UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ANÁLISIS NUMÉRICO MAT270
Guı́a 6
1. Usar el método de Euler para aproximar la solución del P.V.I. dado en los puntos x =
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5
usando tamaño de paso h = 0.1
a)
(
dy
dx
2
= − xy
y(0) = 4
b)
(
dy
dx
= x2 + y
y(0) = 1
2. Usar el método de Euler mejorado con tamaño de paso h = 0.1 para aproximar la solución del P.V.I.
dado en los puntos x = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5
(
dy
dx
= x − y2
y(1) = 0
3. Usar el método de Euler y Euler mejoradocon h = 0.25 para aproximar la solución del P.V.I. dado en
x = 1.
(
dy
dx
=x+1−y
y(0) = 1
Comparar esta aproximación con la solución verdadera, y = x + e−x , evaluada en x = 1
4. Considere la ecuación diferencial
cuya solución exacta es y(x) =
√

0
 y 00 = − y ,
2
y

y(2) = 2; y 0 (2) = 0.5
2x.
5. Usar el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.25 para aproximar la solución del P.V.I.
dado en x = 1 :
(
dy
dx
= 2y − 6
y(0) = 1
Comparar esta aproximación con la solución verdadera, y = 3 − 2e2x , evaluada en x = 1
a) Use el método de Euler para aproximar el valor de la solución en x = 2.2 usando h = 0.1.
b) Considere ahora el problema

 y0 = 1 ,
y

y(2) = 2
el cual posee la misma solución y(x) =
√
2x. Repita el ejercicio anterior. Compare.
1
6. Considere el problema
(
x00 (t) = −4x(t),
x(0) = 0, x0 (0) = 2
Obtenga un problema equivalente que considere ecuaciones diferenciales de primer orden y aproxime
x(0.5) y x0 (0.5) en 5 pasos del método de Euler y Euler mejorado. Estime el error absoluto y relativo
en cada caso (requiere la solución exacta del problema).
7. A partir del problema de valor inicial
(
y 0 = 2ty
y(0) = 1
obtenga una aproximación y(1) a partir de un paso del método de Runge-Kutta de orden 2 y orden 4
con h = 0, 1.
8. Considere la siguiente EDO de orden superior:

 y 000 (t) + −2y 00 (t) + 5y 0 (t) + 4y(t) = 3t2 − 8t + 18,
P.V.I.
 y(0) = 3, y 0 (0) = −1, y 00 (0) = 2.
t ∈ (0, 1)
Transforme el P.V.I. anterior a un sistema de primer orden y realice 4 iteraciones utilizando el método
de Euler mejorado con h = 0.25.
9. 4. Considere el siguientes problema con valores iniciales
y 0 = xy 3
y(1) = 2
Aproxime el valor de y(1.09) aplicando el método de Euler en tres pasos y calcule el error relativo de
su aproximación determinado la solución exacta del PVI.
10. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
dx
+ 0.5x = 0,
dt
dy
− 4 + 0.3y + 0.1x = 0,
dt
con las condiciones iniciales
x(0) = 4,
y(0) = 6.
Escriba explı́citamente el algoritmo de Euler mejorado para aproximar la solución de este sistema con
un paso de integración h.
Aproxime los valores x(1/2) e y(1/2) por este algoritmo con paso h = 21 .
2