Lista Aprofundamento 2 – Polinômios - Equações e Inequações
1) Determine todos os valores de a para os quais a inequação 𝑥² + 4𝑥 + 6𝑎|𝑥 + 2| + 9𝑎² ≤ 0
tenha no máximo uma solução real
2) Determine todos os valores do parâmetro a para os quais as raízes reais da equação
existem e estão no intervalo [2, 17]
3) Determine para que valores de x a inequação (4 − 2𝑎)𝑥² + (13𝑎 − 27)𝑥 + (33 − 13𝑎) > 0 para
qualquer valor do parâmetro a tal que 1 < a < 3.
4) Se
e
, solucione a inequação 𝑓(𝑔(𝑥)) ≤ 0.
5) Determine A e B reais para que
Em seguida, deduza a igualdade
6) Determine os números reais a, b, c e d sabendo que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥 4– 𝑥³+ 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
dividido por 𝑥² + 𝑑 dá resto 𝑟1(𝑥) = 𝑥, e dividido por 𝑥² − 𝑑 dá resto 𝑟2(𝑥) = −𝑥.
7) Um polinômio 𝑝(𝑥) dividido por 𝑥² + 𝑥 + 1 dá resto -x+1 e dividido por 𝑥² − 𝑥 + 1 dá resto
3x+5. Qual é o resto da divisão de p(x) por 𝑥4 + 𝑥² + 1?
8) Determine a e b no polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 2𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏 de modo que 𝑓(𝑥) + 1 seja divisível
por 𝑥 + 1 e 𝑓(𝑥) − 1 seja divisível por 𝑥 −1.
9) O polinômio 𝑃(𝑥) dividido por 𝑥²−1 dá resto 2𝑥+1. O polinômio 𝑔(𝑥) dividido por 𝑥²−3𝑥+2 dá
resto 𝑥+2. Qual é o resto da divisão de 𝑠(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) por x-1? Qual o resto da divisão de
𝑝(𝑥)=𝑓(𝑥).𝑔(𝑥) por x-1?
10) Seja 𝑓(𝑥) um polinômio de grau maior ou igual a 3. Sabe-se que 𝑓(𝑥) dividido por 𝑥−1 dá
quociente 𝑞1(𝑥) e resto a; que 𝑞1(𝑥) dividido por 𝑥−2 dá quociente 𝑞2(𝑥) e resto 3; que 𝑞2(𝑥)
dividido por 𝑥−3 dá quociente 𝑞3(𝑥) e resto 4. Determine a, sabendo que 2𝑓(2)=3𝑓(3).
11) Sejam 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 as raízes do polinômio de grau n
Determine, em função dos coeficientes do polinômio, o valor de
12) Sejam
as raízes de 𝑥1000 − 10𝑥 + 10 = 0.
Determine o valor de
13) Determine as soluções reais da equação
14) Solucione nos reais o sistema
15) Determine pares de reais positivos a e c tais que as três raízes do polinômio
𝑃(𝑥)=2𝑥³−2𝑎𝑥²+(𝑎²−81)𝑥−𝑐=0 sejam inteiros positivos
16) Prove que o número
é uma raiz da equação
17) Consideremos o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥𝑛 − 1, com n>1, cujas raízes são 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛. Se 𝑟1 = 1,
calcule (5 − 𝑟2). (5 − 𝑟3) … (5 − 𝑟𝑛 ).
18) Determine um polinômio P(x) de grau 5 e coeficientes reais tais que 𝑃(𝑥) + 1 é divisível por
(𝑥 + 1)³ e 𝑃(𝑥) − 1 é divisível por (𝑥 + 1)³
19) Considere o polinômio de coeficientes reais 𝑥4 + 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 cujas raízes são
todas não-reais. Se o produto de duas raízes desse polinômio é 5 + 𝑖 e a soma das outras duas
raízes é 2 + 3𝑖, determine b.
20) Seja 𝑃(𝑥) um polinômio de coeficientes reais. Se 𝑃(3 + 𝑖) = 2 −4𝑖, determine 𝑃(3 − 𝑖).
21) Determine as raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 − 4𝑥 − 1, sabendo que uma de suas raízes
é o número
22) Se 1 + 𝑖 é raiz de 𝑃(𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² + 𝑘𝑥 + 𝑡 = 0, k e t reais, determine 𝑘 + 𝑡.
23) Se a, b e c são as raízes da equação x³ + 4x + 1 = 0, então qual a equação de raízes
24) Encontre o número de inteiros positivos n menores que 2020 tais que o polinômio
(x4 − 1)n + (x2 − x)n seja divisível por x5 – 1
(a) 202
(b) 201
(c) 1010
(d) 2020
(e) 20
Gabarito
1) 𝑎 ≥ 2∕3
2) 1 ≤ 𝑎 ≤ 3
3) [3 − √6; 2] ∪ [5; 3 + √6]
4) Se 𝑎 ≤ −5, 𝑆 = ∅.
Se −5 ≤ 𝑎 < 1 → 0 ≤ 𝑥 ≤ (𝑎 + 5)².
Se 𝑎 ≥ 1 → (𝑎 − 1)² ≤ 𝑥 ≤ (𝑎 + 5)².
5) 𝐴 = 1∕2 𝐵 = −1∕2
6) a=0, b=0, c=-1, d=1.
7) r(x)= -2x³+ 2x²+x+5
8) a=0 e b=-2.
9) x-1; 9.
10) -36
11)
12) -10000
13) -15
14) -1, 2, 3
15) (a,c) = (13, 64); (15,224); (15,216).
16) demonstração
17) 5n-1∕4
18)
19) 23
20) 2+4i
21) 𝑆 = {2 + √5; 2 − √5, 𝑖, −𝑖}
22) 2
23) x³ + 4x -1 = 0
24) alternativa A
Provas legais, se der tempo, provar:
→Mostre que se a, b, c são reais e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0, então 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 = 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)²
→Sejam a, b, c reais não nulos tais que
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 e 𝑎³ + 𝑏³ + 𝑐³ = 𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐5. Prove que 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² = 6∕5
→Se 𝑎³+𝑏³+𝑐³ = 𝑎²+𝑏²+𝑐² = 𝑎+𝑏+𝑐 =1, prove que 𝑎𝑏𝑐=0.