File-đáp-án (1)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chuyên đề 2 Dạng 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0 Bước 1. Tính y '  x0  , y ''  x0  Bước 2. Giải phương trình y '  x0   0  m ?  y ''  0  x0  CT Bước 3. Thế m vào y ''  x0  nếu giá trị   y ''  0  x0  CD Dạng 1.1 Hàm số bậc 3 Câu 1. (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  cực đại tại x  3 . A. m  1 B. m  7 C. m  5 Lời giải 1 3 x  mx 2   m 2  4  x  3 đạt 3 D. m  1 Chọn C Ta có y  x 2  2mx   m 2  4  ; y  2 x  2m . Hàm số y  1 3 x  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tại x  3 khi và chỉ khi: 3  y  3  0   y  3  0   m  1 L  9  6m  m2  4  0 m2  6m  5  0        m  5 TM  . 6  2 m  0 m  3  m  3 Vậy m  5 là giá trị cần tìm. Câu 2. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số y  x 3  2mx 2  mx  1 đạt cực tiểu tại x  1 A. không tồn tại m . B. m  1 . C. m  1 . D. m 1;2 . Lời giải m  1  3  4m  m  0  y 1  0  Để x  1 là điểm cực tiểu của hàm số     3  m  1. m 6  4m  0   y 1  0   2 Thử lại với m  1, ta có y  x 3  2 x 2  x  1 ; y  3x 2  4 x  1 . x  1 2 y   0  3x  4 x  1  0   1. x  3  Bảng biến thiên: Quan sát bảng biến thiên ta thấy m  1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  mx  1 đạt cực tiểu tại x  2 . A. m  0 . B. m  4 . C. 0  m  4 . D. 0  m  4 . Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ y  3x 2  6 x  m ; y  6 x  6 .  m  0  y  2   0 Hàm số đạt cực tiểu tại x  2     m  0. 6  0   y  2   0 Câu 4. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y  x 3  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tại x  3 . 3 A. m  1, m  5 . B. m  5 . C. m  1 . D. m  1 . Lời giải Tập xác định . Ta có y  x 2  2mx  m2  4, y  2 x  2m. Để hàm số y  1 3 x  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tại x  3 thì 3 m  5  y  3  0  m 2  6m  5  0       m  1  m  5. .   6  2 m  0 y 3  0    3  m   Câu 5. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Có bao 1 y  x3  mx 2   m 2  m  1 x  1 đạt cực đại tại x  1 . 3 A. 0 B. 2 C. 1 Lời giải Chọn C y '  x 2  2mx  m2  m  1 y ''  2 x  2m nhiêu số thực m để hàm số D. 3  m2  3m  2  0 m  1  m  2  y ' 1  0 Hàm số đạt cực đại tại x  1 nên ta có    m2 m  1  y '' 1  0  2  2m  0  Thử lại với m  2 ta có y ''  2x  4  y '' 1  2  0 Do đó Hàm số đạt cực đại tại x  1 Câu 6. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y  x 3  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tại x  3 . 3 A. m  1, m  5 . B. m  5 . C. m  1 . D. m  1 . Lời giải Chọn B Tập xác định . Ta có y  x 2  2mx  m2  4, y  2 x  2m. 1 Để hàm số y  x3  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tại x  3 thì 3 m  5   m 2  6m  5  0  y   3  0      m  1  m  5.   6  2 m  0 y 3  0     3  m   Câu 7. (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y  x3   3m  1 x2  m2 x  3 đạt cực tiểu tại x  1 . A. 5;1 . B. 5 . C.  . D. 1 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Lời giải Chọn B Ta có y  3x2  2  3m 1 x  m2  y  6 x  6m  2 . m  1  2   m  6m  5  0  f  1  0  m5 Hàm số đạt cực tiểu tại x  1       m 5. 4  f   1  0 6 m  8  0 m   3 Câu 8. (THPT Kinh Môn - 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y  x3  mx 2   m  1 x  1 đạt cực đại tại x  2 ? 3 A. m  2 . B. m  3 . C. Không tồn tại m . D. m  1 . Lời giải Chọn D Ta có y  x 2  2mx  m  1. Giả sử x  2 là điểm cực đại của hàm số đã cho, khi đó 2 y  2   0   2   2m  2   m  1  0  5m  5  0  m  1 . 1 Với m  1 , ta có y  x 3  x 2  1 . 3  x  2 . y  x 2  2 x ; y   0  x 2  2 x  0   x  0 Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận m  1 là giá trị cần tìm. Câu 9. (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019) Tập hợp các số thực m y  x3  3mx 2  (m  2) x  m đạt cực tiểu tại x  1 là. A. 1 . B. 1 . C.  . D. R . để hàm số Lời giải Chọn C. 2 y  3x  6mx  m  2 y  6 x  6m  y(1)  0 5m  5  0 m  1   Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 khi  không có giá trị của m .  y(1)  0 6  6 m  0 m  1 Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm căn thức … Câu 10. (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019) Xác định tham số m sao cho hàm số y  x  m x đạt cực trị tại x  1 . A. m  2 . B. m  2 . C. m  6 . D. m  6 . Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ y  f   x   1  m ,  x  0 2 x Để hàm số đạt cực trị tại x  1 thì f  1  0  1  m  0  m  2 . 2 Thử lại với m  2 , hàm số y  x  2 x có cực tiểu tại x  1 , do đó m  2 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 11. (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y   m  1 x 4   m 2  2  x 2  2019 đạt cực tiểu tại x  1 . A. m  0 . B. m  2 . C. m  1 . Lời giải D. m  2 . Chọn D Tập xác định: D  . Đạo hàm: y  4  m  1 x3  2  m 2  2  x . m  0 Hàm số đạt cực tiểu tại x  1  y  1  0  4  m  1  2  m 2  2   0   . m  2 Với m  0 , hàm số trở thành y   x 4  2 x 2  2019 . Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại x  1 . Với m  2 , hàm số trở thành y  x 4  2 x 2  2019 . Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . Vậy m  2 thì hàm số y   m  1 x 4   m 2  2  x 2  2019 đạt cực tiểu tại x  1 . Câu 12. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập số thực  đạo hàm f '  x    x  sin x  x  m  3 x  9  m2  x  3 ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại x  0 ? A. 6 B. 7 và có C. 5 Lời giải D. 4 Điều kiện 9  m 2  0  3  m  3 TH 1: 0  m  3 ta có BTT TH 2: 3  m  0 ta có BTT TH 2: m  3 ta có BTT Từ đó suy ra 3  m  3  có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Câu 13. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 (Mã 101 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y  x8   m  2  x5   m 2  4  x 4  1 đạt cực tiểu tại x  0 ? A. Vô số B. 3 C. 5 Lời giải m để hàm số D. 4 Chọn D Ta có y  x8   m  2  x5   m 2  4  x 4  1  y  8 x 7  5  m  2  x 4  4  m2  4  x3 .    y   0  x3 8 x 4  5  m  2  x  4 m2  4  0 x  0  4 2  g  x   8 x  5  m  2  x  4  m  4   0 Xét hàm số g  x   8 x 4  5  m  2  x  4  m 2  4  có g   x   32x3  5  m  2 . Ta thấy g   x   0 có một nghiệm nên g  x   0 có tối đa hai nghiệm + TH1: Nếu g  x   0 có nghiệm x  0  m  2 hoặc m  2 Với m  2 thì x  0 là nghiệm bội 4 của g  x  . Khi đó x  0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x  0 nên x  0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m  2 thỏa ycbt. x  0 4 Với m  2 thì g  x   8 x  20 x  0   . x  3 5  2 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x  0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m  2 không thỏa ycbt. + TH2: g  0  0  m  2 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x  0  g  0  0  m 2  4  0  2  m  2 . Do m nên m1;0;1 . Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. Câu 14. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x5 mx 4 y= + 2 đạt cực đại tại x = 0 là: 5 4 A. m О . B. m < 0 . C. Không tồn tại m . D. m > 0 . Lời giải Chọn D x5 mx 4 Đặt f (x) = + 2. 5 4 Ta có: f ў(x)= x4 - mx3 . Khi m = 0 thì f ў(x)= x4 і 0 , " x О nên hàm số không có cực trị. йx = 0 Khi m №0 , xét f ў(x)= 0 Ы x4 - mx3 = 0 Ы x3 (x - m)= 0 Ы к . клx = m Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ + Trường hợp m > 0 ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 . + Trường hợp m < 0 ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . Như vậy, để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì m > 0 . Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng m 1 5 m  2 4 x  x  m  5 đạt cực đại tại x  0 ? 5 4 A. 101. B. 2016 . C. 100 . Lời giải Chọn B 3 Ta xét: m  1  y  x 4  6  y  3x3  y  0  x  0 . 4 Ta có, bảng xét dấu y  2 x3  2019;2019 y D. 10 . Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  0 là điểm cực tiểu. Suy ra m  1 (loại).  x1  0 4 3 Ta xét: m  1  y   m  1 x   m  2  x  y '  0   .  x2   m  2 m 1  Trường hợp 1: xét m  1 , suy ra x2  x1 . Ta có, bảng xét dấu y   m 1 x4   m  2 x3 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  0 là điểm cực tiểu. Suy ra m  1 (loại). Trường hợp 2: 2  m  1, suy ra x2  x1 . Ta có, bảng xét dấu y   m 1 x4   m  2 x3 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ để hàm số Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  0 là điểm cực tiểu. Suy ra 2  m  1 (loại). Trường hợp 3: m  2 , suy ra x2  x1 . Ta có, bảng xét dấu y   m 1 x4   m  2 x3 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x  0 là điểm cực đại. Suy ra m  2 (nhận). Vậy, tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài là m  2 mà m thuộc khoảng  2019;2019 . Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016. Câu 16. (Mã 104 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y  x8   m  3 x 5   m 2  9  x 4  1 đạt cực tiểu tại x  0 ? B. Vô số A. 6 C. 4 Lời giải m để hàm số D. 7 Chọn A Ta có y  x8   m  3 x 5   m 2  9  x 4  1  y  8 x 7  5  m  3 x 4  4  m 2  9  x3 .   y   0  x 3 8 x 4  5  m  3 x  4 m 2  9   0 x  0  4 2  g  x   8 x  5  m  3 x  4  m  9   0 Xét hàm số g  x   8 x 4  5  m  3 x  4  m 2  9  có g   x   32 x3  5  m  3 . Ta thấy g   x   0 có một nghiệm nên g  x   0 có tối đa hai nghiệm +) TH1: Nếu g  x   0 có nghiệm x  0  m  3 hoặc m  3 Với m  3 thì x  0 là nghiệm bội 4 của g  x  . Khi đó x  0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x  0 nên x  0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m  3 thỏa ycbt. x  0 4 Với m  3 thì g  x   8 x  30 x  0   .  x  3 15  4 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x  0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m  3 không thỏa ycbt. +) TH2: g  0  0  m  3 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x  0  g  0  0  m 2  9  0  3  m  3 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Do m nên m2; 1;0;1;2 . Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. Câu 17. (Mã 103 - 2018) Có bao nhiêu giá tri ̣ nguyên của tham số y  x8   m  4  x 5   m 2  16  x 4  1 đa ̣t cực tiể u ta ̣i x  0 . A. 8 B. Vô số C. 7 Lời giải m để hàm số D. 9 Chọn A Ta có y '  8 x 7  5  m  5  x 4  4  m 2  16  x3  x3 8 x 4  5  m  4  x  4  m2  16   x3 .g  x  Với g  x   8 x 4  5  m  5  x  4  m 2  16  . ● Trường hơ ̣p 1 : g  0  0  m  4 . Với m  4  y '  8x7 . Suy ra x  0 là điể m cực tiể u của hàm số . Với m  4  y '  8 x 4  x3  5  . Suy ra x  0 không là điể m cực tri ̣của hàm số . ● Trường hơ ̣p 2 : g  0  0  m  4 . Để hàm số đa ̣t cực tiể u ta ̣i x  0 thì qua giá trị x  0 dấu của y ' phải chuyển từ âm sang dương do đó g  0  0  4  m  4 . Kế t hơ ̣p hai trường hơ ̣p ta đươ ̣c 4  m  4 . Do m   m 3; 2; 1;0;1;2;3;4 . Vâ ̣y có 8 giá tri ̣nguyên của tham số m thỏa mañ . Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x12  (m  5) x7  (m2  25) x 6  1 đạt cực đại tại x  0 ? A. 8 B. 9 C. Vô số D. 10 Lời giải Chọn B Ta có y '  12 x11  7(m  5) x6  6(m2  25) x5 TH1: m  5  y '  12 x11 . Khi đó y '  0  x  0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương, nên x  0 là điểm cực tiểu của hàm số,do đó không thỏa mãn, m  5 loại. TH2: m  5  y '  x6 (12 x5  70)  0  x  0 là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x  0 , m  5 loại. TH3: m  5  y '  x5 12 x 6  7(m  5) x  6(m 2  25)   x5 .g ( x) Với g ( x)  12 x6  7(m  5) x  6(m2  25) , ta thấy x  0 không là nghiệm của g  x  . Để hàm số đạt cực đại tại x  0 thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x  0 , xảy ra khi lim g ( x)  0   x  0 và chỉ khi   6(m 2  25)  0  5  m  5 lim g ( x)  0   x  0 Vì m nguyên nên m  4; 3;...;3;4 , vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Câu49. Cho hàm số y  x 6   4  m  x 5  16  m 2  x 4  2 . Gọi S là tập hợp các gia trị m nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  0 . Tổng các phần tử của S bằng A. 10. B. 9. C. 6. D. 3. Lời giải. Chọn C Ta có y  6 x5  5  4  m  x 4  4 16  m 2  x3  x3  6 x 2  5  4  m  x  16  m 2  . 3  x  0 y  0   2 . 2 6 x  5 4  m x  16  m  0 *       Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 * TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 có    4  m 49m  4 .   0  Với mọi m nguyên dương thì  5  4  m  do đó ta xét các trường hợp sau:  0  6  2 Trường hợp 1: 16  m  0  0  m  4 : * có hai nghiệm âm phân biệt x1 , x2  x1  x2  , ta có bảng xét dấu y như sau: Lúc này x  0 là điểm cực tiểu. Trường hợp 2: 16  m 2  0  m  4 : * có hai nghiệm trái dấu x1 , x2  x1  0  x2  , ta có bảng xét dấu y như sau: Từ đây suy ra x  0 là điểm cực đại (không thỏa mãn). Trường hợp 3: * có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này x  0 là nghiệm bội 4 của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị. Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3. Tổng các phần tử của S bằng 6. Câu 19. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m y  x8  (m  1) x5  (m2  1) x 4  1 đạt cực tiểu tại x  0? A. 3 B. 2 C. Vô số D. 1 Lời giải Chọn B Ta có: y '  8x7  5(m  1) x 4  4(m2  1) x3  1  x3 8 x 4  5  m  1 x  4  m2  1  để hàm số  x  0 y'  0   4 2 (1) 8 x  5  m  1 x  4  m  1  0 *Nếu m  1 thì y '  8 x 7 , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x  0 . x  0 x  0 *Nếu m  1 thì y '  0   4 , nhưng x  0 là nghiệm bội chẵn nên  x  3 5 8 x  10 x  0   4 không phải cực trị. *Nếu m  1 : khi đó x  0 là nghiệm bội lẻ. Xét g ( x)  8 x 4  5  m  1 x  4  m 2  1 . Để x  0 là điểm cực tiểu thì lim g ( x)  4(m2  1)  0  m 2  1  0  1  m  1 . Vì m nguyên nên chỉ x 0 có giá trị m  0 . Vậy chỉ có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu tại x  0 là m  0 và m  1 . Dạng 2. Tìm m để hàm số có n cực trị g Hàm số có n cực trị Ы y ў= 0 có n nghiệm phân biệt. g Xét hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d : м пa № 0 + Hàm số có hai điểm cực trị khi п . н2 п b 3 ac > 0 п п о ў + Hàm số không có cực trị khi y = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. g Xét hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ + Hàm số có ba cực trị khi ab < 0. + Hàm số có 1 cực trị khi ab і 0. Câu 1. 3 3 Biết rằng hàm số y = (x + a ) + (x + b) - x 3 có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ab Ј 0 . B. ab < 0 . C. ab > 0 . D. ab і 0 . Lời giải Chọn C Ta có y = x3 + 3(a + b) x 2 + 3(a 2 + b 2 ) x + a 3 + b3 . y ў= 3x 2 + 6 (a + b) x + 3(a 2 + b 2 ). Câu 2. Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y ў có hai nghiệm phân biệt Ы D ў= 18ab > 0 Ы ab > 0 . (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y  mx3  2mx 2  (m  2) x  1 không có cực trị B. m  6;0  . A. m  (;6)  (0; ) . m  6;0 . C. m 6;0 . D. Lời giải Chọn D 2 Ta có y '  3mx  4mx  (m  2) . + Nếu m  0 .  y '  2  0 (x  ) . Nên hàm số không có cực trị. Do đó m  0 (chọn) (1). + Nếu m  0 . Hàm số không có cực trị  y ' không đổi dấu   '  0  4m2  3m(m  2)  0  m2  6m  0  6  m  0 (do m  0 ) (2). Kết hợp (1) và (2) ta được 6  m  0 . Câu 3. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   m 1 x4  2  m  3 x2  1 không có cực đại? A. 1  m  3 B. m  1 C. m  1 Lời giải D. 1  m  3 Chọn D TH1: Nếu m  1  y  4 x 2  1 . Suy ra hàm số không có cực đại. TH2: Nếu m  1 . Để hàm số không có cực đại thì 2  m  3  0  m  3 . Suy ra 1  m  3 . Vậy 1  m  3 . Câu 4. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Để đồ thị hàm số y   x4   m  3 x2  m  1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị thực của tham số m là A. m  3 . B. m  3 . C. m  3. D. m  3 . Lời giải Chọn A y '  4 x3  2  m  3 x  2 x  2 x 2  m  3 . x  0 y'  0   2 3 m . x   2 Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương với a  1  0 nên hàm số có điểm cực đại mà không có 3 m  0  m  3. điểm cực tiểu  y '  0 có đúng 1 nghiệm bằng 0  2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Câu 5. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 (Quang Trung - Bình Phước - Lần 5 - 2019) Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . Lời giải Chọn A Tập xác định D  . y '  4 x3  4mx  4 x  x 2  m  . x  0 y '  0  4x  x2  m   0   2  x  m   Hàm số có 3 cực trị  y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  phương trình   có 2 nghiệm phân biệt x  0  m  0 . Câu 6. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  m2 x 4   m 2  2019m  x 2  1 có đúng một cực trị? A. 2019 . B. 2020 . C. 2018 . Lời giải D. 2017 . Chọn A Trường hợp 1: m  0  y  1 nên hàm số không có cực trị.  m  0 (loại). Trường hợp 2: m  0  m2  0 . Hàm số y  m2 x 4   m 2  2019m  x 2  1 có đúng một cực trị  m2 .  m2  2019m   0  m2  2019m  0  0  m  2019 . Vì m  0  0  m  2019 . Do m  nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề. Câu 7. (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y  x3  3  m  1 x2  3  7m  3 x . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là A. 2 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải Chọn B Ta có: y  3x2  6  m  1 x  3  7m  3 . y  0  x2  2  m  1 x  7m  3  0 . Để hàm số không có cực trị thì 2   0   m  1   7 m  3  0  m 2  5m  4  0 1  m  4 . Do m   S  1;2;3;4 . Vậy S có 4 phần tử. Câu 8. (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x4  4mx3  3  m  1 x2  1 có cực tiểu mà không có cực đại.  1 7  . 3  B. m   1  7  ;   .  3  D. m   A. m   ;  C. m   1  7  ;1  1.  3  1  7 1  7  ;   1. 3   3 Lời giải Chọn D Ta có: y  4 x3  12mx2  6  m  1 x . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ + TH1: m  1, ta có: y  4 x3  12 x 2  4 x 2 ( x  3) . Bảng xét dấu Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất. x  0 Ta có: y  0   2  2 x  6mx  3m  3  0(*) + TH2: m  1 Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình * không có hai nghiệm phân biệt   3m   2  3m  3  0  2 1 7 1 7 m . 2 2 1  7 1  7  ;   1. 3   3 Vậy m   Câu 9. (HSG 12 - Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x 2  x  1  x 2  2mx  5  . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị? A. 0 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn C Hàm số f  x  có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức g  x   x2  2mx  5 vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x  1 , hoặc g  x  có nghiệm kép x  1      2  g  0 m  5  0   2m  6  0  5  m  5   g  1  0   2  Tức là   . Do đó tập các giá trị nguyên thỏa mãn     0 m  5  0 m  3  g       b  m  1    1     0  a  g  g  0  yêu cầu bài toán là S  2,  1, 0, 1, 2, 3 . Câu 10. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x3 y    mx 2  2mx  1 có hai điểm cực trị. 3 m  2 A. 0  m  2 . B. m  2 . C. m  0 . D.  . m  0 Lời giải 2 Ta có: y   x  2mx  2m x3  mx 2  2mx  1 có hai điểm cực trị  y   0 có hai nghiệm phân biệt 3 m  2 .    m 2  2 m  0   m  0 Hàm số y   Câu 11. (THPT Ba Đình 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  2mx  m có cực đại và cực tiểu? Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 A. m  3 . 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 3 B. m   . 2 C. m  3 . 2 D. m  3 . 2 Lời giải + TXĐ: D  + y  3x 2  6 x  2m + Hàm số có cực đại và cực tiểu  y  0 có 2 nghiệm phân biệt. 3    36  24m  0  m  . 2 Câu 12. 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x3  mx 2   m  2  x  1 có 3 hai cực trị là: A.  ; 1   2;   B.  ; 1   2;   C.  1; 2  D.  1; 2 Lời giải Chọn B Ta có y  x 2  2mx  m  2 . Để hàm số có hai cực trị thì y  0 có hai nghiệm phân biệt nên  m  1 y   0    0  m 2  m  2  0   m  2 Câu 13. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y  mx 4  x 2  1 . Tập hợp các số thực m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là A.  0;   . B.   ;0 . C. 0;    . D.   ;0 . Lời giải Tập xác định D  . TH1: m  0 hàm số đã cho trở thành y   x 2  1 là một hàm bậc hai nên luôn có một cực trị. TH2: m  0 , ta có y  4mx3  2 x . x  0 y  0  4mx3  2 x  0  2 x 2mx 2  1  0   . 2 2 mx  1  0     Để hàm số có đúng một cực trị thì phương trình y  0 có đúng 1 nghiệm.   Ycbt  Phương trình   có một nghiệm x  0 hoặc vô nghiệm suy ra m  0 . Vậy m  0 . Câu 14. (THPT Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y  mx 4  (2m  1) x 2  1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu. 1 1 A. Không tồn tại m . B. m  0. C. m   . D.   m  0. 2 2 Lời giải Với m  0 , ta có y  x 2  1  y '  2 x . Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu. Suy ra m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. (1) Với m  0 , ta có y '  4mx3  2(2m  1) x  2 x(2mx 2  2m  1) m  0 Hàm số có một cực trị là cực tiểu   2 2mx  2m  1  0 vô nghiêm m  0 m  0   1     m   m  0 (2)   2 m  1 0 2     2m   m  0 Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi m  0. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 15. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 4 + 2 (m 2 - m - 6) x 2 + m - 1 có ba điểm cực trị. A. 6 . B. 5 . C. 4 . Lời giải 3 2 2 й Ta có y ў= 4 x + 4 (m - m - 6)x = 4 x кx + (m2 - m - 6)щ . ъ л ы йx = 0 y ў= 0 Ы кк 2 2 клx + (m - m - 6) = 0 (1) Hàm số có ba điểm cực trị Ы (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Ы m2 - m - 6 < 0 Ы - 2 < m < 3 . Ta có: m О , - 2 < m < 3 Ы m О {- 1;0;1;2}. D. 3 . Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị. Câu 16. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y  mx4   m 1 x2  1  2m có một điểm cực trị khi A. 0  m  1 . B. m  0  m  1 . C. m  0 . D. m  0  m  1 . Lời giải Trường hợp 1: m  0 thì hàm số đã cho trở thành y   x 2  1 . Hàm số này có 1 cực trị là cực đại  m  0 thỏa mãn. Trường hợp 2: m  0 thì hàm số đã cho trở thành y  mx4   m 1 x2  1  2m x  0 2 x  0   2 1 m Ta có y  4mx  2  m  1 x  2 x  2mx  m  1 ; y  0   2 x  2 mx  m  1  0  *  2m  YCBT  y đổi dấu một lần  Phương trình * vô nghiệm hoặc có nghiệm x  0 . 3 2 m  1 1 m 0 2m m  0 Kết hợp hai trường hợp ta được 0  m  m  1 .  m  1 Giải nhanh: Với a khác 0 thì hàm số đã cho có 1 cực trị  ab  0  m  m  1  0   . m  0 Câu 17. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền 10;10 để hàm số y  x4  2  2m  1 x2  7 có ba điểm cực trị? A. 20 C. Vô số Lời giải B. 10 Chọn D Ta có y '  4 x  x 2   2m  1  D. 11 x . x  0 y  0   2  x  2 m  1  * Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi y  0 có ba nghiệm phân biệt, hay (*) có hai nghiệm 1 phân biệt khác 0  2m  1  0  m   . 2 Do m  10;10 nên có 11 giá trị thỏa mãn. Câu 18. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số y  mx 4   m 2  6  x 2  4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại ? A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 Lời giải Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Chọn C Tập xác định D  . Ta có y  4mx 3  2  m 2  6  x . Hàm số đã cho có ba điểm cực trị trong đó có đúng hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi và 4m  0 chỉ khi  0m 6. 2 m m  6  0 Do đó có hai giá trị nguyên của tham số m .  Câu 19.  (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  mx4   m 1 x2  1  2m có một cực trị. A. m  1 B. m  0 C. 0  m  1 D. m  0  m  1 Lời giải Chọn D Ta có: y  4mx3  2  m 1 x  Trường hợp 1: Xét m  0  y  2 x . Ta thấy phương trình y  0 đổi dấu một lần nên hàm số có một điểm cực trị. Suy ra m  0 (thoả YCBT) (1)  Trường hợp 2: Xét m  1  y  4 x3 .Ta thấy phương trình y  0 đổi dấu một lần nên hàm số có một điểm cực trị. Suy ra m  1 (thoả YCBT) (2) x  0  Trường hợp 3: Xét m  0 , y  0   2 1  m x  2m  m  0 1 m 0 Để hàm số có một điểm cực trị thì (3) 2m m  1 m  0 Từ (1), (2) và (3) suy ra  m  1  Ghi chú: Dùng công thức tính nhanh m  0 . Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi m  m  1  0   m  1 Câu 20. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f  x có đạo hàm f   x   x 2  x  2   x  4   x 2  2  m  3 x  6m  18 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f  x  có đúng một điểm cực trị? 4 B. 7 . 3 B. 5 . C. 8 . Lời giải D. 6 . Chọn C  x2  0 x  0  4  x  2  x  2   0 Ta có f   x   0    3  x  4  x  4   0  2  2  x  2  m  3 x  6m  18  0 *  x  2  m  3 x  6m  18  0 Để hàm số f  x  có đúng một điểm cực trị  Phương trình * vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là 4. Trường hợp 1. Phương trình * vô nghiệm    4m2  24m  36  24m  72  4m2  36  0  3  m  3  m 2 ;  1 ; 0 ; 1 ; 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ m  3 Trường hợp 2. Phương trình * có nghiệm kép    4m 2  36  0   .  m  3 Trường hợp 3. Phương trình * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Trong đó x1  4.  m  3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    4m 2  36  0   . m  3  S  x1  x2  4  x2  2m  6  P  x1.x2  4.x2  6m  18 Theo định lí Viète ta có   x2  2m  2 3 9   3 9  2m  2   m   m  5 . 2 2 x2   m   2 2  Vậy m3 ;  2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5  thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 21. (Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị trên . 1 1 1 f (x )  m 2 .e 4x  m .e 3x  e 2x  (m 2  m  1)e x . Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 4 3 2 2 2 1 A. B. . C. . D. - 1. 3 3 3 Lời giải Chọn A f '(x )  m 2 .e 4x  m .e 3x  e 2x  (m 2  m  1)e x  e x (m 2 .e 3x  m .e 2x  e x  m 2  m  1)  0  m 2.e 3x  m .e 2x  e x  m 2  m  1  0 . Đặt t  e x  0 ta có Ta có: m 2t 3  mt 2  t  m 2  m  1  0  m 2 (t 3  1)  m (t 2  1)  1  t  0  (t  1)[m 2(t 2  t  1)  m (t  1)  1)  0  (t  1)[m 2t 2  (m 2  m )t  m 2  m  1]  0 Điều kiện cần để hàm số không có cực trị thì phương trình m 2t 2  (m 2  m )t  m 2  m  1 có 1 . 3 Thử lại ta thấy với hai giá trị m trên ta đều có nghiệm đơn t  1 . 1 Vậy hai giá trị m  1, m  thỏa mãn. 3 nghiệm t  1  3m 2  2m  1  0  m  1, m  Dạng 3. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần dư của phép chia của y cho y '  y  h( x1 ) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ) : y  y  q( x)  h( x)   1   y2  h( x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y  h( x). Câu 1. (Mã 123 - 2017) Đồ thị hàm số y  x3  3x2  9x  1 có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? A. M  0; 1 B. N  1; 10  C. P  1; 0  D. Q  1;10  Lời giải Chọn B Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Ta có: y  3x  6x  9 thực hiện phép chia y cho y ta được số dư là y  8x  2 . 2 Như thế điểm N  1; 10  thuộc đường thẳng AB . Câu 2. (Mã 104 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y   2m 1 x  3  m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  1 . 3 3 1 1 A. m  B. m  C. m   D. m  2 4 2 4 Lời giải Chọn B Ta có y  3x 2  6 x . Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị A  0;1 , B  2; 3 . Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình y  2 x  1 . Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng 3 y   2m  1 x  3  m khi và chỉ khi  2m  1 2   1  m  . 4 Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y   2m  1 x  m  3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  1 3 1 3 A. m  . B. m  . C. m   . 4 2 4 Lời giải Chọn D 1 D. m   . 2 x  0 Hàm số y  x3  3x 2  1 có TXĐ: R ; y  3x 2  6 x ; y '  0   x  2 Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A  0;1 , B  2; 3  AB   2; 4  . x y 1   y  2 x  1 . 2 4 2m  1  2 1 m . Đường thẳng y   2m  1 x  m  3 song song với đường thẳng d   2 m  3  1 Đường thẳng d đi qua hai điểm A , B có phương trình: Câu 4. Đồ thị của hàm số y  x3  3x 2  9 x  1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB . A. P 1;0  . B. M  0; 1 . C. N 1; 10 . D. Q  1;10  . Lời giải TXĐ: D  . y '  3x 2  6 x  9 .  x  1  y  6 y '  0  3x 2  6 x  9  0    x  3  y  26 Ta có A  1;6  , B  3; 26   AB   4; 32  nên ) Chọn n AB   8;1 . Phương trình đường thẳng AB là: 8  x  1  1 y  6  0  8x  y  2  0 . Thay tọa độ các điểm P, M , N , Q vào phương trình đường thẳng AB ta có điểm N 1; 10 thuộc đường thẳng. Câu 5. (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y   3m  1 x  3  m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  1 . 1 A. . 3 1 B.  . 6 C. m  1 . 6 1 D.  . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Lời giải Chọn B Xét hàm số y  x3  3x 2  1 1 1 Có : y  3x 2  6 x , y   x   y  2 x  1 . 3 3 Do đó, đường thẳng  qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y  2 x  1 . 1 Để d vuông góc với  thì  3m  1 .  2   1  m   . 6 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m   . 6 Câu 6. (TT Tân Hồng Phong - 2018) Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  2 x3  3  m 1 x2  6m 1  2m x song song đường thẳng y  4 x . 1 A. m   . 3 B. m  2 . 3 2 C. m   . 3 Lời giải D. m  1 . Chọn A x  m Ta có y  6 x2  6  m 1 x  6m 1  2m , y  0   .  x  1  2m 1 Để hàm số có hai cực trị thì m  1  2m  m  . 3 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A  m ;  7m3  3m 2  , B 1  2m ; 20m3  24m 2  9m  1 . Do     đó AB  1  3m ;  3m  1 . Do đó AB có vectơ pháp tuyến là n   3m  1 ;1 . 3 2 Do đó AB :  3m  1 x  y  2m3  3m 2  m  0  y    3m  1 x  2m3  3m 2  m . 2 2 Để đường thẳng AB song song với đường thẳng y  4 x thì: m  1  m   1  3 2  1    3m  1  4  m  0  m   .  3 2 3   2m  3m  m  0 1 m  2  m  1  Câu 7. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- 2018) Biết đồ thị hàm số y  x3  3x  1 có hai điểm cực trị A , B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là A. y  2 x  1 . B. y  2 x  1. C. y   x  2. D. y  x  2 . Lời giải Chọn B 1  Thực hiện phép chia y cho y ta được: y  y.  x    2 x  1 . 3  Giả sử hai điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là: A  x1; y1  và B  x2 ; y2  .  1   y1  y  x1   y  x1  .  3 x1    2 x1  1  2 x1  1    Ta có:  .  y  y  x   y  x  .  1 x    2 x  1  2 x  1 2 2  2 2 2  2 3  Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Ta thấy, toạ độ hai điểm cực trị A và B thoả mãn phương trình y  2 x  1 . Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y  2 x  1 . Câu 8. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x3  2 x 2   m  3 x  m có hai điểm cực trị và điểm M  9;  5 nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị. A. m  1. B. m  5. C. m  3. D. m  2. Lời giải Chọn C Ta có y   3x 2  4 x  m  3 , để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y   0 có hai nghiệm 13 phân biệt    0  m  * 3 2   2m 26  7m 2 1 Ta có y  y .  x       x  nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 3 9  3 9 9 3 7m 2  2m 26  cực trị là y     x  . Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua M  9;  5 nên m  3  3  9 9 3 (thỏa mãn điều kiện * ). Câu 9. (Nguyễn Khuyến 2019) Đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y  x3  2 x  m đi qua điểm M  3;7  khi m bằng bao nhiêu? A. 1. B. 1 . C. 3. D. 0. Lời giải Chọn C Tập xác định: D  . y  3x 2  2 . 1  4  y  x3  2 x  m  x. y    x  m  3  3  4 Suy ra đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là y   x  m 3 4 đường thẳng này đi qua điểm M  3;7  khi và chỉ khi 7   .  3  m  m  3 . 3 Câu 10. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y   3m  1 x  3  m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  1 . 1 A. m  . 6 1 B.  . 3 1 . 3 Lời giải C. 1 D.  . 6 Xét hàm số y  x3  3x 2  1 1 1 Có : y  3x 2  6 x , y   x   y  2 x  1 . 3 3 Do đó, đường thẳng  qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y  2 x  1 . 1 Để d vuông góc với  thì  3m  1 .  2   1  m   . 6 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m   . 6 Câu 11. (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Giả sử A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f  x   x3  ax2  bx  c và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  abc  ab  c . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A.  16 . 25 C.  B. 9 . 25 . 9 D. 1 . Lời giải TXĐ D  . f   x   3x2  2ax  b . Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là f   x   0 có hai nghiệm phân biệt  a 2  3b  0 . Lấy f  x  chia cho f   x  . 1  2 2 1 1 Ta có f  x   f   x  .  x  a    b   x  c  ab . 9  3 9 9 3 2 1 2 Suy ra đường thẳng đi qua A , B là: y   b   x  c  ab  d  . 9 9 3 1 Theo đầu bài  d  đi qua gốc tọa độ  c  ab  0  ab  9c . 9 2 5  25  Khi đó P  abc  ab  c  P  9c  10c  P   3c    . 3 9  25 Suy ra min P   . 9 2 Câu 12. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3mx 2  2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1;  2 thẳng hàng. A. m  2 . B. m   2 . C. m  2 . D. m   2 ; m  2 . Lời giải 2 2   Ta có: y  3x  6mx ; y  0  3x  6mx  0  x  0 , x  2m . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt  2m  0  m  0 . Khi đó hai điểm cực trị là A  0; 2  , B  2m; 2  4m3  . Ta có MA   1; 4  , MB   2m  1; 4  4m3  . Ba điểm A , B và M 1;  2 thẳng hàng  MA , MB cùng phương 2 m  1 4  4 m3 2 m  1 1  m3     2m  1  m3  1  m 3  2 m 1 4 1 1 2  m  2  m   2 (do m  0 ).  Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước  Bài toán tổ ng quát: Cho hàm số y  f ( x; m)  ax3  bx 2  cx  d . Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điể m cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?  Phương pháp: — Bước 1. Tâ ̣p xác đinh ̣ D  . Tiń h đa ̣o hàm: y  3ax 2  2bx  c.  a y  3a  0 — Bước 2. Để hàm số có 2 cực tri ̣  y  0 có 2 nghiê ̣m phân biê ̣t   2   y  (2b)  4.3ac  0 và giải hê ̣ này sẽ tìm đươ ̣c m  D1. b   S  x1  x2   a — Bước 3. Go ̣i x1 , x2 là 2 nghiê ̣m của phương trình y  0. Theo Viét, ta có:   P  x x  c 1 2  a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 — Bước 4. Biế n đổ i điề u kiê ̣n K về da ̣ng tổ ng S và tích P. Từ đó giải ra tìm đươ ̣c m  D2 . — Bước 5. Kế t luâ ̣n các giá tri ̣m thỏa mañ : m  D1  D2 .  Lưu ý: — Hàm số bâ ̣c 3 không có cực tri ̣  y  0 không có 2 nghiê ̣m phân biê ̣t   y  0. — Trong trường hơ ̣p điề u kiê ̣n K liên quan đế n hiǹ h ho ̣c phẳ ng, tức là cầ n xác đinh ̣ to ̣a đô ̣ 2 điể m cực tri ̣ A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là 2 nghiê ̣m của y  0. Khi đó có 2 tình huố ng thường gă ̣p sau:  Nế u giải đươ ̣c nghiê ̣m của phương trình y  0, tức tìm đươ ̣c x1 , x2 cu ̣ thể , khi đó ta sẽ thế vào hàm số đầ u đề y  f ( x; m) để tim ̀ tung đô ̣ y1 , y2 tương ứng của A và B.  Nế u tim ̀ không đươ ̣c nghiê ̣m y  0, khi đó go ̣i 2 nghiê ̣m là x1 , x2 và tim ̀ tung đô ̣ y1 , y2 bằ ng cách thế vào phương trình đường thẳ ng nố i 2 điể m cực tri.̣ Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y ) , nghĩa là:  y  h( x1 ) Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ) : y  y  q( x)  h( x)   1   y2  h( x2 ) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y  h( x). Dạng toán: Tim ̀ tham số m để các hàm số sau có cực tri ̣ thỏa điề u kiê ̣n cho trước (cùng phía, khác phía d): Vi ̣trí tương đố i giữa 2 điểm với đường thẳ ng: Cho 2 điểm A( xA ; y A ), B( xB ; yB ) và đường thẳ ng d : ax  by  c  0. Khi đó:  Nế u (axA  by A  c)  (axB  byB  c)  0 thì A, B nằ m về 2 phía so với đường thẳ ng d.  Nế u (axA  by A  c)  (axB  byB  c)  0 thì A, B nằ m cùng phía so với đường d. Trường hợp đặc biê ̣t:  Để hàm số bậc ba y  f ( x) có 2 điểm cực tri ̣ nằ m cùng phía so với trục tung Oy  phương trình y  0 có 2 nghiê ̣m trái dấ u và ngược lại.  Để hàm số bậc ba y  f ( x) có 2 điểm cực tri ̣ nằ m cùng phía so với trục hoành Ox  đồ thi ̣ hàm số y  f ( x) cắ t trục Ox tại 3 điểm phân biê ̣t  phương trình hoành độ giao điểm f ( x)  0 có 3 nghiê ̣m phân biê ̣t (áp dụng khi nhẩm được nghiê ̣m). Dạng toán: Tim ̀ m để các hàm số sau có cực tri ̣thỏa điề u kiê ̣n cho trước (đố i xứng và cách đề u):  Bài toán 1. Tìm m để đồ thi ̣ hàm số có 2 điểm cực tri ̣ A, B đố i xứng nhau qua đường d : — Bước 1. Tìm điề u kiê ̣n để hàm số có cực đa ̣i, cực tiể u  m  D1. — Bước 2. Tim ̀ to ̣a đô ̣ 2 điể m cực tri ̣ A, B. Có 2 tiǹ h huố ng thường gă ̣p: + Mô ̣t là y  0 có nghiê ̣m đe ̣p x1 , x2 , tức có A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ). + Hai là y  0 không giải ra tìm đươ ̣c nghiê ̣m. Khi đó ta cầ n viế t phương trình đường thẳ ng nố i 2 điể m cực tri ̣là  và lấ y A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 )  .  x  x y  y2  — Bước 3. Go ̣i I  1 2 ; 1  là trung điể m của đoa ̣n thẳ ng AB. 2   2  AB  ud  0   d   m  D2 . Do A, B đố i xứng qua d nên thỏa hê ̣  I  d  I  d — Bước 4. Kế t luâ ̣n m  D1  D2 .  Bài toán 2. Tìm m để đồ thi ̣ hàm số có 2 điểm cực tri ̣ A, B cách đều đường thẳ ng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ d: — Bước 1. Tìm điề u kiê ̣n để hàm số có cực đa ̣i, cực tiể u  m  D1. — Bước 2. Tim ̀ to ̣a đô ̣ 2 điể m cực tri ̣ A, B. Có 2 tiǹ h huố ng thường gă ̣p: + Mô ̣t là y  0 có nghiê ̣m đe ̣p x1 , x2 , tức có A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ). + Hai là y  0 không giải ra tìm đươ ̣c nghiê ̣m. Khi đó ta cầ n viế t phương trình đường thẳ ng nố i 2 điể m cực tri ̣là  và lấ y A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 )  . — Bước 3. Do A, B cách đề u đường thẳ ng d nên d ( A; d )  d ( B; d )  m  D2 . — Bước 4. Kế t luâ ̣n m  D1  D2 .  Lưu ý: Để 2 điể m A, B đố i xứng nhau qua điể m I  I là trung điể m AB. Câu 1. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3x 2  m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA  OB ( O là gốc tọa độ)? 3 1 5 A. m  . B. m  3 . C. m  . D. m  . 2 2 2 Lời giải Chọn D Tập xác định: D  . x  0 y  3 x 2  6 x , y  0  3 x 2  6 x  0   . x  2 Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A  0; m  và B  2; 4  m  . Ta có OA  OB  02  m2  22   4  m   m2  4   4  m   20  8m  0  m  2 Câu 2. 2 5 . 2 (Đề Tham Khảo 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm 1 số y  x3  mx 2   m2  1 x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách 3 đều đường thẳng d : y  5 x  9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S . A. 3 B. 6 C. 6 D. 0 Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có y '  x 2  2mx   m 2  1    x  m 1 m3  3m  2  m3  3m  2   y'  0    A  m  1; B m  1;  và   3 3 x  m 1     2 m  m  1 2 Dễ thấy phương trình đường thẳng AB : y   x  nên AB không thể song song hoặc 3 3 trùng với d  A, B cách đều đường thẳng d : y  5 x  9 nếu trung điểm I của AB nằm trên d m  3  m3  3m  m3  3m 3 I  m;  5m  9  m  18m  27  0   d   m  3  3 5 3  3   2 Với m  3  A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d . 3  3 5  A, B thỏa điều kiện nằm khác phía so với d . 2 Tổng các phần tử của S bằng 0. Với m  Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Câu 3. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị 2 2 hàm số y  x3  mx 2  2  3m2  1 x  có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho 3 3 x1 x2  2  x1  x2   1 . A. 1 . B. 0 . D. 2 . C. 3 . Lời giải Chọn A Ta có: y '  2 x 2  2mx  2  3m2  1  2  x 2  mx  3m 2  1 , g  x   x2  mx  3m2  1 ;   13m2  4 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y ' có hai nghiệm phân biệt  g  x  có hai nghiệm phân biệt  2 13 m  13 . (*)  0   2 13 m   13   x1  x2  m x1 , x2 là các nghiệm của g  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có  . 2  x1 x2  3m  1 m  0 Do đó x1 x2  2  x1  x2   1  3m  2m  1  1  3m  2m  0   . m  2 3  2 Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ m  thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 2 Câu 4. 2 (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  mx3  (2m  1) x 2  2mx  m  1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trình mx3  (2m  1) x 2  2mx  m  1  0 (1) có 3 nghiệm phân biệt. Ta có (1)  ( x  1)  mx 2  (m  1) x  m  1  0 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt mx 2  (m  1) x  m  1  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m  0   m  (m  1)  m  1  0 (m  1) 2  4m(m  1)  0  m  0   m  2  0 3m 2  6m  1  0   m  0   m  2   3  2 3  m  3  2 3  3 3 Do m   m  1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 5. (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y  x3   m  6 x2   2m  9 x  2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.  m  2 . A.   m  6 B. m  2. C. m  6.   m  2   m  6 . D.   3  m  2 Lời giải Chọn D y '  3x 2  2  m  6  x  2m  9. x  1 y '  3 x  2  m  6  x  2m  9  0   .  x  2m  9 3  2m  9  1  m  3. 1 Hàm số có 2 cực trị  3 y (1)  m  2. 2  2m  9  2.  2m  9  y   m 27  3   2m  9  Ycbt  y (1). y  0  3  2   m  6   2m  9   2  0  m  2 . 4m3  36m2  81m  54  0    m  2 .   m  2  .  m     2   27  3   m  2   m  2   m  6 . Từ 1 ,  2 ta có ycbt     3  m  2 2 Câu 6. 1 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y  mx3   m  1 x 2  3  m  2  x  2018 3 với m là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1  2 x2  1 bằng 40 22 A. B. 9 9 25 4 Lời giải C. D. 8 3 Chọn A Ta có y '  mx 2  2  m  1 x  3  m  2 Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình mx 2  2  m  1 x  3  m  2  0 phải có hai nghiệm phân biệt.  m  0 m  0   2 2     m  1  3m  m  2   0 2m  4m  1  0  2  m  1   x1 .  x2   m Theo định lý Vi-ét ta có   x .x  3  m  2   1 2 m Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 3m  4  x1   2  m  1  m  x1 .  x2    m  Theo bài ta có hệ phương trình x  2x  1  x  1  2  m  1  2  m  1 2  2 m m m  2 t / m  3m  4 2  m 3  m  2   .   3  2  m  m   3m  4  2  m   0   m  2 t / m  m m m  3 40 Vậy m12  m2 2  . 9 Câu 7. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y   x3  3mx 2  3m  1 với m là một tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d : x  8 y  74  0 . A. m  1;1 . B. m  3;  1 . C. m  3;5 . Lời giải D. m 1;3 . Chọn D y  3x 2  6mx x  0 y  0    x  2m Đồ thị có hai cực trị khi: m  0 Khi đó hai điểm cực trị là: A  0; 3m  1 , B  2m ; 4m3  3m  1 Tọa độ trung điểm AB là: I  m ; 2m3  3m  1  I  d A và B đối xứng qua d khi và chỉ khi:   AB.ud  0 AB   2m ; 4m3  , ud   8;  1  m0 + AB.ud  0  16m  4m3  0   m  2 .  m  2 Với m  0 loại Với m  2 , ta có I  2;9  I  d Với m  2 , ta có I  2;  11  I  d Do đó m  2 thỏa mãn yêu cầu. Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  x3  8 x 2   m2  11 x  2m 2  2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox . A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn D Yêu cầu bài toán  đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  x3  8 x 2   m2  11 x  2m 2  2  0 có ba nghiệm phân biệt x3  8 x 2   m 2  11 x  2m 2  2  0   x  2   x 2  6 x  m 2  1  0 x  2  2 2  x  6 x  m  1  0(*) Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  '  10  m 2  0  m  2 2  2  m  8  0   10  m  10 Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài. Câu 9. (Chuyên Hạ Long 2019) Cho hàm số y  x3   2m  1 x 2   m  1 x  m  1 . Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên m  20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? A. 18 . B. 19 . C. 21 . D. 20 . Lời giải 2 + Ta có: y   x  1  x  2mx  1  m  . + Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị y cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.  y   x  1  x 2  2mx  1  m   0 có ba nghiệm phân biệt.  x 2  2mx  1  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.   1  5  m  2  2  m  m  1  0      m  1  5 .  2  2  3m  0    2 m   3   + Do m  N , m  20 nên 1  m  20 . Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán. Câu 10. (Chuyên KHTN 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số y  x3   m  1 x 2   m 2  2  x  m 2  3 có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành? A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 4 . Ta có y  0  3x  2  m  1 x  m  2  0 . 2 Lời giải 2 1  15 1  15 m * . 2 2 Ta lần lượt thử bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn * là 1;0;1; 2 . Ta được bốn hàm số y  x3  x  2; y  x3  x 2  2 x  3; y  x3  2 x 2  x  2; y  x3  3x 2  x  1 . Khi đó ta nhận thấy chỉ có m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Để hàm số có hai điểm cực trị    0  2m 2  2m  7  0  Câu 11. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để y  x3  3x 2  mx  1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  6 A. m  3 B. m  3 C. m  1 Lời giải Chọn A D. m  1 y '  3x 2  6x  m . Hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 .Vậy x1 , x2 là nghiệm của phương trình y '  0  x1  x2  2  Theo viet ta có  m  x1.x2  3 x12  x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 2m 2m  4  4  6  m  3 3 3 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f  x   2x  6x  m  1 có các giá trị cực trị trái dấu? A. 7 . B. 9 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A Có f '  x   6 x2  12 x . 3 2 x  0 f ' x  0   x  2 x  0  f  0  m  1 x  2  f  2  m  7 Hàm số có các giá trị cực trị trái dấu   m  1 m  7   0   m 1 m  7   0  7  m  1 . Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 13. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hàm số y  2 x3  3  m 1 x2  6  m  2 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng  2;3 . A. m  1;4 \ 3 . B. m  3;4 . C. m 1;3 . Lời giải D. m  1;4 . Chọn A Ta có y  6 x2  6  m 1 x  6  m  2 .  x  1 y  0  x 2   m  1 x   m  2   0   .  x  m  2 Để hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm trong khoảng  2;3 thì y  0 có hai nghiệm phân biệt m  2  1 m  3  nằm trong khoảng  2;3   . 2  m  2  3 1  m  4 Câu 14. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y = x3 - 3mx 2 + 4m2 - 2 có đồ thị (C ) và điểm C (1;4). Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để (C ) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4. A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 Lời giải Chọn C йx = 0 Ta có y ' = 3x 2 - 6mx = 0 Ы к клx = 2m Đồ thị (C ) có hai điểm cực trị Ы 2m №0 Ы m №0 . Khi đó A(0; 4m 2 - 2), B (2m; - 4m3 + 4m 2 - 2) Ю AB = 4m2 + 16m6 = 2 m 4m4 + 1 y - (4m2 - 2) x- 0 = Ы 2 m 2 x + y - 4m 2 + 2 = 0 Phương trình đường thẳng AB là: 3 2m - 0 - 4m 2 2 2 2m + 4 - 4m + 2 2m - 3 d (C , AB ) = = 4m 4 + 1 4m 4 + 1 Diện tích tam giác ABC là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ S= 2 m2 - 3 1 1 . AB.d (C , AB ) = 4 Ы .2 m . 4m 4 + 1. = 4 2 2 4m 4 + 1 йm = ± 1 2 Ы m (m2 - 3) = 2 Ы m6 - 6m4 + 9m2 - 4 = 0 Ы (m2 - 1) (m2 - 4)= 0 Ы к клm = ± 2 Do m nguyên dương nên ta được m = 1, m = 2 , tổng thu được là 3 . Câu 15. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y = 2 x 3 + 3 (m - 1)x 2 + 6 (m - 2)x - 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (- 2; 3) . A. m О (- 1; 3)И(3; 4) . B. m О (1; 3) . C. m О (3; 4) . D. m О (- 1; 4) . Lời giải Chọn A Ta có: y ' = 6 x 2 + 6 (m - 1)x + 6 (m - 2) Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (- 2; 3) Ы pt y ' = 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng (- 2; 3) Ы x 2 + (m - 1)x + (m - 2) = 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng (- 2; 3) Ы (x + 1)(x + m - 2) = 0 йx = - 1 О (- 2; 3) Ы кк клx = 2 - m м2 - m №- 1 м п пm №3 YCBT Ы п Ып н н п п п- 2 < 2 - m < 3 о п- 1 < m < 4 о Câu 16. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: y  3x3  2  m  1 x2  3mx  m  5 có hai điểm cực trị x1 ; x2 đồng thời y  x1  . y  x2   0 là: B. 39 A. 21 C. 8 Lời giải D. 3 11 13 Chọn A +) Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y  0 phải có hai nghiệm phân biệt: y  9 x2  4  m  1 x  3m có hai nghiệm phân biệt    4  m  1  27m  0 2 +) Xét y  x1  . y  x2   0 nên ta có y  3x3  2  m  1 x2  3mx  m  5 phải tiếp xúc với trục hoành  3x3  2  m  1 x2  3mx  m  5  0 phải có nghiệm kép   x  1 3x 2   2m  5  x  m  5  0 1 phải có nghiệm kép +) TH1: Phương trình 3x2   2m  5 x  m  5  0 có một nghiệm x  1  m1  13 +) TH2: Phương trình 3x2   2m  5 x  m  5  0 có nghiệm kép khác 1     2m  5   12  5  m   0  4m2  32m  35  0  m2  m3  8 2  m1  m2  m3  21 Câu 17. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số y  x3  3mx 2  27 x  3m  2 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  5 . Biết S   a; b . Tính T  2b  a . A. T  51  6 B. T  61  3 C. T  61  3 Lời giải D. T  51  6 Chọn C Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023  +) Ta có y  3x  6mx  27 , y  0  x  2mx  9  0 (1) +) Theo giả thiết hàm số đạt cực trị tại x1 , x2  phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 2 m  3    0  m2  9  0   (*)  m  3  x  x  2m +) Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 , theo Vi-ét ta có:  1 2  x1 x2  9 +) Ta lại có x1  x2  5   x1  x2   25   x1  x2   4 x1 x2  25  0 2  4m 2  61  0   2 61 61 m (**) 2 2 +) Kết hợp (*), (**) và điều kiện m dương ta được: 3  m  61 2 a  3   61  T  2b  a  61  3 . b   2  Câu 18. (Sở Bắc Giang 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số x3 y   2 x 2  mx  3 có hai điểm cực trị x1 , x2  4 . Số phần tử của S bằng 3 A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải x3 Ta có: y   2 x 2  mx  3  y '  x 2  4 x  m . 3 Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thì phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt  '  0  4 m  0  m  4 . x  2 4m Khi đó giả sử x1  x2 , y '  0   1  x2  2  4  m Yêu cầu bài toán trở thành x2  4  2  4  m  4  0  m  4 . Kết hợp với m  4 ta được 0  m  4 . Do m nguyên nên m0;1;2;3 . Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 19. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm y = x3 + 4(m - 2)x2 - 7 x + 1 có hai điểm cực trị x1 ; x2 (x1 < x2 )thỏa mãn x1 - x2 = - 4 1 7 A. m = 5 . B. m = . C. m = 3 . D. m = . 2 2 Lời giải 3 2 Ta có y = x + 4(m - 2)x - 7 x + 1 (1) số Ю y ' = 3x2 + 8(m - 2)x - 7 . Xét phương trình 3x2 + 8(m - 2)x - 7 = 0 (2) 2 щ D '= й л4 (m - 2)ы + 21 > 0 , với mọi m Ю hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị x1 ; x2 với mọi m . *Ta thấy ac = - 21 < 0 Ю phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu Ю x1 < 0; x2 > 0 Ю x1 = - x1; x2 = x2 *Ta có x1 - x2 = - 4 Ю - x1 - x2 = - 4 Ы - (x1 + x2 )= - 4 Ы 8(m - 2) 1 = - 4 Ы m= 2 3 Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M (2m3 ; m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 (C ) một tam giác có diện tích nhỏ nhất? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ D. không tồn tại C. 2 Lời giải B. 1 A. 0 Chọn B Ta có y '  6 x 2  6(2m  1) x  6m(m  1) x  m y'  0    m  R , hàm số luôn có CĐ, CT x  m 1 Tọa độ các điểm CĐ, CT của đồ thị là A(m;2m3  3m2  1), B(m  1;2m3  3m2 ) Suy ra AB  2 và phương trình đường thẳng AB : x  y  2m3  3m2  m  1  0 Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới AB nhỏ nhất 3m2  1 1 Ta có d ( M , AB)  , dấu "=" khi m  0  2 2 Câu 21. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y  x3  3mx  2 cắt đường tròn  C  có tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 2 3 1 3 2 5 2 3 A. m  B. m  C. m  D. m  2 2 2 3 Lời giải Ta có: y  3x 2  3m suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu khi m  0 . Các điểm cực    đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là C  m ; 2  2m m ; D  m ; 2  2m m . Đường thẳng  đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phương trình là: y  2mx  2 . Do 2m  1 d  I ,    R  1 (vì m > 0)   luôn cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R 1 tại 2 4m 2  1 1 điểm A, B phân biệt. Dễ thấy m  không thõa mãn do A, I , B thẳng hàng. 2 1 1 1 1 Với m  :  không đi qua I, ta có: SABI  IA.IB.sin AIB  R 2  . 2 2 2 2 1 R 1  Do đó S IAB lớn nhất bằng khi sin AIB  1 hay AIB vuông cân tại I  IH  2 2 2  Câu 22. 2m  1 4m  1 2  1 2 3 ( H là trung điểm của AB ) m 2 2 (VTED 2019) Biết đồ thị hàm số y  x3  ax 2  bx  c có hai điểm cưc trị M  x1; y1  , N  x2 ; y2  thỏa mãn x1  y1  y2   y1  x1  x2  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  abc  2ab  3c bằng 49 25 841 7 A.  B.  C.  D.  4 4 36 6 Lời giải Chọn A Ta có y  3x 2  2ax  b 1   a 2 2b  ab 1  xc . 9   9 3  9 3 Do M  x1; y1  , N  x2 ; y2  là hai điểm cực trị nên y  x1   0, y  x2   0 Chia y cho y ta được y  y  x  a      a 2 2b   a 2 2b  ab ab Do đó y1      x1  c  ; y2      x2  c  3  9 3  9  9  9 Theo giả thiết x1  y1  y2   y1  x1  x2   x1 y2  x2 y1 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023  a  a 2b  ab  2b  ab   x1     x2  c    x2     x1  c   3  9 3  9  9  9 ab  ab  ab    x1  c    x2  c    c   0( x1  x2 )  ab  9c 9  9  9   2 2 2 7  49 49   Ta có: P  abc  2ab  3c  9c  21c   3c    2 4 4  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  abc  2ab  3c bằng  49 4 Câu 23. Cho hàm số y  x3  3mx 2  3  m 2  1 x  m3  m ( m là tham số). Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I  2;  2 . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 4 14 A. B.   17 17 5 là C.  2  17 D. 20  17 Lời giải Chọn D Tập xác định D  . y  3x 2  6mx  3 m 2  1 .   Cho y  0  x 2  2mx  m2  1  0 . Vì   1  0 m nên phương trình y  0 luôn có hai nghiệm phân biệt x  m  1. Gọi A  m  1;  4m  2 , B  m 1;  4m  2 . Suy ra AB   2;4   2 1;  2  , IA   m  1;  4m  , IB   m  3;  4m  4  . Phương trình đường thẳng AB qua A  m  1;  4m  2 và có vectơ pháp tuyến n   2;1 là AB : 2 x  y  2m  0 . 2  2m Suy ra d  I , AB    5 2  2m 1 1 Khi đó SIAB  AB.d  I , AB   2 5  2  2m . 2 2 5 AB.IA.IB  AB.IA.IB  4 5 2  2m . Mặt khác S IAB  4R  20 17m2  2m  1 17m2  38m  25  4 5 2  2m  17m2  2m  117m 2  38m  25   4  4m 2  8m  4   289m 4  680m3  502m 2  120m  9  0 m  1  . m  3 17  20 Vậy m1  m2   17 Câu 24. Cho hàm số y  x3  6mx  4 có đồ thị  Cm  . Gọi m0 là giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của  Cm  cắt đường tròn tâm I 1;0 , bán kính 2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng A. m0   3; 4  . B. m0  1;2 . C. m0   0;1 . D. m0   2;3 . Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chọn C Ta có: y  3x 2  6m y  0  x 2  2m Hàm số có cực đại, cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt m0 Gọi A 2m ; 4  4m 2m và B  2m ; 4  4m 2m     Phương trình đường thẳng AB : 4mx  y  4  0  Đặt a  d  I , AB  0  a  2 Suy ra S IAB  a 2  a 2    HB  2  a2 1 2 a  2  a2   1  2 Dấu “  ” xảy ra  a  2  a2  a  1 4m  0  4  1  16m2  1  4 m  1 Khi đó d  I ; AB   2 16m  1 15  16m 2  1  16m 2  32m  16  m  32 Câu 25. 1 3 1 2 x  mx  4 x  10 , với m 3 2 là tham số; gọi x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y  P   x12  1 x22  1 bằng A. 4 . B. 1 . C. 0 . Lời giải Tập xác định D  . Đạo hàm y  x 2  mx  4 . Khi đó y  0  x 2  mx  4  0 . D. 9 . Ta có   m 2  16  0 , m   y  0 luôn có hai nghiệm phân biệt m  có hai điểm cực trị x1 , x2 m  . hay hàm số luôn  x1  x2  m Do x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của y  0 nên theo định lý Viet ta có  .  x1.x2  4   P   x12  1 x22  1   x1 x2   x12  x22  1   x1 x2    x1  x2   2 x1 x2  1 2 2 2  16  m 2  8  1   m 2  9  9 , m  . Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 9  m  0 . Câu 26. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số y  x3  3mx 2  3  m 2  1 x  m3 , với m là tham số; gọi  C  là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 của đồ thị  C  luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Xác định hệ số góc k của đường thẳng d. 1 1 A. k   . B. k  . C. k  3 . D. k  3 . 3 3 Lời giải Tập xác định D  . Ta có y  3x 2  6mx  3  m 2  1 và y  6 x  6m . Khi đó y  0  3x 2  6mx  3  m 2  1  0 .   9m2  9  m2  1  9 nên hàm số luôn có hai điểm cực trị 3m  3  m 1. 3 y  m 1  6  m 1  6m  6  0  x  m 1 là điểm cực đại của hàm số x 3m  3  m  1 và 3 x  A  m 1;  3m  2 là điểm cực đại của đồ thị  C  .  xA  m  1  y A  3xA  1 Ta có   y A  3m  2  A luôn thuộc đường thẳng d có phương trình y  3x  1 . Do đó hệ số góc k của đường thẳng d là 3 . Câu 27. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  mx  1 có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x12  x2 2  x1 x2  13 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0   1;7  . B. m0   7;10 . C. m0   15; 7  . D. m0   7; 1 . Lời giải TXĐ: D  R y  3 x 2  6 x  m . Xét y  0  3x 2  6 x  m  0 ;   9  3m . Hàm số có hai điểm cực trị    0  m  3 . m Hai điểm cực trị x1 ; x2 là nghiệm của y  0 nên: x1  x2  2; x1.x2  . 3 2 2 2 Để x1  x2  x1 x2  13   x1  x2   3x1.x1  13  4  m  13  m  9 . Vậy m0  9   15; 7  . Câu 28. 1 1 (THPT Thanh Miện I - Hải Dương 2018) Biết rằng đồ thị hàm số f  x   x3  mx 2  x  2 3 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 7 . Hỏi có mấy giá trị của m ? A. 3 . B. 1 . C. Không có m . D. 2 . Lời giải Có y  x   x2  mx  1 , y  0  x 2  mx  1  0 1 .  Để hàm số có cực trị thì 1 phải có hai nghiệm phân biệt. m  2 Điều này tương đương với   0  m 2  4  0   .  m  2 x  x  m  Gọi hai nghiệm của 1 là x1 , x2 . Khi đó, ta có  1 2 .  x1.x2  1 Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là x1 , x2 . Theo bài ra ta có phương trình: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x12  x22  7   x1  x2   2 x1 x2  7  m 2  2  7  m 2  9  m  3 (thỏa mãn). Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Câu 29. (Phan Đăng Lưu - Huế - 2018) Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f  x    x3  3x  4 và M  x0 ;0 là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt T  4 x0  2015 . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? A. T  2017 . B. T  2019 . C. T  2016 . D. T  2018 . Lời giải Tập xác định: D  . Đạo hàm: f   x   3x 2  3 .  x  1  y  2 Xét f   x   0  3x2  3  0   . Đặt A 1;  2 và B  1;  6 .  x  1  y  6 Ta thấy hai điểm A và B nằm cùng phía với trục hoành. Gọi A 1;2 là điểm đối xứng với điểm A qua trục hoành. Chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm B , M và A thẳng hàng. x  1 2 1 1    x0   M  ;0  . Ta có: AM   x0  1;  2  và AB   2;  8  0 2 8 2 2  1 Vậy T  4.  2015  2017 . 2 Câu 30. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y  x3  3mx 2  4m3 có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 2 4 2 Lời giải x  0 Ta có: y  3x 2  6mx , y  0   .  x  2m Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m  0 . Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  0; 4m3  , B  2m ;0 . Ta có I  m ; 2m3  là trung điểm của đoạn thẳng AB . Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d : x  y  0 . Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì: 3 2 2m  4m  0  1  2m 2  0  m   .  3 2 m  2m  0 Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0 . Câu 31. (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y  x3  5x2   m  4 x  m có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. B.  ;3   3;4 . C.  ;3   3;4 . Lời giải 3 2 2 Ta có y  x  5 x   m  4  x  m   x  1 x  4 x  m A.  .  D.  ; 4 .  Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình y  0 có ba nghiệm phân biệt  x 2  4 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 4  m  0 m  4   . 1  4  m  0 m  3 Câu 32. a a (trong đó là phân số tối giản và a , b * ) là giá trị của tham b b 2 2 số m để hàm số y  x3  mx 2  2  3m2  1 x  có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3 3 2 2 x1 x2  2  x1  x2   1 . Tính giá trị biểu thức S  a  b . A. S  13 . B. S  25 . C. S  10 . D. S  34 . (CTN - LẦN 1 - 2018) Biết Lời giải Tập xác định: D  . Đạo hàm y  2 x 2  2mx  6m2  2 . Hàm số có hai điểm cực trị  2 13 m  13    0  m2  2  6m2  2   0  13m 2  4  0    2 13 m   13   x1  x2  m Theo định lý Viet thì  2  x1 x2  3m  1 m  0 Ta có x1 x2  2  x1  x2   1  3m  1  2m  1  3m  2m  0   m  2 3  2 Chỉ có giá trị m  2 2 thỏa điều kiện, khi đó S  a 2  b 2  22  32  13 . 3 Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x 3  x 2  mx  1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp  5;6   S . A. 2 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Tập xác định: D  R ; y  3x 2  2 x  m . Hàm bậc ba có cực trị khi y   0 có 2 nghiệm phân biệt    1  3m  0  m  1 3 1 .  x  1  1  3m Khi đó y   0    x  1  1  3m Bảng biến thiên: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về phía bên phải trục tung khi Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1  1  3m  0  1  3m  1  m  0 . Kết hợp với 1 ta có m  0 thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho nằm bên phải trục tung. Khi đó S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên âm. Vậy  5;6  S  4; 3; 2; 1   5;6  S có 4 phần tử. Vậy giá trị m cần tìm là m  1 hoặc m  3 . Câu 34.   (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số y   x3  3x 2  3 m 2  1 x  3m 2  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x  2? A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 0 . Lời giải 3 2 2 2 y   x  3x  3  m  1 x  3m  1  y  3x 2  6 x  3  m 2  1 . x  1 m y  0   . x  1 m Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x  2 thì m  0 m  0   1  m  2  m  1 . 1  m  2 m  1   Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 35. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3mx 2  2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1;  2 thẳng hàng. A. m  2 . C. m  2 . B. m   2 . D. m   2 ; m  2 . Lời giải Ta có: y  3x  6mx ; y  0  3x  6mx  0  x  0 , x  2m . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt  2m  0  m  0 . Khi đó hai điểm cực trị là A  0; 2  , B  2m; 2  4m3  . 2 2   Ta có MA   1; 4  , MB  2m  1; 4  4m3 . Ba điểm A , B và M 1;  2 thẳng hàng  MA , MB cùng phương 2 m  1 4  4 m3 2 m  1 1  m3      2m  1  m3  1  m 3  2 m 1 4 1 1 2  m  2  m   2 (do m  0 ). Câu 36. m 3 x   m  1 x 2  3  m  2  x  2 . Hàm 3 số đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1  2 x2  1 khi m  a và m  b . Hãy tính tổng a  b . 8 8 5 5 A.  . B. . C.  . D. . 3 3 2 2 Lời giải Có y  mx2  2  m  1 x  3  m  2 . (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y  Hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn x1  2 x2  1 suy ra x2  2m . m Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Do x2  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 2m m là nghiệm của phương trình mx2  2  m 1 x  3  m  2  0 nên m  2 2  2m  2m  m 2.   2  m  1    3 m  2  0   m m m     3  m  2 Thử lại thấy  đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. m  2 3  8 Vậy a  b  . 3 Câu 37. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho hàm số y  2 x3  3  m  1 x2  6mx  m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB  2 . A. m  0 . B. m  0 hoặc m  2 . C. m  1 . Lời giải D. m  2 . x  1 Ta có y '  6 x2  6  m  1 x  6m . y '  0  x 2   m  1 x  m  0   . x  m Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m  1. Khi đó ta có A 1; m3  3m  1 , B  m;3m 2  . Có AB  2   m  1   m3  3m2  3m  1  2   m  1   m  1  2 . 2 2 2 6 m  0 2   m  1  1   (thỏa mãn yêu cầu bài toán). m  2 Câu 38. (THPT Phú Lương - Thái Nguyên - 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  mx3  3mx 2  3m  3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2 AB 2   OA2  OB 2   20 (trong đó O là gốc tọa độ) A. m  1.  m  1 C.  .  m   17  11 B. m  1 . m  1 D.  .  m   17  11 Lời giải Tập xác định D  R Ta có: y '  3mx 2  6mx Hàm số có hai điểm cực trị  m  0 x  0 Khi đó  y '  0   x  2 Tọa độ điểm cực trị: A  0;3m  3 , B  2; m  3 m  1 Theo giả thiết 2 AB   OA  OB   20  22m  12m  34  0   .  m   17  11 2 2 2 2 Dạng 5. Tìm m để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Một số công thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số y  ax 4  bx 2  c a  0: 1 cực trị: ab  0 1 cực a  0 : 1 cực đại a  0: 3 cực trị: ab  0 1 cực a  0 : 2 cực Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ tiểu đại, 2 cực tiểu đại, 1 cực tiểu  b   b  b4 b b A(0; c), B    ;   , C   ;    AB  AC   , BC  2  2 2a 4a   2a 4a  16a 2a 2a  với   b2  4ac 3  b   Phương trình qua điểm cực trị: BC : y   và AB, AC : y     xc 4a  2a  b3  8a b5 2 Gọi BAC   , luôn có: 8a (1  cos )  b (1  cos )  0  cos  3 và S   b  8a 32a 3 2  Phương trình đường tròn đi qua A, B, C : x 2  y 2   c  n  x  c.n  0, với n   và bán b 4a b3  8a kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R  8ab 3 Câu 1. (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2 . Diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là 1 A. S  3 . B. S  . C. S  1 . D. S  2 . 2 Lời giải Tập xác định D  . x  0  y  2 Ta có y  4 x3  4 x  0    x  1  y  1 Bảng biến thiên Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A  0; 2  , B  1;1 , C 1;1 . 1 1 Nhận xét ABC cân tại A . Vì vậy S  y A  yB . xC  xB  .1.2  1 . 2 2 Câu 2. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Tìm m đề đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba điểm cực trị A  0; 1 , B, C thỏa mãn BC  4? B. m  4 . A. m  2 . Tập xác định: D  C. m  4 . Lời giải D. m   2 . . x  0 . y '  4 x3  4mx  0   2 x  m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  m  0 . Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số: A  0;1 , B     m ;  m2  1 , C  m ;  m2  1 . BC  4  4m  16  m  4. Câu 3. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân 1 1 A. m  3 . B. m  1 . C. m   3 . D. m  1 . 9 9 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Lời giải Chọn D Hàm số y  x 4  2mx 2  1 có tập xác định: D  x  0 Ta có: y '  4 x3  4mx ; y '  0  4 x 3  4mx  0  4 x  x 2  m   0   2  x   m   Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình   có 2 nghiệm phân biệt khác 0  m  0  m  0 . Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là: A  0;1 ; B  m ;1  m2 ; C   Ta có AB   m ; m2 ; AC    m ; m 2    m ;1  m2  Vì ABC vuông cân tại A  AB. AC  0   m2  m2 .m2  0   m  m4  0  m  m4  0  m  1 ( vì m  0 ) Vậy với m  1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Câu 4. (Mã 105 -2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y  x4  2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 . A. 0  m  1 B. m  0 C. 0  m  3 4 Lời giải D. m  1 Chọn A Tập xác định D  Ў y  m O m x m2 B H A x  0 Ta có y  4x3  4mx . y  0  4 x 3  4 mx  0   2 . x  m Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m  0 . Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là O  0; 0  , A     m ; m2 , B  m ; m2 . 1 1 Do đó SOAB  OH.AB  m2 .2 m  m2 m  1  0  m  1. 2 2 Câu 5. (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 2 - 2020) Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m2  m4 có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với D  0; 3 . Số m thuộc khoảng nào sau đây? 1 9 9  A. m   ;  . B. m   ; 2  . 2 5 5  Chọn A Tập xác định: D  1  C. m   1;  . 2  Lời giải D. m  2;3 . . x  0 Ta có y '  4 x 3  4mx  y '  0   2 . x  m  Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  m  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  0; 2m 2  m 4  ; B     m ; m4  3m2 ; C  m ; m4  3m 2 . Gọi I trung điểm của BC  I  0; m 4  3m 2  Vì A, D  Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi  I là trung điểm của AD  2  m 4  3m 2   2m 2  m 4  3  m 4  4m 2  3  0 m2  1  m  1 m  1 m 0  2    m  3 m  3 m   3 Câu 6. . (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2  m  1 x2  m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Số phần tử của tập hợp S là A. 2 . B. 0 . C. 4 . D. 1 . Lời giải 4 2 2 3 • y  x  2  m  1 x  m  y '  4 x  4  m  1 x  4 x  x 2  m  1 . • Hàm số có 3 điểm cực trị  y '  0 có 3 nghiệm phân biệt.  x 2  m  1  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0.  m 1  0 .  m  1 . x   m 1  Khi đó: y '  0   x  0 . x  m 1  • Giả sử A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.    A  m  1;  2m  1 , B  0; m2  , C  AB      m  1;  m  1 , CB   m  1;  m  1 2  m  1;  2m  1 2   m  1 4 m0. ABC vuông tại B  AB.CB  0    m  1   m  1  0   m  0 Câu 7. (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng 2019) Cho hàm số y  x 4  2mx 2  1 1 . Tổng lập phương các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính R  1 bằng 1 5 5 5 A. . B. . C. 2  5 . D. 1  5 . 2 2 Lời giải  TXĐ: D  .  y '  4 x3  4mx  4 x( x2  m).  Để đồ thị hs (1) có 3 điểm cực trị  m  0.  Gọi A(0;1), B( m ; m 2  1), C (  m ; m 2  1) là các điểm cực trị của đồ thị hs (1), I (0; m2  1) là trung điểm BC. Ta có AI  m2 , AB  AC  m  m4 . Suy ra 1 AB. AC.BC 2 AI AI .BC  R 2 4R AB. AC Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023  m  0 (l )  m  1 ( n)   2m 2   1  m 4  2m 2  m  0   m  1  5 (l ) 4 mm 2   1  5 ( n) m   2 Câu 8. (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2m2 x 2  m  4 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều?    A. m  0; 3;  3  B. m  0; 6 3;  6 3 C. m   6  3;  6 3   D. m   3; 3 Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  m  0 . Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là A  0; m  4  , B  m ;  m 4  m  4  , C   m ;  m4  m  4  . Tam giác ABC có AB  AC nên tam giác ABC cân tại A , suy ra tam giác ABC đều m  0 .  AB  BC  m 2  m8  2 m  m8  m 2  4m 2   6 m   3   Kết hợp điều kiện ta được m   6 3; 6 3 . Câu 9. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2m2 x 2  1 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. A. m  1. B. m  1;1 . C. m  1;0;1 . D. m . Lời giải 4 2 2 y  x  2m x  1 . + Cách 1: Hàm số có 3 cực trị  ab  0  2m2  0  m  0 . y   4 x3  4m2 x y   0  4 x 3  4m 2 x  0  4 x  x2  m2   0  y1  1  x1  0    x2  m   y2   m 4  1  x3  m  y3   m 4  1 Giả sử A  0;1 , B  m ;  m 4  1 , C  m ;  m 4  1 là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số. AB   m ;  m 4   AB  m2  m8 . AC    m ;  m 4   AC  m2  m8 . Yêu cầu bài toán  ABC vuông cân tại A  AB  AC m    m 2 1  m6   0  2 8  AB. AC  0 m  m  0  m  0 (l )   m  1 (n) .  m  1(n) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy m  1;1 . + Cách 2: (Áp dụng công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương) 2m2  0 m  0 ab  0  m  0   Yêu cầu bài toán   8a   8  1   6    m  1 ( n) .  1 m  1 3    2m2   m  1(n)  b3    Vậy m  1;1 . Câu 10. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Tìm tất cả các giá trị m sao cho đồ thị hàm số y  x4   m  1 x2  2m 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 . 2 . 3 A. m  1  3 1 C. m   3 . 3 B. m  1  2 , m  1. 3 3 D. m  1 . Lời giải Ta có y  4 x  2  m  1 x  2 x  2 x  m  1 . 3 2 x  0 y  0   2  2 x  m  1 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y  0 có ba nghiệm phân biệt  m  1  0  m  1. Khi đó  m  1  m  12   m  1  m  12  ;  2m  1  , C  ;  2m  1 , là các điểm A  0;  2m 1 , B       2 4 2 4     cực trị của đồ thị. m  1  m  1 Ta thấy AB  AC   nên tam giác ABC cân tại A .  2 16 Từ giả thiết suy ra A  120 . 2   m  1  H Gọi là trung điểm BC , ta có H  0;   2m  1    4   4  m  1 BH  AH tan 60  4 2 . 3  m 1 2 3  m  1 m 1 2 3   3  m  1  8  m  1  3 . 16 2 3 4  Câu 11. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị  C  của hàm số y  x 4  2m2 x 2  m4  5 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S . A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải 3 2 Ta có y  4 x  4m x . Hàm số có cực đại cực tiểu  phương trình y  0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 . Gọi A  0; m 4  5  , B  m;5 , C  m;5 lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC khi đó ta có ba điểm A , I , O thẳng hàng. Mặt khác do hai điểm B và C đối xứng nhau qua AO nên AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC  AB  OB  AB.OB  0 . Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023   Trong đó AB  m; m 4 , OB   m;5 . Ta có phương trình m 2  5m 4  0  m   Câu 12. 5 5 (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m2  m4 có đồ thị  C  . Biết đồ thị C  có ba điểm cực trị A , B , C và ABDC là hình thoi trong đó D  0; 3 , A thuộc trục tung. Khi đó m thuộc khoảng nào? 1 9   1 9 A. m   ; 2  . B. m   1;  . C. m  2;3 . D. m   ;  . 2 5   2 5 Lời giải x  0 Ta có y  4 x x 2  m  y  0   2 ; x  m Với điều kiện m  0 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A  0; m 4  2m 2  ; B  m ; m4  3m2 ;  C      m ; m4  3m2 . Để ABDC là hình thoi điều kiện là BC  AD và trung điểm I của BC trùng với trung điểm J của AD . Do tính đối xứng ta luôn có BC  AD nên chỉ cần I  J với  m 4  2m 2  3  I  0; m 4  3m 2  , J  0; . 2   m  1 1 9  m ;  . ĐK: m 4  2m 2  3  2m 4  6m 2  m 4  4m 2  3  0   2 5 m  3 Câu 13. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hàm số y   x 4  2mx 2  2 có đồ thị  Cm  . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. A. m  3 3 . B. m  3 3 . C. m  1 . D. m  1 . Lời giải Cách 1: Ta có y  4 x3  4mx  4 x  x 2  m  . Để hàm số có ba cực trị thì phương trình y  0 có ba nghiệm phân biệt  4 x  x 2  m   0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 . Gọi A  0; 2 , B  m , m2  2 , C     m , m2  2 là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vì ABC cân tại A nên ABC chỉ có thể vuông tại A  ABAC  0 . Với AB   m ; m2 , AC  m ; m2  m  m4  0  m  m3  1  0  m  1 .     Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh: Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c tạo thành một tam giác vuông khi 8a  b3  0  8m3  8  0  m  1 . Câu 14. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 4 - 2 x 2 + 4 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng A. 1 . C. 2 - 1 . Lời giải B. 2 + 1 . йx = к 3 ў y = 4 x - 4 x = 0 Ы ккx = к клx = uuur AB = (- 1; - 1) Ю AB = D. 2. 0 Ю A(0; 4) - 1 Ю B (- 1;3). 1 Ю C (1;3) uuur 2 ; AC = (1; - 1) Ю AC = Ta có D ABC vuông cân tại A có S = 1 2 uuur 2 ; BC = (2;0) Ю BC = 2 . 2 AB + AC + BC 2 = 1, p = = 2 + 1. 2 ( ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy r = Câu 15. S = p 1 = 2+1 2 - 1. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Cho hàm số y  x4  2  m  4 x2  m  5 có đồ thị  Cm  . Tìm m để  Cm  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. A. m  1 hoặc m  17 . B. m  1 . 2 D. m  C. m  4 . 17 . 2 Lời giải x  0 Ta có y  4 x3  4  m  4 x ; y  0   2 . x  4  m Để hàm số có ba điểm cực trị  m  4 . Khi đó các điểm cực trị của  Cm  là A  0; m  5 , B     4  m; m  5   m  4 , C  4  m; m  5   m  4  . 2 2 Do O là trọng tâm tam giác ABC nên 3  m  5   2  m  4  2 m  1 .   m  17  2 Do m  4 nên m  1 . Câu 16. (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y  x 4  2mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 . A. m  1 . B. 0  m  1 . D. m  0 . C. 0  m  3 4 . Lời giải x  0 . Ta có y  4 x3  4mx ; y  0   2 . x  m Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m  0 . Khi đó ba điểm cực trị là O  0;0 , B  m ;  m2 , Hàm số y  x 4  2mx 2 có TXĐ: D  C   m ;  m2 . Ta giác OBC cân tại O , với I  0;  m 2  trung điểm của BC   1 1 Theo yêu cầu bài toán, ta có: S ABC  OI .BC  m 2 .2 m  1  0  m  1 . 2 2 Câu 17. (Liên Trường - Nghệ An -2018) Gọi m0 là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng A. m0   1;0 . B. m0   2; 1 . C. m0   ; 2 . D. m0   1;0  . Lời giải Ta có: y  x  2mx  1  y  4 x  4mx . x  0 y  0   2 (1).  x  m 4 2 3 Để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  1 có ba điểm cực trị thì y  0 phải có ba nghiệm phân biệt tức là m  0 . x  0 Khi đó 1   nên ta gọi A  0; 1 , B  m ; m2  1 , C m ; m2  1  x   m    Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Tam giác ABC cân tại A nên SABC   m  H  0; m2  1 . Nên: AH  2 2 1 AH .BC với H là trung điểm của BC nên 2  m 2 và BC  2 m  2  2 m . 1 Ta có: SABC  .m 2 .2 m theo giả thiết SABC  4 2 nên m2 m  4 2  m  2 . 2 Câu 18. (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  x4  2  m  1 x2  m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. A. m  0 . B. m  1; m  0 . C. m  1 . D. m  1; m  0 . Lời giải 4 2 Cách 1: Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương y  ax  bx  c có ba điểm cực trị là ab  0  m  1  loại B Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi b3  8a  0  8  m  1  8  0  m  0 . 3 Cách 2: Ta có y  4 x  x 2  m  1 x  0 Xét y  0   2 . Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì m  1 * x  m 1 Tọa độ ba điểm cực trị là A 0; m 2 , B m  1;  2m  1 , C  m  1;  2m  1       Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì H  0;  2m 1 Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi AH  BH  Câu 19.  m  1 4  m  1  m  0 : T / m * . (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho hàm số: y  x 4  2mx 2  m2  m . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành tam giác có một góc bằng 120 . 1 1 1 1 A. m  . B. m  3 . C. m  3 . D. m  . 3 3 3 3 Lời giải 3 2 y  4 x  4mx  4 x  x  m  . Hàm số có ba điểm cực trị  y  0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 . x  0 Khi đó y  0   .  x   m Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A  0; m 2  m  , B     m ; m , C   m ; m . Do ABC cân tại A nên gọi H  0; m  là trung điểm của BC thì AHC vuông tại H . ABC có một góc bằng 120 khi và chỉ khi HAB  HAC  60  HB  AH .tan HAB 1  m  m2 3  m   3 . Bỏ cặp ngoặc. 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 20. (THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018) Đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị này có bán kính bằng 1 thì giá trị của m là: 1 5 1  5 A. m  1; m  . B. m  1; m  . 2 2 1  5 1  5 C. m  1; m  . D. m  1; m  . 2 2 Lời giải y  x  2mx  m  y   4 x  4mx . 4 2 3    Với m  0 ta có ba cực trị A  0;  m  ; B  m ; m2  m ; C  m ; m 2  m . 1 m AB 2 abc  2 m m2  2  2 m 2  m 4  m  m 4  2m 2  m  0 . 2 4 4R m  0  l    m  1 n     m  1  5  n   2   m  1  5  l   2 S ABC  Dạng 6. Tìm m để hàm số bậc 2 trên bậc 1 có cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 1. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm x2  2x  3 số y  . 2x 1 A. y  2 x  2 . B. y  x  1 . C. y  2 x  1 . D. y  1  x . Lời giải Tập xác định D  y  2 x2  2 x  4  2 x  1 2  1 \   .  2  x  1  y  2  , y  0  2 x 2  2 x  4  0   .  x  2   y  1 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M 1; 2  và N  2; 1 . Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị M , N của đồ thị hàm số đã cho là: y  x  1 . Cách khác: Áp dụng tính chất: Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ y  ứng của hàm số là y0  u  x0  u   x0   . Suy ra với bài toán trên ta có phương trình đường thẳng v  x0  v  x0  qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là Câu 2. u  x thì giá trị cực trị tương v  x x y 2  2 x  3  2 x  1  x 1. (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện của tham số m để hàm số y  x 2  mx có cực đại và cực tiểu 1 x là Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 A. m  0 . TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 B. m  1. C. m  2 . Lời giải D. m  2 . Chọn A Điều kiện x  1 .  x2  2x  m x 2  mx  y  Ta có y  . 2 1 x 1  x  x 2  mx có cực đại và cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi 1 x qua hai điểm đó   x 2  2 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1   0 1  m  0    m  1. 1  2  m  0 m  1 Vậy m  1 thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu. Không có đáp án hoặc chọn A. Hàm số y  Câu 3. (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ x 2  mx  2m thị hàm số y  có x 1 hai điểm cực trị A , B và tam giác OAB vuông tại O . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 9 . B. 1 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn A x2  2 x  m y  , x  1 . Đặt f  x   x2  2 x  m , h  x   x2  mx  2m , g  x   x  1 . 2  x  1 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A , B khi f  x  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 h  x1   y ( x1 )   2 x1  m    m  1  0 g   x1    m  1 1 . Khi đó  khác 1   .  f  1   m  1  0  y ( x )  h  x2   2 x  m 2  2 g   x2   Suy ra A x1 ; 2 x1  m , B x2 ; 2 x2  m . Suy ra OA  x1 ; 2 x1  m , OB x2 ; 2 x2  m .          OA, OB  0  2  . OAB vuông tại O khi  OA . OB  x . x  2 x  m 2 x  m  0 3       1 2 1 2  2 3  m  5x1.x2  2m  x1  x2   0 . Kết hợp với định lí Vi-et cho phương trình f  x   0 ta  m  0  kh«ngthбam· n  2  được m2  5m  4m  0    S  9 .  m  9  thбam· n 1 ,  2  Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 9. Câu 4. x2  2x  m (với m là x2 tham số thực) có hai điểm cực trị là A, B . Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O  0;0 đến đường thẳng AB . 2 3 1 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Biết rằng đồ thị  H  : y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x y + Phương trình của đường thẳng AB là + Khoảng cách d  O; AB   Câu 5. 2.0  0  2 22   1 2  2x  m 2  x  2 / /  y  2x  2  2x  y  2  0 . 2 . 5  (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ x 2  mx  m2 thị hàm số y  có hai điểm cực trị A, B . Khi AOB  90 thì tổng bình phương tất x 1 cả các phần tử của S bằng: 1 1 A. . B. 8 . C. . D. 16 . 16 8 y   2 x  m  x  1  x 2  x  1 2  mx  m Lời giải x  2 x   m  m2  2 2   x  1 2 Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thì y  0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 2   1  m  m  0 1   m  . 2 1  m  m  0 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là y A  2 x  m . Gọi x A ; xB là hoành độ của A , B khi đó x A ; xB là nghiệm của x 2  2 x   m  m 2  . Theo định lí Viet ta có xA  xB  2 ; x A .xB  m 2  m . y A  2 xA  m ; yB  2 xB  m . AOB  90  xA .xB  y A . yB  0  xA xB  4 xA xB  2m  xA  xB   m2  0 1  5  m 2  m   4m  m 2  0  4m 2  m  0  m  0; m   . 4 2 1  1 Tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng: 0      .  4  16 2 Câu 6. (Chuyên KHTN - 2018) Với tham số m , đồ thị của hàm số y  B và AB  5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m  2 . B. 0  m  1 . Ta có D  x 2  mx có hai điểm cực trị A , x 1 C. 1  m  2 . Lời giải 2 x  2x  m . \ 1 và có đạo hàm là y  2  x  1 D. m  0 . 1  m  0 Để hàm số có hai điểm cực trị ta phải có   m  1 . 1  2  m  0  x  x  2 Gọi hai hoành độ cực trị là x1 và x2 ta có  1 2 .  x1 x2  m Khi đó điểm A  x1 , 2 x1  m  và B  x2 , 2 x2  m . AB  4  4m. 5  5  4  4m  5  m  1 . 4 Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 x  m x4 2 Câu 7. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hàm số y  x m . Biết rằng đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phân biệt là A , B . Tìm số giá trị m sao cho ba điểm A , B , C  4; 2  phân biệt và thẳng hàng. A. 0 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Tập xác định D  \  m  . Ta có y  y  1  x2  m x  4 x m 4 x  m  2  x 4 . x m x  2  m , x  D , y  0   .  x  2  m Tọa độ hai điểm cực trị là B  2  m ; 4  m  , A  2  m ; 4  m  . AB   4;8  , AC   6  m ;6  m  . Câu 8. 6  m  4 k   AC  k AB Ba điểm A , B , C  4; 2  phân biệt và thẳng hàng    6  m  8k (vô nghiệm). 6  m  0  6  m  0 Vậy không có giá trị m nào thỏa mãn. x 2  mx  1 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Giá trị của tham số m để hàm số y  đạt xm cực đại tại điểm x0  2 là: A. m  1. B. m  3 . C. m  1 . D. m  3 . Lời giải 1 2 y '  1 ; y ''  . 2 3  x  m  x  m 1  1 0 2   y '  2   0 2  m   x 2  mx  1   Hàm số y  đạt cực đại tại điểm x0  2 khi  xm  y ''  2   0  2 0   2  m 3    m  1     m  3  m  3 . Thử lại thấy thỏa mãn. m  2  Câu 9. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số y  đại và cực tiểu, điều kiện của tham số m là:  m  1 A.  B. 1  m  2 . m  2 Điều kiện: x  m . x 2  2mx  2m2  m  2 Đạo hàm y  . 2 2  x  m x 2  2mx  m  2 . Để hàm số có cực 2 x  2m C. 2  m  1.  m  2 D.  . m  1 Lời giải Để hàm số có cực đại và cực tiểu, thì y   0  x 2  2mx  2m 2  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt khác m . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 1  m  2   m  m  2  0 Ta có:  2  1  m  2 .   2 2 m  m  2  0 m  2m.m  2m  m  2  0  Câu 10. (Chuyên Nguyễn Dình Triểu - Dồng Tháp - 2018) Để hàm số y = x = 2 thì m thuộc khoảng nảo? A. (0;2). B. (- 4; - 2). x 2 + mx + 1 đạt cực đại tại x+m D. (2; 4). C. (- 2; 0). Lời giải TXĐ: D = Ў \ {- m } y  x 2  2mx  m2  1  x  m 2 , y  2  x  m 3  m 2  4m  3 0  2  y  2   0   m  2   m  3 thuộc (- 4; - 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên   2  y  2   0 0   m  2 3  Câu 11. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số y  x  p  q đạt cực đại tại điểm A  2; 2 . x 1 Tính pq . B. pq  A. pq  2 . 1 . 2 C. pq  3 . D. pq  1 . Lời giải Chọn D Tập xác định D  \ 1 . Ta có y  1  q .  x  1 Hàm số đạt cực đại tại x  2 , suy ra y  2  0  0  1  q  q  1 . Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm A  2; 2 nên 2  2  p  q  p  q  0 . 2 Do đó p  q  1 . Thử lại: với p  q  1 ta được y  x  1  Ta có y  1  1  x  1 2  x2  2x  x  1 2 1 . x 1 x  0 .  0  x2  2x  0    x  2 Từ đó có bảng biến thiên của hàm số: x -1 -2 + y' 0 0 - - 0 + +∞ -2 +∞ y -∞ -∞ 2 Rõ ràng đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm A  2; 2 . Vậy p  q  1  pq  1 . Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 x  mx  1 ( với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xm có giá trị cực đại là 7. A. m  7 . B. m  5 . C. m  9 . D. m  5 . Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số là: D  \ m Câu 12. Cho hàm số y  y 2 x 2  mx  1 x 2  2mx  m 2  1  y  2 xm  x  m  x  m  x  m  x  m  1  y  0   2    x  m  1   2  x  2mx  m  1  0   x  m  1  x  m  1  Bảng biến thiên x -m-1 -∞ y' + -m 0 -m+1 0 +∞ yCĐ +∞ + +∞ y -∞ -∞ yCT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  m 1 . Vậy y  m  1  7   m  2  7  m   9 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51

File-đáp-án (1)

Related documents

Products

Support

File-đáp-án (1)

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib