Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
CAPÍTULO 3
FORMULAÇÃO INTEGRAL PARA UM VOLUME DE
CONTROLE
Como já se referiu (§ 1.8), neste capítulo desenvolve-se a análise integral ou de
grande escala, baseada no volume de controle.
3.1 CONSERVAÇÃO DA MASSA
3.1.1 Equação da continuidade ou da conservação da massa
O princípio da conservação da massa estabelece que a massa não pode ser
criada nem destruída. Este princípio aplicado a um volume de controle (VC) dá:
{Caudal mássico que sai do VC} - {Caudal mássico que entra no VC} +
+ {Taxa de acumulação de massa dentro do VC} = 0
Figura 3.1: Escoamento através de um volume de controle.
45
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
Para aplicar o princípio da conservação da massa a um volume de controle
localizado no campo de escoamento de um fluido, considera-se na superfície de
controle (que
r limita o volume de controle) um pequeno elemento de área dA, cuja
normal é n (isto é, o vector perpendicular a dA e dirigido para fora), figura 3.1.
r
r
O ângulo entre a normal n e o vector velocidade do fluido rv , é θ; logo a
projecção da área dA no plano normal ao vector velocidade v é (dA cos θ).
Então, o caudal mássico que sai pelo elemento de área dA será
r r
r r
(ρv)(dA cos θ) = ρdA v n cos θ = ρ ( v ⋅ n) dA
A integração desta quantidade sobre toda a superfície de controle dará o
excesso de caudal mássico que atravessa o volume de controle
r r
∫∫sc ρ ( v ⋅ n) dA , onde SC é a superfície de controle.
Se o integral é:
• positivo, há saída de massa
• negativo, há entrada de massa
• zero, a massa é constante dentro do volume de controle.
Sendo a massa do volume de controle dada por
m = ∫∫∫ ρ dV ,
VC
então a taxa de acumulação da massa dentro do volume de controle é
∂
ρ dV .
∂t ∫∫∫VC
Pode-se assim obter a formulação integral da conservação da massa aplicada a
um volume de controle genérico
r r
∂
ρ
v
(
∫∫sc ⋅ n) dA + ∂t ∫∫∫VC ρ dV = 0 .
(3.1)
Logo, o excesso de caudal mássico que atravessa a superfície de controle é
igual à variação, por unidade de tempo, da massa contida no volume de controle.
3.1.2 Formas simplificadas
Escoamento permanente: as propriedades do escoamento não variam com o
∂
ρ dV = 0, logo a equação da continuidade é
tempo, então
∂t ∫∫∫VC
∫∫sc
r r
ρ ( v ⋅ n) dA = 0 .
(3.2)
46
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
Escoamento incompressível: neste caso, a massa volúmica é constante, logo a
derivada em ordem ao tempo é zero e pode fazer-se
ρ
r r
∫∫sc ( v ⋅ n) dA = 0
⇒
r r
∫∫sc ( v ⋅ n) dA = 0
(3.3)
3.1.3 Exemplo
Considere-se o volume de controle da figura 3.2 em que o caudal mássico que
entra e sai é permanente e monodimensional, sendo a velocidade constante à
entrada e à saída:
Figura 3.2: Caudal mássico estacionário, unidimensional, que entra e sai no
volume de controle.
Aplica-se a equação (3.2) aos pontos em que a massa entra, ¬, e sai, −:
r r
r r
r r
∫∫sc ρ ( v ⋅ n) dA = ∫∫A1ρ ( v ⋅ n) dA + ∫∫A2 ρ ( v ⋅ n) dA = 0
r r
O valor absoluto do produto interno ( v ⋅ n) é igual à velocidade em cada integral,
visto que a velocidade e o vector normal exterior são colineares tanto em ¬ como
r
r
r r
em −. Em − v e n têm o mesmo sentido e portanto ( v ⋅ n) é positivo, como aliás
se esperaria que ocorresse para a saída de
Em ¬, onde há entrada de
r massa.
r
massa no volume de controle, os vectores v e n têm sentidos opostos, portanto
r r
( v ⋅ n) é negativo. Assim, a equação da continuidade na forma escalar será
r r
∫∫sc ρ ( v ⋅ n) dA = - ∫∫A1ρ1v1dA + ∫∫A2 ρ 2 v 2 dA = 0
cuja integração dá
ρ1v1A1 = ρ2v2A2
(3.4)
Neste exemplo, supôs-se a velocidade constante nas secções ¬ e −. Considerese agora o caso mais geral em que o tubo (a secção do escoamento) é circular e
o perfil de velocidades é parabólico do tipo
47
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
⎡ ⎛ r ⎞2⎤
v = v max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦
Figura 3.3: Perfil de velocidades parabólico em conduta circular.
sendo vmax a velocidade em r = 0 e R o raio interior do tubo, pretendendo-se
determinar a velocidade média. Assim, o caudal mássico é
(ρ v) media A = ∫∫A ρ v dA
Sendo o escoamento incompressível, então
v media
1
1
= ∫∫ v dA =
A A
π R2
2π
R
0
0
∫ ∫
⇒ v media =
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
v max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ r dr dθ ⇒
⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦
v max
2
O que mostra que a velocidade média é metade da velocidade máxima, no caso
de um perfil parabólico.
3.2 SEGUNDA LEI DE NEWTON. QUANTIDADE DE MOVIMENTO
3.2.1 Equações da Quantidade de Movimento
As equações da quantidade de movimento (q.d.m.) resultam da aplicação da
segunda lei de Newton a um volume de controle:
“A variação da quantidade de movimento de um determinado sistema é igual à
resultante das forças aplicadas a esse sistema”.
Ressaltam dois pontos importantes desta lei:
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Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
• a lei refere-se a um sistema concreto, logo é necessário adaptá-la ao volume
de controle, o qual contém diferentes partículas de fluido (isto é, um sistema
diferente), quando examinado em diferentes instantes do tempo;
• é uma expressão vectorial, inclui direcção e magnitude.
Considere-se o volume de controle da figura 3.4 localizado num campo de
escoamento. O sistema é o fluido que ocupa o volume de controle no instante t,
estando representadas as posições t e t + ∆t.
Figura 3.4: Relação entre um sistema e o volume de controle num campo de
escoamento.
Assim:
Região I - ocupada pelo sistema apenas no instante t,
Região II - ocupada pelo sistema no instante t + ∆t,
Região III - ocupada pelo sistema tanto em t como em t + ∆t.
A 2ª lei de Newton traduz-se por:
r d
r
d r
ΣF = (mv) = P
dt
dt
(3.5)
r
onde P é a quantidade de movimento linear total.
No instante t + ∆t, o sistema ocupa as regiões II e III, sendo a q.d.m. linear no
instante t + ∆t.
49
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
r
r
r
Pt+ ∆t = PII
+ PIII
t+ ∆t
t+ ∆t
e no instante t
r
r
r
Pt = PIt + PIIIt .
Subtraindo estas expressões e dividindo pelo intervalo de tempo ∆t
r
r r
r
r
r
Pt+ ∆t - Pt PII t+∆t + PIII t+∆t − PI t - PIII t
=
.
∆t
∆t
Rearranjando e calculando o limite quando ∆t → 0
r
r
r
r
r
r
PIII t+ ∆t − PIII t
PII t+ ∆t − PI t
Pt+ ∆t − Pt
= lim ∆t→ 0
+ lim ∆t→ 0
lim ∆t→ 0
∆t
∆t
∆t
(3.6)
Assim, no 1º membro
r
r
r
Pt+ ∆t - Pt dP
lim ∆t→ 0
=
dt
∆t
que é a equação (3.5) da lei de Newton. No 2º membro, o 1º termo
r
r
r
PIII t+ ∆t - PIII t dPIII
lim ∆t→ 0
=
∆t
dt
representa a variação da q.d.m. linear do próprio volume de controle, visto que
quando ∆t→0 a região III transforma-se no próprio volume de controle. O 2º
termo
lim ∆t→0
r
r
PII t+∆t - PI t
∆t
representa o excesso de q.d.m. através do volume de controle durante o
intervalo de tempo ∆t. Conforme ∆t → 0, as regiões II e I tornam-se coincidentes
com a superfície do volume de controle. Então, a equação da conservação da
quantidade de movimento linear aplicada a um volume de controle:
{Somatório das forças que actua no VC}={Variação da q.d.m. que sai do VC} {Variação da q.d.m. que entra no VC}+{Taxa de acumulação da q.d.m. no VC}
(3.7)
50
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
3.2.2 Aplicação da equação da conservação da quantidade de movimento a
um volume de controle qualquer
Como se referiu § 2.1, a força total que actua no elemento de fluido consiste em
forças superficiais e forças mássicas.
Figura 3.5: Escoamento através de um volume de controle.
Em relação à área dA, na superfície de controle e usando a expressão do caudal
mássico que sai do volume de controle, então o excesso da q.d.m. será
r
v (ρv)(dAcosθ)
r
isto é, o produto do caudal mássico pela velocidade v , ou
r r r
ρ v ( v ⋅ n) dA
que, integrando sobre toda a superfície de controle, dá o excesso da q.d.m.
através do volume de controle:
∫∫
sc
r r r
vρ ( v ⋅ n)dA .
Como se pode ver, este termo inclui a variação da q.d.m. que entra e que sai. Se
r r
a massa entra no volume de controle, o sinal de ( v ⋅ n) é negativo e a q.d.m.
r r
associada é uma entrada; inversamente, o sinal positivo de ( v ⋅ n) está associado
a uma saída de q.d.m.. Ou seja,
{Variação da q.d.m. que sai do V. C.}-{Variação da q.d.m. que entra no V. C.} =
=
∫∫sc
r r r
vρ ( v ⋅ n) dA .
Por outro lado, a taxa de acumulação da q.d.m. linear no volume de controle é
51
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
∂
=
∂t
∫∫∫VC
r
vρ dV.
Finalmente, é possível escrever o teorema da quantidade de movimento:
r
r r r
r
∂
ρ v dV
ΣF = ∫∫ vρ ( v ⋅ n) dA +
∫∫∫
sc
∂ t VC
(3.8)
Repare-se na semelhança existente entre as equações (3.8) e (3.1). Esta
equação vectorial (3.8) tem como componentes cartesianas
r r
∂
r r
∂
r r
∂
ΣFx =
∫∫sc v x ρ ( v ⋅ n)dA + ∂ t ∫∫∫VC ρ v x dV
ΣFy =
∫∫sc v y ρ ( v ⋅ n)dA + ∂ t ∫∫∫VC ρ v y dV
ΣFz =
∫∫sc v z ρ ( v ⋅ n)dA + ∂ t ∫∫∫VC ρ v z dV
(3.9a)
(3.9b)
(3.9c).
Note-se que cada termo tem um sinal em relação aos eixos (x,y,z) e, além disso,
como as equações (3.9) foram escritas para o fluido dentro do volume de
controle, as forças usadas nestas equações são as que actuam sobre o fluido.
3.2.3 Aplicações do teorema da q.d.m.
Pretende-se calcular a força exercida pelo escoamento permanente de um fluido
numa curva redutora de tubagem (figura 3.6). Uma das possíveis escolhas do
volume de controle será o fluido contido na tubagem num dado instante. As
forças externas que actuam no fluido incluem as forças de pressão nas secções
¬ e −, a força mássica devida ao peso do fluido e as forças devidas à pressão e
à tensão tangencial, PW e τW , exercidas no fluido pelas paredes da tubagem
(figura 3.7).
r
Designar-se-á por B a força resultante devida à parede da tubagem (devida a PW
e a τW), sendo as suas componentes Bx e By.
52
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
Figura 3.6: Escoamento numa curva redutora.
Assim, as componentes segundo x e y da equação da q.d.m., as equações (3.9a)
e (3.9b) das forças exteriores são
ΣFx = P1A 1 − P2 A 2 cosθ + B x
ΣFy = P2 A 2 senθ − W + B y .
r
Supôs-se que as componentes da força desconhecida B eram positivas.
Figura 3.7: Volume de controle definido na superfície da curva redutora.
O cálculo do integral de superfície segundo x e y é
53
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
r r
∫∫sc v xρ ( v ⋅ n)dA = ( v2cosθ)(ρ2 v2A 2 ) + v1(−ρ1v1A1)
r r
v
ρ
v
⋅ n)dA = (-v 2senθ)(ρ2 v 2 A 2 )
(
y
∫∫sc
Como, por hipótese, o escoamento é permanente a taxa de acumulação é nula.
Logo, igualando o somatório das forças que actuam no fluido ao integral da
q.d.m., obtém-se:
Bx + P1A1 - P2A2cosθ = (v2cosθ)(ρ2v2A2) + v1(-ρ1v1A1)
By + P2A2senθ - W =(- v2senθ)(ρ2v2A2)
Resolvendo em ordem às incógnitas Bx e By
Bx = v22ρ2A2cosθ - v12ρ1A1 - P1A1 + P2A2cosθ
By = - v22ρ2A2senθ -P2A2senθ + W
Repare-se que se calculou a força exercida no fluido em vez da força exercida na
tubagem. As componentes de reacção (força exercida pelo escoamento) na
curva redutora) são
Rx = - v22ρ2A2cosθ + v12ρ1A1 + P1A1 - P2A2cosθ
Ry = v22ρ2A2senθ + P2A2senθ - W
Como o escoamento é permanente, da equação (3.4) vem que
&.
ρ1v1A1 = ρ2v2A2 = m
Finalmente, as componentes da força exercida pelo escoamento na curva serão
dadas por:
& (v1 - v2cosθ) + P1A1 - P2A2cosθ
Rx = m
& v2senθ + P2A2senθ - W.
Ry = m
3.3 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
3.3.1 Equação da conservação da energia
A equação da conservação de energia baseia-se no 1º Princípio da
Termodinâmica
δQ - δW = dE
(3.10)
54
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
onde δQ e δW representam a quantidade elementar de calor trocada e o trabalho
elementar produzido (usa-se “δ“ para distinguir das funções de estado, nas quais
se usa “d”); dE representa a variação elementar da energia total do sistema.
Por convenção, definiu-se que δQ é positivo se o sistema recebe calor e δW é
positivo se o sistema produz trabalho.
Se o sistema sofre uma transformação num intervalo de tempo dt, então
δQ δW dE
−
=
dt
dt
dt
(3.11)
Para o desenvolvimento da equação da energia, aplica-se o 1º Princípio da
Termodinâmica a um dado volume de controle localizado no campo de
escoamento de um fluido. O sistema, representado pela linha de traço
descontínuo, ocupa o volume de controle no instante t, indicando-se também a
posição ocupada em t + ∆t. Assim, a região Ι está ocupada em t, a região ΙΙ em t
+ ∆t e a região ΙΙΙ é comum ao sistema tanto em t como em t + ∆t.
Figura 3.8: Relação entre um sistema e o volume de controle num campo de
escoamento.
No instante t + ∆t, a energia total do sistema é
E t+∆t = EII t+∆t + EIII t+∆t
e em t
E t = EI t + EIII t .
Subtraindo a 2ª da 1ª expressão e dividindo por ∆t
55
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
E t+∆t − E t EIII t+∆t + EII t+∆t - EIII t - EI t
.
=
∆t
∆t
Rearranjando e calculando o limite quando ∆t → 0
lim ∆t→ 0
E
-E
E
-E
E t+ ∆t − E t
= lim ∆t→ 0 III t+ ∆t III t + lim ∆t→ 0 II t+∆t I t .
∆t
∆t
∆t
Então,
lim ∆t→ 0
E t+ ∆t − E t dE
=
dt
∆t
(3.12)
e
lim ∆t→ 0
EIII t+ ∆t − EIII t dEIII
=
dt
∆t
que é a taxa de variação da energia total do sistema, visto que o volume
ocupado pelo sistema quando ∆t → 0 é o volume de controle considerado; e
lim ∆t→ 0 =
EII t+ ∆t − EI t
∆t
representa o excesso de energia que passa na superfície de controle no intervalo
de tempo ∆t.
Então, o 1º Princípio da Termodinâmica aplicado a um volume de controle será
{Variação da energia calorífica (ou potência calorífica) recebida pelo VC}{Variação do trabalho mecânico (ou potência mecânica) realizada pelo VC}=
={Variação da energia que sai do VC devido ao escoamento}-{Variação
da energia que entra no VC devido ao escoamento}+{Taxa de
acumulação da energia no interior do VC}
(3.13)
3.3.2 Aplicação da equação da conservação da energia a um volume de
controle qualquer.
Para o desenvolvimento da equação da energia aplicada a um VC considere-se
a área dA na superfície de controlo da figura 3.9. A variação da energia que sai
do VC passando por dA é e(ρv)(dAcosθ).
56
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
Figura 3.9: Escoamento através de um volume de controle.
Esta relação contempla o caudal mássico que sai do VC - o produto (ρv)(dAcosθ)
- e a quantidade e, que fisicamente representa a energia específica ou mecânica
(isto é, energia por unidade de massa) e inclui:
• a energia potencial devida à posição do fluido no campo gravitacional: gy;
• a energia cinética do fluido devida à sua velocidade: v2/2;
• a energia interna do fluido devida ao seu estado térmico: u.
Como se viu anteriormente, a quantidade (dAcosθ) representa a projecção da
r
área dA segundo a normal n .
Então,
r r
e ( ρ v)dAcosθ = eρ (v ⋅ n)dA
expressão idêntica à obtida para a massa e q.d.m.. Integrando esta quantidade
em toda a superfície de controle
r r
∫∫sc eρ ( v ⋅ n) dA
obtém-se o excesso de energia que atravessa o volume de controle. Então,
{Variação da energia que sai do VC}-{Variação de energia que entra no VC} =
r r
= ∫∫ eρ (n ⋅ v) dA
sc
A taxa de acumulação de energia dentro do volume de controle é
∂
eρ dV
∂ t ∫∫∫VC
e a equação (3.13) dará então
57
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
∂Q ∂W
−
=
∂t
∂t
r r
∂
⋅ v) dA + ∫∫∫ eρ dV
e
ρ
n
(
∫∫sc
∂ t VC
(3.14)
A forma geral da expressão do 1º Princípio da Termodinâmica obtém-se desta
equação, mas após algumas considerações sobre o termo do trabalho por
unidade de tempo, isto é, a potência mecânica, δW/dt. Há 3 tipos de trabalho
incluídos neste termo:
• trabalho mecânico propriamente dito, Ws, que é o trabalho realizado pelo fluido
sobre qualquer dispositivo mecânico. Isto é, que provoque a rotação de um
veio ou a deslocação de uma massa ao longo de uma dada distância;
• trabalho realizado pelas tensões normais, Wσ, que é o trabalho produzido
sobre o exterior para vencer as tensões normais que actuam no volume de
controle quando existe escoamento;
• trabalho realizado pelas tensões tangenciais, Wτ, que é o trabalho produzido
sobre o exterior para vencer as tensões tangenciais que actuam na superfície
de controle.
Figura 3.10: Representação do escoamento, e o trabalho realizado por ele,
através de um volume de controle.
Examine-se o que se passa na superfície elementar da superfície de controle
r
para os trabalhos Wσ e Wτ, por unidade de tempo (ver figura 3.10). Seja S a
força por unidade de área cujas componentes são σ
r ii, na direcção normal, e τij na
unidade
direcção tangencial à superfície. A força em dA é S dA, e o trabalho
r por
r
de tempo, realizado pelo escoamento do fluido através de dA é S dA v . Então, o
trabalho por unidade der tempo realizado pelo volume de controle sobre o exterior
devido à existência de S
r r
− ∫∫ v ⋅ SdA .
sc
Substituindo na equação (3.14) vem
δQ δWs
r r
−
+ ∫∫ v ⋅ SdA =
sc
dt
dt
r r
∂
∫∫sc eρ ( v ⋅ n)dA + ∂ t ∫∫∫VC eρ dV
(3.15)
58
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
onde δWs/dt é o trabalho mecânico propriamente dito por unidade de tempo, isto
é, a potência mecânica.
r
r
Escrevendo as componentes normais da tensão S como σii n , o trabalho por
unidade de tempo realizado para vencer as tensões normais é
r r
− ⎛⎜⎝ ∫∫ v ⋅ s dA⎞⎟⎠
sc
normal
r
r
r r
= − ∫∫ v ⋅ σ iin dA = - ∫∫ σ ii ( v ⋅ n) dA .
sc
sc
Falta analisar o trabalho necessário para vencer as forças tangenciais. Esse
trabalho por unidade de tempo δWτ/dt, apresenta-se numa forma com a qual não
é possível realizar trabalho mecânico, representando portanto uma perda de
energia mecânica; a sua análise não será feita aqui e mantém-se do modo
indicado. Assim, a potência mecânica total será
r r
δ Wτ
δ Ws
δ W δ Ws δ Wσ δ W τ
=
+
+
=
− ∫∫ σ ii ( v ⋅ n)dA +
sc
dt
dt
dt
dt
dt
dt
que substituída em (3.10) dá
r r
δ Wτ
δ Q δ Ws
−
+ ∫∫ σ ii ( v ⋅ n)dA =
sc
dt
dt
dt
r r
∂
eρ( v ⋅ n)dA + ∫∫ eρ dV .
sc
dt VC
∫∫
A tensão normal será analisada com detalhe mais adiante. Aqui apenas interessa
referir que o termo da tensão normal é a soma dos efeitos devidos à pressão e à
viscosidade. Mas, tal como o trabalho necessário para vencer as tensões
tangenciais, o trabalho necessário para vencer a viscosidade apresenta-se numa
forma com a qual não é possível realizar trabalho mecânico. Então, juntam-se os
dois trabalhos (das tensões tangenciais e da viscosidade) num termo único
δ Wµ
dt
que representa o trabalho por unidade de tempo necessário para vencer os
efeitos viscosos na superfície de controle.
A restante parte do termo da tensão normal, a que está associada à pressão,
pode-se escrever diferentemente se se considerar que a tensão normal média,
σii, é igual mas de sinal contrário à pressão termodinâmica P. Então, os termos
de trabalho necessários para vencer as tensões normal e tangencial serão:
δ Wµ
r r
r r
δ Wτ
σ
v
⋅
n
dA
=
−
⋅
−
.
P
v
n
dA
(
)
(
)
ii
∫∫sc
∫∫sc
dt
dt
Substituindo na equação anterior tem-se, finalmente, a equação da conservação
da energia ou do 1º Princípio da termodinâmica aplicado a um volume de
controle
59
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
δ Q δ Ws
−
=
dt
dt
δ Wµ
⎛
∂
P⎞ r r
.
e + ⎟ ρ( v ⋅ n)dA + ∫∫∫ eρ dV +
⎜
sc ⎝
ρ⎠
dt VC
dt
∫∫
(3.16)
As equações (3.16), (3.1) e (3.8) constituem as relações base da análise do
escoamento pela formulação integral.
3.3.3 Aplicações da equação da energia
Considere-se o volume de controle da figura 3.11, no qual o escoamento do
fluido é permanente e não há perdas por atrito.
Figura 3.11: Volume de controle com fronteiras unidimensionais.
A equação (3.16) será então
δ Wµ
⎛
δ Q δ Ws
P⎞ r r
∂
−
= ∫∫ ρ⎜ e + ⎟ ( v ⋅ n)dA + ∫∫∫ eρ dV +
=0
sc ⎝
dt
dt
ρ⎠
dt VC
dt
onde os dois últimos termos do segundo membro são nulos porque o
escoamento é permanente. Analisando o integral de superfície, vê-se que o
r r
produto ρ ( v ⋅ n) dA é o caudal mássico (equação (3.4)), indicando o sinal do
produto, se o caudal é para dentro ou para fora do volume de controle. O factor
pelo qual o caudal mássico é multiplicado, (e + P/ρ), representa o tipo de energia
que entra ou sai do volume de controle por unidade de massa.
A energia total específica, e, inclui as energias cinética, potencial e interna
e+
P
v2
P
= gy +
+ u+
ρ
2
ρ
Como só há entrada de massa no volume de controle na secção ¬ e saída na
secção −, o integral de superfície será
⎛
P⎞ r r
∫∫ ρ⎜⎝ e + ρ ⎟⎠ ( v ⋅ n) dA =
⎡ v22
⎡v 2
P ⎤
P ⎤
+ gy 2 + u 2 + 2 ⎥(ρ 2 v 2 A 2 ) − ⎢ 1 + gy 1 + u1 + 1 ⎥(ρ1v 1A 1 ) .
⎢
ρ 2 ⎥⎦
ρ1 ⎥⎦
⎢⎣ 2
⎢⎣ 2
Então, a equação da energia é
60
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
⎡ v2
P ⎤
P1⎤
δ Q δ Ws ⎡ v 22
−
= ⎢ + gy 2 + u 2 + 2 ⎥(ρ 2 v 2 A 2 ) − ⎢ 1 + gy 1 + u1 + ⎥(ρ1 v 1 A 1 )
dt
dt
ρ2 ⎦
ρ1 ⎦
⎣2
⎣2
& , e dividindo a expressão de cima pelo caudal
Fazendo δQ/dt = q& e δWs/dt = W
S
&
mássico m
&
⎡ v2
q& - W
P ⎤ ⎡ v2
P ⎤
s
= ⎢ 2 + gy 2 + u 2 + 2 ⎥ − ⎢ 1 + gy 1 + u1 + 1 ⎥
&
m
ρ2 ⎦ ⎣ 2
ρ1 ⎦
⎣2
ou, fazendo h ≡ u + Pv = u + P/ρ ( entalpia específica),
&
v 12
W
q v 22
+ gy 1 + h1 + =
+ gy 2 + h 2 + s .
&
&
2
m
2
m
3.3.4 Equação de Bernoulli
Se se aplicar a equação (3.16) ao volume de controle da figura 3.12, no qual o
escoamento é incompressível e invíscido, não havendo trocas de calor ou
variação da energia interna, então a análise termo a termo da equação (3.16) dá
δQ
=0
dt
δWs
=0
dt
⎛
⎛
⎛
P⎞ r r
P⎞ r r
P⎞ r r
ρ⎜ e + ⎟ ( v ⋅ n)dA = ∫∫ ρ⎜ e + ⎟ ( v ⋅ n)dA + ∫∫ ρ⎜ e + ⎟ ( v ⋅ n)dA =
sc ⎝
A1 ⎝
A2 ⎝
ρ⎠
ρ⎠
ρ⎠
∫∫
⎛
⎛
v 12 P1 ⎞
v 22 P2 ⎞
+ ⎟ ( −ρ1 v 1 A 1 ) + ⎜ gy 2 +
+ ⎟ (ρ 2 v 2 A 2 )
= ⎜ gy 1 +
2 ρ1 ⎠
2 ρ2 ⎠
⎝
⎝
e
∂
eρ dV = 0
∂ t ∫∫∫VC
A equação da energia é então
⎛
⎛
v 22 P2 ⎞
v 12 P1 ⎞
0 = ⎜ gy 2 +
+ ⎟ (ρ v 2 A 2 ) − ⎜ gy 1 +
+ ⎟ (ρ v 1 A 1 )
2
2
ρ⎠
ρ⎠
⎝
⎝
61
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
Figura 3.12: Volume de controle para um escoamento estacionário,
incompressível, invíscido e isotérmico.
Como o escoamento é permanente
v 12 P1
v 22 P2
gy 1 +
+
= gy 2 +
+
2
2
ρ
ρ
(3.17a)
v2 P
v 12 P1
+
= y2 + 2 + 2
2g ρ g
2g ρ g
(3.17b)
ou, dividindo por g
y1 +
sendo as expressões 3.17a) e b) conhecidas como equação de Bernoulli. Note- se que cada termo da equação (3.17b) tem dimensões de um comprimento
Daí que estas quantidades sejam muitas vezes designadas por “cotas” sendo,
respectivamente, a cota de posição, cota cinética e cota de pressão (medidas em
metros de coluna de água ou de mercúrio). Estes termos indicam quantidades
que podem ser directamente convertidas para produzir energia mecânica.
Algumas conclusões da equação de Bernoulli:
• Quando as variações de y forem pequenas, pode-se concluir que P será
elevada onde v for baixa e vice-versa.
• Para um escoamento horizontal, a pressão é máxima para v = o. Um tal ponto
chama-se ponto de paragem ou ponto de estagnação e a pressão nesse ponto
denomina-se pressão total ou de estagnação.
62
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
Pestagnação ≡ P0 ≡ Pestática +
1
ρ v2
2
em que P se diz pressão estática e 1/2ρv2 pressão dinâmica. Este estado (em
que, repetindo, P0 é a pressão que seria obtida, num escoamento horizontal,
se se tivesse anulado a velocidade nesse ponto, sem provocar dissipação)
chama-se estado total ou de estagnação.
3.3.5 Exemplo de aplicação da equação de Bernoulli
Deseja-se conhecer a velocidade de saída do fluido do tanque representado na
figura 3.13, e o volume de controle é o indicado: a fronteira superior do volume
de controle coincide com a superfície do fluido, havendo portanto escoamento
através dessa superfície, mas a área é suficientemente grande para que a
velocidade do fluido nesse ponto possa ser desprezada.
Figura 3.13: Volume de controle para a análise da equação de Bernoulli.
Aplicando a equação de Bernoulli, equação (3.17), tem-se
y1 +
Patm
v2 P
= 2 + atm
ρ g 2g ρ g
de onde vem
v 2 = 2gy
3.3.6 Exemplo de aplicação das equações integrais
No alargamento brusco da figura 3.14, considera-se que a pressão na secção ¬
é uniforme com o valor P1. Pretende-se determinar a variação de energia interna
entre as secções ¬ e − no caso do escoamento ser permanente e
63
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
incompressível. Desprezando as tensões tangenciais nas paredes e pretende-se
exprimir u2 - u1, em função de v1, A1 e A2. O volume de controle é o indicado.
Figura 3.14: Escoamento através de um alargamento brusco.
- Conservação da massa
r r
∂
ρ ( v ⋅ n)dA +
ρ dV
sc
∂ t ∫∫∫VC
∫∫
se a secção − se encontra a uma distância suficientemente grande do
alargamento brusco, então a equação da continuidade para o escoamento
permanente, incompressível é
ρ1v1A1 = ρ2v2A2
v 2 = v1
A1
.
A2
(3.18)
- Quantidade de movimento
r
r r r
r
∂
ΣF = ∫∫ ρ v( v ⋅ n) dA +
ρ
v
dV
sc
∂ t ∫∫∫VC
P1A2 - P2A2 = ρv22A2 - ρv12A1
⎛ A1 ⎞
P1 − P2
⎟.
= v 22 − v 12 ⎜
ρ
⎝ A2 ⎠
(3.19)
64
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
- Energia
δQ δWs
dt
−
⎛
P⎞ r r
∂
= ∫∫ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟ (v ⋅ n) dA +
ρ e dV +
sc
dt
ρ⎠
∂ t ∫∫∫VC
⎝
⎛
δWu ⎛
P⎞
P ⎞
+ ⎜⎜ e1 + 1 ⎟⎟(ρ v1A1 ) = ⎜⎜ e2 + 2 ⎟⎟(ρ v 2 A 2 )
+
dt ⎝
ρ⎠
ρ⎠
⎝
mas ρ v1A1 = ρ v2A2
e1 +
P1
P
= e2 + 2
ρ
ρ
Sendo
e=
v2
+ gy + u
2
então a energia é dada pela equação
v 12
P
v2
P
+ gy 1 + u1 + 1 = 2 + gy 2 + u 2 + 2 .
2
2
ρ
ρ
(3.20)
Podem-se agora combinar as três expressões para se obter u2 - u1. Da equação
(3.20), tem-se
u 2 - u1 =
P1 - P2 v 12 - v 22
+
+ g( y 1 - y 2 )
ρ
2
(3.20a)
substituindo (3.19) para (P1 - P2)/ρ, (3.18) para v2 e sendo y1 = y2, tem-se
u2 - u1 =
⎛
v12 ⎜
2
2
A1 ⎞
v2 v2 ⎛ A ⎞
2 A
⎟ − v1 1 + 1 − 1 ⎜ 1 ⎟ =
A2 2
2 ⎝ A2 ⎠
⎝ A2 ⎠
2
2
⎡
A1 ⎛ A1 ⎞ ⎤ v12 ⎡ A1 ⎤
⎢
⎥
=
1− 2
+⎜ ⎟ =
⎢1 −
⎥ .
2 ⎢
A2 ⎝ A2 ⎠ ⎥ 2 ⎣ A2 ⎦
⎣
⎦
v12
(3.21)
Esta equação mostra que a energia interna aumenta num alargamento brusco. O
aumento de temperatura devido a esta variação de energia interna é
insignificante, mas da equação (3.20a) vê-se que a variação de cota total
⎛ P1 v 12
⎞ ⎛ P2
⎞
v 22
+
+ gy 1 ⎟ − ⎜
+
+ gy 2 ⎟
⎜
⎝ ρ g 2g
⎠ ⎝ ρ g 2g
⎠
é igual à variação da energia interna. Por isso, a variação de energia interna num
fluido incompressível é designada por “cota de perda por atrito” ou perda de
65
Capítulo 3: Formulação integral para um volume de controle
carga, hL, e a equação da energia para um escoamento permanente, adiabático
e incompressível ao longo de um tubo de corrente será
P1 v 12
P
v2
+
+ y 1 = hL + 2 + 2 + y 2 .
ρ g 2g
ρ g 2g
(3.22)
Note-se a semelhança com a equação (3.17).
66