ESTADÍSTICA
HOJA DE PROBLEMAS 4A: VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS. CORRECCIÓN
1. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad
P (X = i) = K · i, para i = 1, 2, ..., 20. Calcular las siguientes probabilidades:
a) P (X = 4)
b) P (3 ≤ X ≤ 10)
c) P (X 2 ≤ 100)
Solución
a) P (X = 4). Calculamos primero el valor de K, de forma que K · i sea
función de probabilidad en el campo de variación de la variable i. Como
K
20
X
i=1
i=1⇒K
1 + 20
1
20 = 210 · K ⇒ K =
2
210
con lo que la función de probabilidad queda finalmente,
P (X = i) =
i
210
Por tanto, la probabilidad pedida es P (X = 4) =
4
210
= 0.0190.
b) P (3 ≤ X ≤ 10). Esta probabilidad se calcula como P (3 ≤ X ≤ 10) =
P10
1
52
P (X ≤ 10) − P (X ≤ 2) = 210
i=3 i = 210 = 0.2478.
c) P (X 2 ≤ 100). En este caso, se puede escribir como P (X 2 ≤ 100) =
P10
1
55
P (−10 ≤ X ≤ 10) = 210
i=1 i = 210 = 0.2619.
2. Se seleccionan n piezas de un proceso que contiene un 5 % de defectuosas. ¿Cuántas piezas de las seleccionadas es de esperar que sean
defectuosas?
Solución:
X sigue una distribución binomial: X ∼ B(n, 0.05), de modo que su esperanza es E(X) = np = n · 0.05
3. Se están considerando las dos reglas siguientes para decidir si aceptar
un gran cargamento:
a) Se analiza una muestra aleatoria de diez piezas, y sólo se acepta
el cargamento si no hay ninguna defectuosa.
1
b) Se analiza una muestra aleatoria de veinte piezas, y sólo se acepta
el cargamento si no hay más de una defectuosa.
¿Cuál de estas reglas tiene una probabilidad menor de aceptar un
cargamento que contenga un 20 por ciento de piezas defectuosas?
Solución:
a) X ∼ B(10, 0.2) ⇒ P (X = 0) =
b) X ∼ B(20, 0.2) ⇒ P (X ≤ 1) =
10
0
10
= 0.810 = 0.107
0 · 0.2 · 0.8
20
20
0
20
19
=
0 · 0.2 · 0.8 + 1 · 0.2 · 0.8
0.069
Luego la segunda.
4. En un proceso de recuperación de datos desde una estación remota,
los datos se reciben secuencialmente en forma de dı́gitos. Se sabe que
la probabilidad de que un dı́gito se transmita de forma defectuosa es
de 0.025.
a) Calcular la probabilidad de que el primer dı́gito defectuoso sea el
cuarto.
b) ¿Qué dı́gito es de esperar que sea el primero defectuoso?
c) Repite los apartados (a) y (b) suponiendo que la probabilidad de
que un dı́gito se transmita de forma defectuosa es de 0.1.
Solución: Tenemos que X ∼ G(0.025)
a) P (X = 4) = 0.025 · 0.9753 = 0.02317
b) E(X) =
1
0.025
= 40
c) Con p = 0.1, tenemos P (X = 4) = 0.1·0.93 = 0.0729, E(X) =
1
0.1
= 10
5. Un jugador de tenis tiene probabilidad 0.2 de ganar un partido en
individuales, y probabilidad 0.4 de ganar un partido en dobles (se
supone independencia). Si en cada torneo en que participa lo hace
tanto en individuales como en dobles, ¿cuál es la probabilidad de que
gane su primer partido en el cuarto torneo del año?
Solución:
P(”Ganar un partido en un torneo dado”) = P(”Ganar en individuales”)
+ P(”Ganar en dobles”) - P(”Ganar en ambos”) = 0.2 + 0.4 − 0.08 = 0.52.
X = ”primer torneo en que gana”∼ G(0.52) ⇒ P (X = 4) = 0.483 · 0.52 =
0.0575.
2
6. Un pájaro de cierta especia come mariposas de una población muy
grande. Estas mariposas pueden comer, a su vez, de una planta venenosa, de manera que si el pájaro come una mariposa envenenada, deja
de comer mariposas ese dı́a. Suponiendo que el 40 % de la población
de mariposas come de la planta venenosa, hallar el número medio de
mariposas comidas en un dı́a por el pájaro.
Solución:
Suponemos que un pájaro cualquiera en un dı́a comerá mariposas hasta encontrarse con una envenenada (esta suposición incluye la posibilidad de
que un pájaro coma un número arbitrariamente grande de mariposas, aunque
1
con una probabilidad despreciable.) ⇒ X ∼ G(0.4) ⇒ E(X) = 0.4
= 2.5
7. El número de accidentes que ocurren en un tramo de la carretera A-6
en una semana se distribuye como una Poisson con esperanza 2.6.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de dos accidentes en
una semana cualquiera?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres accidentes en
una semana cualquiera?
Solución: Tenemos que X ∼ P(2.6)
a) P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.267.
P3
b) P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = i=0 P (X = i) = 0.264.
8. Sea X una variable aleatoria de Poisson y pongamos que P (X = 1) =
P (X = 2). Calcular la probabilidad de que X sea igual a 1 ó a 2.
Solución:
λ
P (X = 1) = e−λ 1!
2
P (X = 1) = e−λ λ2!
P (X = 1) = P (X = 2) ⇒ λ =
λ2
2
⇒ λ(λ − 2) = 0
por tanto, λ = 0 ó λ = 2.
Si λ = 2, P (X = 1, 2) = 2(2e−2 ) = 4e−2 ,
y si λ = 0, P (X = 1, 2) = 0.
9. De todos los aviones que aterrizan en el Aeropuerto de Barajas cada
dı́a, el 30 % son aviones de la compañı́a Iberia y el resto pertenecen a
otras compañı́as.
3
a) Si en la última media hora han aterrizado en Barajas 10 aviones,
¿cuál es la probabilidad de que hayan aterrizado más de 4 aviones
de Iberia?
b) En media, aterrizan 3 aviones cada 10 minutos en Barajas. Si
la distribución de los aterrizajes es una Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que no aterrice ningún avión en los próximos 10
minutos?, ¿y la de que no aterrice ningún avión en los próximos
20 minutos?
Solución:
a) X ∼ B(10, 0.3) ⇒ P (X > 4) =
P10
b) X ∼ P(3) ⇒ P (X = 0) = e−3 ·
X ∼ P(6) ⇒ P (X = 0) = e−6 ·
0
i=5
3
0!
60
0!
10
i
· 0.3i · 0.710−i = 0.15
= e−3 = 0.0497
= e−6 = 0.0025
10. Una compañı́a tiene dos plantas de producción de microcircuitos, cada una de ellas con una media de averı́as de 2.4 por semana, según
una distribución de Poisson. Se supone que el funcionamiento de cada
planta es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que falle como
mı́nimo una planta al menos una vez en una determinada semana?
Solución: P(”Falle la planta 1”) = P (P(2.4) > 0) = 1 − e−2.4 = 0.91.
P(”Falle alguna de las plantas”) = P(”Falle la 1”) + P(”Falle la 2”) P(”Fallen las dos a la vez”) = 0.91 + 0.91 − 0.912 = 0.992.
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