Sistemas de ecuaciones lineales (SEL’s)
Preliminar A: Ecuaciones lineales
Consideremos la siguiente ecuación lineal en una variable:
2x − 3 = 5.
Resolviendo para x, tenemos
2x = 8
x = 4.
Consideremos la siguiente ecuación lineal en dos variables:
2x − 3y = 5.
Resolviendo para x, paramétricamente, tenemos
2x = 3y + 5
3y + 5
x=
.
2
Sea y = t, t ∈ R,
x=
3t + 5
.
2
Preliminar B: Escalonamiento de una matriz
Consideremos las siguientes matrices:

2
A = 0
0

3
0
B=
0
0

−3 5 6
−3 4 0 ,
0 7 1

1
0
C=
0
0
0
1
0
0
4
5
0
0
0
0
1
0

0
0
,
0
1
−1
2
0
0

−3
0

D=
0
0
0

4 6 7
1 3 4
,
0 5 6
0 0 4

5 6
4 5

0 3
.
0 0
0 0
Diremos que una matriz está en la forma escalonada, cuando el número de ceros
que hay en cada fila delante del primer elemento diferente de cero, aumenta de
fila en fila.
Ejemplo:
Las matrices A, B, C y D están en la forma escalonada.
En toda matriz escalonada, el primer elemento que hay en cada fila diferente de
cero, se llama elemento distinguido.
Diremos que una matriz escalonada está en la forma canónica (escalonada reducida) cuando:
1
Todos sus elementos distinguidos son iguales a uno.
En las columnas donde están los elementos distinguidos, los demás elementos son iguales a cero.
Ejemplo:
La matriz C está en la forma canónica.
Proceso de escalonamiento de una matriz
Para escalonar una matriz, definimos las siguientes operaciones elementales con
las filas de dicha matriz:
1. Ri ←→ Rj (intercambio de filas).
2. Ri −→ kRi , k 6= 0.
3. Ri −→ kRj + Ri .
4. Ri −→ k1 Rj + k2 Ri , k1 , k2 6= 0.
Diremos que una matriz que se obtenga de una matriz dada, con ayuda de operaciones elementales entre filas, es equivalente a la matriz dada.
Ejemplo:
Escalonar la matriz dada:

1
A = 2
3
Solución:

1
2
3
−2 3
−3 4
−4 5

4
0
−1
−2 3
−3 4
−4 5

4
0 .
−1
R2 −→ −2R1 + R2
R3 −→ −3R1 + R3

1
0
0
−2
1
2
3
−2
−4

4
−8 
−13

−2
1
0
3
−2
0

4
−8 .
3
R3 −→ −2R2 + R3
Ejemplo:
Llevar la matriz dada a la forma canónica:


2 −3 4 0
A = 3 −4 7 0 .
1 −2 3 4
Solución:
2
1
0
0

2
3
1

−3 4 0
−4 7 0
−2 3 4

1
3
2
R1 ←→ R3
R2 −→ −3R1 + R2
R3 −→ −2R1 + R3
R2 ←→ R3
R3 −→ −2R2 + R3
R1 −→ 2R2 + R1
R1 −→ R3 + 2R1
R2 −→ R3 + R2
R1 −→ 1/2R1
R3 −→ 1/2R3

−2 3 4
−4 7 0
−3 4 0

1
0
0
−2
2
1
3
−2
−2

4
−12
−8

1
0
0
−2
1
2
3
−2
−2

4
−8 
−12

1
0
0
−2
1
0
3
−2
2

4
−8
4

1 0
0 1
0 0
−1
−2
2

−12
−8 
4

2
0
0
0
1
0
0
0
2

−20
−4 
4

1
0
0
0
1
0
0
0
1

−10
−4 
2
SEL’s
Todo conjunto de ecuaciones de la forma

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
···



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
es un sistema de ecuaciones lineales.
Definamos las siguientes

a11
 a21

A=
am1

b1
 b2 
 
b= . 
 .. 
matrices:
a12
a22
am2
...
...
...
...

a1n
a2n 


amn
(Matriz del sistema),

(Matriz de los términos independientes del sistema),
bm
3
(1)


x1
 x2 
 
x= . 
 .. 
(Matriz de las incógnitas del sistema).
xn
Observemos que:

a11
 a21
Ax = 

am1
a12
a22
am2
...
...
...
...
 b 
 x  
1
1
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
a1n
 b2 
 x2  


a2n     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn   
.  = b.
. =
=

···
 .. 
 ..  
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
amn
bm
xn
Es decir,el sistema (1) se puede escribir de la forma matricial como:
Ax = b.
Para el sistema (1), también podemos

a11 a12
 a21 a22
A|b = 

am1 am2
definir la siguiente matriz:

. . . a1n | b1
. . . a2n | b2 
,

...
|
. . . amn | bm
llamada matriz aumentada (ampliada) correspondiente al sistema (1).
El método de Gauss consiste en llevar la matriz ampliada a la forma escalonada.
Al usar este método, pueden ocurrir los siguientes casos:
1. Que la matriz ampliada escalonada tenga una fila de la forma: (0, 0, . . . , 0|N o. 6=
0). En dado caso, el sistema no tiene solución.
2. Que la matriz ampliada escalonada tenga un número de filas no nulas igual
que el número de columnas en las matriz A escalonada. En dado caso, si
no ha ocurrido el caso 1., el sistema tiene solución única.
3. Que la matriz ampliada escalonada tenga un número de filas no nulas
menor que el número de columnas de A escalonada. En dado caso, si no
ha ocurrido 1., el sistema tiene solución múltiple (infinitas soluciones).
Según lo anterior, los SEL’s pueden ser, de acuerdo al carácter de su solución,
de las siguientes formas:



 Con solución única



 Consistentas (con solución)

Sistemas
Con solución múltiple





Inconsistentes (sin solución)
Nota:
El método de Gauss-Jordan consiste en llevar la matriz ampliada a la forma
4
canónica.
Ejemplo:
Resolver el siguiente SEL’s con el

x1 +



3x1 −
−2x1 +



−2x1 −
Solución:
Formando la

1
2
 3 −5

−2 1
−2 −4
matriz ampliada,

−3 |
7
3 |
4 

−1 |
0 
6 | −14
método de Gauss:
− 3x3
+ 3x3
−
x3
+ 6x3
2x2
5x2
x2
4x2
=
=
=
=
7
4
0
−14
y resolviendo:
R2 −→ −3R1 + R2
R3 −→ 2R1 + R3
R4 −→ 2R1 + R4

1
0

0
0

R3 −→ 5R2 + 11R3
Reescribiendo el sistema:

 x1
+
−
2x2
11x2

−
3x3
+ 12x3
− 17x3
1
0

0
0
2
−3
−11 12
5
−7
0
0
|
|
|
|

7
−17

14 
0
−3
12
−17
0
|
|
|
|

7
−17
.
69 
0
2
−11
0
0
= 7
= −17
= 69
Haciendo sustitución hacia atrás:
x3 = −
69
,
17
69
539
−11x2 + 12 −
= −17 =⇒ x2 = −
,
17
187
539
69
10
x1 + 2 −
−3 −
= 7 =⇒ x1 =
.
187
17
17
Ejemplo:
Resolver el siguiente SEL’s con el método de Gauss:

x1 − 2x2 + 3x3 = 5

−2x1 +
x2
= 7

−3x1 + 6x2 − 9x3 = −1
Solución:
Formando la matriz

1 −2 3
−2 1
0
−3 6 −9
ampliada, y resolviendo:

| 5
R2 −→ 2R1 + R2
| 7
| −1
R3 −→ 3R1 + R3
5

1
0
0

−2 3 | 5
−3 6 | 17 .
0 0 | 14
El sistema no tiene solución (es inconsistente).
Ejemplo:
Resolver el siguiente SEL’s con el método de Gauss:
x1 − 2x2 + 5x3 = 4
3x1 −
x2 −
x3 = 0
Solución:
Formando la matriz ampliada, y resolviendo:
1 −2 5 | 4
3 −1 −1 | 0
R2 −→ −3R1 + R2
1
0
−2
5
5
|
−16 |
4
.
−12
Podemos ver que tenemos un número de filas no nulas en la matriz ampliada escalonada menor que el número de columnas en la matriz del sistema escalonada.
Por lo tanto, el sistema tiene solución múltiple (infinitas soluciones).
Reescribiendo el sistema:
x1
− 2x2
5x2
+ 5x3
− 16x3
= 4
= −12
Vamos a elegir a x3 = t como variable libre (parámetro). Luego:
5x2 − 16t = −12
=⇒
Sustituyendo en la primera ecuación:
−12 + 16t
+ 5t = 4
x1 − 2
5
x2 =
=⇒
−12 + 16t
.
5
x1 =
−4 + 7t
.
5
Ejemplo:
Resolver el siguiente SEL’s con el método de Gauss-Jordan:

x2 −
x3 = −3
 x1 −
2x1 + 3x2 + 5x3 = 7

x1 − 2x2 + 3x3 = −11
Solución:
6
Formando la matriz ampliada, y resolviendo:


1 −1 −1 | −3
2 3
5 |
7 
R2 −→ −2R1 + R2
1 −2 3 | −11
R3 −→ −R1 + R3

1
0
0
−1
5
−1
−1
7
4

| −3
| 13 
| −8

R3 −→ R2 + 5R3
1
0
0
−1
5
0
−1
7
27
|
|
|
R3 −→ R3 /27

1
0
0
−1
5
0
−1
7
1

| −3
| 13 
| −1

−3
13 
−27

5 0 2
0 5 7
0 0 1

| −2
| 13 
| −1
R1 −→ −2R3 + R1
R2 −→ −7R3 + R2

5
0
0
0
5
0
0
0
1
|
|
|

0
20 
−1
R1 −→ R1 /5
R2 −→ R2 /5

1
0
0
0
1
0
0
0
1
|
|
|

0
4 .
−1
R1 −→ R2 + 5R1

0
=⇒ x =  4  .
−1

Sistemas homogéneos
Estos sistemas son de la forma:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0



a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
,
···



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0
donde

  
b1
0
 b2  0
   
b =  .  = . .
 ..   .. 
bm
0
En estos sistemas se cumple que:
1. Siempre tienen solución.
2. Si el sistema tiene solución única, entonces dicha solución es la trivial, es
decir, x1 = x2 = · · · = xn = 0.
7
3. La solución múltiple es la única que aporta soluciones no triviales para los
sistemas homogéneos.
Ejemplo:
Resolver el siguiente SEL’s homogéneo:
x1 + x2 +
x1 + x2 +
x3
3x3
= 0
= 0
Solución:
Formando la matriz ampliada, y resolviendo:
1 1 1 | 0
1 1 3 | 0
R2 −→ −R1 + R2
Reescribiendo el sistema:
x1
+
x2
+
x3
2x3
1
0
=
=
1
0
1
2
| 0
.
| 0
0
0
Resolviendo la segunda ecuación:
2x3 = 0
=⇒
x3 = 0.
Sustituyendo en la primera ecuación:
x1 + x2 + 0x3 = 0,
x1 + x2 = 0.
Sea x2 = t.
x1 + t = 0,
x1 = −t.
 
−t
=⇒ x =  t 
0
Práctica 2
Volumen 1, Sección 7.2, página 319, ejercicios del 1 al 19 (impares).
8