Septiembre-Diciembre 2018 MA2115 - Matemáticas IV Solución Parcial 2 (35 %) Turno 6-7 Pregunta 1 (8 ptos. c/u) Resuelva a) (3x + y + 4)dy + (4x − 7y − 3)dx = 0 b) 2xy 0 + xy = 2xex sen(x2 )y 3 + y, con x > 0. Solución a) Reescribimos la ED de la forma y0 = −4x + 7y + 3 3x + y + 4 Considerando las rectas en el numerador y en el denominador igualadas a cero, vemos que que se intersecan en el punto (−1, −1). Por ello, aplicamos los cambios u=x+1 v =y+1 (x = u − 1) (y = v − 1) Resultando en dv −4u + 7v = du 3u + v La cual es una ED homogénea. Por ello, aplicamos ahora el cambio v = dv uz (z = uv ), de modo que = v 0 = uz 0 + z. Ası́ la expresión anterior se du convierte en −4 + 7z uz 0 + z = 3+z La cual es una ED que se resuelve por variables separables al llevarla a la forma (3 + z) du dz = − (z − 2)2 u Integramos respecto a la variable u y queda ln |z − 2| − 5 = − ln |u| + C z−2 Despejamos la constante C y devolviendo el cambio de z = 1 v . u C = ln |u| − 5u v − 2u + ln v − 2u u Devolviendo el cambio de u y v y simplificando, obtenemos finalmente que C = ln |y − 2x − 1| − 5x + 5 y − 2x − 1 es solución de la ED en su forma implı́cita, siempre que y − 2x − 1 6= 0. b) Reescribimos la ED de la siguiente forma 1 1 y0 + 1− y = ex sen(x2 )y 3 2 x La cual identificamos como una ecuación de Bernoulli con n = 3. Multiplicamos por y −3 la ecuación, quedando 0 −3 yy 1 + 2 1 1− y −2 = ex sen(x2 ) x Ası́, aplicamos el cambio ω = y −2 , de donde y 0 y −3 = queda ω0 1 1 − + 1 − ω = ex sen(x2 ) 2 2 x O equivalentemente, ω0 + −ω 0 . La ecuación 2 1 − 1 ω = −2ex sen(x2 ) x La cual identificamos comoR una ED lineal de primer orden. Calculamos el −1 factor integrante µ(x) = e (x −1)dx = xe−x Multiplicando por éste la expresión anterior, tenemos ωxe−x 0 = −2x sen(x2 ) Integrando respecto a x a ambos lados, tenemos que ωxe−x = cos(x2 ) + C Devolviendo el cambio ω = y −2 y despejando y 2 tenemos finalmente que y2 = x ex (cos(x2 ) + C) es una solución en forma implı́cita, siempre que cos(x2 ) + C 6= 0. Además de la solución trivial y ≡ 0 . 2 Pregunta 2 (7 ptos.) Un termómetro que marca 70◦ F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio localizada en la puerta del horno se observa que el termómetro marca 110◦ F después de medio minuto y 145◦ F luego de un minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno? Solución Sea t el tiempo medido en minutos. Sea T (t) la temperatura del termómetro a tiempo t. Tenemos que se satisface la ED dT = k(T − A) dt donde k es una constante de proporcionalidad, y A es la temperatura del medio; en nuestro caso, del horno. También tenemos que T (0) = 70, T (1/2) = 110 y T (1) = 145. Estamos interesados en la temperatura del horno, es decir, en hallar el valor de A. Resolviendo la ED por el método de variables separables, tenemos que T (t) = A + Cekt Sustituyendo la primera condición, T (0) = A + C = 70, deducimos que C = 70 − A. Sustituyendo en la fórmula de T (t), tenemos que T (t) = A + (70 − A)ekt De la siguiente condición tenemos que 110 = T (1/2) = A + (70 − A)ek/2 . Despejando la exponencial tenemos que ek = (110 − A)2 (70 − A)2 De la última condición tenemos que 145 = T (1) = A+(70−A)ek . Despejando la exponencial nuevamente, tenemos que ek = 145 − A 70 − A Luego, igualando las exponenciales, tenemos que (110 − A)2 (70 − A)2 = 145 − A 70 − A De donde obtenemos (110)2 − 220A + A2 = (145 − A)(70 − A) 2 2 12100 − 220A + A = 10150 − 215A + A 5A = 1950 Finalmente, tenemos que la temperatura del horno viene dada por A = 390◦ F 3 Pregunta 3 (8 ptos.) Un tanque de 60 litros contiene inicialmente 2 litros de agua pura. La salmuera, que contiene 2 gramos de sal por litro, se bombea hacia el tanque a una velocidad de 5 litros por minuto. La solución perfectamente mezclada se bombea hacia fuera a la misma razón. a) Plantee el P.V.I. que modele la situación. b) Halle la cantidad x(t) de gramos de sal presente en el tanque en el tiempo t. ¿Cuándo tendrá 3 gramos de sal el tanque? c) Si se aumenta la velocidad de entrada de la salmuera a 8 litros por minuto, mientras que la de salida permanece igual, halle x(t) en este caso. Solución Identificamos: t, el tiempo medido en minutos. x(t) la cantidad de sal a tiempo t, en gramos. V (t), el volumen del tanque a tiempo t. ce y cs la concentración de gramos de sal por litro, de entrada y de salida respectivamente. re y rs , la velocidad de entrada y salida de salmuera, respectivamente, en litros por minuto. Los datos que nos proporciona el enunciado son: V (0) = 2 ce = 2 x(0) = 0 re = rs = 5 a) Es conocida que la razón de cambio de la sal en el tanque viene representada por la fórmula dx = re ce − rs cs dt x donde cs = , y V (t) = V0 + (re − rs )t. En este caso, tendrı́amos, V = V x 2 constante; y por tanto cs = . Entonces, sustituyendo en la fórmula 2 tenemos que el P.V.I. viene dado por dx 5 + x = 10 dt 2 x(0) = 0 b) Resolvemos la ED de la parte a) por el método de factor integrante. Donde 5 el factor integrante es µ(t) = e 2 t . La familia de soluciones de un parámetro viene dada por 5 x(t) = 4 + Ce− 2 t Sustituyendo la condición inicial x(0) = 0, obtenemos que C = −4. Luego, la cantidad de sal a tiempo t es 5 x(t) = 4 − 4e− 2 t 4 Ahora, para saber cuándo tendrá 3 gramos de sal el tanque, igualamos la 5 última expresión a 3 y despejamos t. Entonces, de 3 = 4−4e− 2 t obtenemos que 4 ln 2 t= ≈ 0,55min = 33seg 5 c) Ahora tenemos que re = 8 y rs = 5. Lo que varı́a es V (t) = 2 + (8 − 3)t = 2 + 3t. Luego, la ED queda 5 dx + x = 16 dt 2 + 3t Nuevamente vuelve a ser una ED lineal de primer orden que se resuelve por el método del factor integrante, que en este caso es µ(t) = (2 + 3t)5/3 . Luego, la familia de soluciones de un parámetro viene dada por x(t) = 2(2 + 3t) + C(2 + 3t)−5/3 Sustituyendo la condición inicial x(0) = 0, tenemos que C = −4 · 25/3 , y ası́ la cantidad de sal a tiempo t viene dada por la fórmula x(t) = 2(2 + 3t) − 4 5 2 2 + 3t 5/3 Pregunta 4 (1 pto. c/u) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dada la familia de soluciones de un parámetro y = Cekt , de la ecuación diferencial autónoma (E.D.A.) y 0 = ky, con k < 0 constante. La solución trivial es una solución singular de esta familia de soluciones. b) Suponga que M denota la cantidad total del tema a estudiar para este examen parcial, y que A(t) denota la cantidad memorizada a tiempo t por un estudiante de este curso. Si asumimos que la velocidad a la que se memoriza un tema es proporcional a la cantidad de contenido por memorizar, y que la velocidad a la que el contenido se olvida es proporcional a la cantidad memorizada en el tiempo t. Entonces la tasa de memorización de un estudiante que se preparó para este examen está dada por la E.D.A. dA = k1 (M − A) + k2 A dt donde k1 > 0 y k2 > 0 son constantes. c) Considere la E.D.A. y 0 = y ln(y + 2). El punto de equilibrio 0 es asintóticamente inestable. d) Considere la E.D.A. y 0 = y 2 (1 − 9e−y ). El punto estacionario 0 es asintóticamente estable. Solución a) Falso. Si fuera una solución singular no existirı́a ningún valor para la constante C que permita obtener la solución trivial. Es claro que la solución trivial, además de ser solución particular (y de equilibrio) de la EDA, se obtiene al hacer C = 0 en la familia de soluciones de un parámetro dada. b) Falso. Hay dos maneras de corregir la ED: o bien se escribe −k2 A, o se hace la acotación de que k2 < 0. Dado que estamos tratando el olvido, es una cantidad memorizada que se pierde. Por tanto es una cantidad que se debe restar y no sumar en la ED. c) Verdadero. Haciendo el retrato de fase, se verifica fácilmente que el punto crı́tico 0 es un repulsor. d) Falso. Haciendo el retrato de fase, se verifica fácilmente que el punto crı́tico 0 es asintóticamente semiestable. Prof. Jorge Sánchez jorgesanchez@usb.ve 6