Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
ĐÁP ÁN ĐỀ 4 THI CUỐI KỲ 2 LỚP 11
Câu 1.
4n2 + 3n + 1
Giá trị của. B = lim
bằng:
(3n − 1)2
A. + .
B. − .
C.
Lời giải
4
.
9
D. 1 .
Chọn C
4
B= .
9
Câu 2.
Giới hạn: lim
x →5
3x + 1 − 4
có giá trị bằng:
3− x + 4
9
A. − .
4
B. −3 .
3
D. − .
8
C. −18 .
Lời giải
Chọn A
Ta có lim
x →5
Câu 3.
(
(
)
)
)
−3 3 + x + 4
( 3x + 1) − 16  3 + x + 4
3x + 1 − 4
−18
9
= lim
=
=− .
= lim
x →5
8
4
3x + 1 + 4
3 − x + 4 x→5 9 − ( x + 4 )  3x + 1 + 4
(
2 x2 − x + 1
Tìm giới hạn hàm số lim
.
x →−
x+2
A. + .
B. − .
C. −2 .
Lời giải
D. 1 .
Chọn B
2 x2 − x + 1
lim
= − .
x →−
x+2
Câu 4.
 x2 + 5x + 6

Biết rằng hàm số f ( x ) =  x + 2
 mx + n

trị của m bằng
A.
n
2
B.
n +1
2
khi
x  −2
khi
x  −2
liên tục trên
C.
n −1
2
và n là một số thực tùy ý. Giá
D. 1
Lời giải
Chọn C
Ta có lim + f ( x ) = lim +
x →( −2 )
x →( −2 )
x2 + 5x + 6
= lim + ( x + 3) = −1 .
x → ( −2 )
x+2
lim − f ( x ) = lim − ( mx + n ) = −2m + n .
x → ( −2 )
x → ( −2 )
f ( −2 ) = −2m + n .
Trang 1/12
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Để hàm số liên tục tại x = −2 thì lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = f ( −2 )  −2m + n = 1  m =
x → ( −2 )
x → ( −2 )
n −1
.
2
 x3 − 1
khi x  1
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) =  x − 1
. Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm x0 = 1 là:
2m + 1 khi x = 1

1
A. m = − .
B. m = 2 .
C. m = 1.
D. m = 0 .
2
Lời giải
Chọn C
Ta có f (1) = 2m + 1
lim y = lim
x →1
Câu 6.
x →1
x3 − 1
= lim( x 2 + x + 1) = 3
x − 1 x →1
 x 2 − 16
khi x  4

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x ) =  x − 4
liên tục trên
mx + 1 khi x  4

7
7
A. m = 8 hoặc m = − .
B. m = .
4
4
7
7
C. m = − .
D. m = −8 hoặc m = .
4
4
Lời giải
Chọn B
Trên các khoảng ( −; 4 ) và ( 4; +  ) thì hàm số được xác định bởi biểu thức f ( x ) =
đó, nó liên tục trên các khoảng này.
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục tại điểm x = 4 . Ta có:
lim f ( x ) = lim
x→4
x →4
x 2 − 16
= lim ( x + 4 ) = 8 .
x →4
x−4
f ( 4 ) = 4m + 1 .
 lim f ( x ) = f ( 4 )  4m + 1 = 8  m =
x →4
Vậy giá trị cần tìm của m là m =
Câu 7.
7
.
4
7
.
4
Đạo hàm của hàm số y = ( x 3 − 2 x 2 ) bằng:
2
A. 6 x5 − 20 x 4 − 16 x3 .
C. 6 x5 + 16 x3 .
B. 6 x5 − 20 x 4 + 4 x3 .
D. 6 x5 − 20 x 4 + 16 x3 .
Lời giải
Chọn D
y = 2 ( x3 − 2 x 2 ) . ( x3 − 2 x 2 ) = 2 ( x3 − 2 x 2 )( 3x 2 − 4 x ) = 6 x5 − 20 x4 + 16 x3 .
Câu 8.
Trang 2/12
'
Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 3 . Tính giá trị của biểu thức S = f (1) + 4 f (1) .
A. S = 4 .
B. S = 2 .
C. S = 6 .
D. S = 8 .
.
x 2 − 16
. Do
x−4
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Lời giải
Chọn A
x
2
'
Ta có: f ( x ) = x + 3  f ( x ) =
x2 + 3
.
'
Vậy S = f (1) + 4 f (1) = 4 .
Câu 9.
Đạo hàm của hàm số y =
A.
2x
(2 − x )
2 2
.
1 − x2
bằng biểu thức nào sau đây?
2 − x2
2x
2
B. −
.
C. −
.
2
2 2
(2 − x )
( 2 − x2 )
D. −
1
(2 − x )
2 2
.
Lời giải
Chọn B
 u  u.v − v.u
Áp dụng công thức   =
.
v2
v
1 − x ) ( 2 − x ) − ( 2 − x ) (1 − x )
(
−2 x
=
y =
(2 − x )
(2 − x )
2
Ta có:
2
2
2
2 2
2 2
.
Câu 10. Đạo hàm của hàm số y = ( 2 x − 1) x 2 + x là
A. y ' =
8x2 + 4 x −1
2 x2 + x
B. y ' =
.
8x 2 + 4 x + 1
2 x2 + x
C. y ' =
.
4x + 1
2 x2 + x
.
D. y ' =
6x2 + 2x −1
2 x2 + x
.
Lời giải
Chọn A
Ta có: y ' = 2 x 2 + x +
( 2 x − 1)( 2 x + 1)
2 x2 + x
4 x2 + 4 x + 4 x2 −1 8x2 + 4 x −1
=
=
.
2 x2 + x
2 x2 + x
Vậy y ' =
8x2 + 4 x −1
2 x2 + x
Câu 11. Cho hàm số y =
A.  −1;5 .
.
1 3
x − 2 x 2 − 5 x . Tập nghiệm của bất phương trình y  0 là
3
C. ( −; −1)  ( 5; + ) .
B.  .
D. ( −; −1  5; + ) .
Lời giải
Chọn D
y=
1 3
x − 2 x 2 − 5 x  y = x 2 − 4 x − 5
3
y  0
 x 2 − 4 x − 5  0  x  ( −; −1  5; + ) .
Trang 3/12
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Câu 12. Cho hàm số y = x3 + 2 x 2 + 1 có đồ thị là ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M (1; 4 ) là:
A. y = 3x + 1 .
B. y = 7 x − 3 .
C. y = 7 x + 2 .
D. y = − x + 5 .
Lời giải
Chọn B
Ta có y = 3x 2 + 4 x . Do đó y (1) = 7 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; 4 ) là y = 7 x − 3 .
Câu 13. Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số ( C ) : y = x 2 + x + 1 . Tiếp tuyến của ( C ) tại
M có phương trình là
1
A. y = x + 1 .
2
1
B. y = − x + 1 .
2
C. y = − x + 1 .
D. y = x + 1 .
Lời giải
Chọn A
Ta có y =
2x +1
2 x2 + x + 1
.
1
 
 y ( 0) =
x0 = 0  
2
 y0 = 1
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( 0;1) có dạng
1
1
( x − 0) + 1  y = x + 1.
2
2
2x + 2
Câu 14. Cho hàm số y =
có đồ thị là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến song
x −1
song với đường thẳng d : y = −4 x + 1 .
A.  : y = −4 x + 2 ;  : y = −4 x + 1
B.  : y = −4 x + 2 ;  : y = −4 x + 7
C.  : y = −4 x + 6 ;  : y = −4 x + 14
D.  : y = −4 x + 2 ;  : y = −4 x + 14
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định với mọi x  1 .
−4
Ta có: y ' =
( x − 1)2
Tiệm cận đứng: x = 1 ; tiệm cận ngang: y = 2 ; tâm đối xứng I(1; 2)
y=
Gọi M( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C ) :
2 x0 + 2
−4
.
(
x
−
x
)
+
0
x0 − 1
( x0 − 1)2
Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y = −4 x + 1 nên ta có:
:y=
y '( x0 ) = −4 
−4
= −4  x0 = 0, x0 = 2 .
( x0 − 1)2
* x0 = 0  y0 = 2   : y = −4x + 2
* x0 = 2  y0 = 6   : y = −4x + 14 .
Trang 4/12
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Câu 15. Cho hàm số y =
2x +1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường
x −1
1
thẳng y = x + 2
3
A. y = −3x − 11 hay y = −3x + 11
C. y = −3x − 1 hay y = −3x + 1
B. y = −3x − 11 hay y = −3x + 1
D. y = −3x − 1 hay y = −3x + 11
Lời giải
Chọn D
−3
. Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( x − 1) 2
1
−3
y = x + 2 nên ta có y '( x0 ) = −3 
= −3  x0 = 0, x0 = 2
3
( x0 − 1) 2
• x0 = 0  y0 = −1 , phương trình tiếp tuyến là: y = −3x − 1
• x0 = 2  y0 = 5 , phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − 2) + 5 = −3x + 11 .
Câu 16. Cho tứ diện ABCD Gọi E là trung điểm AD , F là trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác
BCD .Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Ta có y ' =
A. EB + EC + ED = 3EG .
C. AB + AC + AD = 3 AG .
B. GA + GB + GC + GD = 0 .
D. 2EF = AB + DC .
Lời giải
Chọn B
A
E
G
B
D
F
C
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên với điểm M bất kỳ ta có:
MB + MC + MD = 3MG .
* Thay M bằng E ta được phương án A  A đúng.
* Do G là trọng tâm tam giác BCD nên GB + GC + GD = 0  B sai vì GD  0 do G  D .
* Thay M bằng A ta được phương án C  C sai.
(
)
* Do E là trung điểm AD , F là trung điểm BC nên: EA + ED = 0 ; FB + FC = − BF + CF = 0 .
 AB = AE + EF + FB
 AB + DC = 2 E F  D đúng.
Có 
 DC = DE + EF + FB
Câu 17. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD = d .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a + c = d + b .
B. a + b = c + d .
C. a + d = b + c .
D. a + b + c + d = 0 .
Lời giải
S
Chọn A
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:
d
a
 SA + SC = 2 SO
c
b
(do tính chất của đường trung tuyến)

A
D
 SB + SD = 2 SO
O
B
Trang 5/12
C
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
 SA + SC = SB + SD  a + c = d + b .
Câu 18. Cho hình lập phương ABCD.ABCD . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng:
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Lời giải

A
D
B
C
A
D
B
C
Có CD //AB  ( BA, CD ) = ( BA, BA ) = ABA = 45 .
Câu 19. Cho tứ diện S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC )
. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB và SC . Khẳng định nào sau đây
sai ?
A. AM ⊥ SC .
B. AM ⊥ MN .
C. AN ⊥ SB .
D. SA ⊥ BC .
Lời giải
Chọn C
S
N
M
A
B
C
Ta có: SA ⊥ ( ABC )  SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB  BC ⊥ ( SAB ) , AM  ( SAB )  BC ⊥ AM .
 AM ⊥ SB
 AM ⊥ ( SBC )  AM ⊥ SC  Đáp án A đúng.
Vậy 
 AM ⊥ BC
 AM ⊥ ( SBC )
 AM ⊥ MN  Đáp án B đúng.
Vì 
MN

SBC
(
)

SA ⊥ ( ABC )  SA ⊥ BC  Đáp án D đúng.
Vậy C sai.
Câu 20. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( P ) , trong đó a ⊥ ( P ) . Chọn mệnh đề sai.
A. Nếu b // a thì b // ( P ) .
B. Nếu b // a thì b ⊥ ( P ) .
C. Nếu b ⊥ ( P ) thì b // a .
D. Nếu b // ( P ) thì b ⊥ a .
Lời giải
Nếu a ⊥ ( P ) và b // a thì b ⊥ ( P ) .
Trang 6/12
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Câu 21. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD) .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. CD ⊥ ( SBC ) .
C. BC ⊥ (SAB) .
B. SA ⊥ ( ABC ) .
D. BD ⊥ ( SAC ) .
Lời giải
Chọn A
S
D
A
O
B
C
Từ giả thiết, ta có : SA ⊥ ( ABC )  B đúng.
 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( SAB)  C đúng.
Ta có : 
 BC ⊥ SA
 BD ⊥ AC
 BD ⊥ ( SAC )  D đúng.
Ta có: 
 BD ⊥ SA
Do đó: A sai. Chọn A.
Nhận xét: Ta có cũng có thể giải như sau:
CD ⊥ AD
 CD ⊥ ( SAD)

CD ⊥ SA
Mà ( SCD) và ( SAD) không song song hay
Trùng nhau nên CD ⊥ (SCD) là sai. Chọn
A.
Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2. Tính góc giữa SC và
mặt phẳng ( ABCD ) .
A. 300 .
B. 450 .
C. 600 .
Lời giải
D. 900 .
S
a 2
A
D
a
B
a
C
Trang 7/12
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
( SC , ( ABCD ) ) = ( SC , AC ) = SCA.
Trong tam giác vuông SAC có SA = AC = a 2  SCA = 450.
Câu 23. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Mặt
phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng ( SBD ) ?
A. ( SBC ) .
B. ( SAD ) .
C. ( SCD ) .
D. ( SAC ) .
Lời giải
Chọn D
 AC ⊥ BD
 AC ⊥ ( SBD )  ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .
Ta có 
 AC ⊥ SB
Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng
a 2
. Tang của góc giữa mặt
2
bên và mặt đáy bằng:
A. 1 .
B.
1
.
3
C.
3.
D.
Lời giải
S
B
E
A
Trang 8/12
C
O
D
3
.
4
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
SEO ; EO =
a 2
2
SO
Xét SEO vuông tại O , ta có tan SEO =
=1.
EO
Câu 25. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng ( A ' BC ) bằng
A.
a 3
4
B.
a 21
7
a 2
2
Lời giải
C.
D.
a 6
4
Chọn B
Gọi M là trung điểm của BC , AM =
a 3
, BC ⊥ ( A ' AM ) .
2
Kẻ AH ⊥ A ' M , suy ra AH ⊥ ( A ' BC ) và AH = d ( A, ( A ' BC ) )
Xét tam giác A ' AM vuông tại A , ta có:
Vậy d ( A, ( A ' BC ) ) =
1
1
1
a 21
=
+
 AH =
2
2
2
AH
AA '
AM
7
a 21
7
Câu 26. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.
a
.
2
B. a .
C.
a 6
.
3
D.
a 2
.
2
Lời giải
Chọn D
Trang 9/12
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
S
H
A
C
B
Kẻ AH ⊥ SB trong mặt phẳng ( SBC )
 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AH
Ta có: 
 BC ⊥ SA
 AH ⊥ BC
1
a 2
 AH ⊥ ( SBC )  d ( A, ( SBC ) ) = AH = SB =
Vậy 
.
2
2
 AH ⊥ SB
II. TỰ LUẬN
Câu 27. Cho hàm số f ( x ) = ax 3 +
b
có f  (1) = 1, f  ( −2 ) = −2 . Tính f 
x
( 2).
Lời giải
1

 f  (1) = 3a − b
3a − b = 1
a
=
−



b

5.
f  ( x ) = 3ax 2 − 2  

b 
b

x
12
a
−
=
−
2
−
8
f
−
2
=
12
a
−
 ( )

b =

4

4


f
5
( 2 ) = 6a − b2 = − 52 .
Câu 28. Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x +1
biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
x −1
y = −3x .
Lời giải
Gọi  là tiếp tuyến cần tìm
Tiếp tuyến  song song với đường thẳng y = −3x suy ra hệ số góc của tiếp tuyến  là k = −3.
Tiếp tuyến  tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có phương trình dạng y = −3 ( x − x0 ) + y0 .
Ta có y =
−3
( x − 1)
y ( x0 ) = k 
2
.
 x0 = 2
= −3  
.
( x0 − 1)
 x0 = 0
−3
2
+ Với x0 = 2  y0 = 5  M 0 ( 2;5 )
 Tiếp tuyến  : y = −3 ( x − 2 ) + 5  y = −3x + 11.
+ Với x0 = 0  y0 = −1  M 0 ( 0; − 1)
Trang 10/12

Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Tiếp tuyến  : y = −3 ( x − 0 ) − 1  y = −3x − 1 .
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là y = −3x + 11 và y = −3x − 1.
a + c  b + 1
Câu 29. Cho các số thực a , b , c thỏa mãn 
. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
a + b + c + 1  0
y = x3 + ax 2 + bx + c và trục Ox .
Lời giải
Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên
thị hàm số với trục Ox nhiều nhất là 3 .
và số giao điểm của đồ
Theo đề bài ta có lim y = − , lim y = +
x →−
x →+
y ( −1) = a + c − b − 1  0 , y (1) = a + b + c + 1  0 ,
Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng ( −; −1) , ( −1;1) , (1; + ) .
Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3 .
Câu 30. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a , ABC = 60 , SA ⊥ ( ABCD ) , SA =
3a
.
2
a) Chứng minh DB ⊥ SC
b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC )
Lời giải
a) chứng minh DB ⊥ ( SAC )  DB ⊥ SC
b) Xét ABC đều do ABC = 60 và AB = BC .
Lấy I là trung điểm BC , kẻ AH ⊥ SI tại H .
Ta có: AI ⊥ BC , mà BC ⊥ SA  BC ⊥ ( SAI ) , AH  ( SAI )  BC ⊥ AH .
Từ và  AH ⊥ ( SBC ) tại H  AH = d ( A, ( SBC ) ) .
Ta có: ABC đều cạnh a  AI =
a 3
.
2
Xét SAI vuông tại A có:
1
1
1
4
4
16
3a
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2  AH =
= d ( A, ( SBC ) ) .
2
AH
SA
AI
9a 3a
9a
4
Trang 11/12
Gv: Lê Hồng Nam – THPT Đông Hà
Ta có:
d ( O, ( SBC ) )
d ( A, ( SBC ) )
Trang 12/12
=
OC 1
1
3a
=  d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = .
AC 2
2
8