Capítulo 7: Escoamento em camada limite
CAPÍTULO 7
ESCOAMENTO EM CAMADA LIMITE
7.1 O CONCEITO DE CAMADA LIMITE
A existência de uma região onde a influência da tensão tangencial diminui
consoante o número de Re aumenta levou PRANDTL a considerar um tipo de
escoamento especial junto às superfícies, ou em zonas de separação de dois
fluidos. De acordo com a hipótese de Prandtl, os efeitos do atrito do fluido para
grandes números de Reynolds estão limitados a uma fina camada junto à
superfície do corpo, daí o nome de camada limite. Além disso, não há variação
significativa da pressão através da camada limite, isto é, a pressão na camada
limite é a mesma pressão que no escoamento invíscido exterior.
A teoria de Prandtl simplifica o tratamento analítico dos escoamentos viscosos. A
pressão, por exemplo, pode ser obtida experimentalmente ou a partir da teoria
dos escoamentos invíscidos. Portanto, as únicas incógnitas passam a ser as
componentes da velocidade.
A figura 7.1 representa a
camada limite sobre
uma placa plana. A
espessura da camada
limite,
δ,
toma-se
arbitrariamente como a
distância à placa onde a
velocidade atinge 99%
da
velocidade
não
perturbada. Pode-se ver
como a espessura da
camada limite aumenta
com a distância x a partir
Figura 7.1: Camada limite sobre um plano.
do bordo de ataque. Á
pequena distância x, o
escoamento dentro da camada limite é laminar, pelo que se chama camada
148
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
limite laminar. Para maiores valores de x, aparece a região de transição entre o
escoamento laminar e o turbulento, dentro da camada limite. Finalmente, a partir
de um dado valor de x, a camada limite é sempre turbulenta. Nesta região, em
que a camada limite é turbulenta, existe uma finíssima camada de fluido
chamada sub-camada laminar, onde o escoamento continua a ser laminar e
existem grandes gradientes de velocidade.
Para conhecer qual o tipo de camada limite, recorre-se ao Re, baseado na
distância x, a partir do bordo de ataque da placa (valores experimentais)
Re x =
ρvx
µ
⎧< 2x10 5 : camada limite laminar
⎪⎪
6
5
⎨2x10 a 3x10 : camada limite laminar a turbulenta
⎪
6
⎪⎩> 3x10 : camada limite turbulenta
(7.1)
7.2 EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE
O conceito de uma fina camada limite quando os números de Reynolds são
elevados leva a importantes simplificações das equações de Navier-Stokes.
v∞
y
δ
v∞
vx
x
Figura 7.2: Espessura da camada limite turbulenta.
As equações de Navier-Stokes para um escoamento incompressível, bidimensional sobre uma placa plana são:
⎛ ∂2vx ∂2vx ⎞
∂v x
∂v
∂v
1 ∂P
⎟
+ vx x + vy x = −
+ υ⎜
+
∂t
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y 2 ⎠
⎝ ∂x 2
∂v y
∂t
+ vx
∂v y
∂x
+ vy
∂v y
∂y
=−
⎛ ∂2vy ∂2vy ⎞
1 ∂P
⎟.
+ υ⎜⎜
+
2
2 ⎟
ρ ∂y
∂
∂
x
y
⎝
⎠
(7.2)
(7.3)
Com base na observação experimental de que δ é pequeno quando comparado
com x, podem-se simplificar estas equações. Para isso, usam-se as seguintes
variáveis características: v∞ e x. Essas variáveis relacionam-se, respectivamente,
149
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
com a escala de velocidades e a escala de comprimentos e foram escolhidas de
modo a que as derivadas ∂vx/∂x sejam de ordem (1) na região da camada limite.
A componente da velocidade vx varia de zero em y = 0 a v∞ em y = δ. Então,
∂v x
x = ϑ (1) ;
y = ϑ (δ ) ;
= ϑ (1) ;
∂x
∂2vx
∂2vx
⎛ 1⎞
ϑ
;
=
= ϑ (1)
⎜
⎟
⎝ δ2 ⎠
∂y 2
∂x 2
v x = ϑ (1) ;
∂v x
⎛ 1⎞
=ϑ⎜ ⎟ ;
⎝ δ⎠
∂y
Da equação da continuidade
∂v x ∂v y
+
=0
∂x
∂y
conclui-se que
∂v y
não pode ser de ordem superior a (1), visto que a derivada
∂y
parcial ∂vx/∂x = ϑ (1), para que a equação esteja correcta; como y = ϑ (δ), para
que ∂vy/∂y = ϑ (1) terá que ser vy = ϑ (δ). Então,
v y = ϑ (δ ) ;
∂v y
∂v y
∂2vy
∂x
∂y
= ϑ (δ ) ;
∂x 2
∂2vy
= ϑ (1) ;
∂y 2
⎛ 1⎞
=ϑ⎜ ⎟ ;
⎝ δ⎠
= ϑ (δ ) .
Considerando estas ordens de grandeza nas equações (7.2) e (7.3):
⎛ ∂2vx ∂2vx ⎞
∂v x
∂v
∂v
1 ∂P
⎟
+ vx x + vy x = −
+ υ⎜
+
∂t
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y 2 ⎠
⎝ ∂x 2
{
(1)
{{
(1) (1)
{{
{
(δ ) ⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ δ⎠
(1)
123
⎛ 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ δ2 ⎠
Nestas equações todos os termos são de ordem (1), com excepção de ∂2vx/∂y2
que é da ordem (1/δ2), logo bastante grande comparado com ∂2vx/∂x2. Assim, a
equação fica:
∂v x
∂v
∂v
∂2vx
1 ∂P
+ vx x + vy x = −
+υ
.
∂t
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y 2
(7.4)
Mas, para que a equação esteja correcta, o termo υ(∂2vx/∂y2) terá que ser da
mesma ordem de grandeza que os outros, isto é
( )
υ = ϑ δ2
⇒
δ≈
υ
(7.5)
150
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
Relativamente à equação (7.3):
∂v y
∂t
{
(δ )
+ vx
∂v y
∂x
1 ∂P
=−
+υ
∂y
ρ ∂y
+ vy
{ {
(1)
∂v y
(δ )
{ {
(δ )
⎛ ∂2vy ∂2vy ⎞
⎜
⎟
⎜ ∂x 2 + ∂y 2 ⎟
⎝
⎠
{ 123 123
⎛ 1⎞
δ 2 (δ )
⎜
⎟
(1)
⎜ 2⎟
⎝δ ⎠
onde todos os termos são de ordem (δ), ou inferiores. Portanto
1 ∂P
= ϑ (δ )
ρ ∂y
⇒
∂P
=0
∂y
(7.6)
o que mostra ser a pressão constante na camada limite segundo y e todos os
termos da equação se podem desprezar em comparação com os da equação
(7.2).
De (7.6) e da equação de Bernoulli aplicada ao escoamento exterior, resulta
dv ∞
dP
= ρv ∞
dx
dx
dv ∞
1 dP
= v∞
.
dx
ρ dx
⇒
Substituindo em (7.2), tem-se finalmente
∂v x
∂v
∂v
dv ∞
∂2vx
+ vx x + vy x = v∞
+υ
∂t
∂x
∂y
dx
∂y 2
(7.7)
que, com a equação da continuidade, formam as chamadas equações de Prandtl
da camada limite, cuja complexidade relativamente às de Navier-Stokes, foi
consideravelmente reduzida.
7.3 SOLUÇÃO APROXIMADA PARA A CAMADA LIMITE LAMINAR
Como o perfil de velocidade tende assimptoticamente para a velocidade do
escoamento principal, existe uma certa dificuldade em especificar a espessura
da camada limite. Ou seja, quando y tende para δ, então vx tende para v∞ e
∂vx/∂y tende para 0. Assim, aparece a espessura de deslocamento, δ*, definida
por (ver figura 7.3)
δ* =
1
v∞
∞
∞⎛
vx ⎞
∫0 ( v ∞ − v x ) dy = ∫0 ⎜⎝ 1 − v ∞ ⎟⎠ dy
cujo significado físico representa a distância a que deveria um escoamento
uniforme ser deslocado da parede, de modo a dar o mesmo caudal volúmico que
o escoamento real.
151
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
Do mesmo modo, aparece a espessura da quantidade de movimento, θ,
θ=
1
v ∞2
∞
∞
∫0 ( v ∞ − v x )v x dy = ∫0
vx ⎛
vx ⎞
⎜1−
⎟ dy
v∞ ⎝
v∞ ⎠
que representa a diminuição da quantidade de movimento devido à existência da
camada limite, comparativamente à que teria o escoamento invíscido.
v∞
v∞
δ
δ*
Figura 7.3: Representação esquemática da espessura do deslocamento.
Um caso importante é o da camada limite laminar, que se desenvolve sobre uma
placa plana, em escoamento permanente e com gradiente de pressão nulo na
direcção x.
As equações a serem resolvidas serão então,
vx
∂v x
∂v
∂2vx
+ vy x = υ
∂x
∂y
∂y 2
(7.8a)
∂v x ∂v y
+
=0
∂y
∂x
(7.8b)
com as condições fronteira: para y = 0 ⇒ vx = vy = 0 e para y = ∞ ⇒ vx = v∞ .
Os métodos matemáticos para o estudo destas equações são bastante
complicados, mas von Kármán obteve resultados muito úteis recorrendo a
métodos aproximados (equação da quantidade de movimento).
Neste parágrafo, ir-se-ão apenas apresentar os resultados, sem se cuidar da sua
demonstração, para o caso da camada limite laminar sobre uma placa e com
gradiente de pressão nulo, solução de BLASIUS. Os resultados mais importantes
obtidos por Blasius foram:
152
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
• a espessura da camada limite, δ
δ
≈
x
5
Re x
;
(7.9)
• a espessura de deslocamento, δ*
δ * 1721
,
=
;
x
Re x
(7.10)
• a espessura de quantidade de movimento, θ
θ 0,664
=
;
x
Re x
(7.11)
• o coeficiente de atrito de arrasto, Cf, da equação (6.2) será
Cf x =
0,664
(7.12)
Re x
onde x significa que é um coeficiente local; normalmente, o que interessa é saber
o coeficiente de arrasto total para todo o comprimento L da placa
CfL =
1328
,
ReL
(7.13)
7.4 ESCOAMENTO COM GRADIENTE DE PRESSÃO
Ir-se-á estudar o efeito da variação da pressão na direcção do escoamento. Para
isso, considere-se o escoamento sobre uma superfície curva, de grande raio de
curvatura quando comparado com a espessura da camada limite. À medida que
o fluido é deflectido sobre a superfície, é acelerado até ao ponto C (ver figura
7.4), onde a velocidade fora da camada limite atinge o seu máximo. Neste ponto,
a pressão atinge o valor mínimo.
153
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
Figura 7.4: Escoamento sobre uma superfície curva.
De A a C, o gradiente de velocidade é positivo, ∂vx/∂y > 0, e o gradiente de
pressão é negativo, ∂P/∂x < 0, o que significa que a força de pressão actua no
elemento de fluido na camada limite de acordo com o sentido do escoamento.
Consequentemente, o gradiente de pressão é favorável: contraria o efeito de
“retardamento” da superfície no fluido e, portanto, a taxa de crescimento da
camada limite é inferior à que seria sobre uma placa plana com gradiente de
pressão nulo (para o mesmo número de Reynolds na direcção x).
A partir de C, no entanto, a pressão aumenta, implicando que a força de pressão
que actua no elemento de fluido na camada limite seja oposta à direcção do
escoamento. Apesar do gradiente de pressão ser praticamente constante, na
secção transversal do escoamento, o seu efeito sobre o fluido é mais significativo
junto à superfície. Este efeito resulta do fluido aí ter uma quantidade de
movimento menor do que o fluido mais afastado. Quando a sua quantidade de
movimento é ainda mais reduzida pela força de pressão, o fluido junto à parede
é rapidamente travado e fica em repouso. O valor de ∂vx/∂y é zero, à superfície,
no ponto D.
A jusante, por exemplo em E, o escoamento junto à superfície passou a estar
invertido, o que significa que o fluido já não consegue seguir o contorno da
superfície, separando-se dela. Esta separação, antes do fim da superfície,
chama-se normalmente descolamento ou separação e ocorre no ponto de
∂v
= 0 . É causada pela redução da velocidade
separação, para o qual ⎛⎜ x ⎞⎟
∂y⎠ y =0
⎝
na camada limite, combinada com o gradiente de pressão positivo e diz-se que o
gradiente de pressão é adverso, ou seja, que se opõe ao escoamento. A
separação apenas pode ocorrer quando existir um gradiente de pressão adverso.
Como consequência da separação e do gradiente de pressão adverso passa a
existir um escoamento inverso separado do escoamento normal pela linha de
corrente de descolamento.
Como resultado do escoamento inverso, formam-se grandes turbilhões
irregulares, nos quais grande parte da energia é dissipada na forma de calor
(figura 7.5b). Esta região de escoamento irregular e perturbado estende-se por
uma certa distância a jusante; como a energia dos turbilhões é dissipada em
154
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
calor, a pressão nessa zona permanece praticamente constante e igual à do
ponto de descolamento.
Num escoamento ideal (figura 7.5a) o descolamento nunca ocorrerá, mesmo
com um gradiente de pressão positivo, porque não há atrito para produzir uma
camada limite sobre a superfície.
Figura 7.5: Escoamento viscoso em torno de cilindro.
Não é necessário, que a superfície seja curva para produzir um gradiente de
pressão desfavorável. Um exemplo é o difusor. Para tal, estude-se o
escoamento completo numa conduta constituída por um convergente, a garganta
e um difusor (ou divergente):
Figura 7.6: Formação da camada limite numa sequência de
convergente, garganta e difusor.
155
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
c convergente:
Š a pressão e a área diminuem;
Š a velocidade aumenta;
Š o gradiente é favorável.
d garganta:
Š a pressão e a área são constantes;
Š a velocidade é constante;
Š o gradiente é nulo.
e difusor:
Š a pressão e a área aumentam;
Š a velocidade diminui;
Š o gradiente é adverso (separação).
Para evitar a separação num difusor, o ângulo de divergência entre as paredes
deverá ser muito pequeno (< 7º). Portanto, se o ângulo do difusor for muito
grande, o gradiente adverso de pressão torna-se excessivo e a camada limite
separa-se, numa ou em ambas as paredes, passando a haver escoamento
inverso, o que aumenta as perdas e provoca uma baixa recuperação de pressão.
Actualmente, a teoria da camada limite apenas permite o cálculo até ao ponto de
separação, a partir do qual deixa de ser válida.
7.5 OUTRAS RELAÇÕES EMPÍRICAS PARA A CAMADA LIMITE
Foi verificado experimentalmente que a lei do perfil de potência (equação 6.26)
também se aplicava às camadas limites turbulentas.
vx
vx
max
⎛ y⎞
=⎜ ⎟
⎝ δ⎠
1
n
(7.14)
sobre placas planas e lisas, n = 7 e Rex ≈ 107. Neste caso, e supondo que a
camada limite se desenvolve turbulenta desde o bordo de ataque da placa, x = 0,
pode-se demonstrar que a sua espessura é
δ
0,376
=
1
x
(Re x ) 5
(7.15)
o que origina uma espessura de deslocamento e uma espessura de quantidade
de movimento, respectivamente de
156
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
δ* =
δ
8
θ=
7δ
72
(7.16)
Uma outra relação extremamente útil é a relação de Blasius para a tensão
tangencial. Para escoamentos em tubos lisos com número de Reynolds até 105,
e placas planas, com número de Reynolds até 107, a tensão tangencial na
parede, num escoamento turbulento, é dada por
⎛
⎞
υ
τ 0 = 0,0225 ρv x2 max ⎜
⎟
⎝ v x max ⋅ y max ⎠
1
4
(7.17)
onde ymax = R em tubos e ymax = δ em placas planas.
Com base nesta equação (7.17), pode-se calcular o coeficiente de arrasto local
para uma placa plana
Cf x =
0,0576
1
.
(7.18)
Re x 5
No que se refere às equações que se aplicam à camada limite, vários são os
comentários que é indispensável fazer. Primeiro, estão limitadas a valores de
Rex inferiores a 107; segundo, aplicam-se apenas a placas planas lisas. E,
finalmente, a hipótese que se fez ao supôr-se a camada limite turbulenta desde o
bordo de ataque da placa. Como se sabe, a camada limite é inicialmente laminar
começando a transição para turbulenta em Rex ≈ 2x105. No entanto, mantém-se
a hipótese da camada limite completamente turbulenta devido à simplicidade que
representa. Note-se que esta suposição introduz certos erros quando a camada
limite não é completamente turbulenta.
Figura 7.7: Comparação dos perfis de velocidade nas camadas
limite laminar e turbulenta, Re = 5x105
157
Capítulo 7: Escoamento em camada limite
Pode-se comparar o comportamento da camada limite turbulenta com a laminar
usando as equações (7.9), (7.15) e (7.18). Para o mesmo número de Reynolds,
a camada limite turbulenta é mais espessa e está associada a um maior
coeficiente de atrito. Apesar de parecer que seria preferível uma camada limite
laminar a uma turbulenta, normalmente o inverso é que é verdadeiro. Na maior
parte dos casos, em engenharia, interessa ter uma camada limite turbulenta
porque resiste melhor do que uma camada laminar.
Na figura 7.7, comparam-se os perfis de velocidade de uma camada limite
laminar com a turbulenta. Pode-se ver que a camada limite turbulenta tem maior
velocidade média, e portanto maior quantidade de movimento e maior energia do
que a camada limite laminar. Na presença de um gradiente de pressão adverso,
a maior quantidade de movimento e a maior energia permitem à camada limite
turbulenta permanecer não separada durante uma maior distância do que
permanecerá uma camada limite laminar em caso idêntico.
Note-se que o número de Reynolds continua a ser o principal parâmetro para
prever a transição!
158