\V-
L
Ri
$
oV
I
Tópicos de Matemática 1
IME-ITA-Olimpíadas
Volume 1
Produtos Notáveis,
Fatorações e Desigualdades
Carlos Â. Gomes
José Maria Gomes
I
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Olimpíadas - ITA - IME
Volume 01
Produtos Notáveis, Fatorações e Desigualdades
Carlos A. Gomes
José Maria Gomes
Os autores
Carlos A. Gomes
O professor Carlos A. Gomes é bacharel e mestrando em
Matemática pela UFRN, na área de probabilidade, além de vários cursos
realizados em várias instituições de ensino superior no Brasil, como UFPE,
UFPB, IMPA-RJ, é professor do DMAT-UFRN, além a sua larga
experiência em turmas de cursinhos pré-vestibulares nas disciplinas de
Física e Matemática tendo passado pelas mais reconhecidas instituições
deste nível de ensino ,em Natal/RN e João Pessoa/PB, tais como Colégio
e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CEI, Hipócrates Colégio e
Curso, Objetivo vestibulares, Anglo vestibulares, entre outras. É membro
da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática, é autor de vários artigos
sobre Matemática elementar em publicações especializadas como a RPM
e Eureka e nos últimos anos tem se dedicado e se especializado nas
olimpíadas de Matemática.
José Maria Gomes
O professor José Maria Gomes é Licenciado em Matemática pela
UFRN e possui uma larga experiência em turmas de pré-vestibulares
tendo passado pelas mais reconhecidas instituições deste nivel de ensino,
em Natal/RN, tais como Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e
Curso, CIC, Maristela, entre outras. Nos últimos tempos têm se dedicado
as olimpíadas de Matemática, treinando, orientando alunos e elaborando
materiais didáticos para este propósito.
Apresentação
Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o
crescimento do número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas
excepcionais escolas superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é
fato o enorme crescimento do movimento das olimpíadas de Matemática
em todo o mundo e em particular no Brasil.
A SBM - Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979
a OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o
governo federal lançou a OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática
das Escolas Públicas, programa que teve na sua última versão a
participação de mais de 17 milhões de alunos nos quatro cantos do nosso
pais. Neste contexto é bastante natural que surja a necessidade da
elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que sirvam
de apoio para a preparação dos alunos para estas competições.
Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem
trazendo artigos, provas anteriores e problemas propostos resolvidos.
Além disso, foi colocado no ar o excelente site da OBMEP, entre muitos
outros, onde são encontrados bancos de questões, livros, provas, enfim,
muitos materiais de excelente qualidade que com certeza têm auxiliado
muitos alunos nas suas preparações para as competições acima citadas.
Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para
esse tema vem crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso
pais. Dentro deste panorama, nós autores resolvemos criar a coleção
"•TÓPICOS DE MATEMÁTICA - OLIMPÍADAS - ITA - IME” que consiste
numa coleção de livros com resumos teóricos que apresentam um nível
adequado e muitos problemas resolvidos que foram compilados ao longo
de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos livros consultados
pelos autores.
A idéia central do nosso trabalho é produzir uma obra que
concentre num só lugar vários problemas clássicos e interessantes e suas
respectivas soluções detalhadas, um material precioso ao qual um aluno
iniciante de outra forma só teria acesso caso consultasse várias fontes
relacionadas. Nossa obra surge, portanto, como uma excelente ferramenta
que permite ao aluno iniciante obter um grande salto de conhecimento
num curto intervalo de tempo.
Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber:
Volume 01 - produtos notáveis, fatorações e desigualdades.
Volume 02 - indução matemática e teoria elementar dos números .
Volume 03 - geometria e trigometria.
Volume 04 - funções, equações funcionais .sequências e séries.
Volume 05 - combinatòria e probabilidade.
Volume 06 - números complexos, polinõmios e equações algébricas.
Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito,
diretor da editora Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e
aproveitar a oportunidade de parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar
novas obras quanto por reeditar obras antigas cujo acesso estava cada
vez mais raras para a presente e a futura geração atual de alunos com
aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que procuram obter vagas
para as respeitadas instituições militares onde se destacam o IME e o ITA.
Os leitores que quiserem fazer contato com os autores
para
criticas,
sugestões
bem
para
comunicar
alguma
errata
eventualmente encontrada na presente obra, podem fazê-lo pelo email
cgomesmat@yahoo.com.br
Carlos A. Gomes.
José Maria Gomes.
Natal/RN, 04 de Fevereiro de 2010
Prefácio
A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro
mais uma excelente coleção de Matemática para o segmento de
preparação para os vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas
de Ciências exatas nacionais e internacionais.
Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes
e José Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros
com uma obra prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto
de conhecimento na Matemática Elementar um curto intervalo de tempo.
Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a
presente obra fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas
clássicos de Matemática Elementar de alto nível, complementados, ao final
do livro, com as resoluções detalhadas de todos os problemas, o que é
permite um estudo eficaz e produtivo em especial para os leitores
autodidatas.
Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na
presente obra todo um mundo de possibilidades para resolução de
problemas aparentemente terríveis fazendo uso de ferramentas
elementares como fatoração, produtos notáveis e desigualdade das
médias. É de tirar o fôlego a cada página I
Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais
uma vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e
da qualidade dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e
professores em todo Brasil.
Prof. Renato Brito
Fortaleza, 09 de Fevereiro de 2010
Dedicatória
Dedicamos este trabalho a dois grandes amigos e colaboradores
Os professores Benedito Tadeu V. Freire e Paulo de Sousa Sobrinho
(Paulinho)
Carlos A. Gomes
José Maria Gomes
índice
Capitulo 1. Produtos notáveis e fatoração
I
II
Resumo teórico
Questões..........
Capitulo 2. Desigualdades elementares
I
II
Resumo teórico
Questões..........
13
15
15
27
29
30
Capitulo 3. Resoluções - Produtos notáveis e fatoração
41
Capitulo 4. Resoluções - Desigualdades
111
Apêndice - Polinômios simétricos
177
Polinômios simétricos
Exemplos resolvidos .
Problemas Propostos
Resoluções.................
177
178
183
184
Apêndice - Demonstrações - Desigualdades elementares
194
I
II
III
IV
I
—
II —
III —
IV —
V —
VI —
VII—
Bibliografia
Desigualdade de Bernoulli..................................................
Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica
Desigualdade entre as médias harmônica e geométrica
Desigualdade entre as médias aritmética e quadrática .
Um lema poderoso...............................................................
Desigualdade de Cauchy-Schwarz ..................................
Desigualdade de Young......................................................
194
195
197
198
199
201
.202
204
Capítulo 1
Produtos notáveis e fatoração
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
15
Produtos notáveis e fatoração
Resumo teórico
PRODUTOS NOTÁVEIS
v
(a + b)2 =a2+2ab + b2
v
(a-b)2 =a2-2ab + b2
v
(a + b + c)2 =a2+b2 + c2 +2(ab + ac + bc)
✓
(a+b)3 = a3+3a2b + 3ab2+b3
v
(a-b)3 =a3-3a2b + 3ab2 -b3
FATORAÇÕES USUAIS
a-x + ay = a(x + y)
v
a2-b2 =(a + b)-(a-b)
s
a3 - b3 = (a - b) • (a2 + ab + b2 j
v
a3+b3 =(a + b)-(a2-ab + b2j
v"
Se a e p são raízes da
ax2+bx + c = a.(x-a)(x-p).
equação
ax2 + bx + c = 0,
Questões Propostas
01) Fatore:
a) x2 - 7yx + 12y2
b) x2- 3yx — 4x + 12y
c) x4-20x2 + 4
d) x4-4y4
e) x4 + y4
f) xn - yn para n inteiro positivo
g) xn + yn para n ímpar positivo
02) Qual o valor das somas
S = 267-455 + 337-733 + 267 -545 + 663 733
então
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
16
03) Qual o valor de 7l234562 +123456 + 123457 ?
04) Qual o valor de 20082 - 20072 + 20062 - 20052 +... + 22 -12 ?
05) Qual o valor da expressão 20012 - 1999 ■ 2001 + 992 • 2 ?
06) Determine o valor das expressões abaixo:
a)
5932-6001-69
5932 + 6001-5931
(20042 -2010)-(20042 + 4008 -3)-(2005)
b)
(2001) - (2003) ■ (2006) ■ (2007)
07) (Eotvõs-1899) Mostre que
divisível por 1897.
2903n - 803" - 464n + 261n
é sempre
08)
a) Se a + b + c = 0 mostre que a3 + b3 + c3 = 3abc.
b) Qual o valor de
40113 -20063 -20053
?
(4011)-(2006)-(2005)
09) (AIME) Simplifique
(75 + 76 + V7 )(V5 + 7ê - 77)(75 - 7ê + 7?)(-75 + 76 + 77)
10) Mostre que
1 + x + x2 + x3 + ... + X1023 = (1 + x)(l + x2)(l + x4)-...-(l + x256)(l + x:l512)
11) (AIME-87) Calcule
(l04 +324)-(224 +324)-(344 + 324) ■ (464 + 324) • (584 + 324)
(44 + 324)(164 + 324)-(284 + 324)-(404 + 324)-(524 + 324)
12) Fatore:
a) 3a2-2ab-b2
b) a2 -6a-b2 +2b + 8
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
17
13) Se x + y + xy = 34 , determine o valor de x + y sabendo que x e y são
inteiros positivos.
14) Dado que
4x - y
4x + 2y
2
4x + y
—, determine o valor de
4x - 2y
5
15) Fatore e simplifique, o quanto possível, a expressão
6a3 + 18a2 -24a-72
9a2 + 9a-54
1 1
16) Se — + — = 10 e x + y = 2, determine o valor de xy.
x y
17) Se x + y = xy = 3, determine o valor de x3 + y3.
18) Se a + b = 1 e a2 + b2 = 2 , determine o valor de a3 + b3.
19) Se
(
l
n2
x+—
xj
3 1
= 3 , determine x + x3 '
20) Determine a6 +
sabendo que a2
1
21) Se x > 0 e x + —
x
5 , calcule x5
x5 '
22) Se Vx + -=■ = 3 , determine x — .
Vx
x
23) Determine x2 + y2 com x, y e N e xy + x + y = 71 e x2y + xy2 = 880.
24) Determine o valor de x2 + y2 , sabendo que xy = 6 e que
x2y + xy2 + x + y = 63 .
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
18
25) Sejam x e y números reais tais que
x3 =13x + 3y
, , ,|
, com x * y .
y3 =3x + 13y
1111
’2)'2
Determine o valor de (x2-y:
26) Determine a soma de todos os números reais x e y tais que
(1-x)2+(x-y)2 + y2 = 1.
27) Se a e b são números reais tais que 1 < a < b < 9 , qual o menor valor
a+b
que ------ pode assumir?
ab
28)
a) Determine x, y e z tais que (x -1)2 + (y - 2)2
(z-3)2=0..
b) Determine x e y tais que x2+y2-2x-4y+ 5
0.
29) Resolva, no universo dos números reais, a equação
(x-3)3 +(y-7)3 =(2x-10)3
30) Em R, resolva a equação x2+Vx-18 = 0.
a b
31) Se ab = a - b , determine o valor da expressão — + — ab .
b
1
D2
1111
1 + —+ — + — + ... + -x- + ... = — . Acreditando
22 32 42
n2
6
1
111
nisto calcule o valor da soma S = 1 + —+ — + — + + (2n-1)2+'"
32 52 72
32) Demonstra-se
que
33) Determine n e N tal que 211 +28 +2n seja um quadrado perfeito.
34) Se a3 - b3 = 24 e a - b = 2, determine (a + b)2 .
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
35) Resolva, em C,
x3-8 = 0.
conjunto dos números complexos
19
a equação
36) Resolva, em C, conjunto dos números complexos a equação
x3 + x2 + x + 1 = 0 .
37) Calcule
2-----------2-------
1
1
1
8
2-...
b>/c
Expressando a sua resposta na forma
, com a, b, c e d
d
inteiros positivos.
38) Verifique que a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc <=> a = b = c
2a
b+ c+ d+
a + 2b+ c+ d+
39) (AIME) Resolva o sistema • a+ b + 2c+ d+
a+ b+ c + 2d+
e=6
e 12
e = 24
e = 48
a+ b+ c+ d + 2e = 96
40) (Torneio das cidades) Calcule:
1
1
1
2 +--------1
3 +---1
4+
1
1+
1
" + 2005
1 +--------3+ —
1
1
1
4+“?^
■"+ 2005
41) Determine a e b naturais tais que 2'12 a
2b
55.
42) Sabendo que a + b = 6 , encontre o valor de
a32-b32
(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a16 + b16)
+ 12b
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
20
43) Se a e b são inteiro consecutivos, mostre que a2 + b2 + (ab)2 é um
quadrado perfeito.
44) Qual o maior valor de n, n e N para que n3 +100 seja divisível por
n + 10.
45) Calcule o valor de
A = ^(1000000) ■ (1000001) ■ (1000002) • (1000003) +1 .
46) Se a, b e c são números reais tais que a2 + 2b = 7, b2 + 4c = -7
e
c2 + 6a = -14 . Determine o valor de a2 + b2 + c2.
47) Se x e y são números reais tais que x + y + xy = 10 e x2+y’2 =40.
Determine o valor de x + y.
48)
I.
Qual das frações abaixo é a maior?
25.038.876.541
25.038.876.543
25.038.876.545
c)
25.038.876.547
a)
25.038.876.543
25.038.876.545
25.038.876.547
d)
25.038.876.549
b)
II. Qual das frações abaixo é a menor?
250.386.765.412
250.384.765.412
250.384.765.412
c)
250.383.765.412
a)
250.386.765.412
250.385.765.412
250.385.765.412
d)
250.384.765.412
b)
49) Simplifique:
1
1
____________
1
a) (a-b)(a-c) + (b-a)(b-c) + (c-a)(c-b)
a3
+
b3
c3
b) (a - b)(a - c) + (b - a)(b - c) + (c -a)(c - b)
a+b
50) Se 0 < a < b e a2 + b2 = 6ab, determine o valor de —— .
a -b
i
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
51) Simplifique a expressão A
21
a/4 + 4^2 + 74+^4- 4^2 + t[Ã .
52) (OBM) Se a é uma das raízes da equação x2+x-1 = 0, determine o
valor de a5 - 5a .
53)
a) Mostre que
(a + b + c)3 + 3abc = a3 + b3 + c3 + (a
b + c)(ab + ac + bc)
b) Mostre que (a + b + c)3 -a3 -b3 -c3 = 3(.
b)(a + c)(b + c)
54)
a) Efetue o produto
(x + 1)-(x2+l)(x4+ l)-(x8 + l)(x16 + l)(x:32 + 1)-(X':64 + l)
b) Racionalize
______________________ 1__________ ____
___
(6í/2 +1) • (3^2 +1) • (1S/2 +1) ■ (V2 +1) • (í/2 +1) • (72 +1)
55) Sejam x, y e z números reais tais que x + y + z = 0ex + y, x + z,
x3
[
y3
t
z3
y + z í 0, calcule o valor da expressão
(y + z)3 (x + z)3 (x + y)3
56) Resolva o sistema de equações
3x-y
=3
x2 + y2
y-
x + 3y
=0
x2 + y2
57) Encontre todos os pares de inteiros x e y tais que x3 + y3 = (x + y)2.
58) Fatore a expressão
30 (a2 + b2 + c2 + d2) + 68ab - 75ac -156ad -61bc -100bd + 87cd .
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
22
59) Sejam
x,
y
e
z
números
complexos
tais
que
x + y + z = 2,
x2+y2 + z2 = 3 e xyz = 4 . Calcule o valor de
S=
1
+-1—+
1
.
xy + z-1 yz + x-1 zx + y-1
60) Resolva o sistema
x+y+z = 3
x2 + y2 + z2 =3
x3 +y3 +z3 =3
61) Se a, b, c e d são números reais mostre que
(a2 +b2)(c2 +d2) = (ac + bd)2 +(ad-bc)2
62) Se a, p e y são as raízes da equação x3+5x + 8 = 0 determine o
valor de a3 +p3 +y3 .
63) Sabendo que a, b, c, d e e são números reais tais que
ía +b + c + d + e = 8
[a2 + b2 + c2 + d2 + e2 =16
Determine o valor mínimo de e.
64) Sejam x,, x2
xn números inteiros tais que -1 < xs < 2, i = 1, 2, 3,
.... n, x4+ x2 + ... + xn = 19 e x,2+ x22 + ... + xn2 = 99 . Sendo m e M os
valores máximo e mínimo da expressão x13+x23 + ... + xn3, determine
M.
o valor de —
m
65) Se x, y e z são números reais tais que x + y + z = 1, mostre que
x2 +y2 +z2 > - .
3
66) Resolva a equação (x-5)(x-7)(
6)(x + 4) = 504.
67) Determine os racionais a, b e c tais que ^/V2 -1 = líã + Vb + l/c .
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
23
68) Qual o valor numérico da expressão abaixo para x < -3?
A = 79 -6x + x2 + V9 + 6x + x2
69) Encontre todos os números reais x tais que 2X + 3X - 4X + 6X - 9X = 1.
70) Encontre todos os números reis x tais que
8X +27x
12x +18x
7
6
71) (AMC) Se xy = a, xz = b e yz = c, verifique que
(ab)2 +(ac)2 +(bc)2
x2 + y2 +z2 =
abc
72) Determine o mínimo valor da expressão xy +xz + yz sabendo que x, y
e z são números reais tais que x2 + y2 + z2 = 1.
73) Resolva a equação
(x +1995) • (x +1997) ■ (x +1999) • (x + 2001) +16 = 0
74) Se a + b + c = 0 , com a * 0, b * 0 e c * 0 determine o valor da
expressão
b
c
a
fa-b b-c c-a
a -b b-c c-a
a
b
c
75) Se a,
b,
e c são
três
inteiros
positivos,
tais
abc + ab + ac + bc + a + b + c = 1000 , calcule o valor de a + b + c .
que
76) Determine o número inteiro a para que o polinômio q(x) = x2 -x-1
seja um fator do polinômio p(x) = ax17 + bx16 +1.
77) Sabendo
que
ax + by = 2,
ax2+by2=20,
ax3 + by3 = 56
e
ax4 + by4 = 272 , determine o valor de ax5 + by5 .
78) Se a e b são as raízes da equação x2-x-5 = 0, determine o valor
de (a2 + 4b -l) ■ (b2 + 4a -1).
24
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
79) Se a e b são as raízes da equação x2 + x -1 = 0 , determine o valor de
a11 + a10b + a9b2 + a8b3 + a7b4 + a6b5 + a5b6 + a4b7 + a3b8 + a2b9 + ab10 + b11.
80) Verifique que não existem números reais x, y e z tais que
1 1 1
x+y+z=0 e —+—+—=0.
x y z
81) (Harvard) Simplifique 200^2x/ÍÍ-3x/5 • 400^89 +12^55 .
82) Se (x + 5)2 + (y -12)2 = 142 , determine o valor mínimo de x2 + y2 .
1
83) Se a, b e c são números reais não nulos tais que a + —
b
mostre que |abc| = 1.
b+l=c+ 2a ’
c
84) Quantas raízes negativas possui a equação
x4 - 5x3 - 4x2 - 7x + 4 = 0
85) (Harvard) Mostre que
x3 + 3x2 + 3x + 7 = 0 .
uma
é
raiz
da
equação
86) Determine todos os primos da forma n3 +1.
2
1
87) Determine o número de soluções de —+
x y
positivos.
1
com x e y inteiros
1998
88) Mostre que não existe um número natural de cinco algarismos abcde
que seja igual a soma dos cubos dos seus dígitos.
89) Calcule os valores de x, y, u e v que satisfazem o sistema de quatro
equações
x + 7y + 3v + 5u = 16
8x + 4y + 6v + 2u = -16
2x + 6y + 4v + 8u = 16
5x + 3y + 7v+ u = -16
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
25
90) Dado que n é um número inteiro positivo, determine o valor de n que
cumpre a seguinte igualdade
n3 -3 n3 -4
n3 + n3
n3 -5
5
4
n3 + "’+n3+n3
m+n
m2 + mn + n2
91) Se m e n são naturais tais que
3_
n3
= 169
4
determine o valor
49 '
de m + n.
92) (AMC) Sejam
12 22 32
a = —+—+—
1 3
5
10012
2001
e
„
12
22
32
3
5
7
D —------ F------- 1------- + ... +
10012
2003
Determine o inteiro mais próximo de a - b.
93) (AMC)
que
Sabendo
111
n(n +1)
‘n =
2
determine
o
valor
de
1
— + —t------- 1-... +--------F
*2
*3
^2002
94) Mostre que
1 + x + x2 +... + X,80
1 = (x54 + x27 + l)(x’8 + x9 + l)(x6 + X3 + 1)(x2 + X + l)
95) Calcule o valor de
P = (O3 - 350)(l3 -349)(23 - 248)(33 - 247)-... -(2493 -1)(3503 - o)
96) Determine o valor real de x para o qual
x-y
3-z
9 + 3z + z2
x2 + xy + y2 '
x+y
1+z
1-z + z2
x2 - xy + y2
e
26
1 - Produtos Notáveis e Fatoração
.. .
.
. 1 + 2 — = a + b + c então pelo menos um
97) Mostre que se abc = 1 e —
a b+ c
dos números a, b ou c é igual a 1.
98) Determine inteiros a e b tais que
22”
(2 + 1)(22+l](2z2 +lV2
2’
+1
99) Determine x satisfazendo x = 1 +
2a +b
1
[
1
100) Se a, b e c são raizes do polinômio p(x) = x3 +x2 -333x-1001.
Determine a3 + b3 + c3.
101) (Stanford) Sabendo que x + y + z = 3, x2 + y2 + z2 = 5 e x3 + y3 + z3 = 7,
determine o valor de x4 + y4 + z4.
Capítulo 2
Desigualdades elementares
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
29
Desigualdades elementares
Resumo teórico
Desigualdades das médias.
Sejam x,. x2, ... xn números reais positivos, definimos:
Xn2
MQ =
X?+xj +n
MA =
x1+x2+... + xn
n
(MQ = Média Quadrática)
(MA = Média Aritmética)
(MG = Média Geométrica)
MG = iyx1x2-...xn
MH =
n
1_
_1_
1
X,
x2
XN
(MH = Média Harmônica)
No capitulo 6 (Apêndice), demonstraremos que MH < MG < MA < MQ ,
onde a igualdade ocorre se, e somente se x, = x2 = ... = xn .
Consequência da desigualdade MG < MA
i. Se o produto de n números positivos for constante, a soma será
minima se todos os números forem iguais.
ii. Se a soma de n números for constante, o produto será máximo
quando todos forem iguais.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Sejam x,, x2
xn, yi, y2, ... yn números reais, então
(x,y, + x2y2 +... + xnyn)2 <(x,2 + x22 +...+ xn2)(y,2 + y22 +... + yn2)
valendo a igualdade se, somente se, — = íi.
yt
y2
Xn
Yn
30
2 - Desigualdades elementares
Lema poderoso
Se a, b, x e y são números reais ex>0ey>0, então
(a + b)2 . a2 , b2
x+ y
y
x
Observação:
O poderoso lema acima pode ser estendido Se av a2,
bv b2
an e R e
bn e R+, então é válida a desigualdade
(a1+a2+... + an)2 < a,2 + a22 +
b1+b2+... + bn
an2
b2
" b,
Ocorrendo a igualdade se, e somente se
bn
b2
b,
"■
bn
Questões Propostas
01) Se x e R e x
1
0, prove que x + — > 2 .
x
02) Para todos os valores as variáveis x, y, z e w, reais positivas. Qual é o
menor valor da expressão f (x, y, z, w) = — +
Z
03) Para x > 0. Qual o valor mínimo de y = x2
í X
04) (ITA/2002) Mostre que K + 2 + y I
ly
X
W
X
2
x
4
>C(8, 4).
24
05) Qual o valor mínimo da expressão f (x) = 6x + — , quando x > 0 ?
x2
2
2
06) Se x, y e z > 0 prove que ------ +
x+y y+z
+-l-.
9
x+y+z
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
31
07) Se x, y e z são números positivos. Qual o valor mínimo de
,
/1 1 1
(x + y + z)l- + — + — ?
y
z
08) Qual o menor valor de xy + 2xz + 3yz para valores positivos de x, y e
z tais que xyz = 48?
09) Se a, b e c são inteiros positivos que satisfazem a condição
a b c
— + — = 3 prove que abc é um cubo de um inteiro,
b c a
10) Sejam x, y, z números reais tais que xyz = 32. Qual o menor valor
da expressão x2 + 4xy + 4y2 + 2z2 ?
11) Prove que
a2 + 3
>2.
•Ja2 + 2
12) (Baltic-way) Prove que se a, b ,c e d são números reais positivos,
então temos:
a + c b + d c+a d+b
--- +
>4
a + b b + c c+d d+a
12
x
18
y
13) Qual o valor mínimo de f(x,y) = — + — + xy ?
y. Qual o menor valor de
8
f(x,y) = x +
y(x-y)
14) Se x e y são positivos e x
15) Encontre o menor valor da função definida pela lei
, x 2y 4z
f(x,y,z) = —+ —+— + 12
y
z
x
onde x, y e z são números reais positivos.
16) Encontre o valor mínimo da função definida pela lei
„
x 50 20
f(x.y) = — + — +xy
x
y
onde x e y são reais positivos.
2 - Desigualdades elementares
32
17) Encontre o menor valor da função definida pela lei
f(x) =
(x + 10)(x + 2)
x+1
18) Encontre o valor máximo da função definida pela lei
f(x,y) =
12(xy-4x-3y)
onde x e y são reais positivos.
19) Qual o valor máximo do produto x y (72-3x-4y). Para todo x e y
positivo?
20) Encontre o valor máximo de 54x2y3-(1 -x-y).
9x2sen2x + 4
21) (AIME-83) Encontre o valor mínimo de f(x) = ------------------ , com
xsenx
0<x<n.
22) Dada a equação 3x2 - 4x + k = 0 , com raizes reais. Qual o valor de k
para qual o produto das raizes da equação é máximo.
23) Sejam a, b, c e d reais positivos prove que
1 + 1 + 1 + 1Ê>
a
b
c
64
d -a+b+c+d
24) Qual o valor máximo que pode assumir a expressão
f(0) = 3sen0 + 4cos0 onde 0 < 0 < 2n
25) Para valores positivos de x, qual o menor valor de
f(x) = 5x + —+ 21
x
26) Qual o maior valor de f(x) = 2xVl2 - x2 para todos os valores de x > 0?
27) Qual o número positivo cujo quadrado excede seu cubo da maior
quantidade possível?
33
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
28) Encontre o número positivo que excede seu cubo da maior quantidade
possível.
29) Qual o menor valor de x2+12y + 10xy2 para valores positivos de x e y
satisfazendo a condição x • y = 6 .
30) Se a, b, x e y são números reais não negativos a5+b5<1 e
x5 + y5 < 1 prove que a2x3 + b2y3 < 1.
31) Se a e b são positivos prove que 8 (a4 + b4)>(a + b)4 .
32) Encontre o maior valor de x2y se x e y são números reais positivos
satisfazendo a equação 6x + 5y = 45 .
,
16
33) Qual o valor mínimo de f(x) = x +— para todos os valores positivos
x
de x?
34) Se a e b são números reais quaisquer verifique que
I|b—+ —a|1>2.
35) (Turquia-2000) Se a > 0, b>0 e c>0 prove que
(a + 3b) (b + 4c)-(c + 2a) > 60abc
36) Prove que:
a) Se a > 0, b>0 e c > 0, então (b + c)-(c + a)-(a + b) > 8abc
b) Se a > 0, b > 0, c > 0 e a + b + c=1, então
(1 W1
W1
A
--1 • --1 ■ --1 > 8.
I^a
J l^b J kc
J
37) Se x > 0, y > 0 e z > 0 prove que
X2_______ +___ y2
z2
-------- -------------------- 1-----------------------------------
(x + y)(x + z)
(y + z)(y + x)
(z + x)-(z + y)
3
4
>-
34
2 - Desigualdades elementares
38) Se x > 0, y > 0 e z > 0 prove que
1
z
—
*—+—x—
>x + 2y + 3z y + 2z + 3x z + 2x + 3y 2
39) Se a, b, x, y e z são números reais positivos, prove que
ay + bz
az + bx
ax + by
a+b
40) Se x e y são tais que 3x - y = 20 , qual o menor valor de y/x2 + y2 ?
b e c são números reais
1
1
1 >3
a2 +b2 +c2 =3 prove que
1 + ab 1 + bc + 1 + ac 2
41) (Bielorussia-99) Se a,
positivos e
42) (China-90) Quantos pontos (x, y) satisfazem a equação abaixo?
log^x3 +1 y3 +
= log x + log y
43) Se a e b são números reais positivos determine o menor valor possível
1
de f(a,b) = a +
b(a-b)
44) Para todo numero real positivo x e y, Prove que (x + y) ■ (xy +1) > 4 xy.
45) (República Tcheca-00) Sejam a, b e c números reais positivos prove
que
a
b
— >1
b + 2c + c + 2a —
a + 2b
46) Se a, b, c e d são números reais positivos cuja soma vale 1. Prove que
a2
b2
c2
d2
1 '
----------- 1-----------> — . Com a igualdade se verificando se e
a + b b + c c+d d+a 2
u
1
somente se a = b = c = d = —.
4
47) (Rússia-02) Se x, y e z são números reais positivos cuja soma vale 3.
Prove: Vx + 7y + >/zsxy + yz + zx.
35
Tópicos de Matemática - Olimpiadas - ITA - IME
48) (Novo México) Encontre o termo minimo da sequência
/7
Í96
Í8
Í9
Í96”
V6V7' \6N8’ V6
/96
fH
V9........ V 6
V95
49) Prove que a, b e c são números reais positivos então
(a2+1)(b2+1)(c2+1)>8abc
50) Prove que para todo triângulo acutângulo onde a é um dos ângulos.
Vale a relação tga + cotga > 2 .
51) (IMO-95) Se a, b e c são números reais positivos e a ■ b ■ c = 1 prove
que
1
a3(b + c)
1
>3
c3(a + b)
2
+
1
+
b3(c + a)
52) Prove que se a + b = 1, onde a e b são números positivos
t
a+—
aJ
+ b+—
l2
bjI
25
>—
2
53) Resolva o sistema-
2
x + - = 2y
x
2
y + — = 2z
y
2
z + —= 2x
z
54) Prove que se a > 0, então
55) Demonstrar que x2 + y,2
a3+b6
2
>3ab2-4 .
z2 >12 se x + y + z = 6.
56) O volume de um paralelepipedo e 216cm3 e sua área total é 216cm2.
Prove que o paralelepipedo é cubo.
57) Mostre que todo valor arbitrário a, b, ced e R* temos:
(a2 + a +1) • (b2 + b +1) • (c2 + c +1) ■ (d2 + d +1) > 81 a ■ b ■ c ■ d
2 - Desigualdades elementares
36
58) Mostre que para todo a, bece R+vale a desigualdade:
1 + 1 + 1 >
9
1 + a 1 + b 1 + c~3 + a + b + c
1
59) Mostre que 2x + 4y = 1 para todo x, y e K então x2 + y2 > — .
20
60) Mostre que para números reais x, y, z temos:
(x
y
zV
x2
l<2
3 6j
2
Zy2
33
z2
6
61) Mostre que para qualquer valor de a, b e c e IR*.
ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) > 6abc
62) Se x e y são tais que 3x - y = 20, qual o menor valor de Jx2 + y2.
63) Se
> a2> 0, .... an > 0 mostre que:
an
n
a1 + a2 + --- + an-1
n^í
at+a2
a2+a3+... + an
a3 + a4 +... + an + a-.
64) Se a >0, b>0, c> 0 ed > 0, prove que:
abc
b+c+d a+c+d a+b+d
d
4
>a+b+c
3
65) (Cone Sul) Se a > 0, b > 0 e c > 0 prove que:
a
b
c
3
------------- p----------- -j- ----------- > —
b+c a+c a+b
2
66) Sejam x e y números positivos e x.y = 1 calcule o valor mínimo de
1
1
x4 + 4,y4 '
67) Sabendo que x, y e z são números reais mostre que
x2y2 + x2z2 + y2z2
> x2yz + xy2z + xyz2.
37
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
68) Mostre que se a > 0 então
a4 +9
10a
_4
5
mostre que (ab + cd )^—+ ^-^>
69) Se a, b, c e d e
70) Se a, b e R* mostre que 2b(1 + a2) + 4a(1 + b2) > 12 ab.
71) Se a e b e K* mostre que a2 + b +
+ Vb (a^/ãb - 4a) > 0 .
72) Se x, y e z, são números reais positivos ex + y + z=1. Determine o
14 9
valor mínimo de — + — + — .
x
y
z
73) Mostre que sea e Ut* então
2a2+1
>/4a2 +1
> 1.
74) (Gazeta Matemática) Se a, b e c são números reais positivos e abc = 1
prove que:
b+c c+a a+b
■
— +—=- + ■
Ja
Jb
Jc
>
75) Prove que se a, b e c são números reais tais que a>1, b > 1 e c > 1,
então
9
iogcb + iogac + i°gba >--------2a+b+c
b+c
c+a
a+b
76) Se x, y e z são números reais positivos. Prove que:
2
z
x
z
z
x
y
+
+ z ^/xy-z
X
y ^/x-y-z
3/x-yz
2
77) Mostre que para a, b e c reais positivos temos que
(a2b + b2c + c2a)(ab2 + bc2 + ca2) > 9 a2b2c2
78) Se 0 < x < 1 qual o valor máximo de f(x) = x ■ -/l- x2 .
>12
2 - Desigualdades elementares
38
79) Mostre que se a e p são ângulos do primeiro quadrante, então
( cos3 a
I cosp
sen3a
senp
■cos(a - p) > 1
80) Se x3 -12x2 + ax-64 =0 tem raízes reais não negativas. Encontre a.
81) Se x e y são números reais tais que
x-7^7 + yji-y2 = 1.
,2
Prove que x2 + y2 = 1.
82) Sejam x > 0 e y > 0 números reais tais que x + y = 2 mostre que
xy < 1.
83) (AMC-modificado) Se a, m e c são inteiros não negativos tais que
a + m + c = 12. Qual o máximo valor de ame + am + mc + ca?
84) Prove que se a > 0, b > 0 e x > 0, então ax + — > 2%/ãb.
x
85) Se x + y = 4, determine máx(min{x,y}).
86) Prove que para todo a > 0 e b > 0
a3 +2b3 > 3ab2
3
87) (Olimpíada Chinesa-2003) Se — < x < 5. Prove que
2
2VxTl + V2X-3 + V15-3X < 2^19
88) Se a, b, c e d são números reais positivos, mostre que
Vãb + Vcd < ^(a + d)(b + c)
.99
89) Supondo que o polinômio p(x) = x100 -600x"
+a98x98 +... + a,x + a0
possua 100 raízes reais e que p(7) > 1, mostre que p possui pelo
menos uma raiz maior do que 7.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
39
90) Mostre que a raiz positiva da equação
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)-... (x + 2009) = 1 é menor do que
1
2009!
91) (Ibero) Determine a, p, y e 0 sabendo que são as raizes da equação
4x4 -ax3 +bx2 -cx + 5 = 0 e que — + - + — + 2 4 5 8
1.
92) Supondo que n é natural mostre que n" > 1-3-5 - 7 ■... (2n -1).
93) Se a, b, c e d são números reais positivos de soma 1, prove que
S = >/4a + 1 + ^4b + 1 + -s/4c + 1 + %/4d + 1 < 6
94) Encontre todas as soluções em números reais positivos do sistema:
a+b+c+d=12
abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd
a b c
95) Se a, b e c são inteiros que satisfazem a condição — + — + — = 3.
b c a
Prove que abc é o cubo de um inteiro.
96) Para n natural, com n > 2, mostre que n! <
97) Usando
MA > MG,
mostre
que
a
desigualdade
de
Bernoulli
(1 + x)n > 1 + nx, com n natural, é válida para x > 0.
98) (Desigualdade de Young) Se p e q são números racionais positivos
11
x*3 v^
tais que — + — = 1, então para x e y positivos tem-se — + — > xy .
P q
P
q
99) Prove que se a,, a2, a3
an e R+
e a,-a2-a3-...-an = 1
então
nestas condições verdade que (1 + a,) • (1 + a2) ■ (1 + a3) ■... • (1 + an) > 2n .
40
2 - Desigualdades elementares
100) (Desigualdade de Carlson) Mostre que
(a, + a2 + ... + a2)2 < Cn (a^c2, +a22c22
a2nc2n)
onde Cn é uma constante.
101) Mostre que (a, +a2 + ... + a2)2
y(a2+22a|+32a2
n2a2)
Capítulo 3
Produtos notáveis e Fatoração
Resoluções
-
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
43
RESOLUÇÕES
Produtos notáveis e fatoração
01) Fatore:
a) x2-7yx + 12y2
Resolução 1:
x2 -7xy + 12y2 = x2 -3xy - 4xy + 12y2 =
= x(x-3y)-4y(x-3y) =
= (x-3y)(x-4y)
Resolução 2:
Uma outra saída é enxergar a expressão como um trinômio do 2o grau
na variável x (ou y). Assim,
x2 -7xy+ 12y2
A = (~7y)Z-4-1-12y2 =49y2-48y2 = y2
Assim os zeros do trinômio do segundo grau seriam
7y±|y| = Í4y
2
3y
Como todo trinômio do 2° grau ax2 + bx + c pode ser escrito na forma
a(x-r,)(x-r2), onde r, e r2 são seus zeros, segue que
x2 - 7xy + 12y2 pode ser escrito na forma (x - 4y)(x- 3y).
b) x2 - 3yx - 4x + 12y
Resolução:
x2 -3xy -4x + 12y = x(x-4)-3y(x-4) = (x-4)(x-3y)
c) x4 - 20x2 + 4
Resolução:
x4-20x2+4 = (x2) -4x2 +4-4-16X2 +4 =
= (x2 -2) -(4x)2 = (x2 -4x-2)(x2 +4x-2)
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
44
d) x4-4y4
Resolução:
x4 -4y4 =(x2)2 ~(2y2)2 = (x2 -2y2)(x2 +2y2)
e) x4 + y4
Resolução:
x4 + y4 = (x2)2 + 2x2y2
(y2)2-2x2y2 =
= (x2 +y2)2-(V2xy)2 =(x2 +y,22 +5/2xy)(x2 + y,2
V2xy)
f) x" - yn para n inteiro positivo
Resolução:
Vamos provar que xn - yn = (x - y)(x':n’1 +xn’2y + .... + yn’1).
Inicialmente vamos mostrar que se a * 1,
1 + a + a2 +a3 + ... + an 1
an -1
a-1
De fato,
S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an 1
aS = a + a2 + a3 + ... + an
Subtraindo as duas equações anteriores,
aS-S = an -1
an — 1
(a-1)S = an-1=>S = ^—y
Agora fazendo a = — na expressão 1 + a + a2 + a3 +... + a,n-1
1
y
an-1
a-1 ’
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
x2
X |
y
i+* +
y
*-1
y
i+* + X ]
yj
y
n
yj
x2
X
y
í-1
y
X
xn -yn
y
yn
2S-1
1+*+ X
y
y
y
45
A x
1 + —+
y
s2
X |
x
xn -yn
y
yn
| X
= xn - yn =>
yj +”'+l y
x •..\2
X
X
1 + —+
+ ... +
y
y
y
= xn - yn =>
X2
(x-y)- y1
+ yn-’.2S + yn-’ ■—+ - + y
y
y
xn-yn = (x-y)(x'
yn-t
= xn - yn =>
+ xn-2y +.... + yn-1)
g) xn + yn para n impar positivo
Resolução:
Vamos mostrar que xn + yn = (x + y)(x':n-1 -xn-2y+ .... +yn*1).
De fato,
Como n é impar podemos escrever xn + yn = xn -(-y)n e aplicarmos
a fórmula do item anterior, ou seja,
xn -yn = (x-y)(xn’1 + xn"2y + .... + y'
), colocando -y no lugar de y.
Vejamos:
xn + yn=xn-(-y)n=(x-(-y);
xn +yn =(x + y)(x'
xn-1 + *0-2
+
....+(-yr)^
1 _xn-2■y + ....+ yn-1)
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
46
02) Qual o valor das somas
S = 267x455 + 337x733 + 267x545 + 663x733
Resolução:
S = 267x455 + 337x733 + 267x545 + 663x733
Colocando 267 e 733 em evidência,
S = 267(455 + 454) + 733(337 + 663)
S = 267-1000 + 733-1000
S = 1000(267 + 733)
S = 1000x1000
S = 1.000.000
03) Qual o valor de V1234562 +123456+123457 ?
Resolução:
Fazendo 123456 = x temos:
Vi234562 +123456 +123457 =
= 7x2 + x + (x + 1) = Vx2 + 2x + 1 = 7(x + 1)2 = x +1
Como 123456 = x segue que
71234562 +123456 + 123457 = 123456 +1 = 123457
04) Qual o valor de 20082 - 20072 + 20062 - 20052 +... + 22 -12 ?
Resolução:
A idéia aqui claramente é
(x + y)(x - y) = x2 - y2 , vejamos:
usar
a
conhecida
fatoração
S = 20082 - 20072 + 20062 - 20052 +... + 22 -12 =>
S=(2008 + 2007)(2008-2007) + (2006 + 2005)(2006-2005)+... + (2 + 1)(2-l)
S = 4015 + 4011 + ... + 3
Para determinarmos o valor desta soma S temos dois modos, a saber:
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
47
Usar a velha e conhecida idéia de Gauss,
i.
S = 4015 + 4011 + ... + 3
S = 3 + 7 +... + 4011 + 4015
Adicionando membro a membro,
2S = 4018 + 4018 + . . . + 4018 => S =
1004 vezes
4018-1004
= 2.017.036
2
ii. Usar a conhecida fórmula para a soma dos n primeiros termos de
n-(a1+an)
uma PA, Sn =
2
S„ =
n-fa+a,,)
2
S|0O4 -
1004 (3 + 4015)
= 2.017.036
2
05) Qual o valor da expressão 20012 -1999 x 2001 + 992 x 2 ?
Resolução:
Colocando 2001 em evidência,
20012 -1999 x 2001 + 992 x 2 = 2001 ■ (2001 -1999) +1984 =
= 2001-2 + 1984 = 5986
06) Determine o valor das expressões abaixo:
5932-6001-69
5932 + 6001-5931
Resolução:
a)
Façamos 5932 = a, assim 6001 = a + 69 e então
5932-6001-69
a(a + 69) - 69
5932 + 6001-5931
a + (a + 69)(a-1)
a2 +69a -69
a + a2 - a + 69a-69
a + 69a — 69
=1
a2 + 69a-69
48
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
(20042 -2010) (20042 + 4008 -3)• (2005)
b)
(2001)-(2003)-(2006)-(2007)
Resolução:
Fazendo 2004 = x,
(20042 -2010) (20042 + 4008 - 3) • (2005)
(2001) ■ (2003) ■ (2006) ■ (2007)
(x2 -(x + 6))(x2 +2x-3)(x + 1)
(x-3)(x-1)(x + 2)(x + 3)
(x2 -(x + 6))(x2 +2x-3)(x + 1)
(x-3)(x + 2)(x2 +2x-3)
(x2 -(x + 6)j(x + 1)
(x-3)(x + 2)
(x2 -x-6j(x + 1)
(x2-x-6)
= x+1
Como 2004 = x, segue que
(20042 -2010) (20042 +4008-3)-(2005)
--------- ——------ —-- í—--- - = 2004 +1 = 2005
(2001) • (2003) ■ (2006) • (2007)
07) (Eotvõs-1899) Mostre que
divisível por 1897.
2903n-803n-464n+261n
é sempre
Resolução:
Como xn-yn =(x-y)(xn~1+xn-2y+ .... + yn*1), segue que xn - y" é
divisível por (x - y) segue que 2903n - 803n é divisível por
2903-803 = 2100 = 7x300
e
261n-464n
é
divisível
por
261-464 = -203 = (-29)-7. Como
2903n - 803n - 464n +261n
(2903n - 803n) + (261n - 464n)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
49
com (2903"-803n) e (261"-464") divisíveis por 7, segue que
1
2903" - 803" - 464"
261" é divisível por 7.
outro
lado,
2903"-464"
é
2903-464 = 2439 = 9x271
e
-803"+261"
-803+ 261 = -542 = (-2)x 271. Como
Por
divisível
é
divisível
por
por
2903n -803" -464" +261" =(2903" -464") +(261" -803n)
com
2903"-464"
e
-803"+261"
divisíveis por 7, segue que
2903” - 803n - 464" + 261" é divisível por 271.
Assim concluímos que 2903" -803" -464" +261n é divisível por 7 e
por 271 e portanto por 7x 271 = 1897.
08)
a) Se a + b + c = 0 mostre que a3 + b3 + c3 = 3abc.
Resolução:
Sabemos que (x + y)3 = x3 + y3 - 3xy(x+ y). Assim,
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 + 3ab(a + b) + c3 - 3abc
a3 +b3 +c3 - 3abc = (a + b)3 +c3 -3ab(a + b) -3abc
a3 +b3 +c3 -3abc = (a + b + c)3 - 3(a +b)c(a + b + c) - 3ab(a +b) - 3abc
a3 +b3 +c3 - 3abc = (a + b + c)3 -3(a + b)c(a + b + c) -3ab(a + b + c)
a3 +b3 +c3 -3abc = (a + b + c)^(a + b + c)2 -3(a + b)c-3ab^j
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)|ja + b + c)2 - 3ac - 3bc - 3ab^|
a3 +b3 +c3 -3abc =(a + b + c)(a2 +b2 +c2 -ab-ac-bc)
No caso em que a + b + c = 0,
a3 +b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac -bc)
a3 +b3 +c3 = 3abc
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
50
b) Qual o valor de
40113 -20063 -20053
(4011) ■ (2006)-(2005) '
Resolução:
Note que 4011 +(-2006) +(-2005) = 0
e portanto pelo resultado
provado no item (a),
40113 -20063 -20053 = 4011 + (-2006)3 + (-2005)3 =
= 3(4O11)(-2OO6)(-2OO5)
E portanto,
40113 -20063 -20053
3 (4011)(-2OO6)(-2OO5)
(4011) (2006)-(2005) “ (4011)-(2006) (2005)
3
09) (AIME) Simplifique
(75+76+77)(75+76-77)(75-76+77)(-7õ+76+77)
Resolução:
Note que
(7õ + 7õ + 77)(75 + 76 - 77) = ^(75 76)2-(77)2j = 4 + 2730
E que
(-75 + 76 + 77)(7õ - 76 + 77) =
= [77 + (76 - 75)][T7 - (76 - 75)] = [(77)2 - (76 - 7s)2 ]
(-75 + Te + 77)(75 - 76 + 77) = [(77)2 - (76 - 75)2] = -4 + 2730
Assim,
(75 + 76 + 77)(7õ + 76 - 77)(7õ - 76 + 77)(-75 + 76 + 77) =
= (273Õ + 4)(273Õ- 4) = 120-16 = 104
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
51
10) Mostre que
1 + x + x2 +x3 + ... + x1023 = (1 + x)(l + x2 )(l + x4) •... • (1 + X256 )(l + X:512)
Resolução:
S = 1 + x + x2 + x3 + .. + x1023 => xS =
Assim,
x2 + x3 + x4 +... + X1024
S - xS =
0 + X + X2 + x3 + ... + X:1023)-('
S(1-x) = 1-x.1024 => S =
X2 + x3 + x4 + ...
x1024 ) = 1 -x1024
1-x1024
1-x
Ou seja,
1+x + x2 + x3 +...
.1023
d
v1024
I— A
1-X
(l + x512)(l-x.512)
!
1-x
(1 + X512)Í1 + X.256
: )(1-X.256
: )
1-x
(1+ X512)(1 + X256)(1+ x128)-... • (1 + x)(1- x)
1-x
= (1 + x)(1+X2)(1+x“)-...(1
.256
)(1 + x!.5'2)
11) (AIME-87) Calcule
(104 +324)-(224 + 324) - (344 + 324) • (464 + 324) • (584 + 324)
(44 +324)(164 + 324 )-(284 +324)-(404 + 324)(524 +324)
Resolução:
Como 324 = 4 ■ 34 todos os fatores da expressão acima podem ser
escrito na forma x4 + 4y4, que podemos fatorar como
52
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
x4 + 4y4 = x4 + 4x2y2 + 4y4 - 4x2y2 =
= (x2+2y2)2-(2xy)2 =
= (x2 + 2y2) + 2xy][(x2 + 2y2)-2xy]
= x2-2xy + y2+y2 [x2 + 2xy + y2 + y2]
x4 + 4y4 = [(x-y)2 + y2][(x + y)l:2 + y2l
Assim,
n4 + 324 = n4 + 4 • 34 = [(n-3)2 +9pn + 3)2 +9^|
Fazendo essa substituição em cada termo da fração
(104 + 324) • (224 + 324) ■ (344 + 324) • (464 + 324) • (584 + 324)
(44 + 324) • (164 + 324) • (284 + 324) ■ (404 + 324) • (524 + 324)
Obtemos:
(72 +9)(132 +9)(192 +9)(252 +9)...(552 +9)(612 +9)
(12 +9)(72 +9)(132 +9)(192 +9)...(492 +8)(552 +9)
612+9
“ 12 + 9
3730
10
373
12) Fatore
a) 3a2-2ab-b2
Resolução:
3a2 -2ab-b2 = a2 -2ab + b2 + 2a2 -2b2 = (a -b)2 + 2(a2 - b2)
3a2 -2ab- b2 = (a-b)(a- b + 2a + 2b) = (a - b)(3a + b)
b) a2-6a-b2 +2b + 8
Resolução:
a2 - 6a - b2 + 2b + 8 = a2 - 6a + 9 - 9 - (b2 - 2b +1) +1 + 8
= (a-3)2-(b-1)2 =(a + b-4)(a-b-2)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
13) Se x + y + xy = 34, determine o valor de x + y sabendo que x e y são
inteiros positivos.
Resolução:
x + y + xy = 34 => x + 1 + y(x + 1) = 35
(x + l)(y + 1) = 5.7
Como x e y são inteiros positivos, temos as seguintes possibilidades:
(x + 1)(y+ 1) = 5.7 =>
x+1= 5
y+1 =7
x=4
x+1=7
y+1=5
x=6
y=4
y=6
Ou
(x + 1)(y+ 1) = 5.7
14) Dado que
4x-y
4x + 2y
2
5 ’
4x — v
determine o valor de--------—
4x + 2y
Resolução:
4x-y
2
= — => 20x- 5y
4x + 2y 5
4
8x + 4y => 12x = 9y => y = — x
Assim,
4x + y
4x - 2y
A
4
4x + -x
4x-2-x
3
15) Fatore e simplifique, o quanto possível, a expressão
6a3 +18a2 -24a-72
9a2 + 9a - 54
Resolução:
6a3 +18a2 - 24a - 72 6a2 (a + 3)-24(a + 3)
9a2 + 9a-54
“
9(a2 + a-6)
6(a + 3)(a2-4)
2 (a-2)(a + 2)
9(a + 3)(a-2) ~3
(a-2)
= |(a + 2)
53
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoraçao
54
1 1
16) Se —+ — = 10 e x + y = 2, determine o valor de xy.
x y
Resolução:
2 + - = 10 => ÍÍX = 10 => — = 10 => xy = -1
x
y
xy
5
xy
17) Se x + y = xy = 3, determine o valor de x3 + y3.
Resolução:
x + y =3
Temos que
xy = 3
Elevando x + y = 3 ao cubo,
(x + y)3 = 33
x3 +y3 +3xy(x + y) = 27
=3
x3 +y3+27 = 27 =>x3 +y3 = 0
18) Se a + b
1 e a2 + b2 = 2, determine o valor de a3 + b3.
Resolução 1:
Elevando a + b = 1 ao cubo,
a + b = 1 => (a + b)3 = 13
a3 + b3 + 3ab(a + b) = 1 => a3 + b3 = 1 - 3ab
Agora para determinarmos o valor de a3 + b3 precisamos determinar o
valor de ab. Para isso elevaremos a + b = 1 ao quadrado e usaremos
o fato de que a2 + b2 = 2, veja:
d
a + b = 1 => (a + b)2 = 12 => a2 + b2 + 2ab = 1 => ab = —
“T"
2
Como a3 + b3 = 1 = 3ab segue que
a3 + b3 = 1 - 3ab => a3 + b3 =1-3
2
2
a3+b3
5
2
55
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Resolução 2:
seria
usar
Uma
outra
solução
a3 +b3 = (a +b)(a2 - ab + b2), vejamos:
identidade
conhecida
a
5
2
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Note que neste segundo modo de resolução usamos o fato de que
1
ab = -—. Isto precisaria ser determinado como fizemos no primeiro
modo de resolução!
19) Se
1
x+—
x
2
_1_
= 3 , determine x3 + —
Resolução:
,2
íx + —I = 3 => x ■+— =+-J3
e
X F-f
XJ
,
1
= 9 => x2
3 => x2 + 2x — +
x x
+4-=
7
x
Usando a conhecida identidade a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2) temos:
x3
1
1
x2- Xx + x2
1
x3
1
+ x2
=> x3 + —
x3
Então
1
x3 + —
x3
±VÕ (7 -1) = ±6a/Õ
x2
1
1
20) Determine a6 + a6 ’ sabendo que a2 + a2
Resolução:
a2
+^=Ha2 +?J1 y
43
4
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
56
a5
1
3a2-^í a2
64
a <
64-12=>a6 + a6
52
1
21) Se x > 0 e x + - = 5, calcule x5 + x5 '
x
Resolução:
1 c
(
1'
1
x + — = 5 => | x + —
x
X
5
= 55
1
1
111
1 + 5x—- + -- = 3125
x5 +5x‘,- + 10x3-4 + 10x2-4
X
x
x2
x33
x4 x 5
1 + 5, x + 1 l + 1o| x + -1 = 3215
x5 +4r
+ x5
X
(
1'
11
x5 +
+ -=
x5 = 3125-15 x + x
l
x
4
x5 +-4 = 3050
x5
=5
1
o J .
.
1
22) Se Vx + -=■
= 3 , determine x —
x/X
x
Resolução:
1
x/x + -JL = 3 => í x/x
x/x
V
2
9
1
32=>x + —= 7
x
X
Agora usaremos a identidade (a-b)2 =(a + b)2-4ab, com a = x e
b
x ’
x4Hx4)
|2-4x1 72-4
45
I
X
23) Determine x2 + y2 com x, y e N e xy + x + y = 71 e x2y + xy2 = 880.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
57
Resolução:
Temos o sistema:
xy + x + y = 71
xy + (x + y) = 71
x2y + xy2 = 880
xy(x + y) = 880
Fazendo a troca de variáveis xy = a e x + y = b, obtemos:
xy + (x + y) = 71
xy (x + y) = 880
a + b = 71
a-b = 880
Assim a e b são as raízes da equação X2 - 71À + 880 = 0 que são 55 e
16. Assim temos duas opções, a saber:
íx + y = 16
(x + y)2 =162
[xy = 55
x2 + y2 = 256- 2xy
=> x2 + y2
256 - 2 • 55
=>x2+y2 = 146
Obs. Caso resolvéssemos o sistema encontraríamos x = 11 e y = 5 ou
x = 5 e y = 11.
í x + y = 55
[xy = 16
(x + y)2 = 552
x2 + y2 = 3025-2xy
x2 +y2 =3025-2-16
x2+y2 =2993
Neste segundo caso x e y não seriam naturais e portanto não
interessam ao problema pois, por hipótese, x, y e N, de modo que a
resposta é 146
24) Determine o valor de x2 + y2, sabendo que xy = 6 e que
x2y + xy2 + x + y = 63.
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
58
Resolução:
Temos
xy = 6
xy = 6
x2y + xy2 + x + y
íxy = 6
* [7(x + y) = 63
63
xy (x + y) + (x + y) = 63
xy = 6
x+y =9
Assim
x + y = 9 => (x + y) = 92 => x2 + y2 = 81 - 2xy
=> x2+ y2 = 81-2-6 => x2+ y2 = 69
25) Sejam x e y números reais tais que
x3 =13x + 3y
, . , ,
, com x * y .
y3 =3x + 13y
1 ' 1
Determine o valor de (x2 - y2) .
Resolução:
Adicionando membro a membro as duas equações acima,
íx3 = 13x + 3y
x3 + y3
[y3 = 3x + 13y
16(x + y)
Então,
x3 +y3 = 16(x + y)=>(x + y)(x2 -xy + y2) = 16(x + y)
=> x2 - xy + y2 =16
subtraindo membro a membro as duas equações acima,
íx3 = 13x + 3y
[y3 = 3x + 13y
x3 -y3 = 10(x- y)
Então,
x3 -y3 =16(x-y) =>(x- y)(x2 +xy + y2) = 16(x-y)
=> x2 + xy + y2
10
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
59
Temos então o sistema,
x2 - xy + y2 =16
x2 + xy + y2 =10
Fazendo a troca de variáveis x2 + y2 = a e xy = b,
x2 - xy + y2 =16
a-b = 16
x2 + xy + y2 =10
a + b = 10
=>a = 10 e b = -3
Ou seja, x2 + y2 = 10 e xy = -3, Assim,
(x2 -y2)2 =(x2 +y2)2-4(xy)2 = 132 -4(-3)2 =133
26) Determine a soma de todos os números reais x e y tais que
(1-x)2+(x-y)2+y2=^.
Resolução:
(l-x)2 + (x-y)2 + y2=l^
4
1 -2x + x2 + x2 -2xy + y2+y2- — = 0=>
O
2x2 -2(y+1)x + 2y2 + | = 0=>
6x2 -6(y + 1)x + (6y2 +2
)=°
Agora podemos enxergar a última expressão acima como uma
equação do 2o grau na variável x. Assim,
6x2-6(y+1)x + (6y2+2} = 0
A = [-6(y + 1)]Z - 4 • 6 ■ (6y2 + 2) =
= 36y2 + 72y + 36 -144y2 - 48 = -108y2 + 72y -12
Note que
-108y2 + 72y -12 = -12(9y2 - 6y +1) = -12(3y -1)2
=(3y-1)2
60
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
No caso em que A = 0 a equação acima terá uma única raiz real.
Assim,
1
A = 0 => — 12(3y —1)2=0
y=3
Colocando
1
y=—
J 3
6x2 -6(y + 1)x + (6y2 +2) = 0
equação
na
obteremos:
9x2 -12x + 4 = 0 => (3x-2)2 = 0 <=> x = -
Assim temos que a equação
(1-x)2+(x-y)2+y2
1
" 3
Implica que
2
x = — e y = ^=>x + y = 1
3
27) Se a e b são números reais tais que 1 < a < b < 9 , qual o menor valor
a+b
,
.
que------ pode assumir?
ab
Resolução:
a+b
ab
2 2
a
ab
_b_
ab
a+b
ab
2 2
Assim a expressão
b
b
a
a
Será mínima quando os denominadores a e b forem máximos, ou seja
a = 8 e b = 9 (note que, por hipótese, a < b). Assim o menor valor
..
.
a+b 1 1 .
assumido pela expressão - ----- = —+ — e
ab
b
ba
2
a+b
ab
8+9
8-9
17
72
28)
a) Determine x, y e z reais tais que (x -1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 0 .
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
61
Resolução:
Uma soma de quadrados de números reais só é zero se cada uma
delas for zero. Assim,
x-1 = 0
(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 = 0 o • y-2 = 0 <=• x = 1, y 2 ez = 3
z-3 = 0
b) Determine x e y tais que x2+y2-2x-4y+ 5 = 0.
Resolução:
A idéia aqui é inicialmente completar os quadrados,
x2+y2-2x-4y + 5 = 0=>x2-2x + 1 + y2-4y + 4 + 5 = 1 + 4
=> (x-1)2 +(y -2)2 =0
Uma soma de quadrados de números reais só é zero se cada uma
delas for zero. Assim,
x-1 = 0
(x-l)2+(y-2)2=0«
<=> x = 1, y = 2
y-2 = 0
29) Resolva, no universo dos números reais, a equação
(x-3)3 + (x-7)3 =(2x-10)3
Resolução:
Faça a troca de variáveis x-3 = a e x - 7 = b e note que a + b = 2x - 10.
Assim a equação original (x-3)3 + (x-7)3 = (2x-10)3 pode ser
escrita como
(x-3)3
(x-7)3 =(2x-10)3
a3 +b3 =(a + b)3
Mas
a3 + b3 = (a + b)3
a3 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
3ab(a + b) = 0
a=0
b=0
a = -b
Como x-3 e x-7 = b,
a = 0c=>x-3 = 0ox = 3
b = 0<=>x —7 = 0ox = 7
a = -b<x>x-3 = -(x-7)o-3 = 7 (impossível)
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
62
Assim as únicas raizes reais da equação são 3 e 7.
30) Em K, resolva a equação x2+ Vx -18 = 0 .
Resolução:
Inicialmente note que x > 0 pois Vx em IR só é bem definido se
x > 0 . Podemos escrever x2+ Vx-18 = 0 da seguinte forma:
x2+Vx-18 = 0=>x2-16 + Vx-2 = 0
=>x2-42+Vx-2 = 0
=> (x - 4)(x + 4) + Vx - 2 = 0
Note que
(x-4) = (Vx)2-22 = (>/x-2)(Vx +2), assim podemos
reescrever a equação (x-4)(x + 4) + Vx-2 = 0 da seguinte forma:
(x-4)(x + 4) + Vx - 2 = 0
(Vx-2)(VÍ+ 2)(x + 4) + ( JÍ-2) = 0
(Vx-2)((x + 4)(Vx+2) + l) = 0
Como x>0 segue que ((x + 4 )(Vx +2)+l) nunca zera para x real.
Assim
(VJ-2)(( x + 4)(Vx +2) + l) = 0 Vx -2 = 0cç>Vx=2cí>x = 4
a b
31) Se ab = a - b, determine o valor da expressão — + — ab .
b a
Resolução:
Ora, como ab = a - b segue que:
a b
— + — ab
b a
a2+b2-(ab)2
ab
a2 + b2 - (a - b)2
ab
2ab
ab
2
„ 1 1
1
1
n2
1 + —z- 4--- — 4--- — + ... + — + ... = —. Acreditando
22 32 42
n2
6
1
1
1
„ .
1,
nisto calcule o valor da soma S = 1 + —
—
—- 4----7T + ... + ---------------- ? + "
T 4+----z
32 52 72
(2n-1)
32) Demonstra-se que
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
63
Resolução:
d
1 1
1
"1 d--- — d--- ~ d- —— +
22 32 42
1 d---- — d--- —• d- ... d-
1
(2n-1)2+"
„1 + —
1 +—
1 + ...+
1
(2n-1)2
.
1
32
32
1
52
52
1
+ - + ...
1
42+- +
22
1
32
1
52
l "í-- X" ------ Z" d- ... d-
1
(2n-1)2
1
1+4
+1
32 52 + +(2n-1)2
,
1
1
3!
4-—
+4’ 6
d
52
(2n-1)2
1
32
1
52
1
(2n-l)2
6
6
n2
6
=—
42 +
6
1
1
42 + 32 +"'
+4
1
1
1
32
22
1 d- —— d---- — d- ... d----------------— d- ...
32
1
(2n)2
1L 1 1 _1_
+ — 1 + —+ —+
4
‘4 " 9
16
1
1„ d---1— d- —1— + ... d---------------y d- ...
(2n-1)2
32 52
„
6
'
6
6
i
4' 6
7^
8
33) Determine n e N tal que 211 + 28 + 2n seja um quadrado perfeito.
Resolução:
211 + 28 + 2n = 2® +211+2n =(24)2 + 2-24 -2® +2n
Note que na última expressão teremos um trinômio quadrado perfeito
quando n = 12.
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
64
34) Se a3 - b3 = 24 e a - b
2, determine (a + b)2.
Resolução:
a3 - b3 = 24 => (a - b)(a2 + ab + b2 j = 24 => a2 + ab + b2 = ^ = 12
Por outro lado,
a - b = 2 => (a - b)2 = 4 => a2 - 2ab + b2 = 4
Assim temos que
ía2 +ab + b2 =12
2a2+2ab + 2b2 =24
|a2 -2ab + b2 = 4
a2 -2ab + b2 = 4
Adicionando estas duas últimas equações,
3(a2 +b2) = 28 => a2 +b2 = y
Como a2 + ab + b2 =12 segue que
a2 +ab + b2
12=> — + ab = 12=>ab = —
3
3
Queremos o valor de (a + b)2, o que agora fica bem fácil, vejamos:
(a + b)2 = a2 +b2 +2ab = —+ — = 12
v
’
3
3
35) Resolva, em C, conjunto dos números complexos, a equação x3 - 8 = 0.
Resolução:
x3 - 8 = 0 => x3 - 23 = 0
(x-2)(x2 +2x + 4)
Oo
x-2 = 0« x = 2
x2+2x + 4 = 0
x2+2x + 4 = 0
A
22-4-1-4 =-12 => VÃ = 2^3 ■ i => x = 2±2^2
= -1±2>/3-i
65
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Assim temos que a equação x3 - 8 = 0 possui très raízes em C:
-1-2>/3i
2,
-1 + 2VÕ-Í.
e
36) Resolva, em C, conjunto dos números complexos a equação
x3 +x2 + x + 1 = 0 .
Resolução:
x3+x2+x+1 = 0
(x + 1)(x2 + l) = 0 <=>
x2(x + 1) + (x + 1) = 0
x+1 = 0
x = -1
x2+1 = 0
x = ±i
Assim as raízes da equação, em C, são -1, i e -i.
37) Calcule
1
2-----------1
2------1
2-
2—12-...
Resolução:
Fazendo
x=
2-----------2-------
1
x8 = 2-----------2-------
1
1
8
2-----------2-------
1
x8 =2-4
1
x
1
2^
2-...
x8 =2-4
x:16 = 2x8 -1
(x8 -1)2 =0
X8 -1
x8
1
1
2tzl
:
2-...
2-2^2-...
íi
x8
1
0
Comox>1, segue que x=1.
(x8)2 -2x8 +1 = 0
X8 = 1 => X = +1
66
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
38) Verifique que a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc o a = b = c.
Resolução:
De fato,
a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc
a2 - 2ab + b2 + a2 - 2ac + c2 + b2 - 2bc + c2
0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 o a = b = c
39) (AIME) Resolva o sistema abaixo:
2a + b+ c+ d+ e = 6
a + 2b+ c+ d+ e = 12
• a + b + 2c+ d+ e = 24
a+ b+ c + 2d+ e = 48
a+ b+ c+ d + 2e = 96
Resolução:
Adicionando as cinco equações obtemos
6(a + b + c + d + e) = 186=>a + b + c + d + e
31.
Note que podemos reescrever primeira equação do sistema como
sendo
2a + b + c + d + e = 6=>a + a + b + c + d + e = 6 => a = -25
31
Analogamente,
a + 2b + c + d + e = 6=>b + a+b+c+d+e = 12=>b = -19
31
a + b + 2c + d + e = 6=>c + a + b + c + d + e = 24 => c = -7
31
a+b+c+2d+e
6 => d + a + b + c + d + e = 48 => d = 17
31
a + b + c + d + 2e = 6=>e + a + b + c + d + e = 96 => e = 65
31
Assim a solução do sistema é única e igual a (-25, -19, -7, 17, 65).
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
40) (Torneio das cidades) Calcule:
1
1
1
2+
4+
1
1+
1
3+
1+
1
1
"+ 2005
1
1
3+ - .
. __
4+
"+ 2005
Resolução:
Podemos reescrever a primeira fração como
1 1
r
-
1+1+
i
3+ 4+—
”’ + 2Ó05
2005
Agora perceba que a parte
1 +-----------
1
1
3 +---4+
1
1
+ 2005
Aparece nas duas frações. Assim, fazendo
a = 1 +--------3+—
4+
1
1
1
1
+ 2005
Teremos,
1
1
1
1+1+
3+
4+
1
1+
1
1
1
"+ 2005
1
T
1+ ---
3+
4+
1
1
2005
67
68
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
1
1
1+a
1+1
a
1
a
1 + a +1+a
1+a
1+a
„
41) Determine a e b naturais tais que 2'!2a - 32b = 55 .
Resolução:
22a -32b = 55=>(2a)2-(3b)2 = 55 => (2a + 3b) (2a - 3b ) = 11.5 =>
2a + 3b = 11
=>2a = 8,3b=3=>a = 3 e b = 1
2a - 3b = 5
42) Sabendo que a + b = 6, encontre o valor de
a32-b32
(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a18 + b16)
+ 12b
Resolução:
Note que
16)(;a1B + b’6)
a32-b32 = (ai16-b18
16 +b
a32 -b32 = (a8-b8)(a8 + b8)(a.16
+ b16
16 )
a32 -b32
(a4 -b4)(a4 +b4)(a8 +b8)(a16 + b16)
a32 - b32 = (a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4 )(a8 + b8 )(a16 + b16)
a32 - b32 = (a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a18 + b16)
_____________ a32-b.32
;
(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a16+b
+ b16
16 )
+ 12b =
(a2-b2)(a2 +b2)(a4 +b4)(a8 +b8)(a16 + b>’6)
(a2 +b2)(a4 +b4)(a8 +b8)(a’6 + b"
■T
+ 12b = a2-b2 +12b
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
69
(a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4 )(a8 + b8 )(a16 + b16)
12b = (a + b)(a - b) + 12b
(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a:’6+b16)
=6
(a2 - b2 )(a2 + b2 )(a4 + b4 )(a8 + b8 )(a■16 + b1
Q+
^T
(a2+b2j(a4+b4)(a8+b8)(a16+b'
12b = 6(a-b) + 12b
(a2 -b2)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a1B +b’116)
(a2 +b2)(a4 +b4)(a8 + b8)(a16
+b,8y
+ 12b = 6(a + b) = 6-6 = 36
'-- --- -
=6
43) Se a e b são inteiros consecutivos, mostre que a2 + b2 + (ab)2 é um
quadrado perfeito.
Resolução:
Como a e b são inteiros consecutivos podemos supor que a = x e
b = x + 1. Assim,
a2 +b2 +(ab)2 = x2 +( x +1)2 + [x(x +1)]2 = x2 + (x +1)2 + x2 (x +1)2
a2 +b2 +(ab)2 = x2 + (
+1)2 + [x(x +1)]2 = x2 + (x +1)2 + (x2 + x)2
a2 + b2 + (ab)2 = 2x2 +2x + 1 + (x2 + x)2
a2 + b2 + (ab)2 = (x2 + xj2 + 2(x2 + x) +1 = |jx2+x) + l]i2 =(x2 + x + l)2
44) Qual o maior valor de n, n e N para que n3 + 100 seja divisível por
n + 10.
Resolução:
n3+100
n+10
n3 +1000-900
n+10
(n + 10)(n2 +10n + 100)
n + 10
n3 +103
n+10
900
n + 10
900
n+10
n3 +100
n + 10
n2 +10n + 100--^_
n + 10
Assim o maior natural n para o qual n3 + 100 é divisível por n + 10 é
890, visto que o maior divisor natural de 900 é o próprio 900. Assim,
n +10 = 900 => n = 890
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
70
45) Calcule o valor de A = ^(1000000)- (1000001) - (1000002) • (1000003) +1.
Resolução:
Fazendo x = 1.000.000 = 106, segue que:
(1000000) • (1000001) ■ (1000002) ■ (1000003) = x (x + 1)(x + 2)(x + 3)
= x(x + 3)(x + 2)(x + 1)
(1000000)-(1000001) (1000002)-(1000003)x(x + 3)(x + 2)(x + 1) =
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Fazendo y = x2 + 3x, segue que
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 +3x)(x2 +3x + 2) + 1 =
= y (y + 2) +1 = y2 + 2y +1 = (y +1)2
Assim,
A = 7(1000000) ■ (1000001) ■ (1000002) • (1000003) + 1 = yj(y + 1)2 = y +1
Como
y = x2 + 3x e x = 1.000.000= 106
Segue que y = x2 + 3x = (l06) + 2-106 = 1.000.003.000.000, segue
que
A = ^(1000000).(1000001).(1000002). (1000003)+ 1 =
a = 7(y +1)2 = y +1 = 1.000.003 000.001
46) Se a, b e c são números reais tais que a2 + 2b = 7, b2 + 4c = -7 e
c2 + 6a = -14. Determine o valor de a2 + b2 + c2.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
71
Resolução:
Adicionando as três igualdades,
a2 +2b
7
• b2 + 4c
c2 + 6a = -14
(a2 + 6a) + (b2 + 2b) + (c2 + 4c) = -14 => (a + 3)2 + (b +1):
(c + 2)2=0
Assim segue que a = -3, b = -1 e c = -2 => a2 + b2 + c2 = 14.
47) Se x e y são números reais tais que x + y +xy = 10 e x2 + y,:2 = 40.
Determine o valor de x + y.
Resolução:
Fazendo x + y = a e xy=b, segue que x + y + xy=10=>a + b = 10.
Por outro lado,
x + y = a e xy = b => (x + y)2 = a2 => x2 + y2 + 2xy = a2 => 40 + 2b = a2
Temos então o seguinte sistema'
Í40 + 2b = a2
|a + b = 10
a2 + 2a - 60 = 0 => a = -1 ± 761
a2 =40 + 2(10-a)
Como x + y = a segue que x + y = a
-1± .61
48)
I.
Qual das frações abaixo é a maior?
25.038.876.541
25.038.876.543
25.038.876.545
c)
25.038.876.547
a)
25.038.876.543
25.038.876.545
25.038.876.547
d)
25.038.876.549
b)
72
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Resolução:
Note que todas as frações acima são da forma —com n natural. A
n
.
.
n
sequencia an =----- — e crescente pois an =----- —
2
e assim a medida que n cresce ------n+2
n
a"~^
n + 2-2 = 1"^2
n+2
decresce fazendo com que
se toma cada vez mais próximo de 1. Ora, como a
n
sequência an =------- , com n natural, é crescente segue que a maior
n + 2’
fração é
25.038,876.547
visto que é a que apresenta entre as
25.038.876.549 ’
quatro frações dadas o maior n, no caso n = 25.038.876 547.
II. Qual das frações abaixo é a menor?
250.386.765.412
250.385.765.412
250.385.765.412
d)
250.384.765.412
250.386.765.412
250.384.765.412
250.384.765.412
c)
250.383.765.412
a)
b)
Resolução:
Fazendo 250.384.765.412 = a.
frações acima na forma
250.386.765.412
250.384.765.412
Perceba que podemos escrever as
a+ 2 000.000
a
= 1+
2.000.000
a
250.386.765.412 a + 2.000.000 a+1.000 000+1 000.000
a + 1.000.000
250.385.765.412 a + 1.000.000”
a + 1.000.000
250.384.765.412
a
250.383.765.412 a-1.000.000
a-1.000.000+1.000.000
1.000.000
a-1.000.000
a-1.000.000
250.385.765.412
250.384.765.412
a + 1.000.000
a
=1+
1.000.000
a
1.000.000
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
73
Analisando calmamente o exposto acima, segue que:
1.000.000
a
2 000.000
, pois 1.000.000 < 2.000.000
a
1.000 000
a + 1.000.000
1.000.000
a
1.000.000
, pois a + 1.000.000 > a
a
1.000.000
pois a > a - 1.000.000
a-1.000.000 '
1.000.000
Assim concluímos que a menor das quatro frações é -------------- e
a
portanto entre
as quatro frações originais a
menor é
250 385.765.412 a+ 1.000.000 „ 1.000.000
1+
, visto que todas
250.384 765.412
a
a
são da forma 1 + a e evidentemente a menor é a que possui o menor
valor para a.
49) Simplifique:
a)
1
(a-b)(a-c)
1
(b-a)(b-c)
1
(c-a)(c-b)
Resolução:
1
(a-b)(a-c)
1
(b-a)(b-c)
1
(c-a)(c-b)
1
(a-b)(a-c)
1
1
(a-b)(b-c) + (a-c)(b-c)
(b-c)-(a-c) + (a-b)
o
(a-b)(b-c)(a-c)
(a-b)(b-c)(a-c)
=0
a3
,
b3
c3
b) (a -b)(a -c) + (b-a)(b-c) b (c -a)(c-b)
74
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Resolução:
a3
,
b3
(a-b)(a-c) + (b-a)(b-c)
a3
(a-b)(a-c)
c3
(c-a)(c-b)
b3
+
c3
(a-b)(b-c) (a-c)(b-c)
a3 (b - c) - b3 (a - c) + c3 (a - b)
(a-b)(a-c)(b-c)
a3 (b - c) - b3 [(a - b) + (b - c)] + c3 (a - b)
(a-b)(a-c)(b-c)
a3 (b - c) - b3 (a-b) - b3 (b - c) + c3 (a - b)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a3 -b3j(b-c) + (c3 -b3j(a-b)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(a2 +ab + b2)(b-c) + (c-b)(c2 + bc + b2)(a-b)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a - b)(b -c)(a2 +ab + b2 -c2 -bc-b2)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(b-c)(a2 -c2 +ab-bc)
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(b-c)[(a-c)(a + c) + b( a~c)]
(a-b)(a-c)(b-c)
(a-b)(b-c)(a-c)(a + b + c)
(a-b)(a-c)(b-c)
= a+b+c
50) Se 0 < a < b e a2 + b2 = 6ab, determine o valor de -a -+ — .
a-b
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
75
Resolução:
Façamos
a+b
x =------ => x2
a-b
= ía-1-13? = (a hb)2
la-bj
(a-b)2
a2 +2ab + b2
a2 -2ab + b2
Como a2 + b2 = 6ab, segue que
2 a2 +2ab + b2
X ~a2-2ab + b2
6ab + 2ab
6ab -2ab
— = 2=>x2=2=>x = ±x/2
4ab
Mas ocorre que 0 < a < b e assim a - b < 0 => x
a+b _
. .
------ < 0 e portanto
a resposta correta é -42 .
51) Simplifique a expressão A = ^4 + 4^2 + 44 + y]4 - 4</2 + x/4 .
Resolução:
A = x/4 + 4?/2+^/4 + V4-4V2 + ?/4 =
^(2 - ?/2)2 = (2 + ^/2) + (2 - ?/2) = 4
52) (OBM) Se a é uma das raízes da equação x2 + x - 1 - 0, determine o
valor de a5 - 5a.
Resolução:
Como a é raiz de x2 + x - 1 =0 segue que a2 + a - 1 = 0 => a2 = 1 - a.
Multiplicando ambos os membros por a,
a2 = 1 - a => a3 = a - a2
Como a2 = 1 - a segue que
a3 = a-a2 = a- (1-a) = 2a-1
Novamente multiplicando ambos os membros por a,
76
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
a3 = 2a -1 => a4 = 2a2 - a
Como a2 = 1 - a segue que
a4 = 2a2 -a = 2(1-a)-a=2-3a
Novamente multiplicando ambos os membros por a,
a4 = 2 - 3a => a5 = 2a - 3a2
Como a2 = 1 - a segue que
a5 = 2a - 3a2 = 2a - 3(1-a) = 5a - 3 => a5 -5a = -3
53)
a) Mostre que (a + b + c)3
a3 + b3 + c3 + (a + b + c)(ab + ac + bc)
Resolução:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b + 3abc
(a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 +ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 3abc
(a+b+c)3 =a3 +b3 +c3 +ab(a+b)+abc+ac(a+c) + abc+bc(b+c)+abc
(a + b + c)3 =a3 + b3 + c3 + ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(a + b + c)
(a + b + c)3 =a3 +b3 +c3 +(a+b + c)(ab + ac + bc)
b) Mostre que (a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 = 3(a + b)(a + c)(b + c)
Resolução:
Sabemos que
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab2 + 3ac2 + 3ba2 + 3bc2 + 3ca2 + 3cb2 + 6abc
Então:
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3ab2 + 3ac2 + 3ba2 + 3bc2 + 3ca2 + 3cb2 + 6abc
(a + b + c)3 -a3 -b3 -c3 = 3(ab2 +ac2 +ba2 +bc2 +ca2 +cb2 + 2abc)
(a + b + c)3 - a3 -b3-c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 2abc]
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
77
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + c)+ bc(b + c) + abc + abc]
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + c) + abc + bc(b + c) + abc]
(a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 = 3[ab(a + b) + ac(a + b + c) + bc (a + b + c)]
(a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 =3[ab(a + b) + (a + b + c)(ac + bc)]
(a + b + c)3 - a3-b3 -c3 = 3[ab(a + b) + (a + b + c)c(a + b)]
(a + b + c)3 - a3 -b3 -c3 = 3^(a + b)(ab + ac + bc + c2)^|
(a + b + c)3 - a3 - b3 -c3 = 3[(a + b)(b(a + c) + c(a + c))]
(a + b + c)3 - a3 - b3 -c3 =3(a + b)(a + c)(b + c)
54)
a) Efetue o produto
(x + 1)(x2+l)(x4 + l](x8 + l](x:16+l)-(x,32
: + 1).(X:64
' + l)
Resolução:
P = (x + l)-(x2+l)(x4 + l)(x8+l)(x16+l)(x ^2 +• ]x84 + l]
(x-1)P = (x-1)(x + 1)(x2 + l)(x4 + l)(x8 + l](x18 + l).(x32 + l).(x':64 + l)
(x-1)P = (x2 -l).(x2 + l) (x4 + l) (x8 + l) (x16 + l)-( x32+l).(x':64 + l)
16 +l)(x
(x-1)P = (x4 -l)(x4 + l)(x8+l)(x
16
')(-32+l)(x
64 + l)
+1
x'°+1
(x-1)P = (x8-l)-(x8+l)-(x16 + 1)( x32+1l).(x':64 + l)
(x-1)P = (,x16 — l) • (x16 + l) - x32+l)-( X64 + 1)
(x-1)P = (:x3z-l).(x32+l)( X64 + 1)
(x-1)P = (:X64 -1).(x64+1)
(x-1)P = (x,28-l)
(x128-l)
P=
(x-1)
com x * 1.
78
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
b) Racionalize
———————x
. ——r
(6í/2 +1) • (3t/2 +1) ■
+1) ■ (S/2 +1) • (í/2 +1) • (72 +1)
Resolução:
Usando o item (a),
(x128-l)
(x +1) - (x2 +1) ■ (x4 +1) • (x8+1) • (x16 +1) • (x32 +1) ■ (x84 +l)
(x-1)
Fazendo x = siÍ2 ,
(x128-l)
(x +1) • (x2+1) • (x4 +1) • (x8 +1) ■ (x18 +1) ■ (x32+1) • (x64 +1) =
í(6^)128-il
(8^+l).(3^+l).(’^+l).(^+l)-(^+l).(V2+l).(2+1)=^-—1
^2-1)
(4-1)
(s^/2-1)
(6^ + l)-(3^ + l)-(1^ + l)-(V2+l)(3/2+l)(V2+1)3 =
3
(6í/2-l)
(^ + 1).(3^ + 1).(^ + 1).(^ + 1).(^ + 1).(^ + 1) = ^A_
___________________________ _______________________________ 64^2 _ -j
(6í/2 +1)- (3^2 +1)- (1§^2 +1). ^2 +1) • (í/2 +1) • ^42 +1)
55) Sejam x, y e z números reais tais que x + y + z = 0ex + y, x + z,
z3
x3
v3
y + z # 0, calcule o valor da expressão —-—- + —-—(y+
z')3 (x + z)3 (x + y)3'
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
79
Resolução:
x + y + z = 0 =>
x + y = -z
x + z = -y
y + z = -x
x3
y3
\3 +
/
(y+z)
,
(x + z)3
z3
(x + y)3
z3
x3
y,3
(-x)3+(-y)3 + (-z)3 = (-1) + (-1) + (-!) = -3
56) Resolva o sistema de equações:
3x-y
=3
x2 + y2
y-
x + 3y
=0
x2 + y2
Resolução:
Multiplicando a primeira equação por y,
adicionando, obtemos:
. (3x-y)y-(x + 3y)x
= 3y => 2xy +
x2 + y 2
y
a segunda por x e
(y2 + x2)
x2 + y2
(y2 + x2)
2xy +
Como y-
x2 + y2
= 3y => 2xy -1 = 3y => x =
= 3y
3y+ 1
2y
3y+ 1
x + 3y = 0 => y(x2 + y'2
: )-(x + 3y) = 0 e x =
segue
2y
x2 + y2
que:
y
3y + 1
2y
2
+y2
3y+ 1 -3y =0 => 4y4 -3y2 -1 = 0 => y2 =1
2y
3y+ 1
segue que x = 2 ou x = 1.
2y
Assim as soluções do sistema são os pares (2, 1) e (1, -1).
Assim y = 1 ou y = -1. Como x
57) Encontre todos os pares de inteiros x e y tais que x3 + y3 = (x + y)2.
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
80
Resolução:
x3 +y3 =(x + y)2 => (x+ y)(x2 - xy + y2) = (x + y)2
Se x + y = 0 todos os pares de inteiros (x, -x), x e Z são soluções. Se
x + y 1 0 a equação (x + y) (x2 - xy + y2) = (x + y)2 implica que
x2 - xy + y2 = x + y, que podemos reescrevé-la como
x2 - (y + 1)x + y2 - y = 0 que pode ser vista como uma equação
quadrática em x. Assim,
A = [-(y + 1)]2-4-l(y2-y) = -3y2+6y + 1
Lembrando que uma equação quadrática possui raizes reais quando
A > 0 , segue que
-3y2 + 6y + 1 > 0 =>
3-2>/3
3
<y<
3 + 2V3
3
Como y deve ser inteiro, por hipótese, segue que os únicos valores
possíveis para y são 0, 1 e 2 que nos leva às soluções (1, 0), (0, 1),
(1,2), (2,1) e (2, 2).
58) Fatore a expressão
30(a2 +b2 +c2 +d2) + 68ab-75ac-156ad-61bc-100bd + 87cd
Resolução:
Vamos supor que
30(a2 + b2 +c2 + d2) + 68ab -75ac -156ad -61bc -100bd + 87cd =
= (Aa + Bb + Cc + Dd)(Ea + Fb + Gc + Hd)
Como os coeficientes de a2, b2, c2 e d2 são iguais a 30 segue que
E=3£.F=30
30 eH=30
ABC
D
Assim,
30(a2 +b2 +c2 +d2) + 68ab-75ac -156ad-61bc -100bd + 87cd =
ou
r^/30
30
30
30
= (Aa + Bb + Cc + Dd) —a + — b + — c + — d
v
'V A
B
C
D J
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
81
Agora perceba que o coeficiente de ab no primeiro membro é 68 e no
. 30A 30B .
,
30A 30B
segundo membro e
sequndo
é ------ +------ . Assim devemos ter ------- +------ = 68.
BA
BA
Assim,
5
A 3
— = r => - — + — = 68 => 30r2 - 68r + 30 = 0 => —
ou
3
B
B
B
A
B
5
Raciocinando analogamente para os demais termos segue que
A
1 A
1
B
6
5 B
1 C
— = -2 ou — ; — = — ou-5;
= -3 ou — , —
ou - 5 ; — = — ou —; — C
2D5
C
5
6D
3D
5
ou —
2
2
5
Agora perceba que
1
-2 ou -2
A J3
A J3
A
3 5
5’6
B' C
5
3
— ou —
3
5
C ” B C
5
3'
ou
6
5
— ou —
5
6
6
5
Analogamente,
(5
3
— ou —
£
B C
C' A
6
U
5
A
5’
6
5
— ou —
5
6
J3 C
CA
1
2
1
-2 ou - 2
ou —,-2
6
E também
2
5
— ou —
5
2
C A
A' D
C
D
C A ( „
1
------ = -2 ou —
2
A D
J-2,-1 ou
l
5
1 ou -cl
—
5 =>
5
J
1
-5
2
„ A 3 .
Se — = — implica que
B
5
A B C A
B ' C' A' D
3
5
5
6
1A
2,
f
GA
(A, B, C, D)=l A. ±-, -2A, -5A
82
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Como esperamos que os coeficientes A, B, C e D sejam inteiros
sugerimos que A = 3 o que implica que (A, B, C, D) = (3, 5, -6, -15) e
então
30 (a2 + b2 + c2 + d2) + 68ab - 75ac -156ad - 61bc -10Obd + 87cd =
ou
^^30 30. 30
30 A
(Aa + Bb + Cc + Dd) —a + — b + — c + — d
v
\a b
c
d )
É escrita como
30(a2 + b2 + c2 + d2) + 68ab-75ac-156ad-61bc-100bd + 87cd =
= (3a + 5b-6c - 15d)(10a+ 6b - 5c - 2d)
Ops! Essa foi difícil! ©
59) Sejam x, y e z números complexos tais que x + y + z
x2 + y2 + z2 = 3 e xyz = 4. Calcule o valor de
1
1
1
S =------------ +------------- +------------- .
xy + z-1 yz + x-1 zx + y-1
Resolução:
Note que x + y + z = 2 => z-1=1-x-y
xy + z-1 = xy + 1-x-y = (x-1)(y-1)
Analogamente é fácil concluir que
yz + x-1 = (y -1)(z-1)
zx + y -1 = (z -1)(x -1)
Assim.
S-
1
,
xy + z-1
1
yz + x-1
1
zx + y -1
1
1
1
x+y+z-3
S = (x-1)(y -1) + (y-1)(z-1) + (z-1)(x-1) " (X-1)(y-1)(z-1)
Como x + y + z = 2 segue que
S=
x + y+ z-3
________ -1______
(x-1)(y - 1)(z -1) " (x - 1)(y -1)(z -1)
2,
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
s —------------------
(x-1)(y-1)(z-1)
S=
83
xyz - (xy + xz + yz) + (x + y + z) -1
xyz - (xy + xz + yz) + (x + y + z)-1
5-(xy + xz + yz)
Por outro lado,
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)
22 = 3 + 2(xy + xz + yz) => xy + xz + yz = —
Finalmente,
S =----- '-----------------r
5 - (xy + xz + yz)
5-1
2
9
2
60) Resolva o sistema:
x+y+z=3
x2 +y2+z2 =3
x3 + y3 + z3 = 3
Resolução:
Sejam x, y e z as raizes da equação t3 - at2 + bt - c = 0. Assim, por
Girard,
a=x+y+z=3
(x + y + z)2 -2(xy + xz + yz) = x2 + y2 - z2
32-2b = 3=>b = 3
Como estamos supondo que x, y e z são raizes de t3 - at2 + bt - c = 0
segue que
x3 -ax2 +bx-c = 0
y3 - ay2 +by - c = 0
z3 - az2 + bz-c = 0
Adicionando estas três igualdades,
x3 + y3 +z3 -a(x2 +y2 + z2) + b(x + y + z)-3c = 0
3-3-3 + 3-3-30 = 0 => c = 1
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
84
Assim a equação t3 - at2 + bt - c = 0 fica
t3 -3t2 + 3t-1 = 0 <=> (t-1)3 =0 <=> t = 1
Como estávamos supondo que x, y e z são as raízes da equação
original segue que x = y = z = 1.
61) Se a, b, c e d são números reais mostre que
(a2 + b2)(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 +(ad- bc)2
Resolução:
Uma maneira muito elegante de demonstrar a identidade acima é a
seguinte:
Consideremos os números complexos
z = a + bi e w = c + di => |z|2 = a2 + b2 e |w|2 = c2 + d2
Sabemos que
z.w = (ac + bd) + (ad - bc).i
|z.w|2= (ac + bd) + (ad - bc)'
Como |z|2 |w|2 = |z.w|2 segue que
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 +(ad-bc)2
62) Se a, p e y são as raízes da equação x3 + 5x + 8 = 0 determine o valor
de a3 + p3 + y3.
Resolução:
Como a, p e y são as raizes da equação x3 + 5x + 8 = 0 temos que a,
p e y estes números satisfazem a equação, ou seja:
a3 + 5a + 8 = 0
P3 + 5p + 8 = 0
Y3 + 5y + 8 = 0
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85
Adicionando as três equações acima temos:
a3 + p3 + y3 + 5(a + P + y) + 24 = 0
Mas a + p + y é a soma das raizes da equação que, pelas relações de
b
o
Gírard é igual a — , onde b é o coeficiente de x , que o caso dessa
a
equação é ZERO!, Visto que o termo x2 não aparece na equação
x3 + 5x + 8 = 0. Assim temos que a + p + y = 0 e daí temos que
a3 + P3 + y3 + 5(a + p + y) + 24 = 0 => a3 + p3 + y3 + 5(a + p + y) + 24 = 0
a3 +p3 + y',3
-24
63) Sabendo que a, b, c, d e e são números reais tais que
ía + b + c + d + e = 8
|a2 +b2 +c2 +d2 + e2
16
Determine o valor mínimo de e.
Resolução:
Não é difícil provar que
4(a2+b2
c2 + d2) > (a + b + c + d)2
Como a + b + c + d = 8- e e a2 + b2 + c2 + d2=16-e2 segue que
16
4(a2 +b2 + c2 + d2 j > (a + b + c + d)2 => 4(16-e2) > (8-e)2 => e > —
5
Assim o menor valor que e pode assumir e — .
64) Sejam x,, x2,
xn números inteiros tais que -1 < X| < 2, i = 1, 2, 3,
n,
x, + x2 + ... + xn =19 e x2 + x2 + ... + x2 = 99. Sendo m e M os valores
máximo e mínimo da expressão x3 + x2 + ... + x3 , determine o valor de
M
m
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
86
Resolução:
Sejam a, b e c as quantidades de (—1)’s, Ts e 2’s presentes na
sequência (x,, x2, ..., xn). Assim a, b e c são inteiros não negativos
satisfazendo -a + b + 2c = 19 e a + b + 4c = 99. Isolando a e b em
função do c, podemos concluir que a = 40 - c e b = 59 - 3c.
Como b > 0
59
b > 0 => 59 - 3c > 0 => c < — = 19,6 => 0 < c < 19
Então
ía = 40 -c
|b = 59 - 3c
xf + x2 +... + x„ = -a + b + 8c = 19 + 6c
Assim o mínimo de xf + X2 +... + x„ ocorre quando c = 0, ou seja,
m = (x?+x2+... + x’)m.n=19
Enquanto que o máximo ocorre quando c =19, ou seja
M = (x?+x|+... + x2)màx =133
133
19
.
M
Assim, —
m
65) Se x, y e z são números reais tais que x + y + z = 1, mostre que
x2 +y2 + z2 > -.
Resolução:
Como x + y + z = 1 segue que (x + y + z)2 = 1 e daí
1 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)
Usando o fato de que MG < MA segue que
'x2y2 <
x2 + y',2
2~
2xy < x2 + y2
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
87
x2 + z2
=> 2xz < x2 + z2
2
y2+z2
=> 2yz < y2 + z2
y2z2 <
2
Assim,
1=x2 + y2 +z2 +2(xy + xz + yz)<x2 +y2+z2 +(x2 +y2)+(x2+z2)+(y2 + z2)
Ou seja,
1
3x2 + 3y2 + 3z2 > 1 => 3(x2 + y2 + z2) > 1 => x2 + y,22 +z2 > —
3
66) Resolva a equação(x-5)(x-7)(x + 6)(x + 4) = 504.
Resolução:
Reordenando os fatores,
(x - 5)(x + 4)(x-7)(x + 6) = 504 => (x2 -x-20)(x2 -x-42) = 504
Fazendo y = x2 - x,
(x2 -x-20)(x2 - x - 42) = 504 => (y - 20)(y -42) = 504
=> y2 - 62y + 336 = 0
Assim, y2 - 62y + 336 = 0=>y = 6 ou y = 56 .
Como y = x2-x segue que
y = x2 - x =>
x2 - x = 6
„
o
=> x =-2 ou 3 ou - 7 ou 8
x2 - x = 56
67) Determine racionais a, b e c tais que \/x/2-1 = 5/a + ?/b + 1/c .
Resolução:
Seja x =
e y = ?/2 => x = 'y-1.
Note que y = \/2=>y3=2=>1
y3 — 1 = (y — l)(y2 + y +1) eque
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
88
y2 +y+ 1 =
3y2 + 3y + 3 3y2 + 3y + 2 +1
3
3
y3+3y2+3y + 1 (y + 1)3
3
3y2 + 3y + y3 +1
3
3
Como x = ^/y-1 segue que x3 = y - 1. Lembrando que
i = y3-i = (y-i)(y2+y+i)
Segue que y -1 =
1
y2 +y+ 1
3
1
3/3
Assim, x3 = y -1 = —,2 ________ — _________ —S X —
y+1
y + y+i (y+1)3
1
Por outro lado, 3 = y3 +1 = (y+ 1)(y2 - y + 1) =>
y+i
y2 -y + i
3
Assim segue que:
3/3
x =-----y+1
1
y+1
=> x = 3/3
y2-y + i
3
y2 - y+ 1
3
Como y = 3/2 segue que
4
2
1
Ou seja a = —, b = — e c = —
9
9
68) Qual o valor numérico da expressão abaixo para x < -3?
A = a/9-6x + x2 + ^9 + 6x + x2
89
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Resolução:
A = -s/9 -6x + x2 + x/9 + 6x + x2 = ^(3 - x)2 + ^(3 + x)2 = |3-x|+|3 + x|
Como estamos supondo que x
-3 segue que:
A = \/9-6x + x2 + \/9 + 6x + x2 = |3 - x| +13 + x| = (3 - x) + (-3 - x) = -2x
69) Encontre todos os números reais x tais que 2X + 3X - 4X + 6X - 9X = 1.
Resolução:
Fazendo 2X = a e 3X = b, a equação acima pode ser reescrita como
1 + a2+b2-a-b-ab = 0
Multiplicando por 2 e completando os quadrados,
1 + a2 + b2 - a - b - ab = 0 => (1 - a)2 + (a - b)2 + (b -1)2 = 0 <=> a
b=1
Assim 2X= 1 e 3X = 1 => x = 0 é a única solução da equação!
70) Encontre todos os números reis x tais que
8X +27x
7
6
12x +18x
Resolução:
Fazendo 2X = a e 3X = b, a equação acima pode ser reescrita como
a3+b3
a2b + b2a
7
6
(a + b)(a2 -ab + b2)
ab(a + b)
7
6
6a2 -13ab + 6b2 = 0 =>
6a2 -9ab-4ab + 6b2 = 0 =>
(2a - 3b)(3a - 2b) = 0 <=> 2a = 3b ou 3a = 2b
ou seja,
o
,x+1
2-2x = 3-3x => 2X+1
x + 1 = 0=>x = -1
= 3-=>^ = 1=>f2r =f2Y
3X+1
Uj
90
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
o
3-2x
2 3x =>2!x: -1 = 3:
x-1 = 0 => x = 1
71) (AMC) Se xy = a, xz = b e yz = c, verifique que
(ab)2 +(ac)2
x2 + y2 + z2
(bc)2
abc
Resolução:
Multiplicando membro a membro as três igualdades,
x2y2z2 = abc
y2
abc
y2z2
2
abc
ab
c
abc
ac
VT
y
2
abc
a2
abc
l2"
x2y2
x2 + y2
abc
c2=^
c
bc
a
ac
bc
(ab)2 +(ac)2 +(bc)2
b
a
abc
72) Determine o mínimo valor da expressão xy + xz + yz sabendo que x, y
e z são números reais tais que x2 + y2 + z - 1.
Resolução:
Sabemos que(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz).
Como
x2 + y2 + z2 = 1
Segue que
(x + y + z)2 = 1 + 2(xy + xz+ yz)
Mas ocorre que
(x + y+ z)2 >0
j
1 + 2(xy + xz+yz)>0=>xy+xz + yz>-~
Assim o valor mínimo assumido por xy + xz + yz é
1
.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA — IME
91
73) Resolva a equação
(x +1995) (x +1997) (x +1999) (x + 2001) + 16 = 0
Resolução:
Fazendo y = x + 1998, teremos x = y - 1998.
Substituindo na equação:
(y-1998 + 1995)(y-1998+1997)(y-1998 + 1999)(y-1998 + 2001) + 16 = 0
(y-3)(y-1)(y + 1)(y + 3) + 16 = 0
(y2-9)(y2-l) + 16 = 0
y4 -y2 -9y2 +9 + 16 = 0
y4-10y2 + 25 = 0
(y2-5)2=0
(y2-õ) = 0
y = ±>/5
Portanto, as raízes são: x = Võ -1998 e x = -J5 -1998.
74) Se a + b + c = 0, com a#0, b^OecíO determine o valor da
expressão
a
b
c
a-b b-c c-a
a-b
b-c
c-a}
b
a
c
Resolução:
a-b
c
b-c
a
c -a
b
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)
abc
a2b - ab2 + b2c - bc2 + ac2 - a2c
abc
b (a2 - c2 j - b2 (a - c) + ac (c - a)
abc
b(a + c)(a - c) - b2 (a - c) - ac (a - c)
abc
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
92
(a-c)(b(a+c)-b2 -ac)
abc
(a-c).(ba + bc-b2 -ac)
abc
(a-c).[b(a-b)-c(a-b)]
(a-c) (a-b).(b-c)
abc
abc
Agora perceba que
c(b -c)(c-a) = c(bc - ba -c2 +ac) = bc2 - abc -c3 + ac2
= c2 a + b - c3 - abc = -2c3 - abc
a(a-b)(c - a) = a (ac - a2 -bc + ab) = a2c - a3 - abc + a2b
= a2 b + c -a3 -abc =-2a3 -abc
b(a-b)(b-c) = b(ab-ac- b2 + bc) = ab2 - abc - b3 + b2c
= b2 a + c - b3 + abc =- 2b3 - abc
Portanto temos que:
c
a-b
a
b-c
b
c-a
c(b-c)(c-a) + a(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
(a-b)(b-c)(c-a)
-2c3 - abc - 2a3 - abc - 2a3 - abc
(a-b)(b-c)(c-a)
logo,
c
a -b
a
b -c
b
c-a
-2 (a3 +b3 + c3)-3abc
2(a3 +b3 + c3) + 3abc
(a-b)(b-c)(c-a)
(a-b)(b-c)(a-c)
Finalmente temos que:
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
(a-b
b-c
c-a
c
a-b
------- r------- r-----v c
a
b
a
b-c
93
c-aj
(a-c)-(a-b)-(b-c)
2(a3+b3+c3) + 3abc
abc
(a-b)(b-c)(a-c)
abc
Mas por outro lado sabemos que
a3 + b3 + b3 - 3abc = (a + b + c) - (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc).
Como a + b + c = 0 segue que
a3 + b3 + b3 - 3abc = 0 => a3 + b3 + b3 = 3abc =>
a3+b3 + b3
=3
abc
E portanto temos que
a-b
c
b-c + c-a
a
b
c
a-b
b
a
b-c + c-a
abc
= 2-3 + 3 = 9
75) Se a, b e c são três inteiros positivos, tais que
abc + ab + ac+bc + a + b + c= 1000,
calcule o valor de a + b + c.
Resolução:
Somando-se 1 aos dois membros da igualdade teremos:
abc + ab + ac + bc+a + b + c + 1 = 1001
ab(c +1) + a(c +1) + b(c +1) + c +1 = 7 • 11 • 13
(c+ 1)(ab + a+ b + 1) = 7-11-13
(c + 1)[a(b + 1) + b + 1] = 7-11-13
(c + 1)(b + 1)(a + 1) = 7-11-13
Logo, c + 1 = 7 assim c = 6, b+1 = 11 assim b = 10;a+1 = 13 assim
a = 12, logo a + b + c = 6 + 10 + 12 = 28.
94
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
76) Determine o número inteiro a para que o polinômio q(x) = x2-x-1
seja um fator do polinômio p(x) = ax17 + bx16 +1.
Resolução:
Se q(x) = x2-x-1 for um fator do polinômio p(x) = ax17+bx:’6+1
1 + V5
1-V5 sendo zeros do polinômio
a =------- e p =
2
2
q(x) = x2 -x-1, a e p também serão raizes do polinômio
segue que
p(x) = ax17 + bx’6 + 1. Assim,
aa17 +ba16 +1 = 0
ap17+bp16+1 = 0
Para isolarmos o valor de a, multiplicamos a primeira equação por p'6
e a segunda por a’6. Observe:
laa17+ba16+1 = 0
[ap17+bp,5+1 = 0
aa17p16+ba16p16 + P16 =0
ap17a,6+bp16a16 + a16 =0
Subtraindo as duas últimas equações,
a16-p16
aa16p,6(a-p) + p16 -a16 = 0=>a = —
a 16p16(a-P)
Como a e p são zeros do polinômio q(x) = x2-x-1 segue que
ap = -1 (produto das raízesi). Assim
a=
Como a =
a16-p16
a,6p,6(a-p)
e p=
a=
al6-p16
(a-P)
1-V5 temos que a - p = Võ . Assim,
2
a16-p16
(a-P)
-p”)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
95
Lembrando da famosa fórmula de Binet para o n-ésimo termo da
sequência de Fibonacci,
1 + 75
2
fn=4
vo
Como a =
n
1-75
.n
fn
2
-L(a16 P16) segue que a
7õv
fie-
Como
(fn) = (1,1, 2, 3, 5, 8. 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
)
Segue que a = 987.
77) Sabendo que ax + by = 2, ax2 + by2 = 20, ax3 + by3 = 56 e
ax4 + by4 = 272, determine o valor de ax5 + by5.
Resolução:
Multiplicando a segunda equação por x obtemos
ax2 + by2 = 20 => ax3 + bxy2 = 20x
Multiplicando a segunda equação por y obtemos
ax2 + by2 = 20 => ax2y + by3 = 20y
Adicionando as duas últimas equações obtidas,
ax3 + bxy2 = 20x
ax2y + by3 = 20y
ax3 + by3
=56
xy(ax + by) = 20(x + y)
=2
20(x + y)-2xy = 56
Agora multiplicando a equação ax3 + by3 = 56 por x obtemos,
ax3 + by3 = 56 => ax4 + bxy3 = 56x
Agora multiplicando a equação ax3 +by3 = 56 por y obtemos,
ax3 + by3 = 56 => ax3y + by4 = 56y
96
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Adicionando as duas últimas equações obtidas,
[ax4 + bxy3 = 56x
ax4 + by4 + xy(ax2 + by2 j = 56(x+ y)
[ax3y + by4 = 56y
*272
'
'
35
=>56(x + y)-20xy = 272
20(x + y)-2xy = 56
agora temos que
e
56(x+ y)-20xy = 272.
Fazendo x + y = p e x ■ y = q obtemos o sistema
Í20(x + y)-2xy = 56
[56(x + y)-20xy =272
20p — 2q = 56
=> p = 2 e q = -8
56p-20q = 272
Ou seja, x + y = 2 e x ■ y = - 8
Finalmente multiplicando a equação ax4 +by4 = 272 por x obtemos,
ax4 + by4 = 272 => ax5 + bxy4 = 272x
Multiplicando a equação ax4 + by4 = 272 por y obtemos,
ax4 + by4 = 272 => ax4y + by5 = 272y
Adicionando as duas últimas equações obtidas,
íax5 + bxy4 = 272x
[ax4y + by5 =272y
=> ax5 + by5 + xy (ax3 + by3) = 272(x + y)
=> ax5 + by5 - 448 = 544 => ax5 + by5 = 992
78) Se a e b são as raízes da equação x2 - x - 5 = 0, determine o valor de
(a2 + 4b - l).(b2 + 4a -1).
Resolução:
Usando Girard,
a + b =1 e ab = -5
Por outro lado,
+4b-lj(b2 +4a-l) = a2b2 +4a3 -a2 +4b3 +16ab-4b-b2 -4a+1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
97
(a2 + 4b-l)(b2 + 4a-l) = (ab)2 + 4 (a3 + b3)-{a2+b2)-4(a + b) + 16(ab) + 1
Mas
a + b = 1 e ab = -5 =>
(a + b)2 = 12 => a2 + b2 = 1-2ab => a2 + b2 = 1-2(-5) = 11
a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) => a3 + b3 = 1-(11-(-5)) = 16
Assim,
(a2+4b-l)(b2+4a-l) =
= (ab)2 + 4 (a3 + b3)-(a2 + b2) - 4 (a + b) + 16(ab) + 1
= (-5)2 + 4(16) - (11) - 4(1) + 16(-5)+ 1 =-5
79) Se a e b são as raizes da equação x2 + x - 1 =0, determine o valor de
a” +a10b + a9b2 +a8b3 +a7b4 +a6b5 + a5b6 + a4b7 +a3b8 + a2b9 +ab10 +b”
Resolução:
Usando Girard,
a + b = -1 e ab - -1
Por outro lado,
a12-b12 =
= (a-b)(a11 + a10b + a9b2 + a8b3 + a7b4 +a6b5 +a5b6 +a4b7 +a3b8 +a2b9 +ab10 +b11)
a’1 +a10b + a9b2 +a8b3 +a7b4 +a6b5 +a5b6 +a4b7 +a3b8 +a2b9 +ab10 +b11
a12-b12
a-b
Mas ocorre que
a12 - b12 = (a4 )3 - (b4 f = (a4 -b4 )(a8 + b8 + a4b4)
= (a + b)(a - b)(a2 + b2)(a8 +b8 + a4b4)
98
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
a12-b12
= (a + b)(a2 + b2)(a8 + b8 + a4b4)
a-b
Mas
a + b = -1 e ab = -1
(a + b)2 = (-1)2 => a2 +b2 =1-2ab => a2 + b2 = 1 — 2 (—1) = 3
a2 +b2 = 3=>(a2 +b2)2 =32 =>a4 +b4 = 4-2(ab)2 = 9-2(-1)2 = 7
a4 + b4 = 7 => (a4 + b4 )2 = 72 => a8 + b8 = 49 - 2(ab)4
^a8+b8 =49-2(-1)4 =47
Assim,
a12-b12
= (a + b)(a2 + b2)(a8 +b8 + a4b4)
a-b
= (-l).(3)(47 + (-1)4j = -144
80) Verifique que não existem números reais x, y e z tais que x + y + z = 0
1 1 1 „
e - + - + - = 0.
xyz
Resolução:
2 2+l = o=> yz + xz + xy = 0=>xy + xz+yz = 0
x
y
z
xyz
Como
x + y + z = 0=>(x + y + z)2 =02
z2 + 2(xy + xz + yz) = 0
Segue que
x2 +y2 +z2 +2(xy+ xz + yz) = 0 => x2 + y2
Mas não podemos ter
x=y=z=0
z2 = 0<=>x = y= z = 0
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Pois nesse caso
1
1
x’7
99
e — não estariam bem definidos!
z
81) (Harvard) Simplifique 200^2Vn-3V5 • 400^89 + 12>/55 .
Resolução:
= 89 + 12^/55 . Assim,
Note que (2'/Tí +
2OO^2 JFÍ - 3^5 • a00^89 +12J55 = 200^2y/ri-375 ■ 400^2x/ÍÍ + 3x/õ j2 =
= 200^2>/ii - 3^5 ■ 2OO^2VÍ1 - 3^5 = -1
82) Se (x + 5)2
(y-12)2 = 142 , determine o valor mínimo de x2 + y2.
Resolução:
Fazendo x + 5 = 14 cos a e y-12 = 14 sen a temos:
x2 + y2 = (14cosa - 5)2 + (14 sen a + 12)2 = 365 + 28 (12 sen a -5cosa)
É um problema muito conhecido que 0 minimo assumido por
asena + bcosa
é
(12sena-5cosa)
Assim o máximo assumido
por
13. Assim o menor valor assumido
por
-Va
—
ya2+b2.
é
x2 +y2 = 365 + 28(12 sen a -5 cos a) é x2 + y2 = 365 + 28 (-13) = 1
1
83) Se a, b e c são números reais não nulos tais que a + —
b
mostre que |abc| = 1.
Resolução:
a-b
b-c
bc
1 u 1
1
a + — = b + — = c + —=> b-c = ^^
ca
b
c
a
a-b
c -a =-----ab
1
1
b+—=c+—
c
a
100
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Multiplicando as três últimas expressões acima,
bc
ca
(abc)2 = 1 => abc = +1 => |abc| = 1
84) Quantas raizes negativas possui a equação x4 -5x3 -4x2 -7x + 4 = 0
Resolução:
Podemos reescrever a equação como
x"-4x2+4 = 5x3+7x=>(x2-2)
=5x3+7x
Note que para todo x negativo o segundo membro é negativo e o
primeiro membro não é negativo. Assim concluímos que o a equação
original não possui raízes negativas.
85) (Harvard) Mostre que
x3 + 3x2 + 3x + 7 = 0.
é
raiz
uma
da
equação
Resolução:
x3 + 3x2 +3x + 7= 0=>x3+ 3x2 + 3x + +1 + 6 = 0
=>(x + 1)3=-6 => x =-1 + ^6 =-1-^/6
86) Determine todos os primos da forma n3 - 1.
Resolução:
Como n3 -1 = (n -1)(n2 + n + ij e n2+n + 1>1, VneN segue que
n3 - 1 será primo quando n-1 = 1=>n = 2. Assim o único primo da
forma acima é 7.
11
1
87) Determine o número de soluções de —+ —=------- com x e y inteiros
x y 1998
positivos.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
101
Resolução:
1 i
*1
—+ —==------- vem 1998x + 1998y = xy. Somando 19982 nos dois
De x y 1998
lados da equação temos
1998x + 1998y + 19982 = xy + 19982
e
xy -1998x-1998y +19982 = x(y -1998) -1998(y -1998)
= (x -1998)(y -1998) = 19982
Sejam a e b inteiros. O número de soluções é o mesmo que a
quantidade de sistemas da forma
x-1998 = a
y-1998 = b
ab = 19982
Como os pares de solução (x, y) devem ser de números inteiros
positivos, teremos
a + 1998>0
a >-1998
b + 1998 >0
b>-1998
Logo somente os valores positivos de a e b satisfazem o sistema, uma
vez que -1998 < a < 0 e -1998 < b < 0, o que implica que ab < 19982.
Portanto o número de soluções é igual ao número de divisores de
19982 = 22 -36 -372, que é dado por (2 + 1 )(6 + 1)(2 + 1) = 63.
88) Mostre que não existe um número natural de cinco algarismos abcde
que seja igual a soma dos cubos dos seus dígitos.
Resolução:
Suponhamos que fosse possível que
abcde = a3 + b3 + c3 + d3 + e3
Como a, b, c, d, e são dígitos temos que 0 < a, b, c, d, e < 10. Assim,
abcde = a3 + b3 + c3 + d3 + e3 < 103 + 103 + 103 + 103 + 103
abcde < 5.000
102
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
O que é um absurdo pois um número de cinco algarismos não pode
ser menor do que 5.000.
89) Calcule os valores de x, y, u e v que satisfazem o sistema de quatro
equações
x + 7y + 3v + 5u = 16
8x + 4y + 6v + 2u = -16
2x + 6y + 4v + 8u = 16
5x + 3y + 7v + u = -16
Resolução:
Adicionando a primeira com a última equação,
6(x + u) + 10(y + v) = 0
Adicionando as duas outras equações,
10(x + u) + 10(y + v) = 0
Resolvendo o sistema
6(x + u) + 10(y + v) = 0
10(x + u) + 10(y + v) = 0
Segue que x + u = 0ey + v = 0=>u = -xev = -y. Substituindo estas
informações nas duas primeiras equações obtemos
-4x + 4y = 16
6x-2y = -16
=>x = -2ey = 2
Como u = -x e v = -y segue que u = 2 e v = -2. Assim a única solução
do sistema original é (-2, 2, 2, -2)
90) Dado que n é um número inteiro positivo, determine o valor de n que
cumpre a seguinte igualdade
n3-3 n3-4 n3-5
5
4 + 4 = 169
n3 + n3 + n3 + '"+n3V
n3 n3
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
103
Resolução 1:
Podemos reescrever
n3 - 3 n3 - 4
n3 + n3
Como
i 3
.
4
5+4+4=169
n3 -5
n3
n3
n3
n3
x n3-3
.. + 1= 169=>
= 169=>
v
’ l^n3
n3
n3
'
' Ir?
n3
riJ
= 169=>
4169
n3 -5-169 = 169 =>n3 = 343
n=7
Resolução 2:
n3-3 n3-4 n3 -5
5
4
3
—3—+ —5—+ —5—+ • + -T + —+ ^ = 169
n3
n3
n3
n3 n3 n3
Reescrevendo a expressão na ordem inversa,
3
4
n3 - 4 n3 - 3
^ + ^ + -+ n3 + n3 = 169
Adicionando estas duas últimas equações,
1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2x169
(n3-5) = 2x169=>n = 7
(n3-s)vezes
m+ n
91) Se m e n são naturais tais que —:
m'i2 +mn + n2
de m + n.
_4_
, determine o valor
49
Resolução:
Vamos supor que
m + n = 4k e m2 + mn + n2 = 49k
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
104
Assim,
m2 +2mn + n2 =(m + n)2 =(4k)2 =16k2 =>
m2 + mn ■<- n2 + mn = 16k2 => mn = 16k2 -49k
49k
Como mn > 0 => 16k2 -49k > 0 => k > 3
Por outro lado,
p^2_mn=^y_(16k2
2
0<
-49k) = 49k-12k2 => k < 4
Ora sek>3ek<4 segue que k = 4. Como supomos inicialmente
que m + n = 4k segue que m + n = 16.
92) (AMC) Sejam
12
22
32
10012
1
3
5
2001
3 —------1-------- F----- F ... 4--------------
e
.
12 22 32
10012
b = — + — + — 4*... 4------------3 5
7
2003
Determine o inteiro mais próximo de a - b.
Resolução:
22_12
32 _ 22
a - b = — +--------- + ---------1
3
5
42 -32
10012 -10002
7
+"+
2001
(n + 1)z-n2
Note que
2n + 1
a - b = 1 + 1 + 1 + ... + 1 1001 vezes
= 1, Vn e N. Assim,
loof = 1oo1_ioof
2003
2003
= 1001-500,25 = 500,75
Assim o inteiro mais próximo de a - b é 501.
10012
2003
105
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
93) (AMC) Sabendo que tn = n(n>-1) , determine o valor de
2
1_
1
t.
t2
1
^3
^2002
Resolução:
1 A 2
*1
h
1
^2002
*3
2
"+ 2002-2003
2
2
2
" 1-2 + 2-3 + 3-4
■(HXHX 4 l + - + íl
2
3
2
2002
2
= 2----- —
2003
2003
4004
2003
94) Mostre que
1 + x + x2 +... + X.80
1 = (x54 + x27+l)(x18 + x9 + l)(x6 + x3 + l)(x2 + x + l)
Resolução:
S = 1 + x + x2 + ... + x80 => xS = x + x2 + x3 + ...
.81
Assim,
1
x2 + x3 +... + X81 )-(l + x + x2 +... + X.80
xS - S = (
S(x-1) = x':81-1=>S =
:81-1
x81-1
x-1
*81
1
1+X + X2+.., + X.80
80=^-^
x-1
Como a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) segue que
,3
S4+x
+x27
: +l)=
x81 -1 =(x27)3 -13 =(x27 -l)(x:54
= (x9 - l)(x18 + x9 + 1)(x.54
54 + X27 + 1) =
= (x3 - l)(X6 + x3 + l)(x18 + x9 + l)(x:!54 + x•:27+l) =
= (x-1)(x2 + x+l)(x6 +x3 +l)(x18 +x9+l)(x:!54 + x27 + 1)
Assim,
x81 -1= (x -1)(x2 + x + l)(x6 + x3 +l)(x.18
x9 +l)(x.54
:
:27+l)
106
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
x81-1
x-1
= (x2 + x + l)(x6 + x3 +l)(x.18
x9 +l)(x;54
,27
+ 1)
k
l
x81-1
segue que
x-1
Como 1 + x + x2 +... + x80
1 + x + x2 +... + X80 = (xM + x27 +l)(x18 + x9 +l)(x6 +x3 +l)(x2 + x +l)
95) Calcule o valor de
P = (o3 -35O)(13 -349)(23 -248)(33 -247)-...-(2493 -l)(3503 -O)
Resolução:
Note que um dos termos é 73 - 343 = 0 e portanto o produto P é igual
a zero!
x+y
96) Determine o valor real de x para o qual ----- - =
x-y
3-z
x2 -xy + y2
e
9 + 3z + z2
x2 + xy + y2
Resolução:
Fazendo o produto dos meios pelos extremos nas duas igualdades
acima,
x+y
x-y
3-z
1-z + z2
x2 - xy + y2
x3 + y3 = 1 + z3
9 + 3z + z2
x3 - y’3 = 27 - z3
x2 + xy + y2
Adicionando as duas equações acima,
x3 +y,3:
2x3 = 28 => x = ?/l4
x3-y:3 = 27-z3
1
1
1
97) Mostre que se abc = 1 e —+ — +—=a+b+c então pelo menos um
c
dos números a, b ou c é igual a 1.
Tópicos de Matemática - Olimpiadas - ITA - IME
Resolução:
2 2 2
a
bc + ac + ab
= a + b + c=>bc + ac + ab = a + b + c
abc
c
b
‘----- v----- *
Assim
(a-1)(b -1)(c -1) = abc-1 + (ab + ac + bc)-(a + b + c) = 0
Logo temos a = 1 ou b = 1 ou c = 1.
98) Determine inteiros a e b tais que
(2 + 1)(22 +1)(22’ +l)(2
+ l)Í22’ + 1').(2-
2a +b
Resolução:
Seja P = (2 + 1)(22 +1)(2:
+1
+1
Assim,
w
P = (2 + 1)(22 +1)Í2:22 ”)(223 + 1
+ 1)
+1).( 22”
(2-1)P = (2-1)(2 + 1){22 +1)(2»2: 2
(2-1)P = (22-1)(22 +1)(22’ *’)(2Í + 1
') í2’" + 1
') r
(2-1)P = Í22’ -1)2'
-|^°22
+1
'■
,2"
')■
(2-1)P = (22” -1
o100
P = 22
+1
-1=>a = 2100 e b = -1
99) Determine x satisfazendo x = 1 +
1
1
+1
107
108
3 - Resoluções - Produtos notáveis e Fatoração
Resolução:
x = 1+
x =1+
1
(x-1) + x
1
1
1 =1+
1
x +------ (X-1) + |1 + 7T,
3
2x - 3x = 0 => x = —, pois x * 0
100) Se a, b e c são raizes do polinômio p(x) = x3 + x2 -333x-1001.
Determine a3 + b3 + c3
Resolução:
Por Girard,
a + b + c = -1
ab + ac + bc = -333
abc = 1001
Por outro lado,
(a + b + c)3 +3abc = a3 +b3 +c3 + (a + b + c)(ab + ac + bc)
(a + b + c)3 + 3abc - (a + b + c)(ab + ac + bc) = a3 + b3 + c3
(-1)3 + 3 x 1001 - (-1)(-333) = a3 + b3 + c3
a3 + b3+c3 = 2669
101) (Stanford) Sabendo que x + y + z = 3, x2 + y2 + z2 = 5 e x3 + y3 + z3 = 7,
determine o valor de x4 + y4 + z4.
Resolução:
Como (x + y + z)2 = x2 + y2
z2 + 2(xy + xz + yz) segue que
32 =5 + 2(xy + xz + yz)=>xy + xz + yz = 2
Além disso,
x + y + z = 3, x2 + y2 + z2 = 5 => 3-5 = (x + y + z)(x2 + y,22 + z2)
(x + y + z)(x2 + y2 + z2) = 15
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
x3 + y3 + z3 + x2y + x2z + yzx + y2z + z2x + z2y = 15
x3 +y3 + z3 + xy (
y) + yz(y + z) + xz(z + x) = 15
xy (x + y) + yz(y + z) + xz(z + x) = 8
Como x + y + z = 3 segue que
x+y =3-z
x + y + z = 3=> x + z = 3 - y
y+ z = 3-x
Segue que
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(z + x) = 8
xy(3 - z) + yz(3 - x)+ xz(3 - y) = 8
2
3(xy + xz + yz) - 3xyz = 8 => xyz =-—
Finalmente,
x + y+ z = 3 e x3+y,33+
+z
z3
3 =7=>(x
= 7 => (x + y + z)(x3
3 +y3+z3j = 3-7
x4 +y4 + z4 + x3y + x3z + y3x + y3z + z3x + z3y = 21
x4 +y4 +z4 + xy(x2 + y2) + xz(x2 +z2) + yz(y2 +z2) = 21
Como
x2 + y,22 = 5 - z2
x2 + y2 + z2 = 5 => x2 +z2 = 5-y2
y2 +z2 =5-x2
Segue que
+ y4-1 +z"
x4 +y
+z4 + xy(x2 + y2)-+ xz(x2 + z2) + yz(y2 + z2) = 21
x4 +y4 +z4 +xy(õ-z2) + xz(õ -y2 ) + yz(5-x2) = 21
x4 + y4 + z4 + 5(xy + xz + yz) - xyz(x + y + z) = 21
^2~~ =~2
x4 + y4 +z4 =9
109
Capitulo 4
Desigualdades elementares
Resoluções
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
113
RESOLUÇÕES
Desigualdades elementares
1
01) Se x e R e x > 0, prove que x +— > 2.
x
Resolução:
Aplicando a desigualdade MA>MG obtemos:
1
x+I
___ x > ,/x
V
2
— => x + —1 > o2
x
x
02) Para todos os valores as variáveis x, y, z e w, reais positivas. Qual é o
menor valor da expressão f (x, y, z, w) = — +—+—+— ?
Resolução:
Aplicando a desigualdade MA>MG temos:
x
y
_z__ w
4~
w
x >4 x y z w
yy z w x
x y z w
— + — + — + — >4
y z w x
Assim o valor minimo assumido pela expressão é 4.
1
03) Para x > 0 qual o valor mínimo de y = x2 + —.
x
Resolução:
Inicialmente vamos reescrever a
possamos cancelar a variável x.
1
x
expressão de tal
y = x2 +-=> y = X2 + —+
2x
2x
Agora, finalmente podemos aplicar desigualdade MA>MG:
modo que
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
114
1
X2
x2+-s3^I
1
2x > 33L2.JL.J_
2x
3
V
2x 2x
x
fT
Assim o valor mínimo assumido pela expressão é 3J — .
04) (ITA/2002) Mostre que
\4
í X
- +2+
ly
> C(8,4).
Resolução:
Aplicando de imediato a desigualdade MA>MG temos:
í+y
y x
2
> Ey
vy x
2s+y >2
y
x
Portanto, o final fica muito simples
/
\4
í+y+2
y
= (2 + 2)4 = 4" = 256 > C(8,4) = 70
x
24
05) Qual o valor mínimo da expressão f(x) = 6x + —, quando x > 0?
x2
Resolução:
Reescrevendo a expressão dada, temos:
24
24
f(x) = 6x + =y = 3x + 3x + —
x x2
Aplicando MA> MG
24
3x + 3x + —y i----------- zy____
24
------------ x_>33x + 3x~ =>6x + =J> 3 3/216 =>6x + -y>18
3
V
x2
x2
x2
Assim o valor mínimo assumido pela expressão é 18.
115
Tópicos de Matemática - Olimpiadas - ITA - IME
2
06) Se x, y e z > 0 prove que ------x+y
Resolução 1:
9
2
2
+------ >
y+z z+x x+ y+z
Usando a desigualdade MA >MH temos
(x + y) + (x + z) + (y + z)
>
3
1
>9
z+x
1
x+y
2(x + y + z)-
3
1
y+z
1
x+y
9
2 +^
x+y+z
y+z
2
x+y
Resolução 2:
Usando o poderoso lema: Se a,, a2, ... a„ e R e b(, b2, b3, ... e R*
então é válida a desigualdade
(al+a2+... an)2
ai
a2
< — + — + ...
b,
b2
bl+b2+... + bn
, an2
bn
Queremos provar que
9
2
2
2
-------+------- +------- >
x+y y+z
y + z z+x x+ y + z
Reescrevendo a expressão acima, temos:
(Vã)2 | (Vã)2 | (Vã)2 s (3 Vã)2
x+y
y+z
z+x
9
x+y+z
2(x+y + z)
Muito legal, não é?
07) Se x, y e z são números positivos, qual o valor mínimo de
(1 1
1
(x + y + z) ■ — + — + - ?
1x y
z
Resolução 1:
1
1
(x + y + z) ■ x +y
1
X
X
z
X
y
í+x+y+y+A+£ z
z
x
y
z
x
y
z
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
116
,
> í 1 1 1 'l x
y z
X+X+2+3
(x + y + z) — + -+- = —r — + — + —
1 X
”
■■
z
)
y
xx
z
z z y
y
Da questão 04, sabemos que
x + y > 2 x + — >2 e y+2>2
y Xx ~ ' z X
z y
Portanto, o final é imediato:
(x + y + z)-
1
x
1
1
y+ z
y + x + 2+*
y + X Z X z
X
z
+3>2+2+2+3
y
,
, f1 1 1 i „
(x + y + z)- —+ —+ - >9
Ix
z7
y
assim, o mínimo valor assumido pela expressão é 9.
Resolução 2:
Imediata Aplicando MA> MH
x + y+ z >
3
_111
3
—+ -+—
x y z
, + y + z)x i—
1 +1
(x
lx
y
2 >9
z
Muito simples, não é?
Resolução 3:
Usando Cauchy-Schwartz
,(x+y+z)-J —
1 +-+11
lx y z
((Vx)2 +(Vy )2 + (Vz)2)-
X
x2
Vx-k + 7y-T= + ^-X =32=9
Vx
Vy
1
Vz)
2
2
+u.
1
2
>
Tópicos de Matemática - Olimpiadas - ITA - IME
117
08) Qual o menor valor de xy + 2xz + 3yz para valores positivos de x, y e
z tais que xyz = 48.
Resolução 1:
Aplicando MA>MG temos:
xy^xy^yz^^ 2xz 3yz
xy + 2xz + 3yz > 3 • ^6 (48)2
=> xy + 2xz+3yz>72
portanto, o valor mínimo é 72.
Resolução 2:
Vamos o usar o seguinte fato:
"Se o produto de n números for constante a soma será mínima se
todos forem iguais".
Logo, xy = 2xz = 3yz dai, temos:
y = 2z e x = 3z
3z ■ 2z ■ z = 48 => 6z3 = 48 => z3 = 8 => z = 2
y=4 e x=6
Portanto,
xy + 2xz + 3yz = 6-4 + 2-6-2 + 3 4-2 = 72
portanto, o valor mínimo é 72.
09) Se a, b e c são inteiros positivos que satisfazem a condição
a b C „_____ _________ ,___
+ — = 3 prove que abc é um cubo de inteiro,
b c a
Resolução:
Usando MA > MG
a
b
b
c
c
a >3È.È.£
3
vb c a
a b c
—+—+— > 3
b c a
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
118
a b
Como sabemos a igualdade só ocorre se, e somente se — = -
c
a
Q
Mas de acordo com o enunciado —+ - + — = 3 então concluímos que
b c a
a b
— = 1 e daí, a = b = c. Logo, abc = a a a = a3, que é um cubo
b c a
perfeito.
10) Sejam x, y, z números reais tais que x y z = 32. Qual o menor valor da
expressão x2 + 4xy + 4y2 + 2z2 ?
Resolução:
Reescrevendo a expressão x2 + 4xy +4y2 + 2z2 temos que:
x2 + 4xy + 4y2 + 2z2 = x2 + 2xy + 2xy + 4y2 + z2 + z2
Aplicando MA>MG temos:
x2 + 2xy+2xy + 4y2 + z2 +z2 > ^2 • 2 ■ 4-(x • y • z)4 =
b
Vl6-324 = 16 => x2 + 4xy + 4y2 + 2z2 > 96
Assim o menor valor assumido pela expressão é 96.
11) Prove que
a2 + 3 „
.
>2.
•Ja2 + 2
Resolução:
Reescrevendo a expressão temos:
a2 + 2 + 1„
a2+ 2
1
Va2 +2
Va2 +2
7a2 +2
„
r;—~ + - 1- - >2
Va2 +2
Aplicando MA>MG temos:
■Ja2 +2
—
'a2 +2 • , 1
= Va2 +2 + , 1
>2
7a2+2
Va2+2
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
119
12) (Baltic-way) Prove que se a, b, c e d são numero reais positivos, então
temos:
a + c b + d c+a d+b
--- +--- > 4
a + b b + c c+d d+a
Resolução:
Aplicando MA>MH temos:
a+c c+a
a+b + c+d
2
>
2
a+b
c+d
(0
a+c c+a
a+c c+a
4(a + c)
--- +--- >
a+b c+d a+b+c+d
De modo análogo, temos:
b+d d+b
4(b + d)
------ +------- >
b+c d+a a+b+c+d
00
Adicionando as desigualdades (i) e (ii)
a+c
a+b
b+d
b+c
c+a d+b
------ +------- > 4
c+d d+a
12
18
13) Qual o valor minimo de f(x, y) = — + — + xy.
x
y
Resolução 1:
Aplicando MA> MG
12
18
— + — + xy
12 18
x
y
> 3— + — + xy
3
Vx y
— +— +xy > 3-^216
x
y
12
+ — + xy >18
x
y
Portanto, o valor minimo é 18.
Resolução 2:
Podemos usar o fato:
“se o produto de "n" números positivos for constante, a soma será
mínima se todos forem iguais".
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
120
12 18
Assim, note que neste caso o produto dos três números —, —- e xy é
constante
x y
Logo pelo que foi citada acima a soma será minima quando eles forem
iguais
12 18
xy => x = 2 e y = 3
x
y
E dai concluímos que o valor minimo de f(x, y) é
- + — + 2-3 = 6 + 6 + 6 = 18
2
3
14) Se x e y são positivos e x > y. Qual o menor valor de
f(x, y) = x +
8
y(x-y)
Resolução:
Como x > y, existe z
f(x, y) = x +
0 tal que x = z + y. Substituindo x por z + y
8
y(x-y)
8
8
= z + y + --------------- = z + y +-----y(z + y-y)------------ yz
Aplicando MA>MG
z+y+
8/8
>3z-y------ =>z + y +
yz
V
yz
8
>3-2=>z + y +
y z
Portanto o menor valor assumido pela expressão x +
isto ocorre quando
z=y
8
y-z
2 => z = 2, y = 2, x = 4
15) Encontre o menor valor da função definida pela lei
x X 2y 4z
f(x, y,z) = —+ —+— + 12
y
z
x
onde x, y e z são números reais positivos.
8
>6
yz
8
y(x-y)
é 6 e
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
121
Resolução 1:
Queremos encontrar o valor mínimo da expressão
, x 2y 4z
f(x, y,z) = —+ —+— + 12
y
z
x
, .
x 2y 4z
como o produto------ ----- = 8 é constante, a soma será mínima
y z x
quando todos os termos forem iguais
x
y
2y
z
x = 2y
^ = 2=> y = z
x
x
Z=—
2
Portanto, basta substituir na expressão inicial
x
4—
2y + ^ + 12 = ^+2£ + —2+12 =2 + 2 + 2 + 12 = 18
y
z
y
x
z
X
Resolução 2:
Aplicando MA>MG
2S+2y+l£>33à.2y.^
y
z
x
\y
z
x
x 2y 4z
—+ — + — > 6
y
z
x
x 2y
Como queremos minimizar a expressão f(x, y, z) = - + — + —+ 12 e
x
x
y
2y
z
4z
> 6 serve que f(x, y, z) = 6 + 12 = 18 =>f(x, y, z) > 18 .
x
Logo o valor mínimo da função é 18.
16) Encontre o valor mínimo da função definida pela lei
íz
. 50 20
f x, y) = — + — + xy
x
y
onde x e y são reais positivos.
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
122
Resolução 1:
Aplicando MA> MG
. 50 20
„ 50 20
f(x, y) = — + — + xy > 3 31---------- x • y =30
x
y
V x y
Assim concluirmos que o valor mínimo da função f é 30.
Resolução 2:
Como o produto — •— xy = 1000 é constante a soma será mínima
x y
. . , ,
50 20
,
quando todos forem iguais assim, — = — = xy =k segue que:
x
y
50 20
---------- xy
x y
1000=>k-kk = 1000=>k
10
x=5
Portanto, — = — = 10=>
y=2
x
y
O valor mínimo será f (5, 2) =
+ 5 ■ 2 = 30.
17) Encontre o menor valor da função definida pela lei
f(x) =
(x + 10)(x + 2)
x +1
Resolução 1:
Fazendo y = x + 1 temos:
f(x) = f(y-1) =
(y + 9).(y + 1)
^f(y-1)
y2 +10y+ 9
y
y
g
f(x) = f(y-1)=y+ - + 10
y
Lembrando MA>MG
y + —>2 |y^ = 2-3
y
v y
6
9 =>
= y + 10 + —
y
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
123
9
Como f(x) = f(y-1) =y + — +10 segue que
y
g
f(x) = f(y-1) = y+ —+ 10 > 6+ 10 => f(x) > 16
y
g
assim o valor mínimo de fé 16 e ocorre quando y + —+ 10=16=>y = 3
y
o que implica que x = y- 1 = 3-1 =2.
18) Encontre o valor máximo da função definida pela Lei
f(x. y) =
12(xy-4x-3y)
onde x e y são reais positivos.
Resolução:
Temos que:
,,
, 12(xy-4x-3y)
f<X' y)=
x2y3
Lembrando que um produto é máximo quando a soma é constante a
idéia aqui é reescrever a expressão acima de modo a ter uma soma
de algumas parcelas que gere como resposta uma soma constante.
Podemos fazer isto da seguinte forma:
f(x, y) =
2 ■ 2 ■ 3(xy - 4x - 3y)
x■x•y•y•y
f(x,y) = íly.
2
f(x,y) = |y
2
f(x. y)
y.
2
y
y
2
y
4x
xy
3
x
xy
xy
3
x
1-1 -3")
y
x)
3
x
1-1
2
y
y
3y
xy
3
x
Note que a soma das parcelas é constante e igual a 1, portanto, o
produto será máximo quando todos os termos forem iguais, isto é,
2
2
y
y
3
x
=M
l y y
2
3
x
k
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
124
Como
2
y
2
1-2
y
y
1-2
y
2
y
2
y
31 = .1, segue que
—
x)
3
= 1=>k + k + k + k=1=>k = —
4
x
Assim,
(ÍLÍÍLITLÍ 1-2
lyj lyj UJ l
y
2
y
1
3
= — =>x = 12 e y = 8
x
4
Portanto o máximo da função f(x, y) =
12(xy-4x-3y)
ocorre quando
x=12ey=18, ou seja,
Ux(12. 8)
12(12 8-4 12-3 8)
12283
12(96-48-24)
12283
1
256
19) Qual o valor máximo do produto x y-(72 - 3x - 4y). Para todo x e y
positivo?
Resolução:
Reescrevendo a expressão,
x-y(72-3x-4y)
1
-L(3x)(4y)(72-3x-4y)
para maximizar a expressão inicialmente ignorar o fator constante ~
os outros fatores (3x), (4y) e (72 - 3x - 4y) somados resultam 72. Então
podemos usar o fato:
“quando a soma de n números positivos é constante o seu produto
será máximo quando todos forem iguais"
Então, 3x = 4y = 72 - 3x - 4y => x = 8 e y = 6.
Portanto o valor máximo será 8-6(72 - 2-8 - 4-6)48-24 = 1152.
20) Encontre o valor máximo de 54x2y3-(1 - x - y).
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
125
Resolução:
Reescrevendo a expressão 54x2y3-(1 - x - y) temos:
54x2y3-(1-x-y) = (54) (108)-|-|-|-| |(1-x-y)
Lembrando que se a soma for constante o produto será máximo
quando todos os termos forem iguais e deixando de lado os fatores
constantes 54 e 108 temos que:
xx
2 2
y
3
y
3
d
y
3
.
Então o valor máximo se verifica quando
2s=y = 1-x-y
2
3
Resolvendo o sistema encontramos
1
1
x=— e y=—
2
3
Portanto o valor máximo será
ma
3
54
1
1
1
3
2
8
9x2sen2x + 4
21) (AIME-83) Encontre o valor mínimo de f(x) = ------------------ , com
xsenx
0 < x < n.
Resolução:
Reescrevendo a expressão temos:
4
.. . 9x2sen2x
4
f(x) =------------- +----- - ---- = 9x • sen x +
x-senx
xsenx
x ■ senx
Agora, podemos aplicar MA > MG
9x2sen2x + 4
xsenx
4
>2- 9x-senxV
x-senx
2-6 = 12
126
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
Portanto o valor mínimo de f(x) =
9x2sen2x + 4
é 12.
xsenx
22) Dada a equação 3x2 - 4x + k = 0, com raizes reais. Qual o valor de k
para qual o produto das Raízes da equação é máximo.
Resolução:
Seja a equação com raizes r, e r2 são:
4
3
r,+r2
e
k
^ =3
Aplicando MA> MG e substituindo os valores temos:
r1+r2 >2^^
4 „ Ik
,
4
— > 2 ■=> k < —
3
V3
3
4
Portanto o valor máximo é —.
3
23) Sejam a, b, c e d reais positivos prove que
1
a
1
b
16
d
4
c
64
a+b+c+d
---- 1----- F----+F----—>> -----------------------
Resolução:
Fazendo
a, = 7ã, a2 = Vb, a3 = Vc e a4 = -jA
,
1 u
1 u
2
b, —r=,b2 - “77'^3 - ~t= e
va
vb
vc
u
4
b4 - -=•
vd
posteriormente aplicando a desigualdade de Cauchy-Shwartz temos:
(a? + a2 + a| + a2 ) • (b2 + b2 + b2 + b2) > (a,^ + a2b2 + a3b3 + a4b4 )2
[(^)2 + (Vb)2 + (VE)2+(Vd)2]
2
1
/b
2
,2
4
Jd
2
>
127
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
2
Vc
Dai, obtemos:
(a + b + c +
d){i 2b
1a + 1b 4 4 . 16 >
c
d
64
a+b+c+d
24) Qual o valor máximo que pode assumir a expressão
f(0) = 3sen0 + 4cos0 onde 0 < 0 < 2n
Resolução:
Essa questão é bastante conhecida do público que participa da
preparação para as provas de olimpíadas de matemática existe uma
solução usando o triângulo retângulo e o seno da soma. Porém vamos
resolver usando a desigualdade de Cauchy-Shwartz.
Fazendo
at
3, b, = senO, a2 = 4 e b2 = cos0
temos:
(a2 +a^)-(b2+b^>(alb1+a2b2)2 =>
(32 +42) (sen20 + cos2 0) > (3sen0 + 4cosO)2
Como sen20 + cos20 = 1
Portanto, temos:
(32 +42) (sen20 + cos20j>(3sen0 + 4cos0)2 ■
(3sen0 + 4cos0)2 < 25 => (3sen0 + 4cos0) < 5
o valor máximo que pode assumir a expressão f(0) = 3sen0 + 4cos0 é 5.
*16
25) Para valores positivos de x, qual o menor valor de f(x) = 5x +---- 1- 21.
x
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
128
Resolução:
É imediato MA> MG
5x + —+>2 /õx —
x
V
x
5x + — > 8 VI
x
Portanto, o valor mínimo de f é:
f(x)min =8^5+21
26) Qual o maior valor de f(x) = 2x7l2-x2 para todos os valores de x > 0?
Resolução:
Primeiramente temos a condição 12 - x2>0, então como x > 0 segue
que x esta no intervalo 0 < x < Vl2.
Elevando ao quadrado a expressão original temos:
[f(x)]2 =2(2x2)-(l2-x2)(l2-x2)
Ignorando o fator constante 2 temos que:
A soma é constante pois, 2x2 + 12-X2 + 12-x2 = 24.
Então o produto é máximo se e somente
2x2 = 12-x2 => 3x2 = 12 => x = 2 , pois x > 0
Portanto, o valor que vai maximizar f(x) é 2
f(2) = 2-2 (12-22)
f(2) = 4 (12-4) = 4• 8 = 32
27) Qual o número positivo cujo quadrado excede seu cubo da maior
quantidade possível?
Resolução:
Devemos maximizar f(x) = x2 - x3 ou f(x) = x2 ■ (1 - x) reescrevendo a
expressão temos:
129
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
f(x)
A soma é constante, o produto será máximo quando
x ,
2
— = 1-X => X = —
2
3
28) Encontre o número positivo que excede seu cubo da maior quantidade
possível.
Resolução:
Denotando o número por x, desejamos maximizar
f(x) = x-x3 = x(1-x2)
Dai elevando ao quadrado a expressão temos:
[f(x)]2 =1(2x2)-(1-x2)-(1-x2)
Novamente, soma constante (2x2) + (l-x2) + (l-x2)
2 , o produto
X = JI'
será máximo quando 2x2 = 1 - x2
29) Qual o menor valor de x2+12y + 10xyz para valores positivos de x e y
satisfazendo a condição x • y = 6.
Resolução:
g
6
Como x • y = 6 segue que y = - agora substituindo y = — em
x
x2 +12y + 10xy2 obteremos:
2
432
2 216
x2+12-- + 10xí-l = x2+^ 360 =x2 +----= x +-----x
\ XJ
X
X
X
Aplicando MA>MG temos:
2 216
xz +-----
x
216 > 3^ x2 216 216
X
V
x
x
x2+ — >3-6-6
X
x2 + —>108
X
X
216
x
130
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
Portanto, o menor valor da expressão x2 +12y + 10xy2 com x y = 6 è
108.
30) Se a, b, x e y são números reais não negativos e a5 + b5<1 e
x5 + y5< 1 prove que a2x3 + b2y3< 1.
Resolução:
Basta observar que:
a2x3 = \/a5 • a5 • x5 • x5 • x5 e b2 •y3 = ^/b5 ■ b5 • y5 • y.55 • y5
Aplicando MA>MG temos:
a5 + a5 + x5 + x5 + x5 > 5 Va10 x',15
2a5 + 3x5 > 5a2x3 (i)
b5 + b5 + y5 + y5 + y5 > 5 ^Jb'° -y15
2b5+3y5 >5b2y3 (ii)
Adicionando (i) e (ii) temos:
2(a5 +b5) + 3(x5 +y5 ) > 5 (a2x3 + b2y3) => 2 • 1 + 3 • 1 > õ(a2x3 + b2y3)
Portanto, a2x3 + b2y3< 1.
31) Se a e b são positivos prove que 8■(a4 + b4)>(a + b)4.
Resolução:
Usando o poderoso lema se x, a, b e y são números reais e x > 0 e
y > 0, então:
(a + b)2
x+y
Segue imediatamente que:
,
a4+b4
„
x
y
,2
(a + b Y
a4 ,b4 Ja2+b2) J—j
112
2
(a + bf
8
(a + b)4 <8 (a4 + b4j
32) Encontre o maior valor de x2y se x e y são números reais positivos
satisfazendo a equação 6x + 5y = 45.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
131
Resolução:
Reescrevendo a expressão 6x + 5y = 45 temos:
6x + 5y = 45 => 3x + 3x + 5 = 45
Como a soma dos trés termos é constante segue que o produto será
máximo quando os 3 termos forem iguais, isto é,
3x = 3x = 5y = k
como 3x + 3x + 5y = 45, segue que
3x + 3x + 5y = 45=>k + k + k = 45=>3k = 45=>k=15
Assim,
3x = 3x = 5y = k=>3x = 5y = 15=^x = 5ey
3
Portanto, o valor máximo da expressão x2y é 52 • 3 = 75.
O
16
33) Qual o valor mínimo de f(x) = x + — para todos os valores positivos
x
de x?
Resolução:
Reescrevendo a expressão temos:
f(x) = x2 +- +
X
8
x
De imediato aplicamos MA>MG
2 8 8
l~2 8 8
X + —+ — > 3 -3/x------- =: x2+ —>3^64
X
xx
V
xx
x2+—>12
X
Assim o valor mínimo assumido pela função é 12.
Ia b |
34) Se a e b são números reais quaisquer verifique que - + —
|b a|
Resolução:
Usando a desigualdade triangular, temos:
a
b
b
a
lbl Ia!
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
132
Aplicando MA>MG temos:
m+m>2
|b| laf ’ lbl Ia!
Portanto
35) (Turquia-2000) Se a>0, b>0ec>0 prove que
(a + 3b) (b + 4c)-(c + 2a) > 60abc
Resolução:
- Passo 1
Usando MA>MG temos:
a + 2b = a + b + b>3 ?/a • b ■ b
b + 2c = b + c + c>3 ?/b-c-c
(*)
c + 2a = c + a + a>3 Hc-a-a
Multiplicando as desigualdades acima obteremos:
(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) > 27abc
- Passo 2
Vamos reescrever a expressão original de tal modo que apareçam as
desigualdade (*) acima.
b 8b) f 2c
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) = a + — + — ■ b + — +
3 3 J l
3
Lembrando que c > b > a > 0 temos que:
b
b > a => a + —+
3
a 8b
a + —+ —
3
3
10c) (. 2b 10c
c > b => b + — +----- > b + — +
l
3
3
3
3
Assim,
b 8b
a + —i----3 3
2c
10c) (
3
3 M
a 8b
a + —+ —
3
3
L
2b
10c'
l
3
3 .
133
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
b 8b
a +—+ —
3 3
.
2c 10c
3
3
b+—+■---
2b + —
10c>j-(c
, + _2a),
}(C + 2a)^a + | + ^}( .b + —
Logo,
(a+3b)(b+4c)(c+2a)=
b 8b) ( 2c 10c') ,
a+—
3
. (
a 8b) f.
2b 10c A ,
_ k
— • b + — + -3-J-(c+2a)
3 3"
3
+Tjlb+T+-rJ-(c+2a)na: + -+
Ou seja,
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a)>
l
3 3Jl
3
3 J
(c + 2a) =
l(a + 2b)|(b+2c)(c + 2a)
20
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) > ^(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a)
Como (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) > 27abc, segue que
20
20
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) > —(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = —-27abc = 60abc
3
3
Finalmente concluímos que
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) > 60abc
36) Prove que:
a) Se a > 0, b>0 e c>0, então (b + c)(c + a) (a + b) > 8abc.
b)
Se a>0, b>0, c>0 e a + b + c = 1, então
1-1
a
Resolução:
Aplicando MA>MG temos
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
134
a)
b+c
x/bc =>b + c>2x/bc
(i)
3 b > Vãb =>a + b > 2>/ãb (ii)
a + C > Vãc => a + c> 2x/ãc
(iii)
Multiplicando as desigualdades (i), (ii) e (iii) temos:
(a + b)(a +c)(b + c) > 8abc
b) Lembrando que, por hipótese, a + b + c = 1, temos que:
íl-1 V 1-a _a + b + c-a
ka
a
a
J
(HIc
b+c
a
1-b
b
a+b+c-b
b
a+c
b
1-c
c
a+b+c-c
b
a+b
c
multiplicando membro a membro as igualdades acima obteremos:
de acordo com o item (a) sabemos que (a + b)(a+c)(b+c) > 8abc e
dai segue que:
fb + cya + cYa + bj
1
..
, .
1 _ ,
o
----------- ------ =----- (b + c)(a + c)(a + b) >------ 8abc = 8
j,a ) l. b Ac ) abc
abc
ou seja,
1-1 1-1
a
b
l-ll>8
c
)
37) Se x > 0, y>0 e z>0 prove que
x2
y:2
----------------------------- 1----------- í_—
(x + y)(x + z)
(y + z)(y
3
z2
Õ + (z + x)-(z + y) > 4
135
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Resolução:
Aplicando o poderoso lema, temos:
y2
+
x2
(x + y)(x + z)
+
(y + z) (y + x)
z2
—>
(z + x) (z + y)“
(x + y + z)2
,3
x2 + y2 +z2 +3(xy + yz + zx)
4
Devemos verificar que
(x + y + z)2
^3
x2+y,22+z2+3(xy+ yz + zx)
4
4x2 + 4y2 + 4z2 + 8xy + 8xz + 8yz = 3x2 + 3y3 + 3zz + 9xy + 9xz + 9yz
x2 + y2 + z2 > xy + xz + yz <=> (x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2 > 0
Portanto se x, y, z
0 é sempre verdade que
(x + y + z)2
> 3
x2 + y2 + z2+3(xy+ yz + zx)
4
e então
x2
!
y2
!
z2
>
(x + y)(x + z) + (y + z)(y + x) (z+x)-(z+y) “
x2 + y
2
(x + y + z)2
3
z2+3(xy + yz + zx)
4
ou seja,
X2_______ +___
(x + y)(x + z)
y2
(y + z)(y + x)
z2
,___
(z + x)(z + y)
> -3
4
38) Se x> 0, y > 0 e z > 0 prove que
x
x + 2y+ 3z
__ y
y + 2z + 3x
+—?—>1
z + 2x + 3y
2
136
4 • Resoluções - Desigualdades elementares
Resolução:
Se x, y, z > 0 queremos mostrar que
x
x + 2y + 3z
y
y +2z + 3x
1
z
>z + 2x + 3y 2
Reescrevendo a expressão acima, temos:
y2
+
x2
x2 + 2xy + 3xz
y2 + 2yz + 3yx
z2_____
+
z2 + 2xz + 3yz
x y
z
Observe que multiplicamos respectivamente por —, — e - desse
z
x y
modo não alteremos a expressão.
Agora, vamos aplicar o poderoso lema: se a1t a2, .... an e Re b-i, b2, ....
bn e K+, então é válida a desigualdade
(at + a2 +... + an)
b,+b2+... + bn
x
x + 2y + z
‘ b,
a22
a/
b2
bn.
y
!
z
y + 2z + 3y z + 2x + 3y
x2
y2
z2
x + 2xy + 3xz
y2 + 2yz + 3yx
z2 + 2xz + 3yz
>
(x + y 4 z)2
x2 + y2: + z2 + 5(xy
yz + zy)
Agora, devemos provar que
_______ (x + y + z)2_______
x2 + y2 + z2 +5(xy + yz + zx)
Que é equivalente a:
_______ (X + y + z)2_______
x2 + y2+ z2 + 5(xy + yz + zx)
1
>2
1
>2
2x2 + 2y2 + 2z2 + 4xy + 4xz + 4yz > x2 + y2 + z2 + 5xy + 5xz + 5yz
x2 + y2 +z2 > xy + xz + yz <=> (x - y)2 + (x- z)2 + (y -z)2 > 0
137
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Portanto se x, y, z
0 é sempre verdade que
(x + y + z)2
x2 + y2 + z2 + 5(xy + yz + zx)
1
2
>-
e então
,
x2
z2
>
z2 + 2xz + 3yz
y2
y2 + 2yz + 3yx
x2 + 2xy + 3xz
(x + y + z)z
-------- > —1
x2 + y 2 + z2 + 5(xy 4 yz + zy)
2
ou seja,
x2
z2
y2
y2 + 2yz + 3yx
x2 + 2xy + 3xz
z2 + 2xz + 3yz
1
>2
39) Se a, b, x, y e z são números reais positivos, prove que
—í—+—^y—+, —z?—>—?—
ay + bz
az + bx
ax + by
a+b
Resolução:
Temos que:
x
ay + bz
y
az + bx
x2
axy + bxz
z
ax + by
y2
azy + bxy
z2
axz + byz
Aplicando o nosso conhecido e poderoso lema,
+
x2
axy + bxz
__ y/2 z2
>
azy + bxy
axz + byz ~ (a + b)(xy + xz +yz)
Agora devemos verificar que
(x + y + z)2
>
(x + y + z)2
3
—- >------ , o que de
(a + b)(xy + xz + yz) a + b
fato ocorre pois
(x + y + z)2
3
(a + b)(xy+ xz + yz) - a + b
(x + y + z)2
(xy + xz + yz)
> 3 <=>
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz > 3xy + 3xz + 3yz <=>
x2 + y2 + z2 > xy + xz + yz <=> (x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2 > 0
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
138
O que é verdade e portanto concluímos que
(x + y + z)2
3
—- >------ e então
(a + b)(xy + xz + yz) a + b
x2
axy + bxz
+
z2
>
(x + y + z),2:
3
y2
>----axz + byz (a + b)(xy+ xz + yz) a + b
azy + bxy
ou seja,
x
ay+ bz
------------- 4.
3
z
>----ax + by a + b
y
az + bx
41) (Bielorussia-99) Se a, b e c são números reais positivos e a2 + b2 + c2 - 3
prove que
1
1 + ab
1
1 + bc
1 >3
1 + ac ~ 2 ’
Resolução 1:
Usando MA>MH temos que:
(1 + ab) + (1 + bc) + (1 + ac)
3
(3 + ab + bc + ac)-
1
1 + ab
1
1 + bc
>
1
1 + ab
3
1
1
1
+------1 + ab + 1 + bc 1 + ac
1
1 + bc
1
1 + ac
>9
9_______
_1_> _______
ab + cb + ac + 3
1 + ac
Sabemos que a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc. Como, por hipótese,
a3 + b3 + c3 = 3 segue que ab + ac + bc < 3 e assim podemos
reescrever a expressão
1
1 + ab
1
1 + bc
1
9
>------------------1 + ac ab + cb + ac + 3
da seguinte maneira:
1
1
1
9
> 9
>-----------------+ - ------- +
3+3
1 + ab 1 + bc 1 + ac ab + cb + ac + 3
ou seja,
9
6
3
2
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
1
1 + ab
1
1 + bc
3
1
>1 + ac 2
12
1 + ab
12
1 + bc
12
3
>1 + ac 2
139
Resolução 2:
Lembrando que a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac e que a2 + b2 + c2 = 3
1(1 + 1 + 1)2
9
3+3
3 + ab + bc + ac
3
2
Muito fulminante!
42) (China-90) Quantos pontos (x, y) satisfazem a equação abaixo?
í
1
1A
logl x3 + — y3 +— I = logx + logy
Resolução:
1
( 3
1
3
logl x + — y + —
/
1
1
log x + log y => log (x • y) = logl x3 + — y3 + — I
3
1
3
1
xy = xJ + —y,3 +3y
9
Aplicando MA>MG
x•y = x3
— y3 + -> 3j/x3 --y3 - => x3+ —y3+->xy
3y9V3y9
3
9
A igualdade se verifica quando
1
3
1 3
1
1
e y ” ?/9
x = —y = — => x =
3
9
l/ã
43) Se a e b são números reais positivos determine o menor valor possível
1
de f(a, b) = a +
b (a-b)'
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
140
Resolução:
f(a, b) = a +
1
b(a-b)
Substituindo a por z + b temos:
f(z + b, b)
u
1
b-(z + b-b)
Z + b +---- ;------------- r
1
f(z + b, b) = z + b +----b- z
Aplicando MA>MG temos:
111
1
z + b +----- > 3 ?/z • b — =>z + b +------ > 3
bz
b•z
bz
Portanto o menor valor possível de f é 3.
44) Para todo número real positivo x e y, prove que (x + y) (xy + 1)>4xy.
Resolução:
Queremos mostrar que
(x + y) ■ (xy +1) > 4xy => x2y + x + xy2 + y > 4xy
Aplicando MA> MG
x2y + x + xy2 + y > 4^/x'1 ■ y',4
4xy
Simples e legal!
45) (República Tcheca-00) Sejam a, b e c números reais positivos prove
que
a
b
—>1
b + 2c c + 2a a + 2b
Resolução 1:
Fazendo x = b + 2c, y = c + 2aez = a + 2b vamos calcular os valores
de a, b e c em função de x, y e z.
i. x = b + 2c
ii. y = c + 2a • (-2) = -2y = -2c - 4a
iii. z = a + 2b
iv. x - 2y = b - 4a
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
141
Fazendo iv e iü temos:
Fx-2y = b- 4a (-2)
|-2x + 4y = -2b + 8a
|z = a + 2b
[z = a + 2b
1
=> -2x + 4y + z + 9a=>a = —• (4y - 2x + z)
Analogamente:
b
1
1
— (4z-2y + x) e c = -(4z-2z + y)
Reescrevendo a inequação original, temos:
4x + y- 2z
> 1 =>
9z
4z + x- 2y
9y
4y+ z-2x
9x
1 (4y
z
4z
x
4x
y
9
x
y
y
z
z
x
>15
Nesse momento é importante lembrar que — + — >2. Logo, podemos
y z
reescrever a expressão usando o lembrete acima:
z
x
*+y
y x
X
z
+ y+ z + 3 'L + - + - >15
x y z
y
Portanto está demonstrado, pois,
x +—
y +—
z >3o
—
z x y
Resolução 2:
Usando o poderoso lema
a
b + 2c
b
c + 2a
—— >1
a + 2b
Vamos reescrever a expressão acima:
a2
ab + 2ac
b2
bc + 2ab
------------------ 1------------------
-ei->i
ac + 2bc
O final é bem simples!
(a + b + c)2
3(ab + bc + ac)
>1
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
142
Está demonstrado, pois, recai: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac que é uma
desigualdade bastante conhecida como verdadeira!
46) Se a, b, c e d são números reais positivos cuja soma vale 1 prove que
a2
b2
c2
d2
1
------ +------- +------- +------- > —. Com a igualdade se verificando se e
a+b b+c c+d d+a 2
1
somente se a = b c = d
Resolução:
Lembrando que a + b + c + d = 1 e aplicando o poderoso lema, temos:
a2
c2
b2
a+b
d2
b+c c +d
(a +(a
b ++cb++ d)
2 d)' (a + b + c + d)
c+
2(a ++bb++ cc++d)
dj
d + a ” 2(a
2
2
2
b2
a2
c2
d2
1
Assim temos que ----------- 1-------------1-------------1----------- > —, que é exatamente
a+b b+c c+d d+a
2
o que queríamos demonstrar. Note que, pelo lema, a igualdade
ocorrerá se, e somente se,
a
a+b
b
b+c
c
c+d
d
a+b+c+d
= k=>
= k=>k = d+a
2
2-(a + b + c + d)
Obs. Note que acima
a c ,
a+c ,
- = k =>------ = k .
b d
b+d
usamos a propriedade das
E portanto,
a
= —=>b = a
a+b 2
b
1
= - => c = b => a
b+c 2
c
1
= — => d = c
c+d 2
b
c=d
Como a + b + c + d=1 segue que a = b
c
d=l
4
proporções
143
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
47) (Rússia-02) Se x, y e z são números reais positivos cuja soma vale 3.
Prove: a/x + 77 +7z S xy + yz + zx.
Resolução:
Multiplicando a desigualdade por 2 e adicionando x2 + y2 + z2 a
inequação original temos:
x2 + 2 a/x + y2 + 2y/y + z2 + 2-Jz > x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2yz
Lembrando que x + y + z = 3, temos:
x2 + 2 a/x + y2 + 277 + z2 + 2a/z > (x + y + z)2
(x2 +2A/x) + (y2 +277) + (z2 +277) > 9
Aplicando MA>MG temos:
x2 + 2 a/x = + x2 + 7x + 7x > 3 7x2 -a/x-a/x = 3x
(i)
y2+277=+y2+ 77+77 s 37y2-a/7-77 = 3y
(ü)
z2 + 2 a/z = + z2 + a/z + a/z > 37z2
(iii)
a/z a/z = 3z
Adicionando (i), (ii) e (iii)
x2 + y2
z2+2(a/x + 77 + 7z) 2 3(x + y + z) > 9
Está demonstrado!
48) (Novo México) Encontre o termo mínimo da sequência
fl76 ííf
Í1
Í1 fíf
77’ 76 7 8’ 76 7 9
E
E
7 6 795
Resolução:
Aplicando MA> MG temos:
4
Portanto a igualdade ocorre quando:
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
144
^.^=„.JS76.24
Portanto o termo mínino é:
Í24
Í96 _a
V 6 + V24
Muito legal!
49) Prove que a, b e c sâo números reais positivos então
(a2+1)-(b2+1)(c2+1) > 8abc
Resolução:
Aplicando MA> MG temos:
a2 +1 > 2a, b2 +1 > 2b e c2+1>2c
Multiplicando as expressões acima, temos:
(a2 +1) (b2 + 1) - (c2 +1) > 8abc
50) Prove que para todo triângulo acutângulo onde a é um dos ângulos
vale a relação tg a + cotg a > 2.
Resolução:
tga + cotga > 2 jiga + cotga
tg a + cotg a > 2 tga •
V
tga
tg a + cotg a > 2
51) (IMO-95) Se a, b e c são números reais positivos e a b c = 1 prove que
1
1
13
------------ +-------------- h------------ > —.
a3(b + c) b3(c + a) c3(a + b) 2
Resolução:
Fazendo: x = ab, y = bc e z = ac então:
xyz = (abc)2 =1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
145
Agora vamos substituir a3(b + c), b3(c + a) e c3(a + b) por outras
expressões em função de x, y e z;
x + z = a (b + c)
x z = a2 bc
xz = a2 ■y
—
xz
(xz)2 =a2
X-Z = a2
Analogamente,
a3(b + c) = (xz)2 (x + z)
b3(c + a) = (xy)2-(x + y)
c3(a + b) = (zy)2-(z + y)
Substituindo na inequação original, temos:
xyz
(xz)2+(x + z)
xyz
(xy)2+(x + y)
3
x-y-z
> — =>
(zy)2+(z + y) 2
------------- ------------------ 1------------------ ----------------- 1---------------- --------------- ■.
y
+
z
+
x
> 3
(xz) + (x+z) (xy) + (x + y) (zy) + (z + y) " 2
Reescrevendo a expressão acima, temos:
2
z2
x2
(x + z)
(x + y)
(z + y)
u
2
Aplicando o poderoso lema, temos:
(x + y+ z)2
3
>2(xy + yz + zx) 2
Desenvolvendo a expressão obteremos:
x2 + y2 + z2 > xy + yz + zx
Está demonstrado!
52) Prove que se a + b = 1, onde a e b são números positivos
1'
a+—
a
25
U+ib1 lI2 > —
2
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
146
Resolução:
Aplicando MQ2>MA2, temos:
x2+y,2 /
—>
2
1
11
Fazendo x = a + — e y = b + - temos:
a
b
I2
I
\2
„ 1 í
1 .
1 2
>2— a + — + b + —
b
4
a
Como a + b = 1 segue que:
2
(a4)2
I
abJ
4 t
Lembrando que:
a+b
2
ab <
2
1
a-b < —
4
Então:
— + 1>5
ab
O final é bem simples
1
a+—
b+í
b
Í4(5)2
53) Resolva o sistema:
2
x + —= 2y
x
y + —= 2z
y
2
2x
z
Resolução:
Adicionando as 3 equações, temos:
2
a
25
>—
b.if
2
bj
147
Tópicos de Matemática — Olimpíadas — ITA — IME
J 1 1
1
x+y+z+2 —+ —+ —
kx y z
2(x + y+z)=>x + y + z = 2Í-^ + 2
2
y
z
Aplicando MA>MG no sistema original obteremos:
2x = z + —>2%/2
z
(i)
2y = x + ->2x/2
(ii)
X
2z = y + ->2^2
y
(iii)
Adicionando (i), (ii) e (iii) obteremos:
x + y +z > 3>/2
y = z = >/2 .
A igualdade se verifica quando x
54) Prove que se a >0, então
a3 +b6
>3a-b2 -4.
2
Resolução:
Reescrevendo a inequação, temos:
a3 + b6 + 8 > 6ab2
Aplicando MA>MG obteremos:
a3 + b6 + 8 > 3 3Ja3 -b6 -8 = 6ab2
55) Demonstrar que x2 + y2
z2 >12 se x + y + z = 6.
Resolução:
O poderoso lema é realmente sensacional, vejamos:
x2
y2 + z2 > (x + y + z)
z)'2 _ 62
T + T + T“
Está demonstrado.
33
3
36
=--- = 12
3
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
148
56) O volume de um paralelepípedo e 216cm3e sua área total é 216cm2.
Prove que o paralelepípedo é cubo
Resolução:
Sendo,
Comprimento = a
Largura = b
Altura = c
Temos:
V = abc = 216
Área Total = 2(ab + bc + ac) = 216 => ab + bc + ac = 108
Aplicando MA>MG obteremos:
a + b + c > 3 x/a ■ b ■ c =>a + b + c>3 x/216 =>a + b + c>18
Como o produto é constante e igual a 216, a soma será minima
quando todas as dimensões forem iguais ou seja, a = b = c = 6,
portanto é um cubo.
57) Mostre que todo valor arbitrário a, b, ced e R* temos:
(a2 + a +1) • (b2 + b +1) ■ (c2 + c +1) • (d2 + d +1) > 81 a ■ b • c ■ d
Resolução:
Dividindo a inequação por abc-d obteremos:
a +1+—
a
Lembrando que:
b+1+ b
c+1+—
c
d + 1 + — |> 81
dJ
1
x + —>2 Vx e R
x
Portanto, cada expressão no parêntese é > 3 logo,
a+1+—
a
b +1+—
b
c+1+c
o resultado está demonstrado.
d +1+ —| > 3-3-3-3 = 81
dj
149
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
58) Mostre que para todo a, bece R*vale a desigualdade:
1
1+a
11
1+b 1+c
9
3+a+b+c
---------- 1------------1---------- > -----------------------
Resolução 1:
Fazendo x = 1 + a, y=1+bez=1+ce adicionando teremos:
x+y+z=3+a+b+c
Reescrevendo a desigualdade original, obteremos:
2 —1 + —1 >
X
y
z
9
x+y+z
Aplicando MA>MH obteremos:
x+ y+z
>
3
1
3
1
1
9
2 2 2 => —x + —y + —z > x+y + z
x
y
z
Está demonstrado!
Resolução 2:
Usando o lema
9
1 1 1.
—+-+->
x y z x+y+z
(1 +1 +1)2
9
>--------x+y+z
x+y+z
É imediato!
1
59) Mostre que 2x + 4y = 1 para todo x, y e R então x2 +y2 > —.
20
Resolução:
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwartz obteremos:
(2x + 4y)2 <(22 +42) (x2 +y2)
■
Ê
Como 2x + 4y = 1 temos:
■
12 <20(x2+y2)
Portanto:
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
150
x2 + y2 > —
20
Muito legal, Não é?
60) Mostre que para números reais x, y, z temos:
<x y zf _ x2
(2+ 3+ ej
2
y2
zz
3
6
Resolução:
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwartz temos:
(u1-v1+u2-v2+u3v3)2 < (u2 + u2 + u3) ■ (v2 + v2 +v^)
Sendo:
1
1
u,=^. u2 = 43' U3
x
1
z
y
-==, V1 = -7=. V2 = -7=. V3 = ~i=
42
46
4õ
73
Substituindo os valores obteremos:
\2
z
1 x
1 y
1 z | < [ _1 + _1
42 42* 43 43*46 46) “l2 + :3
f*+y+£ \2<^ + É.
U 3 6. I 2 3
2 ±+yl
6
2
z^
6
Como queríamos demonstrar!
61) Mostre que para qualquer valor de a, b e c e R+.
ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) > 6abc
Resolução:
Dividindo a inequação por abc obteremos:
a+b b+c a+c „
------ +------- + ------- > 6
c
a
b
Reescrevendo a desigualdade acima teremos:
Í£ + £U£ + £U£ + £k6
l^c
aJ
<c
bMa
bJ
3
6
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
151
Como - + — >2, — + — > 2, — + — > 2.
ca
c b
a b
Segue que a demonstração está concluída!
62) Se x e y são tais que 3x - y = 20, qual o menor valor de y]x2 + y,22.
Resolução:
É imediato Cauchy-Schwartz:
(u2 +u2)(v2 +v2)>(u1-v1 +u2v2)2
(32+(-1)2)(x2 + y2)>(3x-y)2
x2 +y2 >— => -Jx2 + y2 >2>/iÕ
~ 10
’
Portanto o valor mínimo é 2-/TÕ .
63) Se a, > a2> 0..... a„an> 0 mostre que:
a2+a3+... + an
+------------------------- +... +------------------------>
a3 + a4 +... +an + a,
a, +a2 +... + an_1
n
n^i
Resolução:
Fazendo a, + a2 + a3 + ... + an = S onde S é a soma S - aÉ = b, onde
(i = 1, 2, 3
n), segue que
a, = S - bj => b, = S - a,.
n
n
Então ^Tb, = ^(S-aJ daí, temos:
Í=1
1=1
+ b2 + b3 +... + bn - (S - 8i) + (S — a2) + (S
a3) + ...+ (S
b, + b2 + b3 +...+ bn = n- S-(a, + a2 + a3 +... + an)
b, +b2 +b3 + ... + bn = n-S-S
bt
b2 + b3 +... + bn — S(n -1)
Agora, podemos reescrever a expressão original:
at
a2
an
a2 +a3 + ... + an
a3 + a4 +... + an + a,
a, +a2 + ... + an_1
an)
152
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
S - b,
S - b2
S-bn
b,
b2
bn
e
í 1
bn
kb. b,
1
1 +A
+ 2._(1 + 1 + 1+...)=s. bi
b2
b2
-n
(I)
bn
Lembrando que
b1 + b2 + b3 + • ■ • + bn = (n — 1) • S =>
b, +b2 + b3 +... + bn
g
n-1
(II)
Substituindo (II) em (I) teremos:
s s
s
— + — + ... +------ n
b, b2
bn
1
1
1
(b, + b2 + b3 + ... + bn)- — + — h—
bi b2 b3
1
M-n
n-1
bn
(III)
Usando MA> MH
b, + b2 + ■ -+bn
n
>
n
F“
+----- h
b.
b2
1
£
b„
1
1
1
(b, + b2 + ... + bn)- — + — +-.. + — > n2
b, b2
bn
O final é emocionante!
Substituindo o resultado da desigualdade em (III) obteremos:
n
—-n2 -n =----n-1
n-1
Portanto,
64) Se a > 0, b
an
a2
ai
a2 +a3 +... + an
a3 + a4 +
0, c > 0 e d
+ an + a1
0, prove que:
a, +a2 d-.^ + a,,..
n
>----
n-1
153
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
a
b+c+d
b
a+c+d
c
a+b+d
4
d
>a+b+c 3
Resolução:
Usando o resultado obtido no problema 63 temos que n = 4
a
b+c+d
c
a+b+d
b
a+c+d
4
d
>---a + b + c 4-1
4
3
65) (Cone Sul) Se a > 0, b > 0 e c > 0 prove que:
a
b+c
c
3
b
+------ > a+c a+b
2
Resolução 1:
Usando o resultado da questão 64,
a
b+c
b
a+c
3
3-1
c
a+b
--------H---------- + --------- >-------
3
2
Resolução 2:
Reescrevendo a expressão e usando o poderoso lema
a2
ab + ac
Pois
b2
ab + bc
(a + b + c)2
2(ab + bc + ac)
c2
--------- >
ac + bc
„
3
(a +, k
b +, .,2
c)'
2(ab + bc + ac) “ 2
é equivalente a a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac,
que uma desigualdade bastante conhecida como verdadeira!
Resolução 3:
Usando MA>MH:
(a + b) + (b + c) + (a + c)
>
3
1_
a+b
3
1
b+c
1
a+c
1
9
> -=>
(a + b + c) • ------ +------- +
la+b b+c a + c
2
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
154
a+b+c
a+b
c
a+c
a+b+c a+b+c
9
+----------- > - =>
a+c
2
b+c
a
+ —+ 3>— =>
b+c a+c
2
a
b+c
b
+ —>a+c a+b 2
a
b+c
b
c
3
F
> —
a+c a+b 2
Resolução 4:
Seja
---------- F
Fazendo b + c = x, a + c = y e a + b = z
Temos:
x =b+c
y =c + a
z =a+b
Resolvendo para a, b e c, obtemos:
a = ^(y + z-x)
b = | (x + z-y)
c = -(x + y-z)
Substituindo na expressão original, obteremos:
2 y+ z-x + x+z-y x+y-z >3=> 1 y —X + z x z y 3h2
x
y
2
z
2( x
Lembrando que
X
z
Z
X
- + ->2,
*+*>2
x y
Portanto, está demonstrado.
e
y
X
z
y
z
J 2
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
155
66) Sejam x e y números positivos e x ■ y - 1. Calcule o valor mínimo de
1
1
4 y4 '
F+
Resolução:
Aplicando MA>MG teremos:
1
1
F
4y
1
1
x4 + 4y
Portanto, o valor máximo é 1.
67) Sabendo que x, y e z são números reais mostre que
x2y2 + x2z2 + y2z2 > x2yz + xy2z+xyz2
Resolução:
Usando MA> MG
x2y2 + x2z2 > ^(x2y2)(x2z2) = x2yz
’
2
x2y2 + y2z2 > ^(x2y2)(y2z2) = xy2z
2
x2z2 + y2z2
> J(x2z2)(x2z2) = xyz2
2
Adicionado as desigualdades acima segue que
x2y2 + x2z2 + y2z2 > x2yz +xy2z +xyz2
68) Mostre que se a > 0 então
a4 +9
10a
4_
5
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
156
Resolução:
Aplicando MA>MG teremos:
a4 +9
a4
3
10a
10a
10a
3
3
10a
>4
10a
a4
3
10a
3
10a
10a
3
10a
4^ =
V10
— i/27 =-^/27
10
5
Note que V27 > 2, ou seja,
2 4/27>2.2 = l
5
5
Assim
a4 +9
4_
10a
5
5
1
r 1
69) Se a, b, c e d e R+ mostre que (ab + cd)l — + — > 4.
Resolução:
Desenvolvendo a expressão, teremos
b a d c
-+—+—+
+—>4
>4
c d a b
fb
c')
fa
d')
l^c
bj
<d
a)
.
Lembrando que
b c „
a d
„
—+ — > 2 e — + — >2
c b
da
Segue que o problema esta concluído.
70) Se a, b 6 R+ mostre que 2b(1 + a2) + 4a(1 + b2) > 12ab.
Resolução:
Dividindo a expressão por 2ab, teremos
2 (1 + a2) + |(1 + b2) > 6 => í-1 + a
a
Aplicando MA> MG:
a
2
'l
—+ 2b >6
b
)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
157
- + a > 2-Jlã = 2
a
Va
2
2
— + 2b > 2-J—-2b = 4
b
vb
Adicionando as duas desigualdades acima segue que
l+a
HV2bh
71) Se a, b e R* mostre que a2 + b + Va + -Jb (aVãb -4a) > 0.
Resolução:
Dividindo a expressão por a Jb, teremos:
a
/b
Jb
1
a
íãb
a
'b
1
Jb
a
<sb
Vãb-4 > 0
'ab -4 > 0
Lembrando que:
a + ^->2 e
a
/b
1
^ãb
'a
Adicionando as duas desigualdades acima, segue que
a
'b
Jb
a
-J=+Vãb
Jãb
>4
e portanto que a2 + b + Jã + -Jb (a Jãb - 4a) > 0.
72) Se x, y e z, são números reais positivos ex + y + z=1 determine o
14 9
valor mínimo de — + — +
x y z
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
158
Resolução:
Aplicando Cauchy-Schwartz:
,2
((^)2 + (7y)2 + (^)2}-
z
\2
I 2 |
+UJ
>
\2
, -
3 |
z ‘vd
X-
9
. + y + z)X I -+
1 4
(x
^x y
z
> (1 + 2 + 3)2
1 4 9
— + — + — > 36
x
y
z
Portanto, o valor mínimo é 36.
73) Mostre que se a e R+ então
2a2 +1
> 1.
74a2 +1
Resolução:
Reescrevendo a expressão original obteremos:
4a2 +2
.
4a2+2
2
> 1 => ---- .
—>1
74a2 +1
2
2
2
274a2 +1
1
4a2+1
/4a2 +1
• 74a2 +1 +
. 1
./4a
'4a22 -4-1
+1
Lembrando que
Ua2 +1 +
Segue que
2a2 +1
74a2 +1
> 1.
> 1
74a2 +1
, 1
>2
74a2 +1
> 1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
159
74) (Gazeta Matemática) Se a, b e c são números reais positivos e abc
prove que:
b+c c+a a + b
1
x/b
'a
+ —■— >
x/c
Resolução:
Aplicando MA> MG:
b+c
~r~2
(I)
c+a
—2
Jb
(II)
7/T’2
(III)
Adicionando (I), (II) e (III) temos
b+c ^c + a + a + b>2 ( ibc
íãb" !
/ac
^\Jã’+\j-b' + \|’c’ ]’
x/ã~
x/b*
x/c*
| Ibc
/ac ]
+
( Ibc
/•:+!>. í /ac
/r+b ,
J++
/\V”b” + v’c'J
Novamente, aplicando
concluímos que
b+c
'a
c+a
Jb
MA>MG
em
cada
uma
das
parcelas,
a + b > 2(x/ã + x/b + x/c) > ■■a + x/b + x/c + 3 x'abc
'c
Portanto,
b+c
c+a
a+b
Já
Jb
x/c
-==- + —7=- + —> x/ã + x/b + x/c + 3
75) Prove que se a, b e c são números reais tais que a > 1, b > 1 ec>1,
então
logcb ! Iogac , i°gba
9
>--------2b+c
c+a
a+b
a+b+c
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
160
Resolução:
Sendo a>1,b>1ec>1, então logc b, loga a e logb a são positivos.
Aplicando MA>MG:
logcb ! Iogac + logba > 3 Jíogcb logac logba
c+a
b+c
a+b
Vb+c
c+a
a+b
Lembrando que:
(logcb)-(logac)(logba) = 1
Segue que:
_________ 1_________
logcb t loga c ! Iogb a
>3?
(b + c)-(a + c)-(a + b)
b+c
c+a
a+b
logc b ! Ioga c , Iogb a
b+c
c+a
a+b
_______ 3_________
^/(b + c)-(a+c)-(a + b)
Mas
2(a + b + c)
3
(a + b) + (b + c) + (a + c)
> ^/(a + b)(b + c)-(a + c)
3
O final é bem simples:
_______ 9__________
logc b ! Iogac ! logb a s
b+c
c+a
a+b
3 ^/(a + b)(b + c)(a + c)
Segue que:
logcb [ logac ' logba
9
>------------2(a + b + c)
b+c
c+a
a+b
Portanto,
2
logcb + log3c + logba
b+c
a+c
a+b
9
>----------
a +b +c
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
161
76) Se x, y ez são números reais positivos. Prove que:
r \2
X
z
y
^x•y■z
,2
x
y
z
z
^/x • y • z
X
2
y
^/x-y-z
>12
Resolução:
Aplicando MA>MG obteremos:
X
z
y
^/x ■ y ■ z
y
z
%/x-y •
(D
x
(II)
-+-^=
x ^/xy-
(III)
Elevando ao quadrado e somando (I), (II) e (III) obteremos:
2
X
z
y
^/x-y-z
z
2
x
+ y+
^ + —y—
Vx-y-z
x
^/xyz
>4
xz
+
yx
+
zy
^y^/x-y z
z^/x y-z
x^/x y z J
Aplicando MA> MG do lado direito da inequação obteremos:
4-
3
xz
+ -,y X—
zy
y^/x-y-z
z^/x y z
x^/x ■ y ■ z
xz
yx
z^/xy-z
zy
= 12
x^/xy-z
y ^/x ■ y • z
>4-3
Portanto, chegamos a mais um belo final.
,2
4
X
z
y
^xyz
x
y+
z ^/xy-z
z
X
xz
yx
+ - ?/-■
y ?/x • y • z
z^x y z
x^/x y z
Espetacular!!!
2
y
^/x y-z
i> 12
>
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
162
77) Mostre que para a, b e c reais positivos temos que
(a2b + b2c + c2a)-(ab2 +bc2 +ca2) > 9 a2b2c2
Resolução:
Aplicando MA>MG para cada expressão no parentese, temos:
(a2b + b2c + c2a) > 3 Va3 -b3 -c3
3abc
(I)
(abz + bc2 + ca2 j > 3Va3 b3 -c3 = 3abc
(II)
Multiplicando (I) e (II) concluímos que:
(a2b + b2c + c2a) ■ (ab2 + bc2
:a2) > 9 a2b2c2
78) Se 0 < x < 1 qual o valor máximo de f(x) = x • v1 - x2.
Resolução:
Elevando ao quadrado a expressão original, temos:
x
x2-(l —x2)
Note que a soma é constante, x2 + 1 - x = 1.
O produto será máximo quando todos os fatores forem iguais segue
que:
=> 2x2 = 1 => x = ^
x2 = 1 — x2
2
Portanto, f(x) = x ■ Vi - x2.
= ^l /1
= 2 VCl
4
2 \2
72
2
^1 J_ 22
2
V2
79) Mostre que se a e p são ângulos do primeiro quadrante, então
f cos3 a
I cosp
sen3a
senp ■cos(a-p) > 1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
163
Resolução:
cos(a - P) = cosa ■ cosp + sena ■ senp
cos3 a sen3a
- + -------cosp
senp
Tomando a
(cosa cosp + sen a -senp) > 1
'cos3 a
.
ísen3a
a,b=
-cosp • b = J-senp . c
Voos a -cos p e d=^/sena • senp
aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwartz obtemos:
(a2 +b2)(c2 + d2) > (ac + U
'J'2
bd)'
| cos3 a
I cosp
sen3a
■ (cosa ■ cos p + sena • sen p) >
senp
\2
cos3 a
^(cosa-cosp) +
cosp
f sen3a | r,--------------- K/(sen a •senp)
senp
cos3 a
(cosa cosp)
cosp
sen3a
(sena senp)
senp
=
------------y
(x/cos4 a + x/sen4a j = (cos2 a + sen2a)2 = 1
80) Se x3 -12x2 + ax-64 = 0 tem raizes reais não negativas. Encontre a.
Resolução:
Sejam r, s, e t raízes da equação usando as relações de Girard,
teremos:
r+s + t= 12
rs + rt + st = a
rst = 64
Aplicando MA>MG:
r+s + t > 3 Vrst = 3 ?/64 = 12
Os três números são positivos então podemos concluir que a
igualdade ocorre quando
r=s=t=4
a = rs + st + rt = 4- 4 + 4- 4 + 4- 4 = 48
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
164
!
I
81) Se x e y são números reais tais que
x■
'1-y2 + y • ’1-y2 =1.
Prove que x2 + y2 = 1.
Resolução:
Aplicando Cauchy-Schwartz temos:
(a,b, + a2b2 )2 < (a2 + a2) ■ (b2 + b2)
b1 = Vi - y2, b2 = y
a, = x, a2 = ^1-x2
Temos:
(’• '1-
2
Ji-y2 | < (*2 + 1-x2) (l-y2 + y2 ) = 1
A igualdade se verifica para:
'1-x2
y
X
x2y2: = (i-y2)-(i-x2)
x2 +y2 =1
82) Sejam x>0 e y>0 números reais tais que x + y = 2. Mostre que xy< 1.
Resolução:
Aplicando MQ > MA teremos:
2
x2 + y:
+y
2
Como x + y = 2 segue que
x2 +y2: ^x + y _2
F“
2
2
1
x2 + y2 > 2
Daí, temos que
x + y = 2=> (x + y)2 = 22
x2 + y2 + 2xy = 4=>x2 + y2=4 - 2xy
então
x2 +y2 >2
4 - 2xy >2 => xy < 1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
165
83) (AMC-modificado) Se a, m e c são inteiros não negativos tais que
a + m + c = 12. Qual o máximo valor de ame + am + mc + ca?
Resolução:
ame + am + mc + ca = (a + 1) ■ (m - 1) ■ (c + 1) - ( am + 1 + m + c)-1
ame + am + mc + ca = (a + 1) • (m ■1)(c+1)-13
A soma é constante.
a + m + c+1 + 1 + 1 = 15
O produto será máximo se todos forem iguais. Ou sejam,
a+1=m+1=c=1=5
Portanto
ame + am + mc + ca = 5- 5- 5-13 = 112
84) Prove que se a > 0, b > 0 e x > 0, então ax + — > 2jãb.
x
Resolução:
Aplicando MA>MG:
^ax- = 2\/ãb
ax + — > 2 Jax —
85) Se x + y = 4, determine máx(min{x,y}).
Resolução:
Sem perda de generalidade suponhamos que x>y, então min {x, y) = y.
Assim temos que maximizar y com y <x e x + y = 4. Nestas condições,
4 = x + y>y + y = 2y=>y<2
Assim o máx(mín{x,y}) é igual a 2 e é assumido quando x = y = 2.
86) Prove que para todo a > 0 e b > 0
!
I
■
a3 + 2b3 > 3ab2
Resolução:
Aplicando MA>MG temos:
a3 + 2b3 = a3 + b3 + b3 > 3^/a3 -b3 ■ b3 = 3ab2
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
166
3
87) (Olimpíada Chinesa-2003) Se — < x < 5. Prove que
2^x + 1 + V2x-3 + V15-3x <
Resolução:
Aplicando Cauchy-Schwartz, temos:
27x + 1 + >/2x - 3 + 715- 3x = Vx + 1 + Vx + 1 + 72x-3 + Vl5-3x <
(x/x + 1 j • 1 + (Vx + l) • 1 + (<2x -3)-1 + (>/T 5-3x)-1<
4(x +1) + (x +1) + (2x - 3) + (15 - 3x)] • (12 + 12 +12 +12) = 2Vx+14 < 2
Pois o maior valor que x assume é 5.
88) Se a, b, c e d são números reais positivos, mostre que
7ãb + Vcd < ^(a + d)(b + c)
Resolução:
' a
b
a+d b+c
yjãb + 7cd < ^(a + d)(b + c)
Como
b+c a+d
segue que existe x tal que
a+d
analogamente,
como
sen2y = - a .
a+d
Percebendo
b+c
que
sen2x = —,
a+d
segue que existe y tal que
-±-+-*-=1
a+d
a+d
segue
cos2 x = - d e por analogia, cos2 y = —— . Assim,
a+d
b+c
' a
b
------------- +
a+d b+c
c
d = Jsen2xsen2y + ,/cos2 xcos2 y =
b+c a+d
= senxseny + cosxcosy = cos(x-y) < 1
que
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
167
89) Supondo que o pohnômio p(x) = x100 - 600x" + a98x
X 98 +... + a,x + a0
possua 100 raizes reais e que p(7) > 1, mostre que p possui pelo
menos uma raiz maior do que 7.
Resolução:
Sejam a,, a2, .... a1Oo as 100 raízes de p. Suponhamos por contradição
a, < 7 Vi = 1, 2, 3
100. Como
p(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)- .. (x-<x100)
segue que:
1<p(7) = (7-a1)(7-a2)(7-a3)-...-(7-a100)
Logo
1 =10^ < ioo/(7 - a,)(7 -a2 )(7-a3) -...-(7-a100) <
(7-cg)+ (7-a2) + ... +(7-a100)
100
1
700 - (a, + a2 +... + cttoo)
ÍÕÕ
700 — 600
"
ÍÕÕ
=1
O que evidentemente é um absurdo! Assim concluímos que pelo
menos uma das raízes de p é maior do que 7.
90) Mostre que a raiz positiva da equação
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)-...-(x + 2009) = 1
é menor do que
1
2009! '
Resolução:
De fato, se a é uma raiz positiva da equação,
a + 1>1
a + 2>2
■ a+3 >3
a+ 2009 >2009
Multiplicando membro a membro as desigualdades acima,
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
168
(a + 1)(a + 2)(a + 3)....-(a
2009) > 1-2 3-
-2009 =>
rãoõõi
(a + 1)(a + 2)(a + 3)•... • (a + 2009) > 2009!
Como estamos supondo que a é uma raiz
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)-...-(x + 2009) = 1 segue que
equação
da
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) •... • (a + 2009) = 1
(a + 1)(a + 2)(a + 3)-... (a+ 2009) =
1
Como (a + 1)(a + 2)(a + 3)-...-(a+ 2009) > 1999! segue que
a
1
->2009!=>a<
a
2009!
91) (Ibero) Determine a, p, y e 0 sabendo que são as raizes da equação
4x4 -ax3 + bx2 -cx + 5 = 0 eque — + — + — + — = 1.
2 4 5 8
Resolução:
5
Usando Girard, a • p • y • 0 = —.
4
Aplicando MA> MG,
2
4
£+P+I+®
2
5
4
4
8 ><“.0.1.® = 4, 'a - p y - 0
V2 4 5 8
V 320
Sabemos que a igualdade ocorre se e somente se
5
4
V 240
2
4
2
4
5
e portanto a = —, P = 1. Y = - e 0 = 2.
4
92) Supondo que n é natural mostre que n11 > 1-3 - 5-7-...-(2n -1).
8
4
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
169
Resolução:
Aplicando MA>MG,
n2 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)
n =—=
n
n
n/l-3-5-7-...(2n-1) =>
n" > 1-3-5-7-...-(2n -1)
93) Se a, b, c e d são números reais positivos de soma 1, prove que
S = /4a+ 1 + /4b+ 1 + 74c + 1 + /4d + 1 < 6
Resolução:
Aplicando MA> MG,
(4a +1) +1
■/4a +1 < 2a +1
2
cuja igualdade só ocorre se e somente se 4a + 1 = 1cc>a = 0
(impossível pois estamos supondo que a é positivo!). Portanto
/4a + 1 < 2a + 1.
Analogamente,
/4b + 1 < 2b +1, /4c + 1 < 2c +1 e /4d + 1 < 2d +1
Assim,
S = ,/4a+ 1 + 74b+ 1 + 74c+ 1 + ^4d + 1 < (2a +1) + (2b +1) + (2c +1) + (2d +1) =>
S < (2a +1) + (2b +1) + (2c + 1) + (2d +1) = 2(a + b + c + d) + 4 = 2-1 + 4 = 6
94) Encontre todas as soluções em números reais positivos do sistema:
a + b + c + d = 12
abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd
Resolução:
Aplicando MA> MG,
a+b+c+d
4
12
4
3 => abcd < 81 (i)
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
170
Por outro lado,
abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd >
27 + 6^/ab ■ ac • ad • bc • bd ■ cd = 27 + 6Vabcd
Ou seja,
abcd > 27 + 6<abcd
Fazendo abcd
x2,
x2 - 6x - 27 > 0 => x < -3 ou x > 9
De modo que Jabcd > 9 => abcd > 81 (ii)
Assim de (i) e (ii) segue que abcd = 81 => a b = c
d=3.
a b c
95) Se a, b e c são inteiros que satisfazem a condição — + — + — = 3.
b c a
Prove que abc é o cubo de um inteiro.
Resolução:
Aplicando MA>MG,
1
3
3
a+b+c
,a b c
.
b c a >?
---------= 1
Vb c a
3
Sabemos
que
a
igualdade
ocorre
se
e
abc.
b
— = — = — = 1 => a = b = c e portanto abc = aaa = a3.
b c a
96) Para n natural, com n > 2 , mostre que n!
n+1
2~
somente
.n
Resolução:
Aplicando MA>MG,
+1
= tyi 2 3....-n < l+-2_+3.+_-. +n =n----=> n! <
n
2
n+1
2
,n
se
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
97) Usando MA>MG, mostre que a desigualdade
(1 + x)n > 1 + nx com n natural, é válida para x > 0.
171
de
Bernoulli
Resolução:
Aplicando MA> MG,
J(1 + nx)-1-1-1-...-1 <
1 + nx + (n -1)
n fatores
V
^1 + nx <
n
"(1+x)
n
=>(1 + x)n >1 + nx
Obs. Na verdade esta famosa desigualdade pode ser demonstrada
para x > -1.
98) (Desigualdade de Young) Se p e q são números racionais positivos
11
xp y q
tais que — + — = 1 então para x e y positivos tem-se — + — > xy.
P q
P
q
Resolução:
m
1
1
1 1
e —
Como — + — = 1 podemos escrever — =
q
P m+n
p q
m+n
r_,__ A__._ _ m + n
naturais. Assim, p =------- e q = -------n
m
1
n
com m e n
m+m
i
Fazendo x = ap e y = bq segue que
p
q
a
m+n
m
b
m+n
n
1
1 1
ma + nb > m+ry g m'b
| n = (a'imbn)mrn = ap -bq = xy
m+n
99) Prove que se a,, a2, a3, .... an g K+ e ara2a3-...an = 1 então
(1 + al)(1 + a2)-(1 + a3)-...(1 + an)>2n.
Resolução:
Como a1a2a3-...an = 1 podemos escrever
(1 + a,) • (1 + a2) ■ (1 + a3
(1 + an) =
4 - Resoluções - Desigualdades elementares
172
(1 + a1)-(1 + a2)-(1 + a3)-...(1 + an)
x/a1 ■a2 ■a3 ■ ■■■ ■ an
1 + a2
1+an
Va?
Va?
1
1
1
1
'a2
ai
^7
an
a3
Como x + - > 2, Vxe R segue que
x
1
a.
1
x/ã?
a2
1
1
r~
~r= + 'la3
Va3
J
an
■-
>
2-2-2 ■...-2 = 2n
Assim (1 + a,)■ (1 + a2)(1 + a3)•...• (1 + an)> 2n
100) (Desigualdade de Carlson) Mostre que
(a1+a2+... + a2)2 <Cn(afcf +a|c2+... + a^)
onde Cn é uma constante.
Resolução:
Cauchy-Schwartz no garante que
(a1b1+a2b2+... + anbn)2 <(a?+a^
- + an)(b?+b^+... + b*)
e dai
z
(
,
1
\2
1 l
1
(a, + a2 +... + a2 j = aiC-, —r a2c2 — +... + ancn —
C1
c2
cn J
1 'l
(a?c?+a|cl+... + afà)| 11
2 + 2 +- + c2
u,
u2
UnJ
1 1
1
Definindo C„ = -y + -y +... + -y segue que
C1
c2
cn
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
173
(a, + a2 +... + a2)2 < Cn (a2c2 + a2c2 +... + a2c2)
101) Mostre que (a! + a2 + ...+ a2)
^-(a? 4-22a2 +32a% +... + n2a2)
Resolução:
Usando a desigualdade de Carlson, tomando a sequência cn = n2
segue que
Cn
1
1
1^11
1 „ 1
1
1
n2
T- + —5- + ... + —t-=1h—— 4—y+ ... + ——<1 + —5-4 X-4-...4—T4*...- —
c2 c2
c2
22 32
n2
22 32
n2
6
Lembre-se do famoso resultado demonstrado por Euler:
»
1
1
1
n2
^n2
22
32
n2
6
Assim,
(a1+ a2 + - + a2)2 ^Cn(a12c12+a2c2 +-+a2Cn)=>
(a-| + a2
•••
^2)
^-(a* +22a2 +32a2 +... + n2a2)
Apêndice
Polinômios Simétricos
Desigualdades Elementares
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
177
5 - Apêndice
POLINÔMIOS SIMÉTRICOS
Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de
fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares, na
resolução de algumas equações irracionais são as funções polinomiais
simétricas, que apesar de seu grande poder algébrico são pouco
divulgadas entre os nossos alunos. A finalidade deste breve artigo é exibir
de modo sucinto como estas ferramentas podem ser úteis na resolução de
alguns problemas olímpicos.
I.
Polinômios Simétricos
Um polinômio f, a duas variáveis x, y, é dito simétrico quandc
f(x, y) = f(y. x) para todos os valores x, y.
Exemplos:
a) o, = x + y e o 2 = x ■ y, são evidentemente polinômios simétrico,
(chamados polinômios simétricos elementares).
b) Os polinômios da forma Sn = xn + yn, com n e N também são
simétricos. Um fato importante a ser observado é que um polinômio
simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em função de
ai e az. Vejamos:
Se Sn = xn + yn, n e N, (n > 2), então:
Sn = xn + yn = (x + y) (xn-1 + yn’1) - xyfx"-2 + y-2)
= Ot ' Sn_T — a2 ■ Sn-2 (n 5 2)
Mas,
So = x° + y° = 1 + 1 = 2
St = x1 + y1 = x + y = ot
Assim temos que:
So — 2
S, = <3,
S2 = Oi ■ St — o2' So = ai ■ Ot - <?2 ■ 2 = cn — 2a2
Sg —
’ S2 — <72 St — <7t (Ot — 2<72) — <72 ' <7t = <5t — 3ct ’ o2
5 - Apêndice - Polinômios Simétricos
178
E dai usando a lei de recorrência Sn = o, Sn-, - o2 Sn-2 (n>2)
podemos determinar Sn em função de o, e o2 para qualquer número
natural n.
Agora para garantirmos a afirmação anterior que todo polinômio
simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em a, e a2
observemos o seguinte fato:
Num polinômio simétrico f(x, y) para os termos da forma a • xK ■ yK nâo
temos nenhum problema pois a • xK • yK= a(x • y)K = a ■ a2K. Agora com os
termos da forma b • x' • yK, com i < k devemos observar o seguinte fato:
Como, por hipótese, f(x, y) é simétrico se b • x1 • yk, com i < k estiver
presente em f(x, y) temos que b ■ xk • y1 também deve estar presente em
f(x, y), visto que deve ser satisfeita a condição f(x, y) = f(y, x). Assim se
agruparmos os termos b • x1 • yk + b • xk • y1 (i < k) temos que:
b • x1 ■ yk + b • xk ■ y1 = b ■ x1 • y1 (xk_| + yk-i) = b ■ a2' • Sk_,,
mas como já mostramos anteriormente Sk_, pode ser escrito como um
polinômio em o, e a2, pois k - i e N, visto que i < k.
II.
Exemplos Resolvidos
01. (Funções simétricas elementares a 3 variáveis)
Definido:
a, = x + y + z
"2 = xy + xz + yz
■3 = x • y • z
>n = xn + yn + z", com n e N (n > 2).
Mostre que:
a) Sn = o, ■ Sn_, - a2 Sn-2 + o3 ■ Sn-3 (n > 3, com n e N)
b) S3 = O, - 3a,O2 + 3(33
Resolução:
Observe inicialmente que:
xn + y" + zn = (x + y + z) (x"-1 + y'^n-1 + ^n-1') - (xy + xz + yZ) (x"’2 + y-2
zn’2) + )xyz (xn~3 + yn“3
+ zn-6
e daí temos que:
179
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
S„ = o, ■ S„-1 - 02 ■ Sn-2 + 03 • Sn-3 (n > 3, com n e N)
Agora temos que:
So = x° + y° + z° = 1 + 1 + 1 = 3
S, = x + y + z = O,
S2 = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2 (xy + xz + yz) = cr ,2 - 2 o 2
Agora fazendo n = 3 temos na lei de recorrência
Sn = O, • Sn-, — 02 ' Sn-2 + <7 3 ’ Sn-3
temos que:
S3 = o, ■ S2 — o2 ■ S, + 03 - So = o, (o, — 2o2) — 02 ■ o, + 03 ■ 3
S3 = o,3 - 3o,- o2 + 3cr3
02.
a) Fatore x3 + y3 + z3 - 3xyz
Resolução:
Essa velha e manjada questão continua ainda hoje pegando alguns
bons professores e alunos. A sua solução pelos métodos tradicionais
envolve uma boa dose de atenção e de paciência para aplicar velhos
"truques" de fatoração, por outro lado ela é imediata usando os
polinômios simétricos. Vejamos:
x3 + y3 + z3 - 3xyz
S3-3
c3
Mas de acordo com a questão anterior S3 = cr,3 - 3a,a2 + 3a3 e daí
temos que S3 - 3cr3 = a,3 - 3a,c2- Assim:
x3 + y3 + z3 - 3xyz = S3 - 3a3 =
— O1 — 3cJiQ2 =
= o, (a,2-3o2) =
= [(x + y + z) - 3 (xy + xz + yz)]
= (x + y + z) (x + y + z - xy - xz - yz)
Obs. (para os mais curiosos): Na RPM 41, pág.38 existe uma bela
resolução desse problema usando um determinante.
b) Usando a fatoração obtida em (a), verifique a famosa desigualdade
das
médias aritmética
e geométrica.
Se a,
b,
c
e
R„ então
?/abc < a + b + c e a igualdade ocorre, se, e somente se, a = b = c.
3
5 - Apêndice - Polinômios Simétricos
180
De fato, em (a) verificamos que
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz)
Vamos mostrar inicialmente que se x, y, z são números reais positivos
então:
(x + y + z) ■ (x2 + y2 + z2 - xy - xy - yz) > 0
De fato,
(2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2xz - 2zy)
x2 + y2 + z2 -xy - xz + yz =
«1
=(x2 - 2xy + y2 + X2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2)
-1
= -[(x-y)2+(x-z)2 + (y-z)2] > 0
(Soma de quadrados)
Ora, como estamos supondo x, y, z reais positivos temos que
x + y + z > 0 e dai (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz) > 0 (pois é
o produto de fatores > 0). Assim temos que:
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz) > 0
e dai
3xyz < x3 + y3 + z3 => xyz <
x3 + y3+z3
3
fazendo x3 = a. y3
b e z3 = c temos que:
a+b+c
3
e daí
a+b+c
3
Com a igualdade ocorrendo se e somente se a = b = c, pois em
(x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz) > 0 a igualdade ocorre apenas
quando x = y = z, visto que x + y + z > 0, uma vez que x, y, z são
números reais positivos e além disso,
(x2 + y2 + z2-xy - xz-yz) = ^[(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2] = 0 o
x = y = z.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
181
03) Fatore (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3).
Resolução:
(x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = o,3 - S3
Mas, no exemplo anterior vimos que S3 = a,3 - 30,02 + 3a3 e daí
(x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = o,3 - (o,3 - 3o,o2 + 3o3)
= 3(OiO2 — o3)
= 3 • í(x + y + z) (xy + xz + yz) - xyz]
= 3(x2y + x2z + xyz + xy2 + xyz + y2z + xyz + xz2 + yz2 - xyz)
= 3 [xy(x + y) + xz(x + y) + yz(y + z) + xz(y + z)]
= 3 ■ [(x + y)(xy + xz) + (y + z)(yz + xz)]
= 3 • [(x + y) ■ x(y + z) + (y + z) ■ z(x + y)]
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
04) Se x, e x2 são as raizes da equação x2 - 6x + 1 = 0 determine o valor
de x,5 + x25
Resolução:
Fazendo Sn = x,n + x2n, n e N, queremos determinar S5 = x,5 + x25
Temos que:
o, = x, + x2 = 6
a2 = x, ■ x2 = 1
So = x,° + x2° = 1 +1 =2
S, — x, + x2 ~ 6
Sn = oi ■ Sn_ 1 — o2 ■ Sn_2 = 6Sn_i — Sn_2,
52 = 6 ■ S, - So = 6 ■ 6 - 2 = 34
53 = 6 ■ S2-S, = 6 • 34-6 = 198
S„ = 6 S3-S2 = 6 • 198-34 = 1.154
S5 = 6 ■ S4 - S3 = 6 ■ 1.154 - 198 = 6.726
e daí:
Assim: Xt5 + x25 = 6.726
05) Determine todas as soluções reais do sistema
x + y+ z =1
x3 +y 3
z3 + xyz = x4 + y4 + z4 +1
5 - Apêndice - Polinômios Simétricos
182
Resolução:
De acordo com o sistema temos que:
a, =1
onde Sn = xn + yn + zn, n e N
S3 + O3 — S4 + 1
Mas, S3 = o,3 - 3a2Oi + 3as
e
S4 = O, 4 — 4o,2Q2 + 2a22 + 4a, ■ 03
(verifique isto!) e dai
S3 + 03 = S4 + 1 => a,3— 30,02 + 3o3 + 03 = o,4 - 4o,2G2 + 2ü22 + 4a,a3 + 1
Como o, = 1 temos que.
1 — 302 + 4c?3 = 1 — 4(72
2c2^ + 4ü3 + 1 3Z> 2ü2^ “ 02 +1-0
Como, A = (-1)2 - 4 • 2 • 1 = -7 < 0, concluímos que não existem
raizes reais.
Uma outra aplicação interessante dos polinômios simétricos pode ser
encontrada na resolução de algumas equações irracionais.
06) Determine todas as raizes reais da equação abaixo:
V272-X +Vx =6
Resolução:
Fazendo Vx = y e V272 - x = z temos que
y + z =6
x = y4 e 272 - x = z4
y4 + z4 =272
e agora lembrando que: a, = y + z e o2 = y
z e Sn = yn + zn, com
n e N.
a1 = 6
CT1 = 6
S4 =272
of -4a? a2 + 2o? =272
Logo, 64 - 4 • 62 ’ Ü2 + 2(52^ “* 272 => a22 - 72o2 + 512 = 0 => a2 = 64 ou
□2 = 8
Assim, se o2 = 64 =>
y+z=6
y z = 64
=> Não existem soluções reais.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Por outro lado, se o2 = 8 =>
183
y+z=6
=>y = 2ez = 4ouz = 2ey = 4
yz = 8
Assim concluímos que:
y = 2 => x = 16
y = 4 => x = 256
Logo as raizes reais da equação são 16 e 256
III.
Problemas Propostos
01) Se a,p e y são as raizes da equação x3 + 3x2 - 7x + 1 = 0. Determine
o valor de a3 + p3 + y3 + a4 + p4 + y4 .
x+y =a
02) Mostre que se o sistema ■ x2 + y2 = b tem solução, então a3 - 3ab + 2c = 0.
x3 + y3 = c
03) Sejam a,b,ceR , sabendo que a + b + c>0, a + b + c>0 e abc>0
mostre que a >0 , b >0 e c >0.
04) Se x + y + z = 0, verifique que. para n
0, 1, 2, ... vale a relação:
xn+3 + yn+3 + zn+3 = xyz(xn + yn+zn) + ^(x2 + y,2: + z2)(xn+1 + y',n+1 + Zn+1
05) Determine as raizes reais da equação 4/97 - x
06)
a) Definindo:
=a+b+c
o2 = ab + ac + bc
a3 = abc
Mostre que
o3 - Oi <J2
a
-b ou
a = -c ou b = -c .
184
5 - Apêndice - Polinômios Simétricos
1
b) Sejam a, b e c números reais tal que —+
a b
1
1
1
1
«2011 + b2°11
2011
(a
+
b
+
c)2011
d
2
c
1
. Mostre que
a+b+c
07) Sejam a, b e c números reais positivos tais que:
loga b + logb c + logc a = 0
Determine o valor de (loga b)3 + (logb c)3 + (logc a)3
08) Se a, p e y são números complexos tais que:
a+P+y =1
a2+p2 + Y2 =3
a3+p3 + Y3 =7
Determine o valor de a 21 +p21 + y21.
IV. Resoluções
01)
Se a, p e y são as raízes da equação x3 + 3x2 - 7x + 1 = 0.
Determine o valor de a3 + p3 + y-3+a4+p4+y4.
Resolução:
Para uma equação polinomial do 3°grau ax3 +bx2 +cx + d = 0com raízes
ct,p e y são bastante conhecidas as relações de Girard,
o-j = a + p + Y = - —
a
Q
a2
ap + cty + Py = —
a
„
d
°3 = «Py = --
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
185
Como x3 + 3x2 - 7x + 1 = 0, segue que:
a1 = ot + p + y = -3
o2 = ap + ay + Py = -7
a3 = aPy = -1
Como sabemos Sn = an+pn+yn. Portanto a expressão desejada pode
ser escrita como
a3 + p3 + y3 + a4 + p4 + y4 = S3 + S4
Como já provamos anteriormente
S3 = o-j3 - 3CTlo2 + 3o3 =(-3)3 -3.(-3)(-7) + 3(-l) = -93
S4 = o/ - 4o-|2a2 + 2o22 + 4o-|O3 =
= (-3)4 - 4(-3)2 (-7) + 2(-7)2 + 4 (-3) (-1) =
= 443
Assim,
a3+p3 + Y3 + a4+p4 + Y4
S3 +S4 = -93 + 443 = 350
x+y=a
02) Mostre que se o sistema ■ x2 + y2 = b tem solução, então a3 - 3ab + 2c = 0.
x3 + y3 = c
Resolução:
Como sabemos,
5 1 = a1
x + y => o1 = a
c2 = b
S
Sn = xn + yn => 52 = x2 + y,22 => o
53 = x3 +y3 =>S3 =c
Como
5 - Apêndice - Polinõmios Simétricos
186
(x + y)2 = x2+y2+2xy
=>
°2
S2 + 2o2
a2 = b + 2o2
a2 - b
o2= —
Assim,
S3
c = ab-
cy-]S2 ~ 02^1
a2 -b
2
a
2c = 2ab-a3 +ab
a3 - 3ab + 2c = 0
03) Sejam a,b,c e R , sabendo que a + b + c>0,
mostre que a>0, b>0 e c>0.
a + b + c > 0 e abc > 0
Resoluçãc:
Se a,b,c e R então estes números, pelas relações de Girard (citadas no
exercício 1), são as raízes da equação polinomial x3 - c^x2 + cr2x - cr3 = 0 ,
onde
'a1=a + b + c>0
o2 = ab + ac + bc > 0
^o3 = abc > 0
x3-c^x2+a2x~CT3 = 0
na forma
x3-c^x2+a2x = a3 . Para x<0 note que x3 <0, -cr,x2 <0
e o2x<0
Podemos reescrever a equação
e portanto
o primeiro membro da equação
x3 - c^x2 + cr2x = a3
é
negativo, enquanto que o segundo membro é positivo, visto que o3 > 0.
Assim o primeiro membro e o segundo membro não podem ser iguais para
x<0, o que é equivalente a dizer que a equação x3 - a-|X2 + o2x - cr3 =0
não possui raízes negativas. Ora, como a, b e c são as raizes da equação
x3 - c^x2 + o2x - a3 = 0 segue então que a>0 , b>0 e c>0.
04) Se x + y + z = 0, verifique que, para n = 0, 1,2, ... vale a relação:
xn+3 + yn+3 + zn+3
xyz(xn + yn + zn) + ^(x2+y:,2 + z2)(xn+1+y',n+1 + zn+1)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
187
Resolução:
Sabemos que Sn = a1Sn_1 - o2Sn_2 +
a3Sn-3
(n - 3. com ns N) ■
Assim,
$n+3
alSn+2
~ °2^n+1 + CT3^n
De acordo com o enunciado
Sn+3 - alSn+2
= x + y + z = O. Assim,
~ a2Sn+1 + °3Sn
Sn+3 - °3Sn - a2Snh1
Mas
o3 = xyz
Sn = xn + yn + zn
Sn+i=x"+1+y"+1 + zn+1
Assim para atingirmos o resultado desejado resta apenas verificar que
-^2 =^(x2 + y2+z2)
De fato,
(x + y + z)2 = x2 + y,22 + z2 + 2(xy + xz + yz)
-°2 = ^(x2 + y2 +
O2 = x2 + y2 + z2 + 2o2
=>
z2)
Finalmente voltando a igualdade Sn+3
xn+3 + yn+3 +zn+3 _
= a3Sn - tf2Sn+1 segue que
+ yn +zn) + l(x2 + y2 + z2)(xn+1 + yn+1 + zn+1)
+ y'
05) Determine as raizes reais da equação
-x
+ %/x = 5.
Resolução:
Fazendo
í/97-x = a
a4 =97-x
Vx = b
b4 = x
a4 +b4 =97
S4 =97
5 - Apêndice - Polinômios Simétricos
188
Como V97 - x + 3/x = 5 segue que
<5-| = a + b
a+b
5 . Definindo
5
°1
02 = ab
o/ - 4oi2O2 + 2o22
e lembrando que S4 = a4 +b4 e também que S4
segue que
Oi — 4oi2o2 + 2o2‘ = 97
Como a, = 5 temos:
o/ - 40^02 + 2o22 = 97
54 -4.52o2 + 2o22
2o22 -100o2 +528 = 0
o22 - 50o2 + 264 = 0 =>
A = (-50)2 -4x1x264 = 1.444 =>
VÃ = 38
97
50 ±38
a2=-^—
Assim temos as seguintes possibilidades, a saber:
O-j = 5
a+b=5
o2 = 44
ab = 44
a2 - 5a + 44 = 0
A = (-5)2-4x1x44 =-151 <0
Neste caso não há soluções reais. Uma outra possibilidade é
<5-1=5
a+b = 5
<5j = 6
ab = 6
a=2eb=3
ou
a=3eb=2
Assim,
3/97-x =a
W-x =3
3/x = b
Vx =2
=> x = 16
Ou ainda
3/97 - x = a
V97-x = 2
3/x = b
Vx =3
=> x = 81
02 = 44
02 = 6
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
189
Portanto as soluções reais da equação í/97 - x + ^/x =5 são 16 e 81.
06)
a)Definindo
<r-i — a + b + c
a2 = ab + ac + bc
<j3 = abc
Mostre que
°3
a = -b ou
°1°2
a = -c ou b = -c
Resolução:
o3 = a-|.CT2 => abc = (a + b + c)(ab + ac + bc) =>
abc = a2b + a2c + abc + ab2 + abc + b2c + abc + ac2 + bc2
0 = ab(a + b) + ac (a + c) + bc(b + c) + abc + abc =>
0 = ab(a + b) + abc +ac(a + c) + abc + bc(b + c) =>
0 = ab(a + b + c) + ac(a + c + b) + bc(b +c) =>
0 = (a + b + c)(ab + ac) + bc(b + c)=>
0 = (a + b + c)a(b + c) + bc(b + c)=>
0
(b + c)(a2 + ab + ac + bc] =>
0
(b + c)(a(a + b)
0
(b + c)(a + b)(a + c)
(a + b))=>
b + c = 0 => b = -c ou
a + b = 0=>a = -bou
a + c = 0=>a = -c
2 2
1
b) Sejam a, b e c números reais tal que — +
a b
1
1
1
1
_2011 + b2011
2011
(a + b + c)2011
a
c
1
. Mostre que
a+b+c
5 - Apêndice - Polinõmios Simétricos
190
Resolução:
2 2 2
a
b
1
a+b+c
c
ab + ac + bc
abc
1
a+b+c
(ab + ac + bc)(a + b + c) = abc
Usando o resultado provado no item anterior temos que
a = -b
°3 - ®1-O2
ou
ou a = -c
b = -c
Ora, se por exemplo a = -ba expressão
escrita como
1
1
1
a2011 +b2011 +
1
1
a2011 + b2011
1
1
1
a2011
1
1
1
2011 = (-b)2011 + b2011 +
1
c2011
1
a2011+b2011 +
Como a
1
1
1
a2011 + b2011 + c.2011 pode ser
2011
1
1
b2011 + b2011 +
2011
1
1
2011
.2011
c
1
(-b + b + c)2011
-b podemos trocar-b por a no último denominador. Assim,
1
b2011
1
2011 ~
1
.
1
-.2011
(-b + b + c)
1
1
:
_2011 + b2011 +c.2011
d
1
(a + b + c)2011
Nos casos em que a = -c ou b = -c, procedendo de modo completamente
análogo também chegamos a conclusão que:
111
-2011 + h2011 + _2011
a
U
G
1
(a + b + c)2011
07) Sejam a, b e c números reais positivos tais que:
loga b + logb c + logc a = 0
Determine o valor de (loga b)3 + (logb c)3 + (logc a)3
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Resolução:
x = loga b
Fazendo
y = logb c
z = logc a
Perceba que
xyz = (loga b).(logb c).(logc a)
loga b + logb c + logc a = 0 =>
logb logc loga
loga logb logc
x+y+z =0
(loga b)3 + (logb c)3 + (logc a)3 = x3 + y3: + z3
Por outro lado sabemos que (exemplo 01 da teoria)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz)
Como x + y + z = 0, segue que:
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz)=0 e dai
x3 + y3 + z3 = 3xyz
(loga b)3 + (logb c)3 + (logc a)3 = x3 + y,3: + z3 = 3xyz = 3x1 = 3
08) Se a, p e y sâo números complexos tais que:
a+P+y =1
a2 + p2 + y2 = 3
a3 + p3 + y3 = 7
Determine o valor de a'21 + p21 + Y21
Resolução:
Como já estamos habituados,
191
5 - Apêndice - Polinômios Simétricos
192
o1 = a + p + y
• a2 = aP + ay + Py
a3 = apy
e também Sn = an + pn + yn .
como a + p + y = 1, a2+p2+y2=3 , usando a conhecida identidade
(a + p + y)2 = a'2 + P2 + y2 + 2 (ap + ay + Py)
Segue que 12 =3 + 2(aP + ay + Py)
=> aP + ay + Py = -1
°2
Além disso usando a identidade
(a + p + y)3 = a3 + P3 + y3 + 3a2p + 3a2y + 3p2a + 3p2y + 3y2a + 3y2p + 6apy
que pode ser reescrita como
[a + P +y)3 =a3 + p3 + y3 + 3aP(ci + P)+3cty(a + y) + 3Py(p + y) + 6aPy =
= a3 + p3 + y3 + 3aP(a + P) + 3aPY + 3ay(a + y) + 3aPy + 3Py(P + y) + 3aPy-3aPY
= a3 + p3 + y3 + 3aP(a + P + y) + 3ay(a + P +y) + 3Py(a + p + y)-3apy =
= a3 + p3 +y3 + 3(a + p + y)(ap + ay + py)-3apy
Como
a3+p3+y3=7 ,
a+p+y=1 e aP + ay + Py = -1 segue pela
última identidade acima que
(a + P + y)3 = a:3 + p3 + y3 + 3(a + P + y)(ap + ay + py) - 3apy
13 = 7 + 3.1 (-1) - 3aPy
=> aPy = 1
=>
Resumindo, neste momento sabemos que
a3 =1
= 1, o2 = -1 e °3
Lembrando que Sn = c1Sn^1 - a2Sn_2 + °3Sn-3 (n
1.
3, com ne N) obtemos,
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Sn
- o,Sn_, - O2$n -2 + a3^n-3
193
Sn - Sn-, + Sn_2 + Sn_3
Além disso,
i
S, = a + p + Y = 1
!
52 = a2 +P2 +y2 = 3
53 =a3 +p3 +y3 =7
!
Finalmente usando a recorrência Sn = Sn-, + Sn_2 + Sn-3 .obtemos:
S4 — S3 + S2 + S-|
1 + 3 + 7 = 11
Continuando desta forma obtemos uma sequência onde cada termo, a
partir do 4°, ê sempre a soma dos três termos imediatamente anteriores
(lembrando a conhecida sequência de Fibonacci). Assim a sequência
obtida é:
1, 3, 7, 11, 21, 39, 71, 131, 241, 443, 815, 1.499, 2.757, 5.071, 9.327,
17.155, 31.553, 58.035, 106.743, 196.331, 361.109
Assim, concluímos que S2, = a21 + P21 + Y21 = 361.109
194
6 - Apêndice - Demonstrações -Desigualdades Elementares
6 - DEMONSTRAÇÕES
Desigualdades Elementares
A intenção deste apêndice é reunir num mesmo lugar várias
i
demonstrações das principais desigualdades elementares clássicas, coisa
que em geral, só se consegue após consultar diversas obras. Assim estará
facilitado o trabalho do leitor, que num mesmo lugar poderá encontrar as
demonstrações detalhadas destas importantes ferramentas Matemáticas.
I.
Desigualdade de Bernoulli
Para todo xeR,x>-1eneN tem-se (1 + x)n > 1 + nx.
Demonstração:
Inicialmente vamos usar o método da indução sobre n.
1o modo: para n = 1
(1 + x)’>1 + 1-x é verdadeira pois (1 + x)1 = 1 + x e evidentemente
. + x > 1 + x.
Suponhamos que a desigualdade seja verdadeira para n = k, isto é,
para x > -1,
(1 + x)k >1 + kx
Agora vamos verificar que a desigualdade é válida para n = k + 1. De
fato, como estamos supondo que x > -1 segue que 1 + x > 0. Assim
podemos multiplicar ambos os membros da desigualdade (1 + x)k > 1 + kx
por 1 + x, sem que seja alterado o sinal da desigualdade. Assim
(1 + x)k > 1+kx => (1 + x)k (1 + x) > (1 + kx)(1 + x) = 1 + x + kx + kx2 > 1 + (k +1)x
ou seja, (1 + x)k+1
kt1 >1 + (k + 1)x, o que verifica que a desigualdade é válida
para todo n natural.
i
3
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
195
2° modo:
=
Uma outra maneira de chegarmos ao resultado é verificar que se
< bn-an
0 < a < b e n € N, ni1, então na'
b-a
E fato,
bn -an
= bn'1 + bn 2a + ... + a'
b -a
Portanto na'
I
> a'
+ a"’1 + ... + a'
= na
< bn-an
b-a
Tomando b = x+1 e a = 1, e lembrando que 1 + x > 0 segue que
na"’<Èlz£^n.f < 0+4-i => n < 0 + 4-1
b-a
(1 + x)-1
X
(1
:)" >1 + nx
II-Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica
Sejam x,. x2
xn números reais positivos. Então
I------------- X.+x7+... + xn
t/x,x2 ... xn < -f---- '--------i
A igualdade ocorrendo se, e somente se, x, = x2= ... = x„.
Para demonstrarmos este conhecido e importante resultado vamos
demonstrar inicialmente um resultado auxiliar.
Sejam x,, x2
xn números reais positivos tais que x, ■ x2 ■ ... ■ xn = 1,
então x, + x2 + ...+xn > n , valendo a igualdade se, e somente se,
x, = x2 = ... = xn = 1.
Faremos novamente uma demonstração por indução sobre n.
Para n = 1:
Temos x, = 1 e portanto x, > 1, o que torna o resultado verdadeiro.
6 - Apêndice - Demonstrações -Desigualdades Elementares
196
Suponhamos que o resultado seja válido para n = k, ou seja,
x,-x2-...-xk = 1 => x, + x2 +...+xn > k
Agora vamos verificar que o resultado é válido para n = k + 1. De fato,
sejam x„ x2,..., xk, xk<1 números reais positivos tais que x, x2 •...■xk xht1 =1.
Assim dois casos podem se apresentar:
i.
Todos
os
números
x,, x2,..., xk, xk4,
são
iguais,
ou
seja,
x, = x2 =... = xk =xk4,.
Como
estamos
supondo
que
x,-x2 •...• xk-xk<1 = 1 segue que neste caso todos eles têm de ser
iguais a 1 e portanto x,+x2+... + xk + xk(1 = k+ 1. O resultado vale,
neste caso, para n = k + 1, visto que a igualdade é verificada quando
cada um dos números é igual a 1.
ii.
Nem todos os números são iguais, ou seja, há entre os números um
deles que é menor que 1 e outro que é maior que 1, pois não
podemos ter todos os números menores que 1 nem todos os números
maiores que 1, visto que o produto de todos eles deve ser igual a 1.
Sem perda de generalidade podemos supor que x, < 1 e que xk4, > 1.
Fazendo x, xk4l = b, segue que
xx2-...xkxk4l=1 => b,x2-...xk =1
Pela hipótese de indução segue que b, + x2 +... + xk > k . Assim,
x, +x2 +... + xk +xk4, =b1+x2+... + xk +x1-b1+xk4l >k + x, -b,+xk„
Para finalizar devemos verificar que x, - b, + xk4, > 1.
De fato, lembrando que x, xk41 = b, segue que
Xi
b, + xk4, — x,
x,xk4l + xk+1
Assim,
Xi-bi+xk+1
X, - x,xk+1 + xkt, = X, (1 - xk+1) + xk+1 -1 + 1
x,(1-Xk„)-(1-xk^) + 1
(1-xk<l)(x,-1) + 1
197
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
Lembrando que
x, < 1 => (x, -1) < 0
xkk, >1=>(1-xk.,)<0
segue que (1-xkt1)(x1-1) > 0 e portanto
Xi-b,+xk_, = (l-xk.,)(x,-1) + 1 >1
Assim,
+ xk + xh,, > k +1
x, + x2 +... + xk + xk+1 > k + x, - b, + xkt1 => x, + x2 +
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Com base neste lema fica imediato demonstrar a famosa
desigualdade entre as médias aritmética e geométrica de números reais
positivos, vejamos:
Seja G = í/x, x2 -...xn , então
1
G j/x, x2-... xn = n25.2k
G
G
x, x.
G G
inicialmente que
Como
—+—+
G G
G
VG
G
xn
G
25. 25
2Sl = i
G G "■ G
x„ = 1 segue pelo resultado que demonstramos
G
> n => x, + x2 +... + xn > nG => G < —!---- ------------ - =>
i2n
n
I----------------- X, + x2 +... + xn
tyx1x2-...-xn <—--------A igualdade ocorrendo se, e somente se, x, = x2 = ... = x„-
III. Desigualdade entre as médias harmônica e geométrica
Dada uma lista de números reais positivos x„ x2,x„, definimos a
n
sua média harmônica como sendo o número H =---------- - -------- — e como
1
111
x.
x2
■"
xn
6 - Apêndice - Demonstrações -Desigualdades Elementares
198
já comentamos anteriormente a sua média geométrica como sendo o
número G = t^x, x2 ■... xn . Nestas condições é sempre verdade que
H < G e que a igualdade ocorre se, e somente se x, = x2 =... = xn.
Para demonstrarmos este fato vamos usar a desigualdade já
estabelecida entre as médias aritmética e geométrica para números reais
1 1
1
positivos. Se x,, x2
xn são números reais positivos —, —
—
xn x2
xn
também são Assim aplicando a desigualdade entre as médias aritmética e
geométrica para números reais positivos segue que
1 1
= n ---\x, x2
^x,-x2-...xn
1
G
1
1
—+—+
1
—
< x,
_1_
x2
Xn
Xn
n
1
1
=> — < — => H < G
G H
A igualdade ocorrendo se, e somente se
1
1
x,
x2
1
= — => X, = x2 = ... = xn
Xn
Resumindo, dada uma lista de números reais positivos x,, x2,.... xn é
sempre verdade que H < G < A. A igualdade ocorrendo se, e somente se
x, =x2 = ... = xn.
IV. Desigualdade entre a média aritmética e a média quadrática
Dada uma lista de números reais positivos x,, x2
xn, definimos a
x?-t-x2+... + x7 (
e
n
como já comentamos anteriormente a sua média aritmética como sendo o
x. +x, +...+ xn
numero A = —----- ?---------- - . Nestas condições é sempre verdade que
n
A < Q e que a igualdade ocorre se, e somente se x, = x2 =... = xn.
sua média quadrática como sendo o número Q =
Para verificarmos este fato usaremos
(a-b)2 >0 <=> 2ab < a2 + b2. Vejamos:
a
seguinte
identidade
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
A2
_r x1+x2+...-bxn y
l
n
J
x?
x2 +... + x2 + 2x,x2
199
- + 2xn ,xn
í?
x, + x2 + ...+ X2 +(x2+x2) + ... + (x2.,+x2)
n2
n(x? +x2 +... + X2) _ x2 + x2 +...+ x2
n2
n
= Q2
Assim, A < Q .
Finalmente concluímos que dada uma lista de números reais positivos
x,, x2
xn é sempre verdade que H < G < A < Q. A igualdade ocorrendo
se, e somente se x, = x2 =... = xn.
V.
Um lema poderoso!
Este estranho nome é por nossa conta! Na verdade não sabemos
quem descobriu (ou demonstrou) este resultado aparentemente inocente,
mas que se mostra como uma ferramenta muito eficiente para resolver
problemas olímpicos envolvendo desigualdades até bem difíceis de serem
estabelecidas por outros caminhos. Conhecemos este resultado nos
consagrados livros do professor Titu Andreescu que é uma referência
indiscutível no assunto olimpíadas de Matemática. Vamos ao lema:
Se a, b, x e y são números reais e x > 0 e y > 0, então
(a + b/
x+ y
a2
b2
<—+—
x
y
Observação:
O poderoso lema acima pode ser estendido. Se a,, a2,.... an e R e
b„ b2
bn e R', então é válida a desigualdade
(a,+a2+... + an)2
b,+b2+... + b„
xx+ .X
b,
Ocorrendo a igualdade se, e somente se
b2
b„
!i = ^ = = ^L
b,
b2
- bn ’
6 - Apêndice - Demonstrações -Desigualdades Elementares
200
A demonstração é extremamente simples! Nada mais que uma
simples manipulação algébrica. Vejamos:
Sabemos que
(ay -bx)2 > 0 o a2y2 -2abxy + b2x2 > 0
a2y2 + b2x2 > 2abxy
Adicionando a2xy + b2xy a cada membro da desigualdade,
a2y2 +b2x2 > 2abxy
a2y2 + a2xy + b2xy + b2x2 > a2xy + b2xy + 2abxy
a2y(y + x) + b2x(y + x) > xy(a2 +2ab + b2)
a2y(y+ x) + b2x(y + x)> xy(a + b)2
Dividindo ambos os membros da desigualdade
,2
a2y(y + x) + b2x(y + x) > xy (a + b)'
Por xy(x + y),
r + x)
a2y(y + x) + b2x(y
Portanto
) > xy(a-rb)'
xy(x + y)
b2x(y + x)
xy(a + b)2
xy(x + y) " xy(x + y)
(a + b)2 a2
b2
1------- — < — + —. Note que a igualdade ocorre se, e
x+ y
x
y
somente se, (ay - bx)2 = 0 => — = b
y
Observação:
Aplicando o lema duas vezes podemos estender a desigualdade para
três pares de números, vejamos'
£ b^ c^
£ b^ , c2 " (a + b)'
c2
(a + b + c)2
x
X
x+ y
z
x+y+z
y
z
y
z
Seguindo desta forma podemos concluir que:
O poderoso lema acima pode ser estendido. Se a,, a2
b,, b2,.... bn e R', então é válida a desigualdade
an e R e
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
201
(a, +a2 -r... + an)2
b2
b,
b, + b2 +... + bn
Ocorrendo a igualdade se, e somente se
bn
^1 = ^2 =
b1
= ^-
b2
bn
VI. Desigualdade de Cauchy-Schwarz
i
i
Sejam xt, x2
xn, y>, y2
yn números reais , então
(x,yi + x2y2 +... + xnyn)2 < (x,2 + x22
x„2)(y,2 + y22 + - + yn2)
valendo a igualdade se, somente se, — = 2k
y.
y2
= 2Sl
y„
Para demonstrar esta desigualdade vamos usar o lema anterior.
Vejamos:
x2 + x2 +... + x2 = x?y?
y,2
y2
^•y^ (x1y,+x2y2+... + xnyJ2
y2 + y2+...+ y2
y2 ~
ou seja,
(x,y, + x2y2+... +xny„)2
x2 + x2 +... + X2 >
y2 + y2+...+y2
e portanto,
(x,y, + x2y2+... +xnyn)2 <(x,2+x2
Xn)(yf + y2 + -+y2)
2° modo
Considere a função quadrática
f( x) = (a,x - b, )2 + (a2x - b2 )2 +... + (anx - bn )2
Desenvolvendo os parênteses, chegamos a
f(x) = (a2 +a2
• + a2)x2 -2(a,b, +a2b2
• + anbn)X+(bf +b2 +- + bn)
202
6 - Apêndice - Demonstrações -Desigualdades Elementares
Por ser uma soma de quadrados, temos f(x) > 0 para todo real x, e
dai deve ser A < 0, o que nos faz obter
4(a,b, +a2b2
.. + a„bn)2 <4(a2 + a2+...+a2)(bf +b2 +... + b2)
Cancelando o fator 4 e extraindo a raiz quadrada de ambos os
membros, chegamos na desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Examinemos agora a igualdade. Se houver igualdade, quer dizer, se
for A = 0 , então o trinômio tem uma raiz real X:
(a,X-b,)2 + (a2X-b2)2 +... + (anX-bn)2 =0
Mas ai todos os parênteses devem ser nulos, isto é, b, = Xaj para todo
i. Então, havendo igualdade os a, e b, devem ser proporcionais. É evidente
que se eles forem proporcionais a igualdade ocorre. Q
VII. Desigualdade de Young
1 1
Se p e q são números racionais positivos tais que — + — = 1 então para
P q
xp v q
x e y positivos tem-se — + — > xy .
P
q
Para demonstrarmos vamos usar a já estabelecida desigualdade entre
1 1
as médias aritmética e geométrica. Como — + — = 1 epeq são números
P" q
n
1
m
. .
m+n
racionais podemos escrever - =
e
------- . Assim p =
e
P m+n
q m + n--------------------- m
m+n
q =------- com m, n e N. Fazendo
n
xp = a e yq = b
Segue que
2
x^+y^
p
q
a
m+n
m
b
m+n
n
ma+nb > m^ambn
m+n
203
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - ITA - IME
xp
p
yq
q
a
m+n
m
b
m+n
n
1
m
n
t
1
ma + nb
-------> (ambn)m+n = am+n. bmfn = ap. bq = xy
m+n
Assim,
xp
yq
— + — > xy
P
q
Como queríamos demonstrar.
204
Bibliografia
[1] Andreescu, Titu;
Birkhauser. 2004.
Enesc, Bogdan Mathematical Olympiad Treasures.
A Path to Combinatorics for
[2] Andreescu, Titu; Feng; Zuming.
Undergraduates-Counting Strategies. Birkhauser. 2004.
[3] Berzsenyi, George; Mauer, Stephen B. The Contest Problem Book V.
The Mathematical Association of America. 1997.
[4] Chentzov, N.N.; Shklarsky, D.O.; Yaglom, LM. The USSR Olympiad
Problem Book - Selected Problems and Theorems of Elementary
Mathematics. W. H. Freeman and Company. 1962.
[5] D"Angelo, John P.; West, Douglas B. Mathematical Thinking - ProblemSolving and Proofs Prentice Hall. 2000.
[6] Edwards, Josephine D.; King, Declan, J.; O'Halloran, Peter J.AII The
3est From The Australian Mathematical Competition. Australian
dathematics Competition. 1986.
t7] Fauring, Flora ; Wagner, Eduardo;Moreira, Carlos G. T. de A, Gutierrez,
Pedraza; Wykowsky. Problemas de Ias Olimpíadas Matematicas dei Cono
Sur. Red Olimpica.1994.
[8] Honsberger, Ross. In Pólya's Footsteps. The Mathematical Association
of America. 1997.
[9] Honsberger, Ross. Mathematical Chestnuts from Around the World. The
Mathematical Association of America. 2001.
[10] Honsberger, Ross. Mathematical
Association of America. 2004.
[11] Honsberger, Ross. More
Association of America. 1991.
The
Mathematical
Morsels.
Mathematical
Delights.
Mathematical
[12] Larson, Loren C. Problem-Solving Through Problems. Springer-Verlag.
1983.
[13] Larson, Loren; Guy, Richard; Vaderlind, Paul. The Inquisitive Problem
Solver. The Mathematical Association of America. 2002.
205
[14] Moreira, Carlos G. T. de A.; Wagner, Eduardo.
Iberoamericanas de Matemática. OEI. 1996.
10 Olimpíadas
[15] Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo de 1977 a 1997:
Questões e Soluções. ACIESP No. 106. ACIESP. 1999.
[16] Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo de 1977 a 1997:
Questões e Soluções. 2°. Grau ACIESP No. 106. 1999.
[17] Olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo de 1977 a 1997:
Questões e Soluções de 5a. A 8a. Série do 1°. Grau. ACIESP No. 102.
1999.
[18] Salkind, Charles T.; Earl, James M. The Contest Problem Book III. The
Mathematical Association of American. 1973.
[19] Taylor, P J. Tournament of the Towns 1984-1989. Australian
International Center for Mathematics Enrichment. 1992.
[20] Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. Dover. 1985.
[21] Valderlind, Paul ; Guy, Richard ; Larson, Loren. The Inquisitive
Problem Solver - MAA Problems Books. The Mathematical Association of
America. 2001.
[22] Veloso, Eduardo ; Viana, José. Desafios Vol. 01 ao 08. Edições
Afrontamento - Portugal. 1991 a 2002.
[23] www.obm.org.br
[24] Zeitz, Paul. The Art and Craft of Problem Solving.Second Edition. John
Wiley & Sons, INC. 2007.
[25] Crux Mathematicorum, CMS - vários volumes
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