UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES
CURSO PREFACULTATIVO
CARRERA:
11/09/2023
Parcial I, FILA B
“MAT-99 INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA”
Apellidos
Nombres
1. (8 p.) Simplificar la siguiente expresión:
" #
−2
x
x2 −
+1
y
√
√ 2
√
x − y + 2 xy
SOLUCIÓN:
"
−2 #
x
1−
x2
y
√
√ 2
√
x − y +2 xy
y 2 1−
x2
x
= √ 2
exponente negativo se cambia a positivo y en el denomi√
√ √ 2
√
( x) − 2 ( x) y +
y + 2 xy
nador se desarrolla el binomio al cuadrado
y2 2
1− 2 x
x
=
√
√
x −
2 xy + y + 2 xy
=
x2 − y 2
x2
x+y
fracción al cuadrado y simplificación de términos comunes
x2
simplificación de términos comunes
=
x2 − y 2
x+y
=
(x+y)(x
− y)
x
+y
diferencia de cuadrados
simplificación de términos comunes
= x − y.
2. (8 p.) Para que valores de k el siguiente sistema tiene una sola solución:


y = x2 +
 y−x =
k
5
4
(1)
(2)
Solución
Profesor(es): P. Patzi, F. Villanueva, D. Arroyo, A. Apaza, O. Bautista, E. Valero.
MAT
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Despejamos y de (2):
y = k + x.
Lo reemplazamos en la ecuación (1):
5
k + x = x2 + ,
4
ordenando,
5
x2 − x + ( − k) = 0,
4
para que esta ecuación tenga una sola solución el discriminante debe ser cero, es decir,
−4 + 4k = 0.
Ası́, para k = 1 el sistema tiene una sola solución.
3. (7 p.) Si K =
x+3
y K 2 − K = 12, encontrar el valor x.
x−3
Solución: Primero, vamos a resolver la ecuación cuadrática K 2 − K = 12 para encontrar los valores
de K.
Restamos 12 de ambos lados de la ecuación: K 2 − K − 12 = 0
Factorizamos la ecuación cuadrática: (K − 4)(K + 3) = 0
Ahora, tenemos dos posibles soluciones para K:
K −4 = 0 ⇒ K = 4
K + 3 = 0 ⇒ K = −3
Ahora que tenemos los valores de K, podemos usarlos para encontrar x a partir de la ecuación
x+3
original K =
.
x−3
Para K = 4:
x+3
4 =
x−3
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por x − 3 para eliminar el denominador: 4(x − 3) =
x+3
Distribuimos 4 en x − 3: 4x − 12 = x + 3
Restamos x de ambos lados de la ecuación: 4x − x − 12 = 3
Combina los términos semejantes: 3x − 12 = 3 y obtenemos x = 5
Por lo tanto, cuando K = 4, x = 5 es una solución.
Profesor(es): P. Patzi, F. Villanueva, D. Arroyo, A. Apaza, O. Bautista, E. Valero.
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para K = −3:
x+3
−3 =
x−3
Repetimos los pasos anteriores para resolver esta ecuación, encontraremos que x =
3
es la otra
2
solución.
3
Entonces, las soluciones para x son x = 5 y x = .
2
4. (7 p.) Determinar el valor de n para que la división del polinomio p(y) = 6y 3 + 2y 2 − ny + 4 entre
el polinomio 3y − 2 sea exacta.
Solución:
2
Sea y = , por el teorema del resto, para que la división sea exacta necesariamente p(2/3) = 0, esto
3
es
3
2
2
2
2
6
+2
− m + 4 = 0,
3
3
3
entonces resolviendo la ecuación n = 10.
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