Universidad Anáhuac México Norte
Facultad de Ciencias Actuariales
Procesos Estocásticos
Profesor: M. en C. José Alberto Miranda Campos
Lista de ejercicios 1
Repaso
1. Determine completamente un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) para el experimento aleatorio de:
a) lanzar una moneda equilibrada.
b) lanzar un dado equilibrado.
c) escoger al azar un número real dentro del intervalo unitario [0, 1].
d ) extraer dos bolas de una urna en donde hay dos bolas blancas y dos negras.
2. Sean A, B ⊆ Ω. Demuestre que
∁
∁
σ (A, B) = σ A − B, A ∩ B, B − A, A ∩ B .
Lo que este resultado nos dice es que podemos obtener la sigma-álgebra generada
por dos conjuntos, construyendo la sigma-álgebra generada por la partición del
espacio que estos dos conjuntos inducen. Esto es muy útil, ya que en el caso general
la sigma álgebra generada por una partición del espacio muestral se obtiene como
todas las posibles uniones de dicha partición, como se enuncia en el siguiente
ejercicio.
3. Sea (Gj )j=1, ..., n una partición del espacio muestral Ω. Demuestre que
σ (G1 , . . . , Gn ) = {A ⊆ Ω : A = ∅ o A = ∪j∈J Gj donde J ⊆ {1, . . . , n}} .
4. Un estudiante contesta un examen de opción múltiple, en el cual cada pregunta
tiene cuatro opciones como respuesta pero sólo una es correcta. Cuando el estudiante conoce la respuesta correcta, la selecciona, en caso contrario, selecciona una
de las opciones al azar. Suponga que con probabilidad 0.6 el estudiante conoce la
respuesta correcta de cualquiera de las preguntas. Calcule la probabilidad de que
el estudiante tenga correcta una de las preguntas escogida al azar.
Sugerencia: Utilice el teorema de la probabilidad total.
5. En una cierta población, el 70 % de los individuos son hombres y el 30 % son
mujeres. Se sabe que el 40 % de los hombres de esa población fuma, mientras que
de las mujeres lo hace el 60 %. Si se observa que un individuo de dicha población
está fumando, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea una mujer?
Sugerencia: Utilice la regla de Bayes.
6. Demuestre que:
a) La función identidad X (ω) = ω no es F-medible cuando Ω = {1, 2, 3} y
F = {∅, {1} , {2, 3} , Ω} .
1
b) La función identidad X (ω) = ω no es F-medible cuando Ω = {−1, 0, 1} y
F = {∅, {0} , {−1, 1} , Ω}; pero X 2 sí es F-medible.
7. Demuestre que cualquier función medible respecto de la σ-álgebra {∅, Ω} es constante.
8. La función de densidad no siempre existe. Sea X una variable aleatoria con distribución normal estándar, y defina Y = máx (0, X) . Obtenga la función de
distribución de Y y concluya que no tiene función densidad.
9. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de densidad f (x, y) = 8xy, para
0 < x < y < 1. Calcule:
a) fX (x) y fY (y).
b) FXY (x, y) .
c) FX (x) y FY (y).
d ) fX|Y (x|y) y E (X|Y ).
e) fY |X (y|x) y E (Y |X) .
10. Determine si las siguientes son funciones de densidad de variables aleatorias independientes:
1
a) f (x, y) = , para 0 < x < a, 0 < y < b.
ab
b) f (x, y) = 2e−x−y , para 0 < x < y.
3 (x2 + y 2 )
, para x, y ∈ [−1, 1].
8
11. En un día cualquiera, el número de accidentes en cierta carretera tiene una distribución Poisson con parámetro λ. El parámetro λ varía día con día y es en sí
mismo una variable aleatoria. Encuentra la media y la varianza del número de
accidentes por día cuando λ se distribuye uniformemente sobre (0, 3) .
c) f (x, y) =
12. La distribución exponencial no tiene memoria. Sea X con distribución
exp (λ) y sea t > 0 fijo. Demuestre que la distribución condicional de X − t, dado
que X ≥ t, sigue siendo exp (λ).
Integral de Riemann-Stieltjes
1. Utilice las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes para demostrar: Sea
f (x) una función con primer derivada continua en R. Demuestre que para todo
n ∈ N se tiene
Z b
1
f n+1 (b) − f n+1 (a) .
f n (x) df (x) =
n+1
a
2. Sean h (x) y F (x) dos funciones para las cuales la integral de Riemann-Stieltjes
está bien definida. Si F una función constante por pedazos: En los puntos a < x1 <
x2 < . . . < xN < b , la función tiene saltos positivos de tamaño p (x1 ) , p (x2 ) , . . . , p (xn )
2
respectivamente. Explique intuitivamente (puede apoyarse de gráficos) por qué se
da la siguiente igualdad
Z
b
h (x) dF (x) =
a
N
X
h (xi ) p (xi ).
i=1
3. Explique brevemente, cuáles propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes justifican la siguiente igualdad:
X


Z ∞
 xP (X = x), si X discreta,
E (X) =
xdFX (x) = Zx ∞

−∞

xf (x) dx,
si X absolutamente continua.

−∞
Ideas preliminares de procesos estocásticos
1. De tres ejemplos de fenómenos del mundo real que sean suceptibles a ser modelados por procesos estocásticos; diga con precisión: Xt estado del proceso al tiempo
t, T espacio parametral y S espacio de estados.
2. Sean X0 , X1 , . . . v.a. i.i.d Ber(p). Determine si el proceso {Xn : n = 0, 1, . . .}
a) tiene incrementos independientes.
b) tiene incrementos estacionarios.
c) es una martingala.
d ) cumple la propiedad de Markov.
3. Sea X una variable aleatoria con distribución Ber(p). Para cada t ≥ 0 defina la
variable
(
cos (πt) si X = 0,
Xt =
sin (πt) si X = 1.
a) Dibuje todas las trayectorias del proceso {Xt : t ≥ 0} .
b) Calcule la distribución de Xt .
c) Calcule E (Xt ) .
4. Demuestre que todo proceso a tiempo discreto {Xn : n = 0, 1, . . .} con incrementos independientes cumple la propiedad de Markov.
3