição necessária e suficiente para q", "q é condição necessária e suficiente
para p" ou "se p então q e reciprocamente".
Exemplos
p: 214
q: 4112
p -+ q: 2 I 4 -+ 4 I 12
2?)
4?l
Condicional *---+
3?l
7';;; 3 -+ 3 = 6·2
4?l
o condicional
p -+ q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p -+ q é verdadeiro.
Este critério está resumido na
tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição p -+ q
p
q
p-+q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
6-A
e q é V,
e q é F,
e q é V,
e q é F,
então
então
então
então
p: 6 = 12: 3
3· 6 = 18
p <--+ q: 6 = 12: 3 <--+ 3·6 = 18
p -+ q
p-+q
p -+ q
p-+q
F
p: 4';;; 3
q: 4·5';;; 3·5
p <--+ q: 4';;; 3 <--+ 4 . 5 O;;; 3· 5
12. Vamos postular para o condicional
sificação:
é
é
é
é
V
F
V
V
p <--+ q o seguinte critério de clas-
o condicional +---> é verdadeiro somente quando
p e
q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer o condicional +---> é falso.
Assim, a tabela-verdade da proposição p +---> q é a que está ao lado.
Revendo os exemplos dados, temos:
p é V
pé V
pé F
pé F
2" = 4"
q:
10. Vamos postular um critério de classificação para a proposição p -+ q
baseado nos valores lógicos de p e q:
1?)
2?)
3?)
4?)
*3 6· 26
p
q
p <--+ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
7-A
Revendo os exemplos dados, temos:
1?)
2?)
3~)
4?)
p é
pé
p é
p é
V e
V e
F
F
q é V,
q é F,
e q é V,
e q é F,
então
então
então
então
p <-> q é
p <-> q é
p <-> q é
p <-> q é
Exemplos
V
F
F
V
EXERCICIOS
A.4
Classificar em verdadeira ou falsa cada Uma das proposições abaixo
a) 2 - 1 ~ 1 -->- 5 + 7 = 3 • 4
b) 22 = 4 <-> (_2)2 = 4
c) 5 + 7 • 1 = 10 -->- 3·3 = 9
d) mdc (3, 6) = 1 <-> 4 é nÚmero primo
e) 2 18 -->- mmc (2. 8) ~ 2
f) 6';;; 2 <-> 6 - 2 ;;;. O
< ~7 -->- 3' 7 = 2 • 5
5
1'?)
(p 1\ ~p) -->- (q V p) é ';Ima tautologia pois
p
q
~p
p 1\ ~p
qV p
(p 1\ -p) -+- (q V f)}
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V:
F
F
F
F
F
F
F
V.
V.
Admitifldo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (Vou F)
de cada proposição abaixo.
a) p -->- r
b) p <-> q
c) r -->- p
d) (p V rl <-> q
el p -->- (q -->- ri
f)p-->-(qVrl
g) -p <->-q
h) ~p <-> r
V
V
F
2?)
~ (p 1\ q)
p
q
pl\q
~(pl\q).
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
g) 1.
A.5
F
F
F
VI.
V
F
<-> (-p V -q)
V'
V
é uma tautologia pois
~(p I\q)+-+
~p
-q
~pV~q
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
(_pV _q)
.....
V
PROPOSiÇÕES LOGICAMENTE FALSAS
14. Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... L mediante
emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (-) ou de condicionais
(-->- ou <-». Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quando
f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de
p, q, etc.
Assim, a tabela-verdade de uma proposição logicamente falsa f apresenta
só F na coluna de f.
TAUTOLOGIAS
Exemplos
13. Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... ), mediante
emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (_) ou de condicionais
(-->- ou +-».
Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente
verdadeira .quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos
valores lógicos de p, q, etc.
-
Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só
de v.
8-A
V na coluna
1?)
p 1\ ~p
é proposição logicamente falsa pois:
p
-p
p I\-p
V
F
F
V
F
F
9-A
2<:')
(pV~q)+-->(~p/\q)
VIII. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
p
q
~p
~q
p V~q
~p/\ q
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
(p V ~q)+--> (~p /\ q)
F
F
F
F
18.
Dadas as proposições p e q, dizemos que "p é equivalente a q" quando
p e q têm tabelas·verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o
mesmo valor lógico.
Ouando p é equivalente a q, indicamos:
19.
Observações
1 a ) Notemos que
é verdadeiro.
VII. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO
2~)
15. Dadas as proposições p e q, dizemos que
p implica q" quando na
tabela de p e q não ocorre VF em nenhuma linha, isto é, quando não
temos simultaneamente p verdadeira e q falsa.
Ouando p implica q,
16.
indicamos
equivale a
q
quando o condicional
p <-+ q
Exemplos
p ""' q.
1~)
Notemos que p implica q quando o condicional p -+ q é verdadeiro.
2~)
Todo teorema é uma implicação da forma
""'
tese
855jm dewgpstrft[ 11 m tegrema significa mgsTra' Que 030 PEque 9 GaBO da
hipótese ser verdadeira e a tese falsa.
-+ ~p
p
q
p-+q
~q
~p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
~q
I
2<:') 2 I 8 <=> mdc (2, 8) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bi·
condicional "2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de
2 e 8 é 2".
Exemplos
10 1 2 I 4 ""' 2 I 4 • 5
significa dizer que o condicional
4 . 5" é verdadeiro.
EXERCICIO
"se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de
2<:') p té pOSitiVO e primo ""' mdc (p, p2) = P
quer dizer que o condicional "se p é número primo e positivo, então o máximo
divisor comum de p e p2 é p", é verdadeiro.
10-A
p
Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência
hipótese <=> tese
Observações
hipótese
17.
20.
p <=> q.
A.6
Verificar, através das tabelas-verdades, a valid3de das equivalências abaixo:
a) da conjunção
p/\q <=> q/\p
(p /\ q) /\ r <=> p /\ (q /\ r)
p/\p<=>p
p/\v <=>p
p/\I<=>f
b) da disjunção
pVq <=>qV p
(p V q) V r <=> p V (q V rl
pVP<=>P
P Vv <=>v
P VI <=>p
ll-A
c)
da conjunção relativamente à disjunção
p /\ (q V
=
=
=
=
rl
p V (q /\ r)
p/\(pVq)
p V (p /\ q)
onde
p, q, r
(p/\q) V (p/\ rl
(p V
p
ql /\ (p V
rl
d) da negação
~(~p)
=
~(p /\ q)
~(p Vq)
p
são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f
Exemplos
p
=
=
~pV ~q
~p/\ ~q
uma proposição
logicamente falsa.
IX. SENTENÇAS ABERTAS, QUANTI FICADORES
1l?) (V xlix + 1 = 7) que se lê:
"qualquer que seja o número x, temos x + 1
3 0 ) (Va) ((a + 1)z = a 2 + 2a + 1) que se lê:
"qualquer que seja o número a, temos (a + 1)z = a Z + 2a + 1".
que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do
valor atribuldo à variável.
Nos exemplos citados temos:
a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro
valor dado a x;
b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para
c) x 3 = 2x z é verdadeira se trocarmos x por O (0 3 = 2 • OZ) ou 2 (2 3 = 2 • 2 z )
e é falsa para qualquer outro valor dado a x.
22. Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou
sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico
(Vou F)
(Verdadeira)
la)
2a )
24.
O quantificador existencial
o quantificador existencial é indicado pelo slmbolo 3
"existe pelo menos um", "existe um".
que se lê: "existe",
Exemplos
1l?) (3 xlIx + 1 = 7) que se lê:
"existe um número x tal que x + 1 = 7".
(Verdadeira)
(3 x)(x = 2x z ) que se lê:
3
2l?)
"existe um número x tal que x 3 = 2x z".
(Verdadeira)
(3a)(a z + 1 ~ O)
3l?)
que se lê:
"existe um número a tal que a Z + 1 é não positivo". (Falsa).
Z
4l?) (31m) (m(m + 1)
m + m) que se lê:
Z
"existe pelo menos um número m tal que mIm + 1) i m + m". (Falsa)
*'
é discutível, dependem do valor dado às variáveis.
Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentel)ças abertas em pro·
posições:
atribuir valor às variáveis
utilizar quantificadores.
o quantificador universal
o quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em
proposições, é indicado pelo símbolo V que se lê: "qualquer que seja", "para
todo", "para cada"\
12-A
(Verdadeira)
Há expressões como:
a) x + 1 = 7
b) x> 2
c) x 3 = 2x z
23.
(Falsa)
2l?) (Vx)(x 3 = 2x z ) que se lê:
"para todo número x, x 3 = 2x z ". (Falsa)
4 0 ) (Vy)(yZ + 1 > O) que se lê:
"para todo número y, temos yZ + 1 positivo".
21.
7".
25. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ::J I
"existe um único, "existe um e um só", "existe só um".
que se lê:
Exemplos
1l?) (3Ix)(x + 1 = 7)
ex iste um só número
lI
que se lê:
x tal que x +
7".
(Verdadeira)
2l?) (3Ix)(x 3 = 2x z ) que se lê:
"existe um só número x tal que x 3 = 2x z "
(Falsa)
3l?) L3Ix)(x + 2 > 3)
"existe um só número
(Falsa)
que se lê:
x tal que x + 2 > 3".
13-A
EXERCíCIO
Exemplos
A.7
1?)
p: O triângulo ABC é isósceles
q: o triângulo ABC é equilátero
p V q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero
-(p V q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero
2?)
a = O
b= O
P V q: a = O ou b = O
-(p V q): a", O e b '" O
Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores:
2
2
b) (a + 1)(a - 11 = a - 1
ai x - 5x + 4 = O
di
c).::L + .::L '" .::L
3
4
e) -(-x)
= x
g)
X.
7
y;;r + 9 '" m + 3
1)5a+4';;11
H= x
h) a
2
- a
a
=a _ 1
COMO NEGAR PROPOSiÇÕES
Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, no item II deste
capítulo.
28.
Negação de um condicional simples
de
Já que -(p -+ q) <= P 1\ -q,
p -+ q é a proposição p 1\ -q.
Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício A.6, os quais constituem processos para negar proposições compostas e condicionais.
Negação de uma conjunção
Tendo em vista que ~ (p 1\ q) <= -p V -q,
a negação de p 1\ q é a proposição -p V -q.
podemos estabelecer que
2<:»
Exemplos
1?)
2<:»
a '" O
q: b'" O
p 1\ q: a '" O e
-(pl\q): a=O
p:
52 = (_5)2
q:
5 = -5
p -+ q:
p:
b '" O
ou,b=O
29.
52 = (_5)2 -+ 5 = -5
52 = (_5)2 e 5"'-5
Negação de proposições quantificadas
a) Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo
é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e
nega-se p(x), obtendo: (3x)(-p(x)).
p: 2 1 4
q: 319
p 1\ q: 214 e 319
~(p 1\ q): 2A' 4 ou 3A'9
(\fx)(p(x)),
Exemplos
Negação de uma disjunção
Tendo em vista que - (p V q) <= (-p f\ - q).
que a negação de p V q é a proposição - p 1\ - q.
14-A
p: 2 E ;Z
q: 2 E O
p -+ q: 2 E;Z -+ 2 E O
_(p-+q):2EZ e 2f:-0
-(p -+ q):
1?)
27.
podemos estabelecer que a negação
Exemplos
1<:»
26.
p:
q:
podemos estabelecer
2?)
sentença:
negação:
(\fx)(x + 3 = 5)
sentença:
negação:
(\fx)(x(x + 1) = x 2 + x)
(3 x)(x + 3 '" 5)
(3x)(x(x + 1) '" x 2 + x)
15-A
3'?)
sentença:
negação:
(Vx)(~ = x + 1)
(3X)(~ =1= x + 1)
4'?)
sentença:
negação:
Todo losango é um quadrado
Existe um losango que não é quadrado
b) Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo
( 3x)(p(x)),
é negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e
nega-se p(x), obtendo: (Vx)(-p(x)).
Exemplos
1 '?)
sentença:
negação:
(3 x)(x = x)
(Vx)(x =1= x)
2'?)
sentença:
(3 a)(a + 1 ;;;. .1.)
2
3
negação: .
(va)(a + ..!... < .1.)
2
3
sentença:
(3a)(..!... E iR)
negação:
(va)(..!... fJ. IR)
a
3'?)
a
EXERCICIO
A.S
Dizer qual é a negação de cada proposição abaixo:
a) rode (2, 3) = 1
b) ~ =
5
e) ~
7
~ ou 3· 10 =1= 6 • 5
10
;;;. 1
e
2
d) 2 = 4 ....
e)
mme (2, 3) =1= 6
ou
-3;;;' - 7
v'4 = 2
(_3)2 = 9 ....
Y9 =1= -3
2';;;; 5 .... 32 ,;;;; 52
x
g) IVx)(x
2 .... 3
t)
>
h) (3 x)(...tx"
> 32 )
<O
i) Todo número inteiro primo é Impar
Todo triângulo isósceles é equilétero
k) Existe um losango que não é quadrado
j)
Existe um número cuja raiz quadrada é zero
m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes, tem três lados congruentes
I)
A.9
16-A
Classificar em V ou
F as ne9;:ões constru (das no exerc(cio anterior.
Criado um novo paraíso
Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a
maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência
judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da
Teologia medieval.
Estudou em Zürich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia,
FIsica e Matemática.
Possuindo grande imaginação, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim,
com uma tese sobre Teoria dos Números.
Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia de
"infinito", que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemática mas sem se chegar a uma conclusão precisa.
Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo
que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia' reconhecido a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeu
que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos
conforme suas potências.
Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m~ma potência
que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca;
provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a potência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência
do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário.
Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o própio Cantor, certa vez
escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seu
amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida. de profundos efeitos no ensino.
Os matemáticos da época duvidavam
da teoria da infinidade completa de Cantor,
mas este, juntando as provas, construiu
toda uma aritmética transfinita.
Cantor passou a maior parte de sua
carreira na Universidade de Halle, de pouca
importância, nunca conseguindo realizar
uma de suas grandes aspirações que era a
de ser professor na Universidade de Berlim,
devido à perseguição de Kronecker.
Georg F. L. P. Cantor
(1845 - 1918)
o reconhecimento de suas real izações
mereceram a exclamação de Hilbert: "Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor
criou para nós".
CAPITULO II
CONJUNTOS
Faremos aqui uma revlsao das principais noções da teoria dos conjuntos,
naquilo que importa à Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas noções
para apresentar os principais conjuntos de números.
I.
CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA
30. Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é,
são consideradas noções primitivas:
t
a) conjunto
b) elemento
c) pertinência entre elemento e conjunto
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na
linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eis
alguns exemplos:
1) conjunto das vogais
2) conjunto dos algarismos romanos
3) conjunto dos
nú.meros ímpares positivos
4) conjunto dos planetas do sistema solar
5) conjunto dos
números primos positivos
6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho
7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado
elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:
1) a, e, i, o, u
2) I, V, X, L, C, D, M
3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte,
5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
6) paus, ouro, copas, espada
7) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro
19-A
No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números
ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto
dos números ímpares e 2 não pertence.
33. Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos devemos
indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.
Exemplos
1) conjunto das vogais
Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome,
etc. é importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Por "exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial
de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos
de jogadores.
31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C, ...
e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y, ....
{a, e, i, o, u}
2) conjunto dos algarismos romanos
{I, V, X, L, C, O, M}
3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias
{janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}
Esta notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos
alguns elementos que evidenciem a lei de formação e em seguida colocamos
reticências.
Exemplos
Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto
A, escrevemos
1) conjunto dos números ímpares positivos
xEA
{1, 3, 5, 7, 9,11, 13, ... }
2) conjunto dos números primos positivos
Para indicar que x não é elemento do conjunto A escrevemos
x ri. A
{2, 3, 5, 7, 11, 13, ... }
3) conjunto dos múltiplos inteiros de 3
32. É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha
fechada e não entrelaçada. Assim, na
representação ao lado temos:
{O, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ... }
A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com
grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos reticências e indicamos o último elemento.
a E A, b E A e d 1= A.
Exemplos
No caso de usarmos um círculo
para representar um conjunto, estaremos
usando os assim chamado diagrama de
Euler-Venn.
C)
1) conjunto dos números inteiros de O a 500
a•.•••• A
.
{O, 1, 2, 3, ... , SOO}
.• c
·b
2) conjunto dos divisores positivos de 100
{1, 2, 5, 10, ... , 100}
.d
11.
DESCRiÇÃO DE UM CONJUNTO
34.
Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda-
de característica P de seus elementos x, escrevemos
Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus
elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou
damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto.
2o-A
A = {x I x tem a propriedade P}
e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P".
21-A
IV. CONJUNTO - UNIVERSO
Exemplos
1) {x I x
o conjunto:
é estado da região sul do Brasi I} é uma maneira de indicar
{Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}
2) {x I x
é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto:
{1. -1, 3, -3}
3) {x I x é inteiro
e O.,;; x .,;; 500}
pode também ser indicado por:
{o, 1,2,3, .. ,' 500}
37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos
a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados
no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.
Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto·
universo é
IR
(conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um
problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universo
é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema de
Geometria Plana, nosso conjunto-universo é um certo plano a,
38.
Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo U
em que estamos trabalhando. Consideremos a questão: "qual é o conjunto dos
pontos P que ficam a igual distância de dois pontos dados A e B, sendo
A i' B?"
111. CONJUNTO UNITÃRIO. CONJUNTO VAZIO
35.
Definição
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.
1) Se U é a reta AB, o conjunto procurado é formado só por P;
A
•
p
B
~I
•
•
Exemplos
1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos:
{ 1}
3x + 1 = 10:
{3}
2) conjunto das soluções da equação
3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai:
{Rio Grande do Sul}
36.
,
Definição
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum, O símbolo
usual para o conjunto vazio é 0.
p
2) Se U é um plano contendo
A e B, o conjunto procurado é a
reta mediatriz do segmento AB;
B
A
3) Se U é o espaço, o conjunto
procurado é o plano mediador do segmenAB (plano perpendicular a AB
to
no seu ponto médio)..
Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto através de
'Ima propriedade P logicamente falsa.
39.
Exemplos
1){xlxi'x}=0
2) {x I x é ímpar e múltiplo de 2}
3) {x I x > O e x < O} = 0
22-A
Portanto, quando vamos descrever um conjunto A através de uma
propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto-universo U em que estamos
trabalhando, escrevendo
A = {x E U I x tem a propriedade p}
23-A
EXERCfclOS
A.l0 Dê os elementos dos seguintes conjuntos:
A = {x I x é letra da palavra "matemática"}
B = {x I x é cor da bandeira brasileira}
C = {x I x é nome de estado que começa com "a"}
Solução
V.
CONJUNTOS IGUAIS
40.
Definição
A ~ {m, a, t, e, i, c}
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence
a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:
B = {branco, azul, amarelo, verde}
C = {amazonas, amapá, acre, alagoas}
A.ll
Descreva através de uma propriedade caracter(stica dos elementos cada um dos
conjuntos seguintes:
A
B _
('v'x)(x EA
=
X
E B)
A ~ {O, 2, 4. 6, 8, ... }
B = {O, 1, 2, ''', 9}
C = {brasllia, rio de janeiro, salvador}
Exemplos
Solução
1) {a, b, c, d} = {d, c, b, a}
A = {x I x
é inteiro, par e não negativo}
B = {x I x é algarismo arábico}
C ~ {x I x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}
A.12
A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos
A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6}
B = {O, -10, -20, -30, -40, ... }
C = {I, 4, 9,16,25,36, ... }
O ~ {Lua}
A.14 Ouais dos conjuntos abaixo são unitários?
A = {x I x
< ~4 e x > ~5 }
C = {x I x é inteiro
é inteiro, positivo e ímpar}
3) {x I 2x + 1 = 5} = {2}
Escreva com srmbolos:
aI conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10
b) conjunto dos divisores inteiros de 42
c) conjunto dos múltiplos inteiros de O
d) conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre O e 3
el conjunto dos nomes das capitais da região centro-oeste do Brasil
e x' = 3}
A.15 Ouais dos conjuntos abaixo são vazios?
A = {xlo-x ~ O}
B ~ {x I x
> ~4 e x < ~5 }
C = {x Ix
é divisor de zero}
O = {x I x é divisrvel por zero}
24-A
2) {l, 3, 5, 7, 9, ... } = {x I x
B = {x I O - x = 2}
Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém
a noção de ordem entre os elementos, portanto:
{a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d}
Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um
conjunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo:
{a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d}
(para conferir basta usar a definição). Assim, preferimos sempre a notação mais
simples.
O = {x 12x + 1 = 7}
Se A não é igual a B, escrevemos A"* B. ~ evidente que A é diferente de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B
um elemento não pertenctlnte a A.
41.
Exemplo
{a, b, d} "* {a, b, c, d}
25-A
44.
VI. SUBCONJUNTO
Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:
A = B
42.
Nesta definição está expl ícito que todo elemento de A é elemento de
A C B e B C A, portanto, podemos escrever:
Definição
B e vice-versa, isto é,
A = B
Um conjunto A é subconjunto
de um conjunto B se, e somente se,
todo elemento de A pertence também
a B.
45.
Com a notação A C B indicamos
que "A é subconjunto de B" ou "A
está contido em B" ou "A é parte de B".
o símbolo C
é denominado sinal de inclusão.
Propriedades da inclusão
1~)
iz5 C A
2~)
A C A (reflexiva)
(A C B e B C A) => A = B (anti-simétrica)
(A C B e B C C) => A C C (transitiva)
3~)
4~)
A demonstração dessas propriedades é imediata com exceção da 1~ que
passamos a provar. Para todo x, a implicação
A C B -= (\fx)(x E A => X E BI
xEgJ=>XEA
é verdadeira pois x E g! é falsa. Então, por definição de subconjunto,
Exemplos
1) {a, b} C {a, b, c, d}
2) {a} C {a, b}
3) {a, b} C {a, b}
46.
é inteiro e par} C {x I x é inteiro}
Conjunto das partes
&(A) = {X I X C A}
Exemplos
1?)
Com a notação A '1- B indicamos
que "A não está contido em B", isto
é, a negação de A C B.
É evidente que A '7'- B somente
se existe ao menos um elemento de A
que não pertence a B.
Assim, por exemplo, temos:
0 C A.
Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - notação
&(A) - aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos:
43. Quando A C B, também podemos
escrever B:J A que se lê "B contém A".
Se
A = {a} os elementos de![J(A) são
°
e {a}, isto é:
&(A) = {g!, {a}}
2?)
88
A
1) {a, b, c} '7'- {b, c, d, e}
2) {a, b} çz' {c, d, e}
3) {x I x é intei ro e par} '7'- {)( I x é inteiro e primo}
26-A
-= (A C B e B C A).
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:
Em símbolos, a definição fica assim:
4) {x I x
-= (\f x)(x E A -= x E B)
rj. B
Se
A = {a, b} os elementos de fJ(A) são 0, {a}, {b}
e {a, b},
isto é:
fJ(A) = {g!, {a}, {b}, {a, b}}
3?) Se A = {a, b, c} os elementos defJ(A) são 0, {a}, {b}, {c},
{a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto é:
r[iJ(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}! {a, b, c}}
Provaremos mais adiante (capítulo 111) que se A é um conjunto finito
com n elementos, então fJ(A) tem 2" elementos.
27-A
EXERCI'CIOS
VII. REUNIÃO DE CONJUNTOS
A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se:
a) escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças:
1~)
3~)
5~)
2~)
3 li elemento de A
B li parte de A
4 pertence a B
4~)
não está em B
B é igual a A
47.
Definição
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
I
b) classificar as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.
Solução
,a)
O conjunto
3 E A
(V)
2a)
1 ri S
(VI
3~1
B C A
(V)
4~1
B = A
4 E B
(F)
(V)
5~)
o = t 1, 2, 3, 4}. classificar em
cada sentença abaixo e justificar:
A C O
b) A C B
c)
d) O :) B
e) C = O
fi A ri- C
a)
A.18 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
A.19 Dizer se é verdadeira (VI ou falsa (FI cada uma das sentenças abaixo.
A.21
28-A
r-----------------,
f I a E {a, {a}}
gl {a} C {a,~a}}
h) \2> C {O, {a}}
i) çDE{O,{a}}
j) {a, b} E {a, b, c, d}
Fazer um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são conjun-
O C C C B C A.
Construir o conjunto das partes do conjunto
ou
x E B.
Exemplos
48.
ai la, a, a, b, b} = {a, b}
b) {x I x2 = 4} = {x I x "'" O e x3 - 4x = O}
cl {x 12x + 7 = 11} = {2}
d)',xlx<o e x;;'O}=r/J
a) O E{O, 1, 2, 3, 4}
bl \a}E{a,b}
cl \2> E {O}
di O E</;
el la} C</;
x E A
1) {a, b} U {c, d} = {a, b, c, d}
2) {a, b} U {a, b, c, d} = La, b, c, d}
3) {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e}
4) ia, b, c} U ~ = {a, b, c}
5) r/J U r/J = </;
ai V pois 1 E A, , E O, 2 E A e 2Eo
b) F pois lEA e ,ris
c) F pois 2EB e 2 ri C
. di V pois 2 E B, 2 E O, 3 E B e 3 E O
el F POIS 2EO e 2~C
fi V pois 2EA e 2riC
tos não vazios,
(lê-se "A
Notemos que x é elemento de
A U B se ocorrer ao menos uma das
condições seguintes:
B C C
Solução
A.20
A U B
reunlao B" ou "A u B") é formado
pelos elementos que pertencem a pelo
menos um dos conjuntos A e B.
A.17 Sendo A={1,2},B=c2,3}.C=',1,3,4} e
V ou F
A U B = {x I x E A ou x E B}
A == {a, b, c, d}.
®o
Propriedades da reunião
Sendo A,
1~)
2a )
3~)
4~)
B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
A U A = A (idempotente)
A U r/J = A (elemento neutro)
A U B = B U A (comutativa)
(A U B) U C = A U (B U C) (associativa)
Demonstração
Fazendo A = {x I x tem a propriedade p} ou, simplesmente
A=',xip(x)} e,ainda: B={xlq(x)},C={xlr(x)} e r/J={xlf(x)}
onde f é proposição logicamente falsa, temos:
AUA={xlp(x)
ou
p(x)}={xlp(x)}=A
Analogamente, as demais decorrem das propriedades das proposições vistas
no exercício A.6.
29-A
51.
VIII. INTERSECÇÃO DI: CONJUNTOS
49.
Definição
Coniuntgs djsjuntr
Quando A n B = 0, isto é, quando os conjuntos A e B
elemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos.
não têm
IX. PROPRIEDADES
Dados dois conjuntos A e B, chama·se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades,
que inter-relacionam a reunião e a intersecção de conjuntos:
A n B = {x I x EA
e x E B}
1~)
2~)
o conjunto
3~)
n B
(Iê-se" A
inter B") é formado pelos elementos
que pertencem aos dois conjuntos (A e
B)
A
(distributiva da reunião em relação à intersecção)
4~)
simultaneamente.
1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c}
2) {a, b} n {a, b, c, d} = {a, b}
3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c}
4) {a, b} n {c, d} = 0
5) {a, b} n 0 = íZ5
A n (B U C) = IA n B) U (A n C)
(distributiva da intersecção em relação à reunião).
Se x E A n B, isto significa
que x pertence a A e também x
pertence a B. O conectivo e colocado
entre duas condições significa que elas
devem ser obedecidas ao mesmo tempo.
Exemplos
A U (A n B) = A
A n (A U B) = A
A U (B n C) = (A U B) n (A U C)
Demonstremos, por exemplo, a H e a 3~:
A U (A n B) = {x I p(x) V (p{x) 1\ q(x))} = {x I (p(x))} = A
A U (B n C) = {x I p{x) V (q(x) 1\ r(x))} = {x I (p{x) V q{x)) 1\ (p(x) V r{x))} =
= {x I p{x) Vq(x)} n {x I p{x) V r(x)} = (A U B) n (A U C)
00
EXERCICIOS
A.22 Dados os conjuntos A = {a. b. c}. B = {c. d} e
A U C. B U C e A U B U C.
A.23 Provar que
C = {c. e}. determinar A U B.
A C IA U B). "I A.
Solução
50.
Propriedades da intersecção
Sendo A,
1~)
2~)
3~)
4~)
B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
A n A = A
(idempotente)
A n U = A (elemento neutro)
A n B = B n A (comutativa)
A n (B n C) = (A n B) n C (associativa)
Como mostramos para a operação de reunião, estas propriedades são também
demonstráveis com aux(ljo do exercício A.5.
3O-A
x E A => x E A ou x E B
I! uma implicação verdadeira, "I x.
portanto:
A C
(A U B)
A.24 Classificar em V ou F:
a)
0 C IA U BI
bl IA U B) C A
c)
A E IA U B)
d) IA U B) C IA U BI
f) (A U B) C (A U B U C)
e) B C IA U B)
admitindo que A. B e C são conjuntos quaisquer.
A.25 Determinar a reunião dos circulas de raio r. contidos num plano
um ponto comum O E a.
a e que têm
31-A
A.26
Determinar a reunião das retas de um plano
r de Q.
A.27
Dados os conjuntos A = {a. b o c. d}o B = {b. Co do e} e
descrever A () B o A () C. B () C e A () B () C.
Q
que são paralelas a uma dada reta
C = {co e o f},
=
(x E A
e
é uma implicação verdadeira,
x E B)
=
53.
Definição
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A
que não pertencem a B.
Solução
x E (A () B)
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
pede-se
(A () B) C Ao 'ri A.
A.28 Provar que
X.
x E A
'ri X o portanto (A () B) C A.
A.29 Classificar em V ou F
a)
o (A ()
C
bl A C (A () B)
B)
Exemplos·
c) A E (A () BI
d) (A () B) C (A () B)
e) (A () B) C B
f)
1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a}
(A () B) :) (A () B () C)
2) {a. b, c} - {b, c} = {a}
Ao B e C são conjuntos quaisquer.
admitindo que
@
A - B = {x I x E A e x1=- B}
00
@
3) {a, b} - {c, d, e. f} = {a, b}
A.30
Consideremos os conjuntos:
4) {a, b} - {a, b, c, d, e} =
K = conjunto dos quadriláteros planos
P = {x E K I x tem lados 2 a 2 paralelos}
L = {x E K I x tem 4 lados congruentes}
R = {x E K I x tem 4 ângulos retos}
Q = {x E K I x tem 2 lados paralelos e 2 ângulos retos}
0
XI. COMPLEMENTAR DE B EM A
Pede-se determinar os conjuntos:
a) L () P
b) R () P
A.31
c) L () R
d) Q () R
54.
e) L () Q
f) pU Q
Dados os conjuntos A = {lo 2. 3}. B = {3 o 4} e C = {lo 2. 4}o
o conjunto X tal que X U B = A U C e X () B =
0.
determinar
Solução
ai X U B = {1. 2 3. 4} então os posslveis elementos de X são:
0
b) X () B =
Conclusão
A.32
0 "* 3 fÍ. X e 4 ri:. X
X = {1. 2}
Determinar o conjunto
X
1, 2, 3 e 4.
Definição
Dados dois conjuntos A e B, tais
que B C A, chama-se complementar de
8 em relação a A o conjunto A - B,
isto é, o conjunto dos elementos de A
que não pertencem a jB.
Com o símbolo
C~ ou A
tal que
indicamos o complementar de B em relação a A.
{ao b, Co d} U X = {a, b, Co d, e}o {c, d} U X = {a, c, d, e} e
{b. Co d} () X = {c}.
Notemos que
C~
só é definido para
B C A
e aí temos:
A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um de
cada vez, os seguintes conjuntos:
a)
A () B () C
b) A () (B U C)
32-A
c) A U (B () C)
d) A U B U C
33-A
A.35 Provar que
Exemplos
A = {a, b, c, d, e}
1) Se
B = {c, d, e},
e
Solução
então:
C~ = {a, b}
A = {a, b, c, d}
2) Se
B,
A = {a, b, c, d}
B =
>t
>t, então:
C
e
subconjuntos de
H)
C~ n B = 0
2~)
C~
0
3\1)
CAl
C~)
4\1)
C~
n CI
C~ U
C;
5~)
C~ U CI
C~ n
C;
A,
valem as seguintes propriedades:
Dados os conjuntos A ~ {l, 2, 3, 4, 5},
obter um conjunto X tal que X C A e
B = {l, 2, 4,6, a}
A - X = B n C.
e
C = {2, 4, 5, 7},
A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de
\ cada vez, os seguintes conjuntos:
C~ U B = A
e
A
admitindo que A e B são conjuntos quaisquer.
A.37
B
=>x E A
bl (A - B) U (A n B)
di (A-BI C (A U BI
ai (A - BI ..:)
cl (A- B) C B
Propriedades da complementação
Sendo
x ~ BI
A.36 Classificar em V ou F as sentenças:
C~ = {a, b, c, d} = A
55.
e
é verdadeira para todo x, então (A - BI C A.
então:
e
x E (A-B) ='(x E A
A implicação
C~ = 0
3) Se
(A - B) C A, V A.
u
ai à - B
bl à - A U B
c) li" UA
d) A U B
eC~ = A
n
e) A
B
f) li" nA
B
•
A.39 Provar que A - a = A n B onde A e B são conjuntos quaisquer do universo U.
Solução
A implicação
Provemos, por exemplo, a 2\1 e a 4\1:
x E (A - a) =
===> )( E A n
C~ = {x E A I x ~ A} = 0
CP {x E A I x ~ 0}
=
C ~ n C)
x ~ ai =
x E A e x E a ==>
portanto, está provado.
A.40 Classificar em V ou F as segu intes sentenças:
=
a) (A - BI U (B - A) = (A U BI - (A n B)
b) A C B =
( C BI C ( CAI
cl (A - B) C ( C AI
d) (A-BI C ( CBI
A
= {x E A I x ~ B n C} = {x E A I x ~ B
= {x
(x E A e
a é verdadeira, V x,
ou
x ~ C} =
C~ U C;
E A I x ~ B} U {x E A I x ~ C} =
EXERCICIOS SUPLEMENTARES
A.41
EXERCICIOS
A.34 Sejam os conjuntos
A = {a, b, c. d},
B = {c, d. e. f
}
,g
e
C = {b , d ,e. g}.
Determinar:
34-A
n C)
a) A - B
cl C - B
e) A- (B
bl B - A
d) (A U C) - B
f) (AUB)-(AnCI
Descrever os elementos dos canju ntos abaixo:
A = {x I x 2 - 5x - 6 = O}
B = {x I x é letra da palavra "exercício"}
C = {x I x2 - 9 = O ou 2x - 1 = 9}
D = {x I 2x + 1 = O e 2x 2 - x - 1 = O}
E = {x I x é algarismo do número 234543}
35-A
E ~ la, {a}}.
A.42 Seja
Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras.
A.49
a) a E E
b) {a} E E
Dados dois conjuntos
junto A1l8 tal que:
Pede-se:
d) {a} C E
e) 0E E
f) 0 C E
a) determinar
A e 8
b)
cl
d)
e)
dois conjuntos finitos. Provar que
nA U 8" nA + n 8 - nA n 8'
o símbolo
nX
A,8 e C conjuntos finitos, estabelecer uma fórmula para calcular nAU 8 ue·
A.46 Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C.
do mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
Feita uma pesquisa
{a, b, c, d} II {c. d, e, f, g}
provar que A1l0" A, para todo A
provar que AllA"
para todo A
provar que A1l8" 811A, para A e 8 quaisquer
assinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AtJ.8:
rz5,
@oo
representa o número de elementos do conjunto X.
A.44 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 es·
tudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunos
não estudam nenhuma das duas?
A.45 Sendo
chama-se diferença simétrica de A com 8 o con-
A1l8 " (A - 8) U (8 - A)
c) a C E
A.43 Sejam
A e 8,
A.50
Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos
vazios de modo que se tenha
A;Z 8, 8;Z A, C :J IA U 81
marca
A
8
C
Ae8
8ee
eeA
A,8ee
nenhuma das três
número de
consumidores
109
203
162
25
41
28
5
115
e
D C (A n
A, 8, C e D
não
81
Pede-se:
a)
bl
c)
d)
A.47
número de pessoas consultadas
número de pessoas que só consomem a marca
A
número de pessoas que não consomem as marcas A ou C
número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.
Determinar os conjuntos
A, 8 e C
que satisfazem as segu intes seis condições:
1~)
A U 8 U C " {z, x, v, u, t, S, r, q, p}
2 a ) An 8
{r, s}
{s, x}
3a l 8 n C
4~)
5~)
enA
AU C
6 a ) AU 8
{s, t}
{p, q, r, s, t, u, v, x}
{p, q, r, s, t, x, z}
A.4S Em certa comunidade há indivfduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que
70% são brancos e 210% não são pretos e 50% são amarelos, pergunta-se:
a) quantos indiv(duos tem a comunidade?
b) quantos são os indivfduos amarelos?
36-A
37-A
CAPÍTULO III
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
I. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS
56. Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo PlJ - o conjunto formado pelos números O, 1, 2, 3, ...
N = {O, 1,2,3, ...}
57. Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades:
[A.l) associativa da adição
(a + b) + c = a + (b + c)
para todos, a, b, c E PlJ.
[A.2) comutativa da adição
a+b=b+a
para todos
a, b E PlJ.
[A.3) elemento neutro da adição
a + O= a
para todo
a E PlJ
[M.1] associativa da multiplicação
(ab)c = a(bc)
para todos
a, b, c E PlJ
[M.2) comutativa da multiplicação
ab = ba
para todos
a, b E PlJ
39-A
[M.3]elemento neutro da multiplicação
[A,4] simétrico ou oposto para a adição
a•1 =a
para todo
[D]
existe
-a E 1:
tal que
a +. (-a) = O
a E IW
Distributiva da multiplicação relativamente à adição
a(b + c) = ab + ac
para todos
a E Z.
Para todo
Devido à propriedade [A41. podemos definir em 1: a operação de subtração, estabelecendo que a - b = a + (- b) para todos a, b E z..
a, b, c E IW
62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada
através do seguinte procedimento:
58. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são
ampliações de IW, isto é, contêm til, têm uma adição e uma multiplicação com as
propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o
motivo determinante da ampliação.
a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem)
que representa o inteiro O (zero)
o
*"
Assim, dado um natural a
O, o simétrico de a não existe em til:
-a E N. O resultado disso é que o símbolo a - b não tem significado em til
para todos a, b E IW, isto é, em til a subtração não é uma operação. Venceremos
esta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico.
u
11. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
c) para cada inteiro POSitiVO n, a partir de O, marcamos um segmento de
medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um
segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o
inteiro - n.
O resu Itado é este:
59.
b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário
*" O cuja extremidade passará a representar o inteiro 1
I
o
-4
Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o seguinte conjunto:
-3
u
,z = { ••• , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ... }
u
U
..
-2
-1
O
2
3
I
I
I
I
I
u
u
u
u
u
4
I
~
u
63. Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o conceito de divisor.
60.
No conjunto Z. distinguimos três subconjuntos notáveis:
-l+ = {O, 1, 2, 3, ... } = t.I
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b - símbolo a I b - quando
existe um inteiro c tal que ca = b.
(chamado conjunto dos inteiros não negativos)
b)
-l_ = {O, -1, -2, -3, ... }
(chamado conjunto dos inteiros não positivos)
,Z* = { ... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
(chamado conjunto dos inteiros não nulos)
61. No conjunto ,z são definidas também as operações de adição e multiplicação
que apresentam, além de [A1l. [A21. [A3]. [Mll. [M2], [M3] e D, a propriedade:
4O-A
Exemplos
1)
2 I 12
2) 3 I -18
3) -5 I 20
4) -2 I -14
5)
4 I O
6) O I O
pois
pois
pois
pois
pois
pois
6·2=12
(-6) • 3 = -18
(-4) (-5) = 20
7·(-2)
-14
0·4
O
1•O
O
41-A
64. Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a" ou "b é
múltiplo de a".
Para um inteiro a qualquer, indicamos com Ora) o conjunto de seus divisores e com M(a) o conjunto de seus múltiplos.
111. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Exemplos
1) 0(2)
{1, -1, 2, -2}
M(2)
2) 0(-3)
{1, -1, 3, -3}
M(-3) = {O, ±3, ±6, ±9, ... }
66.
M(O)
z: ~ rf Z.
3) 0(0)
=;z
= {O, ±2, ± 4, ±6, ... }
= {O}
Dado um número inteiro
p *- O, 1 e -1 e
Exemplos
significado ao símbolo p
q
ros racionais.
67.
2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7
são primos.
o inverso de q não existe em
Porisso não podemos definir em ;Z a operação de divisão, dando
q
65. Dizemos que um número inteiro p é primo quando
O(p) = {1, -1, p, -p}.
q *- 1 e -1,
Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme-
Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo lIl- o conjunto dos
pares ordenados (ou frações)
~,
onde
a E Z
e
b E Z*,
para os quais
adotam-se as seguintes definições:
EXERCíCIOS
A.51
a) O E
1\1
d) 1\1 U R._
b) (2 - 3) E 1\1
71
g) (-4) (-5) E R.+
=
e) R.+ n R._ =
c) 1\1
í25
h) O E 7l
1-3)2 E 7l
i)
(5-11)E7l
n 0(16), M(4), M(10)
Descrever os seguintes conjuntos:
M(-9) n M(6),
A.53
Quais dos seguintes elementos de ;Z não são primos: 12, -13, O, 5, 31, -1, 2, -4, 1,
49 e 53?
A.54 Sendo
a e b
0(6), 0(-18), 0(-24)
Cz.
f)
A.52
e
68.
dois números inteiros, pergunta-se:
a)
b)
c)
d)
e)
D(a)
e
D(b) podem ser disjuntos?
Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) n Dlb) = Dlm)?
Quando Dia) n D(b) = {1, -1}, qual é a relação existente entre
Em que caso ocorre Mia) C M(b)?
Em que caso ocorre M(a) n Mlb) = M(ab)?
f) Que nome se dá a um inteiro n tal que M(a) n M(b)
Mln)?
a
e
b?
69.
A.55
Determinar os seguintes números inteiros:
a) mdc(2,3)
c) mdc(-6, -14)
e) mmc 1-4, 6)
42-A
(j)
igualdade: ~=~<==>ad=bc
b
d
(i i)
adição:
(iii)
multiplicação:
Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
b) mdc(-4, 6)
d) mmc(2,3)
f) mmc(-6, -14)
a
c
ac
b' d = bd
No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:
lIl+
conjunto dos racionais não negativos
III
conjunto dos racionais não positivos
lIl*
conjunto dos racionais não nulos
Na fração
a
b'
a é o numerador e b
primos entre si, isto é, se
mdc(a, b) = 1,
o
f_23
7
tive!. Assim, as raçoes 3' 7" e 15
o denominador. Se
dizemos
-'do,
sao Irre utlvelS mas
a
b
aeb
são
é u ma fração irredu-
6
10
não é:
43-A
70.
Consideremos o conjunto
nominador unitário:
a
b
1
a
+
([1'
formado pelos números racionais com de-
= {~ I x E Z}.
([1'
[MA) simétrico ou inverso para a multiplicação
Temos:
para todo
<o=a=b
a +b
b
1
1
: E
a
b
a • b
-·-=---<o=a·b=a·b
1
1
1
portanto, os racionais com denominador igual a 1 comportam-se para a igualdade,
a adição e a multiplicação como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o
x
racional
coincidir com o inteiro x, decorre que:
=:l,
logo,
tal que
a
b
e
'*
O,
existe
~.: = 1.
Devido à propriedade [MA J. podemos definir em ([1*, a operação de dia • c
a
d
a
c
visão, estabelecendo que
b
c para b e d racionais quaisquer
b
d
não nulos.
<o=a+b=a+b
([1'
([1
a
b E ([1
:l c. ([1
72.
Notemos finalmente que todo número racional
a
pode ser representado
b
por um número decimal. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer
dois casos:
1Çl) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, é
uma decimal exata.
71. Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as
seguintes propriedades:
a
3
1
,- = 3; "2 = 0,5;
%) + ~
[A.ll (~ +
c
c
[A.2) b + ti =
a
ti + b
° ba
a
[A.3] b +
=
a
a
1
27
20 = 0,05; 1000 = 0,027
29) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica.
Exemplos
°
a
[A.4)b+(-b)
Exemplos
1
3' =
2
0,333 ... ; 7
0,285714285714 ...
c
[M.ll (b' d)
a
[M.2) b
~
d
a
[M.3) b
[o)
onde
a
b
~
d
a
b
EXERCICIOS
a
b
e
(-=- +-)
f
d
a c
b'
d e fe
A.56 Quais das seguintes proposições são verdadeiras?
a
b
44-A
b) ,z C O
d) 517 E O
e)
0,474747 ... E<ll
f)
g)
1 E <ll-'z
hl
f
{T' !...!3 } C. <ll
O-L.
i)
~ E
j)
21
é irredut ível
14
121
kl 147
131
I)
r E
são racionais quaisquer, portanto, são vál idas as mesmas pro-
priedades formais vistas para os números inteiros. Além dessas, temos mais a
seguinte:
cl oE O
a) N C O
E
< 150
2
<ll-'z
<ll => -r E
O
45-A
A.57 Colocar na forma de uma fração irredutlvel os seguintes números racionais:
0,444. . . ;
0,32;
0,323232,.,;
54,2;
5,423423423,
15
11
18
.J2 = 1,4142136 ...
0,4;
rr = 3.1415926, ..
a = 1,010010001 ...
1 47
A.58 Colocar em ordem crescente os números racionais seguintes: 16' 12' 19' '48
chamados números irracionais.
2
e
3'
A.59 Mostrar que se
tal que
ri e r2
ri < r < r2'
são racionais e
< r2,
ri
então existe um racional r
Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo,
através da expressão ...;p onde p é primo e positivo. São irracionais:
.,[3, v'5. ...[7, etc.
Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se
A.60 Representar sobre uma reta orientada os números racionais seguintes:
3
-2, -"2' -1,
6
2'
e
irracional e r é racional não nulo, então:
a
a + r, a· r. r
e
r
a
a
é
são todos
irracionais.
Exemplos
.J2 + 1, 3../1, .,[3
--ª- são irracionais.
2' v'5
IV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
73.
Dado um número racional
~ é racional. Por exemplo,
(i)
a
b
e um número natural
a2 = 2b2 =
(iii) fazendo a = 2m. com
a2 = 2b2 ==> (2m)2 = 2b 2
=-
e isto é absurdo pois
nem sempre
a
b
Além de
m, destacamos em IR três outros subconjuntos
conjunto dos reais não negativos
conjunto dos reais não positivos
conjunto dos reais não nlilos.
seja tal que
a2 é par
=
a é par
m E z., temos:
b2
2m 2 ==> b2
é par
=- b é par
o.elA
e, além dos racionais, estão em IR números como:
v-;
o. e onde a
74. Chama-se conjunto dos números reais IR - aquele formado por todos os
púmeros com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou peribdicas
(que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas
lJúmeros irracionais).
Assim, todo racional é número real.
76. As operações de adição e multiplicação em IA gozam das mesmas propriedades vistas para o conjunto m. Em IR é também definida a operação
de subtração e em IR* é definida a divisão, Com a introdução dos números
irracionais, a radiciação é uma operação em IR+. isto é,
E IR para todo
a E IR+.
ITldc (a, b) = 1.
Vamos agora in\roduzir um conjunto numérico que contém
radiciação pode ser definida.
46-A
75.
V2 fi m o que é provado facilmente assim:
admitamos que a fração irredutível
lii) ~ = ...[2 =
n ;;. 2.
77. Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de
uma reta
-4
-3
-2
-1
I
I
I
I
°
1
I
I
2
3
4
5
I
I
I
I
•
u
Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se qui,1
sermos, por exempIo, representar o numero
'2 sobre a reta, marcamos a par-
tir de O um segmento de medida
1
2"u
no sentido positivo. A extremidade desse
47-A
segmento representa
1
Na figura abaixo representamos sobre a reta vários
2'
A.63 Mostrar que
J 4 + 2 v'3 o 1 + v'3.
A.64 Mostrar que existem
números racionais.
-2
-3
I
I
I
-1
I
O
I
2
I
I
I I
I
a
e
b
raeionaistaisque
V18-8V2 o a + bV2.
3
I
I
A.65 Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com
V
o real
que
A.66
a "" ~
a;;;' g
e chama-se média geométrica o real
2
para todos
9
o;;
..J;;;.
Mostrar
x, y E IR+.
Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos:
A o {x E IR I , ",;; x ",;; 2}
< < 3}
Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada
ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irracional (portanto, real), isto é, os reais preenchem completamente a reta.
-3
-2
I
-,
~l-~ -tI I -"2,
I
o§.
2
O
I
1
, I
"2
-.../3
2
ti
I
I
9
11
4
D = {x E IR 1-' . <
ou
x <
x > 2}
O
ou
x;;;' 3}
..
3
I I
B ~ {x E IR I O
x
C ~ {x E IR I x ",;; O
I
Jr
"4
,.fi
Esta reta, que representa IR, é chamada reta real ou reta numérica.
V. INTERVALOS
78. Na reta real os números estão ordenados. Um número a é menor que qual·
quer número x colocado à sua direita e
maior que qualquer número x à sua es·
querda.
a
--,---~-~/
{xEIRlx<a}
•
',-;~=--,----::--,-
{xEFllx>a}
3 E IR
b) N C IR
aI ~ E IR-Ill
gl (V2 - 3
v'3) E IR - III
c) 7L. C IR
v'4 E IR-Ill
f)
V4 E IR-m
h) 3V2 E IR-m
i)
3y'2 E m
e)
v'5
a-
b) intervalo fechado de extremos
572
A.62 Provar que se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b-V-;;- o c + d-V-;;-,
então a = c e b = d.
Solução
a+b~oe+d~<=> (b-dly';;"oe-a
Como c - a é racional, a última igualdade s6 subsiste quando (b - di V; E O,
isto é, se b - d = O. Neste caso, c - a = O, provando a tese.
4S-A
a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto
que também pode ser indicado por
Ouais das proposições abaixo são verdadeiras?
a)
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:
] a, b [ = {x ~ IR I a < x < b}
EXERCfclOS
A.61
79.
b.
a e b
é o conjunto
[a, b] = {x E IR I a ",;; x ",;; b}
que também pode ser indicado por
af---lb.
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b
é o conjunto
[a, b [ = {x E IR I a ",;; x < b}
que também pode ser indicado por
af--b.
d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b
é o conjunto
] a, b] = {x E R I a < x ",;; b}
que também pode ser indicado por
a ---; b.
49-A
80.
Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo in-
EXERCíCIOS
ferior e extremo superior do intervalo.
~.67
81.
[-1.3]. [0.2[. ]-3.4[. ]-00. S[
Exemplos
19)
]2, 5[ = {x E IR I 2 < x < 5} é intervalo aberto
29)
[-1, 4] = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 4} é intervalo fechado
39)
[i,
~.68
82. Também consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos" assim
definidos:
a] = {x E IR I x .;;; a}
que também podemos indicar por
- 00-----1 a.
c) ] a, + 00 [ = {x E IR I x > a}
que também podemos indicar por
a - - + 00.
e
representação
A U B
grâfica
sendo
dos
intervalos
A o [O. 3)
e
sobre
a reta
real, determinar
B o [1. 4]
o
A
.
]- 3' v'2] = {x E IR I - 3 < x .;;; v'2} é intervalo fechado à direita.
- 00 - - a.
a
[1. + 00[.
e
Solução
1
a) ]- 00, a [ = {x E IR I x < a}
que podemos também indicar por
Utilizando
A n B
7 [ = {x E IR I ~.;;; x < 7} é intervalo fechado à esquerda
1
49)
Descrever, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
1
4
..
B
01111111111111111111111111111111111111111111111111111110
A n B
1
3
0111 Ili 1111 li Ili 11111111 li 111111111110
..
A U B
O
4
0'"11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
...
então
~.69
..
3
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111 o
A n B ~ [1. 3]
A U
e
B
c
[O. 4]
Descrever os seguintes conjuntos:
b) ]- 00,
ai [0.2] n [1.3]
bl [0.2) n
d) [a, + 00 [ = {x E IR I x ;;;. a}
cl
que também podemos indicar por
a I - - - + 00.
+ co[ = IR
que também podemos indicar por
-00 - - + 00.
a
[-1. + oo[ n [-'2,21
t)
[1.2] n [O. 3] n [-1, 4)
1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItIlllllllllUIo
b
[a. b[
la. b]
] - 00,
b
--------01111111111111111111111111111111111110'--------1...
a
b
[a. b]
a]
la. + oo[
..
- - - - - - - - -..
~llIl1llllll-l+III11I1II+lIl++llIlllllrl!II-1+lIllllllrl!lIll1l11llllli!+lllllo--------1,,a
b
---------cllIIlIl+llI++IIIIllIl-l+II11'IIIIllIl++IIIl1II1IllIll+IIIIllIlIKIIIlIIIIIllIIt_--------1,,_
...
1I111111111111111111111111111111111111111111~
9
e)
Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue:
la. b [
]-1. ~[ n )0. ~[
di )-00.2) n [O. + oo[
e) ]-00,
83.
~.70
Determinar os seguintes conjuntos:
ai [- 1. 3] U [O. 4]
bl ]-2. 1] U ]0. S[
c)
[-1. 3] U [3. S]
d)
3
1
h-,1 O[ U ]-'2'
- '4)
a
---------olllllllllllllIlIIIIIIIIIIIIIIIIIlIlIlIlIUlllllllHllllIlIl111111111111111.
..71 Sendo
50-A
]1. 3[
A
[O. S [
e
B
)1. 3 [.
determinar C~
51-A
84.
seja o real a não negativo. Assim, por exemplo,
6~
V 7T
_,
.,f2, V'5,
.era, sj3! e
Desde que o índice da raiz seja ímpar, os radicais da forma ~,
onde a E IR., também representam números reais. É o caso, por exemplo, de
e
;Z - ~ =
conjunto dos números inteiros negativos
conjunto dos números racionais nio inteiros.
IR - m = conjunto dos núl\leros reais irracionais.
m-;Z
Finalmente lembremos das principais operações definidas em cada conjunto:
.
sao numeros reais.
if=1, Z! -32
;z C m C IR C <1:.
Notemos também que:
va E IR. qualquer que
Em IR. a radiciação é uma operação, isto é,
~ C
Observemos que
VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Z!"=3
Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical
v::a não representa elemento de IR. Por exemplo, v'""=l não é real, pois:
~: adição e
multiplicação
z: adição, multiplicação e subtração
m: adição, multiplicação, subtração e divisão
IR: adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação (para reais não negativos)
v'""=l = x===>- 1 = x 2
e isto é impossível pois se ,x E A,
então
x
2
;;;.
O.
VIII. PRll'JCfPIO DA INDUÇÃO FINITA
85.
Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao símbolo
va, para todo número a, introduzindo no volume F desta coleção o con·
junto <I: dos nLimeros complexos do qual IR é um subconjunto.
VIL RESUMO
86.
Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pela
figura abaixo:
87. A indução vulgar (generalização de propriedade após verificação de que a
propriedade é válida em alguns casos particulares) pode conduzir a sérios enganos
na Matemática. Vejamos dois exemplos:
19) Consideremos a relação
Temos:
n
0== y
220 + 1
y
21 + 1
22
n
+ 1
definida para n E ~.
3
== y 2 + 1 2 + 1 5
n = 2 == y = 2 + 1 = 2 + 1 = 17
n
1
21
2
22
4
23
+
28 + 1 = 257
24
+
2 16 + 1 = 65 537
n
3 ==> y
2
n
4 ==> y
2
Os números y encontrados são números primos. Fermat (1601-1665) acre·
:Htou que a fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valor
inteiro positivo atribuído a n. Esta indução é falsa pois Euler (1707-1783)
2S
1l0strou que para n = 5 resulta y = 2 + 1 = 2 32 + 1 = 4794.967,297 =
= 641 X 6700417,
isto é, resulta um número divisível por 641 e que, portanto,
,ão é primo.
53-A
52-A
29)
n E IW *,
n
Dada a relação
n3
3n2
7n
+ - - - + 3,
2
6
3
y
definida para todo
temos:
1=
y
-1+9-14+18
13 3. 12 7 . 1
-- +-- --- + 3 =
6
2
3
6
empregamos o
Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais
para todo n E 11I, n ;;. no, quando:
é verdadeira
2
19)
n = 2= Y
2 3 3. 2 2 7· 2
--+ - - - - - + 3
2
6
3
-8 + 36 - 28 + 18
6
3
n
3 3 3. 32 7· 3
--+-----+3
6
2
3
-27 + 81 - 42 + 18
6
5
3= y
89. Para provarmos que a relação é válida para todo n E IW*
princípio da indução finita (P.I.F.) cujo enunciado segue:
29) Se
é verdadeira.
90.
y =
53
6
3. 52
2
7" 5
3
--+ - - - - - + 3
-125 + 225 - 70'; 18
6
k E 11I, k ;;. no
e
P(k)
é verdadeira, então
Verifiquemos que
n = 1=
29)
8
Consideremos, por exemplo, a igualdade:
1 + 3 + 5 +. .. + (2 n - 1) = n2
Admitamos que
P( 1)
é verdadeira
k E N*, seja verdadeira:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) '" k2 (hipótese da indução)
Temos:
P(k),
com
P(k + 1),
que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros números ímpares positivos
2 "
e, n.
n
2 ==
+ 3 = 4
22
n = 3 =-
+ 3 + 5
9 = ~
k 2 + 2k + 1
+
prind~a indução finita.
~n E 1lJ*
n(n+ 1)
A.72 1 + 2 + 3+... + n = --2-'
(V)
(V)
n = 10 ~ 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 102
n(4 + 3n)
A.73
(V)
Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificação até n = 1 000000
não estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existir
um n > 1 000000 em que a fórmula falha.
54-A
~
J
Demonstrar usando o
(V)
1==
(k + 1}2
EXERCíCIOS
Vamos verificar se ela é verdadeira:
n
r
",
isto é:
•
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)
(n E N*)
P(k + 1) também
1 = 12
e provemos que decorre a validade de
\
e
(n E IW*)
+ 3 + 5 + ... + (2k - 1) t [2(k + 1) - 1]
88. ~ necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que permita
decidir sobre a validade ou não de uma indução vulgar.
n = no,
Provemos, por exemplo, que:
19)
Poderíamos tirar a conclusão precipitada: "y é número primo, 'ri n E
Esta indução também é falsa pois:
~
é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
~64+ 144-56+ 18
4 3 3" 42 7· 4
= 7
n=4=y= - - + - - - - - + 3 =
6
2
3
6
n = 5
P(no)
n,
A.74 20 + 21 + 22 + ...
2n- 1
-
'ri n E 1\1'
,4.75
2
2
2 ... +n2 _ n(n + (6
11 (2n + 1) .v
'"' n E."
r1+2+3+
'"
+ 11]2' 'ri
A.76 13 + 23 + 33 + ... + n 3 ~ [n(n 2
n E."
'"
56-A
A.77
a I 13 2n - 11. V n E W
A.8S
Soluçãc
é verdadeira pois
10)
Pll)
29)
Admitamos que
a I 132k - 11
e provemos que
nln - 31
do
-2-'
Solução
a I 13 2 - 11
Plkl, k E ~',
o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é
10)
P(3)
é verdadeira pois:
n =3
== d 3 = 3(3 - 3) = O
seja verdadeira
(hipótese da induçãol
2
8 I (3 2 (k + 1) - 11:
e isto é verdade porque um triângulo não tem diagonais.
291
Supondo válida a fórmula para um polfgono de
- klk2-3)
dk -
então
k
lados
Ik;:;' 31:
Ihipótese da indução)
provemos que ela vale para um polígono de
k + 1 lados:
_ Ik + 1I[(k + 11 - 3] = (k + 11 (k - 2)
dk + 1 2
2
6ln(n + llln + 21,Vn E~.
A.78
A.79
2 I (n 2 + nl, V n E ~.
A.80
3 I In 3 + 2n), V
n E
Quando passamos de um polígono com k vértices para um de
~.
(1 + 11 (1 + ~) 11 + ~I .
A.82
N
1
- +
+ 2.3 + 3-4
1
+ --n(n + 11
n :
A.83
1· 2 + 2 • 3 + 3. 4 +
+ n(n + 11
n In + 1) (n + 2)
3
A.84 2n ;:;, n + 1,
V n E
vértices, acres-
(i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonais do segundo;
(ji) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundG;
(Hi) no segundo há k - 2 novas diagonais las que partem do novo vértice).
Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadrilátero para um pentágono
A.81
1
+ 1
I:<
centando mais um vértice, ocorre o seguinte:
• 11 + 2. 1
n
n
+ 1, V n E W
1 ,V n E ~.
VnEW
D
A
c
-
c
~.
.8
Solução
19)
20 1
PI1I
8
é verdadeira pois
Admitamos que
2k ;:;, k +
e provemos que
2· 1 ;:;, 1 + 1
P(k), k E ~',
seja verdadeira:
(hipótese da induçãol
n
56-A
são diagonais ~ AC e BD continuam diagonais
---- AD se transforma em diagonal
EB e EC são diagonais
> (k + 11 + 1
2
klk-3)
k -3k+2k-2
dk+ 1 = dk + 1 + Ik - 2) = - - 2 - + k - 1 =
2
> n, V n E ~
+ n
A.87
BD
é lado
Então:
21k + 11 = 2k + 2 ;:;, Ik + 11 + 2
2
e
2(k + 11 ;:;, (k + 11 + 1
Temos:
A.85
AC
AD
3
4
>.':'.V n E ~'.
4
(1 + aln ;:;, 1 + na,V n E ~', V a E IR, a;:;' -1
(k + 11 Ik - 2)
2
A.89 A soma das medidas dos ângulos internos de um pol(gono convexo de n lados é
Sn = (n - 2) • 1800 .
A.90 Se A é um conjunto finito com n elementos, então 'syIA),
n
de A, tem 2
elementos.
conjunto das partes
57-A
CAPÍTULO IV
-
Desvendado mistério da continuidade
RELAÇOES
Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia luterana de
Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu
doutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e
dedicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida.
Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou~se no problema
dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro mais
célebre, "A Continuidade e os Números Irracionais".
Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que a
distingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclUl'do que entre dois
'pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, 05 números racionais formam um
conjunto denso mas não cont(nuo.
Relendo. Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada à
densidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de um
único ponto sobre a reta. A essa qivisão da reta chamou "schnitt" ou "corte" , que passaria a ser
o apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado".
Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência
biunívoca com os números reais, o Que conseguiu ampliando .~ conjunto dos racionais. Esta
conclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind.
Mais uma de suas observações foi sobre o
teorema fundamental dos Iimites, achando que
para obter-se uma demonstração rigorosa deste
conceito era necessário desenvolvê-lo somente através da Aritmética, sem interferência de métodos
geométricos embora estes tenham sido responsáveis por seus brilhantes resultados"
Em 1879 foi o primeiro a dar uma definição
expli'cita de corpo numérico como sendo uma coleção de números Que formam um grupo abel ia no
(comutativo) em relação à adição e multiplicação,
no qual a multiplicação é distributiva em relação à
adição. Este conceito, que foi fundamental para o
desenvolvimento da Álgebra, também é responsável
pelo teorema dos inteiros algébricos, bem como
introduziu na Aritmética o conceito de "ideal".
Dedekind viveu tantos anos depois de Sua
célebre introdução dos "cortes" que a famosa
editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de
setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que
Julius W. R. Dedekind
(1831 - 1916)
58-A
viveu mais doze anos e escreveu ao editor que
passara a data em questão em conversa estimulante"·com seu amigo Georg Cantor.
I. PAR ORDENADO
91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2},
{3, -l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par:
{1,2} = {2, 1}, {3, -l} = H, 3}, {a, b} = {b, a}.
Em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir dois
pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações
X+ Y =3
{ x ~ Y =. 1
x = 2 e Y = 1 é sol ução ao passo que x = 1 e Y = 2 não é solução.
Se representássemos por um conjunto teríamos: {2, l} seria solução e {1, 2} .
não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2, l} = {1, 2}, o mesmo conjunto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado
(2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnita
x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y.
92. Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo (. I. Para ca.
da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro
elemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha
la, bl
(*)
(c, dI <=> a
c e
b
d
Poderíamos definir par ordenado como Kuratowski fez:
(a, b) = {{a}, {a, b}}
mas isto ficaria fora do nível deste curso.
59-A
11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
95.
93.
Consideremos dois eixos x e y
perpendiculares em O, os quais determinam o plano Ci.
Y
y'
P2
Ci
P
x'
Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos
pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca.
Dado um ponto P qualquer, 'P E Ci.
conduzamos por ele duas retas:
x' li x
e
Teorema
Demonstração
1? Parte
y' li y
Denominemos P I a intersecção de
x com y' e P2 a intersecção de y com
x'.
Nestas condições definimos:
h
O
P1
x
As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci,
corresponde um único par de pontos (P I , P2 ) sobre os eixos x e y respectivamente e, portanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp)
tais que xp e yp são representados por P 1 e P2 , respectivamente.
Esquema: P ------4
a) abscissa de P é o número real xp representado por P I
-+
(x p , ypl
2? Parte
b) ordenada de P é o número real yp representado por P2
c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indicados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo.
d) eixo das abscissas é o eixo x
(P I , P2 )
(ou Ox)
e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy)
f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular)
é o sistema xOy
g) origem do sistema é o ponto O
Dado o par ordenado de números reais (X p, yp), existem P I E x e
tais que P 1 representa x p e P2 representa y p' conforme vimos
no item 77.
Se construirmos x' /I x por P 2 e y' li y por P 1 , essas retas vão concorrer
em P. Assim, a todo par (x p , yp) corresponde um único ponto P, P E Ci.
P2 E Y
Esquema: (x p , Ypl ------4 (P I , P2 ) ----> P
EXERCíCIOS
A.91
Dar as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.
hI plano cartesiano é o plano Ci
Iv'
p
94.
Exemplo
E
Vamos localizar os pontos
A(2, O), B(O, -3), C(2, 5). D(-3, 4)
E(-7, -3),
5
F(4, -5),
5
G( 2'
9
2)
C
y
o
~ -
.
r~
.
,
;-,
e
I"
9
H(-2' -2)
no plano cartesiano lembrando que, no
par ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada
do ponto.
60-A
--
l
Ir
Tv
,
ri'
B
A.92
A(2, -3), BIO, -4), C(-4, -5), 01-1, OI,
Assinalar no plano cartesiano os pontos:
ElO, 5), F15, 4), G(3, O), H(-3, 2),11
1
5
2 '2)'
61-A
39) Se A = {x E IR I 1 ,;;;; x < 3}
v
B = {2} então temos A X B = {(x,2) I x E A}.2 -----
111. PRODUTO CARTESIANO
e
,
«,
I
96.
Definição
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano
de A por B o conjunto A X B cujos elementos são todos pares ordenados
(x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
A X B = {(x, y) I x E A e y E B}
o símbolo A X B Iê-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B".
Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de A
por B como sendo o conjunto vazio.
.
AXcp=0
Exemplos
19)
Se
e
B = {1, 2}
:,
,
I
!
x
49) Se A = {x E R I 1 ,;;;; x ,;;;; 3} e B = {x E IR I 1 ,,;;; x ,;;;; 5} temos A X B = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 3 e 1 ,;;;; y ,;;;; 5} representado graficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Notemos que B X A = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 5 e 1 ,;;;; Y ,;;;; 3} é representado por um retângulo distinto do anterior.
AXB
v
5 -------r-----,
A = {1, 2, 3}
I
3
v
97.
I
I
A representação gráfica de A X B dá
como resu Itado o conjunto de pontos
do segmento paralelo ao eixo dos x da
figura ao lado.
BXA
temos
A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1). (2,2), (3, 1), (3, 2)}
e
3 - -- - - - , . . . - - - - - - - - - - , -
B X A = {(1, 1). (1,2), (1,3), (2,1), (2,2). (2,3)}
e as representações no plano cartesiano são as seguintes:
1 ---- - 1 -
v
A x B
~~~~~~-~~, 3)
3
i
2 ------.~11!!-t!~c?!.~l;l, 2)
I
I
I
______ ~ ~1_,_ ~ ~_~~~.-1j--~~, 1)
,
I
:
,:
I
I
3
:(1,2)
:(2,2)
I
I
I
I
I
I
i (1, 1)
:(2, 1)
----- --,-- -----tI
I
.. x
3
29) Se A = {2, 3} então o conjunto
indicado por A2 e lê-se "A dois") é
A X A
A X A = {(2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}
52-A
98.
I
I
I
-r----+---+--+----<~ x
2
x
5
x
I
2 ------f------ ...-
I
,,
-\-_
BXA
V
Observações
*'
*'
2
1) Se A
B então A X B
B X A, isto é, o produto cartesiano
de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa.
(que também pode ser
então
2) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente,
A X B é um conjunto finito com m· n elementos.
3) Se A ou B
conjunto infinito.
for infinito e nenhum deles for vazio então
A X B
é um
63-A
EXERCICIOS
A.93
IV.
Dados os conjuntos
A ~ {1, 3,4}
C~{-1,O,2}
Bc{-2,1}
99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4}
e B = {2, 3, 4, 5, 6}, O produto cartesiano
de A por B é o conjunto
representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:
bl B X A
el B2
ai A X B
d) C X A
A.94
c)
f)
A X C
c
A X B = {(x, y) I x E A e y E B}
{x E IR 11 <; x <; 3}
B
{x E IR I -2 <; x <; 2}
C - {x E l:l I -4 < x <; 1}
c
representar graficamente os seguintes produtos:
bl A X C
e) A2
d) C X B
Dados os conjuntos
cl B X C
f) C2
A - {1, 2,3,4} e
B
representar
ção binária de A em B.
bl B X A
O conjunto R está contido em A X B
e é formado por pares (x, y) em que o elemento x de A é "associado" ao elemento y de
B mediante um certo critério de "relacionamento" ou "correspondência".
(B
A.96 Sejam os canju ntos
X A)
A, B e C
clusâo entre os conjuntos
C X B
e
A
tais que
A C B C C.
Estabelecer as relações de in-
X B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A,
X A, A
C X C.
A.97 Sabendo que
{11,21, (4,2)} C A 2
tos o conjunto A2
9,
e
represente
I
,
-------~---t---t--
4
,
I
-0-
:
:
- - - - - - -(1)- - -~-
'
3 ---- --- --t---G-~-+--
,
2
,
,
,
--------8--+---+-,
,
,
,
:
3
4
= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
(x E IR I 1 <; x <; 4}
ai A X B
X BI U
,
,
R = {(x, y) E A X B I xly}
graficamente os conjuntos:
IA
0- - -(1)- - -~-,
que é chamado relação entre os elementos
de A e de B ou, mais simplesmente, uma rela-
c)
- - -- - - -
,
5
formado por 3· 5 = 15 elementos representados na figura ao lado, Se agora considerarmos
o conjunto de pares ordenados (x, y) de
A X B tais que x I y (lê-se: x é divisor de
Y), teremos
c
ai A X B
6
2
Dados os conjuntos
A
A.95
RELAÇÃO BINÃRIA
pelos elemen-
Solução
Será bastante úti I a representação da relação por meio de flechas, como na figura ao lado.
2
A
..
x
B
100. Definição
O número de elementos de A
2
é igual ao quadrado do número de elementos de A, por-
tanto
Dados dois conjuntos A e B,
subconjunto R de A X B.
11,2) E A
Se A é um conjunto de 3 elementos,
A~{1,2,4}.
2
e
2
14,21 E A ,
chama-se relação binária de
A em B todo
conciu{mos que
R é relação binária de A em B -<= R C A X B.
Assim sendo,
A X A - {Il, li, 11, 21, (1,4),12,1),12,2),12,41,14, li, 14, 2),14, 4)}
A.98 Se {ll,-2), (3, O)} C A
tos.
A.99
64-A
2
e
2
n1A ) ~ 16
A 2 pelosseus elemen-
então represente
Considerando A C B, {to, 51, (-1,2), 12,-1)} C A X B
presente A X B pelos seus elementos.
e
nlA X B) ~ 12,'e-
Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de
A X A é chamado relação binária em A.
R é relação binária em
A -<= R C A X A
65-A
Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas
A = conjunto de partida da relação R
B = conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R.
Quando o par
(x, y)
pertence a relação R, escrevemos x R y
Y,
;
,
~
:
:
:
I
L_
1
,
I
I
:
6 ----.---.---t--\:!J-- .. -!
l __ .l __ 'V
cb __ .l
5
(lê-se: ".
erre y")
-)--4--~--~---L
;
: :
;
:
4
~_~--l_--~--.L_
T
t
3
W
I
I
I
Ix, yl E R ~ x R y
I
I
I
I
+ __ +__ +__-+- _-t -
2
I
I
t i '
I
I
I
I
I
'
I
I
I
---~--+--~--~--~t i ,
"
,
I
e se o par
erre y")
(x, y)
não pertence a relação R escrevemos
x fÍ y
(lê-se:
I
::
"x não
:
2
Ix, yl !Í R ~
x"
39) Se
R
3
A
4
5
B
x
A = {-1, O, 1, 2}
quais são os elementos da relação
{(x, y) E A2 I x 2 = y2}?
y
Fazendo a representação gráfica notamos que
R = l(O, O), (1,1), (1, -1), (-1, -1), (-1,1). (2,2)}
y
,
2
-~-----
,
,,
quais são os elementos da
-1 :
,,
Os elementos de R são todos os pares ordenados de A X B nos quais o
primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares formados pela
"associação de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal que
x < y".
,
,
,
,
,
,
,
,
:1
:2
"
1
I
Fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais que x E A,
y E B e y = x + 2.
A
B
49) Se A = {x E IR I 1 .;;; x .;;; 3} e B = {y E IR I 1 .;;; y .;;; 2} pede-se a representação cartesiana de A X B e R = {(x, y) E A X B I y = x}
y
y
AXB
R = {(1, 2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}
29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em B assim definida:
x R y ~ y = x + 27
x
(D----- ---0---+-
Temos então
66-A
,
'
-1
I
Utilizando as representações gráficas
,
é--- ---($)---+
1
-
101. Exemplos
19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4}
relação R = {(x, y) I x < y} de A em B?
----~-----e
:,
''
,
2
,
-~--------D~~
,
,
:,
:,
,
'
3
x
3
x
67-A
EXERCICIOS
103.
A.l00 Pede-se:
1?) Se A; {D, 2, 3, 4} e B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual é o domínio
e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I Y é múltiplo de x}?
Il enumerar pares ordenados
111 representar por meio de flechas
111) fazer o gráfico cartesiano
das relações binárias de
A = {-2, -1, 0,1, 2} em B = {-3, -2, -1,1,2,3, 4} de-
finidas por:
a) x R y
c) x T y
el x W y
<==> x + y = 2
<==> Ixl = Iyl
<===> Ix - yl2 = 1
A.l0l Dado o conjunto
b) x S y
dI x V y
<==> x 2 = y
<==> x + y
>2
Exemplos
Utilizando o esquema das flechas é
fácil perceber que O é o conjunto dos
elementos de A dos quais partem flechas
e que Im é o conjunto dos elementos de
B aos quais chegam flechas, portanto:
R
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Enu merar os pares ordenados e constru ir
{(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)}
Im ; {2, 3, 4, 6}
O ; {2, 3, 4}
B
o gráfico cartesiano da relação R em A dada por:
R = {Ix, yl E A2
A.l02 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
R em A definida por:
x R y
A.103 Dado o conjunto
relação binária
<====*
X
A = {m E Z
e y
Construir o gráfico cartesiano da relação
são primos entre si.
I -7 ~ m < 7}.
Utilizando a representação cartesiana
temos D ;{xE IR 11 ~x~2} e Im; {yE IR I 2~y~4}
Construir O gráfico cartesiano da
R em A definida por:
<==> x 2 + y2 = 25.
x R y
V.
2?) Se A; {x E IR I 1 ~ x ~ 3} e B; {y E IR I 1 ~ y ~ 4}. qual
é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I y ; 2x}?
I mdc Ix, y) = 2}
pOMfNIO E IMAGEM
1_____
3
102.
x
x
D
Definição
~
A
EXERCICIOS
Seja
R uma relação de A em B.
Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos
dos pares ordenados pertencente a R,
A.l04 Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações:
{Il, 1), 11,3),12, 4)}
b)
{1-2, 4),1-1,1), (3, -71, (2, 1)}
{12, 1), 11, -3), 15, .,j2Ü
1
53}
e) { (3, 2'), ("2' -1),1"2' O)
d)
{Il +..;2, ..;2), 11
a)
c)
x E O
~ 3y, Y E B I (x, y) E R'
I
-.J3, 1)}
A.l05 Estabelecer o domínio e a imagem das relações binárias do exercício A.100.
Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos
pares ordenados pertencentes a R.
A.l06 Sejam os conjuntos A = {-2, -1, O, 1,2,3,4, 5},
relação binária de A em B definida por
x R y
Y E Im
~
3x,
x E A I (x, y) E R
B = {-2, -1, 0,1, 2} e R a
<==> x = y2
Pede-se:
a) enumerar os pares ordenados de R
b) enumerar os elementos do dom(nio e da imagem de R
Decorre da definição que
58-A
D C A,
e
Im C B.
c) fazer o gráfico cartesiano de R
69-A
A.l07 Se R é a relação binária de A ~ {x E IR I 1 ,;; x';; 6} em B
{y E IR I 1 ,;; y ,;; 4
definida por
xRy=x~2y
Pede-se:
a) a representação cartesiana de A X B
b) a representação cartesiana de R
c) o domínio e a imagem de R
A.l0S Se R e S são as relações binárias de
A ~
B ~ {y E;z I -2 ,;; y ,;; 3} definidas por:
x R y
x S y
=
=
{x E;Z
I -2 ,;; x ,;; 5}
em
2 divide Ix - y)
Ix - 1)2 ~ Iy - 2)2
B
A
Pedem-se:
a) as representações cartesianas de R e de S
b) o domínio e a imagem 'de R e de S
cl R n S.
temos
R
{(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7l.f
e
R-I
{(3, 2), (5,2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)}
2?) Se A = {x C IR I 1 ,;; x ,;; 4}
presentar no plano cartesiano as relações
sua inversa R -I .
VI.
A
B
RELAÇAo INVERSA
e
R
B = {y E IR I 2 ,;; y ,;; 8} re{(x, y) E A X B I y = 2x} e
y
8
104.
Defi n ição
4
Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto
w ' = {(V, x) E B X A I (x, y) E R}
2
---_ ..
Como R-I é subconjunto de B X A, então R-I é uma relação binária de
B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R.
x
4
Iy,
xl E R-I =
Decorre dessa definição que R -I é o conjunto dos pares ordenados obtidos
a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par.
105.
Exemplos
R
10) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais são os elementos de
{(x. y) E A X B I x < y} e de W ' ?
~2
8
x
PROPRIEDAQES
São evidentes as seguintes propriedades
la) D(W ' ) = Im(R)
Isto é, o domínio de R-I
é igual à imagem de R.
2~) Im(R- I ) = D(R)
isto é, a imagem de R-I
70-A
'
(x, y) E. R
VII.
Utilizando o esquema das flechas
.
-----~-
é igual ao domínio de R.
3a ) (R-I)-I = R
isto é, a relação inversa de R -I
é a relação R.
71-A
EXERCfclOS
A.109 Enumerar os elementos de R-I, relação inversa de R, nos seguintes casos:
ai R = {(l, 2),13,1),12, 31}
b) R =
c)
CAPÍTULO V
-
{(l, -1),12, -1), (3, -1). (-2, 1)}
R = {(-3, -2), 11,3), 1-2, -31, 13, 1)}
A.l10 Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de
A = {x E rIJ 1 x ,ç lO}, nos seguintes casos:
ai R = {(x, y) E A2
FUNÇOES
R e R-I, . relações binárias em
x + Y = s}
I x + 2y = lO}
cl R = {Ix, yl E A2 I y = (x - 31 2 + I}
d) R = {Ix, y) E A2 I y = 2 X }
1
b) R = {Ix, y) E A2
A.lll Dados os conjuntos A = {x E IR 11 ,çx,ç 6}. B =
I. CONCEITO DE FUNÇÃO
{y E IR 12,ç y,ç lO} e as seguin-
tes relações binárias:
ai R = {Ix, y) E A X B I x = y}
bl S = {(x,y)EAXB I y = 2x}
c) T = {Ix, yl E A X B I y = x + 2}
d) V = {Ix, v) E A X B Ix+y=7}
pede·se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas.
106, Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos
A = {O, 1, 2, 3}
e
B = {-1, O, 1, 2, 3}
e as seguintes relações binárias de A em B:
R =
S =
T =
V =
W=
{(x, V) E A X B
{(x, V) E A X B
V = x + 1}
V2
=
x2 }
{(x, V) E A X B V = x}
{(x, V) E A X B Iv
(x-l)2-1}
{(x, V) E A X B I V = 2}
Analisando cada uma das relações temos:
a) R = {(O, 1), (1, 2), (2,3)}
Para cada elemento x E A, com
exceção do 3, existe um só elemento
V E B tal que (x, V) E R.
Para o elemento 3 E A, não existe V E B tal que (3, y) E R.
b) S = {(O, O), (1, 1), (1, ~1),
(2, 2), (3, 3)}
Para cada elemento x E A, com
exceção do 1, existe um só elemento
V E B tal que (x, V) E S. Para o ele·
mento 1 E A existem dois elementos de
B, o 1 e o -1 tais que (1, 1) E S e
(1, -1) E S.
72-A
73-A
c) T = {(O, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
108. Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve
satisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função).
Para todo elemento x E A, sem
exceção, existe um só elemento y E B
tal que (x, y) E T.
1?) é necessário que todo elemento x E A participe de pelo menos um par
(x, Xl E f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle-
aJiJ.---.--
.. - -.. '
2?) é necessário que cada elemento x E A participe de apenas um único par
(x, y) E f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de um~
única flecha.
d) V = {(O, O), (1, -1), (2, O), (3, 3)}
Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das con·
dicões acima isto é,
Para todo elemento x E A, sem
exceção, existe um só elemento y E B
tal que (x, y) E V.
1?) se existir um elemento de A
do qual não parta flecha alguma ou
2?1 se existir um elemento de A
do qual partam duas ou mais flechas
"""
e) W = {(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)}
Para todo elemento x E A, sem
exceção, existe um só elemento y E B
tal que (x, y) E W.
-----.
B
I não é lu nção
~---a----
A
"- • •-
B
f não é função.
109. Podemos verificar através da representação cartesiana da relação f de A em
B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela.ao eixo y condu·
zida pelo ponto (x, O), onde x E A, encontra sempre ográfico de f em um só
As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E A
existe um só y E B tal que (x, y) pertence a relação", recebem o nome de
aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B.
11.
@:-----o---- - --
A
DEFINIÇÃ(
ponto.
110.
Exemplos
1?) A relação f de A em IR, com
A ~ {x E IR I .. 1 < x < 3},
107, Dados dois conjuntos A e B i '), não vazios, uma relação f de A em B
recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens
em B se, e somente se, para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) E f.
f é aplicação de A em B <==> (\Ix E A,
31 y E B I (x, yl E f)
representada ao lado é função, pois toda
reta vertical conduzida pelos pontos de
abscissa x E A encontra sempre o gráfico de f num só ponto.
2?) A relação f de A em IR representada ao lado, onde
A = {x E IR I -2 < x < 2}
(li) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e 8 são conjuntos forma-
dos de números reais, isto é, A e B contidos em IR.
74-A
x
-2
2
x
não é função, pois há retas verticais que
encontram o gráfico de f em dois pontos.
75-A
3?) A relação f de A em IR, representada ao lado, onde
y
A.114 Quais das relações de IR em IR cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.
bl
ai
A ~ {x E IR I O .;; x .;; 4}
não é função de A em IR pois a reta
vertical conduzida pelo ponto (1, O) não
encontra o gráfico de f. Observemos que
f é função de B em IR onde
c)
y
I"
Iv
1..-
1/
...
1..1..-
1.1
1.1
B ~ {x E IR I 2 .;; x .;; 4}.
2
3
1.1
x
I\.
x
... 1I,
x
,...
1/
I'
I'
1/
I'
r--,...
G
1..x
1/
1.1
EXERC(CIOS
di
A.112 Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função
de A = {-1. 0,1, 2} em B = {-2, -1, 0,1,2, 3}. Justificar.
fi
e)
Iv
Iv
Iv
R
I1
1\
-.
V
1I
1\
x
I~
x
1/
1.)
A
lal
B
A
(bl
1\
B
x
A.113 Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {O, 1. 2} em B = {-1, 0, 1, 2}?
111.
NOTAÇÃO DAS FUNÇÕES
111. Toda função é uma relação binária de A em B, portanto, toda função é
um conjunto de pares ordenados.
Geralmente, existe uma sentença aberta y ~ f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x E A, determina-se y E B tal que (x, y) E f, então
f ~ {(x, y) I x E A, y E B e y = f(x)}.
Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de
y = f(x).
corre~pondência
Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B segundo a lei de correspondência y = f(x), usaremos uma das seguintes notações
f: A B
x ...---- f(x)
76-A
ou
A -.!..,. B
x ..-.. f(x)
77-A
112. Exemplos
EXERCICIOS
f: A
19)
x
A.115 Oual é a notação das seguintes funções de IR em IR?
__ B
~
a) f associa cada número real ao seu oposto
2x
é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x.
b) 9 associa cada nú.nl"ero real ao seu ·cubo
d h associa cada número real ao seu quadrado menos 1
d) k associa cada número real ao número 2
f: IR ~ IR
29)
A.116 Oual é a notação das seguintes funções?
x f------* x 2
é uma função que leva a cada x de IR um y de IR tal que y ~ x 2 •
f: IR+ ~ IR
x ~
39)
y-;
é uma função que faz corresponder a cada x E IR+ um y E IR tal que y; y-;:
113. Se (a, b) E f, como já dissemos anteriormente, o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a e indicamos:
f(a) ; b
aI f é função de <D. em ((} que associa cada número racional ao seu oposto adicionado
com 1.
b) 9 é a função de Z em Ql que associa cada número inteiro à potência de base 2
desse número.
cl h é a função de IR* em IA que associa cada número real ao seu inverso.
A.117 Seja f a função de IR em IR definida por I(x) = x 2 - 3x + 4. Calcular:
1
c)
f(21
f)
f(l -
vil
A.118 Seja f a função de,z em,z definida por I(xl = 3x - 2. Calcular:
a)
f(2)
b) 1(-31
"f de a é igual a b".
que se lê
A.119 Seja f a função de IR em IR assim definida
114.
f(xl = {1
Exemplo
1(3)
Seja a função
a)
f: IR --+ IR
x f------* 2x + 1
d) f (";';1
o
bl f(-~)
c)
flV2l
el 1(V3 - 1)
f)
flO,75)
7
então
A.120 Seja a função
a) a imagem de O pela aplicação f é 1, isto é:
f( O)
se x E (Q
x+lsexrj:.111
f
de IR em IR definida por
do dom ínio que tem
3
- 4
como imagem?
Solução
x
Queremos determinar o valor de
f(-2) ; 2 • (-2) + 1 ; -3
basta, portanto, resolver a equação
c) analogamente
f("2) = 2 •
21 + 1
tal que
2x - 3
5
Resolvendo a equação:
2
f(y'2) ; 2 • y'2 + 1
2x - 3
3
5
4
3
<==> 4(2x-3)=-3'5 <==> 8x-12=-15 <==> xC-a
f(O,7) ; 2 • 0,7 + 1 ; 2,4
Resposta:
78-A
2x - 3
- - 5 - ' Qual é o elemento do
2 • O+ 1 ; 1
b) a imagem de -2 pela aplicação f é -3, isto é:
1
f(x)
o elemento é
x
3
8
79-A
A.121 Seja a função
f de IR - {1} em IR definida por Hxl -- ~
x - 1 . Oual é o elemento
Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos:
do domlnio que tem imagem 27
Dominio
A.122 Ouais são os valores do domlnio da função real definida por
f(x) = x2 - 5x + 9 que
produzem imagem igual a 37
(O) é O conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado
por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.
Imagem
IV.
OOMfNIO E IMAGEM
115.
Definição
(I m) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais
conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.
116.
Exemplos
Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, então
f tem um dominio e uma imagem.
y
Chamamos de dominio o conjunto O dos elementos x E A para os quais
existe y E B tal que (x, y) E f. Como, pela definição de função, todo elemento
de A tem essa propriedade, temos nas funções:
domrnio = conjunto de partida
x
isto é,
-2
0= A.
Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y E B para os quais
existe x E A tal que (x, y) E f, portanto:
O
Im
o
x
-2 .;;; x .;;; 1}
O';;; y .;;; 4}
{x E IR
{y E IR
-2 .;;; x .;;; 3}
-1 .;;; y .;;; 4}
O = {x E IR
Im = {y E IR
imagem é subconjunto do contradomrnio
3?)
isto é,
4?)
y
y
.L......-ç
er----.
,
:
:
Im C B
,
,
:
1
:
:
,
x
-2
-1
2
x
-2
domfnio
8o-A
contra-domfnio
O
Im
{x E IR I x *- O}
{y E IR I -2 < y < O
ou 1 < y < 2}
O
Im
{x E IR I -2 < x < 2}
{1, 2}
81-A
117. As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funçõe~
numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subconjuntos de R. As funções numéricas são também chamadas funções reais de variável real.
EXERCíCIOS
A.123 Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo:
Observemos que uma função f fica completamente definida quando são
dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondencia y= f(x).
Quando nos referirmos à função f e dermos apenas a sentença aberta
y = f(x) que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais x
cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é:
x E D
118.
<==
f(x) E IR.
A.124 Nos gráficos cartesianos das funções abaixo representadas, determinar o conjunto ima·
gemo
Exemplos
Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio.
a)
d
)r
\/
1?) y = 2x
notando que 2x E IR
para todo
I- 1-1-..
x E IR, temos:
2?) y = x
,
1...-
1--1-
1/
111'
Iv
-
D = IR.
x
/
1...-
2
notando que x 2 E IR
1...1/1
y
1/
1/
para todo
x E IR, temos:
D = IR.
l,
b)
y
e)
1/
I"
1/
3?) y
notemos que
\/
li'
111'
x
1/
I~
li'
1/
-!. E IR se, e somente se, x é real e diferente de zero; temos então
x
D = IR'.
x
4?) y=~
notemos que ..;-;. E IR
)
l,
se, e somente se, x é real e não negativo, então
D = IR+.
:"
.çr;
notando que .çr; E IR
x E IR, temoS:
I/
1/
1\
\/
I"..
para todo
Iv
1/
1'\
i'\
5?) y =
Iv
1/
("v
TI
D = IR.
82-A
83-A
A.125 Considerando que os gráficos abaixo são gráficos de funções, estabelecer o domíni(
e a imagem.
a\
!
Y
'f- 1--1-
I
d)
---+-1-
120.
Exemplos
1?) Se A ~ {1, 2, 3}
em B definidas por:
lv
II--
f- 7~
'/
1/
V
V
1/
ly
1/1'\
K
1/
J'\
I'.
1\
x
11
i\
I',
x ~ 2
2 - 1
e
g(2)
x
3 - 1 ~ 2
e
g(3) ~
f(l)
=== f(2)
3 === f(3)
y
I
i?) As funções
f i ~ Ixl, vxE IR.
I'l..I
y
f(x) ~
I'
f i e g(x)
x
3<:') As funções f(x)
xi= Ixl para x<O.
!"\
1/
o e g(l)
=
--~O
4 - 1
2 + 1
9 - 1
2
3+1
x
I'\.
cI
1 - 1
1 + 1
- 1
x ~ 1
__
L_~
eI
X+1
são iguais, pois
x
- r-r-r-
A
x2 - 1
x - 1 e g(x)
l/
,x
y
{-2,-1,O,l,2} entãoasfunçõesde
B
f-I--
f(x)
bI
e
Ixl
de R em R são iguais, pois
g(x) ~ Ix I de R em fi
e
não são iguais, pois
lI'
I'\.
x
EXERCfclOS
x
~7 Sejam as funções f, 9 e h de IR em IR definidas por
. h( z) = z3. Quais delas são iguais entre si?
A.126 Dar o domínio das seguintes funções reais:
ai f(xl = 3x + 2
x - 1
c) h(x) =
x2 - 4
1
e) q(x) =
~
gl
s(xl=~
i) ulxl =
lf;+2
bl g(x)
+128 As funções: f de IR em IR definida por
1
x + 2
por
d) p(x) = .,;x-:l
t) r(x) =
h) t(xl =
v;:;2
f(xl =
~2x + 3
FUNÇÕES IGUAIS
119.
Definição
f(xl =
f: IR
A
84-A
Duas funções, f de A em B e 9 de C em D são iguais se, e somente se,
C, B ~ D e f(x) ~ g(x) para todo x E A.
g(yl ~ y3
e
=...;;:i e 9 de IR em IR definida
são iguais? Justificar.
)8
-1
-x+1
e
glx) =
•
+.
~
--
x 2 .- x).
----> IR
~
v'X+1
...
podem ser IguaIS? Justificar.
x+1
I -1 < x < O ou
A.J3(l As funções f e 9 de A = {x E IR
/
V.
f(xl
x 3•
As funções f ~ 9 cujas leis de correspondência sito
/
x - 2
1
x - 3
g(x) = x
flx)
e
~
\I x 2 - x
glx) =
e
g: IR - {1}
Jo.o-.--+. + 1
•
(
x> 1} em IR. definidas por:
são iguais? Justificar.
---> IR
são iguais? Justificar.
f-----+ .2 - 1
• - 1
85-A
APl:NDICE SOBRE INEQUAÇÕES
123. Solução
o número real Xo é solução da inequação
Vamos ver aqui algumas técnicas úteis para os próximos capítulos.
se, é verdadeira a sentença
121.
Definição
f(x) > g(x}
se, e somente
f(xo) > g(xo).
Exemplo
O número real 3 é solução da inequação
Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente Dl C IR
e D 2 C IR. Chamamos inequação na incógnita x, a qualquer uma das sentenças
abertas, abaixo:
f(x) > g(x)
f(x) < g(x)
2x + 1 > x + 3,
pois
2·3+1>3+3
'---.,,--J
'--v----l
f(3)
9(3)
é uma sentença verdadeira.
f( x) ;;. g( x)
f(x} ,,;;; g(x}
124.
Exemplos
, 1~) 2x - 4 > x
2c:') 3x - 5
é uma inequação onde f(x) ; 2x - 4
e g(x); x.
< 2 é uma inequação onde f(x) ; 3x - 5 e g(x); 2.
Conjunto-solução
O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x)
sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação.
é uma
Exemplo
3c:') x 2 - 3 ;;. ~
x
é uma inequação onde f(x}; x
2
-
3
e g(x) = ' x
o
r---;.
1
~
1
4.) V x - 2";;; x _ 3 é uma inequação onde f(x) ; v x - 2 e g(x); - - .
x-3
122. Domínio de validade
<
Chamamos de domínio de validade da inequação f(x)
g(x) o conjunto
D ; Dl n D2 , onde Dl é o domínio da função f e D2 é o domínio da função
g. É evidente que para todo Xo E D, estão definidos fIxo) e g(xo), isto é:
Xo E D <==
(xo E Dl
e
Xo E D2 )
<== (f(xo) E
IR
A inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto-solução S; {x E IR I x> 2},
isto é, para qualquer Xo E S a sentença 2xo + 1 > Xo + 3 é verdadeira.
Se não eXistir o número real x tal que a sentença f(x) > g(x) seja
verdadeira, diremos que a inequação f(x) > g(x) é impossível e indicaremos o
conjunto solução por s; 0.
Exemplo
O conjunto-solução da inequação x + 1 > x + 2 é S ; rfJ, pois não
existe Xo E IR t.al que a sentença Xo + 1 > Xo + 2 seja verdadeira.
e g(xo) E R)
lc:') D ; IR n R
IR
Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto-solução. Se
Xo E' R é solução da inequação f(x} > g(x}, então, Xo é tal que f(xo) E R
e g(xo) E IR, isto é, Xo E O (domínio de validade da inequação). Assim sendo,
2c:') D ; IR n IR
IR
temos
Nos exemplos anteriores, temos:
xoÉS
3c:') O ; fl n IR" ; IR"
4c:') O ; {x E R
{x E IR
86-A
=
xoED
x ;;. 2} n {x E IR I x i= 3}
ou seja, o conjunto-solução é sempre subconjunto do domínio de validade da
x ;;. 2 e x i= 3}
inequação.
87-A
125.
Inequações equivalentes
portanto, como (}) é equivalente a @' temos:
Duas inequações são equivalentes em O C IR se o conjunto-solução da
primeira é igual ao conjunto-solução da segunda.
S = {x E R I x > 4}.
Na prática, aplicamos a propriedade
Exemplos
1?) 3x + 6 > O e X + 2 > O são equivalentes em IR, pois o conjuntosolução de ambas é S = {x E IR I x> 2}.
2?) x < 1 e x < 1 não são equivalentes em IR, pois
ção da primeira mas não o é da segunda.
2
com o seguinte enunciado:
f(x) + h(x) < g(x) =
f(x) < g(x) - h(x).
Assim, no exemplo anterior, teríamos:
Xo = -2
é solu-
3x - 1 > 2x + 3
=
3x - 1 - 2x > 3 =
x> 3 + 1 =
x > 4.
P-2} Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se
a função h(x) é definida em Dl n D2 e tem sinal constante, então:
126. Princípios
Na resolução de uma inequação procuramos sempre transformá-Ia em outra
equivalente e mais "simples", em que o conjunto-solução possa ser obtido com
maior facilidade. Surge, então, a pergunta: "que transformações podem ser feitas
em uma inequação para obter-se uma inequação equivalente?". A resposta a esta
pergunta são os dois princ(pios seguintes:
P-1) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se
a função h(x) é definida em Dl n D2 , as inequações
f(x) < g(x)
a) se h(x) > O, as inequações f(x) < g(xl e
f(x) • h(x) < g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 •
b) se h(x) < O, as inequações f(xl < g(x) e
f(x) • h(x) > g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 •
Exemplos
1?) ;
3?)
Seja a inequação
> 2x + 3
'----.,..-J
'----.,,-J
t(x)
g(x)
(3x - 1) + (-2x + 1)
'--v---J
t(x)
h(x)
'---.r---J
f(x)
+ h(x)
4~ - 3 > O e
x
+ 1
4x - 3 > O são equivalentes em IR. Notemos que a
(})
Na prática, aplicamos a propriedade
P-2
com o seguinte enunciado:
"em uma inequação podemos multiplicar os dois membros pela mesma expressão,
mantendo ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa expressão seja
positiva ou negativa, respectivamente."
> (2x + 3) + (-2x + 1)
'---v---J
'---v---J
g(x)
h(x)
EXERCICIOS
façamos as simplificações poss(veis:
x
e 6x - 9> 4 são equivalentes em R, pois a segunda
segunda foi obtida da primeira através da multiplicação por x2 + 1 > O, V x E A-
adicionemos h(xl = -2x + 1 aos dois membros:
'---v---J
~ > ~
inequação foi obtida a partir da primeira através de uma multiplicação por 12.
Exemplo
3x - 1
-
2?) _2x 2 + 3x > 1 e 2x 2 - 3x < -1 são equivalentes em R pois a
segunda foi obtida da primeira através de uma multiplicação por -1 e inversão
do sentido da desigualdade.
e f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
são equivalentes em Dl n D2 -
88-A
P-l
"em uma inequação podemos transpor um termo de um membro para outro
trocando o sinal do termo considerado":
>
4
'---v---J
g(x) + h(x)
A.132 Resolver as inequações em IR:
>
a) 4x + 5
2x - 3
b) 5(x + 3) - 2(x + 1) .;;; 2x + 3
c) 3(x + 1) - 2 ;;. 5(x - 1) - 3(2x - 1)
89-A
A.133 Resolver em IR, a inequação
x + 2
-3-
x - 1 ~
-2- ? x
Solução
Família serve a ciência por 100 anos
A inequação proposta é equivalente à inequação que se obtém multiplicando pelo
m.m.c. (3, 2) = 6:
2(x + 2) - 3(x - 1) ;;;. 6x,
Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres
quanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em
1583 para Basiléia, na Sul'ça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da família
conseguiu renome na Matemática e na F ísica, sendo quatro deles eleitos como sócios
Efetuando as operações, temos:
-x + 7 ;;;. 6x
ou ainda
estrangeiros da Academia das Ciências, da França.
-7x ;;;. -7.
Dividindo ambos os membros por -7 e lembrando que devemos inverter a desigualdade, temos
Nicolaus
(1623-17081
1~_ _--jI-------"11
e, portanto,
Jacques
(1654-1705)
s = {x E IR I x ~ I}.
\
A.134 Resolver em IR, as inequações:
a)
b)
x-I
~
Nicolaus II
(1687-17591
_ x - 3 ;;;. 1
2x - 3
-2- -
Nicolaus I
(1662-17161
4
5 - 3x
-3-
Jean I
(1667-17481
I
Nicolaus 111
(1695-1726)
I
< 3x
Jean III
(1746-1807)
6
I.
Daniel I
(1700-1782)
I
Daniel 11
(1751-1834)
I
Jean II
(17,0-1790)
Jaoques II
(1759-1789)
.I
c) (3x + 11 (2x + 1) ~ (2x - 1) (3x + 2) - (4 - 5x)
(x + 21 2 - (x - 1)2
Chnstoph
(1782-1863)
>
el 4(x - 2) - (3x + 2) > 5x - 6 - 4(x - 11
t) 6(x + 2) - 2(3x + 2) > 2(3x - 1) - 3(2x + 1)
di (3x - 2)2 - (3x - 1)2
I
Jeil n G ustave
(1811-18631
A.l35 Resolver em IR, a inequação:
2x - 3 ~ 2
x-I
Solução
A inequação proposta é cqu,valente a
2x - 3 _ 2 ~ O
x::1
-1
que, reduzindo ao mesmo denominador, fica
x-I
~ O,
>
-1
Notemos que a fração
deverá ser não positiva; como o numerador -1 é negax tivo, então o denominador x - 1 deverá ser positivo. Lembrando que o denominador não poderá ser nulo
e, portanto,
de L'Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suas
descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A conseqüência foi
que uma das mais importantes descobertas de Jean passou à Hi~t6ria com nome "regra de
L'Hospital" se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em x
a, f(a) ~ O e gla) c O,
s = {x E IR I x> I}
A.136 Resolver em IR, as inequações:
a)
9O-A
3x-2~_3
1 -
x
b)
4x - 5 ;;;. 2
2x - 1
Os Bernoulli matemáticos: árvore genealógica
Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean,
respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus.
Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por
seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas
na revista "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitas
em que aparece o resultado célebre conhecido como "desi9ualdade de Bernoulli": (1 + x) n
1+
+ nx . .4. ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente.
Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a
parábola semi-cúbica, a lemniscata, a catenária, a is6crona a espiral logarítmica, etc.
Jean Bernoul!i segundo a vontade do seu pai deveria ser médico, porém indo estudar
em Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que
foram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês
cl
--4 - 3x
3x + 2
< -1
então existe
lim f'(x)
x+ag'(xl
e
fim
x+a
~ ~
glxl
11m f'(xl
x+a g'lxl
91-A
Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todos
eles colaboravam com artigos para a mesma revista, "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos). Jacques é também autor do clássico "Arte de conjecturar", considerada a mais antiga
CAPÍTULO VI
obra sobre probabilidade.
Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean 11. Nicolas foi professor de Matemática em
S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli. Nicolas li,
FUNÇÕES
DO I!' GRAU
primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua.
Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade.
Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no século
XVIII, fazendo juz ao nome da fam(lja.
I. FUNÇÃO CONSTANTE
127. Definição
y
Uma aplicação f de IR em IR
recebe o nome de função constante quando a cada elemento x E IR associa
sempre o mesmo elemento
c E lÃ.
Isto é:
f: IR
lo. c)
---+ IR
x
x_~.
Jacques Bernoulli
(1654 - 1705)
Jean Bernoulli
(1667 - 1748)
O gráfioo da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando
(O, c).
ponto
pelo
A imagem é o oonjunto Im
{c}
128. Exemplos
Construir os gráficos das aplicações de IR em IR definida por:
2) y = -1
1)y=3
y
y
(0,3)
x
Daniel Bernoulli
(1700 - 1782)
92-A
x
lo, -1)
93-A
11.
FUNÇÃO IDENTIDADE
131. Exemplos
1~)
Construir o gráfico da função
y = 2x. Considerando que dois pontos
distintos determinam uma reta e no caso
da função linear um dos pontos é a
origem, basta atribuir a x um valor
não nulo e calcular o correspondente
y = 2x.
129. Definição
Uma aplicação f de IR em IR
recebe o nome de função identidade
quando a cada elemento x E IR associa o próprio x, isto é;
...x
f: R _ R
x f----+ X
O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do
1 ~ e 3~ quadrantes.
A imagem é
111.
Im
x
2
Pelos pontos P(O, O) e O( 1, 2)
traçamos a reta PO que é precisamente
o gráfico da função dada.
FUNÇÃO LINEAR
130. Definição
2~)
Construir o gráfico da função
y = -2x. Analogamente, temos:
Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função linear quando
a cada elemento
x E IR associa o
elemento ax E IR onde a
O é
um número real dado, isto é:
x
y
*
a
*
=
x
y = -2x
1
-2
O (*)
Demonstra-se que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela
origem.(H)
A imagem é Im
y = 2x
x
IR.
f: R -----+ R
x ~ ax,
y
EXERCICIOS
IR.
De fato, qualquer que seja o y E IR,
A.137 Construir o gráfico das funções de IR em IR:
existe
x
:!.. E IR,
a
a *0,
tal
aI y = 2
b) y = -3
C)Y=V2
dI y = O
que
A.138 Construir, num mesmO sistema cartesiano. os gráficos das funções da
f(x) = f(.r) ,. a • l
a
a
(.) Observe que se
a = O,
= y.
teremos a função constante
a) y = x
y = o.
(.. ) Essa demonstração será feita para um caso mais geral e se encontra na página 96.
94-A
b) y = 2x
cl y = 3x
y = -x
b) y
= -2x
cl y = -3x
IR:
IR em
IR:
dI y = ~
2
A.139 Construir, num meSmO sistema cartesiano. os gráficos das funções de
a)
IR em
dI y = - ~
2
95-A
IV. FUNÇÃO AFIM
Subtraindo membro a membro, temos:
132. Definição
Y3 - Y2 = a(x3 - X2)} ==
Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando a
cada x E IR estiver associado o elemento (ax + b) E IR com a
O, isto é:
*'
f:IR ----+ FI
x 1---+ ax + b, a
onde
onde
onde
onde
Os triângulos ABD e BCE são retângulos e têm lados proporcionais, então
são semelhantes e, portanto, O! = il. Segue-se que os pontos A, B e C estão
alinhados.
a=3
a = -2
a= 1
a =4
e
e
e
e
b=2
b= 1
b = -3
b=O
135. Aplicaç.ões
O a função afim Y = ax + b se transforma
Notemos que para b
na função linear Y = ax; podemos, então, dizer que a função linear é uma
particular função afim.
V.
= a
Y2 - YI = a(X2 - xtl
*' O
133. Exemplos
a) Y = 3x + 2
b) Y = -2x + 1
c) Y = x - 3
d) Y = 4x
Y3 - Y2
GRAFICO
134. "O gráfico cartesiano da função
ax + b (a
f(x)
* O) é uma reta".
1~)
Construir o gráfico da função Y = 2x + 1.
Considerando que o gráfico da função afim é uma reta, vamos atribuir a x
dois valores distintos e calcular os correspondentes valores de y.
x
Y = 2x + 1
O
1
3
(1, 3)
1
Demonstração
x
Sejam A, B e C três pontos quaisquer, distintos dois a dois, do gráfico
cartesiano da função Y = ax + b (a
O) e (XI, yd, (X2' Y2) e (X3' Y31. respectivamente, as coordenadas cartesianas desses pontos.
O gráfico procurado é a reta que passa pelos pontos
Para provarmos que os pontos A,
B e C pertencem a mesma reta, mostremas, inicialmente que os triângulos
retângulos ABD e BCE são semelhantes.
2~)
*'
96-A
(X2' Y2) E f ~ Y2 = aX2 + b
(3)
(1,3).
V2
V2 - fI
G)
e
Constru ir o gráfico da função Y = - x + 3.
De modo análogo, temos
V
V3
De fato:
(XI, yd E f ~ YI = aXI + b
(O, 1)
VI
x
x
Y = -x + 3
O
3
2
1
x
97-A
EXERCíCIOS
o fundamento do processo da adição, consiste no seguinte: aplicando a primeira
propriedade, multiplicamos cada equação por números convenientes, de modo que,
os coeficientes de determinada incógnita sejam opostos e pela segunda propriedade,
substitui mos uma das equações pela soma das duas equações.
A.140 Construir o gráfico cartesiano das funções de IR em IR:
a) Y
2x -- 1
c) Y
e) Y
3x + 2
-3x - 4
g) Y
-2x + 3
b) Y
d) Y
x + 2
2x - 3
2
f) Y ~ -x + 1
4 - 3x
h) Y =
2
X -
Y ~ -3
5x = -5
{ 2x + 3y ~ 4
Existem diversos processos analfticos pelos quais podemos resolver um sistema dE
equações. Vamos apresentar dois deles.
que é equivalente a:
Gx~+-~y = 4
Substituição
Este processo, consiste em substituir o valor de uma das inc6gnitas, obtido a partil
substituindo
x - y = -3 <==> x = y - 3
(-1, 2L
1/
2
{
I. "Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equação
por um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior (-)'
a2 x + b2 Y = c2
{kalX + kblY = kCI
(k =/=0)
a2 x + b2 Y = c2
11. "Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações, pela sua soma
com umé:i outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior".
(-) Sistemas de equações são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções.
98-A
1/ Iv ~
I'
2x + 3y ~ 4
'/
/
l/
y~X+3
.....
1/
-2x + 4
y = --3--
1/
I'-.
1/
y = x + 3
:, 3
/
Construrmos os gráficos de
Este processo baseia·se nas seguintes propriedades:
_
!oo..
é equivalente a
-1.
Adição
alx + bly = cl
Y = -3
X {
que levamos à primeira equação, encontrando:
A solução do sistema é o par ordenado
Lv
O sistema proposto
<==> 2y - 6 + 3y
<==> x
2x + 3y = 4, encontramos
Solução Gráfica
e substituímos x por este valor na segunda equação:
x-2=-3
em
A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2).
Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, temos:
2(y - 3) + 3y ~ 4
x = -1
2' (-1) + 3y = 4 ... y = 2
de uma das equações, na outra.
{
•
Substituindo a primeira equaçiio pela soma das duas equações, temos:
Solução Analltica
:z'?) processo:
2x + 3y = 4
3X - 3y = -9
{ 2x + 3y = 4
2x + 3y = 4
la) processo:
{
multiplicamos a primeira equação por 3
A.141 Resolver analftica e graficamente o sistema de equações:
{
X - Y = -3
Assim, no sistema
e
y =
'"
-2x + 4
---
y=
-2x + 4
3
'-L-
I
I
I
,3, ,-
A solução do sistema são as coordenadas do ponto de intersecção das retas, portanto
(-1,2).
A.142 Resolver analltica e graficamente os sistemas de equações.
a)
{x+ y = 5
x - y ~ 1
b)
- 2y = -14
ex
2x + 3y
8
c)
9
(2X - 5y
7x + 4y ~ 10
d)
{4X + 5y = 2
6x + 7y = 4
a)
{x + 2y ~ 1
2x + 4y = 3
fi
(2X + 5y = O
3x - 2y = O
99-A
A.143 Resolver os sistemas de equações:
t;'
a)
x - y
+
-
Sugestão: faça
b)
x + y
1
x + y
1
4
x + y + 1
+
e
= a
x - y
{,,;.,
VII. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
3
4
137. O coeficiente ..:- da função f(x); ax + b é denominado coeficiente
angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano.
b
X+Y
2
2x - y + 3
3
2x - y + 3
O coeficiente b da função y; ax + b é denominado coeficiente linear.
5
12
138. Exemplo
A.144 Obter a equação da reta que passa pelos pontos
(1, 2)
e
Na função y; 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear
é 1. Observe que se x; O temos y; 1. Portanto, o coeficiente linear é
a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.
(3, -2).
Solução
Seja y = ax + b a equação procurada. O problema estará resolvido se determinarmos o
valores de a e b.
Considerando que o ponto (1, 2), pertence a reta de equação y = ax + b, ae
substituirmos x = 1 e y = 2 em y = ax + b, temos a sentença verdadeiri
2 = a •1 + b
isto é:
Analogamente, para o ponto
-2 = a • 3 + b
a + b = 2
(3, -2), obtemos:
isto é:
EXERCíCIOS
3a + b = -2
A.146 Obter a equação da reta que passa pelo ponto:
igual a 2.
Resolvendo o sistema
a+b=2
{ 3a + b = -2
encontramos a = -2 e
e tem coeficiente angular
Solução
b = 4.
A equação procurada é da forma
Assim, a equação da reta é y = -2x + 4.
Se o coeficiente angular é
e
b) (1,-1)
d) (1, 2)
e
y = ax + b.
2, então a = 2.
Substituindo x = 1, y = 3
A.145 Obter a equação da reta que passa pelos pontos:
a) (2, 3) e (3, 5)
c) (3, -2) e (2, -3)
(1, 3)
e a = 2 em
3=2,1 +b
(-1,2)
(2, 2)
A equação procurada é
~
y = ax + b,
y = 2x + 1.
A.147 Obter a equação da reta que passa pelo ponto
igual a -3.
VI. IMAGEM
vem:
b=1.
(-2, 4)
A.148 Obter a equação da reta com coeficiente angular igual a
136. O conjunto imagem da função afim f: IR -+ IR definida por f(x); ax + I
com a
O é IR.
*'
f(x)
De fato, qualquer que seja y E IR
f(~); a· _y-b + b; y.
a
a
100-A
existe
x
y - b
a
E IR
ponto
e tem coeficiente angular
-
1
2
e passando pelo
(-3, 1).
A.149 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual
a 4.
A.150 Obter a equação da reta com coeficiente linear igual a
(-3, -2).
-3 e passa pelo
ponto
101-A
IR em IR, obter a lei de correspondência dessa!
A.151 Dados os gráficos das funções de
funções.
140. Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto
onde o gráfico corta o eixo dos x.
Exemplo
Fazendo o gráfico da função
y = 2x - 1, podemos notar que a reta
intercepta o eixo dos x em
x =
1
2 '
isto é, no ponto
x
y
O
-1
1
1
VIII. ZERO DA FUNÇÃO AFIM
IX.
139. Definição
Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = O
x é zero de
y = f(x)
<=>
Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equaçãc
do 1 Çl grau
De fato, resolvendo
x
ax + b = O,
b
a 0/= O,
vem
102-A
x =
f(x)
2x - 1 é
=>
f(xtl < f(x2))
f(xtl - f(x2)
temos
Xl -
b
--o
x
I
2
pois, fazendo
> O)
X2
y
a
Exemplo
1
2
é crescente no conjunto
pertencentes a A" com
e isto também pode ser posto assim:
a
ax + b = O <=> ax = - b <=> x
o zero da função
y = f(x)
x, e x 2
Em símbolos: f é crescente quando
("Ix}, X2)(XI < X2
ax + b = O
que apresenta uma única solução
141. Definição
A função f: A - > B definida por
A, C A se, para do is valores quaisquer
x} < X2' tivermos f(xtl < f(x2)'
O
f(x)
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES
2x - 1
Na linguagem prática (não matemática), isto significa que a função é crescente no conjunto AI se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de
y também aumenta.
_+-_~_-L_--"'--_---L
__
x
103-A
142. Exemplo
EXERCICIO
f(x) ~ 2x
A função
XI < x 2 =>
2x I < 2x 2
L....-J L....-J
f(xI) f(X2)
é crescente em
A.152 Com base nos gráficos abaixo, de funções de
IR, pois:
para todo Xl E IR
IR
em
IR, especificar os intervalos
onde a função é crescente ou decrescente.
e todo
X2 E IR.
a)
bl
y
y
143. Definição
x
Afunção f: A ---+ B definida por y ~ f(x)
AI C A se, para dois valores quaisquer XI e x 2
XI < x 2' tem-se f(xd > f(x 2 ).
é decrescente no conjunto
pertencentes a AI, com
y
cl
Em símbolos: f é decrescente quando
x
(Vx l , x 2)(Xt < x 2 => f(xd > f(x 2 ))
e isto também pode ser posto assim:
f(x l ) - f(x 2 )
Xl - x 2
Na linguagem prática, (não matemática) isto significa que a função é
decrescente no conjunto A I se, ao aumentarmos o valor atribuído a X, o
valor de y diminui.
< O)
x.
TEOREMA
v
145, "A função afim é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente
angular for positivo (negativo)".
x
144. Exemplo
A função
f(x) ~ -2x
=> - 2x I
'----------'
f(Xt)
é decrescente em IR, pois
>'----v------'
- 2X 2 para todo
tlx2 1
Notemos que uma mesma função
pode não ter o mesmo comportamento (crescente ou decrescente)
em todo o seu domínio.
y ~ f(x),
É bastante comum que uma função
seja crescente em certos subconjuntos
de D e decrescente em outros. O gráfico ao lado representa uma função crescente em IR+ e decrescente em IR_,
104-A
XI E IR e todo x2 E IR.
Fica como exercício provar que
f(x)
ax + b
decrescente equivale a
a < O.
y
EXERCICIOS
A.153 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR:
aI y = 3x - 2
bl y = -4x + 3
Solução
x
aI É crescente, pois o coeficiente angUlar é positivo (a = 31
b) É decrescente, pois o coeficiente angular é negativo (a = -4).
105-A
A.154 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em
IR.
b) V = -3 - 2x
d) V = 3 - x
f) V = 3x
a) V = 1 + 5x
cl v = x + 2
e) V = -2x
Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f(x)
em relação ao eixo dos x, não importando a posição do eixo dos y.
Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:
v = f(x)
A.155 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ou
constante) da função V= (m - l)x + 2.
•x
Solução
>
Se m - 1
O, isto é, m
portanto, crescente em IR.
> 1, então a função terá coeficiente angular positivo e,
tj
m - 1 < O, isto é, m < 1, então a função terá coeficiente angular negativo e,
portanto, decrescente em IR.
Se
m - 1 = O isto é, m = 1, então será função V = 11 - lIx + 2,
V = 2 que é constante em IR.
ouseja,
Se
A.156 Estudar segundo os valores do parâmetro
sinal de
_
V = f(x)
J
I
2
4
7
I
I
I
I
+ 6
Ó
;
+
O
x
•
I
I
i
.+
I
I
m, a variação (crescente, decrescente ou
Conclusão:
constante) das funções abaixo
f(x)
O <=<> x = -1 ou X = 2 ou x = 4 ou x = 7
f(x) > O<=<> -1 < X < 2 ou 2 < x < 4 ou x > 7
f(x) < O <==> x <-1 ou 4 < x < 7.
mlx + 2
dI v = m Ix - 1) + 3 - x
ai V = (m + 2)x - 3
c) V = 4 - (m + 3)x
b) V = (4 -
XI. SINAL DE UMA FUNÇÃO
EXERCICIO
14G. Seja a função f: A -+ B definida por y = f(x). Vamos resolver o problema
"para que valores de x temos f(x)
O, f(x) = O ou f(x)
O?"
<
>
Resolver este problema significa estudar o sinal da função
para cada x pertencente ao seu domínio.
y
a)
y
b)
V
y = f(x)
f(x)
Para se estudar o sinal de uma função, quando a função está representada
no plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada
de cada ponto da curva.
147
A.157 Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaixo.
x
Exemplo
Estudar o sinal da função
y = f(x)
cujo gráfico está abaixo representado.
V
cl
y = f(x)
V = h(x)
x
10G-A
------.x
107-A
XII. SINAL DA FUNÇÃO AFIM
com
Considerando que
x = -
b
a
o valor de x para o qual f(x) = O,
ocorre f(x) > O ou f(x) < O.
zero da função afim
Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b
a < O, é:
b
a
f(x) = ax + b,
+
examinemos, então, para que valores
.. x
O
Devemos considerar dois casos.
Podemos analisar o sinal da função f(x) = ax + b com a < O, construindo
o gráf ico cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente.
148. 1<;> caso:
a > O
f(x) = ax + b > O <==> ax > -b <==>
X >
f(x) = ax + b < O <==> ax < -b <==>
X
_ b
a
---------""'''<::"""-------_ X
< _ b
a
Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b
com a > O, é:
-~
a
f(x) = ax + b
(a> O)
.. x
+
O
150. Resumo
Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim
é construir o gráfico cartesiano.
1) A função afim
Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano é
uma reta e, se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente.
2) Para
Construindo o gráfico de f(x) = ax + b com
não importa a posição do eixo y, temos:
a > O, e lembrando que
x > -
x
b
a
~, temos:
a
a > O então f(x) = ax + b > O
a < O então f(x) = ax + b < O
isto é. para x > -
-------?-------- x
f(x) = ax + b anula-se para
3) Para
~ a função f(x) = ax + b tem o sinal de a.
a
b
x < - -,
a
temos:
<
O
se a > O então f(x) = ax + b
{ se a < O então f(x) = ax + b> O
149. 2~ caso:
a < O
isto é, para
f(x) = ax + b> O <==> ax > -b <==> x <f(x) =ax+b<O <==> ax < -b <==> x > -
1OS-A
b
a
b
a
x<-
b
a
a f unçao
f(x) = ax + b
tem o sinal de -a
(sinal
contrário ao de a).
Se colocarmos os valores de x sobre um eixo, a regra dos sinais da função
afim, pode ser assim representada:
l09-A
x <-~
a
x "" _J:!.
a
..
f(x)
tem o sinal de -a
==vO
..
x
..
x
a
O
tem o sinal de -a
tem o sinal de a
b
~
•
f(x)
..
f(x)
ou, simplesmente:
x
x> - ~
a
f(x)
tem o sinal de a
152. Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim
é construir o gráfico cartesiano.
Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano é
uma reta e a função é crescente (decrescente) se o coeficiente angular a é
positivo (negativo).
Assim nos dois últimos exemplos, temos:
flx)=2x-1
y
x
151. Exemplos
10 )
Estudar os sinais da função
f(x)
x
2x - 1.
Temos:
x =
f(x)
0=
2x - 1
0=
a
2==
a> O e
-a < O
flx) =-2x +4
1
2
EXERCt'CIOS
Logo:
para
para
x>
x <
A.158 Estudar os sinais das funções defmidas em R:
1
=
2
-
1
2
=
f(x) > O (sinal de
a = 2> O)
a)
f(x) < O (sinal de
-a=-2<01
c) y
Fazendo o esquema gráfico, temos
1
2?)
O
I
Estudar os sina is de
f (x)
..
x
+
-2x + 4.
x + 3
3
2
h) y = -x
x
2
4
v = 2x 3
g)
A.159 Seja a função de
ti
IR em
y
IR definida por
=
f(x) = 4x - 5.
Determine os valores
do domínio da função que produzem imagens maiores que 2.
Solução
x E R
tais que
e, ponanto,
a = -2 < O)
-a = 2 > O)
Fazendo o esquema gráfico
11O-A
d) y = 5 + x
2
x > 2 ==> f(x) < O (sinal de
x < 2 ==> f(x) > O (sinal de
f(x) = -2x + 4
4 - x
valores de
f(x) = O ==> -2x + 4 = O = x
a = -2 ==> a < O e -a > O
sinal de
bl y = -3x + 2
Os valorp.s do domínio da função que produzem imagens maiores que 2, são os
Temos
para
para
~
2x + 3
e) V = 3 2
sina I de
f(x) = 2x - 1
y ~
j----+---+:--------.:~
x> 7
4
A.160 Para que valores do domfnio da função de
IR em
IR definida por f Ix)
3x - 1
2
e imagem é menor que 47
A.161 Pere que velores de
x E IR a função
flxl
2
3
x
2
é negativa?
111-A
A.162 Sejam as funções
em
f(x) = 2x + 3.
R. Para que valores de x E
a) f(x) ;;;. g(x)?
b) g(x)
g(x) ~ 2 - 3x
a)
b)
c)
d)
x E IR,
4x - 1
definidas
2
A intersecção desses dois conjuntos é
1
4
R, tem-se:
< h(x)?
c) f(x) ;;;. h(x)?
.v
A.163 Dados os gráficos das funções f, 9 e h
definidas em IA:. Determinar os valores
de
h(x) ~
e
19
S = {x E IR 1-
IIt
~ ~ < ~} :]::::::::::::::::1""""""","""",::
x
1
:/f
1'\
tais que:
11
f(x) > g(x)
g(x) ~ h(x)
t(x) ;;;. h(x)
g(x)
4
e) f(x) ~ O
2
1---
1'\
EXERC(CIOS
11
>
x
I
A.164 Resolver as inequações em IR:
'\
I
,
. XIII. INEQUAÇOES SIMULTÂNEAS
< 3x - 1 < 4
bl -4 < 4 - 2x ~ 3
cl -3 < 3x - 2 < x
ai -2
di x + 1 ~ 7 - 3x
< ~ -1
2
< 5 < 6 - 2x
fi 2 - x < 3x + 2 < 4x +
el 3x + 4
A.165 Resolver os sistemas de inequações em IR:
153. A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequações simultâneas, isto é, equivale a um sistema de duas equações em x, separadas pelo conectivo e:
flx)
< g{x) < h{x) <== {
Indicando com
SI
f(X) <e glx)
g{x) < h{x)
o conjunto-solução de
a)
{3X -2>
cl
{
Q)
®
CD e S2 o conjunto-solução til
@, o conjunto-solução da dupla desigualdade é S = SI n S2'
4x + 1
5x + 1 ~ 2x - 5
b)
3x + 2 ;;;. 5x - 2
4x - 1 > 3x - 4
3 - 2x
x - 6
di
<
{
<
O
5 - 2x
3x + 1 ;;;. 4x - 5
x - 3 ;;;. O
{
2x - 5
~ -2
T-=-x
x2 + x + 3
x + 1
>x
A.166 Com base nos gráficos das funções f, 9
e h
definidas em
IR, determinar
os
valores de
<
x
E
IR,
tais
y
I
que
g(xl ~ h(x)
a) f(x)
bl g(x) ~ f(xl
h(x)
c) h(x) ~ flxl
g(xl
<
<
h/
"v v
v
"
T
154. Exemplo
/
"\
I'\.
®
Resolver
1/
/ gf- 1/
x
1/
~
3x + 2 < -x + 3 ~ x + 4
\
J
XIV. INEQUAÇÕES-PRODUTO
Temos que resolver duas inequações:
CD 3x + 2 < -x + 3 => 4x < 1 = x < 41
@
-x + 3 ~ x + 4 => -2x ~ 1 => X ;;;. _
112-A
1
2
155. Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações
f(x) • g(x) > O, f(x)· g(x) < O, f(x). g(x) ;;;. O e f(x). g(x) ~ O
são denominadas inequações-produto.
113-A
/
156. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto-solução 5 da
29 caso
inequação f{x)' g(x) > O.
Cada um dos fatores é negativo, isto é:
De acordo com a regra de sinais do produto de números reais, um número
Xo é solução da inequação f{x). g(x) > O se, e somente se, f(x o) e g(xo),
x + 2
não nulos, tem o mesmo sinal.
< O ==> X < -2
e
-2
2x-1<O~x< 1
1<:»
A intersecção das duas so luções é:
2<:»
1111111111111l11111~,tIIPlII110)_---------'.....
X
2
Se 51 e 52 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações
então 51 n 52 é o conjunto-solução do sistema.
53 n 54 = {x E IR I x
1
Se 53 e 54 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações,
então 53 n 54 é o conjunto-solução do sistema.
< -2 }
O conjunto-soiução da inequação
{x E R I x>
Daí condu ímos que o conjunto-solução da inequação do produto
5 = {x E R I x < -2
f(x) • g(x) < O.
ou x >
1 }
2
Fazemos inicialmente o estudo dos sinais das funções
g(x) = 2x -
t(jf-----~:~--+---'Il:.-
157. Exemplo
(x + 2)(2x - 1) > O.
gd
-2
Cada um dos fatores é positivo, isto é:
_ _ _-(O+t1l111l111~1I111111111111111111111111l..
,
,,
> O~ x > 1
glxl
flxl • g(x)
------'+>
1
A intersecção das duas soluções é
51 n 52 = {x E IR I x
)(
----------<0'1\1111111\ ",""Hlllll ~ x
2
>
t}
1
+ --
e
x
..
2
x
o
flxl
-2
e
x + 2
:
.1.
11! caso
x + 2 > O ==> X > -2
f(x)
Com o objetivo de evitar cálculos algébricos no estudo dos sinais do
produto f(x)· g(x), usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadroproduto, no qual figuram os sinais dos fatores e o sinal do produto.
Analisando os dois casos possíveis
114-A
2
158. Vejamos, um outro processo, mais prático para resolvermos a inequação
(x + 2) • (2x - 1) > O em R.
Raciocínio análogo seria feito para a inequação
2x -
1.} U {x E IR I x < -2}
portanto
f(x) • g(x) > O é
e
2
(x + 2)(2x - 1) > O é:
f(x) < O e g(x) < O
Resolver em R a inequação
_
e
Assim, são possíveis dois casos:
f(x) > O e g(x) > O
x
11""1 I1 I1 1I I I I I Q } - - - - - - - - - -
+
o
+
o
+
:r---D+tt++++II.lllllllll'lll'
-2
2
o
1
2
s
{x E IR I x < -2 ou
x> -1 J2
115-A
sinais de um
159. Podemo s estende r o rac'loclnlo empreg ado no estudo dos
fatores.
dois
de
mais
com
produto
um
produto de dois fatores para
{
(3x + 1) • (2x - 5) > O
ou
(3x + 1) • (2x - 5) = O
CD
@
Exemplo
Resolver a inequaç ão
(3x - 2)(x + 1)(3 - x) < O em IR.
Analisando os sinais dos fatores, temos
l
f(x) = 3x - 2
x
.3O
~
+
..
x
-1
g(x) = x + 1
•
+
O
2
3
O
hlxl
+
fi xl • glx) • h(xl
+
x
3
+
+
+
+
+
+
+
flx)
O
O
.r-.
~
-1
1-
< x < 23
3
ou
116-A
2
3'
2
5
x;;;. -}
2
1
3
O
~
3x + 1
glxl:2 x-5
flx) • glxl
+
5= fxE IRlx~ -.!.
3
l
ou
O
5
2
+
x
+
O
+
O
+
f(x) • g(x)
ou
{
>O
f(x) . g(x) = O
(3x + 1)(2x - 5) ;;;. O em IR,
(3x + 1)(2x - 5) ;;;. O é equival ente a:
x;;;'
~}
2
161. Dentre as inequaç ões-pro duto, são importa ntes as inequaç
[f(x))" < O, [f(x))" ;;;. O e [f(x))" ~ O, onde n E N*,
ões; [f(x))" > 0,
dades das
Para resolvermos estas inequaç ões, vamos lembrar duas proprie
inteiro:
te
expoen
e
potênci as de base real
a o sinal da
1?) "toda potênci a de base real e expoen te ímpar conserv
base", isto é
a2n +1 > O
A inequaç ão
_5 }
5 U {_ _1
> -}
x > 3}
ou
Exemplo
Resolver a inequaç ão
x
5e recorrês semos ao quadro- produto , teríamo s:
flx)
+
5 a reunião do
160. A inequaç ão f(x). g(x) ;;;. O tem por conjunt o-soluç ão
o solução
conjunt
o
com
O
conjunt o-soluç ão 51 da inequaç ão f(x)· g(x) >
52 da equação f(x). g(x) = O, isto é
f(x) • g(x} ;;;. O _
1
5 = {x E IR I x ~ __
3
O
3
5 = {x E IR I -1
%}
52 = {_ ~,
ou seja:
O
glxl
@ temos
ou
Vamos, agora, constru ir o quadro- produto :
-1
Resolve ndo
x
3
h(x) = 3 - x
5
CDI temos 51 = {x E IR I x < - 31 ou x > "2}
o conjunt o-soluç ão é:
..
+
O
Resolve ndo
_
-=
2n
a +1 < O -=
a2n + 1 = O
a> O
a =O
a <O
In E ~)
117-A
2':»
"toda potência de base real e expoente par é um número real não
negativo", isto é
EXERCfclOS
A.167 Resolver em IR as inequações:
-a) (3x + 3)(5x - 3)
>O
.- cl 15x + 2)(2 - xl(4x + 3)
a2n ~ O, Va E IR, V n E IW
<O
_. b) (4 - 2x)(5 + 2x)
>O
- d) 13x + 21{-3x + 4)(x - 61
<O
e)
(6x - 1 )(2x + 7) ~ O
f)
g)
13 - 2x)(4x + 1)(5x + 3) ~ O
h) (5 - 3x)(7 - 2xl(1 - 4xl ,,;; O
(5 - 2x)(-7x - 21 ,,;; O
A.168 Resolver em IR as inequações:
Assim sendo, temos as seguintes equivalências:
[f(x)]n > O
= { f(x) > O se
f(x)
* O se
n
n
a)
(x - 3)4
cl
14 -
é ímpar
é par
A.169 Resolver em
[f(x)]n < O
[f(x)]n ~ O
,
[f(x)]n ,,;; O
= { f(x) < O
se
se
n
n
é ímpar
é par
= {f(X) ~ O se
n
n
é Impar
é par
n
n
é ímpar
é par
~ x E IR
V x E D(f) se
=
{ f(x) ";;0
f(x) = O
se
se
>O
<
>
(3x + 8)3
O
d) 11 - 7x)5
O
3
f) (5x + 1 1 ,,;; O
h) (3x - 8)5 ~ O
b)
5x)6 < O
2
e) (3x + 51 ~ O
gl 14 + 3x)4,,;;0
IR a inequação
(x - 31
5
• (2x + 31
6
< O.
Solução
Estudemos separadamente os sinais das funções f(x) = {x - 31 5 e g{xl = 12x > 3)6
lí~mbrando que a potência de expoente ímpar e base real tem o sinal da base,
então, O sinal de {x - 3)5 é igual ao sinal de x - 3, isto é:
fw1+--------.;~:---+----I:A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6
é positivo se
x*"-
~ e (2x + 3)6
2
á nulo se
x "" -
~, isto é:
+
.
2
3
Jf------~.2
~Wl
Exemplos
1°)
2':»
(3x - 2)3> O
=
(4x - 3)6> O =
3.}
3
*
flx)
~}
g(x)
4x - 3
*
IR I x
+
4
(2x + 1)5 < O =
(x - 2)4
< O=
== S
=
O
5
A.170 Resolver em
{4}
O
3
<3
IR as inequações:
ai 15x + 4)4. (7x - 2)3 ~ O
IR
(8-2x)4";;0=8-2x=0==S
~}
+
+
+
"O
S = {x E IR I x
S = {x E IR I x,,;;
x
O
+
3
2
S= 0
(3 - 5X)7 ~ O == 3. - 5x ~ O =
(4x - 5)2 ~ O
~}
2x + 1 < 0 = S = {x E IR I x < -
3
-.O
flxl • glxl
3':»
O
Fazendo o quadro-produto, temos:
3
2
3 x - 2 > 0 = S = {x E: IR I x>
0 = S = {x E
+
>
3
b) 13x + 11 • 12 - 5x)5 • Ix + 41 8
O
7
cl Ix + 61 • 16x - 21 4 • (4x + 5) 10 ,,;; O
d) (5x - 1) • 12x + 6)8. (4 - 6x)6 ~ O
118-A
119-A
b) h(x)
XV. INEQUAÇÕES-QUOCIENTE
1 - x < O,
~
3x + 4
.;;; 2
1 - x
162. Sendo
f(x)
e g(x)
duas funções na variável x, as inequações
> O f(x) < O f(x)
f(x)
g(x)
, g(x)
, g(x)
;;;. O e f(x)
g(x)
isto é,
x > 1
=> 3x + 4 ;;;. 2( 1 - x)
=>x;;;.-
.5 2 ~ {x E IR I x > 1} n {x E IR I x > -
.;;; O
2
5
l} ~ {x E IR I x > 1}
5
o conjunto solução é:
são denominadas inequações-quociente.
\
Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de números
reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo
análogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de uma
fração não pode ser nulo.
5 ~ 51 U 52 ~ {x E IR I x .;;; -
%ou x > l}
Daremos sempre preferência ao método do quadro-quociente, por sua maior
simplicidade.
163. Exemplo
Resolver em
Temos:
1 - x
3x + 4 .;;; 2 ==>
l-x
=>
EXERCICIOS
3x + 4
IR a inequação - - - .;;; 2.
3x + 4
l-x
\ A.171 Resolver as inequações em IR:
3x + 4 - 2( 1 - x)
l-x
_ 2 .;;; O ==>
.;;; O==>
__
5x + 2 .;;; O
1 - x
2
5
t(xl = 5x + 2
+
dl~';;;l
.;;; 2,
multiplicando por
h(x)
1 - x
.;;; 2
isto é,
(1 - 2x)(3 + 4xl
(4 - xl
IR:
>0
dI
<
2
x+3
bl
c)--"-.:':...!..>~
x < 1
=>x.;;;-l.
5
51 ~ {x E IR I x < 1} n {x E IR I x .;;; -
1..} ~ {x E IR I x .;;; - 1..}
5
bl
(3x + 11
(2x + 51(5x + 3)
(1 - 2x)
(5 - x)(3 - xl
<O
.;;; O
A.174 Resolver em IR as inequações:
x-4
=> 3x + 4 .;;; 2( 1 - x)
2x - 4
(5x + 4) (4x + 11
(5 - 4xl
ai _1_
e examinando dois casos:
3x + 4
120-A
cl
x> l}
5 ~ {x E IRlx';;;- 2 ou
5
+4
;;;. 3
A.173 Resolver as inequações em
5
1 _ x
<2
cl -"---.::...!.
x +1
a)
a) h(x) ~ 1 - x > O,
.;;; O
bl 5x - 2
3x + 4
2
- x
3 - 2x
O
+
O
3x
;;;. O
_ dI -3 - 2x
3x + 1
3x - 4
+
+
+
Podemos resolver a inequação
~ bl~ <O
ai 5x - 3 >-1
x
O
~
cl 3 - 4x
5x + 1
>0
A.172 Resolver em IR as inequações:
Fazendo o quadro-quociente, temos
g(x) = 1 - x
f(x)
~.a)~
x + 2
x+2
x+4
el 5x + 2
>~
4x - 1
4x + 5
gl _2_ ;;;. _1_
3x - 1
x - 1
1
i<='T
<
2
x-2
di ~ .;;; .2'.....:2.
3x + 2
ti
1
i<='T
3x + 5
+
2
x=2
3
""X=3'"
<O
x + 1
5
121-A
Jovem luta para ser ouvido
Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Findo, na Noruega.
Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as "Disquisitiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências
racionais.
Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto
à fam(lia, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num
artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe
uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era
uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava
resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas
passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema
de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.
Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns
de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.
Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de
mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo
escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. ~abei
um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy
não se dignou a olhá-lo".
Abel esperava obter um posto de
professor em alguma Universidade e por
isso deixou suas memórias com Cauchy
para que fossem examinadas mas este logo
as perdeu e ficaram esquecidas.
Devido à falta de recursos morreu
aos 26 anos, de tuberculose, deixando
profundos e importantes resultados em
Álgebra e Teoria dos Números.
Dois dias após sua morte chegou
finalmente a carta informando que havia
sido nomeado professor na Universidade
de Berlim.
Em 1830, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em
1841 pelo Instituto Francês e que Legendre
classificou como "um monumento mais
durável que o bronze", contendo imporNiels H. Abel
(1802 - 1829)
tantes generalizações sobre funções el íticas.
CAPÍTULO VII
FUNÇÕES
QUADRÁ TICAS
I. DEFINiÇÃO
164. Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função quadrática
ou do :!! grau quando associa a cada x E IR o elemento (ax 2 + bx + c) E IR,
onde a *- O. Isto é: f: IR ->- IR
x ...... ax 2 + bx + c, a *- O.
Exemplos de funções quadráticas:
b ~ -3, c ~ 2
b ~ 4, c ~ -3
onde
a
2
b) fi x) ~ 2x + 4x - 3
onde
a ~ 2,
c) f(x) ~ _3x 2 + 5x - 1
onde
a ~ -3, b ~ 5,
c ~ -1
2
x 2 - 3x + 2
a) f(x)
~
1,
d) f(x)
x
4
onde
a ~ 1,
b ~ O,
c ~ -4
e) f(x)
_2x 2 + 5x
onde
a ~ -2, b ~ 5,
c ~ O
f) f(x)
_3x 2
onde
a ~ -3, b ~ O,
c ~ O
11.
-
PARÁBOLA
165. O gráfico da função quadrática é uma parábola. (*)
(.) Isto é provado mais adiante no volume de Geometria Analftica desta coleção.
123-A
122-A
Exemplos
1?)
111. CONCAVIDADE
Construir o gráfico de
x
Y 7 x2 - 1
-3
-2
8
3
O
-1
O
1
-1
O
2
3
3
8
y
y = x2 - 1
166. A parábola representativa da função quadrática y = ax 2 + bx + c pode
ter a concavidade voltada para "cima"
ou voltada para "baixo".
Se
a > O,
a concavidade da
parábola está voltada para cima.
x
x
y
Se
a < O,
a concavidade da
parábola está vo Itada para ba ixo.
x
2?)
Construir o gráfico de
x
y = _x 2 + 1
-3
-8
-3
y = _x 2 + 1
IV.
FORMA CANÔNICA
x
-2
-1
O
1
2
O
1
O
-3
3
-8
167. A construção do gráfico da função quadrática y = ax 2 + bx + c com o
auxílio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior,
torna-se as vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns
valores inteiros e pode acontecer que em determinada função quadrática os valores
de abscissa (valores de x) onde a parábola intercepta o eixo dos x ou a
abscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros.
Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática,
vamos inicialmente transformá-Ia em outra forma mais conveniente, chamada
forma canônica.
EXERCICIOS
f(x) = ax 2 + bx + c = a(x 2 +.Q. x + f-) = a[x 2 +.Q. x + b _
+ ~] =
a
a
a
4a 2 4a 2 a
2
2
= a[(x 2 +.Q.x + b ) _ ( b _.f.)] = a[(x +..2-)2 _ (b; - ;ac)]
2
a
4a
4a 2 a
2a
4a
2
A.175 Construir os gráficos das funções definidas em
IR:
2
a) y = x
b) y = _x 2 •
2
c) y = 2x
d) y = _2x 2
el y = x2 - 2x
2
1) y = _2x - 4x
.!t-
Representando b 2 - 4ac por 6, também chamado discriminante do
trinômio do segundo grau, temos a forma canônica.
2
- 3
h) y = x 2 - 2x + 4
g) Y = _3x
A.176 Determinar uma função quadrática f tal que f(-l) = -4. f(l) = 2 e f(2) = -1.
124-A
125-A
171. Interpretando geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática
são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
V. ZEROS
168. Definição
Exemplo
"1
Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c são os valores
de x reais tais que f(x) = O e, portanto, as soluções da equação do segundo grau
ax 2 + bx + c = O.
Utilizando a forma canônica, temos:
~;
Construindo o gráfico da função
x2 - 4x + 3 podemos notar que
:'a parábola corta o eixo dos x nos
. pontos de abscissas 1 e 3, que são
as raízes da equação x 2 - 4x + 3 = O.
tv
ax 2 + bx + c = O <=> a[(x + --E. )2 - ~ I = O <=>
2a
4a 2
<=> (x +
<=> X +
L\ O <=> + ~)2
A <=>
2a
4a
± vzs: <=>
-b ± yz;2a
2a
~)2 2a
b
2a
=
x
4a
(x
=
=
2
X =
EXERCICIOS
169. Discussão
A.177 Determinar os zeros reai,s das funções:
Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau
ax 2 + bx + c = O fica condicionada ao fato de v;5. E IR. Assim, temos três
casos a considerar:
l?l
Â
> O, a equação apresentará duas raízes distintas que são
Xl =
2?)
 =
-b + VIS.
2a
e
...n;. .
-b -
X2 =
d) f(x) = x
2
+ 7x - 12
2
- 7x + 2
- 2x + 2
2
2"
VIS. fi IR,
diremos que a
170. Resumo
ax 2 + bx + c = O <=>
c) f(x) = 3x
2
2
h) f(x) ~ _x + 3x - 4
2.r;,
1
i) f(x) = x - V 2x +
-b
-.
2a
Â> O ~ x =
b) f(x) = _x
•
- 3x + 2
+ 4x + 4
23
f) f(x) = -x + - x + 1
2
2
9) f(x} = x - 2x - 1
2a
3?) Â < O, considerando que nesse caso
equação não apresenta ra ízes reais.
2
e) f(x) = x
O, a equação apresentará duas ra ízes iguais que são
Xl = X2 =
a) f(x) = x
-b + f i
2a
ou
X =
-b-~
2a
j) f(x) = x 2 + (1 - V3)x - V3
2
k) f(x) = 2x - 4x
2
I} f(x) = _3x + 6
2
m) f(x) = 4x + 3
2
n) f(x) = _5x
A.178 (MAPOFEI-76) Resolver o sistema
-b
2a
 < O ~ não existem raízes reais.
Â=O~x=
127-A
126-A
A.179 Determinar os zeros reais da função f(x)
x
4
- 3x
2
- 4.
A. 187 Determinar oS valores de m para que a equação
mx 2 + (2m - 1Ix + (m _ 2) ~ O não tenha ra(zes reais.
Solução
Queremos determinar
x E IR
tal que
x
4
- 3x
2
- 4 = O.
A.188 Mostre que na equação do 2':' grau
2
Fazendo a substituição
z = 4
ou
z = -1
mas
P = XI • x2 ~
z = x:l,
então:
x2~4=>x~±2
e
x
2
~ -1
Logo. os zeros reais da função
c)
el
g)
= ~ E4
X
t(xl ~ x
- 3x
2
- 4
são
X~ 2
e
X
cl .2.
XI
d) (x 1 12 + (X2)2
el~ + ~
x2
..
Solução
f(x) ~ mx 2 + (2m - 1)x + (m - 21.
e
temos:
Ll ~ 4m + 1.
Considerando que a função é quadrática e os zeros são reais e distintos então:
'*
O
e
Ll ~ 4m + 1 > O
ou seja
m
>_ 1
4
A.182 Determinar os valores de m para que a função quadrática
2
f(x) ~ (m - 11x + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos.
i'-..,...-1
A.183 Determinar os valores de m
2
(m + 21x
para que a equação do 2':' grau
.
+ (3 - 2m Ix + (m - 1) = O tenha ra(zes reais.
A.190 Mostre ClJe uma equação do 2 0. grau d e ra (zes XI e X2 é a equação x
onde S = x I + x2 e P ~ x I • x2·
A~5 Determinar os valores de m para que a equação
\.Y~ x2 ~ (3m + 21x + (m 2 + m + 2) ~ O tenha duas ra(zes reais iguais.
.
A.186 Determinar os valores de m para que a função
2
f(x) = (m + 11x + (2m + 31x + (m - 1) não tenha zeros reais.
128-A
2
- Sx + P = O
A.191 Obter uma equação do segundo grau de raizes:
a) 2 e -3
bl .!.. e
3
2
2
cI 0.4 e 5
-..ri
di 1 e
e)
1 +
v'3 e 1 - Y3
-J.. O
A. 192 Se a equação ax 2 + bx + c ~ O• a.,.•
x2. obter a equação de rarzes:
aI (x 112 e
b)
A.1114 Determinar os valores de m para que a função
'-_/ t(xl ~ mx 2 + (m + 1)x + (m + 1I tenha um zero real duplo.
Xl
(x 1 13 + (x213
f)
a = m
calcular:
-2.
A.181 Determinar os valores de m para que a função quadrática
t(x) = mx 2 + (2m - 1)x + (m - 21 tenha dois zeros reais e distintos.
a = m. b ~ 2m - 1. c = m - 2
2x 2 • 5x - 1 ~ O de raizes Xl e X2.
IR.
b) f(x)
_x 4 + 5x 2 + 36
d) f(x)
x4 - 4x 2 + 4
f) f(xl
_x 4 + 3x 2 - 3
hl f(x) ~ x6 - 7x 3 - 8
f(x) = x4 - 5x 2 + 4
f(x) ~x4 - x 2 - 6
4
2
flxl ~ 2x + 6x + 4
t(xl ~ 3x 4 _ 12x2
Na função
x2.
c
a
A.189 Na equação do 2':' grau
A.180 Determinar os zeros reais das funções:
a)
de raizes reais xl e
temos para a soma S d as ra (zes S ~ Xl + x2 ~ ~
a e para produto P das ra(zes
z == x , vem:
z2 _ 3z - 4 ~ O
cuja solução é
2
ax + bx + c ~ O.
1
Xl
c) ~
e ~
Xl
e
(x21
A.193 Determinar
m
~
x2
e
1
e
dI (XI)3
Xl
(x212
Xl
Xl
admite as ra(zes reais não nulas
3
na equação
+ ~ = 4, onde
Xl
e
mx2 _ 2(m - 1)x + m = O
x2
para que se tenha
são as ra(zes da equação.
Xl
129-A
174. Exemplos
VI. MAxlMO E MfNIMO
19)
Na função real
f(x) = 4x 2 - 4x - 8 temos: a = 4, b = -4, c = -8
e  = 144.
172. Definição
a = 4 > O,
Como
Dizemos que o número YM E Im(f) (Ym E Im(f)) é o valor de máximo
(mínimo) da função Y = f(x) se, e somente se, YM;;;' Y (Ym';;; Y) para
qualquer Y E Im(f) e o valor de XM E D(f) (x m E D(f)) tal que YM = f(XM)
(Ym = f(x m )) é chamado ponto de máximo (mínimo) da função.
YM =
-Â
a função admite um valor mínimo:
4a
-144
4·4'
-b
2a
2·4'
em
xm
4
173. Teorema
29)
"A função quadrática Y = ax 2 + bx + c admite um valor máximo (mínimo)
-b
em x = se, e somente se, a < O (a > O)".
Y= -
-9
isto é:
Xm =
2'
1
= _x 2 + x + ~, temos: a = -1, b = 1, c = ~
f(x)
Como
a = -1
< O, a função admite um valor máximo:
YM =
-Â
4a
Y = a [(x + :a)2 -
Considerando que
(x +
4~2 1
-4
4(-1) ,
isto é:
YM = 1
isto é:
XM = -
em
Consideremos a função quadrática na forma canônica
-b
2a
-1
2(-1) ,
1
2
(1)
~)2;;;, O V x E IR
e -Â para uma dada
2a'
4a 2
função tem valor constante, então Y assumirá valor máximo (mínimo) quando
< O (a > O)
=
2a
Demonstração
a
Ym
e  = 4.
-Â
4a
Na função real
isto é:
VII. VÉRTICE DA PARABOLA
e a diferença
175. Definição
o ponto
(x + ~)2 = O =
2a
x
-b
2a
x = -b
2a
EXERCíCIOS
. .
I
mlnimo e o ponto de máximo ou o ponto
A.194 Determinar o valor maxlmo ou o va or
,
de mlnimo das funções abaixo, definidas em IR.
em (1) temos
-Â
4a
130-A
é chamado vértice da parábola representativa da
função quadrática.
for a menor possível, isto é
Substituindo
V( -b
-Â)
2a' 4a
a) y = 2x 2 + 5x
b) y = -3x 2 + 12x
c) y = 4x 2 - 8x + 4
d) y = x 2 - -
e) y = _x 2 + 5x - 7
fi y = -"2 + "3 x - 2
7
5
x +
2
2
x2
4
1
131-A
A.195 Determinar o valor de m na função real
mínimo seja
3x 2 - 2x + m
flxl
para que o valo
~.
A.206 Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrit~ um retângulo.
Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retangulo está sobre
a base do triângulo.
A.196 Determinar o valor de m na função real
_3x 2 + 21m - 1) x + (m + 11 par;
f(x)
que o valor máximo seja 2.
A.197 Determinar o valor de m na função real
mx 2 + (m - llx + (m + 21
flx)
par;
que o valor máximo seja 2.
A.19B Determine o valor de m
na função real
Im - lIx 2 + (m + l)x - m
f(x)
par;
A.207 Determinar os vértices das parábolas:
a) y == x 2 - 4
bl y ~ _x 2 + 3x
cI y ~ 2x 2 - 5x + 2
2
el y = _x 2 + x 9
d) y ~ _x 2 +
fi
y
1
3
"2 x + 2
~ x2 - 2 x - 2
3
que o valor m{nimo seja 1.
A.199 Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo
Solução
VIII. IMAGEM
Indicando por x e z esses números e por y o seu produto, temos:
x + Z = 8
y == x • z.
Como precisamos ficar com uma só das variáveis x
x+ z~ 8
ou z, fazemos
==>z=8-x
176. Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente
a função na forma canônica:
f(x) ; a [(x +.-!?. )2 - ~]
2
e portanto
Como
a
2a
y
= x • z => y = xl8 - xl => y
-1
< o. y é máximo quando
x
Substituindo em
-b
2a
z = 8 - x
-8
2· (-1)
vem
z
-x 2 + 8x.
=> x = 4.
4.
Logo, os números procurados são 4 e 4.
A.200 Dentre todos Os números reais x e z tais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo
produto é máximo.
ou seja
f(x) ; a(x + - b )2 -
qualquer
x E IR
2a
C1
4a
4a
Observemos que
para
então temos que considerar dois casos:
1'?) caso
;;. O e, portanto:
a> O => a(x + ~)2
2a
Y
a{x + b- )2
2a
C1 ;;. -C1
4a
4a
A.201 Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.
A.202 Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é
mínima.
A.203 Determine o retângulo de área max,ma localizado no primeiro quadrante. com dois
lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5.
A.204 t dado uma folha de cartolina como na
figura ao lado. Cortando a folha na
linha pontilhada resultará um retângulo.
Determinar esse retângulo sabendo que
a área é máxima.
A.205 Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4 em,
estando a base do retângulo num lado do triângulo.
132-A
2'?) caso
a < O =? a(x + ..E...)2 .;;; O e, portanto,
2a
-C1
C1 .;;;--.
a(x + ..E..)2
y
2a
4a
4a
Resumindo:
a>O -
-C1
y;;' 4a' "Ix E IR
a<O -
y .;;; 4;' "Ix E IR.
-C1
133-A
177. Provemos agora que a imagem da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c
Im = {y E IR I y ;;;. ~}
4a
-Â
e portanto:
-
a > O
para
Como
=
4a
-16
4·2
-
= -2.
a = 2> O, temos:
Im(f) = {y E IR I y ;;;. -2}
e
_
Im = { y E IR I y .;;; -Â}
4a
para
a
< O.
2':»
x2
f(x) = - -
Vamos provar só para o caso em que a > O.
f(x) = ax2 + bx + c
Para provarmos que a imagem da função
De fato, seja
y E Im,
2a
x2
1>
f(x) = - + 2x - 3
3'
1
a=-"3'
logo:
então podemos escrever
IR
de
em
R
definida por
temos:
5
c = -3
e
b=2
= b 2 - 4ac = 22 - 4 • (- ..!..) (- ~)
Â
y=a(x+~)2_~
f
3
Na função
é
Im = {y E IR I y ;;;.~} para a > O, devemos mostrar que qualquer que
4a
seja y E Im existe x E IR tal que y = ax 2 + bx + c.
3
Obter a imagem da função
5
+ 2x - -.
3
3
16
9
e portanto:
4a
16
ou seja:
y + ~ = a(x + ~)2
4a
(1)
4
3
9
4a
. o primeiro
. . mem b ro d a
y + - Â r~ O, .Isto e,
. 4a
igualdade (1) é não negativo, logo o segundo membro também o será, isto é,
Como
-Â
y r~ -4a'
2a
-Â
temos
Como
a = _.! < O, temos:
3
I m (f) = {y E IR I y .;;; ~}
a(x + ~)2;;;. O
2a
e como
a > O,
temos:
EXERCICIOS
A.20S Determinar a imagem das funções definidas em IR:
ai y = x 2 - 3x
que é uma inequação do segundo grau com solução x E IR.
b) y = _x 2 + 4
c)
v = 3x 2 - 9x + 6
d) y = -4x 2 + 8x + 12
178. Exemplos
el y = _x 2 +
1':»
Obter a imagem da função f de IR
= 2x 2 - 8x + 6.
Na função f(x) = 2x 2 - 8x + 6, temos:
a = 2,
em IR definida por
b = -8 e c = 6
fi
y =
~x + 1
2
.! x 2 + x + 1
2
A.209 Determinar m na função f(xl = 3x 2 - 4x + m
seja Im = {v E FI I y ~ 2}.
definida em IR para que a imagem
2
logo:
Â
134-A
f(x)
= b2 - 4ac = (_8)2 - 4 • 2 • 6 = 16
A.210 Determinar m na função f(x) = - x + mx - .!... definida em FI para que a imagem
seja Im = {y E FI I y .;;; 7}.
3
2
135-A
IX. EIXO DE SIMETRIA
19) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta
perpendicular ao eixo dos x.
y
179. "O gráfico da função quadrática
admite um eixo de simetria perpendicular
ao eixo dos x e que passa pelo vértice".
29)
(baixo).
39)
Os pontos da reta perpendicular ao
eixo dos x e que passa pelo vértice da
.±
2a
Se a > O (a < O), a parábola tem a concavidade voltada para cima
Zeros da função
Se ll. > O, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos
x ~ -b
2a'
po is todos os pontos dessa reta tem
P (-b - ~
parábola obedecem a equação
abscissa
x ~
x
Se ll. ~ O,
-b.
2a
O)
2a'
1
e
P (-b + ~ O)
2
2a
'
P(~, O).
a parábola tangencia o eixo dos x no ponto
2a
Se ll. < O, a parábola não tem pontos no eixo dos x.
Para provarmos que a parábola tem eixo de simetria na reta
x ~ -b
2ã'
-b - r, y), com "r E IR, pertencente
devemos mostrar que dado um ponto A(2ã
ao gráfico da função, existe
B( -b + r, y)
49) Vértice da parábola é o ponto V(~, -ll.) que é máximo se a < O
ou é mínimo se a > O.
2a 4a
Seguem-se os tipos de gráficos que poderemos obter:
também pertencente ao gráfico da
2a
função.
Tomando a função quadrática na forma canônica
y
a
>0
e
y
a
>0
y
a
>0
e
ll.<o
ll.>o
f(x) ~ a[(x + ~)2 - ~]
2a
4a 2
e considerando que
-b
A(_ - r, y)
2a
pertence ao gráfico da função temos:
y ~ f (--b - r ) ~ a [( --b - r + -b) 2 - - ll.]
2a
2a
4a 2
2a
~
x
ll.]
a [ (-r) 2 - 4a 2
~ a[(r)2 - 4ll.a2 ] ~ a[( -b + r + ~)2 -~]
~ f(~+ r)
2
2a
provando que
B( -b + r, y)
2a
2a
4a
2a
y
y
y
também pertence ao gráfico da função.
I
IV
x
X. GRÃFICO
180. Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) ~ ax 2 + bx + c,
buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são:
a <o
e
ll.>o
•
ll.<o
136-A
137-A
Gráfico
EXERCICIOS
x
A.211 Fazer o esboço do gráfico da função
y
x 2 - 4x + 3.
Solução
Concavidade
Como a = 1
> O a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Zeros da função
x 2 - 4x + 3 = O
== x
ou
=
Os pontos no eixo x são
A.213 Fazer o esboço do gráfico da função
x = 3
P[ (1, O)
e P2 (3, O)
~ x2 + x + 1 •
y
2
Solução
Concavidade
Vértice
Em
y
Como a = ~
= x 2 - 4x + 3, temos
a = 1,
b = -4,
c = 3
como~ = _4_ = 2
2a
o vértice é
2 • 1
Zeros da função
+
 = 4
e
e
Â
-4a -
> O, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
-4
47T
-1,
==
x2 + x + 1 = O
y
Â
= -1 < O
== ~ ra(zes reais.
A parábola não tem pontos no eixo dos x.
V(2, -11.
Vértice
Em
Gráfico
a = ~,
Observe que a parábola sempre intercepta o eixo
y.
Para determinarmos
onde o faz, basta lembrar que o ponto
situado no eixo y tem abscissa nula,
logo y(O) = 0 2 - 4· O + 3 = 3,
isto
é, o ponto no eixo y é (O, 3).
1. x2 + x + 1;
y =
Como
2
b = 1,
-b
2a
c = 1 e  = -1.
-1
2. 1.
2
x
temos:
-1
e
4a
1
1
4 • 1..
2
2'
o vértice é
1
V(-l, -2 l.
Gráfico
Determinado o ponto onde a parábola corta o eixo Y, podemos determinar um outro
ponto (4, 3) da parábola, simétrico a (O, 3) em relação a reta x = 2 (eixo
de simetria da parábolal.
A.212 Fazer o esboço do gráfico da função
y
_x 2 + 4x - 4.
Solução
Concavidade
Como a = -1
A.214 Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em IR:
Zeros da função
-x 2 + 4x - 4 = O
A parábola admite um único ponto no eixo x que é
a) y
P
(2, OI.
Vértice
Considerando que a parábola admite um único ponto no eixo
é o vértice da parábola.
138-A
x
< O a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
X,
então esse ponto
x2 - 2x - 3
1
c) y = _x 2 + !..x+
2
2
e) y = x 2 - 3x + 9
4
gl y = _x 2 + x - 1
b) y = 4x 2 - 10x + 4
d) Y = -3x 2 + 6x - 3
f)
y = 3x 2 - 4x + 2
hl y
-!.. x2 - x - 3
2
2
139-A
Exemplos
XI. SINAL
como
181. Consideremos a função quadrática
f(x) = ax 2 + bx + c
e vamos resolver o problema: "para que valores de
a) f(x)
b) f(x) < O;
> O;
(a
*
19) f(x) = x 2 - 2x + 2 apresenta
a = 1 > O, conclu(mos que
t. = (_2)2 - 4· 1 ·2 = -4 < O e,
f(x) > O,V x E IR.
O)
x E IR
29) f(x) = _x 2 + x - 1 apresenta
e, como a = -1 < O, conclu(mos que
temos:
c) f(x) = 07 "
f(x) < O,
t. = 12 - 4. (-1) • (-1)
-3 < O
V x E IR.
Resolver este problema significa estudar o sinal da função quadrática par<
cada x E IR.
Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pele
cálculo do discriminante t., quando três casos distintos podem aparecer:
a)
t. < O
b) t. = O
c)
183. 2l? Caso: t. = O
Da forma canônica, temos:
t. > O
a. f(x) = a 2 [(x + ~)2 _ (--.2.....)]
Vejamos como prosseguir em cada caso.
I~+
(não negativo)
zero
positivo
182. 1? Caso: t. < O
Se
então
t. < O então
a· f(x) ;;. O,
V x E IR.
Isto significa que a função
-t. > o.
o si nal de a para todo
Da forma canônica, temos:
f(x)
= ax 2 + bx + c, quando t. = O, tem
x E IR - {xd
sendo
XI =
;~
zero duplo de f(x),
ou melhor:
a. f(x) = a2 [(x + ...!::-)2 + (-t.)]
-é.
~ ~
POSItIVO
=> a. f(x)
> O, V x E IR
~.
(não negativo)
li
POSItiVO
Isto significa que a função
o sinal de a para todo x E IR,
f(x) = ax 2 + bx + c,
ou melhor:
quando
t. < O, ten
> O => f(x) ;;. O, "f X E IR
a < O =>- f(x) .,;; O. V X E IR
A representação gráfica da função
vem confirmar a dedução algébrica.
> O - f(x) > O. V X E IR
a < O => f(x) < O. V x E IR
f(x) = ax 2 + bx + c,
quando
t. = O,
li
x
A representação gráfica da função
vem confirmar a dedução algébrica.
f(x) = ax 2 + bx + c,
quando t. < O
..
flxl< o
flx) >0
x
x
• x
140-A
141-A
Xl
Exemplos
1t?)
2) se
f(x) = x 2 - 2x + 1 apresenta
to = (_2)2 - 4. 1 • 1 = O, então f(x)
-b = 1 e, como a = 1 > O, concluímos:
tem um zero duplo Xl = 2a
f(xl>O,
{ f( x) = O
f(x) = -2x 2 + 8x - 8
2t?)
f(x) tem um zero duplo para
VxEIR-{1}
se
X = 1
Xl
< X < X2 => {
3) se
Xl = -b = 2 e, como a = -2
2a
< O, concluímos:
X2
X2
x
X - Xl > O
e
X - X2 < O
Xl
X > X2 ---+1--+1---;1--..... , temos:
to = 8 2 - 4(-2) • (-8) = O, então
apresenta
X
Xl < X < X2 ---ll---'I~--+-I ----., , temos:
X > X2 > Xl =>
X - Xl > O
e
=>
{
X - X2 > O
[f(xl < O,
"Ix ElA - {2}
l!(x) = O se X = 2
Isto significa que:
1) O sinal de f(x)
é o sinal de a para todo x, tal que X < Xl
x> X2;
184. 3C? caso: to > O
2) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que
Da forma canônica, temos:
XI < X < X2·
Em resumo:
v'X
. ]
- )2] = a2[ (X + -b .
+J- i . ) (X + -b-. J
-i)
a • f(x) = a2 [(x + - b )2 - (
2a
2a
2a
2a
2a
2a
Lembramos que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo
grau é:
X=
ou
-b ± ~.
,
Isto e
2a
{ x2=
X = X2
r-----
X.<X<X2
2a
.~
r---- X>X2
-----,
t(--x)-t-em-o-----<\~j-~----f-IX-)-te-m-o----~'~)-/--f-Ix-I-te-m-o-..• x
sinal dea
O
sinal de -8
O
O gráfico da função f(x) = ax 2 + bx + c, quando
a dedução algébrica.
-b-~
Xl =
x = Xl
X<XI ...... ---,.
sinal dea
to > O, vem confirmar
-b + v to
2a
-----'.'-'-f----~~---x
fica evidente que a forma canônica se transforma em:
af(x) = a 2 [ (X - -b - ~ )(x - -b + ~ ) ] = a2 (X - xtl(x - X2).
2a
2a
O sinal de a· f(x) depende dos sinais dos fatores
Admitindo XI < X2, temos que:
1) se
X < Xl
x
Xl
X2
---+I--+I~--;I------+,
- Xl < O
e
- X2
O
<
142-A
== a • f(x)
x
(x - XI) e (x - X2).
Exemplos
1t?) f(x) = x 2 - X - 6 apresenta to
então f(x) tem dois zeros reais e distintos:
temos:
-b - ~ = _1_-_5 = -2
=
2=-a-c--
---c
a 2 • (X - xtl (X - X2) > O
2
e
X2 =
(-1) 2 - 4 • 1 • (-6)
25> O,
-b+~
2a
'--v---'--' '-v----'
é
0
é
e, como
a = 1 > O,
concluímos que:
143-A
f(X) > O
f(x) = O
{
f(x) < O
para
para
para
x < -2
x = -2
ou
x> 3
ou
x = 3
-2 < x < 3.
a>O e .1=0
3 2 - 4 . (-2) • 2
2?) f(x) = -2x 2 + 3x + 2 apresenta .1
f(x) tem dois zeros reais e distintos:
Xl
e, como
fi
-b +
2a
··3 + 5
-4
a = -2
< O, condu imos que
=
f(x) < O
para
f(x) = O
para
f(x) > O
para
1
2
e
X2
=
-b
-fi
2a
25,
-3 - 5
--
-4
..
x
logo
2
1
X > 2
ou
2
1
ou
x = 2
x =
2
1
--< x < 2
2
X <--
x
S = IR
a<O e .1>0
a<O e .1<0
x
a<O e .1=0
•
x
D
EXERCICIOS
EXERCICIO
A.215 Estudar os sinais de cada uma das funções do exerclcio A.214.
x2 - 2x + 2 > O.
A.216 Resolver a inequação
Solução
Considerando f(x) = x 2 - 2x + 2, temos
a = 1
O e .1 = -4 < O então
flx)
O, "f x E IR.
>
XII. INEQUAÇÃO DO 21? GRAU
>
Como a inequação é
fi x)
> O, vem:
x
S = IR.
2
185. Se a *- O as inequações ax 2 + bx + c > O, ax + bx + c < O,
2 + bx + c .;;; O são denominadas inequações do 2'?
2
e
ax
ax + bx + c ;;, O
grau.
Resolver, por exemplo, a inequação
Solução
Considerando
temos a = 1
duplo
ax 2 + bx + c> O
é responder à pergunta: "existe x real tal que f(x) = ax 2 + bx + c seja positiva?"
A resposta a esta pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que
pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo,
dependendo de a e de .1 podemos ter uma das seis respostas seguintes:
144-A
x 2 - 2x + 1 .;;; O.
A.217 Resolver a inequação
x = -b
2a
f(xl
> O,
=
=
1
x2 -
.1 = O
2x +.1,
e o 2ero
então
fflx) >0
"fx E IR - {1}
= O se x = 1
l!(x)
Como a Inequação é
S = {1}.
f(x)';;; O,
vem:
x
145-A
A.221 Resolver em IR as inequações:
A.218 Resolver a inequação -2x 2 + 3x + ! ;;'0.
ai (1 - 4x 2 1 • (2x 2 + 3x) > O
bl (2x 2 - 7x + 6) • (2x 2 - 7x + 5) ,;;;; O
Solução
y
Considerando f(x) = -2x 2 + 3x + 2.
temos a = -2 < O, Â = 25 > O e os
zeros
Xl.= - ~ e
X2 = 2,
então
(x) < O para
x < _! ou
2
f(x) = O para
x =
[
c) (x 2 - x - 6) • (_x 2 + 2x - 1) > O
di (x 2 + x - 6) • (_x 2 - 2x + 31 ;;. O
el x 3 - 2x 2 - x + 2 > O
1
ou
2
Determinar:
x
2
Como a inequação é
f(x);;' O,
A.223 Resolver a inequação
2x
2
bl _x 2 + x + 6> O
cl -3x 2 - 8x + 3 ~ O
d) _x 2 + .:! x + 10 ;;. O
2
f) 4x 2 - 4x + 1 > O
e) 8x 2 - 14x + 3 ,;;;; O
x 2 - 6x + 9 ;;. O
Analisando os sinais do numerador e do denominador, temos:
<
O
g(xl = 2x _ x
<O
j)
-3x 2 + 3x - 3
I)
_ ! x2 + ! x - . ! > O
2
4
3
2
1.
O
O
x
,2
2
O
g(x) = 2x - x 2
Analisando os sinais dos fatores, temos:
I(x)
g(x)
.
x
2
- 1
•O
+
+
-------..J ------<io:--------<..x-.
•O
I
O
+
+
O
Q
+
+
+
+
li
O
-1
+
+
1
2"
O
-----------2
O
A.224 Resolver em IR as inequações:
Fazendo o quadro-produto, vem
-1
2
O
O
g(xl = _x 2 + 4x - 3
O
O
+
O
+
O
s = {x E IR I -1 < x < 1 ou 2 < x < 3}
146-A
+
...x
•O
+
-1
Solução
Hx) • g(x)
+
2
Fazendo o quadro·quociente, vem
I(x)=2x 2 +x-1
2
Hx) = x - x - 2
•O
x
•O
(x 2 - x - 2)(_x 2 + 4x - 3) > O em IR.
A.220 Resolver a inequação
g(x) __ x 2 +4x_3
'2
•O
+
.
1
-1
h) -4x 2 + 12x - 9 ;;. O
il x 2 + 3x + 7 > O
k) 2x 2 - 4x + 5
O
I( x) = x 2 - x - 2
+ x - 1 ,;;;; O em IR.
2x - x 2
Solução
R:
a) x 2 - 3x + 2 > O
g)
ai os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas.
b) o conjunto dos valores de x para os quais y ~ o.
vem:
S={xE IRI-! ';;;;x';;;;2}
2
A.219 Resolver as inequações em
(2x 2 - 9x - 5) (x 2 - 2x + 21.
A.222 (MAPOFEI-71) ~ dada a função y
x = 2
1
I(xl > O para
2x 3 - 6x 2 + x - 3 ,;;;; O
f)
x
3
+
!
+
O
+
O
a)
4x 2 + x - 5
>0
2x 2 - 3x - 2
2
b) -9x + 9x - 2 ';;;;0
3x2 + 7x + 2
c)
x 2 + 2x
;;'0
x 2 + 5x + 6
d)
2 - 3x
<O
2x 2 + 3x - 2
e)
x 2 + 3x - 16
;;'1
_x 2 + 7x - 10
fi
2x 2 + 4x + 5
< -2
3x 2 + 7x + 2
g)
6x 2 + 12x + 17 ;;. -1
-2x 2 + 7x - 5
h)
(x+1)3-1
>1
(x-11 3 +1
+
147-A
187. Exemplo
A.225 Resolver as inequações:
ai 4 < x2 .. 12 ,;;; 4x
bl x 2 + 1 < 2x 2 - 3 ,;;; -5x
f(x)
ciO';;; x 2 - 3x + 2 ,;;; 6
di 7x + 1 < x2 + 3x - 4 ,;;; 2x + 2
e) O
x2 + x + 1
1
<
f)
=
Determinar m de modo que a função quadrática
mx 2 + (2m .. 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real.
cl
+x-2>0
3x - x 2 < O
+ 2x ;;. O
-4x 2 + 8x - 3 < O
. A.227 Resolver a inequação
b)
{x 2 + x - 20 ,;;; o
x2 - 4x - 21 > O
di
{-2X 2 - x + 1 ;;. O
4x 2 - 8x + 3 ,;;; O
7
-,--
x2
2
= x2 ,
Ix 2 ,;;; 1
x 2 ;;' 4)
=> (-1 ,;;; x ,;;; 1 ou
logo
8
2°)
a = m> O = m > O
Como as condições são simultâneas, conclu(mos que
=
(f(x) > O, \f x E IR)
m >
1.
8'
EXERC(CIOS
==> z ~ 1
OiJ
2
>4
A.229 Determinar m para que se tenha para
ai
portanto:
ou
<O= m> 1
temos
z2 _ 52 + 4 ~ O
mas
portanto
e
x 4 _ 5x 2 + 4 ;;. O em IR .
Solução
Fazendo
> O,
4m 2 - 4m + 1 - 4m 2 - 4m = -8m + 1
A.226 Resolver os sistemas de inequaçõ;s:
r
r
a
(2m - 1)2 - 4 . m . (m + 1) =
4x 2 - 5x + 4 < 3x 2 - 6x + 6 < x2 + 3x - 4
ai
.0. < O e
Devemos ter simultaneamente
<
=
Ix 2 - 1 ,;;; O ou
x';;; -2 ou x;;' 2)
S ~ {x E IR I x ,;;; -2
ou
-1';;; x ,;;; 1
x2 - 4 ;;. 01
ou
=
x;;' 2}
x2
+ 12m - llx +
cI x 2 _ mx + m
>O
1m 2 -
V x E IR.
bl x 2 + 12m + 31 x + 1m 2 + 31 ;;. O
d) x 2 + Im + llx + m > O
2) >0
el _x 2 + Im + 21 x - Im + 31 ;;>- O
ql
mx 2
li
(m
+ (m - 2) x + m ~ O
f
lIx 2 - 21m - llx + 31m .. 11 < O
f)
Im -11x 2 + 41m - lIx + m >0
h)
rnx 2 + Im + 31 x + m ;;>- O
j)
1m 2 - 11 x 2 +2Im-llx+ 1 >0
A.228 Resolver em IR as inequações:
ai x 4 - 10x 2 + 9 ,;;; O
b) x 4 - 3x 2 - 4 >
cI x 4 + 8x 2 - 9 < O
d) 2x 4 - 3x 2 + 4 < O
el x 6 - 7x 3 - 8 ;;. O
f)
A.230 Determinar m para que se tenha
O
3x 4 - 5x 2 + 4 > O
x 2 + Im + llx + 1 < 2
x2 + x + 1
para\fxEIR.
Solução
Considerando que
x2 + x + 1
ambos os membros de
x
2
-+
é positivo para qualquer
(m + 1lx + 1
x2 + x + 1
< 2 por
(x
2
x real,
multiplicamos
-+ x + 1l,
mantendo
a
desiqualdade.
"
I
XIII. TEOREMA
Então:
:
x
186. A condição necessária e suficiente para que o trinômio do 2° grau
f( x) = ax 2 + bx + c tenha sinal constante em IR é que .0.
O.
<
Este teorema é uma conseqüência das propriedades de sinal de
f(x) = ax 2 + bx + c já estudadas. Observemos que:
.{
<O €
=
b) .0. < O e a < O =
a) .0.
148-A
a> O
f(x) > O, \f x E IR
flx)
O, \f x E IR
<
2 + Im + llx + 1
x2 + x + 1
< 2 ,\fx E IR =
= x +lm+llx+l<2Ix +x+ll,\fxEIR =
2
=
2
_x 2 + Im - lIx - 1 < O, \f x E IR.
Devemos ter
.0.
D < O,
portanto:
Im - 11 2 - 4' 1-11 • I-li
Resposta:
m 2 - 2m - 3 < O
=
-1 < m < 3.
-1 < m < 3.
149-A
189. Resumo
A.231 Determinar m para que se tenha para V x E IR:
2
ai x + mx + 1
x2 + 1
cl
x
x2 + 4
<2
b) x2 - mx + 2
x2 - x + 2
> x2+ m
Conhecendo a posição de a em relação às raízes reais
f(x) = O, temos que:
< x22 + mx - 2 < 2.
di -3
x + 1
>m
x
1) a
- x + 1
< X\ .;;; X2 =
2) XI < a < X2
.. XIV. COMPARAÇAo DE UM NOMERO REAL COM AS RAfzES
DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU
188. Comparar o número real
às raizes reais
grau ax 2 + bx + c = O é verificar se:
< XI .;;; X2
2) XI < a < X2
O!
(a está à esquerda de
1) a
XI
~ X2
da equação do 29
Xl)
..
{
Xl
e
X2
de
a· fIa) > O
=
a· fIa) < O
3) XI .;;; X2
<a =
a· f(a) > O
4) a = XI
ou a = X2
=
a· fIa) = O
Observemos que nos casos 1, 3 e 4 o discriminante é D.;;' O enquanto
que no caso 2 temos D. > O.
Inversamente, conhecendo o sinal do produto a . f(a), que conclusão
podemos tirar da existência de raizes reais da equação f(x) = O e qual a posição
de a em relação às mesmas raízes?
É o que veremos em seguida.
(a está entre as raízes)
3) XI .;;; X2
<a
4) a = XI
ou a = X2
(a está à direita de
X2)
190. Teorema 1
(a é uma das raízes)
sem calcular as raízes.
= ax 2
Sendo f(x)
+ bx + c uma função quadrática, cuja regra de sinal já
discutimos neste capítulo, temos que:
a) se a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2, o produto a· f(a)
é positivo, isto é: a (coeficiente de x 2 ) e f(a) = 002 + ba + c tem o mesmo
sinal.
Se a· f(a) < O, o trinômio f(x) '= ax 2 + bx + c tem zeros reais e distintos e a está compreendido entre eles.
H {a • f(a) < O
T {D. > O e
XI
< a < X2
Demonstração
1C?)
Se fosse D.';;; O,
teríamos: a· fIa) ;;. O, V a, a E R
o que é absurdo, pois contraria a hipótese a· fIa) < O.
Concluimos, então, que D. > O,
reais e distintos.
f(a)
__--1_ x
_--l..-+-*_~I-
b) se a estiver entre as raízes X\ e X2 (XI
é negativo, isto é: a e f(a) tem sinais contrários.
*
X2)
o produto a· f(a)
isto é, f(x)
tem dois zeros
XI
e X2,
29) Se o real a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2 ou for
um zero de f(x), teremos a· fIa) ;;. O, o que contraria a hipótese a· f(a) < O.
Concluímos, então que a está compreendido entre
XI
e
)(2.
Exemplo
----\-~,------;I---
•
__ x
x
Comparar o número 1 às raízes da equação
3X2 -
5x + 1 = O.
Temos a = 3, a = 1 e f(x) = 3x - 5x + 1, então
a . f(a) = 3 • f( 1) ~ 3 • (3 • 12 - 5 . 1 + 1) = -3 < O.
2
c) se a é zero de f(x), então a· fIa) = O,
150-A
pois f(a) = O.
Conclusão: D. > O e
XI
< 1 < X2.
151-A
191. Teorema 2
a· fia) > O e Á > O,
Se
de
Exemplos
X2'
·t
então
está à esquerda de x I ou à direita
O'
1C?)
Comparar o número 1 às raizes da equação
= 4 2 - 4 • 3 • (-3) = 52 > O
}
a • f(a) = 3 • f( 1) = 3 • (3 + 4 - 3) = 12 > O
Á
fia) > O
H
ou
.§.
Á>O
2
2C?)
Demonstração
Se Á > O e XI < O' < X2,
hipótese a· f(al > O.
Se Á = O e O'
. a hipótese a· fia) > o.
XI
então
a· f(a) < O,
S
2
O'
está ocorrendo, devemos comparar
o'
2
que é a média aritmética das raizes
XI
e
X2,
XI
+ X2
2
1~)
se
à esquerda de
o'
-b
2;'
< S
XI ;
2
3
4
Se f(x) = ax 2 + bx + c apresenta zeros reais
real que vai ser comparado a XI e X2, temos:
-b
2a '
b) a . f(a) = O
XI < O' < X2
====
o'
é uma das raIzes
>O e Á >O =
entao
o'
esta"a" esquer dd
a e S e, conseqüentemente,
2
.
X2
S
..
X
A.232 Determinar
equação:
O'
< XI < X2
< S2
se ~
~
XI
< X2 < o'
se
{
O'
> S2
m
Solução
Considerando
"2
f(xl
=
mx 2 + Im - 1) X - m.
Xl
< 1 < X2
mx 2 + (m - 1)x - m '" 0,
então,
~ X2 < o'
XI"'"
O'
está à direita de S
2
XI
e, conseqüentemente,
af(1)
X2
S
"2
..
X
esteja compreendido entre as raízes da
de modo que o número
mx 2 + Im - l)x - m = O.
Para que aconteça
152-A
< X2 e o' é um número
T-1
aI a . f(a) < O =
pois:
XI
=
XI
EXERCICIOS
~ X2
= o' < XI"'"
2
~
> S
~
2
= O < XI < X2
temos duas possibilidades a examinar:
~ < S
~
2~) se o' > S
2'
à direita de X2;
4x 2 - 6x + 1 = O.
192. Resumo
c) a . f(a)
S
2
< X2 < 1
-=-=->0
com um número qualquer que esteja entre
as raizes. Para facilitar os cálculos vamos utilizar o número S
-b
2a
XI
< 1 = O'
-2
3
Á = (-6)2 - 4 • 4 • 1 = 20 > O
}
a • f(a) = 4 . f(O) = 4 . 1 = 4 > O
então a· f(a) = O, o que também contradiz
X2,
-b
2a
=
Comparar o número O com as raizes da equação
o que contradiz a
< XI < X2 ou XI < X2 < a.
Notemos que, se a· f(a) > O e Á > O, o teorema 2 garante que
O' I. [XI, X21.
mas não indica se O' está à esquerda desse intervalo (O' < XI < X2)
ou à direita dele (XI < X2 < 0'). Para verificarmos qual dessas duas situações
Conclulmos que
Calculando
3x 2 + 4x - 3 = O.
=
onde,
x1 e
x2
são as raízes reais de
devemos ter:
< O = ~[m • 1 2 + Im - 1) • 1 - m] < O
a
fi í I
m' Im - 1) < O
Resposla: O
=
0< m < 1
< m < 1.
153-A
A.233 Determinar m de modo que o número
equação:
a) mx 2 + (2m - 3)x + m - 1 ~ O
b) (m - 1)x 2 + (2m + 1)x + m ~ O
e
e
a
esteja compreendido entre as raIzes da
A.237 Determinar m de modo que a equação
ral'zes reais tais que xl
x2
1.
<
a:2
a ~ -1
<
A.238 Determinar m de modo que a equação
raIzes reais tais que -1 < xl < x2.
c) mx 2 + (m - 1)x + (m + 2) ~ O
a~o
e
dI (m 2 - 1)x 2 + (m - 3)x + m + 1 ~ O e a ~ 1
Determinar os valores de m na equação x 2 + (m - 2)x + 1 - m ~ O
de modo que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes.
(m - 3)x 2 + 2(m - 2)x + m + 1 ~ O tenha
(m - 1)x 2 - mx - 2m - 2
A.239 Determinar m de modo que a equação do 2':' grau
tenha raízes reais tais que O < xl < X2 < 2.
O
tenha
mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 ~ O
A.234 (MAPOFEI-75)
A.235 (MAPOFEI-74) Determinar m para que a equação: (m - 2)x 2 - 3mx + (m + 21 ~ O
tenha uma raiz positiva e Outra negativa.
A.236 Determinar m de modo que a equação
raIzes reais tais que -1 < xl < x2.
mx 2 - (2m + l)x + 2 + m
O
tenha
f(x)
~
mx 2 - (2m + l)x + 2 + m.
Para que aconteça -1 < xl < x2. onde xl e
mx2 - (2m + 1) X + 2 + m = O, devemos ter:
a·f(-ll >0
e
x2
são as raízes reais de
s
"2 > -1.
mx 2 - 2(m + l)x + m + 5
O
A.24' Determinar m para que a equação do 2':' grau 3x 2 - 2(m + 2)x + m 2 - 6m + 8 = O
tenha raízes reais tais que xl < 1 < X2 < 4.
A.242 Determinar m para que a equação do 2':' grau
tenha raIzes reais tais que O < XI < X2 < 4.
Solução
Considerando
A.240 Determinar m para que a equação do 2':' grau
tenha raízes reais tais que xl < O < x2 < 2.
(2m + 1) x2 + 2x + m + 1
O
A.243 Determinar m na equação do 2 0 grau
tenha uma única raiz entre -1 e O.
(3m - 21 x2 + 2mx + 3m
O
A.244 Determinar m na equação do 2 0 grau
se tenha uma única raiz entre -1 e 2.
mx 2 - 2(m - l)x - m - 1
O para que
para que
Analisando separadamente cada condição:
1~) a' f(-1) > O
= m' [m(_1)2 - (2m + 1) •
-; ,
=
m' (4m + 31 > O
=
m < - ~
4
ou
2~)~>0
=
(2m+l)2_ 4 ' m (2+ml>0
3~1 ~ > -1
=
2m + 1 >-1
2m
2
=
m<- ~
4
ou
m
(-1) + 2 + m] >
11:1)
=
O
=
XV. SINAIS DAS RAfZES DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU
,
m >
o.
=
-4m+l>0
2m + 1 + 1 > O
~
=
=
Estudar os sinais das raízes de uma equação do 2? grau é comparar o númem<.!..
4
4m + 1 > O
2m
ro zero às raízes
Xl
e
X2
da equação dada.
Podem ocorrer três situações:
=
> o.
193.
1~) as raízes são positivas
Representando os valores encontrados sobre um eixo
3
-4"
Neste caso, temos:
O
0---,---------------
(a· f(1) > OI
1I1111111111111111111111111111111c
(~>Ol
1I11111111111111111111111111111111111111111111111111111111~
m
..
m
1
-4" O
(~> -11
1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIo----<:lllllllllll 111111111111111111111111111111111.. m
0< Xl < X2
O
o
0< Xl = X2
vamos encontrar:
De acordo com a teoria anterior, temos:
4
154-A
ou
O < m <.! que é a resposta.
4
X
..
X
ou
2
Como as três condições são simu Itâneas, fazendo a intersecção dos intervalos acima
m <-~
..
~ ;;;. O
e a· f(O) > O e
s >O
2
155-A
Notemos que, sendo
f( x) ~ ax 2 + bx + c,
a) a . f(0) ~ a . c > O =
~ > O =
temos:
P> O
a
P ~ c é o produto das ra(zes da equação do 29 grau.
a
onde
b) ~ > O
2
onde 5 ~
~ 5> O
196. Exemplo
Determinar os valores de m na equação do 29 grau
(m - 1)x 2 + (2m + l)x + m ~ O
para que as ra(zes reais sejam distintas e positivas.
Como a equação é do 29 grau, devemos ter, inicialmente
m-l*O
b é a soma das ra(zes da equação do 29 grau.
a
Assim, sendo, uma equação do 29 grau tem ra(zes positivas somente se:
~;;'O
e
P>O
e
5>0
isto é, se as ra(zes forem reais, com produto positivo e soma positiva.
e, se as ra(zes são distintas e positivas
~
(O <
m*l
Xl
< x 2 1.
então:
~ > O (pelo fato de as ra(zes serem reais e distintas) e 5> O e P> O
(pelo fato de estas ra(zes serem positivas).
Analisando cada condição:
(2m + 1)2 - 4(m - 1) • m
1
-8
~ 8m + 1 > O ~ m > - .!.
0111111111111111111111111111 .. m
8
-b
- (2m + 1)
a
m - 1
>O=
=-.!..<m<l
2
~~~~>O=
a
m- 1
~ O
<m< 1
1
-2
1
S >O~lIl1l1ll1l1l"lIl1lJlJllIlI~ m
o
1
0111111111110
P >0
..
m
Fazendo a intersecção das três condições, vem O < m < 1 que é a resposta.
EXERCICIOS
De acordo com a teoria anterior, temos:
e
a . f(O) > O
e
.§. < O
2
A.245 Delerminar m de modo que a equação do 2'.' grau (m + llx 2 + 2(m + llx + m - 1 = O
tenha ra(zes negativas.
A.246 Determinar m de modo que a equação do 20 grau
lenha raizes positivas.
Isto também pode ser escrito assim:
(m + 1)x 2 + .2x + m - 1 = O
...
A.247 Determinar m de modo que a equação do 2 0 grau (m - 2)x 2 + (3m - 11 x + (m + 1) = O
tenha ra(zes de sinais contrários.
195. 3~) as raIzes têm sinais contrários
A.248 Determinar m de modo que a equação do 2\' grau (m - llx 2 + (2m + 3)x + m = O
admita raizes negativas.
Neste caso, temos:
Xl
< 0< X2
De acordo com a teoria anterior, temos:
a • f(O) < O
156-A
ou
P < O.
A.249 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau
admita raízes de sinais contrários.
(m 2 - 4)x 2 + mx + m - 3 = O
A.250 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau
admita raízes positivas.
mx 2 - (2m - llx + (m - 2) = O
157-A
As margens dos livros falam
Pierre Simon de Fermat nasceu na França e estudou Direito em Toulouse,
aí participando do Parlamento. Embora muito ocupado, encontrou tempo para
estudar Literatura Clássica, Ciências e Matemática, por puro prazer.
Em 1629 iniciou suas descobertas matemáticas depois de ter-se dedicado
à restauração de obras perdidas da Antigüidade.
Baseando-se na coleção Matemática de Pappus, descobriu o princípio fundamentai da Geometria Analítica: sempre que numa equação se encontram duas
variáveis, os pontos que satisfazem à equação formam uma curva.
Em curto tratado, "Introdução aos lugares planos e sólidos", dá ênfase ao
esboço de soluções de equações, começando com uma equação linear e um sistema
de coordenadas arbitrário sobre o qual a esboçou. Como apêndice desta obra
escreve "A solução de problemas sólidos por meio de lugares", observando a solução de equações cúbicas e quadráticas.
Os trabalhos de Fermat eram muito mais sistemáticos e didáticos do que os
de Descartes e sua Geometria Analítica aproxima-se da atual, tendo em mente a
existência de mais de duas ou três dimensões, o que nunca conseguiu provar.
Apesar de não conhecer o conceito de limite, em sua obra "Método para
achar máximos e m(nimos" aproxima-se bastante do cálculo de hoje. Também
seu método para mudar a variável e considerar valores vizinhos é essencial em Análise I nfinitesimal, usando-o para achar tangentes de curvas. Ainda em Análise, contribuiu com quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centro de gravidade.
Com a restauração do livro "A Aritmética", de Diofante, muito pouco prático
e com muitos algoritmos, Fermat passou a
desenvolver um importante ramo da Matemática, a Teoria dos Números, da qual é
considerado fundador e onde principalmente
•
cuidou dos números primos.
Sua matemática estava escrita em
apontamentos desorganizados, em margens
de livros ou em cartas que ele não tinha
intenção de publicar.
Fermat é considerado o príncipe dos
amadores em Matemática, sempre com
muitas descobertas mas que perderam sua
prioridade pois, devido à sua modéstia,
Pierre S. de Fermat
quase nada foi publicado.
(1601 - 1665)
158-A
CAPÍTULO VIII
FUNÇÃO MODULAR
I. FUNÇÃO DEFINIDA POR VARIAS SENTENÇAS ABERTAS
Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas cada uma das
quais está ligada a um domínio Di contido no domínio da f.
197. Exemplos
1!?) Seja a função f: IR -+ IR
finida. por
dey
f(x) = 1 para x < O
f( x) = x + 1 para O';;; x < 2
{ f(x) = 3 para x;;;' 2
3
que também pode ser indicada por
fI')
t
f(x)
se x < O
+ 1 se O';;;x<2.
se x;;;' 2
~
,
2
O seu gráf ico está representado ao
x
lado.
2!?) Seja a função
finida por
f(x) = -x para x
f(x) = x2 - 1 para
f: IR -+ IR
-"'+./
~
< -1
,
'+,
x < -1
x;;;' 1
O seu gráfico está representado ao
... 1
,
x;;;'-1
que também pode ser indicada por
se
-x
f(x) = { x2 _ 1 se
y
de-
-,
,,
x
-,
lado.
159-A
EXERCICIOS
11. MÚDULO
A.251 Construir o gráfico das funções definidas em IR:
198.
a) f(xl
o
cl
flx)
el flxl
o
{x + 1
-x
{-2
o{
se
se
<
se
se
se
x ~ -2
-2
x
x ~ 2
x - 2x
1 - x
se
se
;
b)
x;;;, O
x
O
3
f(xl
o
-1
se
x ~ -1
<x<1
{xx - 4x + 3 sese x>
2
di flx)
< <2
Definição
x;;;, 1
se
se
-
1
x
Sendo x EC IR, define·se módulo ou valor absoluto de xque se indica por
Ix I, através da relação
IXI ~ X se X;;;, O
1
<1
ou
{ I X I = -X se x<O
Isto significa que:
2
x~o
x> -2
x,,;; -2
x<O
1'?) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;
2'?) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.
g) fi xl
o{
2
x - 4x
_xl - 4x
se
x;;;' O
se
x
o{
h) f(x)
<O
2
- 4x + 3
xl + 4x + 3
x
se
x;;;'o
se
x<O
Assim, por exemplo, temos:
1+21 = +2, 1-71 = +7, 101 = O, 1- 2[
5
A.252 IMAPOFEI-741 Esboçar o gratico da função
flxl
o
{
X-I
se
x> 2
x2 - 1
se
se
0";;x<2
Ixl
199.
+2
5'
1-V21
+V2, 1+v31
Propriedades
<O
x
Decorrem da definição as seguintes propriedades:
x> -2
A.253 Na função real
flxl
x :E;;; -2 determine os valores do domínio que
I. Ixl ;;;, O, VxECIR
11. Ixl = O
X = O
Ixl
•
111.
Iyl = Ixyl,V x, y E IR
IV. Ixl 2 = x 2 , VxEC IR
V. Ix + yl";; Ixl + Iyl, V x, y E IR
VI. Ix-yl;;;'lxl-lyl, V x, y EC IR
•
=
têm imagem 4.
Solução
Para determinarmos o valor de x E R tal que f{x) = 4
resolvemos as equações
VII. Ixl ,,;; a e a> O
VIII. Ixl ;;;, a e a> O
x 2 + x - 2 = 4 ==> x 2 + x - 6 = O ==> {
X o -3
x::;c 2
=
=
-a ~ x ~ a
X ,,;;
-a
ou
x ;;;, a
(não convém)
111. FU NÇAo MODULAR
e
-~ + 1 04
2
=
-6
x
200.
logo, os valores do domínio são
x
= 2
ou
x
==-
Definição
-6.
Uma aplicação de IR em R recebe o nome de função módulo ou modular
A.254 Na função real
X2 -
f(x) -=
{
têm imagem 7.
160-A
2.2 x + 1 se x;;;, O determine os valores do domínio que
x+2
se
x<O
qua ndo a cada x E IR associa o elemento
Isto é:
I x I EC IR.
f: IR _
IR
x I---> I xl
161-A
Utilizando o conceito de módulo
de um número real, a função modular
pode ser definida também da seguinte
forma:
f(x)
={X-x
se
se
Primeira Etapa
Se glx);;' O. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~
~ glx). isto é. o gráfico da função f
coincidirá com o gráfico da função g.
y
V
f
/
x;;. O
x < O.
:=t=1Z
x
I
T
o gráfico da função modular é a
reunião de duas semi-retas de origem O,
que são as bissetrizes do 19 e 29 quadrantes.
A imagem desta função é Im
assume valores reais não negativos.
x
Segu nda Etapa:
Se glxl
vamos ter f(x) ~ I g(x) I ~ -g(x). isto é. o gráfico da função f será simétrico do gráfico da função g, relativamente ao eixo das abscissas.
Construindo os gráficos obtidos, nas duas etapas, no mesmo plano cartesiano temos o
gráfico da função f(x) ~ I x + 11.
< o.
IR+,
isto é, a função modular somente
VI-
EXERCICIOS
H+H'-+-+-J-+X
x
A.255 Construir os gráficos das funções definidas em IR:
a) f(xl ~ 12x I
b) f(x) ~ 13xl
A.256 Construir o gráfico da função real definida por
A.257 Construir os gráficos das seguintes funções reais:
fi x) ~ Ix + 11.
Solução
Podemos construir o gráfico de
f(xl
Ix + 11
Primeiro Processo
Notemos que
y
IX+ll~{ x+l
se
uma função a duas sentenças ou seja,
~{ x + 1
-x - 1
se
se
I
T
x ~ -1
-x - 1 se x < -1
então a função pode ser definida como
f(x)
•
por dois processos:
/...
+xL
I'''/;
'-~ ~
x;)=-1
/,/
'+
1'\.'
1'\.1/
1.\+)1
D
Segundo Processo
f(x) ~ I x + 1 I.
c) t(x)
12x + 31
Ix 2 + 4xl
f) t(x)
Ix 2
g) t(x)
14 - x 2 1
A.258 Construir o gráfico da função definida
em IR por f(x) ~ I x - 1 I + 2
/ IL(x)
~(
)jCe,. 1/
1/1
1/1 1
3x + 21
I'
Solução
:/
"
g(x) ~ Ix - 11
.~
V
f I x) ~ Ix - 1 I + 2
~'\
,
,,
,, '
_,x
>C
x
-
V
~+
fazemos inicialmente o gráfico da função
glx) ~ x + 1, que está representado ao
lado.
162-A
12x - 1 I
e) flx) ~
m
yT
Para construirmos o gráfico de
fazemos em duas etapas:
b) f(x)
Para obtermos o gráfico de
t(x)
~ g(xl + 2 deslocamos cada ponto do
gráfico da função g duas unidades "para cima",
cujo gráfico está representado ao lado.
f(xl ~ Ig(x)1 ~ Ix + 11
Ix - 1 I
12 - 3xl
Construimos inicialmente o gráfico da
função g(x) ~ Ix - 11
x < -1
Para obtermos O gráfico de
a) flx)
d) t(x)
A.259· Construir os gráficos das seguintes funções reais
a) t(x) ~ Ix I - 3
b) flx)
d) f(x) ~ Ix 2 - 11 - 2
el f(x) ~ Ix 2 - 41 + 3
12x - 11 - 2
cl t(x)
f)
f(x)
13x - 41 + 1
Ix 2 + 4x + 31 - 1
163-A
A.26D Construir o gráfico da função definida em IR
t(x)
Ix + 21 + x - 1.
1
1':'1 quando x<-2"' temos t(x)=12x+11+lx-ll=-2x-1-x+1 =-3x
Solução
0
2 1 quando
Notemos que
Ix + 21
=
X + 2
{ -x - 2
se
se
x;>-2
x
-2
1
-'2";; x < 1, temos
f(x) = 12x + 11 + Ix - 11 = 2x + 1 - x + 1 = x + 2
3 0 ) quando x;> 1, temos t(x) = 12x + 11 + I x - 11 = 2x + 1 + x - 1 = 3x
<
Devemos, então considerar dois casos
li
y
10 ) quando
x;> -2,
I\~
temos:
t(x) = I x + 21 + x - 1 =
= x + 2 + x - 1 = 2x + 1
-3X
2'.') quando
x < -2,
1v
temos:
flx) = Ix + 21 + x - 1 =
= -x - 2 + x - 1 = -3.
>-+-
1-l-
-3
se
se
t(xl =
~
3x
mio
....~
J
x
~J
,
'~
~/
1\
<_.!.2
-~,,;; x < 1
2
se x ~ 1
li x'""
~'\~+
V "1.,+
x
A.265 Construir os gráficos das seguintes funções reais:
bl t(x) = Ix + 11 - Ix - 11
dI flx) = 13x + 31 - 12x - 31
I x 2 - 2x I - Ix 2 - 41
fi flxi =
a) t(x) = Ix + 11 + Ix - 1 I
cl flxl = 12x - 21 + Ix + 31
e) flxl = Ix 2 -41-lx-21
I I
cujo gráfico está ao lado.
:,u
cujo gráfico está ao lado.
-.."
x ;>-2
x <-2
se x
x+2 se
{
--.,.
rv"
f como uma fun-
ção definida a duas sentenças, vem:
t(xl ={2X + 1
I1
I
I
Anotando a função
i
~
\ ,~
"
Anotando a função f como uma função
definida a várias sentenças vem:
2
A.261 Construir os gráficos das funções reais abaixo.
a)
c)
e)
g)
i)
b) flx)
d) flx)
f) flx)
flx)
Ixl + x
flx) = Ix-31+x+2
flx) = 12x - 1 I + x - 2
t(xl = x 2 - 41xl + 3
t(x) = Ix 2 - 2x I + x + 2
A.262 Construir o gráfico da função
Ixl - x
Ix+11-x+3
13x + 21 - 2x + 3
hl t(x)
Ix
2
A.266 Construir o gráfico da função definida
em IR
\
1\
/
\
1/
f I x) = 112x - 21 - 41
-2Ixl-31
Ixl
Construímos inicialmente o gráfico de
definida em IR 4- •
x
/
1\
\
Solução
flx)
glx) = 12x - 21 - 4.
1/
1\
/
\
1/
Analisemos as duas possibilidades
A.263 Construir o gráfico da função flx) = IX - 11
1 - x
definida em
IR - {1}.
10) Se
I,
y
glx);> 0,
x
/
\1/ glx) = 12x-21-4
temos:
I
t(x) = Ig(x) I = g(x)
A.264 Construir o gráfico da função definida em IR por:
f(x) = 12x + 11 + Ix - 11
isto é, o gráfico da função
coincidirá
com o gráfico da função g.
2':'1 Se
2X + 1
Notemos que
12x + 1 I =
{
glx) < 0,
temos:
isto é, o gráfico da função
\
f é o opos
to do gráfico da função g.
e
IX_11={x-1
se x ~ 1
x
1
-x + 1 se
Devemos então, considerar 3 casos:
<
Considerando as duas possibilidades e
representando num mesmo plano cartesiano temos:
/
1/
1\
flxl = Iglxll = -glxl
-2x - 1
I
I
I
tlxl = I ?x-21-4 1/
\
Solução
164-A
,vi
1\
/
/ \
1\
/
\
/
1\
\ /
1/
\
r-.. /
\1/
x
165-A
A.267 Construir os gráficos das funções reais:
3<'»
a) f(x) ~ Ilxl - 21
Ix + 11 : 3x + 2
Resolver
Devemos ter inicialmente
b) t(xl ~ 112x + 31 - 21
c) flxl = 11 x 2 - 11 - 31
di t(x) = IIx - 11 + x - 3\
e) flx) = Ix 2 - 41xl + 31
3x + 2;;' O =
2
3
x~--
para que seja possível a igualdade.
t(x) ~ Ilx+21-lx -211
gl f(x) = 113x - 31 - 12x + 111
t)
2
Supondo
x;;. - 3
temos
IV. EQUAÇOES MODULARES
Ixl = k ~
x = k ou
1
x =-2"
x + 1 = -3x - 2 =
x =--
={x+
Ix + 11 : 3x + 2
Lembremos da propriedade do módulo dos números reais, para k > O
=
: 3x + 2
ou
3
4
(não convém)
1
S = {--}
2
x = -k
e, utilizando essa propriedade, vamos resolver algumas equações modulares.
EXERCfclOS
A.268 Resolver as seguintes equações em IR:
201. Exemplos
ai Ix + 21 ~ 3
1l?) Resolver
13x - 11 = 2
14x - 51 = O
di 12x - 31 = -1
e) Ix 2 - 3x - 1 I = 3
b)
12x - 1/ = 3
c)
Então
12x - 11 = 3
=
2x - 1 = 3 =
ou
{
2x - 1 = -3
=
x=2
x = -1
t)
Ix2-~x-~I~~
g)
Ix 2 - 4x + 51
2
4
4
=
2
S = {2, -1}
A.269 Resolver em R as seguintes equações:
2<'»
Resolver
13x - 11
=
ai 13x + 21 = Ix - 1 I
b) 14x - 1 I - 12x + 31 = O
12x + 31
Lembrando da propriedade
lal
= Ibl
cl
~
a = b ou a = -b
temos:
13x - 11
12x + 31
~{3X
-
1 = 2x + 3
ou
=
3x - 1 = -2x - 3 =:=>
d)
A.270 Resolver as seguintes equações em IR:
x = 4
a)
x =--
b) 13x + 21 = 2x - 3
c) 12x - 51 = x - 1
2
5
Ix - 21 = 2x + 1
di 12x2 + 15x - 31 = x 2 + 2x - 3
e) 13x - 21 = 3x - 2
f)
166-A
Ix 2 + x-51 ~ 14x - 1 I
Ix 2 + 2x - 21 = Ix 2 - x - 1 I
14 - 3xl
=
3x - 4
167-A
v.
INEQUAÇOES MODULARES
2x - 7 + Ix + 1 I ;;. o.
A.273 Resolver em IR a inequação
Solução
Lembrando das propriedades de módu lo dos números reais, para k > O:
1) Ix I < k
2) Ixl > k
<==
<==
-k < x < k
X < -k ou
Exemplos
=
l'?)Se
x;;'-l,
x;;'-l
temos:
2x - 7 + Ix + 1 I ;;. O
=
2x - 7 + x + 1 ;;. O <==> x;;. 2
A solução S,
é
S, = {x E IR
I x ;;. -1} n {x E IR I x ;;. 2} = {x E IR I x ;;. 2}
2 0 ) Se x < -1
12x + 11 < 3
temos:
2x - 7 + Ix + 11 ;;. O =
Então:
I 2x + 1 I < 3
se
devemos então, considerar dois casos:
I
lC?) Resolver em R:
+ 1
x> k
e, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequações modulares.
202.
X
IX + 1 I = { -x _ 1 se x < -1
Notando que
-3 < 2x + 1 < 3
=
A solução
-2 < x < 1
s = {x E IR I -2 < x < 1}
S2
2x - 7 - x - 1 ;;. O
=
x;;. 8.
é
S2 = {x E IR I x < -l}
n
{x E IR I x;;. 8} =y)
A solução da inequação proposta é
S = S1 U S2
2C?) Resolver em R:
>5
14x - 31
e portanto
S = {x E IR I x ;;. 2}
Então:
14x - 31> 5
(4x - 3 < -5 ou 4x - 3 > 5)
1
(x < - ou x > 2)
=
=
s ~ {x E IR I x <
2
1
2
ou
.
x > 2}.
=
A.274 Resolver em IR as seguintes inequações:
a) Ix - 11 - 3x + 7 .;; O
c) 13x - 21 + 2x - 3 .;; O
e) 13x-41+2x +1<0
9 I Ix2 - 6x + 51 + 1 < x
b) 12x + 1 I + 4 - 3x > O
@ 1x + 1 I - x + 2 ;;. O
f)
Ix2 - 41 < 3x.
A.275 (MAPOFE 1-761 Resolver a inequação
EXERCfclOS
A.276 Resolver a inequação em fi
A.271 Resolver em A as inequações abaixo:
ai 13x-"21<4
cl 14 -'3x[';; 5
e) 12x+41<-3
g) 15x + 41 ;;. 4
il 13x - 51 > O
k) 1 < Ix - 11 .;; 3
12x - 61 - Ix I .;; 4 - x.
Solução
b)
di
fi
h)
12x-31';; 1
13x + 41';;0
12x - 11 > 3
12-3xl;;'1
j) 14x - 71;;'-1
,
Notando que:
2X - 6
12x - 6 I = { -2x + 6
e
168-A
1~1';;2
2x - 1
hl 112x + 11 - 31 ;;. 2
={ -x
x
se
se
x ~ O
x
O
<
12x - 61 =
Ixl =
12x - 61 - Ixl =
x
3
O
bl Ix 2 - x - 41 > 2
di Ix2 - 3x - 41 .;; 6
fi
Ixl
Construímos a tabela:
A.272 Resolver as inequações seguintes em fi:
a) Ix2 - 5x + 51 < 1
c) Ix2 - 5x I ;;. 6
2x
el 1
- 31 > 2
3x - 1
g) Ilxl-21>1
il 112x - 1 I - 41 .;; 3
Ix 2 -4xl-3x+6';;0
-2x + 6
-2x + 6
2x - 6
-x
x
x
-x + 6
-3x + 6
x - 6
169-A
temos:
12x - 61 - IxI
o
{
X-6
se
-3x + 6 se
-x + 6
se
x> 3
0<x<3
x
CAPÍTULO IX
OUTRAS FUNÇOES
ELEMENTARES
<O
Devemos considerar três casos:
l?l Se x> 3, a inequação proposta é equivalente a:
x - 6 < 4 - x ~ 2x < 10 =
A solução
SI o
2?) Se
SI
{x E IR I x ? 3} n {x E IR I x < 5}
O
S2 o
o
{x E IR I 3 < x < 5}
< x < 3, a inequação proposta é equivalente a:
-3x + 6 < 4 - x
A solução
x< 5
é
S2
=
-2x < -2 ~
FUNÇÃO
f(x) =
x3
x? 1
é
{x E R 1 O < x < 3} n {x E IR I x? 1} o {x E IR I 1 < x < 3}
< O, a inequação proposta é equivalente a:
-x + 6 < 4 - x =
6 < 4 que é absurdo. Logo a solução S3 é:
3?) Se
I.
x
S3 o )Õ.
A solução da inequação
12x - 61 - Ix1< 4 - x
203. Façamos um estudo da função f: de Fl em IR, que associa cada
o elemento x 3 E R
Isto é:
f: Fl--+ IR
x~ x 3
Vamos inicialmente construir a tabela
é:
S o SI U S2 U S3
3 < x < 5} U {x E IR 1 1 < x < 3} u)2f
e portanto:
S o
{x E R
1
< x < 5}
A.277 Resolver as seguintes inequações em IR:
@Ix + 21 - Ix - 31> X·
bl 13x + 21 - 12x - 1 I > x + 1
cl Ix - 21 - Ix + 41 < 1 - x
di Ix+21 + 12x-31<1O
el Ix + 21 + 12x - 21 > x + 8
t) 3 { I x + 1 1- I x - 1 I} < 2i - 4x
gl Ix - 21 - Ix + 31 > x2 - 4x + 3
A.278 (MAPOFEI-751 Resolver a desigualdade
Ix - 21 + Ix - 41 ? 6.
X
x
3
ponto
-2
-8
A
4
27
3
-a
B
-1
1
-1
1
C
-"8
D
o
o
E
1
1
"2
8
F
1
1
27
3
8
8
125
8
27
I
II
2
11
-'2
2
2
5
2
H
3
-'2
3
170-A
I.
I"
isto é:
S o {x E IR
x E Fl
1
J G
FI7
-2
-1
) D
I~
-1
E
1
2
x
I
G
I
H
-2
I
-3
I
B
J
K
-4
1
171-A
Observemos que a função f(x) = x 3 :
a) é uma função crescente em IR, isto é:
E IR, \fX2 E R) (XI < X2
(\fx[
=
-4
x
x~ < x~)
b) tem imagem Im = R pois, qualquer que seja o y E R, existe x E IF
tal que y = x 3 , isto é, x = ~
y
1
x
0_
1
-4
ponto A
-3
1
-3
,B
-1
-"2
-4
1
1
1
-3
4"
3"
2
-"2
-1
-2
-3
-4
4
3
C
D
E
F
G
G'
F'
-2
1
1
1
-----
1
1
1
y
I-
~-
,~'
b) f(x) = -x 3
\
d) f(x) = (x + 1)3
e) f(x)
= (2 - x)3
f) f(x) = Ix - 1)3 - 1
g) f(x) = 2 + (1 - x)3
h) f(x) =
A
Ix 3 1
B
.....
~
D
1
1
1
"2
"3
4"
E'
D'
C'
B'
A'
~-~-
--~
tF
c) f(x) = 2 - x 3
1
--
~l
G'
ai f(x) ~ x 3 + 1
2
1-
-~-I----
A.279 Fazer o esboço dos gráficos das seguintes funções definidas em IR.
4
2
~---~I
--
EXERCICIO
3
1
----
t---
i
+-- -~
I
ln'
I
f'.... c'
I
B'
f----
LA'
x
~
[\
-
~,
~--~-
F
G
---
11.
FUNÇÃO RECIPROCA
204.
Definição
205. Observemos que a função recíproca
Uma aplicação f de IR * em IR recebe o nome de função rec/proca quando
a cada elemento x E IR * associa o elemento 2-,
x
Isto é: f: IR* -+ IR
XI-> -
1
y
x
a) não é definida para x = O;
b) tem imagem Im = IR* pois, dado um número real
existe um x também real tal que
c)
y =
y
* O, sempre
2-;
x
tem por gráfico uma hipérbole equilátera(')
X
Vamos inicialmente construir a tabela
172-A
Clt) Isto está provado em nosso livro de Geometria Analítica desta coleção.
173-A
EXERCfclOS
A.282 Fazer O esboço gráfico das seguintes funções:
a) f(x) ~
A.28D Fazer o esboço do gráfico das funções
1
x
1
cl f(x) ~ - 2x
1
2x
d) f(x)
A.281 Fazer o esboço do gráfico da função
f(x)
b) f(x)
Ix + 21
A.283 Fazer o esboço gráfico da função
1
1
2="X
1
cl f(x)
b) f(x)
a) f(x)
1
x::-T
lXi
Solução
1
Observemos que:
X+1
x-I +
x-I
Solução
f(x)
x-I
1
1
)(:""l + x-I ~1+ x-I
Vamos construir a tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a
Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribu ímos valores a x + 1, calcule
mos
1
x + 1
x + 1
-4
-3
-3
-2
-2
-1
y
-1
-2
1
"2
2
174-A
3
\ .......
.
-.....
x
x
x-I
-2
-3
2
3
-1
-2
1
:2
O
-1
O
1
1
2
-2"
2
1
y
~
1 +
-1
-3"
-2
3
4
3
1
3
4
2
3
2
2
2
1
2
3
2
3
2
4
3
4
3
O
2
e finalmente x.
3"
-3
"3
x-:-1
1 +
x - 1, calcula-
e finalmente calculamos x:
x
1
mos
I
1
2
1
3
.
f\ I
1
1
x-I
Y
I
\
""-
-r--.
1\
x
3
175-A
EXERCICIOS
A.284 Fazer o esboço gráfico das seguintes funções:
x + 1
A.286 Construir o gráfico das seguintes funções definidas em IR.
a) f(x)
-;-+2"
x + 3
bl f(xl
x=-1
cl f(x)
x - 1
2 - x
di f(x)
I~I
a) Ilx) - 2[xj
x
A.287 Construir o gráfico da lunção real delinida por Ilxl = [2x]
A.285 IMAPüFEI-74) Calcular o valor aproximado da área limitada pela curva
pelo eixo Ox e pelas retas x = 1
contidas nas retas x = 1, x = 2,
e
e
2
>
y "
Solução
Use no cálcu lo três trapézios de basl
Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a 2x,
x = 4.
mos
x '" 4.
x = 3
b) Ilxl = -[x]
calcula-
l2x] e finalmente x.
y
x
2x
-2 <: x < -1.5
-4 <: 2x < -3
-4
-3 <: 2x < -2
-3
,
-2<:2x<-1
-2
,
-1 <: 2x < O
-1
0<: 2x < 1
O
1 <: 2x < 2
1
y
= [2x]
4
3
-1,5<:)«-1
111.
-1 <: )( < -0.5
FUNÇÃO MÃXIMO INTEIRO
-0,5 <: x < O
206.
O <: x < 0,5
Definição
Uma função f de IR em R recebe o nome de função máximo inteiro quand
associa a cada elemento x E IR o elemento [x] que é o maior inteiro qL
não supera x.
Isto é:
[xJ
~
-
1 <: x < 1,5
2 <: 2x < 3
2
3 <: 2x < 4
3
4 <: 2x < 5
4
f: R -+ IR
,
,
.,
.,
1
.,J.
'2
·3
4
0-0
Ixl
2 <: x < 2,5
é o maior inteiro que não supera x.
39
[3,9] = [10] = 3,
A.288 Construir os gráficos das seguintes funções definidas em IR:
1-0 ,7]
Para construirmos o gráfico,
notemos que
y
l x] -3
-3 <: x < -2
-2
y
[x]
-2 <: x < -1
-1
y
[
x]
-1 < x < O
O
y
[x]
1
O<:x<
1
y
l
x]
1<:x<2
2
y
[x]
2<:x<3
y
I x] 3
3<:x<4
-7
[ 10 ]
-1
=
=
=
=
=
=
e
[4]
a) f(x) = [~]
2
c) f(x) = [x - 1]
f) II x)
[x J2
h) f(xl = x + [x]
4.
J~-----r?
=
bl
di
el
g)
f(x)
[-x]
f(xl - [Ix I]
Ilxl = [x]1
Ilxl = x - [x]
1
----ri ,
2
'
1 - -..-<;>
' ,,
-3 -2 -,-1
,I I,I ,
1
I
-1
I
I
I
I
,I
+-'r-'~ 2
,
,
---
x
I
~ __ -
A imagem da função máximo inteiro é o conjunto
176-A
_2-
0----<0
Assim, por exemplo:
etc.
-1
~
1,5 <: x < 2
X -+
onde
0,5 <: x < 1
., .-',
-3
Im =::l.
177-A
CAPÍTULO X
Advogado envolvido com Álgebra
Arthur Cayley nasceu na Inglaterra.
Como estudante em Cambridge ganhou muitos premlos em Matemática.
Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que não
impediu suas pesquisas matemáticas.
Em 1839 fundou-se na Inglaterra o "Cambridge Mathematical Journal",
principal veiculo de comunicação que contou com inúmeros artigos de Cayley
assim como outros jornais cientificos, caracteristicos do século XIX.
Em 1843 criou a Geometria Analitica no espaço n-dimensional usando
determ inantes como instrumento básico e foi o primeiro a estudar matrizes, defi·
nindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operações
sobre elas. Neste aspecto contou com a colaboração de Benjamim e Charles Peirce.
Em 1846, Cayley escreveu um artigo para o "Jornal de Crelle" estendendo
o teorema de espaço tridimensional para um espaço de quatro dimensões.
No "Philosophical Transaction" (Transação Filosófica) em 1868, publicou
um desenvolvimento do plano cartesiano a duas dimensões como um espaço de
cinco dimensões cujos elementos são as cônicas.
Arthur Cayley
(1821 - 1895)
Em 1854 aceitou o cargo de professor
em Cambridge e em 1881 profeiu uma sériE
dé conferências sobre funções abelianas E
função theta.
Cayley escreveu muitos artigos sobre
invariantes algébricos e principalmente nesta
teoria teve a ajuda de seu amigo inseparável
Sylvester, tanto que foram chamados "gémeos invariantes".
Cayley era essencialmente um algebrista mas contribuiu também para a Geome·
tria e em Análise escreveu "Ensaio sobre as
funções ellticas':
Produziu q~antidade imensa de arti·
gos e obras durante sua vida, tanto qUE
neste aspecto chega a competir com Cauchy
e Euler.
FUNÇÃO COMPOSTA
FUNÇÃO INVERSA
I.
207.
FUNÇÃO COMPOSTA
Definição
Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma
função de B em um conjunto C; chama-se função composta de g e f à função
h de A em C definida por
h(x) ~ g(f(x))
para todo x em A.
I ndicaremos esta aplicação h por gof (Iê·se:·g composta com f ou g circulo f); portanto
(gof) (x) ~ g(f(x))
para todo x em A.
Podemos representar também a composta gof pelo diagrama.
208.
C
A~r"
C
Exemplos
1!?) Sejam os conjuntos A ~ {-1,
{1, 3, 5, 7, 9} e as funções:
O, 1, 2}.
f, de A em B, definida por t(x)
g, de B em C, definida por g(x)
x2
2x +
B
{o, 1, 2, 3, 4} e
179-A
Assim, no primeiro exemplo, se tentarmos obter fog verificaremos que é impossível, pois:
9 é função de B em C
mas f
não é função de C em A.
B
observemos, por exemplo que: f(2) = 4, g(4) = 9 e h(2) = 9,
= (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) ~ 9.
isto é, h(2) =
Para obtermos a lei de correspondência da função composta h = gof,
fazemos assim: g(f(x)) é obtida a partir de g(x) trocando-se x por f(x).
3~) As duas composições fog e gof estão definidas mas fog *- gof como nos mostra o segundo ellemplo:
(gof) (x) = x 2 + 3x + 3
(fog) (x) = x 2 + x + 2.
No exemplo dado. temos:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = 2 • f(x) + 1 = 2x 2 + 1.
Se vamos calcular
h(2),
fazemos deste modo:
h(2) = 2 • 2 2 + 1 = 9.
210. Teorema
Quaisquer que sejam as funções
2?) Sejam as funções reais f e 9 definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = x 2 + x + 1.
Notemos que a função composta h, = gof
A-.!-B~C~D
é definida por:
hdx) = (gof)(x) = g(f(x)) = [f(X)]2 + f(x) + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) + 1 = x 2 + 3x + 3.
Notemos, por outro lado, que a função composta h 2 = fog é definida por:
h2(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1 = x 2 + x + 1 + 1 = x 2 + x + 2.
tem-se:
(hog)of = ho(gof).
Demonstração
g(y)
Consideremos um elemento qualquer
e h(w) = z; temos:
209. Observações
1~)
A composta gof só esta definida quando o contra-domínio da f é
igual ao domínio da g. Em particular se as funções f e 9 são de A em A
então as compostas fog e gof estão definidas e são funções de A em A.
x de A
e coloquemos
f(x) = y,
=w
((hog)of)(x) = (hog)(f(x)) = (hog)(y) = h(g(y)) = h(w) = z
e notemos que
(gof) (x) = g(f(x)) = g(y) = w
portanto,
(ho(gof))(x) = h((gof)(x)) = h(w) = z
2~) Notemos que em geral, fog *- gof, isto é, a composição de funções
não é comutativa.
Pode acontecer que somente uma das funções fog ou gof esteja definida.
180-A
então, temos:
((hog)of)(x) = (ho(gof))(x),
para todo x de A.
181-A
EXERCICIOS
A.289 Sejam as funções reais f e g, definidas por
Pede-se:
t(x) = x 2 + 4x - 5
A.295 Dadas as funções reais definidas por f(x) = 3x + 2
o valor de a de modo que se tenha fOg = gOl.
e
g(x)
e g(x) = 2x + a,
determinar
2x - 3.
A.296 Se
a) obter as leis que definem fOg e gOf
b) calcular (fOg) (2) e (gOf) (2)
c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 16.
Solução
t(x)
= x3
e g(x) = x 4 ,
mostre que
A.297 Sejam as funções t(x) = x 2 + 2x + 3
fOg = gOf então f = g.
e
g(x)
=
x 2 + ax + b.
=.,;; e g(x)
A.298 Sejam as funções definidas por t(x)
os domínios das funções fOg e gOf.
a) A lei que define fOg é obtida a partir da lei de f, trocando-se x por g(x):
fOg = gOf.
Mostre que se
x 2 - 3x - 4.
Determinar
Solução
(fOg)(x) = f(g(x)) = [g(x))2 + 4[g(x)] .. 5 = (2x - 3)2 + 4(2x - 3) - 5
(lOg)(x) = 4x 2 .. 4x - 8.
V
a) (fOg)(x) = t(g(x)) =,.;;;w =
x 2 .. 3x - 4.
Para que exista (fOg)(x) E IR, devemos ter x 2 - 3x - 4 ;;;. O,
ou x;;;' 4. Então
D(fOg) = {x E IR I x ';;;;-1 ou x ;;;'4}
A lei que define gOf é obtida a partir da lei de g, trocando-se x por t(x):
(gOf)(x) = g(t(x)) = 2 • t(x) - 3 = 2(x 2 + 4x .. 5) .. 3
(gOf)(x) = 2x 2 + 8x .. 13
isto é: x';;;;-1
bl (gOt)(x) = g(t(x)) = [g(x))2 - 3 • g(x) - 4 = Ixl - 3..[; - 4.
Para que exista (gOf)(x) E IR, devemos ter x;;;' O. Então
D(gOf) = {x E IR I x ;;;'O}.
b) Calculemos fOg para x = 2
(fOg)(2) = 4 • 2 2 - 4 • 2 - 8 = O
A.299 Sejam t(x) = ~ e g(x) = 2x 2 - 5x + 3. Determinar os domínios das funções
fOg e gOf.
calculemos gOf para x = 2
(gOf)(2) = 2 • 2 2 + 8 • 2 - 13 = 11
c) o problema em questão, resume-se em resolver a equação
x+1
A. 300 Se jam as funções f ()
x = ~
(fOg)(x) = 16
ou seja
4x 2 - 4x .. 8 = 16
A.290 Sejam as funções reais
Pede-se:
=
definida para todo x real. Pedem-se:
=
4(x' - x - 6) = O
fOg
t(x)
= x 2 .. 4x + 1
A.292 Sejam as funções reias f e g, definidas por
leis que definem fOg e gOf.
t(x)
=2
182-A
t("x)?
1 - 2x.
e g(x) = x 2 .. 1.
e g(x) = 3x - 1.
Obter as
E t(.!.)?
x
t(x)
E t(x - 1)?
x2 - 1
e
h(x) = 3x + 2.
Obter
g(x) = x 2 - x + 2
e
h(x) = 2x + 3.
Obter
A.301 Sejam as funções reais t(x) = 2x + 1,
a lei que define (hOg)Of.
. A.302 Sejam as funções reais f(x)
a lei que define hO (gOf!.
A.303 Sejam as funções reais
função g.
1 - x,
t(x) = 3x - 5
g(x)
e
(fOg)(x) = x 2 - 3.
Determinar a lei da
Solução
e
g(x) = x - 3,
obter as
(fOg)(x) = f(g(x)) = 3 • g(x) - 5
mas é dado que: 1t0g)(x) = x 2 - 3
c) fOf
A.294 Considere a função em IR definida por
que define
g(xl
Se f(xl = 3x - 5 então trocando-se x por g(x) temos:
f(x) = x 2 + 2
b) gOf
a) IOg
e
que produzem imagem 10.
A.291 Sejam as funções reais f e g. definidas por
Obter as leis que definem fOg e gOf.
e g, definidas por
a) o domínio e a lei que define fOg
b) o domínio e a lei que define gOf.
x = 3 ou x ~ -2.
t(x) = x 2 - X - 2
f e g, definidas por
a) obter as leis que definem fOg e gOf
b) calcular (lOg)(-2) e (gOf)(-2)
c) determinar os valores do domínio da função
A.293 Nas funções reais
leis que definem:
..
definida
para todo x real e x =1= 2 e g(x) = 2x + 3
=
d) gOg
x 3 - 3x 2 + 2x - 1.
Qual é a lei
então
3 • g(x) - 5 = x 2 - 3
ou seja
x2 + 2
g(x) = - - 3 - '
183-A
A.3D4 Sejam as funções reais
lei da função g.
f(x)
2x + 7
A.3D5 Sejam as funções reais
lei da função f.
g(x) = 3x - 2
(fOg)(x) = x 2 - 2x + 3.
Determinar a
(fOg)(x) = 9x 2 - 3x + 1.
Determinar a
e
e
Solução
Como
g(x)
f(g(x))
=
=
{
se
x';;-1
x ~ 2
se
-1
4 - x2
se
x~ 1
<x <1
=
3x - 2,
Obter as leis que definem f Og e gOl.
f(g(x)) = 9x 2 - 3x + 1.
g(x) + 2
_
x = - - 3 - - e entao:
então
decorre
9[g(x)3+2f - 3 , [g(X)3+
2
A.311 Sejam as funções reais f e 9 definidas por
] + 1 = [g(x)]2 +4g(x)+4-g(x)-2+1 =
= [g(x)j2 + 3 • g(x) + 3 logo, f(x) = x 2 + 3x + 3.
A.3D6 Sejam as funções reais
lei da função f.
g(x)
=
2x - 3
e
f(x)
=
4X - 3
{ x2 _ 3x + 2
se
se
Obter as leis que definem
(fOg)(x) = 2x 2 - 4x + 1. Determinar a
. A.3D7 Sejam as funções reais g(x) = 2x + 3 definida para todo x real e x cF 2 e
2x + 5
(fOg)(x) = x + 1
definida para todo x real e x cF 1. Determinar a lei da
função
f(x)
x2 + 2
e g(x) = 2 - 3x.
(fOg)(x) = 9x 2 - 3x + 1
Se
A.31D Sejam as funções reais f e 9 definidas por
x ~ O
x
O
<
e
g(x) =
se
se
>
x
2
x.;; 2
fOg e gOf.
A.312 Sejam as funções reais 9 e fOg definidas por
4X 2 - 6x - 1
(fOg)(x) = { 4x + 3
{x + 1
1 _ x2
se
se
g(x) = 2x - 3
e
x ~ 1
x
1
<
Obter a lei que define f.
f.
A.308 Sejam f e 9 funções reais definidas por
x 2 + 2x + 4 se x ~ 1
e g(x)
f (x) = { 3x + 4
se x
1
11. FUNÇÃO SOBREJETORA
<
Obter a lei que define
x - 3.
fOgo
211. Definição
Solução
Fazendo
g(x) = V,
temos
(fOg)(x) = f(g(x))
Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo
y pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que
f(v).
Temos de examinar dois casos:
1':')
V ~ 1
2':')
f(x) = y.
v~1
V ~ 1
= * g(x) ~ 1
=
=
f(v) = V2 + 2v + 4 = = ? f(g(x)) = (g(x)}2 + 2 • g(x) + 4
(fOg)(x) = (x - 3)2 + 2(x - 3) + 4 = x 2 - 4x + 7.
v<1
v<1
v <1
= * g(x) < 1
=
=
Conclusão:
A.309 Sejam
=* x - 3 < 1 = * x < 4
f(v) = 3v + 4 = = ? f(g(x)) = 3 • g(x) + 4
(fOg)(x) = 3(x - 3) + 4 = 3x - 5
x2 - 4x + 7,
(fOg)(x) = { 3x _ 5,
se
se
se
se
Obter as leis que definem
x ~ 2
x
2
<
e
fOg e gOf.
"*
Em símbolos
f: A -+ B
f é iobrejetora
=
Notemos que f: A -+ B é sobrejetora se, e somente se, Im (f)
B.
X~4
x < 4.
f e 9 as funções reais definidas por
x2 - 4x + 3
f(x) = { 2x - 3
184-A
=* x - 3 ~ 1 = * x ~ 4
f: A ... &
f é sobrejetora .... Im(f) = B
g(x) = 2x + 3.
Em lugar de dizermos "f é uma função sobrejetora de A em B" poderemos
dizer "f é uma sobrejeção de A em B".
185-A
212. Exemplos
1'?)
214. Exemplos
1'?)
A função f de
A = { -1, 0, 1, 2}
B = {O, 1, 4}
2
definida pela lei f( x) = x é sobrejetora
em
pois, para todo elemento y E B, existe
o elemento x E A tal que y ~ x 2.
Observemos que para todo elemento de B converge pelo menos uma flecha.
A
B
2'?) A função f de A = IR em B = {y E IR I y ?> 1} definida por
x 2 + 1 é sobrejetora pois, para todo y E B, existe )( E A tal que
y = x 2 + 1, bastando para isso tomar x =
ou x = -~.
f( x)
=
v'Y--=-1
A = {O, 1, 2, 3} em
A função f de
B = tl, 3, 5,7, 9}definida
pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora
pois, dois elementos 'distintos de A têm
como imagens dois elementos distintos
de B. Observemos que não existem duas
ou mais flechas convergindo para um
mesmo elemento de B.
2'?)
A função de A = ~ em B = ~ definida por
pois, qualquer que sejam
3'?)
A função de
XI
e X2
A = IR'
de~,
em
se
XI
f(x) = 2x
é injetora,
'* X2 então 2xI '* 2X2'
B = IR definida por f( x)
x
é inje-
•
-J1.1"Itora, pois, qualquer que sejam XI e X2 de IR , se x I -r- X2 entao XI
111. FUNÇAo INJETORA
IV. FUNÇAO BIJETORA
213. Definição
215. Definição
Uma função f de A em
sejam XI e X2 de A, se XI
B é injetora se, e somente se, quaisquer que
'* X2 então f(xI) cf f(x2).
Em símbolos
Em símbolos
f: A -> B
f é injetora
= (\f XI , Xl E ,. A, \f X2, x2 E A)(xI '* X2 ~ f(xtI '* f(X2))
.
(\f Xl , XI E A, \fX2' x2 E A)(f(xt! = f(X2) ~ XI
X2)
Em lugar de dizermos "f é uma função injetora de A em B" poderemos
dizer "f é uma injeção de A em B".
186-A
f: A -> B
f é bijetora
=
f é sobrejetora e injetora,
~
Notemos que a definição proposta é equivalente a uma função f de A
em B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam XI e X2 de A, se
f(x,) ~ f(X2) então XI = X2'
f: A -> B
f é injetl}ra =
Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora
e injetora.
A definição acima é equivalente a: uma função f de A em B é bijetora
se, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B existe um único
elemento X pertencente a A tal que f(x) = y.
f: A - 4 B
f é bijetora = \f y, Y E B, 31 x, x E A I f(x)
V
Em lugar de dizermos "f é uma função bijetora de A em B" poderemos
dizer "f é uma bijeção de A em B".
187-A
216. Exemplos
1C?) A função f de A
por f(x) = x + 1 é bijetora
{O, 1,2, 3} em B = {1, 2, 3, 4} definida
1C?) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto ou não
cortar o gráfico, então a função é injetora.
Exemplos
a) f: IR
-+
b) f: IR. -+ IR
f(x) = x 2
IR
f(x) = x
y
y
x
pois, f é sobrejetora e injetora, isto é, para todo elemento y E B, existe um
único elemento x E A, tal que y = x + 1. Observemos que para cada ele.
. mento de B converge uma só flecha.
29) A função f de
é bijetora, pois:
A = IR
em
B = IR
definida por
3x + 2
f(x)
2<?) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos então
a função é sobrejetora.
Exemplos
a) f: IR
I) qualquer que seja y E IR,
y - 2
tomarmos
x =
3
existe
x E IR
tal que
y = 3x + 2,
basta
x
-+ IR
f(x) = x - 1
b) f: IR
-+
y
Logo, f é sobrejetora;
11) quaisquer que sejam XI e X2 de IR, se XI "* X2 então 3xI + 2 "* 3X2 + 2,
isto é, f é injetora.
IR.
f(x) = x 2
y
x
x
217. Observemos que existem funções que não são sobrejetoras nem injetoras.
Assim, por exemplo, a função de IR em IR definida por f(x) = I xl
I) dado y E IR~, não existe
não é sobrejetora;
X E IR
tal que
y = I xl.
11) existem XI e X2 em IR, XI e X2 opostos (e portanto
tais que I XI I = I X2 I, isto é, f não é injetora.
portanto f
Exemplos
a) f: IR
-+
IR
b) f: IR
IR
f(x) = X • I x I
f(x) = 2x
XI"* X2)
218. Através da representação cartesiana de uma função f podemos verificar
se f é injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos o número
de pontos de intersecção das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada
ponto (0, y) onde y E B (contra-domínio de f).
188-A
39) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a
fu nção é bijetora.
-+
y
x
x
1S9-A
EXERCfclOS
219. Resumo:
Dada a função f de A em B, consideram-se as retas horizontais por
(O. V) com V E B:
~?I
se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então f é injetora.
2?)
se toda reta corta o gráfico, então f é sobrejetora.
3?)
se toda reta corta o gráfico em um só ponto, então f é bijetora_
A.313 Indique qual das funções abaixo é injetora. sobrejetora ou bijetora?
., r;=0 f0 "~
A
~revB
"(2+ ~ ~-A
h
c)
~;~"
220. Teorema
Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são sobrejetoras,
então a função composta gof de A em C é também sobrejetora.
B
A.314 Para as funções em
bijetora?
IR ·abaixo representadas qual é injetora?
E sobrejetora?
E
y
Demonstração
b)
a)
A função 9 é sobrejetora então, para todo z de C, existe V em B
tal que g(V) ~ z e a função f é sobrejetora, isto é, dado V em B existe
x em A tal que f(x) ~ V.
Logo, para toda z em C, existe x em A tal que
x
y
c)
d)
z ~ g(V) ~ g(f(x)) ~ (gof) (x)
o que prova que
gof é sobrejetora.
x
x
A.315 Nas funções seguintes classifique em
221. Teorema
Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são injetoras, então a
função composta gof de A em C é também injetora.
Demonstração
Consideremos x I e X2 dois elementos quaisquer de A e suponhamos
que (gof) (XI) ~ (gof) (X2), isto é, g(f(x l )) ~ g(f(X2)l. Como 9 é injetora,
da última igualdade resulta que" f(xI) ~ f(X2), como f é também injetora
vem, XI = X2; portanto gof "é. injetora.
190-A
II injetora
III sobrejetora
IV) não é sobrejetora e nem injetora.
~
a)
f: IR
-+ IR
tal que
f(xl
b)
g: IR
-+IR
tal que
g(x) = 1 - x 2
cI
111) bijetora
2x + 1
h: IR
-+ IR+
tal que
h(xl = Ix - 1 I
d) m: t.I
-+ t.I
tal que
m(xl
n: IR
-+Z
tal que
n(x) = [x]
p: IR' -+ IR'
tal que
p(x)
g)
q: IR
-+ IR
tal que
x
q(x) = x 3
hl
r: IR
-+ IR
tal que
r(xl =lxl,(x-1I
el
fi
(
=
3x + 2
,
191-A
A.316 Determine o valor de b em B = {y EIR I y ;;. b} de modo que a função f de
IR em B definida por f(x) = x2 -4 x + 6 seja sobrejetora.
A.317 Determine o maior valor de a em
IR I x ~ a}
A =- {x E
f de A em IR definida por fi x) = 2x 2 - 3x + 4
de modo que a função
seja inietora.
V. FUNÇÃO INVERSA
{1, 3, 5, 7}
222. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} e B
2x - 1.
a função f de A em B definida por f(x)
Notemos que a função f é bijetora
A.318 Nas funções seguintes classifique em
111 sobrejetora
11 injetora
fi xl =
cl h: IR
{
xx2 ssee
d) m: IR
se
h(xl = { 3x - 2
x - 2 se
x ;;. 2
m(xl =
x <2
-+ IW
el n: IW
n(xl
g(x) =
x<O
=
P;
fi p: IR
se
1 se
r
onde
-+ IR
x ;;. O
-+ IR
B
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
b) g: IR
-+ IR
A
formada pelos pares ordenados
1111 bijetora
IV) não é injetora e nem sobrejetora.
a) f: IR
consideremos
< <1
x é (mpar
f,
A função
>1
Im(f)
= B.
é também uma função
f-I
A
é formada pelos
pares ordenados
ri = {(l, 1), (3, 2), (5,3), (7, 4)}
{~:] :: x E (IR - (D)
xE(D
p(x) =
inversa de
{ 4 - x2
-+ (D
x é par
e
pois, f é uma bijeção de A em B,
iS10 é, para todo V E B ex iste um
único x EC A tal que (V, xl E f-I.
-+ IR
se x <; 1
x2 - 6x + 8 se x
=A
A relação f-I = {(y, x) I Ix, V) E f},
se x ;;. 1
1 se -1
x
x + 1 se x ,;;; -1
~
D(f)
onde
DW') = B e
Im(f- I )
=
A.
Observemos que a função f é definida pela sentença V = 2x - 1, e f -\
A.319 Sejam as funções: f de A em B, definida por y = f(x); identidade em A,
anotada por IA, de A em A e definida por IA(xl = x; identidade em B,
anotada por IB, de B em B e definida por IB(x) = x. Prove:
f()IA=f
e
IBof=f.
A.320 As funções IA e 18 do exercido anterior são iguais? Justificar.
A.321 Os conjuntos A e B têm, respectivamente m e n elementos. Considera-se uma
função f: A ---+ B. Qual a condição sobre m e n para que f possa ser injetora?
E para f ser sobrejetora? E bijetora?
A.322 Quantas são as injeções de
A = {a, b}
em
B
{c, d, e, f}?
definida pela sentença
x =
é
V + 1 . isto é
2
1?)
f
2?)
f-I leva cada elemento
leva cada elemento
x EC A
VE B
até o
até o
V E B
x E A
tal que
tal que
V = 2x - 1
V + 1
2
x
223. Teorema
Seja
f: A --> B.
A relação f-I é uma função de B em A se, e somente
se, f é bijetora.
DemonStração
A.323 Quantas são as sobrejeções de
A
{a, b, c}
em
B::. {d, e}?
A.324 Mostrar com um exemplo que a composta de uma injeção com uma sobrejeção pode
não ser nem injetora nem sobrejetora.
192-A
la Parte:
se f-I é uma função de B em A então f é bijetora.
1
ai para todo V E B existe um x E A tal que f- (V)
(V, xl E f- \
ou ainda, (x, V) E f. Assim f é sobrejetora.
x,
isto é,
193-A
b) dados Xl E A e X2 E A, com Xl =lo X2, se tivermos f(xI) = f(x2) = y
resultará f-I (y) = XI e f-I (y) = X2, o que é absurdo pois y só tem uma
imagem em f-I. Assim f(xl) =lo f(x2) e f é injetora.
2'! Parte:
se f é bijetora, então f-I é uma função de B em A.
a) Como f é sobrejetora, para todo
(x, y) E f, portanto, (y, x) E f-I.
b) Se
A
B
B
A
y E B
existe um
y E B
X E A tal que
duas imagens XI e x2 em f-I, vem:
O(f- I )
portanto
Como f é injetora resulta
XI = X2'
B = Im (f)
e
ImWl) = A = O(f).
226. Vimos no exemplo anterior que se a função f é definida pela sentença
aberta y = 2x - 1, então a função inversa f-I é definida pela sentença X = Y + 1 .
2
224. Definição
Observemos, por exemplo, que
Se f é umjl função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma
função de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por f-I.
y = 2x - 1
(2, 3)
e também
X=
pertença a f e a
ri.
~.
2
De fato
(2, 3) E f
225. Observações
As sentenças abertas
1~)
Os pares ordenádos que formam f-I podem ser obtidos dos pares
ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto é
(x, y) E f
2~)
-.
(y, x) E f-I
(x, y) E f - . (y, x) E f-I.
(y, x) E f-I
ri, teremos:
- . (x, y) E (f-I )-1
isto é, a inversa de f-I é a própria função f
(f-I)-I = f.
Podemos assim afirmar que f e rI são inversas entre si, ou melhor, uma é
inversa da outra.
3~)
O domínio da função f-I é B, que é a imagem da função f.
A imagem da função
194-A
e
y =
3 satisfazem a condição
Isto não quer dizer que o par ordenado
e
y = 2x - 1
(3, 2) E rI.
e x =
r....:':.J.. não especificam quem
2
é o primeiro termo do par ordenado.
Ao construirmos o gráfico cartesiano da função
abscissas e y em ordenadas, isto é:
f,
colocamos x
em
f = {(x, y) E A X B I y = 2x - 1}
Pela observação anterior, temos
Agora, se considerarmos a função inversa de
(x? ou V?)
X = 2
ri é A, que é o domínio da função f.
e ao representarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de f-I, como o
conjunto
rI = {(y, x) E B X A I x = ~}
2
devemos ter y em abscissa e x em ordenada.
Afim de que possamos convencionar que:
1C?) dada uma sentença aberta que define uma função, x
sempre o primeiro termo dos pares ordenados e
representa
2C?) dois gráficos de funções distintas podem ser construídos no mesmo
plano cartesiano com x em abscissas e y em ordenadas. Justifica-se a segu inte
regra prática.
195-A
+-+
227. Regra prática
Dada a função bijetora f de A em B, definida pela sentença y = f(xl,
para obtermos a sentença aberta que define f-I, procedemos do seguinte modo:
Para provarmos que a reta PO é perpendicular a reta r, consideremos o
ponto R(c, c) da reta r, distinto de M e provemos que o triângulo PMR é
retângulo em M.
Calculando a medida dos lados do triângulo PMR encontramos:
10 ) na sentença
y = f(x) fazemos uma mudança de variável, isto é,
trocamos x por V e V por x, obtendo x = f(y).
20 )
transformamos algebricamente a expressão
para obtermos y = f -I (x).
x = f(y),
expressandc
V em função de x
2
Exemplos
10 )
PR
Oual é a função iflversa da função
f
fi x) = 3x + 2?
A função dada é: f(x)
y = 3x + 2.
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis: x = 3y + 2
11) expressando y em função de x:
x = 3y + 2
3y = x - 2
=
Resposta:
f(x)
MR 2 = (~_C)2+(~
f
Resposta:
É a função
x = y3 =
PM2 + MR2 = 2(~)2 + 2(~ _ C)2
2
2
= y
2
2
a - 2ab + b
2
o
_ 2(a + b) . c + 2c 2 = a 2 + b 2 - 2ac - 2bc + 2c 2
_ 2bc + c 2 ) = (a - C)2 + (b - C)2 = PR 2 .
x - 2
= ---
(a 2 -
2
+ a +2ab+b
2
2
2ac + c ) + (b 2 -
X -
3
2
229. Assim, por exemplo, vamos construir no mesmo diagrama os gráficos de
duas funções inversas entre si:
y =if;
f-I (x)
if;.
228. Propriedade
1'?)
x + 4
2
1'?)
f(x) = 2x - 4
2'?)
f(x)
x2
e
=vx
3'?)
f(x)
x3
e
=if";
y
2x - 4
e
v
x + 4
-2-
y
I
fll
x
dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.
(a, b) E f
então
(b, a) E f-I.
-4
Para provarmos que os pontos Pia, b) e O(b, a) são simétricos em relaçãc
a reta r de equação y = x (bissetriz dos quadrantes 1 e 3), devemos provar
que a reta que passa pelos pontos P e O é perpendicular a reta r e que a!
distâncias dos pontos P e O a reta r são iguais.
(a+b a+b)
O ponto M, médio do segmento PO tem coordenadas
2
'
2
e portanto M pertence a reta r. Como M é médio do segmento PO, isto ,
MP = MO,
M E r, está então provado que os pontos P e O equidistam d,
1/
1/
11/ . / ......
e f-I são simétricos em relação a bissetri,
Observemos inicialmente que se
2
3
bijetora em IR definida pOI
f-I em IR definida por
Os gráficos cartesianos de f
(a - C)2 + (b _ C)2
=
e observemos que
=
Aplicando a regra prática, temos:
2
bijetora emiR definida por
É a função f-I em iR definida por f-I (x) =
2'?) Oual é a função inversa da função
x3?
A função dada é f(x) = Y = x 3 .
2
-3
-2
-1
Y
x
Y
-12
-10
-12
-10
-8
-6
-8
-4
-3
-2
-1
O
-4
-6
-4
1
2
3
-2
-2
O
2
O
2
1
2
3
4
4
4
4
O
...........
..........
......
......
./
1/ J
'I
1/
J
/
~,~/
I.,:,<j:/
1/
I...... ~
I7 Y
......
Iv
IJ
I
I1
-
1/
~ ...... f-
J
11
/
I
reta r.
196-A
197-A
2?)
Y
X
2
y =
v'X
I
y
1ft
x
y
x
y
o
o
O
O
1
2
3
1
1
4
9
4
9
1
2
3
16
25
36
16
25
36
4
5
6
---
I
Demonstração
Observemos inicialmente; se as funções f de A em B e 9 de B em C,
são bijetoras, então a função composta, gof de A em C é bijetora, logo,
existe a função inversa (gof) -I de C em A.
1/
J
~
1/
1/
lY
/ 1/I IJ::. l..-
f I
J--
-
x
x
y
-27
-27
-8
-8
-1
-1
-3
-2
-1
O
O
O
O
1
2
3
1
1
8
8
27
27
1
2
3
IC'
= gog-I = I c .
1/
1/
-I
EXERCíCIOS
A.325 Para cada função abaixo pede~se provar que é bijetora e determinar sua inversa:
ai f: IR ---+ IR
1/
:
1/
1/
tal que f(x)
bl 9: IR - {4} -> IR - {1}
cl h: IR --+ IR
tal que
~
2x - 5
tal que
91 xl _ x + 1
x -
hlxl ~ x S
4
A.326 Nas funções abaixo de ,IR em IR, obter a lei de correspondência Que define a função
inversa.
ai flxl
~
2x + 3
bl qlxl ~ ~
3
cl hlxl ~ x 3 + 2
230. Teorema
uma função bijetora de A
em B. Se f-I é a função inversa d
di plxl - Ix - 1)3 + 2
f então
el qlxl
fi
Demonstração
198-A
fof- I
Wlog-I)O(gof) = [Wlog-I}og]of = [f-Io(g-Iog)]of = [rlolslof =
I/'
1/
HL-f--+-+-+++-+- --+----+-+-+-+---V
Seja f
(gof)OW'og- l ) = Ic·
=rlof=IA
(gof) o(f- I o g-I) = [(gof) or l ]og-I = [go (fof- I ) ]og-I = [go I s ]og-I =
Y
-3
-2
-1
e
então basta provar que
Então;
y=~
X3
(gof) -I = f-I og-I,
(f-1og-1)O(gof) = IA
f-IOf = IA,
x
Y
Queremos provar que
Notemos que
y
3?)
em B e 9 de B em C são bijetoras então
(gof)-I = f-I og-I.
<'
II
5
6
V
231. Teorema
Se as funções f de A
~'"
~~
I
4
?
V
V
1/
\;f x E A,
(f-IOf) (x)
f-I (f(x))
f-I (y)
=
\;f y E B,
(fof- 1 ) (y)
fW1(y))
f(x)
y.
=
x
~ if02
rlxl-~
gl,lxl
~~
A.327 A função f
em IR
definida por
f(x)
==
x2 ,
admite função inversa?
Justificar.
199-A
A.328 Seja a função f de IR_ em IR., definida por
de f?
f(x) ~ x 2 .
Qual é a função inversa
A.331 Obter a função inversa das seguintes funções:
A função dada é
f(x)
=
y = x2
com
x';; O e
V;;;. O.
c)
11)
V.;; O e
d) f' IR -
f: IR - {3} --+ IR - {-I}
f(x)
permutando as variáveis:
com
3
x -
Aplicando a regra prática, temos:
x ~ V2
f(x) = 2x + 3
x + 1
f(x)=~
Solução
I)
b) f: IR - {-I} ...... IR - {2}
a) f: IR - {3} ----> IR - {I}
.
~~
f(x)
=
x - 3
O·}
3 --+ IR - {.?}
3
5x + 2
3x - 1
x;;;' O
f)
e) f: IR' ----.. IR - {4}
expressando V em função de x
f(x) = 4x + 2
x ~ y2 = V ~ -yÇ ou V = --yÇ
f: IR - {3} ----.. IR - {3}
f(x) = 3x + 2
x - 3
x
Considerando que na função inversa f-I. devemos ter
correspondência da função inversa será f-I (x) =
-...r;. .
Resposta: ~ a função f-I de IR+ em IR_ definida por
V.;; O e x;;;' O a lei de
f-I (x) =
4x - 3
-...r;..
A.332 Seja a função f de IR - {-2} em IR - {4}
é o valor do domínio de f-I com imagem 57
definida por
f(x)
~.
Qual
. A.329 Obter a função inversa nas seguintes funções abaixo
Solução
Queremos determinar a E IR - {4}
a) f: IR.
IR.
f(x) ~ x 2
tal que f -I (a) = 5, para isto. basta determinar
a tal que f(5) ~ a
b) f: A ----.. IR •• onde
f(x) = (x _ 1)2
A ~ {x E IR I x .;; 1 }
c) f: A -----+ IR_. onde
f(x) = -(x - 2)2
A = {x E IR I x .;; 2}
d) f: A -----+ IR_. onde
f(x) ~ -(x + 1)2
A ~ {x E IR I x .;; -I}
A.333 Seia a função f
e) f: IR _----> B.
f(x) ~ x 2 + 1
onde
B={yEIRlv;;;'l}
f)
f: IR. -----+ B.
f(x) = 4 - x 2
onde
B = {V E IR Iv .;; 4}
A.334 Sejam oS conjuntos A = {x E IR I x ;;;'1} e B = {y E IR I y_;;;'2} e a função
f de A em B definida por f(x) ~ x 2 - 2x + 3. Obter a funçao Inversa de f.
g) f: IR_--->B.
ti x) = x 2 - 1
onde
B = {y E IR I y ;;;. -I}
a = f(5) ~ 4, 5 - 3
por
em IR - {I}
definida por
f(x)
x • 1
x- 2
f(x) = y = ~
x - 2
com
x*-2
7
em
B = {V E IR I V ;;;. I}
definida
f(x)
~ V ~ x 2 - 2x + 3
com
x;;;' 1
e V;;;. 2.
~ =xy - 2x ~ V + 1
=
expressando V em função de x
x ~ y2 _ 2y + 3 =>- x ~ y2 - 2y + 1 + 3 - 1 => x ~ (V - 1)2 + 2=>
=>- (y _ 1)2
XV - V ~ 2x + 1 =>- vlx - 1) = 2x + 1 ==o
Resp.: ~ a função f-I. de IR - {I} em IR - {2}. definida por f-I (x)
V;;;. 1 e x;;;' 2
~ ~ ~y - 1 = ~ ou y - 1 ~ -~=>
=>- y = 1 + ~ ou y = 1 -~.
e V *- 1.
Apl icando a regra prática. temos:
y-2
2x + 1
=>y
x-I
17
A = { x E IR I x .;; -I}
Il permutando as variáveis:
x = y2 _ 2y + 3 com
I J)
Solução
~
de
~
.J x2 + 2x + 2. Qual é o valor do domínio de ri com imagem 37
Solução
A função dada é
Qual é a função inversa de f7
x
f(x) =
a
7
Aplicando a regra prática temos:
A.330 Seja a função bijetora f. de IR - {2}
A função dada é
.!2.==>
5+2
Considerando que na função inversa f-I. devemos ter
que define a função inversa é
Resposta:
2x + 1
x-I
f-I (x) = 1 +
~
V;;;'l
e x;;;' 2, a sentença
f-I: B~ A
f-I(x)
~ 1 +~
201-A
200-A
A.335 Obter a função inversa das seguintes funções:
a) A = {x E IR I x ~ 1}
f:A--+B
f(xl = x 2 - 2x
a) f(x) = {
bl A = {x E iR I x ~ -1}
f:A--+B
t( xi = x 2 + 2x + 2
cl A = {x E IR I x ,;;; 2}
f: A---+ B
f(xi = x 2 - 4x + 3
B={yEIRIY~1}
e
e
B
c i f( x ) __
{yERIY~-l}
e) flxl =
di A = {x E IR I x ~ 1.}
f: A---+ B
2
f( xl = x 2 - 3x + 2
ei A = {x E IR I x ~ 2}
f:A--+B
t( x) = -x 2 + 4x + 5
f)
A.337 Nas seguintes funções em IR, determinar a função inversa.
B={yEIRIY~-1}
e
A = {x E IR I x';;; -1}
f:A--+B
t(x) = _x 2 - 2x + 4
e
B
2x + 3
se
x ~ 2
3x + 1
se
x
{X 2 se
2x
se
{ V;:~
(3 _ x)3
<2
x ~O
<O
x
se
se
x~3
x
<3
bl flxl =
{
di t(x)
= {
f) f( x)
=
5 _ 3x
se
x ~-1
4 - 4x
se
x <-1
3
- 2
se
x <-1
4x + 1
se
x ~ -1
x
x2 - 4x + 7
< <
{
{yEIRly~_1-}
4
A.338 A função f em IR definida por t(x) = I x + 21 + I x - 1\, adrr:ite função inversa?
{y E IR I y ,;;; g}
e
B
e
B={YEIRlv';;;5}
e
B={YEIRly~_~}
8
A.339 Seja a função f em IR definida por
a função inversa de f.
f(x) = 2x + 1x + 11 - 12x - 41.
A.340 Seja a função f em IR def ·In''d a por
cartesiano os gráficos de f e f-I.
x
f()
=
2 x - 3.
IV'
x
t(x) = 2x - 3
II
+ 3
/
y
x
.. ~!tE
2
x
Determinar
Construir num mesmo plano
Solução
g) A={xERlx~~}
f:A---+B
4
flx) = 2x 2 - 5x + 2
x ~ 2
se
2x - 1 se -1
x
2
-x 2 - 2x - 4 se x';;;-l
L
.....f;:;
lflI:
y
7J
A.336. Seja a função bijetora de IR em IR definida por
f(x) =
{
Determinar f-I.
x2 - 1
se
x ~O
-1
-5
-5
-1
x - 1
se
x
<O
O
-3
-1
-3
O
1
2
1
2
Solução
Notemos que
1?1 se x ~O
2?) se x
então
t(x) = y = x 2 _ 1,
logo
y ~-1.
2
- 1
com
x ~O e
y ~ -1
ou
y = x _ 1
com
< O e y < -1.
x
com
y ~ O e
3
3
4
5
5
4
cl f: IR ---+ IR
f(x)
permutando as variáveis, temos:
x = y2 - 1
3
ai f: IR --+ IR
f(xi = 2x + 1
Aplicando a regra prática:
I)
3
x ~ -1
ou
x = y - 1
com
y
< O e x < -1
=
1 - x3
el f: A---+ A = {x E IR I x ~ -1}
t(xl = x 2 + 2x
~ com y ~ O e x ~ -1
ou
y = x + 1
com
,
'
1.1
bl f: IR --+ IR
f(xl
y
< O e x < -1 .
{~ se x ~-1
x + 1 se x < -1
=
f(xl =
i)
~
x
f: IR-.> IR.
f(xl = (~)x
2
2x + 4
3
di f: R _ ""* B = {y E IR I y ,;;; 1}
f( x) = 1 - x 2
fi
f: IR'~ IR'
=
2x
g) f: IR'""* IR - {1}
Logo, a função inversa f-I é de IR em IR e definida por
f-I (x) =
x
/
1/
f(xl
11) expressando y em função de x, temos:
y =
I""
A.341 Nas funções que seguem, construir num mesmo plano cartesiano os gráficos d e f e f-I.
< O então t(xl = y = x - 1, logo y < -1.
A função proposta é
y = x
1
-1
1
..../
....
h) f: IR-.> IR.
f(x)
=
2x
e 9 em IR definidas por
determinar a função inversa de gof.
A.342 Dadas as funções f
f(x)
3x - 2
e
g(x) = 2x + 5
Solução
1':' Processo
Determinamos inicialmente
gOf
e em seguida
A.345 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x .;;; 1-} e B = {x E IR I x;;;' -1 } e as funções: f
(gof)-I
2
de A em IR _ definida por f(x) = 2x - 1, 9 de IR _ em IR. definida por glx) = x 2
e h de IR. em B definida por hlx) = 4x - 1. Determinar a função inversa de
hOlgof).
(gof)(x) = g(f(x)) = 2f(x) + 5 = 2(3x - 2) + 5 = 6x + 1.
Aplicando a regra prática, temos:
x=6y+1
portanto
A.344 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x;;;' -2}, B = {x E IR I x ;;;. -4} e
C = {x E IR I x ;;;. -1} e as funções f de A em B definida por f(x)
= x 2 + 4x
e 9 de B em C definida por g(x) = x 2 - 1. Pergunta-te: existe
(gOf) -17 Justificar a resposta.
"* y=~
6
2!...:....!
(gOf) -I (x I
6
2':' Processo
Determinamos inicialmente f-I e g-I e em seguida
f-Iog- I
pois
(gOf)-1 = f-IOg- l .
Aplicando a regra prática em
f-I (x) = ~
e
f(x) = 3x - 2
2
(f-Iog-I)(x) = f-I(g-I(x)) = g-I(x) + 2
3
Resposta:
g(x) = 2x + 5
temos:
g-I(x) = x - 5
3
portanto
e
x - 5 +2
2
3
x - 1
6
(gOf) -I (x) = x ~ 1
(gof) -I: IR ---+ IR
(goWI(x)
~
6
A.343 Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de gof:
a) f: IR-+ IR
f(x) = 4x + 1
e
g: IR-+ IR
g(x) = 3x - 5
b) I: IR-+ IR
f(x) = x 3
e
g: IR-+ FI
g(x) = 2x + 3
c) I: IR.~ IR.
I(x) = x 2
e
g: IR.-+ C = {x E IR I x ';;;4}
g(x) = 4 - x
d) A = {x E IR I x;;;'
I: A-+ B
f(x) = x 2 - 3x
e
%}, B = {x E IR I x ;;;. - ~}
4
g: B-+ IR.
g(x) = 4x + 9
C = {x E IR I x ;;;. 2}
f: A ---+ IR.
f(x) = x 2 - 1
204-A
e
g: IR+---+ C
g(x)=~
205-A
APÊNDICE I
29)
verificando se
Mostremos que
fIa)
EQUAÇOES IRRACIONAIS
~ = 3,
= {
é raiz de (1)
g(a)
~
=
ou
g(a)
-ylf0)
=
g(a);;' O resulta que só
g(x) = Yf0J.
Como
g(a)
=
~ é verdadeira, isto é, o:
é raiz da equação
~ 2x + 1 = 2,
V 3x + 2 = x + 2,
~ + ~ = 5.
Esquematicamente, temos:
I v'ffXf
Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-Ia, eliminando
os radicais, bastando para tanto elevá-Ia a potências convenientes. Não devemO!
esquecer que este procedimento pode introduzir raízes estranhas à equação
proposta inicialmente.
232. Equação vIf(;J = g(x)
Yf0J = g(x).
1M = [g(x)j2
e
g(x);;' O
e
qlxl - 5
f(x) - [g(x)]2 = O
V x 2 + 5x + 1 + 1 . 2x
(Yf0J - g(x)) • (Yf(;J + g(x))
O (2).
É claro que toda raiz da equação (1) é raiz da equação (2) porque anulando-se
VI(x) - g(xl anular-se-á o produto (YIf(;J - g(x))(Yf0J + g(x)).
Entretanto, a reciproca não é verdadeira, isto é, uma raiz da equação (2)
pode não ser raiz da equação (1). De fato, uma raiz de (2) anula um dos fatores,
podendo anular Yf0J + g(x) sem anular yIf(;J - g(x).
Para verificarmos se a, raiz da equação (2), também é raiz da equação
(1) podemos proceder de dois modos:
19) verificando na equação proposta, isto é, substituindo x
(1) e notando se aparece uma igualdade verdadeira;
> O, V- x E IR
yI~ c 5 =
ou
e
b)
a) Não há possibilidade de introduzir raízes estranhas ao quadrarmos esta equação,
pois
As duas equações podem ser escritas
yf(;J - g(x) = O
A.346 Resolver as equações
Solução
f(x) = [g(x)]2.
O (1)
=>
a)~c5
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
Vf(x) - g(x)
= g(x)
EXERCfclOS
Façamos o estudo da equação irracional do tipo
por a em
2x - 3 _ 52 => x _ 14
S - {14}
b) Antes de Quadrarmos esta equação é conveniente isolarmos a raiz em um dos
membros. Assim, temos:
V x2 + 5x + 1 + 1 - 2x = ~~~ - 2x - 1 =
-> x 2 + 5x + 1 _ 12x - 1)2 => x 2 + 5x + 1 _ 4x 2 - 4x + 1
:::::> 3x 2 - 9x = O ==> x
o;;:
O ou
=
x"'" 3
vo"2-+-5-'-0-+-1 + 1 * 2 • O
x - O
não é solução pois,
x - 3
é solução pois, ~~- 5 • 3 + 1 + 1 - 2 • 3
Para verificar se x == O ou x == 3 são ou não soluções da equação proposta podemos
utilizar o segundo processo, como segue:
qlxl - 2x - 1
9(0) - -1
5
gl31
c.
20G-A
g(a);;' O => a
= (g(a))2 ==> [Vf((;) - g(a)] [v't(aj + g(a)] = O=>
Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mai:
radicais.
Exemplos
g(a);;' O.
< O = x = O não é solução
> O ==> x _ 3 é solução.
207-A
A.352 Resolver a equação
A.347 Resolver as equações irracionais:
b)~=3
a)~=4
c) V x2 - 5x + 13 = 3
d) V 2x 2 - 7x + 6 = 2
e) Y 3x 2 - 7x + 4 = 2
f)
.j5+~=3
g)
x+
j)
V25 -
x2
h) V 5x + 10 = 17 - 4x
= 7
j)
k) 2 - x - 2~= O
ml V 9x 2 + 2x - 3 + 2 = 3x
)1 - ~ = x-l
o)
../16 ... v;+4 = 5
A.348 (MAPOFEI-74) Resolver a equação
x -
V
25 - x 2 = 1
Solução
A equação proposta é equivalente a
x 2 + 3x + 4 - Y x 2 + 3x + 6 = O => x2 + 3x + 6 - Y x 2 + 3x + 6 - 2 = O
Fazendo Y x 2 + 3x + 6 = y, temos
y2 _ Y _ 2 = O => y = 2 ou
Y x2 + x - 1 = 2 - x
n) V x4 + 2x 2 - x + 1 = 1 - x2
y = -1,
p) ) 2x + V 6x2 + 1 = x + 1
V x 2 + 3x + 6 = 2 ==> x2 + 3x + 6 = 22 => x2 + 3x + 2 = O =>
~ x = -2 ou
x = -1
~ - x = O.
A.360 Resolver as equações:
3R + 2 = O
b)
~ + 2 yÇ - 1 = O
Para y = 2,
temos:
5 = {-2, -1}.
A.353 Resolver as equações:
a) 3x 2 + 5x + 4 = 2 Y 3x 2 + 5x + 7
b) x 2 + Y x 2 - 4x - 1 = 4x + 7
cl x 2 - x + 3 = 5 Y x 2 - x - 3
di x 2 + 4 Y x 2 - 2x - 6 = 2x + 3
Soluções
a) Fazendo .,;;; = Y e x 3 = y2. temos:
A.354 Resolver em IR ... a equação
y2 _ 3y + 2 = O => y = 1 ou y = 2
mas y =.,;;;,
R
R
x JX
logo
= 2 ==> x 3 = 4 ==> x =
~+~=5
.v4
Solução
Antes de elevarmos ao quadrado, devemos transpor uma das ra(zes para o outro
membro. Assim, temos:
~ = Y e .,;;= y2. temos
b) Fazendo
1
2 y2 + y - 1 = O => y = 2" ou
~+~=5=>~=5-~
y = -1
Agora calculemos x:
=> (~12 = (5 _ ~)2 ==>2x + 1 = 25 _ 10~ + 2x - 4==>
y = -1 => \f; = -1 ==> x ~ IR
t
=> ~ =
t
~ 1O~ = 20 => ~ = 2 => 2x - 4 = 22 ==> x = 4
==> x = 116
x = 4 é solução pois
5 = {..!...}
16
V2 • 4 + 1 + Y2. 4 - 4 = 5
5 = {4}
A.351 Resolver as equações:
a) x - 5yÇ + 6 = O
b) 9x + 12yÇ - 5 = O
c) 6x + 7yÇ + 2 = O
d) x - 2yÇ - 2 = O
e) x 3 -
6R + 5 = O
g)\f;-yÇ+2=0
j)
.J:X
A.356 Resolver a equação
= 1 ==> x 3 = 1 ==> x = 1
5 = {1. ~}
y =
y = -1
não convém, pois, y = Y~x-:-2-+-3-x-+-6-;;' O
I)
A.349 (MAPOFEI-75) Verificar se existem números reais x tais que 2 - x = ~
Justificar a resposta.
a) x 3 -
Vx 2 + 3x + 6 - 3x = x 2 + 4
3~ - 2yÇ - 1 = O
f)
x 3 + 7..[';.3 - 8 = O
h) yÇ - \f; - 6 = O
j)
9W - 8R - 1 = O
A.356 Resolver as equações:
a) ~=2+yÇ
b)~+~=l
cl~-~=l
e)~-~=l
d)~-~=l
f) ~+~=14
209-A
208-A
A.362 Resolver a equação:
A.357 Resolver as equações:
b)~+~=4
a).J;+ 1 =~
cl~-~=3
y;;-:;:-; - 1 ~~
gl .J 1 + x + x 2 + .J 1 - x + x 2 = 4
e)
=
dl~-~=2
fi yÇ - .J x - ~ = 1
2
+
x+~·
2
x-~
= x
Solução
Multiplicando os termos da primeira tração por
x -
Y2 - x 2 e os da segunda por
x +~. temos:
A.358 Resolver as equações:
2Ix-~1 + 2Ix+~1
~ - ~ = .J 4x - 23
bl .,J;04 + 2 y;;-:;:-; = ~
cl v;-:;:5 = ~ -
2x2 _ 2
ai
2x2 _ 2
o;;
=>
x
x-Y27
x+..[27
2
+
2
=x=>2x=xlx 2 -11=>x 3 -3x=0=>
x-1
x-1
xlx 2 - 3) = O => x = O ou x =
ou x =
=>
v;.
Y3
d)~+~=~
el~-~=~
x =
Y3 ou
x =
-Y3
-V3 não são soluções pois devemos ter 2 - x 2 > O para que
seja real a expressão ~. Somente x = O é solução e isto pode ser verificado
facilmente, substituindo x por zero na equação proposta.
A.359 Resolver a equação:
~+~=Y;-;S+~
Solução
~+~=~+v;::1õ =>
=>(~ +~12= l..;;:s +~)2
S = {O}.
A.363 Resolver as equações:
ai
=>
2.J x 2 - 9x + 14 = x + 5 + x - 10 + 2.J x2 - 5x - 50
2
=> 2.J x 2 - 9x + 14
4 + 2.J x - 5x - 50
=>
2
=>.J x - 9x + 14 = 2 +.J i - 5x - 50 =>
=> 60 _ 4x = 4.J x 2 - 5x - 50 => 15 - x = .J x 2 - 5x - 50 =>
=> x _ 2 + x _ 7 +
.J21x 2 + 11
1
.Jx+~
=
=> 225 _ 30x + x2 = x 2 - 5x - 50
x = 11
=> -25x = -275
=> x = 11
é solução pois
-J11=2 + v'11--=-7 = ~ + ~
A.364 IMAPOFE 1-76)
Resolver a equação
+
S = {11}
A.360 Resolver as equações:
~ + .J3x"+"2 - V2x"+"5 = V3x
b)~.Jx-10=~+~
cl~+~=~-~
d)~-~=~-~
2
A.365 Resolver a equação
a)
+x-~
A.361 Resolver as equações:
ai x +
.J x2 + 16
=
1 + x +
40
.J x 2 + 16
cI~+~=
210-A
A.366 Resolver a equação
12
~
.J
4x + 20
di - ' - - - - c = _
4 + ..;;;
.J 2x + x 2
A.367 Sendo a e b números reais, resolver a equação:
~ + ~ = .J a + b - 2x
211-A
A.36B Sendo a E IR:. resolver a equação:
~
5a2
2x + 2 V a2 + x2 ~
~
233. Equação
Façamos agora o estudo da equação do tipo
Va2 + x 2
A.369 Sendo a e b números reais não negativos, resolver e discutir a equação:
.çf f(x) = g(x)
Vamos mostrar que ao elevarmos esta equação ao cubo não introduzimos
ra ízes estranhas, isto é, obtemos uma equação equ ivalente.
~=v;.+Vb
.çf f(x) = g(x)
~+~
=Vb
~-~
b)";;
+~ =
Vb+V;;-::-;;
A
~-~
f(x) = [g(xIP.
\! f(x) = g(x)
e
.çf f(x) - g(x) = O
(1)
f(x) = [g(x)]3
ou
e
f(x) - [g(x)]3 = O (2).
Observemos em (2) que:
b
':..,~8~+~x~+_v~:=a=-=x=­
cl -V
<=
De fato, considerando estas duas equações, temos:
A.370 Sabendo que a e b são números reais e positivos. resolver as equações:
ai
.çf f(x) = g(x).
b
a
f(x) - [g(x)p = [.çf f(x) - g(x)]. [(.çf f(X))2 + g(x) • .çf f(x) + (g(x))2] = O.
Como o fator
(<<f1;())2 + g(x) • .çf f(x) + (g(X))2
é sempre positivo pois
(.çff(X))2 + g(x) • .çff(x) + (g(X))2 = [.çff(x) + g(x) F + 3· [g(x)p
2
A.371 Sendo
8
e b números reais não nulos, resolver a equação:
V8 2 + x 'J b2 + x2 - a2 = x - a
4
resulta que o fator .çf f(x) - g(x) é nulo e a equação (2) tem sempre as mesmas
soluções da equação (1), isto é, (1) e (2) são equivalentes.
A.372 Resolver os sistemas de equações:
a)
b)
xy = 36
{ v;.+V;=5
...,r; - V; = 2.J;Y
{ x + y = 20
A+jf= ;
x
+ Y = 10
x+y-";;;=7
x2 + y2 + xy = 133
EXERCICIOS
A.374 Resolver as equações:
a)~=3
bl .çf4x 2 + 9x + 1 = x + 1
Solução
3~
3
ai V 2x + 1 = 3 ~ 2x + 1 = 3 =
x = 13
S = {13}
b) .çf 4x 2 + 9x + 1 = x + 1 = 4x 2 + 9x + 1 = Ix + 1)3 =
= 4x 2 + 9x + 1 = x3 + 3x 2 + 3x + 1 x3 _ x2 - 6x = O ~
=- xlx2 - x - 61 = 0 = x = O ou x = 3 ou x = -2
=
S = {O. 3. -2}.
A.375 Resolver as equações:
al.çf3x-5=1
~=-3
e) ~ 3x 2 - 7x - 5 = 1
g) ~ = 2x + 1
il ~ 2x 2 + 3x - 1 = 2x - 1
c)
~ + V2x + 4y = 4 + V2
~ _ V'2x + 2y = 2v'2 - 2
212-A
b)~=2
~ x2 - x - 4 = 2
d)
f)
h)
j)
.çf x 2 - 8x + 40 = 3
~ = 2x -1
~ 8 + 15x - 5x 2 - 3x 3 = x + 2
213-A
A.376 Resolver a equação
3 ~4
.3; x 2 - 20 = O
2V
x· - 3v
A;377 Resolver a equação
{I x + 49 - {I x - 49 = 2
APÊNDICE 11
INEQUAÇÕES IRRACIONAIS
Solução
{I x + 49 - {I x - 49 = 2 =
{I x + 49 = 2 + {I x - 49 => ({I x + 49)3 =
x + 49 = 8 + 3~ + 3( {I x - 491 2 + x - 49
==
= (2 + {I x - 491 3 =
=>3({lx - 491 2 + 3~ - 90 = 0 = ({Ix - 49)2 + ~- 15 = O.
Fazendo {I x - 49 = y,
y2 + Y _ 15 = O
== y
234. Inequação irracional é uma inequação em que há incógnita sob um ou
mais radicais.
temos:
=
3 ou
y = -5
mas,
y = {I x - 49,
Exemplos
então
vx+2 > 3, Y x2 - 3x + 4 > x, v'X+1 + ~ > 2.
{I x - 49 = 3 == x - 49 = 3 3 == x = 76
x = -76
{Ix - 49 = -5== x - 49 = (_51 3 =
Observemos inicialmente que se a e b são números reais não negativos
então
S = {76, -76}.
a> b _
a <b _
A.378 Resolver a equação
.çr,;-:;:-; - ~ = 1.
A.379 Resolver a equação
~ + ~ = ~.
A.380 Resolver a equação
~=1-~.
Assim, por exemplo, são verdadeiras as implicações
2<5
= 4 < 25
V3>v'2 =>3>2
4<9
=>2<3
A.381 Resolver a equação
mas são falsas as impl icações
Solução
-3 < -2 ~ 9 < 4
2> -5 ~ 4 > 25
2> -3 ~ 4 > 9
Para resolvermos esta equação vamos utilizar a identidade
IA + B)3 = A 3 + B3 + 3ABIA + B).
Fazendo
A =~,
B = ~
e
A + B =~,
temos:
1{!5x)3 = 1~13 + (~)3 + 3.çr,;-:;:-; .~. ~~x + 1 + x -1 + 3{15x 3 - 5x = 5x=>{l5x 3 - 5x = x=>5x 3 - 5x = x 3 ==
~ 4x3
a 2 > b2
a2 < b2
_ 5x = O
v'5 ou x
== xl4x2 - 5) = O == x = O ou x = -2-
s = {O V5 _V5}
,
2'
2
235. Teorema
v'5
= - -2-
Se f(x);;' O e g(x);;' O em um conjunto de valores x pertencentes
a A C IR, então são equivalentes as inequações f(x) > g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2.
Demonstração
Seja SI o conjunto das soluções da inequação f(x) > g(x)
conjunto das soluções da inequação [f(X)]2> [g(x)]2, isto é,
A.382 Resolver a equação:
SI = {x E A I f(x) > g(x)}
A.383 Resolver a equação:
e
A.384 Resolver a equação:
S2 = {x E A I [f(x)]2 > [g(x)]2}
X+ Y =72
A.385 Reso Iver o sistema de equações:
214-A
.3/
3/
{ vx+Vy=6
Para provarmos que as inequações f(x) > g(x)
são equivalentes, basta provarmos que SI = S2'
e
[f(x)]2 > [g(x)]2
215-A
De fato, para todo a
de S"
.
a E S, C A => f(a)
EXERCICIOS
temos:
> g(a) > O =>
{
fIa) - g(a)
e
fIa)
=> [f(a) - g(a)]· [f(a) + g(a)]
=> If(a)]2
> O}
+ g(a) > O
A.386 Resolver as inequações irracionais
=
x2 _
Para todo
Q
provemos agora que
=>
a E S2 => [f(a)]2
[g(a)]2 => [f(a)]2 - [g(a)]2
=> [f(a) + g(a)] • [fIa) - g(a)] O
{
S2 C S"
de S2' temos:
>
a E S2 C A
>
> O =>}
={
agora
g(a) ~ O
>O
As condições (I) e (11)
-{
(I)
O
< g(x)
""""
e
216-A
4
2x
111)
x ~-2 ou x?2
(1111
e
e
+ 5 ,;; (x + 1)2
I1I
5
2
x ~-
2x + 5 ;;;, O
-1
..
OI++II++III++II++II++III++II++II++III++II+++IIIIH+++++++++HH++HHf++- x
~! ',',I',',',',',','llil\\!ii\I',',',',',',',I,',',',',',',',',',',',',',\',',',',',',',\!,I',',',',',',!!,'\\1\\~ x
(11)
-2
>O
(111) 111111111111111111111 ~
2
.-------ofttItlHIHtHte- x
2
---<oIoftIIIHIIIIIIIIIII ... x
(I) n(111 n(lll)
S = {x E IR I x ~ 2}
O < f(x} < [g(x}f e g(x) > O
Analogamente, podemos estabelecer para a inequação
..; f(x}
3
< 4}
x ~-1
e
x + 1 ;;;, O
(11)
e g(x)
3';; x
5
Esquematicamente, temos:
..; f(x}
01111111111111111111111111- x
~ ,;; x + 1 =>
podem ser agrupadas da seguinte forma
O ,;; f(x) < [g(x)]2
3
---<of++I+Il+\ijl~lo---------<.oI+l++IIIIttII++IIH1III:--- .....
_ x
Quadramos a inequação proposta e resolvemos
< [g(x)j2
(11)
4
-1
Estabelecemos o domínio de validade, isto é;
f(x)
(I)
_ _ _ _ _---<011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110)--- __ x
11)
2?)
< O ou x ~ 3
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII~
s = {x E IR 1-1 < x < O ou
inequações
o processo para resolvermos esta inequação é:
g(x)
<4
O
(I) n (11)
YfW < g(x)
f(x) ;;;, O e
p.
x 2 _ 3x
e
-1 < x < 4
x 2 _ 3x - 4 < O
(li)
=> fIa) + g(a) ;;;, O
processos para resolvermos alguns tipos de
236, Inequação Irracional
x
{
=>
e
e
a E A => fIa) ~ O e
~O
_ 3x
3x ~ O
-1
b)
1?)
x
2
(I)
=> f(a) - g(a) > O => fIa) > g(a) => a E SI'
Vejamos
irracionais.
=> O ,;; x 2 - 3x < 4 => {
a)~<2
S, C S2'
~';;x + 1
b)
Soluções
> O=> [f(a)j2 - Ig(a)]2 > O=>
> Ig(a)]2 => a E S2.
Acabamos de provar que
VT3x <2
a)
YfW';; g(x)
< g(X} <=> O < f(x} < [g(x}j2 e g(x);;;' O
A.387 Resolver as inequações:
al~<2
bl ~ 5 ';;3
cI ..; x 2 - x - 2
<2
di ..; 3x 2 - 5x + 2 ,;; 2
e) ..; 2x
2
+ x + 3
<1
217-A
A.388 Resolver as inequações:
EXERCíCIOS
a)~';;;x
c)
v'"2x""+9 < x - 3
el
~<3-x
g) V x
i)
b)~<x-1
dl~';;;x+1
f)
2
- 3x + 3 < 2x - 1
1 + V x2 - 3x + 2 ,;;; 2x
V 2x
h I V 2x
2
2
A.389 Resolver as inequações:
v'3x-=5 ;;:. 2
a)
- x - 6 ,;;; x
- 5x - 3 < x + 3
cl~>X-2
b) V3x 2 - 7x + 2 > -4
Solução
V"3x""-=5;;:. 2 => 3x - 5 ;;:. 2 2 => x ;;:. 3
a)
S = {x E IR I x ;;:. 3}
237. Inequação' irracional Vf(Xj > g(x)
bl V 3x 2 - 7x + 2 > -4 ==> 3x 2 - 7x + 2 ;;:. O ==> x <
o processo para resolução desta inequação consiste em duas partes, que são
S = {x E IR I x <
.!. ou
3
1
3
ou
x > 2
x> 2}
TI? Parte
g(x) < O e f(x);;:' O
está satisfeita.
c)
Resolvendo
2'! Parte
a) Estabelecemos o domínio de validade da inequação, isto é:
f(x) ;;:. O e g(x);;:' O
(I)
x -
x - 2
(I)
(11)
(I), temos:
2x : 1 ;;:. O
{
<O
~>x-2 === { 2x - 1 > (x ou- 2)2 e x - 2 ;;:. O
2x - 1 ;;:. O e
pois sendo g(x) < O e f(x);;:' O, a inequação Vf(Xj > g(x)
x;;:.
{
(111 )
e
=
2 <O
1
2
x <2
(IV)
b) Quadramos a inequação proposta recaindo em
1
f(x) > [g(x)j2
"2
(111)
(11)
.,11111111111111111111111111111111111111"
2
(IV)
As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma
f(x) > [g(x)j2 e g(x);;:' O
(111)
x
1
"2
n (IV)
2
.. x
.. ,11111111111111",
SI = {x E IR 1 .!.. ,;;; x
2
Esquematicamente, temos:
..
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ...
X
< 2}
Resolvendo (11), temos:
v'fW > g(xl ===
f(x) ;;:. O e g(xl < O
ou
{
f(x) > [g(xlj2 e g(xl;;:. O
2x - 1 :
{
(x _ 2)2
=
{
x
2
_ 6x
+ 5
e
x - 2 ;;:. O
x - 2 ;;:. O
1
<O
(V)
===
(VI)
5
(VI-OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111110
.. x
2
Analogamente, para a inequação Yf(Xj;;:. g(x).
temos:
.. 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,.
(VI)
2
x
5
(V) n (vI) ---------<.IHI#II++IIII+'II~II#II++IIII+'II~II#II++III~II~II#II++IIIft:[l>--------1._ X
tlxl ;;:. O e g(x) < O
v!flXi ;;:. g(x) == {
ou
f(x) ;;:. [g(x)F e g(xl;;:. O
218-A
S2 = {x E IR 12 ,;;; x
< 5}
A solução da inequação proposta ~ dada por:
S = SI U S2 = {x E IR I .!.. ,;;; x
2
< 5}
219-A
A.390 Resolver as inequações:
e) ..; x -2x
d) v' 4x
2
2
(IV) () (V)
:;;" 3
e)
b)~:;;"x
IR
I x < O}
S = SI U S2 = {x E IR I x
2
d) v' 6x + x - 1 > 2x + 1
2
f) v' x + 4x - 4 :;;" 2x - 2
2
h) v' 4x - 5x + 2 :;;" x - 2
2
v' x - 6x + 5 > x - 2
g)~:;;"x+2
2
.. x
A solução da inequação proposta 11 dada por:
v'3x""--=-2 > x
I) v'2+x-x
>x-4
j) v' 2 + 3x - 2x
2
< O ou 2.
,;;; x ,;;; 3}
4
A.393 Resolver as inequações
> x - 2
A.392 Resolver a inequação
Solução
Para resolvermos esta inequação, devemos multiplicar ambos os membros por
não esquecendo que dependendo do sinal de
x,
x, o sentido da desigualdade será
mantido ou invertido.
~./
>O
x
(I)
v;:+2 :;;" 1
d) v' _x
x
238. Inequação Irracional
2
v'f1Xi" > YQiXl
o processo de resolução desta inequação é
Estabelecermos o domínio de validade da inequação, isto é,
f(x) :;;" O e
2?)
x:;;" 3
(111)
:;;" 1
c)
2
={
+ 7x - 6
x
b) v' 24 - 2x - x
- - - """ 2 ==> v 3 - x """ 2x ==> O ,;;; 3 - x ,;;; 4x ==>
x
(11 )
<1
v'5x""+3
< v'2
x
19)
.~./
2
a)
x
1~ Possibil idade
.. x
11111111111111111111111111111111111111110
~ = {x E
~:;;"1-x
c)
11111111111111111111111111111111111111111111111111111I11111111111111111111110
o
A.391 Resolver as inequações
aI
(VI
.. x
3
- 13x + 7 > 2
2
f) v' 4 - 19x - 5x :;;" -3
+ 7 :;;" 3
g) v' 5 + 5x - 2x
1111111111111111111111111111111111111110
b)~:;;"1
a)~>5
c) ~>-2
2
o
(IV)
g(x):;;" O
(I )
Quadramos a inequação proposta recaindo em
f(x) > g(x)
(11)
4
As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma
O
~IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII"
(11)
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111~
(111)
-1
1111111111111111111111111110
..
x
0111111111111111111111111111111111111111111111111..
x
3
4
..
3
"4
(I) () (11) () (/11)
x
3
0111111111111111111111111110
f(x) > g(x) :;;" O
Esquematicamente, temos:
v' f(x! > v' g(x! => f(x! > g(x! :;;" O
De modo análogo, para a inequação
v'fTx1 :;;" v'9lXl, temos:
2 a Possibilidade
x
<O
(IV)
~./
.r.:--~
_
_ _ :::::::::2~V3-x::?2x
x
220-A
(2x <O)
=
3-x:;;"O==>x';;;j
(V)
v' f(x) :;;"
..J g(x) ==> f(x) :;;" g(x) :;;" O
221-A
Notemos que para os valores de x satisfazendo (I), ambos os membros da
inequação proposta são positivos, então podemos quadrá-Ia sem preocupações.
EXERC(CIOS
...;;+1 < 2 + ~ == x + 1 < 4 + x - 4 + 4 ~=- 1 < 4 ~=
A.394 Resolver a inequação
Y'2-x""2-_-X- _ - >Vx 2 - 4x + 3
=~>...!...==x-4> ...!...=-x> 65
4
Solução
2
2
V 2x - x - 1 > V x - 4x + 3 == 2x 2 - x - 1 > x 2 - 4x + 3 ;;;, O =>
2
2x2 - x - 1 > x - 4x + 3
{ x 2 + 3x - 4 > O
===> {
e
==>
e
2
x - 4x + 3 ;;;, O
x 2 - 4x + 3 ;;;, O
{
x <-4 ou x> 1
e
x ... 1 ou x;;;'3
=
16
16
111)
A solução da inequação proposta é:
4
(I)
.IIIIIIIIIIIIIUlIJIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJlIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111111111111 ..
x
1i11ll1ll1ll1l11ll11ll1f11ll11l1l1ll1l1l111111111111 111111111111111"
x
65
(11 )
65
(I)
(I) n (11)
(11 )
s = {x E IR I x > 65 }
li'11I1111111I1111111I1I11I1I1I1111111111111111111111111111111111111.
x
16
(I)
(11)
(I) n(ll)
-4
1
11111111111111111:>
OI~IIII1III1I1I1II1I1III1IIIIIIIII1 ..
1
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.
-4
1111111111...
3
111111111111111110--
s = {x E fl I x < -4 ou
3
1111111111 ..
x
A.399 Resolver as inequações:
.,;a:-;. -...;;+1 > ~
2
x
a)~<1+~
c)
x
b)~-~<3
d) V x2 + 3x + 2 < 1 + Y,...x....2-_-x-+=--
x;;;, 3}
A.400 Resolver a inequação:
V;-:;:S -...;;+1 > ~
A.395 Resolver as inequações:
a)~;;;'~
c) V 2x2 - 5x - 3 ... ~
e) V2x 2 - 10x + B >yr~""'2r-_-6-x-+-7
g) V 2 - 3x - x 2 > V x 2 - 5x + 4
b)~<~
d) V x2 - 7x + 17 ;;;, yrB=--+-2-x-_-x""'2
fl V _x 2 + 5x - 6 < V 4x 2 + 12x + 11
h) V x2 - 2x + 2 < V 2x 2 - x + 4
A.401 Resolver a inequação:
x + V x2 - 10x + 9 > V x + 2 V x2 - 1Ox + 9
A.396 Resolver as inequações:
a)V4-~>~
b)V2-~-~<O
A.397 Resolver as inequações:
a)
b)
~ "'VV5 + x
4
v;+B < v;;+2
A.398 Resolver a inequação:
...;;+1 <2+~
Solução
Estabelecemos inicialmente o domlnio de validade da inequação
222-A
223-A
RESPOSTAS
CAPITULO I
A.1
São proposições: a, b, c, d, e, f, 9
São verdadeiras: a, d, e, 9
A.2
A.3
A.4
A.5
A.7
a) 3 • 7 =ft 21
bl 3( 11 - 7) = 5
(F)
e) (..!...)7 > (..!..)3
2
2
f) V2~ 1 (V)
c) 3'2+1";;4
(F)
g) -(-4) < 7 (V)
(F)
d) 5 ' 7 - 2 > 5 ' 6 (V)
a) V
b) V
f) F
g) F
a) V
b) V
f) F
g) V
a) F
b) V
f) V
g) V
2
a) (3 <)(x - 5x + 4 = O)
c)
e)
13y)(
*
d) F
e) V
c) V
d) V
e) V
c) V
h) V
d) V
e)
c)
~ <1
7
ou
e) 1_3)2 = 9
e
2
b) (\>'al((a + 1)(a - 1) = a - 1)
d) (3m)(y';;;2 + 9 =ft m + 3)
(3a)(5a + 4 ,,;; 11)
2
h) (3a)(~= a - 1)
a
f)
-3 <-7
b) ~ =ft ~ e
5
10
2
d) 2 = 4 e
V9 ~-3
f)
a) mde 12. 3) =ft 1
e
x
mme 12, 3) ~ 6
2>5
e
3 2 > 52
h) I\>' <)(y'"; ~ O)
,,;; 32
(3<)(x > 2
j)
Existe um número inteiro primo e par
j)
Existe um triângulo isósceles e não equilátero
3
3'10~6'5
Vi. =ft2
g)
e
F
7
g) (3x) rJ;.2 = x)
A.S
(V)
h) 3%7
c) V
+:i..=ft .'!'..)
4
(\>, x)(+~) = x)
(FI
k) Todo losango é Quadrado
I)
Todo número tem raiz quadrada igual a zero
m) Existe um triângulo equiângulo e não equilátero.
A.9)
a) F
f) F
k) F
b) F
c)
V
F
h) V
Il F
m) F
g)
d) F
e)
F
V
j)
V
i)
225-A
CAPfTULO 11
d)
A.12 ai {-9, -6, -3, O, 3, 6, 9}
{+' ~, f, 1}
A.40 ai V
di
{O}
A.41
A.13 A ~ {x I x é divisor de 6}
F
d) V
b) V
c) F
di V
B: {e, x, r, c, i, o}
A: {6, -1},
E ~ {2, 3, 4, 5}
A.42 a, b, d, f
B ~ {x I x é múltiplo inteiro e positivo de la}
A.44 332
{x I x é quadrado de um inteiro}
D : {x I x é satélite natural da Terra}
D : {3}
A,45
C :
e
83
nA U B U C = nA + nB + nC - nA n B - nB n C - nC nA + nA n B n C
bl 61
cI 257
d) 84
A.46 a) 500
B: {r, 5, x, z}
C: {5, t, U, v, x}
A.47 A : {p, q, r, 5, t}
A.15 B: (3
A.48 a) 560
A.18 todas
A.49 ai {a, b, e, f, g}
bl F
gl V
A.19 a) V
fi V
'~a, c, e, f, g}
c)
C ~ {3, -3, 5},
e) {cuiabá, goiânia}
A.14
f)
b) V
X ~ {1, 3. 5}
cl
A.37
cl {b}
e) {a, b, c}
{a, b}
A.36 a) V
bl {±1, ±2, ±3. ±6, ±7, ±14, ±21, ±42}
{e, f, g}
b)
A.34 ai {a, b}
cl F
d) F
e)
h) V
il
j)
V
b) 280
fi
F
F
00
A.20
A.50
(A) :
A.21
{(3, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, te. d},
{a, b, c} {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, A}
AU B:
A.22
B U C =
CAPitULO 111
{a, b, c, d}, A U C : {a, b, c, e},
te. d, e}, A U B U C : {a, b, c, d, e}
A.24 a) V
b) F
cl F
d) V
el V
fi V
A.25 círculo de centro O e raio 2r
A,26
plano C<
A.27
A
n B = {b, c, d}, A n C: {c},
A,29 ai V
A.30 a) L
A.32
A.33
X = {a, c. e}
A.51
A.52
B n C :
cl F
di V
el V
fi V
b) R
c)
d) Q
e) Q
f)
Q
P
D(6) ~ t±l, ±2, ±3, ±6}
D(-18) : {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}
D(-24) n D(161 : {±1, ±2, ±4, ±8} M(41 :
{c} e A n B n C: {c}
b) F
a, c, d, 9, h, i
M(101 :
{O, ±10, ±20, ±30, ... }
{O, ±4, ±8, ±12, ... }
{O, ±18, ±36, ±54, ... }
MI-9) n M(6) :
A.53 12,0,-1,1 e 49
A,54 a) não, pois 1 E D(a) n Dlb)
b) m é um máximo divisor comum de a e b: mdc(a, b) = ± m
c) a e b são primos entre si: mdc(a, bl : ± 1
di quando a I b
e) Quando
a e b
são primos entre si
fi n é um m(nimo múltiplo comum de a e b: mmc la, b) : ± n
A.55 a) ±1,
A.56
A.57 2
4
"5' "9'
226-A
bl ±2
c) ±3
d) ±6,
e) ±f2
f) ±42
a, b, e, f, h, k, Q
8
25'
32
99'
271
50
e
602
111
227-A
A.93 aI A x B = {(I, -2), (I, 1), (3, -21, (3, 1), (4, -21, (4, 1)}
bl B X A = 11-2, li, (-2, 3), (-2, 41, (I, li, 11, 3), 11, 4)}
A.5S2<..!..! <~<.!!!..<~< 1
3
12
16
48
O
-1
-2
A.60
19
1
I
1
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3
2
A.61
,
I
4
,
1
.2.2
2
I
1
I
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~
.1.
3
3
3
I
•
a, b, c, f, 9, h, i
1
cl A X C = til, -1), lI, OI, 11,2),13, -1), (3, O), (3,21,14, -li, (4, O), (4, 21}
d) C X A = :(-1, lI, (-1,31, (-1,41, lO, 1), lO, 31, (0,41, (2, li, (2, 3), (2, 4}
e)
B2 = {(-2, -21, 1-2, 11, 11, -2), (I, I)}
f)
C2 = ,1-1, -1), (-I, O), (-1,2), (O, -1), (O, O), lO, 21, (2, -1), (2, Dl. (2, 21}
a)
2
b)
I
cl ~~
I
I
A.66 A: - - - - - - - - - - -..
IIIItIIIl1IIII1tIlIl1I1II1tIlIl1II1I1t"..---------....
O
3
B: ----------<0111111111111111111111111111111111111111111111111111111:l)------...
-1
D:
1
1
1
011111111111111111111111111111111111111111111'"
C: 1111111",,',I',',',',',',IIIII',',IIII',',',',',II',le
1
1
1
O
11111 11 11 11111 1IIIIo>---------_eIl1II1I1tIlIl1I1I11t1111111111t1l1l111111t1l1l111111t1l1l11111I+1l11111111t1l.....
A.67 [-1,3] = {x E IR l-I .;; x';; 3}
[O, 2[ = {x E IR I O .;; x < 2}
dI
]-3; 4[ = {x E IR I -3 < x < 4}
]-00, 5[ = {x E IR I x < 5}
[1, +00( = {x E IR I x ;;. 1 }
I
bl]l,2]
c)]O,~[dl[0,2]
A.70 aI [-1, 4]
bl [-I, 5]
cl ]-2, 5[
C:
[O, 1] U
5
d)]-
el[-1,2[
I
eI
. 1
A. 69 a) [1,2]
A.71
I
I
1
1
1
1
1
1
0[1,2]
%' O[
13, 5[
A.94 a I
cl
CAP('rULO IV
2
1
A.91
1
A(4, 2), B(-4, 6), C(-5, -3), D(4, -51, E(O, 41, F(-3, O), GIO, -61, H(5, OI, I{O, O
A.92
i-i-+-+-l-+-+-+-+-+-+--+. .-1dI
I
f---Cf---t-+ f-+- - t- - +-f-+-+-l-+-~
228-A
1
1
_l_I-
I
f)
el
r-
,
~
I
229-A
A.95 a)
4
b)
y
1
x
1
34
cl
4 y
3
2
1
4 Y
3
2
1
I"
1
c) T = {1-2, -21. 1-2,2),1-1, -11, 1-1, 1), 11, -1), 11, 11, 12, -21. 12, 2)}
y
x
4
I- ,-1-1
1
di V = {1-1, 4), (O, 3), (O, 4), 11, 21, 11, 31. (1, 41. 12, 11, 12, 2), (2, 3), 12, 41}
y
r I - 1-1
(
x
1
i
I
(
(
A2 ~ {(-2, -21, 1-2, Dl. 1-2. 11, (-2, 3), 10, -21. lO, OI, (O, 1), (O, 3), 11, -2),
(1, 01,11,11,11,31, (3, -21, (3, 0),13,11,13, 2)}
A.98
e) W = ;1-2, -31,1-2, -11,1-1, -2), lO, -11, 10,11. 11,2),12,11,12, 3)}
(
y
(
A X B ~ {(-1, -11, (-1, OI, (-1, 2), (-1, 5), lO, -11, (O, O), (O, 21, (O, 5),12,-11
A.99
(
(2, O), 12,21, (2, 5)}
H- 1--1
(
A.100al R = {1-2, 4),1-1,3), 10,2),11, 11}
(
y
(
(
f-+-- 1-1
x
A.101 R = {12, 21, 12, 4),12,61,14,2),14,6),16,21,16, 4)}
y
(
1
I
(
I
I
(
1
l
b) S = ;1-2,41.12,4).1-1.1),11, 11}
x
1
I
I
1
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I
A.102
1
x
!-'y
r-
1
'I
230-A
I
-
1
x
231-A
,
A.l03
A.1OS ai
4
, - - fY.
3
I- - --
5
3
2
1
1
2 3
4
5
I o
bl D = {-2, -1, 3, 2}
c) D = {2, 1, 5}
e
x
t, %}
e
I
4
I
I
I
I
2
r- -I-Y
I- I-+- 1
1
I
- r- I-xI
1
Rns=0
A.l09 ai R-I = {12. 1). 11, 31, 13,21}
bl R-I
,(-1,1),1-1,21, 1-1,31, (1, -21}
Im = {-7, 4, I}
Im = {I, -3,
e
di D = {I + 0, 1 - v'3} e
e) D={3,
c)
Im= {I, 3, 4}
bl
_. I- tl- r-
8 1
t-=H
r- .-2
2
A.l04al D = {I, 2} e
.- 1--
1-1-. 3
1-1- 2
_.
I
2
1
5 ·4
C·
.
v'2}
c)
Im = {O, l}
R-I
=
{(-2, -31, 13, li, 1-3, -21,11, 31}
Im={t,-l,O}
A.ll0al R= R-I = {IO,SI, 11,7), 12,6)'13,51, (4,41, (5,3), (6,2)'17, 11, IS,OI}
A.l05a) DIR)={-2,-1,O,l}e Im(R)={l,2,3,4}
bl R= {lO, 51,12,41, (4,3)'16,2), IS, 1), (10,OI}
bl DISI = {-2, -1, 1, 2} e Im (5) = {I, 4}
R-I = {15, 01,14,2), 13,41,12,61, 11, S), la, 101}
cl D(T) = {-2, -1, I, 2} e Im (TI = {-2, -1, I, 2.}
d) DIVI = {-I, 0,1, 2}
e
cl R = {lO, 101, 11,51, (2,2), 13, 1), (4,21,15,51,16,10)}
Im IV) = {1, 2, 3, 4}
R-I = {11 O, O), 15, 1), (2,2), 11, 3), (2,41, 15, 5), (10,61 }
el DIW) = {-2, -1, O, I, 2} e Im (WI = {-3, -2, -1,1,2, 3}
A.ll16al R = {(O, OI, (1, -1), (1, 1), (4, -2),14, 21}
b) DIR) = {O, I, 4} e Im IRI = {-2, -I, O, I, 2}
di R= {Ia, 11, 11,2),12,4I,13,SI}
R-I = {lI, 01,12,11, (4,21, (S, 31}
c)
lv
1-1
A.l07 ai
"
Y
A.lll ai
b)
I
V
A x B
I
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R
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-+t·- - rt+
_. --s±H+-H
~
bl
10
1-I
-
1-1
x
1
1-1
x
1
I
cl D(RI = {x E IR I 2 ,;;;; x';;;; 6} e Im IR) = {y E IR I 1 ,;;;; V';;;; 3}
232-A
-j-
"
r."
I-f-- -----+----~------:..-+---t-
I ~
IR = R 1
iX· I=p ~.
~2f-+-+--+-+'+-r-.+++1
I)" ,-
I
j
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I , , 2 _ ._1. ,~ __L .L_L _1.
I
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j--+
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11+ ,-lT T~ ll-j
1
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H-f o:; i
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-':._-t . r-t-+f--+--.11- 1-"11-: ·-t-t···
,--t-f-+-+;;+ ...
2
1
2
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233-A
J- ~"
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L-L-,;L--+--+-+~+,Tti
+---1
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- , 1 .. -
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,
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7
c)
f(Y2) = 1 +
Vi.
dI f(Y4) = 1
e)
flv'3 - 1) ~ v'3
fi 1(0,75) ~ 1
A.121 x ~ -4
,\v'
I"-
2 f-
b) fl- ~ ) = 1
A.119al f(3) ~ 1
A.122 x = 2
.-
"-
2
6
-
f---
,
ou
x =3
e Im (f) ~ {-1,
A.123 a) D(fI = {O, 1, 2}
b) D(g) = {-1, O, 1, 2}
o,d
e Im(g) = {1, 2}
c) D(h)={-1,O,1} e Im(h)~{-2}
d) D(k) ~ {-2, 0,1, 2}
A.124ai
e Im (k) = {-2, -1, O, 2}
b) Im = {y E IR
Im = {-2, O, 2}
I y ~ 1 ou Y ;;. 2} dI Im = IR
e) Im = {y E IR I O ~ y ~ 2 ou y > 4}
f) Im ~ {y E IR I y ~ 1 }
c) Im ~ {y E IR
CAPITULO V
A,112 a) não define função de A em B, pois o elemento 2 E A não está associado a
nenhum elemento de B.
b) não define função de A em B, pois o elemento 1 E A está associado a dois
elementos de B.
c e d) define função de A em B, pois todo elemento de A está associado a
um único elemento de B.
A.113 somente (d) pois o conjunto de partida é A ~ {O, 1, 2} e o conjunto de chegada
é B = {-1, O, 1, 2}
A,114 a) ol função.
b) não ol função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos
(x, O), com x > O, encontra o gráfico da relação em dois pontos.
c) não é função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos
(x, O), com -1 < x < 1, não encontra o gráfico da relação.
d) ol função
e) é função
f) não é função de IR em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (3, O)
encontra o gráfico da relação em mais que dois pontos e as retas verticais conduzidas pelos pontos (x, O), COm x i= 3, não encontram o gráfico da relação.
A.115a) f: IR -7 IR
b) g: IR -7 IR
el h: IR -7 IR
x 4 -x
X ~ x
x 1--+ x
3
2
-
1
A.116 a) f: CO -7 CO
X 4
-x + 1
3
A.118al f(2) ~ 4
c) flO) ~ -2
234-A
c) f( .!..) ~
46
9
el fl..,..'3) = 7 -
3v'3
2
f) f(1 -
V2)
11
4
= 4 +
f( l..1
2
Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 2}
c) D = {x E IR I -2 ~ x ~ 4}
e
Im = {y E IR I 1 ,,;;; y ,,;;; 5}
d) D ~ {x E IR I -3 ~ x
5}
e) D ~ {x E IR I -4 ,,;;; x ,,;;; 4}
e
Im = {y E IR I 1 ,,;;; y
e
< 3}
Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 5}
e
Im = {-3, -2, -1, 0,1, 2}
<
f)
D = {x E IR I -3 ,,;;; x
b) D(gl ~ IR - {-2}
c) D(h) = IR - {2, -2}
d) D(pl = {x E IR I x ;;. 1 }
e) D(q) = {x E IR I x
fi
> -1}
D(r) = {x E IR I x ;;. -2
e
x i= 2}
gl D(s) = IR
h) D(t) ~ IR - {-
il
~}
D(nl = IR _ {3} 2
A.127 Todas são iguais, pois são todas funções de
ao seu cubo.
x < O temos
jX2
x
IR em
R
~
+1 =
-x
~
para
IR e associam cada número real
i= x.
IR onde A ol qualquer subcon-
-1 <x";;;O
ou
x>1.
A.131 Não são iguaisi pois não têm o mesmo domrnio.
Y2
não tem significado pois
< 3}
A.126 a) D(f) = IR
A.130São iguais, pois
A.132 a) S = {x E IR I x >-4}
b) S = {x E IR I x";; -10}
b) f(-3) ~ -11
fI
e
A.129 Somente serão iguais se forem funções de A em
junto de {x E IR I x ;;. 1 }.
c) h: IR' -7 IR
1
x >-> x
bl f H) = 8
A.117 a) f(21 = 2
d) f(_.!..) ~
b) g:;Z -7 CO
x
x 1-4 2
e
b) D~{xEIRI-2~x~3}
A.128 Não são iguais, pois para
d) k: IR -7 IR
x >->2
Im ~ {1, 2, 3, 4}
A.125a) D = {-3, -2, -1, 0,1,2, 3}
3
d;Z
2l"·
c) S = {x E IR I x ;;. _ -3 }
4
235-A
A.134a) S = {x E IR I x ~3}
A.139
v;::2X\
b) S = {x E IR I x> -3}
I !VI
I \V -;iX
1\
1"1
c) S = {x E IR I x ~ 7}
v' -X""
dI S = {x E IR I x
a) S = 0
v= -2 ~"I\\
~
f)
"'10...1 I'
< O}
,-x
x
~
S = IR
I~I"
S = {x E IR I x> 1}
b) S = {x E IR I x < ..!.}
A.l36 aI
~
1"\
1"\
1
22
cI S = {x E IR I x > - -}
\1\.
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3
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A.l40a)
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a)
V
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x
x
.CAPITULO VI
J
A.137 aI
b)
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(0,2)
lO,
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x
x
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x
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lO. -3)
y
,
x
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~=3>f
V-o LV
VI
x
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IIJV n - 2
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236-A
x
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x
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1\
d)
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h)
x
\
I\.
,
,
x
I1
V
237-A
A.142 a) S = {(3, 2)}
b) S ~ {(-2, 4)}
c) S = {(2, -li}
dI S = {(3, -21}
fI S = {(O, O)}
b) S = {(2, I)}
el S = )21
A.143 aI S~{(3,-1)}
O
y~3- ~
2
+
+
O
9
..!2
2
A.149y ~ 1...- x + 4
2
3
-2'
f)
y = -3x+ 2
+
x
x
bl
A.150y=-.2'...-3
3
A.151 a) Y = x + 1
3
3
O
x
y = "3 + ~
2
O
+
x
bl y = - - + 4
2
2x
1
d) y ~ 2x + 3
3
3
A.152a) crescente para x E A I x";;-2 ou x ;;;. 1
decrescente para x E IR I -2 ..;; x ..;; 1
b) crescente para x E IR I -1 ..;; x";; O ou x ;;;. 1
decrescente para x E IR I x ";;-1 ou O";;x";;l
c) crescente para xEIRlx";;o ou x>O
~
dI decrescente
A.154 aI crescente
e) decrescente
b) decresce0 te
c) crescente
fI crescente
A.156 a) crescente para m >-2
decrescente para m <-2
constante para m = -2
bl crescente para m <4
decrescente para m >4
constante para m=4
cl crescente para m <-3
decrescente para m >-3
constante para m = -3
111 crescente para m >1
decrescente para m < 1
constante para m = 1
A.157 aI f(x) = O $=O x = -5 ou x = -3 ou x = 2 ou x = 6
f(x) > O $=O x <-5 ou -3 < x < 2 ou x>6
f(x) < O $=O -5 < x <-3 ou 2<x<6
b) g(xl
O $=O x = -3 ou x = -1 ou x = 3
g(x) > O $=O -3 < x <-1
g(x) < O $=O x < -3 ou x> -1 e x
3
c) h(x)
O $=O x = -2
h(xl > O $=O x
-2
=
=
238-A
x
6
x
d) y = 2
cl y = x - 5
A.147 y = -3x - 2
c) y
el
~
2
y = 2x + 3
b) y = 1 - 3x
2
A. 145 aI y = 2x - 1
A.148y = - .2'... 2
A.158 aI
*
*
2
4
x
c)
4
Y ~ 2x --"3
y=4-x
+
O
+
O
O
-5
h)
O
x
x
dI
y =5 + x
x
3
g)
Y = -x
+
O
+
A.160x <3
A.161 x >
~
3
A.162 aI X#- ...!....
5 '
A.163 a) x >2
bl x;;;'O
c)
x E IR
d) x <-2
el x";;3
b) x> ...!...
2
c)
V x E IR.
11
239-A
A.164a) S={xEIRI- .!.<x<~}
3
3
c)
a)
S =
.
2
1
tx E IR I - -3 < x < 1}
d) S =
S = {x E IR I x < .!.}
3
0
S = {x E IR I x
f)
b) S = {x E IR I x
c)
x
t)
2
h)
> ~}
5
.i ou
ou
S =
0
d) S = {x E IR I x
5
x;;;. 2 }
4
x > 5}
x > 11 }
ou
x > 2}
s={xEIRI-4<x<-2}
-~ ~x<-~}
ou
24
3
S = {x E IR I -~ < x < - ~ ou
f)
S = {x E IR I x < 1 ou
g)
,. E IR I -1 < x ~ O ou -1 < x < 1 ou
S = LX
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1. < x < 2
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3
CAPITULO VII
S={xEIR Ix~-J...}
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A.175 aI
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240-A
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S = {x E IR I x ~ - ~ ou
d) s={xEIRlx<-~
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3
b) S = {x E IR I - ..!3
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b) S = {x E IR I O < x < 1
c)
3
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S={xEIRI-2~x<-1}
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2
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c)
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A.174 a) S = l x E IR I -3 < x < 4 ou
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1. ou
3
S = {x E IR I x < -10 ou x>
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S = {x E IR I J.. ~ x ~ ~ ou
b) S = {x E IR I x
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b)
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253
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x> 6}
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2
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4
2
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d) S = {x E IR /1 ~ x
1. ou
S = {x E IR I x ~ -
S = {x E IR I - J... < x ~ 1.}
8
d) S = {x E IR I - ~ < x <
3
a)
c)
A.172 aI s={xEIRlx<!- ou
< - ~2 ou x> 2}
S = {x E IR I x < -
S = {x E IR / x <
dI S = {x E IR I x ~ -
< <
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<
ou
2 ou x > ~}
b)
3
A.165aI S = {x E IR I x <-3}
b) S = {x E IR I 3 ~ x ~ 6}
c) S = 0
d) S = {x E IR I -1
x 1}
A.166 a) S = {x E IR I 1
x ~ 4}
b) S = {x E IR I -3
x ~ 1}
c) S = 0
A.167 a) S = {x E IR I x <-1
ou x > _ J.. }
A.171 a) S = {x E IR I x < -2
-
_. L_
__ L-L_ L-
_L-L-
241-A
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v
x
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A.180 aI x = 1 ou
bl x = 3 ou
x = -1 ou
x = -3
x = 2
ou
x = -2
cl x = V3 ou x = - V3
d) x = V2 ou x = - V2
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x=-..!. ou
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242-A
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kl x = O ou
A.I96 m = -2 ou
i)
I)
x=2
2
b) não existe x E IR
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2
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x =2
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2
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8
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cl x m = 1 e Ym = O
7
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4
16
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e YM = - 3
2
4
4
7
ti xM = - e YM = 3
18
A.195m = 2
x
b)
3
2
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5
x + x - 6 = O
2
x - 5,4x + 2 = O
2
x - 2x - 2 = O
2 2
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2
bl ex + bx + a = O
cl aex 2 - (b 2 - 2aclx + ae = O
dI a'.' + (b' - 3abel. + e' - O
A.193 m = -2 +
ou m = -2 A.191 aI
c)
el
A.192al
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1
m =
1
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4
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x = 2
x = 2
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ti 155
4 2 8
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2
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Y6
m = 1
A.197 m =-1
A. 198 não existe
A,200x=2
m E IR
e z=4
243-A
A.201 quadrado de lado 5 em
A.2023 e 3
A.203 Retângulo de lados ~ e 5
8
2
A.204 Retângulo de lados 4 em e 3 em
A.20S Retângulo de lados 2 em e Y3em
A.206 Retângulo de lados 2 em e 3 em
b) V( l
A.207 a) V(Q, -41,
d) V(.!..
4'
2'
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b) Im = {y E IR I y .;; 4}
e)
Im = {y E IR I y ;;;;. _
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e) Im = {y E IR I y .;; ~}
d) Im = {y E IR
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Im = {y E IR I y ;;. -.!..}
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x - 2x - 3
O <=> x
-1 ou x
3
2
x - 2x - 3
O <=> -1
x
3
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bl 4x - 10x + 4
O <=> x
1 ou x
2
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A.219a) S = {x E IR I x < 1 ou x> 2}
b) S = {x E IR I -2
x 3}
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bl S = {x E IR
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h) S =
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S = {x E IR 1 x <;;; 3}
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S = {x E IR 1 -2 < x < - ~ ou
2
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2
A.225 a) S = {x E IR I 4 < x <;;; 6}
b) S = {x E IR I -3 <;;; x < -2}
c) S = {x E IR I -1 <;;; x <;;; 1 ou 2 <;;; x <;;; 4}
f)
2
2
l. < m < -1
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2
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2
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S = 0
3 < m <
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A.244 m <
A.248 m
S = {x E IR I -3 <;;; x < -1}
< x < O}
2
A.243 O < m <
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4
1. ou
3
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A.240 -5 < m <-1
A.2411 < m < 4
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f) 1<m<~
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A.234 m <-1
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246-A
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d) S = {x E IR I x = -3 ou 1 <;;; x <;;; 2}
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A.222 a)
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A.228 ai S = {x E IR I -3 <;;; x <;;; -1 ou 1 <;;; x <;;; 3}
bl S = {x E IR I x < -2 ou x> 2}
cl S = {x E IR I -1
x 1}
d) S =
ai s = {x E IR 1 x <;;; -1 ou x;;' 2}
2
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2
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247-A
CAPITULO VIII
A.252
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I
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E IR I " ..;; - -ª- ou ,,;' O}
5
h) S = {x E IR I " ..;; .!- ou
3
9)
y
~
-~
I'
t- -I- t-
iI
I'.
I'
l-
S = IR
k) S = {x E IR I -2 ..;; x
:-...
b) S = {" E IR I " < -2
c) S,;, {" E IR I " ..;; -1
1/
1.1
"
~
t-
t-,"
bl S = {1, -
~}
di S = { " E IR I -2 ..;; " ..;; 1
ou
-ª-8 a "i= -.!..-}
3
h) S = {x E IR I"" ..;; -3 ou
2";;,,";; 5}
-1";; x ..;; O ou
S = {" E IR I -3 ..;; " ..;; O ou
,,;' 2}
1";;,,";; 4}
A.274ai S = {" E IR I" ;'3} <'
a)
S = i-l, 1, 2, 4}
f)
S = {_.!-
2'
.!-
2'
<
bl S = {" E IR I " 5}
c) S = {x E IR I -1 ";;" ..;; 1}
2 3}
(cJl)S = IR
,
a) S = ~
fi S = {" E IR I 3 ";;" ..;; 6}
gl S = {x E IR I 4 < " < 6}
A.275 S = {" E IR I 1 < x < 4}
gl S = {1, 3}
%' - ~}
~}
A.277 a) S = {x E IR I x < -5
cl S = {-6, -1, 1, 4}
d) S = {-
,,>
ou
ai S = {" E IR I - .!- <" <
il
4
bl S = {2, -
3 <" < 4}
-1 <" < 2 ou
3}
2";; x ..;; 3 ou ,,;' 6}
4
cl S = { ~}
A.269 ai S = {-
ou
ou
fi S = {x E IR I x ..;; 1.- ou ,,;' 1 }
5
gl S = {" E IR I " < -3 ou -1 < x < 1 ou x > 3}
A.26B a) S = {1, -5}
dJ S = ~
< O ou 2 < x ..;; 4}
A.272 ai S = {" E IR I 1 < x < 2
11'
1. 2.
2'
3'
ou
<
b) S = {" E IR I "
-2 ou
c) S = {" E IR I " ..;; -5 ou
1}
A.270a) S = {.!-}
d) S = { " E IR I -3
bl S = ~3
S = {4, 2J
d) S = {-13, -6}
3
f)
S = {x E IR I x ;, ~ }
3
i <" < 5} ."
,,> O}
-3";;,,";; 7}
< " < 1..!...}
3
ai S={"EIRlx<-2 ou
x>4}
S = {" E IR I " ..;; O ou
,,;' 3}
f)
a) S = {x E IR I " ;, ~}
254-A
-ª-}
3
j)
r,
1\
1\
c)
S = {" E IR I " i=
,,;' 1 }
g) S = ~
A.27B S = {x E IR I " ..;; O ou
,,;' 6}
256-A
CAPITULO IX
A.279 a)
rT-r-,--,,,--.,,,
A.280 a)
b)
bl
c)
I,
H-++-+-t+t-+++-+-t-+
- r-
.+-
H-++-+-t-t-+-+-t-Tt---H-t--H
.
,
c)
d) r++-r+1''-t-H-t-1
e I r+--tLH-t---t-t-i----1
f)
d)
,
,
A.282 aI 1-_
b)
,
f+H-H-I-HHt-I-HH-i-t-l
.
1/
g) r+-+-l-Lt-+-+-+-+-
h)
,
c)
l..I
258-A
.
257-A
v
A.284 a )
-
v
b)
A.288 a)
v
b)
v
..
- +-
+-t-
.j- .
-
1\
-I" -l- .l-
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f-t-f--
I
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I ,
+-+--
,
h
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l-t-
H
cl
cl H-++'-1r-++H-+++-jH-+H--!
·
f-HI
'"
,
.
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v
f
v
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,
l-
r
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l
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-+-+--jc-+-+--i-t--r
I-
I-
+- - I-fl
fo-
j_.-
.....
L
t-
f- _..".
C-+-+-H-+-+-H-f+-+-H-I-+.
j+-H-H---H++-+-H+- -
[i
f0-
f-
v
l-I-
\
H
oI
I)
v
j
+-
t .\
A.285
-
....
,
35
12
-
,
I-
L.
f-
-
i
·
b)
g)
hl
v
-
+-
·
I
+258-A
259-A
A.310
CAPfTULO X
9x 2 - 12x + 6 se x;;;. 1
1
1
(fOg) (x) =
- 3x
"3 < x < 1
se
-9x 2 + 12x
A.290 a) (IOg) (x) = 4x 2 - 2x - 2
(gOl) (x) = 5 + 2x - 2x 2
b) (IOg) (-2) = 18, (gol) (-2) = - 7
(gOf) (x) =
x = - ~
2
(fog) (x) = x4 - 6x 2 + 6
(gol) (x) = x4 - 8x 3 + 18x2 - 8x
(lOg) (x) = 2, (gof) (x) = 5
cl x = 2
A.291
A.292
ou
fog(x) =
A.293a) (fog) (x) = x 2 - 6x + 11
b) (gOf) (x) = x 2 - 1
c) (fOf) (x) = x 4 + 4x 2 ~. 6
d) (gOg) (x) = x - 6
A.294
fI-x) = -x 3 - 3x 2 - 2x - 1
gOI(x)
{
1
1
3
2
f ( - ) = - - ....... +--1
x
x3
x~
x
A.312
f(x - 1) = x 3 - 6x 2 + 11 x - 7
A.295
a =1
.
1
A.299 a) D(fOg)={xElRlx"';2
ou
x;;;'2}
b) D(gOf) = {x ER I x ;;;'1}
A.300a) D(fog) = IR - {- ~}
b) D(gOfl = IR - {2}
A.301
A.302
[(hOg)of) (x) = 12x2 + 12x + 2
[ho(gOf)) (x) = 2x 2 - 2x + 7
A.304
g x -
A.306
2
f(x) = x + 2x - 1
A.307
f( x)
2
2x + 4
(fOg) (x) =
{
(gof) (x)
x
'*
4X 2 + 4x
se
para
x - 1
A.309
260-A
{
< "31
se
x < -1
se
-1
se
x ;;;. 1
se
<x < 1
x>2
se
-1 ",; x ",; 1
se
x <-1
4X - 2
se
x
se
O"'; X ",;
~
x < O
se
x;;. -1
X 2 + 3x - 1
2x + 9 se x < -1
b) sobrejetora
dI bijetora
b) ?ijetora
c) sobrejetora
bl IV
f)
1 < x"'; 2
>~
-16x 2 + 24x - 8 458
x 2 - 3x + 3
ou
c)
111
11 (
g)1I1
e) não é injetora e nem sobrejetora
d) não é injetora e nem sobrejetora
d) I
h) 11
3
a = 4"
b) 11
c)
dI 11
e) 11
f)
I
11
As funções IA e I B são iguais se e somente se A=B
m ",; n, m;;;' n, m = n
12
6
x2 - 2x - 4
2
=
=
x
1 - 4x 2
x4 + x2
A.318al 111
A.320
A.321
A.322
A.323
A.324
(gOf) (x) = 5x -4
x - 2
f(xl
A.313 a) injetora
A.314 a) injetora
A.315 a) 111
e) 11
A.316
b = 2
A.317
2x + 4
(fOg) (x) = - - 2x + 1
()
{''''
A.311
se
4x + 3
se
f
9
INJETORA
SOBREJETORA
1
21
x;;;. -1x < --
2
2x2 - 8x + 9 se x;;. 2
{ 4x - 3 se x < 2
gof nã) é injetora nem sobrejetora.
261-A
A.326 a) f-I (xl
= -,,--=_2
3x + 1
bl 9 -I (x) = - 4 - -
2
cI h-I (xl =,~
el q-l lxl
= x3 - 2
gIS-I(xl
=~
A.327
di p -I(xl
f)
o;;:;
y-;;
f-I (xl
el f-I: B _ _ IR
f)
=-~
~
f-I (xl =
o.-~
f-I (xl =
3x~
{-1}
3 - x
f-I (xl
x - 1
A.341 ai ,
X-=2
2. }
= 3x + 4
f-l;IR-{4}---'IR'
l
x - 5
se
x;? 7
~
se
-8';; x
x + 5
3
se
x <-8
5
<7
bl
iJ'
Jr:!
1/
,
3x + 2
----x-:::r
cI
di f-I : B ---+ A
3+~
2
f+-hJ I
Ie--J~---lI ; ;- .
-h-.
,; I .
,
I-
r
1/
1/
'Y
~fí
1/
1/
f-I (x) = -1 + ~
f-I (xl =
1/
I
bl f-I: B _ A
= 2-~
,
V
I~
f-l(xl = 1 +~
x ~-3
se
, I '
v17 pois f- 1 ( v'i7 I = 3, isto é,
f(3) = v17
f-l(x)
x ~3
-3 < x < 3
t_12_~-
É o
cl f-I; B ---+ A
se
x<o
se
3X-=5
f-I (xl =
A.335 ai f-I: B ----+ A
se
f-I : IR - {3} ---. IR - {3}
f)
f-I (x) = _2_
x - 4
A.333
x ~O
x + 2
f-I (xl
x + 1
I I !,
I
di f-I; IR - { ~ } ---+ IR _ {
3
3
cl f-I: IR - {-l} ---+ IR - {3J
el
A.339
bl f-I: IR - {2} ----+ IR -
se
Não, pois f não é injetora, por exemplo f(-2) =. f(l) = 3, portanto f não é bijetora.
A.338
~
f-Ilxl
x? -3
----
f-I (xl
x <-3
se
r+~
x + 1
= -1 - ~
f-I: B - + IR.
3
se
3 -
f)
IR_
A.381 a) f-I : iR - { 1 } ~.. IR - {3}
f-I (xl
f-I (xl
di f-I: IR_ ----+ A
x<o
x - 1
--42
el
.,r;
f-I (xl = 1 -
f-I (xl = 2 - ~
f- 1 (xl
f(l) '--- 1, e portanto f não é bijetora.
x ~o
se
{~
{x +yr;
di
bl f-I :IR. ---.. A
cl f-I; IR_ ---+ A
f-1(xl
=1+~
f-I (xl
A.329al f-I: IR. ------+ IR.
gl f-I; B
f-I (xl
,-1 (x) = (x + 1)3
Não, pois f não é injetora, por exemplo: f(-l)
f-I (xl =
{r..
cl
,'
1/
I 1
d)'~'I'l J
'U ++-1-+"+-
e--: 1 I .-..' t
•• I
I
I--+--~---
I
e)
f-I: B ---+ A
f)
f-l(xl = 2 +~
I t
f-I: B ---+ A
f-I(xl = - 1 -
~
gl f-I: B----- A
5+~
f-I (x I = --'--4,-----
X; 3
A.337 ai
{
262-A
x - 1
3
se
se
x)!:.7
x
<7
[5;
bl
f-I (xl =
x
se
x:<;8
L~"_ 4
se
x>8
fj
lJ
263-A
e) f-
y
f-
1----
~tt#l---~
Y
i
y",x
-
H-+-+-rt- -;~+ Y='=
-
I
~
---
g)
--- !
t:.'';.-:.:-..... -+'--+-+-+---1
- -/
1---
~1--=~lfIY -
[7 ~ f -
-t '
! , 1/
f-,
r-
f--
/,
I/ 1/
f-
f
V' 1/
'
,
1/ I
I
1/
I
j
1/
f7
-+
f - -- f- f -
i)
"-f-
y=y
1ft
V
I
f- i-- -
l-
"---
V
V
7
/
'/ 1/
./:/ ....
..... /1/
I/
f.......
t-
f- f -
1/
~\ - f-
1\
17 -1-
-
12
(gofl -I : C ---->-IR +
(gofl-I(x)
~ ~
b) (gofl- I : IR -+IR
(gofl- I (x) = : / x ; 3
di (gofl- I : IR+ -
A
(gofl-I(x) = ~
264-A
S = {1,
S = {16}
j)
S={l,
1~}
j)S~{l'l~}
A.353 a) S = {-2,
~}
b) S = {5, -1}
flS={l}
h) S ~ {81 }
~ {4, -3, 1 +
f29 '
1-Y29}
2
S ~ {o, 1, 4}
Não, pois 9 não é injetora, por exemplo: g(-1) = g(1) =.0, portanto gOl não é
b) S =
d) S = {34}
d) S = {1, 17}
g)
S ~ {_4_,
V5
A.358 a) S ~ {6}
d) S ~ {3}
0
c) S = {
~}
e) S ~ { ]J2 }
flS={40}
b) S = {2}
c)
S = {2, 6}
S = {8}
f)
S =
4
A.357 a) S = {O, 4}
(gofl -I (x) = 3 + ..;:
2
bijetora.
V25 }
e)
A.356 a) S ~ {64}
l_
el (gofl- I : C ---+ A
A.344
9
d) S = {4 + 2 ~}
0"
g)
A.354
~ ~
b) S ~ {...!..}
d) S ~ 0
_1'-- tl f-
A.343ai (gofl- I :IR _IR
(gofl-I(x)
pl S = {o, 2}
S ~ 0
,
L. L
-±-}
s ~ { =}
c) S
.......
--
S = {O,
o)
A.349
I/
i\...
S = {1}
n)
S ~ {5}
[/
1/
I)
S ~ 0
c) S =
1/
[/
j) S~{4}
A.351 a) S = {4, 9}
1/
i\...
hIS={3}
1
A:348
[33 ,
flS~(77J
S ~ {3, 4}
I/
-
1/
~}
7 +
m)
1/
-
S ~ {O,
di S = {
gl S ~ {13}
1/
f-
c)
-
1/
f
f- I-f- ---
- -
bl S ~ {-4}
cl S ~ {1. ,4}
k) S ~ {O
f- f - -
I--
Y
f-
,
~~
-f-
~
A.347 ai S ~ {e}
e)
I
,
- f-
f~f~ f- f -
~
/ /'[
L
f- i--
f'
i
Ll/
1/
v=x
I/ ~
2-~
4
[ holgOfl ] -I (x)
...... /
hl
[ho(gOII]-I: B -------> A
1/1
v --------:
f'
17
A.345
/
t
f-ff-I--
--, ~
1/
e)
0
4
--}
Y5
b) S = {--[,}
clS={4}
e)S~{3a}
265-A
A.360 a) S ~ {3}
b) S ~ {19}
cl S ~ {2}
d) S = {3}
bl S = { 1. }
3
A.361 a) S = {3}
d) S ~ {4}
A.363 ai S = {1}
A.364
b) S = {
S~{l}
A.366
S = { ~}
9
S = {O}
A.367
a';;; b == S = {a}
A.365
~ }
a>b==S~{b}
S ~
A.37B
S = {-2, 7}
A.379
S~{l'2' 2}
A.380
S = {1, 2, lO}
A.382
S = {O}
A.3B3
S _
-
A. 384
S = { : }
A.385
S = {(B, 64),
A.3B7a)
S={xEIRI~';;;X<2}
3
A.368
A.369
0
A.376
_v'5}
{V5
2 '
2
(64, B)}
a = b = O ==> S = IR.
bl S = {x E IR I -
(a - b)2 }
a;;>b>O==S= { _
4b
a<b
ou
i- ,; ; x ,;;; 2}
< x ,;;; -1 ou
c) S ~ {x E IR I -2
b=O ===>S=;zj
1
2
3
3
d) S = {x EIR I --';;;x,;;;-
A.370 a) b ;;> 1 == S = { 2a
Yb }
b + 1
a<O
a
2a 2 b
}
S = { a2 + b 2
tI b > a =
A.371
bl a = b =- S ~ {x E IR I x ;;> a}
8
* =
S = {a + b}
b
Ibl;;>lal==>s= { o,
b) S = {(lO + 4Y6,
c) S = {(2, B),
(B, 2)}
di S ~ {(9, 4),
(-2 ' ~}
12
A.375a) S = {2}
c) S = {-16}
o) s={-f,
10 - 4V61)
(4,91}
d)
o) S ~ {x E IR I -1 ,;;; x
< 7 -.J17
2
}
ti S={xEIRI2';;;x';;;3}
i)
• 7}
1.4"
I)
266-A
S = {O, { , ~}
2
j)
1+V13
..6
';;;x"",l
3';;;x<12}
ou
x;;>2}
bl S ~ {x EIR I x ;;>-2}
c) S={xEIRlx;;> ~}
ti S={4+V3, 4-vS}
h) S = { O,
S ~ {x EIR I
ou
A.390 a) S ~ {x E IR I x > 11 }
d)
g)S={O}
S ~ {x E IR I x ;;> 1 }
g) S~{xEIRlx>1}
h) S={xEIRI-l<X';;;-+
d) S = {4, -3}
3}
> B}
b) {(-4, 6)}
b) S =
b) S = {x EIR I x > 4}
A.388a) S = {x EIR 11';;; x,;;;-;.}
5a2 - b 2 }
4a
(4,9)}
9
0
c) S = {x E IR I x
A.372 ai S = {(9, 4),
A.373a) S = {(4, 2),
o) S =
ou
3+V3
4
S ~ {O -3, {}
'
3-V3}
4
S = {x E IR I x <
~
ou
x > 3}
oi S = {x E IR I x ,;;; 1 - f i
ti S = {x E IR I -4 ,;;; x ,;;;
g)
S =
t}
ou
x;;> 1 + v'3 }
0
2&7-A
c) S ~ {x E IR I x ~ 2 -
TESTES
bl S = {x E IR I x .;;; 2 }
A.391a) S ~ {x EIR 11 < x <2}
V6}
d)
S~{xEIRlx<-+
ou
x>2}
e) S = {x E IR I x .;;; 1}
C
f) S = {x E IR i x .;;; - 2 - 2 v'2 ou
-2 + 2 V 2 .;;; x .;;;
g)
S = 0
h} S ~ IR
j)
S = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 2}
j)
A.393a)
S~{xEIRI-~';;;x<o ou
x>3}
bl S ~ {x E IR I -6 .;;; x < O ou
c) S ~ {x E IR I O
d) S = {x E IR
S = {x EIR 1-
3 < x .;;; 4 }
b) S ~ {x E IR I - ~
TA.1 (FEI-67) Dadas as premissas: "Todos os corlntlanos são fanáticos" - "Existem fanáticos inteligentes", pode-se tirar a conclusão seguinte:
(1) toda mulher é boa motorista
(2) nenhum homem é bom motorista
(3) todos os homens são maus motoristas
(4) pelo menos um homem é mau motorista
(5) todos os homens são bons motoristas
13 +y'201
4
3
di S ~ {x EIR 1-2';;; x';;; 2"
a negação de (5) é
}
a)
< 2 - .J3 ou x~3+v'2}
S={xEIRI2';;;x';;;3}
gl S = 0
h) S = IR
-5 +
3
b) (2)
(1)
c)
(3)
di (4)
TA.3 (EPUSP-66) Depois de n dias de férias. um estudante observa que
(1) choveu 7 vêzes, de manhã ou à tarde
(2) quando chove de manhã não chove à tarde
(3) houve 5 tardes sem chuva
(4) houve 6 manhãs sem chuva
v'13 < x .;;; 1 }
Então n é igual a:
2
-VS <x';;;1}
c) 10
b) 9
a) 7
d) 11
urn segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. O último rapaz dança
A.397 a) S = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 1}
com todas as moças. Tem-se então:
> 1}
A.399 a) S = {x E IR I x > 11 }
a) r ~ 5"
m
b) S = {x E IR I x
di r ~ m
I
nativas:
8
A.401
c) r = m - 4
TA.5 (FEI-68) Um teste de Literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira,
referindo-se à data do nascimento de um famoso escritor apresenta as seguintes alter-
c) S ~ {x E IR I -1 .;;; x < 1 _ v'31}
di S ~ {x E IR I x .;;; -2 ou
b) r ~ m - 5
e) nenhuma das respostas anteriores
b) S ~ {x E IR I x ~4}
t.;;;
e) nenhuma das respostas anteriores.
TA.4 (EPUSP-66) Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças,
2
S = {x E IR I
e) nenhuma das anteriores.
ou3';;;x';;;4}
f)
A.400
b) "todo corintiano é inteligente"
d) "todo inteligente é corintiano"
TA.2 (FEI-66) Dadas as proposições:
< x .;;; 5}
c) S = {x E IR 1 3';;;x .;;;
b) s={xEIRI-
2}
< x .;;; 2 }
A.395a) S ~ {x EIR I x ~%}
A.396 a) S = { x E IR I
+.;;; x <
LÓGICA
a) "existem corintianos inteligentes"
c) "nenhum corintiano é inteligente"
e) não se pode tirar conclusão.
1% .;;; x .;;; 2}
e) S ~ {x E IR I x
6+2V3}
3
-1';;; x <
-1 +
x < 3}
S~{xEIRI-:5 <x<1
v'13 }
6
(a) século XIX
(c) antes de 1860
(e) nenhuma das anteriores
(bl século XX
(d) depois de 1830
Pode-se garantir que a resposta correta é:
ou
x~9}
ai (a)
c)
b) (b)
(c)
d) (d)
el nenhuma das anteriores
•
288-A
269-A
TA.6 IMACK-73l Duas grandezas x e y são tais que: "se x = 3 então y = 7",
TA.11 Sendo dado um conjunto A com n elementos indiquemos por a o número de subconjuntos de A. Seja B o conjunto que se obtém acrescentando um novo elemento
Pode-se concluir que
b) se y = 7 então x = 3
c) se y * 7 então x * :
e) nenhuma das conclusões acima é válida
se x * 3 então y * 7
d) se x = 5 então y = 5
a)
a A e indiquemos por b o número de subconjuntos de B, Qual a relação que liga
a e b?
a) 2a = b
b) a = 2b
c)
b = a + 1 d) a = b
TA.7 (CESCEM-71) Indique a afirmação correta:
a) uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele sej
JX)sitivo
b) uma condição suficiente para que um nllmaro seja maior do que 2 é que ele sej.
positivo
c) uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2
que ele seja positivo
d) toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficientl
para que ele seja maior do que 2
e) nenhuma das afirmações anteriores é correta
TA.12 (MACK-76) Dado o conjunto C
de C é:
a) 6
b) 12
c)
e) n' a = In + llb
{O, 1, 2. 3}. o número de subconjuntos próprios
d) 16
14
e)
18
TA.13ICESCEM-77) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4,
7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números fmpares, O número de elementos
de X é:
a) 32
c) 24
b) 27
d) 22
e) 20
TA.14 IMACl<-691 Sendo A = {{I}. {2}. {1, 2}} pode-se afirmar que
TA.8 ISANTA CASA-77) Dispõe-se de alguns livros de Ffsica do autor A. outros do autor I
e outros do autor C. Da mesma forma, temos alguns livros de Ou ímica do mesm<
autor A, outros de B e outros de C. Todos os livros devem ser colocados em dua'
caixas com o seguinte critério: na primeira caixa, deve-se colocar todos os livros qu
satisfaçam a condição "se for do autor A, então não pode ser de FI'sica". Na segund
caixa, somente os livros que não satisfazem a essa proposição.
A primeira caixa deve conter exatamente:
a)
{1},E A
d) 2EA
c)
b) {1} C A
{1}U {2}EA
{1}n{2}~A
e)
TA.15IGV-72) Sejam A, B e C três conjuntos não vazios e consideremos os diagramas:
1)
3)
2)
4)
a) todos os livros de Qufmica do autor A mais todos os livros de Física dos autore'
B e C
b) todos os livros de Ffsica ou de Qufmica dos autores B e C mais todos os livros di
Qufmica do autor A
cl todos os livros de Ffsica dos autores B e C
d) todos os livros de Ffsica do autor A
e) todos os livros de Qufmica dos autores A, B e C
CONJUNTOS
e as denominações
TA.9 (MACK-731 Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:
1) 3EA
2) {3}CA
3) {3}EA
a) apenas as proposições 1) e 2) são verdadeiras
b) apenas as proposições 2) e 3) são verdadeiras
c) apenas as propoSlçoes 1) e 3)· são verdadei ras
d) todas as proposições são verdadeiras
e) nenhuma proposição é verdadeira
d) {a,b}CA
270-A
{O, b} CA
e) {{a}, {b}} C A
bl
b) (1,1). (4, 111)
e) 13, IV), 11, Ii
c)
12, 11), 13, IV)
TA.16 (PUC-74) A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos d~ A
que pertencem ao conjunto B. Então, pode-se afirmar:
a) A é subconjunto de B
d) A n B *ÇZ)
TA.10 ICESCEM-77) Sendo A = {0; a; {b}}, com {b} * a * b *0, então:
{€l, {b}} C A
111) ACIBnC),BCC,C*B,A*C
IV) AnC=jZ'>, A*C, BnC=ÇZ)
então as associações corretas são:
a) 11, IV). 12, 111)
d) (4,111), (1, 11)
então:
a)
Ii ACB, CÇ'B, Anc*0
11) ACB, CCB, AnC=ÇZ)
c)
{€l, {a}} C A
b) B é subconjunto de A
c) A e B são disjuntos
e) nenhuma das anteriores.
TA.17 (PUC-76) Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, então é verdade que:
a) A *B =A CB
d) IA n B) U IB - A) = B
rt
b) A * B =<> A
B
cl IA n B) C IB - A)
e) A = B - A n B * A U B
271-A
TA.18 (MACK-74) Sabe-se que A U 8 U C = {n E rt.I 11';;; n';;; lO}, A n 8 = {2,3,8:
A n C = {2, 7}, 8 n C = {2, 5, 6} e A U 8 = {n E rt.I 11 .;;; n .;;; 8}.
O conjunto C é:
a) {9, lO}
dI {2, 5, 6, 7}
b) {5, 6, 9.10}
e)
c)
{2, 5, 6. 7, 9, lO}
A U 8
I)
assistência médica. A firma tem a matriz na Capital e somente duas filiais, uma em
Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos
empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo-se que 20% dos empregados da
Capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial
de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que
optaram pelo plano?
aI 47%
TA.19 (MACK-741 Dentre as seguintes afirmações:
11)
111)
TA.25 (GV-761 De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de
b)
32%
c)
38%
d) 40%
e) 29%
TA.26 (CESCEA-691 Dados os conjuntos A = {a, b, d, 8 = {b, c, d} e C ~ {a, c, d, e}o
conjunto (A - CI U (C - 8) U (A n 8 n CI é
AUa=AUC
AU a= A U C
AUB=AUC
aI {a, b, c, e}
aI todas são verdadeiras
b) todas são falsas
c) só I e 11 são verdadeiras
dI só 11 é verdadeira
e) só I é falsa
b) {a, c, e}
el A
dI {b, d, e}
el {b, c, d, e}
TA,27 (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, O, 4, 3. 5} e a = {-I, 4, 2, O, 5, 7}
assinale a afirmação verdadeira:
a) A U 8 = {2, 4, O, -1 }
bl A n (8 - AI =.0
A n 8 = {-I, 4, 2, O, 5, 7, 3}
e) nenhuma das respostas anteriores
d) (A Ua) nA = {-1, O}
c)
TA.20 (GV-70f A parte haehuradas no gráfico, representa:
aI A n (8 UC)
b) (A n 8) UC
c) (A U 8) nC
d) A U (8 nCI
e) nenhuma das respostas anteriores.
TA.28 (CESCEA-731 Sejam R o conjunto dos números reais, e
A = {x E IR l-I < x.;;; 2},
8 ~ {x E IR I -2 .;;; x .;;; 4},
C = {xEIR 1-5<x<0}.
Assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
TA.21 (CESCRANRIO-761 Sejam A = (_00, 2] e 8 ~ [O, +(0) intervalos de números reais
Então An8 é:
a)
{I}
b) (_00, O]
c) vazio
d) {0,l,2}
el
[O, 2].
TA.22 (PUe-761 Sejam os conjuntos A com 2 elementos, a com 3 elementos, C con
4 elementos; então:
a) A n a tem no máximo 1 elemento
bl A U C tem no máximo 5 elementos
c) (A n a) n C tem no máximo 2 elementos
di (A U a) n C tem no máximo 2 elementos
el A n 0 tem 2 elementos pelo menos
b) 140%
cl 60%
"D2-A
bl 172
c) 205
< x < -2}
<
d) A U 8 U C = {x E IR 1-5 x.;;; 2}
e) nenhuma das respostas anteriores
aI A n 8 = {x E IR I 2 .;;; x .;;; 3}
bl AUa={xEIRI-l<x';;;5}
d) SO%
dI 174
c) A - 8 ~ {x E IR I -1
< x 'S 2}
dI 8-A~{xEIRI3';;;x';;;5}
e) C'A 8 = {x E IR l-I .;;; x
< 2}
e) 40%
TA.24 (CESCEA-681 Foi realizada uma pesquisa numa indústria X tendo sido feitas a seu
operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim á primeira
SÓ responderam sim à segunda, 35 responderam sim a ambas e 33 não responderam a
perguntas feitas. Pode-se concluir então que o número de operários da indústria é
a) 170
b) C - a = {x E A 1-5
c) A - (8 n C) ~ {x E IR I -1 .;;; x .;;; O}
TA.29 (PUC-75) Sendo A = {x E IR l-I < x';;; 3} e 8 ~ {x E IR 12 < x';;; 5}, então:
TA.23 (CESGRANRIO-761 Em uma universidade são lidos dois jornais A e 8; exatament,
80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal 8. Sabendo-se que todo aluno é leito
de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:
ai 4S%
ai (An8IUC={xEIR!-2';;;x';;;2}
e) 240
TA.30 (CV-741 Considere os conjuntos dados
no gráfico. Apenas uma das afirmações
11 verdadeira. Qual?
a) AUB" ~ S
c) Ana =0
b)
d)
S
AnB" = B"
ACB
el An"ll=8
273-A
TA.31 (GV-75l Considere a parte hachurada nos diagramas, onde A e B são subconjuntos de S
TA36 (FUVEST--77l Em um teste de cinco iJlter-natlvas, com ':-Ima únicLl corret;l, as alternativas
eram"
A) RJcional
B) Irracional
CI Inteiro
O I Real
E I Complexo
A alternativa correta era:
bl B
ai A
cI C
el E
di O
n -<: m ~ $(n),
TA37 (CESCEA-68) Se nem são números naturais e se
considere as denominações:
b) A UB
ai B·· A
e)
B
ai m c n ou
di n
m
<
As associações corretas estão na alternativa:
ai 11, di, 14, bl, 15, el
bl 13, a), 12, e), 15, cI
di 11, cl, 14, bl, 12, el
el 13, di, 14, bl, 12, ai
TA.32 (GV-76)
Denotando-se por x
cI 13, a), 12, cI, 15, di
TA.38
[p' U (P n Q) J
cI P n Q'
bl PU Q'
é igual a:
di P' U Q
TA.33IPUC-771 Sabendo·se que: A e B são subconjuntos de U,
A n B
d}, A U B c {a, b, c, d, e, f}, então:
Observação: Ã: complementar de A em relação a U.
:c.
elO' Iconjunto vaziol
A
te. I, g, h, i}
bl m
<n
e)
::.-=
m
n
m c
a)
b)
c)
d)
e)
M<=>NLM;
p
P*O
p
e
TA.41
cl 7
bl 14
di 13
2
p
um número primo.
se p divide a + b e p divide a, entao p divide b
se p divide ab, então p divide a e p divide b
se p divide a + b, então p divide a e p divIde b
se a divide p, então a é primo
se a divide b e p dIvide b, então p divide a
ai 2040
G ~ 0;
N
bl 1960
cl 3150
di 2060
< ax < O
ai x
di x 2
el 5
TA.43
> ax mas
> ax >
bl x2
ax
O
<
a2
cI
x2
TA.35 ICESGRANRIO-771 A intersecção dos três conjuntos
ai ~ ;;;,C =A;;;' BC
B
IlJUIZnOI
cl AB
>C
==> ABC
bl A ;;;'B
> C2
di
é:
ai
274-A
~
bl0
cl III
di IR
el
~
<
a2
< a < O, então
<O
(CESCEA-75) Assinalar dentre as afirmações seguintes a correta, quaisquer que sejam os
números reais A, B e C com A *0, B *0, C *0.
e
onde M é um in·
e) nenhuma das respostas anteriores
CONJUNTOS NUMÉRICOS
IRnC, lt.Jn-ZIUIll
2940x = M3
e) nada disso
TA.42 IEPUSP-661 Se a2 e x forem números reais tais que x
então o número de afirmações corretas é:
n miJltlplo de 2,
2
IVI Me N <=> M n
d) 4
m + n
el 6
(PUC-69) O menor número inteiro positivo x para que
teiro é:
cl 3
~
{n E llJ I 2 ~ n ~ 40,
O número de elementos de H é
1IIIIpLMePLNI<=>PLIMnNI;
bl 2
~
TA.39 ICESGRANRIO-761 Seja H o conjunto
TA.34 (MACK-75) Dados M, N e P, subconjuntos não vazios de E, e as afirmações:
ai 1
p m + p n E
p
dl~E ~ se e somente se
TA40 (FUVEST--77) Sejam a e b números naturais e
VI M C N <=> N U CE M ~ E;
1
m
Slnl
bl p * O =
el Im + nl P ~ m P + nP
ai 12
III M n NeM <=> M L N;
>n
I
c)
e
(CESCEA-68l Quaisquer que sejiJm m, n e p de "2 têm-se:
n não-múltiplo de 3}
ai A tem 2 elementos e B tem 4 elementos
bl A tem 4 elementos e B tem 2 elementos
c) A tem 3 elementos e B tem 3 elementos
di A tem 4 elementos e B tem 4 elementos
el A tem 1 elemento e B tem 5 elementos
II MUN
m c Slnl
ai n*O =~E~
n
pm +
cl p *0 = - - m~E ~
p
o complementar de um conjunto qualquer x, então
qualquer que sejam P e Q, o conjunto
ai P' n Q
onde $(n) é o
sucessor de n, então, é sempre verdade que:
el AB;;;' C
AB
=>TCT ~-
se
=~;:"1
B "'"
~ <B
<- 1 se B <O
=-IBlc
A
C <O
275-A
TA.44 IGV-73) Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira.
=
a) a > b
a 2 > b2
c) -J a 2 + b2 ;;;. a
d) _c_~.:.
a + b
a
bl a > b
+.:.b
= ac > bc
e) a2 ~ b 2
=a~
TA.51
ICESGRANRIO-77) Considere a expressão
1
1
-+5
3
0,999... + -3--1-
5"-15
b
Efetuando as operações indicadas e simplificando, obtemos:
TA.45 (PUC-70) Sendo a e b números reais quaisquer e m um real diferente de zero, então:
a) a>b e am >bm então m~ 1
b) a;;;'b e am ~ bm então m <O
c) a;;;' b e am;;;' bm então m ;;;'1
d) a <b e am <bm então m <O
e) nenhuma das respostas anteriores é correta.
TA. 46 (FE 1-68) A desigualdade
a)
b) para x *0
d) para quaisquer x e y de sinais contrârios
(x + yl2 > x 2 + y2,
TA.47 (CESCEM-66) A desigualdade
sendo x e y diferentes de zer
a) 1,000... 0...
b) 0,010010001...
cl 68,01002000300004 ..
d) 447,50047047... 047 ..
e) nada disso
e)
1
e
e
e
e
790,0721721. .. 721 ...
3,590888 8 ..
1,30892 892 .
37,101112131415161718...
TA.53 (CESCEA-681 Designemos por A o conjunto de todos os números reais da forma ..!.
b
com a e b inteiros não negativos e b =I=- O. Se ~ e.E. são dois elementos quaisquer de A
al~
c
E
d
c)..!.
b
c
d
el ~
b
d
b
TA.48 (EPUSP-66) O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-s
que x <O ou x >3. Pode-se então concluir que:
x>3
di .!§.
9
10
d
tem-se que:
d) só é verdadeira se x e y tiverem o mesmo sinal
e) 56 é verdadeira se x e y tiverem sinais contrários
ou
c)~
b
a) é sempre verdadeira
bl s6 é verdadeira se x e y forem positivos
c) só é verdadeira se x e y forem negativos
a) x~-l
d) x > 3
b) 2
10
TA.52 ICESCEA-67) Dados abaixo grupos de dois números reais, expressos decimal mente,
qual dentre eles é constituído somente de números racionais?
~ + .'L > 2 se verifica
y
x
a) quaisquer que sejam os reais x e y
c) para quaisquer x e y de mesmo sinal
e) nenhuma das anteriores.
~
blx;;;'210u x<O
c) x~2 ou
e) nenhuma das respostas anteriores.
x~-1
c
A
E A
b)~
b
+ -
c
E
d
d)..!.+':'" E
b
d
A se e somente se a = c
A
se e somente se b = d.
TA.54 IPUC-741 Um número racional qualquer:
TA.49 IPUC-761 Se
A = {nln = 2p-
e
p E B},
então
a)
b)
c)
d)
e)
a) n é um número natural ímpar se B = iR
b) n é um número natural ímpar V p E B
cl n é um número natural ímpar se e somente se B = Z
d) n é um número natural ímpa"r se e somente se 8 = N
e) n é um número natural ímpar se e somente se B = N *
tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais
tem sempre um número infinito de ordens (casas I decimais
não pode expressar-se na forma decimal exata
nunca se expressa na forma de uma decimal inexata
nenhuma das anteriores
TA.55 ICESCEM-701 Assinalar a afirmação falsa:
TA.50 IFUVEST-771 Assinale a correta:
2
aI 0,5999... <. ç
y5 + 1
c)
v'5
2
2
+1
<23
2
<0,5999 ... <3"
-r.:-
2
e) - <
< 0,5999 ...
3
y5 + 1
276-A
b) 0,5999 ... <
2
-Cy5 + 1
2
2
d) ~ <3" <0,5999 ...
y5 + 1
a)
b)
c)
d)
e)
a soma de dois números irracionais pode $er racional
a soma de um racional com um irracional é sempre irracional
o inverso de um irracional é sempre irracional
o produto de dois irracionais é sempre irracional
a raiz quadrada positiva de um número irracional positivo é sempre irracional
TA.56 (GV-74) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:
ai x • y
é irracional
b) y • y
d) x - y + J2 é irracional
é irracional
c) x + y
e) x + 2y
é racional
é irracional
271-A
TA.57
(CESCEM-71I Dada uma seqüência de números positivos ai, a2' ''', a n um algoritr
utilizado em computadores eletrônicos para saber se algum dos elementos da seqüên,
é um quadrado perfeito é o seguinte:
1. Construir uma nova seqüência b 1, b2, "', b n. obtida da primeira pela extração da ri
RELAÇÃO BINÃRIA
TA.62Se a é um número negativo e b é um número positivo então assinale a correta:
quadrada de cada um de seus elementos.
2, Construir uma nova seqüência cI, c2, ''', cn ' a partir da anterior, onde cada ci Ê
a) (a, b) está no 1'? quadrante
b) (b, a) está no 2'? quadrante
menor inteiro contido em bj.
3. Construir a seqüência di, d 2 , .. " d n • obtida da anterior elevando·se os elementos ci
c) (b, -a) está no 1'? quadrante
e) (-a, -b) está no 3'? quadrante
di (a, -b) está no 4'? quadrante
quadrado.
4. Comparar os elementos da seqüência di com os respectivos da seqüência aj' Os c
forem iguais são quadrados perfeitos.
nadas de C são:
Nestas condições, dadas as seqüências abaixo
a2
4
ai : ai
b i : 2,71
ci :2
c2
d2
di : 4
a) (2, -4)
a3
b3
531
271961
b)
c)
x
> 1 > y. Sejam S ~ x +
x + 1
TA.59 (FCESP-74) O número real r que não pode ser escrito sob a forma r ~-x-' x real, ,
TA.60 (PUC-76) Se
IR
c)
1
d) 2
B ~ {2 .4}, o produto cartesiano
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.65 (CESGRANRI0-741 Sejam F: {1, 2, 3, 4} e G: {3, 4, 7}. Então:
cl X = 0
e)
(F U G) n F :
>3
b) G X F tem 9 elementos
'd) F n G tem 3 elementos
TA.66 (UFF-71) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que:
1'?) (1, 7), (5, 3) são elementos de A X B
2'?) A nB: {1, 3}
podemos afirmar com toda segurança que:
e) 3
X ~ {x E IR I(x + 1) • (x - 1) : x 2 -l}, então
b) X : IR+
e
{(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4)}
{(1, 31, (1, 21, (1,41, (3, 4)}
a) F X G tem 12 elementos
c) F U G tem 7 elementos
c) 5 pode ser maior, igualou menor que P
d) S pode ser maior ou menor, mas nunca igual a P
e) nenhuma das anteriores.
dl 31 x E R Ix E X
a) A X B tem B elementos
b) A X B tem mais de 8 elementos
c) A X B tem menos de 8 elementos
d) A X B não pode ter 9 elementos
e) nada se pode afirmar sobre o número de elementos de A X B
IR"
(FEI-68) Sendo x um número real positivo qualquer, tem-se
TA.61
A ~ {1 ,3}
d) {(1, 2), (3, 4)}
>P
>S
b) O
•
(-2,4)
a) {(1, 21, (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
TA.58 (MACK-741 Os números reais x e y são tais que
e P = xv. Nessas condições:
a) X
e) X
(4, -2)
TA.64 (CESCRANR 10 731 Sendo
A X B é dado por:
e) nem ai nem a3 são quadrados perfeitos
ai -1
1-4, -2)
c)
e)
ai a2 é quadrado perfeito
b) a3 é quadrado perfeito
cl somente a2 é quadrado perfeito
di somente a3 é quadrado perfeito
a) S
b)
d) (-4,2)
os dados são suficientes para afirmar que:
bl P
T A.63 Se as coordenadas de A e B são respectivamente (-2, 2) e (-3, -1) então as coorde-
TA.67 (CESCEA-73) Sejam os conjuntos
A: {1, 2, 3},
B: {a, {a}} e o produto car-
>O
b) ..rx + ..rx < 1 + x para qualquer x > O
c) .,fX + .,fX > 1 + x para qualquer x > O
d) .,fX + .,fX : ..rx + ~, para qualquer x > O
tesiano A X B: {(1, a), (1, {a}),(2, a), (2, {a}):(3, al, (3, {a})}. Entre as relações
e) nenhuma das anteriores.
e) nenhuma das anteriores
ai .,fX + .,fX : 1 + x
278-A
para algum
x
abaixo, uma e apenas uma, é falsa. Assinale-a:
a) {a}EB e {a}CB
c)j25CAXB
b) {(1, a), (1, {a}), 12, a)} C A X B
d) {la, {a}), (1, {a})}C A X B
279-A
TA.68 (CESGRANRIO-73) Dados os conjuntos
TA.73 (PUC-76) O dominio da relação
f = { (x, y) E IR X IR 1 y =
_2_}
2
4- x
o gráfico de A X B é melhor representado por:
(a
a) IR+
(b
2
(c
2
,,I
,
!
I
I
I
,
I
1
2
i,•
I
1
--ª-2 2
(d
I
3
1
--ª-2 2
(e
2
3
1 3
-2
3
2
1
1
3 2
3
B é imagem de algum elemento em A
B é imagem de um único elemento de A
A possui somente uma imagem em B
A possui, no mínimo, uma imagem em B
e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa
1
2
3 2
-
3
TA.75 (CESGRANRIO-77) Seja
interseção do gráfico de
2
TA.69 Com base na representação cartesiana de A X B abaixo podemos concluir:
a) A = B ~ {1, 2, 3}
b) A ~ { 1, 2, 3} e B ~ {x E IR 11 .;;; x .;;; 3}
c) A = {x E IR 11 .;;; x .;;; 3} e B ~ { 1, 2, 3}
d) A ~ B ~ {x E IR 11 .;;; x.;;; 3}
3 Y ..------,
,
,
-~
:
~
1 ---r-----
2
:
I
123
e) nenhuma das respostas anteriores.
f: IR --->IR
uma função. O conjunto dos pontos de
com uma reta vertical.
a) possui exatamente dois elementos.
b) é vazio.
c) é não enumerável
d) possui, pelo menos, dois elementos.
e) possui um s6 elemento.
TA.76 (PUC-75) Qual dos gráficos não representa uma função?
x
TA.70 (CESGRANRIO-73) Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos
.1
A={xEZI-l<x';;;2} e B={3,4,5}.
D = { (x, y) E A X B 1 y ;;. x + 4}, tem·se que
Então, se
c) IR
TA.74 (CESCEM-75) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função
ou aplicação de A em B quando todo o elemento de:
a)
b)
c)
d)
2
1
*± 2 }
FUNÇÃO
1
1
b) IR"
e) {x E IR e x
é:
"71\' i==.
'-k=-. ~
~
d)
oi
.1
a) D ~ A X B
c) D tem um elemento
b) D tem dois elementos
d) D tem três elementos
e) as Quatro afirmativas anteriores são falsas
TA.77 (PUC-76) Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de IR~ em IR?
TA.71 (PUC-77) Sendo E = {1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8}, p(y): y + 1 .;;; 6
F ~ {y E E I y satisfaz p(y)}, tem·se:
Observação:
e
F: complementar de F em relação a E
a) E = F
e)
F n \ZÍ = F
b) E - F = ~
c)
e) {x E N 1 x ;;. 5 }
280-A
b)N"
tl/
b)~
---==t=-- -----+=::==:=== •
d~IR
F = (5,6,7,8) d) (E n F) U F = E
c) IR
d) {xElIllx;;'6}
c)~R
a)
IR
TA.72 (PUC-77) O domínio da relação P = {(x, y) E N X N) 1 y = x - 5} é:
a)N
•
e)
-EIR
IR
-
IR
TA.78 (PUC-77) Se x e y são elementos do conjunto R, qual das relações é função de x?
a)
{(x, y) I x = y2 - 1}
d) {(x, y), x < y}
b) {(x, y) I x ~ I y I}
e) {(x, y) I y = x 2 + 1}
7
c)
{(x, y) I y = ~ }
281-A
TA.79 (GV-72) Os diagramas abaixo definem as funções f, g e h de A em A, sendl
TA.85 O valor de
1
b) 2
2
a)
é:
f (-2)
A = {1, 2, 3, 4}.
d) -2
c) O
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.86 (CESCEM-71) ~ dada uma função real tal que:
1. f(x). f(y) ~ f(x + y)
Sejam M, N, P as imagens das funções f, g e h respectivamente. Então M' U N' U P'
onde X' = complementar de X, em relação a A, é o conjunto:
a)
A
b) {2, 3, 4}
c)
{1}
d)
0
e)
{1, 2, 3}
fico está representado ao lado, então a
[5; 9]
do intervalo
imagem g
fechado [5; 9] é:
>
x
e)
d) (3; 6)
c) [3; 6]
e
f(x + a) = f(x)
a) fIa + x) ~ fi-x)
d) fl2a) = fia)
Se g é a função de R em R cujo grá-
b) [2; 6]
d) 32
Então:
< O> = {y E B I existe x E O tal que f (x) = y}.
a) (2; 6)
V2) é:
V2
a) (3 +
)2
b) 16
c) 24
e) impossfvel de ser determinado pois faltam dados.
flx) ~ -fI-x)
tado e definido por:
<
3. f(y2) = 4
TA.87(FEI-65) Uma função flx), definida no conjunto dos números reais, sendo a um
número real determinado, verifica as propriedades:
TA.80 (CESCEM-76) Se f: A .... B é uma fução e se O C A, chamamos de imagem
de O pela função f ao conjunto anof
O valor de f (3 +
2. f(1) ~ 2
[2; 4]
TA.88 (CESG RAN RI 0-76) Sejam ,z o conjunto dos números e N = {n E,z In;;;' 1}. Considere a função f: IN--+,z definida por f(n) = xl + ... + xn onde xk = (_l)k,
para cada k = 1, ... ,n. A imagem da função f é o conjunto.
a)
(CESCEM-68) O enunciado abaixo refere-se aos testes 81 e 82 que o seguem: Seja f(.
uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a tod
inteiro par o valor zero e a todo inteiro ímpar o dobro do valor.
b) f(x) = fIa)
c) f(2a - x) = -f (-x)
e) nenhuma das anteriores é correta.
{O, I}
b) {O}
c)
,z
d) {-1, O, 1} e) {-I, O}
FUNÇOES DO 19 GRAU
TA.81 t(- 2) vale:
a) zero
TA.82 f (+
b) não está dei inida
d) -2
c) -f (2)
el +2
f(l)
y"4S2\ S inteiro, vale:
a) 2S
b) 4S
e) nenhum dos valores acima.
TA.83(MACK-77) A função
Se f (9) = 45, então:
c)
a) O
2Y4S
de IR em IR é tal que, para todo
x EIR,
f(3x) = 3 f(x).
O valor de
f(3)
f (2) ~ 2
{ f(p + q) = f(p) • f(q)
é:
d)
f(x)
ax + b.
Sabe-se que
v'2
f(-I) = 3
b) 2
-5
c)
di -3
"
-1
f(xl ~ ax + b:
a} o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das absd~s
b) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas
c) o coeficiente b determina a inclinação da r8ta
" ,I
d) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corfa O eixo das abscissas
e) não sei
'e) o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta O eixo das ordenadas
f(n)
uma
e
é:
c) f(l) ~9
(CESCEM-69) O enunciado abaixo refere-se aos testes 84 e 85. Seja
função definida, para todo n inteiro pelas relações.
a) O
b) 1
c) 2
el nenhuma das respostas anteriores
1.
TA.90 (PUC-75) Na função f definida por
b)f(1)=6
d) f (1) não pode ser calculado
TA.84 O valor de f (O)
~
d) zero
a)f(1)~5
282-A
TA.89 (MACK-75) A função f é definida por
TA.91 (PUC-76) A função
1~ +
x
1
representa em IR x IR uma reta
a) paralela à reta de equação y = x + 3
b) concorrente à reta de equação y ~ 2x + 5
cl igual à reta de equação y ~ x + 2
d) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (O, 1)
,; que intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1, O)
2S3-A
TA.92 (MACK-69) o gráfico da aplicação definida por
TA.99 (CESCEA-751 A solução do sistema
F = {(x, yl E [2,5] • [2,5] I y = x} C IR X IR,
onde [2, 5] = {x E IR I 2 ",;; x ",;; 5} é
aI um conjunto finito de pontos
b) uma reta
cl urna semi·reta
)'Il um segmento de reta
e) nenhuma das respostas acima é correta.
é o conjunto de todos 05 números reais x tais que:
<x<O
1
dI -1 < x < 3"
y
demos concluir:
< O, então x>3
c) se x <O, então f(x) <O
d) se f(x) <O, então x<O
~ se x >2, então f(x) > f(2)
se f(x)
T A. 100 (FCESP-74) Seja
e) y
e) se x >0, então f(xl >0
y = 50-~
Sabendo·se que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi d
Cr$ 1,250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de:
b) 50 unidades
dI 35 unidades
aI 25 unidades
c) 40 unidades
el 20 unidades
(m 2 + 1Ix - 2m + 5 = O admite raiz negativa se, e se
1
c) m"';;'4
TA.96 (CESCEA-74) A solução da inequação
meros reais x tais que:
b) x
> ~1
TA.97 (MACK-691 A desigualdade
a) x
>O
b) x
c) x
9(x - 5)
> 10
d) m ;;.
2'5
b) y < O
1
< x < 2,
então:
e) y> O
d) y> 2
c) y = O
< - 4(1 - x) é o conjunto dos nll
d)
> -1
c) x
x<~
<O
2 < < 5}
aI {x I x
2/3 ou
x
c) 2/3 ",;; x ",;; 2
el diferente das quatro anteriores
5
el x
41
< 13
<
<
<
{x E IR e (-5
x ",;; 31}
{x E IR e (x
-5) e (x;;;. 3)}
{x E IR e [(x
-5) ou (x ;;. 3)]}
{x E IR e x -=F -5}
{x E IR e [(x",;; 5) ou (x ;;. 3)]}
tem·se que
< x < 2 ou x < O}
di 2/3 < x < 5
b) {x E IR/-l ..;; x
2}
d) {x EIR/x"';; -1 oux > 2}
y = f(x) =
j ~ :: é:
<
<-
bl -1
x ",;;
d) -1 ",;; x .;;;;
a) x
1 ou x ;;. 1
c) x -=F -1 e x ",;; 1
e) x ;;. O
x
x;;;. O é:
TA. 104 (GV-721 A solução da inequação
x+l-X::-;-
a) x ",;; -1 ou x;;;' 1
c) -1
x ",;; O ou x
el x -=F -1 ou x -=F 1
b) x
>
< -1 ou O .;;;; x <
dI x ",;; O
TA. 105 (MACK-76) O conjunto solução de
>
>
j x-2
x + 1 é um número real é:
<
< <
<
> 2}
aI {x EIR/-l
x
2}
cl {x E IR / x
-1 ou x
e) {x E R / x -=F 2}
<
d) x ;;. -1
(3x - 2)3 (x - 5)2 (2 - xIx > O,
b) {x 12/3
a)
b)
cl
d)
e)
TA.103(PUC-70) O domlnio da função
1
;;;. O é satisfeita se:
xn
TA.98 (CESGRANRIQ-73) Dada a inequação
a solução é:
284-A
se
y = (x - 1I (x - 2) (x - 31;
e) não sei
e) nenhuma das respostas acima é correta,
<
2
< x < 9"
e) -1
TA. 102 (CESCEA-701 O conjunto de todos os x para os quais
mente se:
< -~
< -2
cl -1
x - 3 ..... O é dado por:
ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação
ai x
b) -1
TA.101(PUC-76) O conjunto verdade da inequação ~ """
TA.94 (EAESP-GV-77) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quar
tidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço'
5
ai m <2'
<
a) -1
TA.93 (MACK-76) Examinando o gráfico da
função f ao lado, que é uma reta, po-
TA.95 (CESCEA-74) A equação
<
3X + 2
7 -2x
48x
3x + 10
11 - 2(x - 31 > 1 - 3(x - 5)
[
<
a) {x E IR I x
15 e x
-3}
c) {x E IR I x
O}
el {x E R 1-15
x
15}
~<5 é:
x+3
< 15 e X-=F -3}
bl {x E IR I x
dI {x EIR 1-3
< x < 15}
< <
285-A
: ~ ~ ;;;. 4.
TA. 106 (GV-74) Seja D o conjunto dos números reais x para os quais
Então
é o conjunto dos x reais tais que:
9
a) x';;; '2 e x
c) x> 2
e) -1 .;;; x
*
a) ab
<2
<
>
<
x
FUNÇÃO QUADRÁTICA
a)
-6
4a
se a < O
d) b 2 - 4ac se a
**
*
a) m
c) m
e) m
V = (m 2 - 4)x 2 - (m + 2)x - 1
*
4
b) m
-2
d) m = -2 ou +2
está definida quando:
2
é:
a)
a)
V
b)
V
c)
b) (3,2)
8
c)
V = x 2 - 5x + 6.
O ponto do gráfico
d) (5/2, -1)
(3/2, 1)
c) 6
b) 4
a)
b}
c)
d)
e)
e) (5/2, -1/4)
d) -5
e) 18
e)
eles são necessariamente iguais
eles assumem necessariamente um m(nimo ou um máximo no mesmo ponto
eles diferem por uma constante
suas concavidades são de mesmo sentido
nenhuma das anteriores
x
TA.10S (CESCEM-76) Sabe-se que o gráfico ao
lado representa uma função quadrática.
Esta função é:
x2
3
x2
3
a)
"2 + x + '2
b)
2' - x - 2'
c)
-"2 - x -"2
e
e
V;;;. -3}
cl {VIVEIR
e
V .;;; 3}
d) {Y I V E IR
e
V;;;.
{y I V E IR
e
V.;;; -3}
e)
d) x 2 - 2x - 3
e) x 2 + 2x - 3
é:
V;;;. ~}
b) {V I V E IR
O}
V
TA. 116 (CICE-68) Seja a função V = 3x 2 - 12
imagem de tal fu nção é tal que:
a) - 2 .;;; V .;;; 2
d) -12';;; V
36
<
3
f = {(x, V) E IR XIR Iv = i-3}
TA.115 (PUC-77) O conjunto imagem da função
a) {vIVEIR
286-A
>O
e) nenhuma das anteriores é correta
TA. 114 (CESCEM-69) Se dois trinômios do 29 grau possuem as mesmas raizes, então:
V
x2
c) b 2 - 4ac se a
a
V
x
d)
(2,3)
O é:
com
TA. 113 (CESCEA-76) A parábola de equação V = -2x 2 + bx + c passa pelo ponto (1, O) e
seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Então v é igual a:
TA. 108 (PUC-77) O esboço do gráfico da função quadrática
V = 2x 2 - 8x + 6
<O
>O
TA.112 (CESCEM-72) Considere o gráfico da função
de menor ordenada tem coordenadas:
a)
±2
b
b) - 2a se a
*
V = ax 2 + bx + c
TA.111 (PUC-70) O valor máximo da função
TA. 107 (PUC-76) A função quadrática
V
O
b) ac
O
c) bc
O
d) b 2 - 4ac ~ O
el não sei
< x';;; 3
d) x < 2 ou x> 3
b) 2
2
TA.110 (MACK-77) Se V = ax 2 + bx + c é a
equação da parábola da figura ao lado,
pode-se afirmar que:
b) 15 .;;; V
definida no intervalo
< 36
b) 50
< x .;;; 3. A
15';;; V .;;; 36
e) -12 .;;; V .;;; 36
TA. 117 (CESCEA-71) Seja f(x) = ax 2 + bx + c.
-2, então, o produto a.b.c é:
e f(3)
a) 20
c)
-4
c) -8
d) -70
Sabendo-se que f(1)
4, f(2)
O
e) não sei
287-A
TA.118IEPUSP-67) Os trinômios
V ~ ax 2 + bx + c
tais que
a+b+c
o:
TA.124 (PUG-77) As curvas representativas das funções:
V ~ x2
a) tem em comum um ponto no eixo dos x
b) tem em comum um ponto no eixo dos y
c) tem em comum a origem
d) não tem ponto em comum
2V ~ -x
e
+ 1
1
a) tem por intersecção os pontos de abscissas
"2
b) têm por intersecção os pontos de abscissas
e) nenhuma das respostas anteriores
TA. 119 (EPUSP-66) O gráfico da função V ~ ax 2 + bx + c, sendo b =1= O e c =1= O
o gráfico da função obtida da anterior pela mudança de x em -x se interceptam:
c) têm por intersecção os pontos de abscissas -1
1
e
- 1
e
"2
1
1 +..{5
d) têm por intersecção os pontos de abscissas
--2--
J5
1 -
e
2
e) não se interceptam.
a) em dois pontos, um no eixo dos x e outro no eixo dos y
TA.125 (MACK-75) O gráfico de uma função f é uma parábola que passa pelos pontos 11,0),
(3, O) e (2, -1), O gráfico da função g é uma reta que passa por (1, O) e (O, -1). A
sentença I(x) ~ g(x):
b) em um ponto fora dos eixos
c) somente na origem
d) em um ponto do eixo dos V
e) nenhuma das respostas anteriores
TA. 120 (MACK-76) No gráfico ao lado estão re-
a) é falsa qualquer que seja x
b) é verdadeira se, e somente se, x ~
c) é equivalente ax ~ 1 ou x ~ 4
d) implica x ~ O
e) é verdadeira se, e somente se, x é um número inteiro
V
presentadas três parábolas (1), (2), (31,
de equações, respectivamente, V = ax 2 ,
V ~ bx 2 e V ~ cx 2 , Podemos con-
2
3
representados os gráficos das funções da-
cluir que:
das por
I(xl = (x + 1) (x - 3)
a) a < b < c < O
b) c < b < a < O
clO<a<b<c
d) O < c < b < a
x
TA.121 Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas
duas, o número de funções quadráticas Que podem ser encontradas de maneira ql
esses pontos pertençam aos seus gráficos é:
b) 1
c)
2
d) mais que duas
TA.122(CONSART-751 Um dia na praia ás 10 horas a temperatura era de 36°C e ás 14 hor:
atingiu a máxima de 39,2°C, Supondo que nesse dia a temperatura I(t) em graus e
uma função do tempo t medido em horas, dada por I(t) = at 2 + bt + c,
quanc
8 < t < 20, então pode-se afirmar que:
aI b ~ O
b) ab < O
c) a ~ b
d)
e) b
bl 4
c) 6
bl (_l'~)e (2'-3)
2' 4
'
3
d) (-2; 4) e (2; -3)
e (1' -4)
OI (_1,~)
2'4
'
cl
(_1~) e (4' -5)
2'4
3
el (2";4)
'
a
e (1; -4)
TA,127IEAESP-GV-771 O menor valor de k para o qual a intersecção da reta
com a parábola V ~ 2x 2 + 3x - 2 seja não vazia é:
cl 3/8
bl 1/4
aI 5
a)
a conta deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada - 6. A distância horizont
percorrida pela conta (diferença entre as abscissas de P e a) é:
288-A
~s coordenadas dos pontos P e Q são:
d) 2
el
V ~ 4x + k
17
-8
é a solução gráfica do sistema de desigualdades:
<O
12
=2 + 3,
TA.128 (GV-72) A região hachurada do gráfico
a> O
TA.123 (CESGRANRIO-77) Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fin
com o formato da parábola V = x 2 - 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-,
a)
e
x
f(x)
e) nenhuma das alternativas anteriores é correta.
a) O
TA,l26 (CESCEM-77) Na figura ao lado estão
d) 5
el 3
{v{V -I
2
O
bl
x2 <;;; O
I x O;;; 1
d)
x
;;;.
x ~ -1
c)
{v-Ixl;;;' O
x<;;;1
{VI -I
x2 ;;;. O
x O;;; 1
-1
e) nenhuma das anteriores
289-A
TA. 137 (PUC-75) Seja a função quadrática definida por
EQUAÇÕES DO 29 GRAU
t(x) ~ mx' - (2m - 2) x + m - 2:
TA.129 (PUC-70) Uma equação do tipo ax' + bx + c ~ O onde a, b, c são números reais
a) tem sempre duas raIzes reais.
b) pode ter uma só raiz imaginária
o) pode ser uma equacão do 1':' grau
d) nunca terá rarzes iguais.
bl f tem duas raIzes reais e iguais para {:u
c) f tem duas rafzes reais e desiguais para -2
-1
e
3
el f tem duas rarzes imaginárias para
é:
a) x' - x + 3 ~ O
bl a(x - lI(x + 3) ~ O, a 0/= O
(x + l)(x + 31 ~ O
d) (x - 1 )Ix - 3) ~ O
e) nenhuma das respostas acima é correta.
TA.138(MACK-74) As raizes da equação
a - b + c 0/= O são reais:
c)
uma equação equivalente à mesma é:
x3
bl x + 6 + x' ~ x' + x + 6
c) x+6+
1
x - 3
dI 3(x + 61 ~ 3x'
= x2 +
a) sempre
cl somente se
e) nunca
a
>c >b
TA. 139 (CESCEM-72) O tronomio
m
> 2 ou m < -2
(a - b + c)x' + 4(a - b)x + (a - b - c) ~ O
bl somente se
d) somente se
ax' + bx + c
a
c
com
>b >c
>a >b
tem duas raIzes reais e distintas; ex e (J
são dois números reais não nulos. Então o trinômio
1
x - 3
e) todas são equivalentes à equação dada
a) tem duas raízes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal de (3.
TA.132 (MACK-77) O número de soluções reais da equação
b) 1
a) O
< m <2
d) f tem duas rafzes reais e desiguais pera V m E IR'
TA.130 (CESCEM-67) A equação do segundo grau cujas rafzes são
a) x (x + 6)
~2
m ~ -2
e) nenhuma das anteriores é correta
TA. 131 (MACK-74) Dada a equação x + 6 ~ x',
a) f tem duas raIzes reais e iguais pera "Im E IR'
c)
2
2x' - 8x
x' _ 4x
b) pode ter uma, duas ou nenhuma raIzes reais.
c) tem duas raIzes reais e distintas se ex e (J forem ambos positivos, nada se podendo
afirmar nos demais casos.
d) tem duas rafzes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal do produto
x é:
e) não sei
d) 3
ex(J
TA.133IFEI-66) O número de soluções reais da equação
a)
c)
b) 1
O
2
5x 4 + x' - 3 ~ O é:
e) tem sempre duas raizes reais e distintas
e) 4
d) 3
x' + px + q onde p e q E IR torna-se um trinômio quadradc
aI A ~ {1, 2, 4, 5}
c) C
{2, 6, 12, 20, 30}
el E~{l,8,27,64,Bl}
perfeito quando se adiciona o termo constante:
a)
~ 4
d)~
q
4p
TA. 135 (PUC-77) Para que a equação
x' _ ax + a' - b' ~ O
4
-q
el p' - 4a q
tenha ra(zes reais e iguais
é necessário e suficiente que:
a) a ~ b
b) b ~ O
c)
a ~ 2b
O el~
2
a + 1
TA. 136 IITA-72) Seja t(x) ~ x' + px + p uma função real de variável real. Os valores dE
p pera os quais t(x) ~ O possue raiz dupla positiva, são:
< <
a) O
p
4
b) p ~ 4
d) f(xl ~ O não pode ter raiz dupla positiva
e) nenhuma das respostas anteriores
29o-A
10<' - (1 - 2k)x + k - 2 ~ O
os valores de k pertencentes ao conjunto:
TA. 140 IMACK-74) A equação
TA. 134 (PUC-76) O trinômio
cl p ~ O
tem raIzes racionais pera
b) 8 = {2, 4, 6, 8, lO}
d) D ~ {1, 4, 9,16, 25}
TA. 141 (CESCEA-721 Considere o seguinte problema: "determinar o número cujo qulntuplo
excede o seu quadrado de y unidades". Para que valores de y, o problema admite
duas soluções reais?
a) y
< 245
b)
y> 29
4
cl y = 6
d) y
>7
el não sei
TA. 142 (CESGRANRI0-73) A equação do 2':' grau cuja menor raiz é 2 das duas raízes é igual a 1 é expressa por:
a) x' + x - 4 = O
bl x' + 4x - 1 ~ O
dI x' - 4x + 1 ~ O
e) nenhuma das respostas anteriores
V3 e o produto
c) x' - x + 4 ~ O
291-A
TA. 143 (CESCEA-771 As raízes da equação 2x 2
o triplo da outra. Então o valor de m é:
ai 4
bl -2
2mx + 3 = O
d) -2..j2
el 2..j2
TA. 144 (FEI-68) Sendo a e b as raizes da equação
então, se
3
2
- 5x + m = 3
c)
3
32
d) O
4
e) nenhu ma das anter ia res
,
*
di b 2 - 4ae
2a
2
el b - 2ae
2a
TA. 146 (CESGRANRIO-77) As raízes da equação
2
el b - 4ae
e2
x 2 + bx + 47 = O são inteiras. Podemo
>O
x >
4
<
bl -1
m
e) 0< m <
<2
el -5
TA. 152 (CESCEM-751 A expressão ax 2 + bx + c,
estritamente positiva se x for:
d
bl não nulo
< m < -4
1
onde
b 2 - 4ae > O
e
a <
O,
d) exterior às raízes
igual às raízes
TA. 153 (CESGRANRIO-73) O conjunto dos valores de p para os quais a inequação
x 2 + 2x + p > 10 é verdadeira para qualquer x pertencente a IR é dado por:
-9
bl p <
11
c) p >
11
di p <
TA. 154 IMACK-741 A desigualdade x 2 - 2(m + 21x + m + 2 > O
mero real x, se e somente se:
< m < -1
< m<2
ai -2
di 1
bl -1
e) 2
-9
bl xl + x2 - p2
cl xl + x2 = q2 + 1
el Xt<O e X2<0
x2 + (p - 2) x + p - 3 = O
<m<O
<m<3
é verificada para todo nú-
ciO<m<1
kx 2 + 2(k + 1 Ix - (k + 1 l:
TA. 155 (EESCUSP-691 O trinômio
e x2, então
TA. 148 IMACK-74) O valor de P. para o qual a soma dos quadrados das raizes de
a) é negativo para todo valor de x e todo k =1= O
bl é negativo para todo valor de x se k';;-2
el é positivo para todo valor de x e todo k =1= O
d) é negativo para todo valor de x se
-1 <
k <
e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira
tem o menor valor. é:
a) 2
bl O
c)
1
di -1
el 3
TA. 149 (MACK-741 Dadas as equações x 2 - 5x + k = O e x2 - 7x + 2k = O, sabe-sequ<
uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das rarzes da primeira equação
Então o valor de k =1= O está no intervalo:
a)
[-4. -2]
di (5. 7]
292-A
bl [-1,1]
e)
[-4, 4]
é
e) nenhuma das respostas anteriores
x2 + p2 x + q2 + 1 = O
x2
1 < x < 4
x < 1 ou
<m<2
ai p >
TA. 147 (CESGRANRIO-751 Sejam p e q reais; se a equação do segundo grau em x:
>
d) é positivo para
el é positivo para
e) interior às raízes
a diferença entre as duas raízes tem módulo 46
a soma das duas ra ízes tem môdulo 2
b é positivo
o môdulo da soma das duas rafzes é igual a 94
b é negativo
ai Xl
O e
di xl - X2
bl é negativo para todo nú mero real x
ai POSItIVO
afirmar que.
Xl
a) é positivo para todo número real x
ai 1
di -3
2
bl b - 2ae
e2
tem duas raízes reais
_x 2 + 3x - 4:
<m<2
+ ~
é'.
,2
ai b 2 - 4ae
a)
b)
el
d)
e)
TA. 150 (PUC-771 O trinômio
TA. 151 (PUC-77) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio
2
P(x) = mx + 2(m - 21x + m 2 é negativo quando x = I?
TA.145(MACK-76) Se r e s são as raizes da equação ax 2 + bx + c
o valor de
INEQUAÇOES
c) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais
3
b
b) _ 4
ai "4
2x
el O
~, o valor de m é
+ 1
a
são positivas e uma'
TA.156 (CESCEA-741 Uma condição suficiente para que a expressão
y
presente uma função é que:
a)
-2 < x < 2
<x<3
b) -2';; x .;; 2
-2 ou x
di -1
e) x
<
>O
cI x .;; -2
ou
x ;;;. 2
e
x =1= 3
1
TA. 157 (CESCEM-71 I O domfnio da função
V x2 - 5x + 6 é:
ai x';; 2
e
x ;;;. 3
bl x ;;;. 2 e x .;; 3
di x';; 2
ou
x ;;;. 3
e) x <
2
ou
el x =1= 2
x> 3
293-A
TA.158 (EPUSP-67) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos que satisfazem a inequ,
ção (3x - 31 (2x - 51 < (5 - 2x)2. Então:
c) A = {-I; I}
e) nenhuma das respostas anteriores
a) A évazio
b) A = {-2; 5/2}
d) A = {I; 2}
TA. 159 (GV-701 Dada a parábola
imagem maior que 5?
a) x
>O
d) -3
<x<
b) x
3
TA. 160 lITA-67) Seja y
e diferente de zero?
a) a >
O,
b) a> O,
el a <
O, b
quais são os valores de x que produzen
Em qual dos casos abaixo y é
TA. 166 (CESGRANRI0-73) As soluções da inequação
rea
x < a a+ b
a) t .;;;; -1
3a, x< -1
a+b
a
v'
d) k .;;;; 9
c) k = 5
TA. 162 (GV-76) Para que a função real f dada por
f(x)
e) k ;;. 9
1
seja definid,
Vx 2 + 2bx + c
para qualquer x real, 05 números b e c devem ser tais que:
2
2
ai b < c e b
O
b) b > c e c
O
c) b 2 < c
2
d) b < c e c;;' O
e) b 2 > c e b > O
'*
TA.163 (CESCEA-69) A solução da inequação
=
'*
(x - 3) (-x 2 + 3x + 10) < O é:
< x < 3 ou x > 5
< x < 5 ou x < -2
<x<5
>6
e) x < 3'
ai -2
b) 3
c) -2
d) x
TA. 164 (CESCEM-75) Os valores de x que satisfazem à inequação:
(x2 - 2x + 8) (x 2 - 5x + 6) (x 2 - 16) < O são:
aI x < -2 ou x> 4
b) x < -2 ou 4< x< 5
cl -4 < x < 2 ou x > 4
d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4
e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x> 4
294-A
>2
x
x + 1
x2 _ 3x + 2 ;;. O
bl -1 .;;;; x .;;;; 1
di x .;;;; 1 e x
ou
>2
são dadas por:
x;;' 2
se e somente se:
b) t
<O
c) t ;;. -1
el
di t> O
t .;;;;
O
TA. 168 (GV-73) Assinale a afirmação verdadeira:
x 2 + 3x + 2
a)
;;.. O <=> x 2 + 3x + 2 ;;. O
x2 - 1
bl ax 2 + bx + c > O,
para todo x real <=> b 2 - 4ac < O
2
c)
b) k = 9
< 1 ou
TA. 167 IMACK-76) Tem-se
x<1
<x<
a) -1 .;;;; x
c) x .;;;; -1 e x;;' 2
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.161 (GV-76) Para que a função real f(x) =
x 2 - 6x + k, onde x e k são reais, sej'
definida para qualquer valor de x, k deverá ser Ul)'l número tal que:
a) k .;;;; 5
a) {-I < x < 1 ou 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}
b) {x < -1 ou 2';;;; x .;;;; 3 ou 3 < x}
c) {- 1 .;;;; x .;;;; 1 ou 2';;;; x .;;;; 3}
d) {x .;;;; -1 ou 1';;;; x .;;;; 2 ou 3';;;; x}
>
< O, x =a +-a2b-
2a, -1
v'
e) nenhuma das anteriores
<-
3 ou x
+3
c) x
e) nenhuma das respostas anteriores
[(ax 2 - 2bx - (a + 2b)]1/2,
c) a> O, b = O, -1 <
di a < O, b
x 2 - 4,
<O
b > O, -1 <
b
y
TA. 165 (GV-72) O conjunto de todos os números reais para os quais
(x 2 - 4x + 3) (x 2 - x - 2) exista é:
x - 1
h+1
.;;;; O <=> -1 < x .;;;;
d) ~
x - b
> O <=> (x - a) (x - b) > O
el ~
< O <=> (x - a) (x - bl < O
x - b
TA.169IGV-74) Para que
y =
(x - 3) (x 2 + 2x - 8)
x 2 + 4x + 3
y real, seja definida, devemos ter:
a) -4 < x < -1 ou 1 < x < 2
bl -4 < x < -3 ou -1 < x .;;;; 2 ou x ;;. 3
c) -3 < x < -1 ou 2 < x < 3
d) x< 3 ou x > -1
e) x < -4 ou -3 < x < -1 ou 2 .;;;; x <3
TA. 170 (GV-74) A solução da inequação
b) x < o. ou x ;;;. 1
< O ou x > 1
ai x ;;. O
d) x
x
x 3 - x2 + x-I
;;. O
é:
clx<Oou x>
e} O ~ x ~ 1
TA.171 (CESCEM-68) Quais os valores de x que satisfazem à inequação:
<
<
a) x
-1 ou O
x
c) x .;;;; - 1 ou x;;' 2
e) nenhum valor de x
<2
< <
'*
x2 - 2
--x-
<
bl -1
x
2 e x
O
dI qualquer valor de x diferente de zero
295-A
TA. 172 (GV-771 Seja IR o conjunto dos números reais. O conjunto solução da inequação
x - 3
~ ~
aI {x E IR 11 ~ x
dI {x E IR 1 x ;;. 2}
< 2}
x - 1
é:
bl {x E IR I x
el
x> 1
bl x
dI x
clO~x<1
a) a
< -1
< -1
J'L
< - 2.J2
>
x < 2a
-a
x
c) - 4
< <2
b) a = O,
é:
x >
< a <
4J2
x
> -a
< <2
aI O
x
cl x < -1
e
+ 3 > O
<
cl a
> 2, 2 < x < a
-4
b) J5
< x < -1
4
cl1<x<J5
dI não há solução
e) 1
296-A
<x<~
5
< --b
e b > a
a
bl x> 2
cl O
<x<1
dI x >
e
b < a
a4b - 2 e a > 2b
está definida é:
al{xEIRI1<x~2}
< <
e
x*-1}
x*-1}
el não sei
c) -4 ~ x ~ -2
TA.181 (GV-731 O conjunto
{x EIR 1 "fx
2
:~~ + 2 ;;. O}
bl {x E IR I x
{x E IR I x ;;. 2}
cl {x E IR I 1 < x ~ 2}
e) {x E IR I x < 1 ou x
aI
d)
é igual a:
> 1}
{x E IR I x *- 1}
é:
bl -1
x ~ O e
dI nenhum x
x> 3
4
< Ix 1< J5
a) x
bl {x E IR 11
x
2}
c) {x E IR 1-2 < x < 2
é:
2 ~ x
TA. 178 (FFCLUSP-66) A solução geral da dupla desigualdade
aI 1
1
< O:
x2 - 2x ;;. O
-x2 + 2x
b *- a.
TA. 180 (CESCEA-71 I O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão
TA. 177 (CESCEM-701 A solução do sistema de inequações:
{
> O,
dl{xEIRI-2~x~2 e
bl -5 < x ~ -4
e) x < -5
aI 0< x < 5
d) x~ -2
b
dI não sei
el a> 2, x> 2a
2x 2 + 8 ;;. x2 - 6x
x + 5 < O
4
então:
x *- O,
TA.176 (CESCEM-68) A solução do sistema de inequações:
{
e
Tem solução para:
x 2 - ax - 2a 2
TA. 175 (ITA-67) Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade ~..:..-,---==~-'-=x2 - (a + 2 Ix + 2a
aI a < O,
dI a
2,
> O,
ax + bx ;;. O
~ x 2 - bx + (2b - aI < O
e) nenhuma das respostas anteriores
para todo
J'L
bl a> 4
a
-1 < x ~ O ou
x;;' O
ou
ou
.{
{x E IR I x ~ 1}
cl
x2 + 2x - 1
1
xL 1
;;. -;+1
x-a <x+a
X2+1
-;;2'
TA. 174 (CESCEA-731 Se
> 2}
{x E IR I x < O}
TA. 173 (CESCEA-731 A solução da inequação
a) x ~ O ou
TA. 179 (ITA-71 I O sistema de desigualdades
<3
TA. 182 (GV-721 O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão:
el qualquer x
1
-2 < x 2 - 3 <"5
f(xl=~+~
é:
resulta num número real, é:
aI {x E IR 1-1 ~ x ~ 1}
c) {x E IR 1 x > O ou x ~ 1}
el
b) {x E IR I O
':
{x E IR I x ;;. O}
TA. 183 (PUC-77) Se A = {x E IR I x 2 - 3x + 2 ~ O} e
então A n B é igual a:
aI
<x<
dI {x E IR I O ~ x ~
{2}
cl vazio
e) {x E IR I 1 ~ x ~ 2}
B = {x E IR I x 2 .. 4x + 3 > O},
<
b) {x E IR 1 2
x ~ 3}
dI {x E IR I 1 ~ x ~ 3}
297-A
TA. 184 ICESCEA-671 Dado o trinômio do 29 grau flxl = ax 2 + bx + c e sabendo-se ql
aflal
O, para a um número real, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
<
TA. 189 (PUC-771 o esboço do gráfico de
y = Ixl - 1 é:
bl
ai
a) o trinômio não tem raízes reais
b) para conclu ir a existência de raízes reais é preciso ainda examinar-se b 2 - 4ac
c) o trinômio se anula para dois valores de x, um menor e outro maior que Q
d) a: não pertence ao intervalo cujos extremos são as raízes reais
x
x
-1
e)
e) nada disso
TA. 185 IGV-70) Dado o trinômio
raizes para:
a) nenhum m
flx)
=
b) qualquer m
x2 - 5x + m
cl
o zero é externo ao intervalo d,
m> O
di
0< m <~
4
el nenhuma das respostas anteriores
TA.186 (CESCEA-72) Para que a equação
x
TA. 190 (MACK-74) O gráfico da relação
x 2 + (2 - a)x - (3a - 1) = O
admita duas ralll
a)
é:
b)
c)
reais distintas no intervalo [-2, 3) devemos ter:
a) - 8 .-; a .-; O
16
d) O
a .;;; 6""
<
b) a
< - 8 ou
a
>O
cl O
< a .-; 1
el não sei
-1
x
x
y
d)
x
e)
FUNÇÃO MODULAR
ai é igual ao valor de x se x é real
b) é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x
c) é o valor de x tal que x E N
d) é oposto do valor de x
el é o maior inteiro contido em x
TA.188ICESGRANRIO-COMCITEC-73) Nos gráficos abaixo os pontos do domlnio sã
marcados no eixo horizontal e os da imagem no eixo vertical. O gráfico que malhe
pode representar a função
TA.191 (MACK-77) O gráfico ao lado representa a função:
I
I
I-
a) y = - x - a + a
bl y = x - a
a
c) y = - Ix - ai - a
I
di
{Ixl- a se
Ixl + a se
e) não sei
y =
Y
x;;'a
x<a
x
TA. 192 ICESCEM-70) O gráfico de y =
f: IR+ ~ IR
x
1 2
TA. 187 (PUC-76) Para definir módulo de um número real x posso dizer que:
Ixl -2
é:
x ~ flx) = - Ixl
a)
onde tR + , o conjunto dos reais não negativos, é:
a)
b)
y
bl
y
cl
x
y
d)
d)
x
el
x
x
298-A
299-A
TA. 193 (CESCEM-73) O gráfico da função y
ai
bl
y
Ix-ll-lxl
y
é:
y
y
ai
1/2
x
---+-~c-;----~
Y
b)
2
--~
O
:1
2
I
-1
1/3
di
a)
V7i + x é:
~!
~
~
ai
1 - - - - - -••
el
•
-1
d)
I
1
__..
1
x
---~----1 I 1
-1 O
-,.
d)_ _
a)
O. O seu gráfico é:
-----
di
bl
-_. __ .,... ,-----~
1
.. _._._----
300-A
= -x Ixl pode ser
rP--:-
r
~
y
~~ ~"'
TA. 196 (EAESP- 75) Seja f uma função definida em
e f(ol
R por
v
--------~
el
-1
,,
I
2
bl
y
O
X
x
I
-2 :
L----
y
-1
O 11
X
I
I
,
-2
-1
O
x
1-2
y
cl
y
-2
~ x 2 - Ixl
é:
el
di
:-
W--;" m--; ~~
TA.195(MACK-73) O gráfico cartesiano da função definida por
.1
y
e)
I
y
.--'-"f--+-----_
-1
1
x
x
-y:
------1··
yh
--.,--
TA.19B ICESCEM-691 A representação gráfica da função
b)
1
di
2
x
+1
2
x-I
y
I
-2
TA. 194 (GV-74) O gráfico da equação: y
Ix - I I é:
I
x
-1
el
+
I
I
--------JI
x
x
Ix I
x
TA. 197 (MACK ·761 O gráfico, de g(x)
cl
TA. 199 (MACK-74) O gráfico cartesiano da função definida por
ser
f(x)
ai
bl
flxl
y ~ Ix 2 .. 41xl +31
Hxl
cl
pode
Hx)
d)
.-x
x
e) nenhum dos anteriores.
TA.200 ICESCEM-71) Dados dois números reais distintos a e b,
função f(x) Que chamaremos "distância ao conjunto
f (x) ~ x + ..li...
Ix I
cl_ _
~Y
~
se
x
podemos definir uma
{a. b}". da seguinte forma:
distância de x ao conjunto {a, b} é o menor dos números
*'
Ix - a I, Ix - b I.
Se
a = -b
1,
o gráfico de flxl
a)
é:
el
y
...
I
I
I
x
--)--+---'-.....x
y
-1
~--:-
x
e) nenhum dos anteriores.
301-A
TA.209 (CESCEA-681 Se a e b são dois números reais quaisquer, assinale dentre as afirmações
abaixo a que é sempre verdadeira
TA. 201 (MACK-76) Seja f uma função de IR em IR definida por
f(x) ~ 2 Ix - 31 + x - 1
aI la + bl ;;;'Ial + Ibl
dI lal - Ibl ;;;.Ia + bl
o conjunto imagem da função f é:
a) {y E IR I y ;;;. 2}
d){yEIRly~2}
TA.202 (PUC-77) Dado
bl {y E IR 1y ~ 3}
e) IR
A = {x E IR Ilx I = 2}.
a)ACIW
b)ACIR+
e) A n IW = {2}
c) {y E IR I y ;;;. 3}
TA. 21 O (GV-74) Sejam x e y números reais quaisquer. Assinale a afirmação correta:
aI Ix + yl ~ Ixl + Iyl
tem-se:
c) AUZ+=Z+
d)AnZ_=A
a)
S = {O,
~ }
bl S = {O,
d) S = {O, -1}
e)
2
d) Ixyl > Ixl·lyl
{x E IR I I x - 21 < 4} e
{x E IR I I x - 71 < 2} é um intervalo de comprimento
+}
c)
S =~
é um intervalo de comprimento
a) 2
~ }
S = {O,
bl Ix _ yl;;;. .lllxl-Iyll
2
c) Ixl + Iyl >vx 2 + y2
e) Ixl + Iyl ~ 2Vx 2 +y2
TA.211 (CESCRANRI0-75) A interseção dos conjuntos
TA.203 (PUC-74) O conjunto S das soluções da equação
12x - 1 I = x - 1 é:
c)
b) 5
d) 3
TA.212 rIMACK-74) O conjunto solução de 1 <
a) 4 < x < 7 ou -1 < x < 2
c) -1 < x < 7 ou 2 < x < 4
e) -1 < x < 4 ou 2 < x < 7
V x2 + 2x + 1 = 1 + x.
Então:
~ ~
bl V = IR
V
c)
V = {x E IR I x ~-1}
e)
V = {O}
TA.213 (CESGRANRI0-73) A função
lores de x em:
d) V = {x E IR I x ;;;. -1}
a) [-2,-1]U[0,1]
d) (-2, -1) U [0,1]
TA. 205 (CESGRANRIO-771 Os gráficos de f(x) = x e 91x) = Ix 2 - 11
em comum. A soma das abcissas dos pontos em comum é:
a)
VS
bl 1
cl -1
TA. 206 (EPUSP-65) As ra(zes da equação
aI são positivas
b) têm soma O
Ixl
d)
2
-VS
e)
O
d) têm produto 6
302-A
b) (-2, -1) U lO, 1)
e) [-2,1]
-3 <x <-1
é menor do que 1 para os vac)
[-2, -1] U (O, 1)
Ix - 31 < x + 3 é:
a) ~
b) {x E IR I O < x < 3}
e) não sei
c)
IR
d) {x E IR I x > O}
12x - 31 > x
é:
b) {x E IR I x < O ou x < 4}
di {x E IR lo < x < 4}
TA.216 (CESGRANRI0-73) O conjunto solução da desigualdade
Ix + 11 - Ixl ~ x + 2
ai [-3,O]U[1,73]
cl [-3, O] U {x I x ;;;. O}
el [-4,2]U[-2,1]
x E ] - 00, O] então a expressão:
TA. 217 (MACK-75) Se
R - VI4 - 3x)2 vale:
c) x - 1
TA.215ICESCEA-70) O conjunto de todos os x para os quais
a) [x E IR I x < O}
c) {x E IR 11 < x < 3}
e) {x E IR I x < 1 ou x > 3}
a) tem duas soluções distintas cuja soma é 2
b) tem somente as soluções -1 e O
c) não tem solução
d) tem uma infinidade de soluções
e) tem três soluções distintas cuja soma é 4
b) 3x - 1
ou
<x <4
+ Ixl - 6 = O
c) têm soma 1
Ix + 1 I - Ix I = 2x + 1, x E IR,
a) 5x - 1
b) -1 <x <7
d) O
P(x) = Ix 2 + x - 11
TA.214 (MACK-771 O conjunto-solução de
TA.207 (COMBITEC-COMBIMED-75) A equação
Vlx - 3)2 +
I x - 31 < 4 é o conjunto dos nÚmeros x tais
têm 2 pont
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.208 (FCESP-74) Se
e) 4
que:
TA.204 (GV-72) Seja V o conjunto de todas as soluções reais da equação
a)
c) la + bl ~ lal + Ibl
bl la + bl = lal + Ibl
e) lal+lbli=la+bl
d) 7 - x
e) x - 7
b) {x Ix ~O} U [3,15]
d) {xl-5 <x <-1}u{xI1 <x <17}
Ix2 - 41 < N para todo x tal que
a) o menor valor posslvel de N é 3
b) o maior valor posslvel de N é 3
e) N pode assumir qualquer valor
Ix - 21 < 1, então:
cl o menor valor posslvel de N li 5
dI o maior valor posslvel de N é 5
303-A
TA.218IPUC-70) Qualquer que seja o nÚmero real não nulo x, tem-se sempre:
aI
Ix + ~ I ;;, 2
bl Ix +
x
d) Ix +
~ 1<
x
x
TA.222 (MACK-77) O gráfico da função f dada por
~ I .;; 10
Ix + 2- I .;; x
c)
x
x
a)
bl
Y
e) nenhuma das anteriores.
,
I
I
I
i("
x .;; O
TA.219 IGV-73) O gráfico da função f dada por
0<x";;2
Y
b)
1 ---
cl
2
,
,I--
1
2
Y
x
Y
el
•
2
1
>---
1
2 x
2
I
..
12
x
x
I
I
I
I
I
TA.223 (MACK-741 O gráfico da função definida por
x
x
8
Y
pode ser:
x2 + 4
2 f(xl
bl
2
-------'---+-
O
Y
e) não sei
Y
d)
I
é:
>2
x
Y
!~
I
O
a)
cl
Y
I
GRAFICOS
f(x) - ~- 1_ _ é, aproximadamente:
- 4x ~ x2 - 4
cl
f(xl
x
2
x
TA.220 (CESCEM-741 A função cujo gráfico me-
f(x)
d)
lhor se adapta ao da figura é:
a) f(xl
Ix I
b) flx)
I~I
cl f(x)
Imin (x; ~-) I
x
dI f(x)
min (Ix I;
f(xl
x
x
TA.224IFUVEST-771 As curvas
I~I)
ai
x
min (I x 2 1; J,;I
el f(xl
-1
x
TA.221 (MACK-731 O gráfico cartesiano da função definida por
a)
y
x+2
x-I
1
x2
e
interceptam-se em um único ponto de abscissa positiva
c) não se interceptam
d) interceptam-se em mais de dois pontos
e) interceptam-se em um único ponto de abscissa negativa
pode ser
TA.225 ICESCEM-71l As figuras de equações
cl
ir
Yi"-
Y -
bl interceptam-se em dois pontos
)(
di
x
a) não têm ponto em comum
..
x
x
x
1
Y ~-
x
e
Y~
xix - 1)
x-I
b) têm um único ponto comum
c) têm exatamente dois pontos comuns
d) têm exatamente 4 pontos comuns
e) têm uma infinidade de pontos comuns
TA.226 (FEI-731 Chama-se ponto fixo de uma função f um número real x tal que
_L _ _ _ _ _
Calcule os pontos fixos da função
I
x
x
a) x
~
±1
bl x
=
1 ±J5
f(x)
--2-
flxl ~ x.
~ 1 + 2- :
x
c) não tem ponto fixo
di tem infinitos pontos fixos
304-A
305-A
TA.227 (FEI-73) Considere o gráfico da função
FUNÇÚES COMPOSTAS
2
1~' Deseja-se calcular a área
y = 1 +
hachurada da figura ao lado. Calcule um
TA.231 (PUC-771 Sendo
valor aproximado dessa área, substitu in-
A
do os arcos AB, BC e CO por segmentos
de reta.
a)
b)
c)
d)
x3 + 1
a) 1
TA.228 (EPUSP-67) Sendo A
y
= O,
2
O
e) nenhuma das respostas anteriores
a área limitada pela curva
< 0,3
b) 0,3 < A < 0,8
d) 1,5 < A < 10
y
x
e pelas retas
x =
c) 0,8
x - 2,
g(f(O))
então
d) 2
é igual a:
e) -1
y =
x
3"
e) nenhuma das respostas anteriores
dá o
c)
3
dI 4
3x,
el 5
TA.233 (CESGRANRIQ-731 Seja f uma função de IR em IR tal que f(21 = 7, f(9) = 3, f(0) = O,
f(5) = 16 e f(71 = 4; seja g uma outra função de IR em IR tal que a imagem de
cada ponto x do seu domrnio seja 2x + 3. Então, chamando-se h e função composta gof, tem-se que:
TA.234 (CONSART-75) Se f e g são funções definidas em IR por
então g(f(x)) é:
y
valor da área da região compreendida
y = x2
do ponto de
abscissa O ao ponto de abscissa x e o
entre a curva
b) 2
f(xl
a) h(ll = 16
b) h(9) = 9
c) h(2) = 49
d) não existe essa função h
e) nada se pode afirmar pois a lei de formação da f não é conhecida
< A < 1,5
3
TA.229 (CESCEM-74) A função
a) 3x + 11
f(x) = x + 2
cl 3x 2 + 11 x + 10
b) 3x 2 + 10
e g(x) = 3x + 5,
d14x+7
el f!g(x)/
I
eixo das abscissas, conforme indica a fi·
TA.235(CESGRANRIO-731 Se
=
gura ao lado:
Nestas condições, a área ao lado indicada vale:
O
x
f(xl - x + 1
- """"X="1 então
án
x
a) ~
b) 1
x
3
b) 21
cl
a) -1
l1.
3
TA.237 (MACK-76) Dada a função
d) 64
O 1
1..
4
x
3
TA.23D (CESCEM-74) As regiões do plano definidas por:
f(x),
f(f(xl)
d) 2x + 2
2x - 1
c) x
TA.236 (MACK-75) Dada a aplicação f: 0-+ Q
x tal que f(xl = f(x + 1) é:
a) 64
e)
g(xl
3
tem-se:
a) A
c)
e
c) O
b) 3
TA.232 (MACK-751 Dadas as funções f, g e h, de IR em IR, definidas por
g(x) = x 2 - 2x + 1 e h(xl = x + 2, então ((h.fl og) (21 é igual a:
2,95
4,95
3,95
1,95
x = 3,
aI 1
f(x)
J..2
f(x) = x ~ l '
é expressa por:
e) nenhuma das respostas anteriores
definida por
f(x) = x 2 - 2.
o valor de
3
d) 1
el "2
a expressão de
f(3xl,
em termos de
é:
3f(xl
a) 3f(x) _ 1
3f(x)
b) 3f(xl _ 3
3f(x)
c) 2f(xl _ 1
3f(x)
d) 2f(x) + 1
e) 3f(x) - 1
< 2, XI ;;. O
2xI + x2 < 2, X2 ;;. O
XI + 2X2
TA.2380TA-77) Considere a função F(x) = I x 2 -11
a função composta de F com F, então:
determinam um quadrilátero, no qual está definida a função y = x I + X2.
Sabendo-se que O máximo desta função está num dos vértices deste quadrilátero c
seu valor é:
'
a)
306-A
~
3
b)2
3
cl 1..
3
d) O
a)
b)
c)
d)
e)
definida em IR. Se F o F representa
(Fo FI (xl = x I x 2 - 1 I, para todo x real
não existe número real y, tal que (Fo F) (y) = y
F o F é uma função injetora
(Fo FI (x) = O, apenas para dois valores reais de x
nenhuma das anteriores
307-A
TA.239IFEI-68) Dada a lunção
I x I <; 2 tem-se:
a) 1(2xl
d) f(-xl
~
f(x)
~ ~,
para qualquer número real x tal (
c)
211x)
b) I(x - 2)
f(xl - f(2)
f(x)
e) nenhuma das anteriores
f(.!.-)
x
f(x)
x
g: IR 41R
x ~ 2x + b
onde b é uma constante. Conhecendo-se a composta
x ~ glf(xl) ~ 4x 2 - 12x + 9
TA.241 (PUC-74) Se
a)
2x
cl (2, 4)
e
K::JA
c) E ::J D,
D
"*
e
f(x)
ax + b
e
glx)
cx + d.
b= d
b) a = b = c = d
e)
d) (4, + 00)
(-00, -4)
~'
então
(lo [lo Ij) Ix)
é igual:
c) (a - 1) • d = b • (c - 1 I
el -x
d) x
c) 4x
bl 3x
e) a = c
TA.242 (CESGRANRIO-73) Sejam dadas as lunções
m = {(3, 5),
n
b) E C B
d) a = c
1
I(x)
K C D
a) a = c
podemos alirmar que b é um elemento do conjunto:
b) (0,21
e
TA.245 (MACK-74) Sejam I e 9 lunções delR emiR tais que
Então to 9 = 90 f, se e somente se:
gol: IR ~IR
ai (-4, O)
ai E CA
e K C B
E
d) E C D e
K C B
el nenhuma das respostas anteriores
TA.240 (CESGRANRIO-76) Considere as lunções
I:IR 41R
TA.244IITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto R dos números reais.
Sejam as lunções I: A ~ B (y ~ I(x)), g: D ~ A (x ~ g(tl), e a lunção composta
Ilog): E ~ K. Então os conjuntos E e K são tais que:
(O, O)}
= {(5, 2),
Considere as afirmações:
1) não existe a função no m
b = -d
f: {I, 2, 3} -+ {I, 2, 3} uma lunção tal que o conf(x) = x é {I, 2}. Em relação à lunção composta 101
TA.246 (CESGRANRIO-77) Seja
junto solução da equação
podemos alirmar que:
a)
bl
cl
d)
e)
e
e
=x
para todo x, (lo Ii (xl
para todo x, (lo f) (x)
(lo f) (31 = 3
(Iof) (3)
1
(101)(3) = 2
f(x)
TA.247 (MACK-751 Dadas as funções f e 9 delR emiR, sendo g(x) = 4x - 5
2} não existe a função mo n
e
f(g(x)) = 13 - 8x,
então:
3) m é uma lunção bijetora de IR em IR
a) f(x) = 2 - 3x
d) f(x) = 2x + 3
4) a função mo n o m não existe
c) f(xl = 2 + 3x
b) I(xl = 3-2x
e) I(x) = 5 -4x
5) todas aS afirmativas anteriores são falsas
Então:
TA.248 (MACK-73) Sendo
a) todas são corretas
b) somente duas são corretas
c} somente uma é correta
di todas são falsas
e) somente três são corretas
TA.243 (CESCEM-70) Sejam
f(x)
a) (fo g)(xl
bl (lo gl(x)
= + ~; gIz) = [I(z)t
e
h(z)
z - 4:
a) os domrnios de giz) e h(z) coincidem
b) o domlnio de giz) contém estritamente o domlnio de h(z)
c) o domlnio de f(x) não tem pontos em comum com o domlnio de gIz)
di qualquer que seja z real, gIz) = f(z)
c) (Iog)(x)
f(x)
{-(X
2
se
= { -x
x + 1 se
+ 3)2
x + 4
{ _x 2 + 3
x + 4
{-(X
+ 3)2
x + 4
2
d) (Iog)(x) = {_x + 3
x + 4
x<;
x>
se
se
x <; -2
x> -2
se
se
x<; 1
x> 1
se
se
x<;
x>
se
se
x<; -2
x> -2
e
g(x)
x+3
e) nenhuma das anteriores
e) nenhuma das anteriores
309-A
30S-A
FUNÇÕES INVERSAS
TA.253 (CESGRANRIO-731 Seja AS um diâmetro de uma esfera tangente a um plano P
no ponto S. Seja E o conjunto dos pontos da superffcie esférica que são distintos
de A.
TA.249 (CESCEM-76) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor se adapta a uma funçl
bijetora (injetora e sobrejetora) com dom(nio IR e contradomrnio IR é
y
a)
c)
b)
Considere a função
A
f: E ~ P
x ~ t(xl
y
onde f(x) é o ponto de interseção da
reta definida por A e x com o plano P.
Dentre as afirmações. a falsa é:
•x
x
a) a função é injetora
b) a função é sobrejetora
c) a função é bijetora
I
I
d)
di a função leva circunferências em circunferências
I
I
I
-1-
ai a função leva pontos simétricos em relação ao diâmetro AB em pontos simétricos
em relação ao ponto B.
_
I
TA.254 (ITA-761 Considere g: {a, b, c} ~ {a, b, c} uma função tal que g(a) = b e g(bl = a.
Então, temos:
ai a equação g(x) = x tem solução se, e somente se, 9 é injetora
b) 9 é injetora, mas não é sobrejetora
cl 9 é sobrejetora, mas não é injetora
TA.250 (MACK-75) Ao lado está o gráfIco
da função
f.
Um exame deste grãfico
nos permite concluir que:
d) se 9 não é sobrejetora, então
a) f é injetora
b) f é periódica
cl f(rr)
O
dI f(v3i .;;; O
e) f(1) + f(21 = f(3)
e} nenhuma das respostas anteriores
<
f: IR ~ IR,
é definida por:
TA.256 (MACK-751 Dada a função
inversa
f-I: IR ~ IR
3
TA.251 (MACK-741 f é uma aplicação de A em S; S';;;; S; f é uma aplicação sobrejeto
a) f-l(xl=~
b) f-I (x) =
1
d) f-Ilx) ~ ' 3 ' - - -
e)
a) f é uma aplicação sobrejetora de A em S
bl f é uma aplicação injetora de A em S'
c) a informação dada é contraditória;
não pode ser uma aplicação de A em
e de A em S'
d) existe x em A tal que f(x) E S e f(xl E S'
e) existe y em S tal que t(x) = y não se verifica para nenhum x de A
x
para todo x em
bijetora definida por
{a, b, c}
f(xl = x 3 + I,
sua
1
x3 + 1
nenhuma das anteriores
V'x3+1
de A em S'. Podemos afirmar:
TA.252 (MACK-75) A aplicação f: ~ ~ ~
g(g(x))
TA.256 (ITA-75) Seja
f(x) = eX - e-x
7 eX + e-x
g
de f, o valor de e (2s I será:
definida em
IR.
Se
9
fêr a função inversa
4
b) ~
c) loge ( 2 5 )
3
25
7
e) nenhuma das respostas anteriores
a)
definida por
TA.257 (CONSART -75) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos
n
é par
(-3, 4)
é:
n
a) somente injetora;
c) bijetora;
e} nenhuma das anteriores.
310-A
é rmpar
b) somente sobrejetora;
d) nem injetora e nem sobrejetora;
ai 2
e
(3, O). Se f-I
b) O
é a função inversa de f, então f-I (21 é
c)
3
2
d) -
~
TA.258 (MACK-771 A função f definida em IR - {2} por
O seu contradom(nio é IR - {a}. O valor de a é:
a) 2
b) -2
cl 1
dI -1
e) não definida
2
f(xl
2+x
2 - x
é inversível.
e) não sei
311-A
TA.264 (PUC-70) O conjunto verdade da equação
TA.259 (CESGRANRIO-76) Seja f: x ..... I(x) a função cujo gráfico é
b) {O, 2}
el
{O}
y'4;+"1 = 2x - 1
é:
~} e) nenhuma das anteriores
di {O,
O gráfico que mais bem representa a função inversa
TA.265 (GV-75) A equação ~ = -~:
rl:x r+ f-I (x) é
a)
b)
a) tem duas ra ízes reais
c) não tem raízes reais
c)
y
ai tem uma única raiz real
~
TA.266 (PUC-74) O conjunto verdade da equação irracional
O
d)
y
O
x
O
a) V = {3} bl V = {3, 9} c) V = {9}
~
x
O
*' *'
y = 2x
pela reflexão no eixo dos
x
ai V={2,18} b) V={2}
b) y =
..!.. x
2
c) y = -2x
di y = 2x
e) y = -
TA.262 (CESGRANRIO-73) Sendo x ;;;'4, o conjunto imagem da função y =
é dado por:
a) {yEIRly;;;'O}
c) {yEIRly;;;'2}
e) nenhuma das respostas anteriores
J... x
2
y-; + y;::
b) {y E IR I O .;;; y .;;; 2}
d){yEIRly;;;'4}
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES IRRACIONAIS
TA.263 (CESCEM-731 Considere-se o número x dado pela expressão
x=I~1
Nestas condições,
d) x = 2
312-A
1 ± 3
c) x = 2 +~
2
e) x não é raiz da equação x 2 - x - 2 = O
b) x =
c) V={18}dl V=çD
a)
[-2, - ~ ]
b)[-~,l]
d)
[~, 7]
e)
4
nenhuma das anteriores
estão no intervalo:
3x 2 - 4x +
são raízes
c) A única raiz é x = 2 +
e) nenhuma das anteriores
v10
x2 = -3
b) XI
V3
TA.271 (MACK-74) Se o nÚmero
x 2 está entre:
b) 25 e 55
v'41
+V41
d) ..!.. ~x~ 3
3
16
y 3x 2 - 4x - 6 = 18 podemos dizer:
x = 3
J~-J_x
x
x2 + 3
=
3
e
3
2
são:
yr;+g-~" 3,
então
x2 = 3
d) não tem raízes reais
x é solução da equação
cl 55 e 75
TA.272 (GV-74) Resolver a desigualdade
16
2
di tem 2 raízes reais e 2 imaginárias
x2 =
e) nenhuma das respostas anteriores
ai x< 3 -
5
b) A única raiz é
TA.270 (ITA-72) Todas as raizes reais da equação
a) XI = 3 e
el Xl = 3 e
[..!.. , ~]
el
[5,8]
TA.269 (ITA-73) A respeito da equação,
a) O e 25
a) x = 2,222 ...
e) nenhuma das anteriores
TA.268 (MACK-761 Todas as raízes da equação
a) 2 ± y'7õ
3
a rata de equação
I
d) V = {4}
..f2;-~=1
x
a) existe Xo em B, tal que f(y) = xo, para todo y em A
b) existe a função inversa de f
c) existem Xo e XI em A, tais que Xo
XI e I(xo) = I(xI)
d) existe a em B, tal que g(l(g(a)))
g(a)
e) nenhuma das respostas anteriores
a) y = 12x
é:
TA.267 (FEI-68) seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional
TA.2BO (ITA-76) Sejam A e B conjuntos infinitos de números naturais.
Se f: A ..... B e g: B ..... A são funções tais que I(g(x)) = x, para todo x em
e g(l(x)) = x, para todo x em A, então, temos:
TA.26llCESGRANRIO-77) A imagem da reta
.jX-l+~=2
x
y
e)
b) tem três raízes reais
d) não tem raízes
1 - 3x >
b) x< 1
3
e) x< 3 -
3
d) 75 e 95
3
..
e) 95 e 105
Y2 + x2 - 3x:
c) x < 1 ou
x>2
v'41 ou x> 3 +v'41
16
16
313-A
RE SP OS TA S
TA.1 e
TA.2 d
TA.3 b
TA.4 c
TA.5 c
TA.6 c
TA.7 a
TA.8 b
TA.9 d
TA.10a
TA.11 a
TA.12 c
TA.13d
TA.14e
TA.15 d
TA.16d
TA.17d
TA.18 c
TA.19 b
TA.20a
TA.21 e
TA.22 c
TA.23 e
TA.24 a
TA.25d
TA.26 a
TA.27 b
TA.28b
TA.29b
TA.30b
TA.31 b
TA.32 c
TA.33d
TA.34 e
TA.35 e
TA.36 e
TA.37 e
TA.38b
TA.39b
TA.40a
TA.41 c
TA.42b
TA.43d
TA.44 c
TA.45 e
TA.46 e
TA.47d
TA.48 a
TA.49 e
TA,/50 a
TA.51 b
TA.52 a
TA.53 c
TA.54 e
TA.55d
TA.56 e
TA.57a
TA.58 a
TA.59 c
TA.60a
TA.61 a
TA.62 c
TA.63 c
TA.64b
TA.65 a
TA.66b
TA.67d
TA.68b
TA.69 c
TA.70d
TA.71 d
TA.72 e
TA.73 e
TA.74 c
TA.75 e
TA.76~
TA.77 c
TA.78 e
TA.79b
TA.80b
TA.81 a
TA.82d
TA.83 a
TA.84b
TA.85b
TA.86d
TA.87d
TA.88 e
TA.89 e
TA.90e
TA.91 e
TA.92d
TA.93 a
TA.94b
TA.95 a
TA.96d
TA.97b
TA.98b
TA.99 c
TA.100e
TA.101 b
TA.102d
TA.103b
TA.104b
TA.105d
TA.106 b
TA.107 e
TA.108a
TA.109b
TA.nOa
TA.111 a
TA.112 e
TA.113a
TA.114b
TA.115b
TA.116d
TA.117d
TA.118a
TA.119d
TA.120d
TA.121 b
TA.122b
TA.123b
TA.124 b
TA.125c
TA.126a
TA.127 e
TA.128d
TA.129 c
TA.130 e
TA.131 d
TA.132b
TA.133 c
TA.134a
TA.135b
TA.136d
TA.137d
TA.138a
TA.139 e
TA. 140 c
315-A
TA.141c
TA.142d
TA.143 c
TA.144 c
TA.145b
TA.146 a
TA.147 e
TA.148e
TA.149d
TA.150b
TA.151e
TA.152e
TA.153 c
TA.l54a
TA:155d
TA.l56 c
TA.157 e
TA.158d
TA.159 c
TA.160e
TA.161 e
TA.162 c
TA.163 a
TA.164d
TA.165d
TA.166a
TA.167b
TA.168d
TA. 169 b
TA.170 c
TA.171 a
TA.172b
TA.173b
TA.174b
TA.175d
TA.176e
TA.l77b
TA.178 a
TA.17ge
TA.180d
TA.181 a
TA.182d
TA.183 e
TA.184c
TA.185d
TA.186 c
TA.187 b
TA.l88 e
TA.189 c
TA.i90 e
TA.191a
TA.192a
TA.193d
TA.194b
TA.195 c
TA.196b
TA.197a
TA.198a
TA.199 a
TA.200c
TA.201 a
TA.202e
TA.203c
TA.204d
TA.205a
TA.206b
TA.207d
TA.208c
TA.209 c
TA.210b
TA.211 c
TA.212 a
TA.213 b
TA.214d
TA.215e
TA.216 c
TA.217 c
TA.218 a
TA.219 a
TA.220d
TA.221 d
TA.222 c
TA.223b
TA.224b
TA.225b
TA226b
TA.227c
TA.228 c
TA.229a
TA.230a
TA.231 e
TA.232 e
TA.233b
TA.234 a
TA.235 c
TA.236b
TA.237d
TA.238e
TA.239d
TA.240a
TA.241 d
TA.242 c
TA.243e
TA.244d
TA.245c
TA.246b
TA.247 b
TA.248a
TA.249d
TA.250d
TA.251 e
TA252b
TA.253d
TA.254 a
TA.255 c
TA.256 a
TA.257 b
TA.258d
TA.259e
TA.260b
TA.261 c
TA.262 c
TA.263d
TA.264 a
TA.265e
TA.266 a
TA.267c
TA.268 c
TA.269e
TA.270e
TA.271 d
TA.272 a
FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA ELEMENTAR
Vai 1 - Conjuntos e Funções
1. noções de lógica, 2. conjuntos. 3. conjuntos numéricos. 4. relações. 5. funções.
6. funções do 1':> grau. 7. funções do 2':> grau. 8. função modular. 9. função com·
posta e função inversa.
Vai 2 - Logaritmos
1. potências. 2. função exponencial, 3. função logarítmica. 4. equações e inequações logarítmicas, 5. logaritmos decimais.
Vai 3 - Trigonometria
1. ciclo trigonométrico, 2. funções circulares, 3. principais identidades, 4. transformações, 5. equações, 6. funções circulares inversas, 7. inequações, 8. triângulos.
Vai 4 - Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas
1. seqüências e progressões, 2. matrizes, 3. propriedades dos determinantes, 4. siso
temas lineares: método do escalonamento.
Vol 5 - Combinatória, Binômio, Probabilidade
1. princípios fundamentais da contagem, 2. arranjos, 3. permutações, 4. combi·
nações, 5. desenvolvimento binomial, 6. probabilidade em espaço amostrai finito.
Vai 6 - Complexos. Polinômios. Equações
1. números complexos, 2. polinômios, 3. equações polinomiais, 4. transforma·
ções, 5. raízes múltiplas.
Vol 7 - Geometria Analítica
1. o ponto, 2. a reta, 3. a circunferência, 4. as cônicas, 5. lugares geométricos.
Vai 8 - Limites. Derivadas. Noções de Integral
1. definição de limite, 2. propriedades operatórias, 3. definição de derivadas,
4. cálculo de derivadas, 5. estudo de funções, 6. noções de integral definida.
Vai 9 - Geometria Plana
1. triângulos, 2. paralelismo, 3. perpendicularismo, 4. circunferência, 5. semelhança, 6. relações métricas, 7. áreas das figuras planas.
Vai 10 - Geometria Espacial
1. Geometria de posição: paralelismo, perpendicularismo, diedros, triedros, poliedros; 2. Geometria Métrica: prisma, pirâmide, cilindro, cone, sólidos semelhantes,
superfície e sôlidos de revolução, sólidos esféricos.
316-A