Cálculo Vectorial
Ingenierı́as
Actividad #12: Derivadas Direccionales y Vector Gradiente
Cálculo Vectorial
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Instrucciones: Resuelva correctamente los siguientes problemas. No omita procedimientos.
1. Para la función f (x, y, z) =
√
x + yz:
y
1
z
⟨ 2√x+yz
, 2√x+yz
, 2√x+yz
⟩
Solución: ∇f =
b) Evalúe el gradiente en el punto P (1, 3, 1). Solución: ∇f (1, 3, 1) = ⟨ 41 , 14 , 34 ⟩
c) Encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector u = ⟨ 27 , 37 , 67 ⟩.
Solución: 23
28 a) Encuentre el gradiente de f .
2. Encuentre la derivada direccional de f (x, y) =
√
xy en el punto P (2, 8) en la dirección de Q(5, 4).
Solución:
2
5
3. Encuentre
la máxima razón de cambio de f (x, y,
z) = sin(xy) en el punto P (1, 0) y la dirección en la que ésta ocurre.
Solución: máxima razón = 1 y dirección = ⟨0, 1⟩
4. Temperatura. Una hormiga que se encuentra dentro de un sartén quiere alejarse
rápidamente del calor. Su posición con respecto al centro es (x, y) = (1, 2). La temperatura en (x, y) está dada por T (x, y) = 200 − x2 − 2y 2 . ¿Hacia dónde debe correr?
¿Cuál es la variación de la temperatura en esa dirección?
√ Solución: (a) Debe correr en la dirección del vector 2î + 8ĵ; (b) 2 17
Actividades en Clase
Prof. M.C. Jonathan Batres Romo