MAT-203 Cálculo Multivariable
Pauta Examen Recuperativo
12 de julio de 2022.
Tiempo: 130 minutos
PREGUNTA
PUNTAJE MÁXIMO
1
8
2
8
3
8
4
12
5
12
6
12
TOTAL
60
PUNTOS OBTENIDOS
NOTA
Atención:
Cada respuesta debe ser justificada con claridad.
Durante el desarrollo de la prueba no se responde ningún tipo de pregunta.
Está permitido el uso de calculadora simple.
El o la estudiante que sea sorprendido o sorprendida usando o intentando utilizar procedimientos ilı́citos durante el desarrollo de la prueba, será calificado con la nota mı́nima (1.0) en
dicha prueba.
1. Considere la función definida por
f (x, y) =
p
y 2 − x2
(a) Identifique y grafique el dominio de f .
Solución: Primero, notemos que
Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 | y 2 ≥ x2 } = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ |x| ∨ y ≤ |x|}.
Ası́, el dominio de f está dado por
E1 ∪ E2 ,
donde
E1 = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ |x|},
E2 = {(x, y) ∈ R2 | y ≤ |x|}.
Luego, el gráfico de Dom(f ) es
Nivel 2
4 puntos
Nivel 1
2 puntos
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 1a.
Describe y grafica correctamente el dominio de f .
Identifica correctamente el dominio de f .
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
(b) Determine el conjunto de curvas de nivel de f . ¿Cuál es el recorrido de f ?
Solución: Si k < 0 entonces Ck = ∅. Además, notemos que
C0 = {(x, y) ∈ R2 | |y| = |x|} = {(x, y) ∈ R2 | y = x ∨ y = −x}}
Luego, si k > 0 entonces
y 2 x2
Ck = (x, y) ∈ Dom(f ) : 2 − 2 = 1 .
k
k
Por lo tanto, tenemos que Rec(f ) = R+
0 y además:
• Para k = 0, Ck corresponde a dos rectas con pendientes 1 y -1 que pasan por el
origen.
• Para k > 0, Ck corresponde a hipérbolas verticales con centro en el origen.
Nivel 3
4 puntos
Nivel 2
2 puntos
Nivel 1
1 puntos
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 1b.
Obtiene correctamente el recorrido de f y determina correctamente los conjuntos C0 y Ck para k > 0.
Obtiene correctamente el recorrido de f y determina correctamente el conjunto C0 .
Obtiene correctamente el recorrido de f .
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
2. Sea a ∈ R y considere la función f : R2 → R definida por
f (x, y) =

xy


2
 x + xy + y 2
si (x, y) ̸= (0, 0)



si (x, y) = (0, 0)
a
a) ¿Existen valores de a para los cuales f sea continua en (0, 0)?
Solución: Para que f sea continua en (0, 0) se debe cumplir que
lı́m
f (x, y) = f (0, 0) = a.
(x,y)→(0,0)
Luego, notemos que
lı́m
f (x, y) =
(x,y)→(0,0)
lı́m
(x,y)→(0,0) x2
xy
.
+ xy + y 2
Considerando la trayectoria y = mx, se sigue que
mx2
m
=
.
2
2
2
2
x→0 x + mx + m x
1 + m + m2
lı́m
Ası́, como el lı́mite queda dependiendo de m se sigue que
lı́m
f (x, y) no existe.
(x,y)→(0,0)
Por lo tanto, f es discontinua en (0, 0) para todo a ∈ R.
Nivel 3
4 puntos
Nivel 2
3 puntos
Nivel 1
1 punto
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 2a.
Determina correctamente que el lı́mite no existe y concluye que no existe valor de a ya que f es discontinua
en (0, 0).
Determina correctamente que el lı́mite no existe.
Enuncia correctamente la condición para que f sea continua en (0, 0).
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
b) Determine para qué valores de a existe
∂f
(0, 0)
∂x
Solución: Por definición, tenemos
∂f
f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lı́m
,
h→0
∂x
h
−a
,
= lı́m
h→0 h
a
= − lı́m .
h→0 h
Luego, el lı́mite anterior existe solo para a = 0. Por lo tanto
∂f
(0, 0) existe para a = 0.
∂x
Nivel 3
4 puntos
Nivel 2
3 puntos
Nivel 1
1 punto
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 2b.
Determina correctamente que la derivada parcial solo existe cuando a = 0.
Aplica correctamente la definción de derivada parcial respecto de x en (0, 0).
Enuncia correctamente la definición de derivada parcial respecto de x en (0, 0).
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
3. Para la función f (x, y) = x3 −12xy +8y 3 calcule todos sus puntos estacionarios y clasifı́quelos.
¿Tiene f puntos singulares? Justifique brevemente.
Solución: Primero, calculamos
∇f (x, y) = (3x2 − 12y, −12x + 24y 2 )
Luego:
∇f (x, y) = 0 ⇔
x2 − 4y = 0
−x + 2y 2 = 0
Resolviendo lo anterior tenemos que los puntos crı́ticos son P1 (0, 0) y P2 (2, 1).
Para clasificarlos se considera la matriz Hessiana de f :
6x −12
Hf (x, y) =
.
−12 48y
Para (0, 0):
Hf (0, 0) =
0 −12
−12 0
.
cuyos subdeterminantes son 0 y −144. Por lo tanto el criterio no permite concluir en este caso.
Para (2, 1):
Hf (2, 1) =
12 −12
−12 48
.
cuyos subdeterminantes son 12 y 432. Luego, (2, 1) es un mı́nimo local.
Finalmente, f no tiene puntos singulares ya que es diferenciable en todo R2 .
Nivel 5
8 puntos
Nivel 4
6 puntos
Nivel 3
3 puntos
Nivel 2
2 puntos
Nivel 1
1 punto
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 3
Dos puntos adicionales por justificar que la función no tiene puntos singulares.
Clasifica correctamente los puntos estacionarios usando el criterio de segundo orden.
Un punto adicional por calcular la matriz Hessiana.
Calcula los puntos estacionarios de la función.
Identifica las ecuaciones que definen los puntos estacionarios.
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
4.
(a) La siguiente figura muestra un campo vectorial F(x, y) = (2xy, x2 ) y tres curvas que
inician en (1, 2) y terminan en (3, 2).
Z
F · dr tiene el mismo valor para las tres curvas. Calcule este valor.
Explique por qué
C
Solución: Primero, notemos que
∂P
∂Q
= 2x =
.
∂y
∂x
Además, dado que Dom(F) = R2 , se sigue que F es un campo conservativo. Luego, un
potencial f para F está dado por
f (x, y) = x2 y.
Posteriormente, si C es cualquiera de las curvas dadas, por el teorema fundamental de
las integrales de lı́nea, tenemos
Z
F · dr = f (3, 2) − f (1, 2) = 18 − 2 = 16.
C
Nivel 3
6 puntos
Nivel 2
3 puntos
Nivel 1
2 puntos
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 4a.
Obtiene correctamente el potencial y evalúa correctamente en la integral.
Muestra que el campo vectorial es conservativo y justifica que el valor de la integral es el mismo para las
tres curvas.
Muestra que el campo vectorial es conservativo.
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
(b) Use el Teorema de Green para calcular la integral de lı́nea dada por
Z √ y + e x dx + 2x + cos y 2 dy,
C
donde C es la frontera de la región encerrada por la parábolas y = x2 y x = y 2 , recorrida
en sentido antihorario.
√
Solución: Primero, notemos que si P = y + e
x
y Q = 2x + cos(y 2 ), entonces
∂Q ∂P
−
= 1.
∂x
∂y
Además, la curva C se puede ver en la siguiente figura:
Ası́, la región D encerrada por la curva C está dada por
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, ∧ x2 ≤ y ≤
√
x}
Luego, aplicando el teorema de Green, se sigue que
ZZ
Z
F · dr =
1dA,
C
Z
D
√
1Z
x
=
1 dydx,
x2
0
1
√
x − x2 dx,
0
2 3/2 1 3
x − x
=
3
3
Z
=
Nivel 3
6 puntos
Nivel 2
4 puntos
Nivel 1
2 puntos
Nivel 0
0 puntos
1
=
0
1
3
Niveles de logro para pregunta 4b.
Evalúa correctamente la integral doble y obtiene el valor de la integral de lı́nea.
Describe correctamente la región encerrada por la curva C.
Aplica correctamente el teorema de Green.
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
5. Sea el campo vectorial F : R3 → R3 definido por
F(x, y, z) = (−2yz, y, 3x) ,
y sea S la parte del paraboloide z = 5 − x2 − y 2 que se encuentra porZarriba
del plano z = 1
Z
con orientación hacia arriba. Use el Teorema de Stokes para calcular
rot F · dS
S
Solución: Aplicando el teorema de Stokes, tenemos que
ZZ
Z
rot F · dS =
F · dr,
S
C
donde C es la curva cuya parametrización está dada por
r(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 1),
t ∈ [0, 2π].
Ası́, tenemos
ZZ
Z
rot F · dS =
F · dr,
S
C
Z 2π
=
F(r(t)) · r′ (t) dt,
Z0 2π
=
(−4 sen(t), 2 sen(t), 6 cos(t)) · (−2 sen(t), 2 cos(t), 0) dt,
0
Z 2π
=
8 sen2 (t) + 4 sen(t) cos(t) dt,
0
Z 2π
Z 2π
2
= 8
sen (t) dt + 4
sen(t) cos(t) dt,
0
= 8π.
0
Nivel 4
12 puntos
Nivel 2
8 puntos
Nivel 1
4 puntos
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 5
Por calcular la integral de superficie pedida.
Por aplicar correctamente el teorema de Stokes identificando la superficie y la curva donde se aplica y
escribiendo la igualdad entre las integrales correspondientes.
Por describir la curva frontera de la superficie.
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.
6. Considere el campo vectorial:
F(x, y, z) = (x3 + y 3 , y 3 + z 3 , z 3 + x3 ).
RR
Calcule, usando el teorema de la divergencia, la integral de superficie S F · dS, donde S es
la esfera con centro en el origen y radio 2 orientada según la normal exterior.
Solución: La divergencia de F es
∇ · F(x, y, z) =
∂ 3
∂
∂ 3
(x + y 3 ) +
(y + z 3 ) + (z 3 + x3 ) = 3x2 + 3y 2 + 3z 2 .
∂x
∂y
∂z
La región R se puede describir en coordenadas esféricas como
R = {(ρ, θ, z) ∈ R3 ; 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π}.
Luego, aplicando el teorema de la divergencia y usando que S está orientada según la normal
exterior
Z Z Z
ZZ
∇ · FdV
F · dS =
R
S
Z 2 Z 2π Z π
3ρ2 · ρ2 sen(ϕ) dϕ dθ dρ
=
0
0
0
Z 2 Z 2π Z π
sen(ϕ) dϕ dθ dρ
ρ4
= 3
0
0
0
Z 2 Z 2π
ρ4
2dθ dρ
= 3
0
0
Z 2
3 · 25 · 4π
384π
4
=
= 3
ρ 4πdρ =
5
5
0
Nivel 4
12 puntos
Nivel 3
10 puntos
Nivel 2
6 puntos
Nivel 1
3 puntos
Nivel 0
0 puntos
Niveles de logro para pregunta 6
Por calcular la integral de superficie pedida.
Por aplicar correctamente el teorema de la divergencia identificando la superficie y el volumen donde se
aplica y escribiendo la igualdad entre las integrales correspondientes.
Por describir, además, correctamente, el volumen encerrado por la superficie.
Por calcular la divergencia del campo.
No logra ingresar al problema o su desarrollo no es apropiado.