lOMoARcPSD|18725244
Bài tập môn giải tích II - bài tập giải tích 2 khóa k16 trường
đại
Cơ bản công nghệ thông tin (Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội)
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
2012
BÀI TẬP GIẢI TÍCH II
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt,
phương trình vi phân.
Tạ Ngọc Ánh
Bộ môn Toán - Khoa CNTT - HVKTQS
(Sưu tầm và biên soạn)
1
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1. Tìm tập xác định của hàm số
b) u  1  x 2  1  y 2
a) u  x  y
2. Tìm giới hạn của hàm số
x2  y2
a) u  2
khi ( x; y )  (0;0)
x  y2
 xy 
c) u   2
2 
x y 
x
e) u  ( x 2  y 2 ) x
y
2 2
xy 2
b) u  2
khi ( x; y )  (0;0)
x  y4
khi ( x; y )  (; )
d) u  ( x  y ) sin
khi ( x, y )  (0;0)
f) u 
3. Xét tính liên tục của các hàm số
ln( x  e y )
 x2 y
khi ( x, y )  (0, 0)

b) u   x 4  y 2
0
khi ( x, y )  (0, 0)

  x 21y 2

khi xy  0
a) u  e
khi xy  0
0
4. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số
b) u  x y
a) u  ln( x  x 2  y 2 )
5. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại O(0;0)
2
c) u  e xz x  y
 x3  2 y3
khi ( x; y )  (0; 0)

a) u   x 2  y 2
0
khi ( x; y )  (0; 0)

6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
b) u 
1
khi ( x; y )  (0;0) .
xy
khi ( x, y )  (0;0)
x2  y 2
sin xy
h) u 
khi ( x, y )  (0;3)
x
g) u  ( x 2  y 2 ) ( x  y ) khi ( x; y )  (; )
a) u  x  2 y 2  3xyz
d) u  ln xy
c) u  x 2  y 2  1
d) u  e cos
2
x  xy
( x  y )e x  y khi ( x; y )  (0; 0)
b) u  
khi ( x; y )  (0;0)
0
xy
x  3y
c) u  arcsin
x
y
d) u  ln( x  y 2 )
7. Kiểm tra xem hàm số u  3 x3  y 3 có khả vi tại O(0;0) hay không ?
8. Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
1.01
a) ln( 3 1.03  4 0.981)
b) arctan
c) 1.023  1.973
0.99
9. Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ẩn xác định bởi phương trình
b) ( x 2  y 2 ) 2  3 x 2 y  y 3 tính y '(0) biết y (0)  0
a) xe y  ye x  e xy  0
d) xe x  y 2 e y  ze z  0
e) xe y  yz  ze xy  0 tại điểm (1;1)
10. Tính các đạo hàm riêng cấp hai
a) u  ln( x  x  y 2 )
e) u  arctan( x  y 2 )
b) u  x 3 ln( x  y )
c) u  e x ln y  sin y.ln x
c) x  y  z  e z
d) u  x 4  y 4  xy 3
x2  y2
khi ( x, y )  (0;0) và f (0;0)  0 . Tính đạo hàm riêng f xy'' (0; 0) và f yx'' (0; 0) . Chỉ ra
2
2
x y
''
''
rằng f xy (0; 0)  f yx (0; 0) .
12. Tính vi phân cấp hai của hàm số
11. Cho f ( x, y )  xy
2
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
a) u  x 4  3xy 2  y 3
b) u  x 2  y 2  z 2 , chứng minh d 2u  0 .
c) u  x 2  y 2  3 z 3  xy  3 xz tại điểm M (1;1;1) , tìm ma trận của dạng toàn phương d 2 u ( M ) với các
biến dx, dy , dz .
13. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba
a) u  e x sin y
b) y  ln(1  x  y )
c) u  sin( x 2  y 2 )
14. Chứng minh
a) y.z 'x  x.z ' y  0 với z  f ( x 2  y 2 ) và f (t ) là hàm khả vi.
( xy ) 2
c) z "xx  z " yy  0 với z  ln( x 2  y 2 )
x y
2
d) z "xx . z "yy  ( z "xy )  0 với z  y. f ( x / y ) và f (t ) có đạo hàm cấp hai liên tục
b) x.z "xx  y.z "xy  2 z ' x  0 với z 
15. Tìm hàm z  z ( x, y ) thỏa mãn
a) z 'x  2  4 ye xy , z ' y  3  4 xe xy , z (0;1)  0
b) z 'x  x 2  2 xy 2  3, z ' y  y 2  2 x 2 y  3
c) z "xx  12 x 2 y  2, z ' y  x 4  30 xy 5 , z (0; 0)  1, z (1;1)  2

16. Tính đạo theo hướng của vector v tại điểm M


a) u  x 2  y 2 , M (1;1), v  (3; 4)
b) u  xy 2 z 3 , M (1; 2;3), v  (1; 2; 2 5)
17. Tìm cực trị của hàm số
b) u  4( x  y )  x 2  y 2
c) u  x  y  xe y
a) u  x3  3 xy 2  30 x  18 y
d) u  x3  3 xy 2  15 x  12 y
e) u  x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2
f) u  xy ln( x 2  y 2 )
1
g) u  x 2  xy  y 2  x  y  1
h) u  8 x  x 4  y 2 (1  x 2 )
i) u  x3  y 3  3xy
4
4
4
2
2
k) u  x  y 2  3z 2  2 x  8 y  6 z
j) u  x  y  3( x  y )
l) u  x 2  3 y 2  z 4  12 y  8 z  2
m) u  x3  y 2  z 2  12 xy  2 z
18. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số
a) u  x 2  y 2 với x 2  y 2  1
b) u  x  y 2 với xy  y 3  3  0
c) u  x 2  12 xy  2 y 2 với 4 x 2  y 2  25
d) u  x  3 y  y 2 với x 2  y 2  xy  3
x  y  1

e) u  cos 2 x  cos 2 y với x  y 
f) u  x  y 2  2 z khi 
4
 z  xy  1
x2  y2  z2  1
x2 y 2
2

 z 1
h) u  xyz với 
g) u  x  y  z với
9
4
x  y  z  0
19. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng
x2 y2
a) u  x  y trong miền x 2  y 2  25
b) u  x 2  y 2 trong miền

1
4
9
c) u  x 2 y  xy 2  3 xy trong miền 0  x  4, 0  y  3
2
2
2
d) u  3xy  2 x 2  2 y 2 trong miền D  ( x, y ) : x 2  y 2  9
e) u  x 2  xy  y 2  2 x trong miền x 2  y 2  0
f) u  x 2  xy  y 2 trong miền x  y  1
f) u  x  y  z trong miền x 2  y 2  z  1
20. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
a) y 3  4 xy  5 y  x3  12  0 tại điểm M (1; 2)
b) x  ( x  y )e x  y 3  0 tại điểm M (0;1)
2
c) x  2t 2 , y  3t , z  et 1 tại điểm M (2;3;1) , viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện.
3
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
21. Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong
a) x 2  3 y 2  2 z 2  0 tại điểm M (1;1; 2)
b) xy  z  0 tại điểm M (1;1;1)
Chương 2
TÍCH PHÂN BỘI
1. Tính các tích phân
a. I   ( x 2  xy )dxdy với D giới hạn bởi y  x, y  2 x, x  2
(Đs I  10 )
D
b. I   xydxdy với D giới hạn bởi x  y  4  0, x 2  2 y
(Đs I  90 )
D
c. I  
D
xy
dxdy với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3), B(3,0).
x  y2
(Đs I 
2
d. I   cos( x  y ) dxdy với D xác định bởi D  0  x   , 0  y    x .
9 ln 2
)
4
(Đs I   )
D
e. I  
D
x2
x
dxdy
với
D
giới
hạn
bởi
y

,y x
2
x2  y 2
(Đs I  ln 2 .)
f. I   ( x 2  y )dxdy với D giới hạn bởi y  x 2 , x  y 2
(Đs I 
D
33
)
140
2. Đổi thứ tự lấy tích phân
1
3 y 2
0
y2
2
a. I   dy
1
b. I   dx
0
0
(Đs I   dx
f ( x, y )dx
0
2x

f ( x, y )dy
2 x x2
1 y
1
c.  dy

1
2

 1 y 2

2
f ( x, y )dy 
1 1 y 2
0
y2
2
0
1 x 2
1
0
(Đs I   dy


1
3
3 x 2
0
2
0
 dx  f ( x, y)dy   dx 
1
2
0
1
(Đs I   dx
f ( x, y )dx
2x
2
f ( x, y )dx 
f ( x, y )dy )
1
 dy 
f ( x, y )dx )
y2
2
1
1
1 x
0
0
f ( x, y )dy   dx  f ( x, y )dy )
3. Đổi biến để tính tích phân
a. I   dxdy với D giới hạn bởi y  1  x, y  2  x, y  2 x  1, y  2 x  3
(Đ/s I 
D
b. I   xdxdy với D xác định bởi x  y  x  3, 2 x  1  y  2 x  5
2
)
3
(ĐS I  2 )
D
20
)
3

(Đs I  )
2

(Đs I   2 ln 2  1 )
2
c. I   ( x  y )3 ( x  y )2 dxdy với D giới hạn bởi x  y  1, x  y  1, x  y  3, x  y  1
D
d. I   (4 x  3  x 2  y 2 )dxdy với D giới hạn bởi x 2  y 2  4 x  3  0
D
e. I   ln(1  x 2  y 2 )dxdy với D xác định bởi x 2  y 2  1, x. y  0
D
f. I   (4  x 2  y 2 )e4  x
2
 y2
dxdy với D xác định bởi 1  x 2  y 2  4
D
4
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
(Đs I 
lOMoARcPSD|18725244
g. I   xydxdy với D là nửa trên của hình tròn ( x  2) 2  y 2  4
(Đs I  
D
h. I  
D
dxdy
4 x  y
2
2
32
)
3
3
(Đs I    4  2 )
2
với D xác định bởi x 2  y 2  2 y, x  y
 y2

k. I    2  xy  x  y  dxdy với D xác định bởi 1  x 2  y 2  2 x
x

D 
(Đs I 
l. I   ( x  1) sin x 2  y 2 dxdy với D xác định bởi  2  x 2  y 2  4 2
(Đs I  6 2 )
4
3

)
3 12
D
m. I   x 2  y 2 dxdy với D là miền giới hạn bởi
D
2
2
2
 x  y  a
i)  2
,a  0
2
2
 x  y  4a
(Đs I 
ii) Đường hai cánh r  a sin 2 , a  0
4a 3
(Đs I 
)
9
n. I  
sin x 2  y 2
14 a3
)
3
2
dxdy với D giới hạn bởi x  y   , x  y 
4
2
2
2
2
2
x2  y 2
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a. y 2  x, y  2 x  x 2
D
 (b 2  a 2 )
)
4
3 a 2
(Đs S 
)
c. r  a (1  cos  ), a  0
2
3 3  2
d. r 2  2a 2 cos 2 , r  a ứng với phần r  a .
(Đs S 
a ).
3
e. y  0 và một nhịp của đường cycloid x  a (t  sin t ), y  a (1  cos t ), 0  t  2 , a  0
(Đs S  3 a 2 )
(Đs S  a 2 )
f. ( x 2  y 2 )2  a 2 ( x 2  y 2 ) a  0
3 a 2
g. x 2/3  y 2/3  a 2/3 a  0
(Đs S 
)
8
a0
h. r  a sin 2
5. Tính diện tích của phần mặt:
x2 y 2
a. z  x 2  y 2 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  1
b. z  2  2 nằm dưới mặt z  1
a
b
2
2
2
2
x
y
x
y
c. z  
nằm trong mặt 2  2  1 với a, b  0
a
b
a
b
2
2
2
2
d. x  y  z  a nằm trong mặt ( x 2  y 2 )2  a 2 ( x 2  y 2 ) a  0
e. z 2  x 2  y 2 nằm trong hình trụ x 2  y 2  1
6. Tính thể tích
a. Phần hình nón z 2  x 2  y 2 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  1
b. r  a cos  , r  b cos  , b  a  0
(Đs S 
b.Vật thể giới hạn bởi hai mặt x 2  y 2  z 2  2 z , x 2  y 2  z 2 lấy phần z  x 2  y 2
5
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
(Đs V   )
lOMoARcPSD|18725244
c. Vật thể giới hạn bởi và x 2  y 2  z 2  a 2 và mặt ( x 2  y 2 )2  a 2 ( x 2  y 2 )
7. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường
x2 y2
x y
2
2
a. y  4 x  4 và y  2 x  4
b.

 1 và
 1
25 9
5 3
d. x  a (1  cos  )
c. y 2  x và x 2  y
8. Tính các tích phân
a0
a. I   x 2  y 2 zdxdydz
với V giới hạn bởi x 2  y 2  z , z  1
(Đs I 
4
)
21
b. I   xy zdxdydz
với V giới hạn bởi z  0, z  y , y  x 2 , y  1
(Đs I 
8
)
189
c. I   x 2 dxdydz
với V giới hạn bởi
(Đs I 
4 a 3bc
)
15
d. I   | xyz | dxdydz
với V giới hạn bởi x 2  y 2  z , z  4
e. I   z 2 dxdydz
với V xác định bởi x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  z 2  4 z (Đs I 
f. I   x 2  y 2 dxdydz
với V xác định bởi x 2  y 2  z 2  1, x 2  y 2  z 2 , z  0 (Đs I 
V
V
V
x2 y 2 z2

 1
a2 b2 c 2
(Đs I  32 )
V
V
59
)
15
g. I   zdxdydz
 2  2
)
16
1
43
với V xác định bởi 0  x  , x  y  2 x, 0  z  1  x 2  y 2 ( I 
)
4
3072
h. I   z x 2  y 2 dxdydz
với V giới hạn bởi x 2  y 2  2 x, z  0, z  a  0
V
V
i. I   x 2  y 2  z 2 dxdydz với V là miền x 2  y 2  z 2  x
16a 2
)
9

(Đs I  )
10
j. I   ( x 2  y 2 )dxdydz
với V giới hạn bởi x 2  y 2  2 z , z  2
(Đs I 
k. I   x  z dxdydz
với V giới hạn bởi y  x  z , y  1  x  z
(Đs I 
V
V
V
2
2
2
2
2
V
2
16
)
3
 2  2
(I 
)
16
l. I   ( x 2  y 2  z 2 )dxdydz với V giới hạn bởi 3( x 2  y 2 )  z 2  3a 2 , a  0
V
m. I  
V
2
1 1

x  y  z dxdydz với V là miền x  y   z   
2 4

2
2
2
2
n. I   ( x 2  y 2 )dxdydz
2
với V là miền a 2  x 2  y 2  z 2  b 2 , z  0
(Đs I 
4 5
(b  a 5 ) )
15
(Đs I 

)
10
V
o. I   1  x 2  y 2 dxdydz với V giới hạn bởi z  x 2  y 2 , z  a, 0  a  1
V
p. I   x 2  y 2  z 2 dxdydz với V giới hạn bởi x 2  y 2  z 2  z
V
6
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
x2  y2 z2
q. I   ( x  y  z )dxdydz với V là miền
 2 1
a2
3a
V
2
2
2
r. I   z 2 dxdydz
với V là miền x 2  y 2  z 2  4
(Đs I 
V
128
)
15
s. I   ( xy  yz  xz )dxdydz với V là miền x 2  y 2  z 2  4
V
t. I   ydxdydz
với V giới hạn bởi y  x 2  z 2 , y  a  0
V
9. Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang
2 x  x2
2
a. I   dx

0
0
1
1 x 2
b. I   dx

0
a
8a 2
dy  z x  y dz hệ tọa độ trụ (Đ/s I 
)
9
0
2
2
2  x2  y2
dy
0

z 2 dz hệ tọa độ cầu
x2  y 2
10. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
z  x2  y2

b.  z  2( x 2  y 2 )
 2
2
x  y  2x  0
 x  y  y
a.  2
2
2
 x  y  z  1
2
2
11. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi
a. x 2  y 2  2az , x 2  y 2  z 2  3a 2 , z  0, a  0
b. x  y  1, z  x 2  y 2 , x  0, y  0, z  0
x2  y2  z2  1
 x  y  z  3
 2

2
2
c.  x  y  z  4 d.  x  2 y  z  1
 x  4 y  z  2
 2
2
2
x  y  z , z  0 
Chương3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
1. Tính các tích phân đường loại I
x2 y 2
a) I   xyd  với  : 2  2  1
a
b

x2  y 2  z2  a2
 2 y2 
b) I   x d  và J    3 x   d  với  : 
2 
x  y  z  0


x2  y 2  z2  a2
c) I   ( x  2 y )d  với  : 
x  y  z  0

2
d) I   2 yd  với C là đường cong x  t , y 
C
e) I   xyd  với C là cung elip
C
t2
t3
, z  ,0  t 1
2
3
x2 y 2

 1 nằm trong góc x, y  0
a 2 b2
f) I   xyd  với C là đường cong x  a cos t , y  b sin t , z  ct , 0  t 
C

2
2. Tính khối lượng đường cong
7
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
x
x
 
1
a a
a
e

e

 , 0  x  a biết khối lượng riêng là  ( x, y ) 
2
y

a) y 
b) x  a cos t , y  a sin t , z  bt , 0  t  2 biết khối lượng riêng là  ( x, y, z )  z 2
3. Tìm chiều dài và trọng tâm của các đường đồng chất
a) x  a (t  sin t ), y  a(1  cos t ),0  t  2
b) x  a cos t , y  b sin t , z  ct , 0  t  
4. Tính tích phân đường loại II
a) I   ( x 2  2 xy )dx  ( y 2  2 xy )dy với  là đường y  x 2 nối A(1;1) và B(1;1) .

b) I   ( x  y )dx  ( x  y )dy với  là đường elip

(2;3)
c)

I
(2;3)
xdy  ydx
d) I 
( 1;3)

e) I 
x2 y2

 1 , lấy hướng dương.
a2 b2

( 1;3)
( xy  1)dx  x 2 ydy AB là đường x 2 
AB
xdx  ydy
x2  y2
y2
 1 nối A(1;0) và B(0;2)
4
f) I   ( xy  x  y )dx  ( xy  x  y )dy với C: x 2  y 2  2 x . Tính trực tiếp và sử dụng công thức Green
C
 x dx  y dy với AB là đường tròn x
g) I 
2
2
2
 y 2  2 x nối A(0;0) và B(2;0) .
AB
h) I   2( x 2  y 2 )dx  ( x  y ) 2 dy với  là tam giác ABC trong đó A(1;1), B(2; 2), C (1;3) .

i) I 

( x 2  y cos xy )dx  (
AB
x3
 xy 2  x  x cos xy )dy với AB là cung tròn x 2  y 2  4 và
3
A(2;0), B(2;0) .

j) I 
( x 1) 2  ( y 1) 2 1


x 2  y 2 dx  y  xy  ln x  x 2  y 2 dy


k) I 
 x3

4
2
2
xy

x

y
xy
dx

(
cos
)
  xy  x  x cos xy  dy


 3

x 2  y 2 1
l) I 

x2 
(
3
2
)
2
xy

x

y
dx

y

x


 dy
2
2
2


x  y 4

m) I 
( xy  x  y )dx  ( xy  x  y )dy
x  y 4 x
2
2

n) I 
( x 2 y )dx  xy 2 dy
x2 y 2
 1
a2 b2
( 2;0)

o) I 
n’)

C
xdy  ydx
với C là đường cong kín đơn không qua O(0;0)
x2  y2
e x  y  (1  x  y )dx  (1  x  y )dy 
(2;0)
p) I   xy 2 dx  yz 2 dy  zx 2 dz trong đó C là đoạn thẳng nối O (0;0), B(2; 4;5) .
C
8
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
 x 2  y 2  z 2  45
.
q) Vẫn tính tích phân trong p) với C là đường tròn trong không gian cho bởi 
2 x  y  0
x2  y2  z2  1
r) I   zdx  xdy  ydz trong đó C là đường 
C
x  z  1
s) I   ( y 2  z 2 )dx  ( z 2  x 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz với C là giao tuyến của các mặt x 2  y 2  z 2  4 y và
C
x  y  2 y, z  0 . Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z  0 .
2
2
x2  y2  z2  9
. Tích phân
t) I   ( y  z )dx  ( z  x)dy  ( x  y )dz với C là giao tuyến của các mặt 
x  y  z  0
C
lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía x  0
x2  y2  1
. Tích phân lấy theo chiều ngược chiều
u) I   3 ydx  3dy  zdz với C là đường tròn 
z  1
C
kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z  0 .
2
2
2
 x  y  z  4
. Tích phân lấy theo chiều ngược
v) i   x 2 dx  y 2 dy  z 2 dz với C là đường cong 
2
z
y


C

chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O.
5. Tính tích phân mặt loại I
4y
x y z
a) I   ( z  2 x  )ds trong đó S là mặt    1 với x, y, z  0 .
3
2 3 4
S
b) I   yds trong đó S là mặt z  x  y 2 với. 0  x  1, 0  y  2
S
c) I   ( x 2  y 2 )ds trong đó S là mặt z 2  x 2  y 2 với. 0  z  1 .
S
d) I   ( x  y  z )ds với S là phần mặt 2 x  2 y  z  2 nằm trong góc x, y, z  0
S
e) I   x y 2  1ds với S là phần mặt y 2  4 z  16 cắt bởi x  0, x  1, z  0
S
6. Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt z  x 2  y 2 , z  1 nếu khối lượng riêng là  ( x, y, z )  z .
7. Tính tích phân mặt loại II
a) I   xyzdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x 2  y 2  z 2  1; x, y  0 .
S
b) I   xdydz  dzdx  xz 2 dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x 2  y 2  z 2  1; x, y , z  0 .
S
c) I   x 2 dydz  y 2 dzdx  z 2 dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 .
S
d) Tính tích phân như trong c) với S là phía ngoài của mặt nón z 2  x 2  y 2 , 0  z  4 .
e) I   xdydz  ydzdx  zdxdy với S là phía ngoài mặt paraboloid z  x 2  y 2 , z  1
S
f) I   xzdydz  yzdzdx  dxdy với S là phía ngoài của chỏm cầu x 2  y 2  z 2  25 cắt bởi z  3
S
9
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
g) I   xdydz  ydzdx  zdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 .
S
h) I   x 3 dydz  y 3dzdx  z 3dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 .
S
i) I   xzdydz  yx 2 dzdx  zy 2 dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt x 2  y 2  9, z  0, z  9 .
S
k) I   ( y  z )dydz  ( z  x)dzdx  ( x  y )dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt x 
S
1. x(1  y 2 )2 dx  y (1  x 2 ) 2 dy  0
2. y 'cos 2 y  sin y  0
1
1
3. y ' 
xy
4. y '  cos( x  y )
Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5. x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0, y (0)  1
6. ( x 2  1) y '  y 2  4, y (1)  2
sin x  cos 2 x  2
7. y ' 
y2  1
8.
x  y ' ( y ')3
9. ( y  x)dx  ( x  y )dy  0
 y2 
10. y '  2 

 x  y 1 
x  y 1
11. y ' 
x y3
2
12. xdy  ydx  x 2  y 2 dx
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
y ' 2 xy  xe  x
2
(1  x 2 ) y ' 2 xy  (1  x 2 )3
(1  x 2 ) y ' xy  1, y (0)  0
( x  y  1)dx  ( x  y 2  3)dy  0
1
xy ' y  2 2
x y
2 y'
y  ( y ') e  0
( y ')3  y 3  3 yy '
y  x( y ')2  ( y ')3
xy '  x 2e  y  2
yy ' xy  x3
x  y " e y"  y "  0
1
y" 
y
10
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
y2 z2
 , 0  x  1.
4 9
lOMoARcPSD|18725244
25. 4 y " 2 yy " ( y ') 2  1
26. yy " ( y ')2  y 2ln y  0
27. yy " ( y ')4  ( y ')2  0
28. ( y ") 2  2 xy " y '  0
2
sin x
29. y " y ' y  0 biết nghiệm riêng là y 
x
x
30. y " 4 y ' y  x 2
31. y " 6 y ' 8 y  e x  e 2 x
32. y " 4 y  x sin 2 x
33. y " y  sin x
34. y " 2 y  4 x 2e x
2
35. Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận y1  x, y2  x 2 làm hệ nghiệm cơ bản
36. Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận y1  sin x, y2  cos x làm hệ nghiệm cơ bản.
 y '  3 y  2z
37. 
z '  2 y  z
 y '  z 1
38. 
z '  y
y '  2y  z
39. 
z '  y  2z
y '  2y  z
40. z 
 y '  y  2z
y '  y  z
41. 
 y '  y  3z

y2

y
'

z
42. 
z '  y

2
y '  z

43. 
z2
z
'


y

x
 y '  2 y  z  2e
44. 
x
 z '  3 y  2 z  4e
y '  y  z  x
45. 
 z '   y  5z
11
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ
1. Xét tính liên tục của hàm số
 2 x2 ( x2  2 y 2 )
khi x 2  2 y 2

4
4
a) f  x, y    x  4 y

m
khi x 2  2 y 2

b)
 x2 sin 1x cos 21y

f  x , y   e
1
c)
 x2  4 y2
sin 2
x  y2
f  x, y   

 1
d)
e)
khi x, y  0
khi x. y  0
khi x 2  y 2  0
khi x 2  y 2  0

x2  y2
khi  x, y   (0, 0)

2
f  x, y    x 2 . y 2   x  2 y 

0
khi  x, y   (0, 0)


 2
2
khi x 2  y 2  0
  x  2 y  sin 2
2
x y
f  x, y   

0
khi x 2  y 2  0

2. Tìm cực trị của hàm số
a) u  x 4  y 4  2  x  y 
2
x y2 z2 2
 
b) u  
2 2x y z
 x, y , z  0 
c) u  x 3  y 2  z 2  3x 2  2 y
d) u  3x 2 y  x 3  y 4
e) u  arctan x 2  y 2  2 y
f) u  x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z
3. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số
y2
 z2  1
4
 x  y  1
b) u  x, y, z   x  y 2  z với điều kiện 
 z  xy  1
a) u  x 2  y 2  z 2 với điều kiện x 2 
x2  y2  4
c) u  xy  yz với điều kiện 
 x, y , z  0 
y  z  4
y2
 z2  9
d) u  2 x  y  z với điều kiện x 2 
4
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
a) u  2 x 2 y  xy 2  3 xy trong miền đóng 0  x  1, 0  y  2
12
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
b) u  4 x 2  y 2  2 x  2 y trong miền D: x  0, y  0, 2 x  y  2 .
c) u  x 2  y 2  12 x  16 y trong miền D  {(x,y): x 2  y 2  36}
5. Tính vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm ẩn
a) Cho z là hàm ẩn xác định bởi z  ye x / z  0 . Tính dz  0; 1 .

b) Cho u  ln 1  x 2  4 y 2  4 z 2
 và điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) . Tính đạo hàm của u tại điểm A theo

U  A
 .
hướng AB . Tìm giá trị lớn nhất của


 
 
u
c) u  x sin(3 yz ) Xác định Grad u và  tại M 0 (1;1; 0) với   i  2 j  2k .

d) z  z ( x, y ) là hàm ẩn hai biến xác định bởi hệ thức: yz  e z  xe y  0 . Tính dz 1;0  . Áp dụng tính
gần đúng z  0,95;0, 05  .
e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức:
x3
 y 3  xy  1  0 . Tính d 2 y tại điểm x  0 .
27
6. Tính tích phân bội
2
2
2
 x  y  z  4
a)  ze
dxdydz với V xác định bởi 
2
2
V
 z  x  y
D là miền được
b)  ( x  y )3 ( x  y ) dxdy với
x2  y 2
giới
hạn
bởi
các
D
x  y  1, x  y  3, x  y  1, x  y  1
2x
c) 
dxdy D là miền x 2  y 2  4, x  0, y  0
2
2
4 x  y
D
x2 y2

 z2  1
d)  xyzdxdydz với V là miền
9
4
V
e)

x 2  4 y 2  9 z 2 dxdydz , trong đó V là miền x 2  4 y 2  9 z 2  1, x, y, z  0 .
V
f)
 z
x 2  y 2 dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ x 2  y 2  2 x, 0  z  4 .
V
7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
a) z  x 2  y 2  1 và z  3
b) x 2  y 2  z 2  2 3 xyz nằm trong góc x, y, z  0
c) z  x 2  y 2 , 2 y  z  8
d) ( x 2  y 2  z 2 )2  4 z ( x 2  y 2 ) nằm trong góc x, y, z  0
e) 2 z  x 2  y 2 , z  8  x 2  y 2
f) ( x  2)2  y 2  4, x 2  y 2  z 2  16
g) x 2  y 2  4 và x 2  z 2  4
8. Tính diện tích
a) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( x 2  y 2 )2  2 x 3
13
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
đường
thẳng
lOMoARcPSD|18725244
2
 x2 y 2 
b) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong     2 xy ( x  0, y  0)
9 
 4
c) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong  x 2  y 2   2  x 2  y 2 
2
d) Mặt paraboloid z  x 2  y 2 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  4
e) Mặt cầu x 2  y 2  z 2  9 nằm trong mặt trụ x 2  y 2  3x
9. Tính tích phân đường, tích phân mặt
a)  ( x 2  y )ds với 
AB là nửa phía trên trục hoành của cung tròn x 2  y 2  1

AB
b)
  y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy
với S là mặt mặt nón x 2  y 2  z 2  0  z  2  có pháp
S
tuyến hướng ra phía ngoài.
2
2
2
2
2
2
c)  x dydz  y dzdx  z dxdy với S là mặt nón x  y  z
 0  z  1
có pháp tuyến hướng ra phía
S
ngoài.
d)
  y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz
trong đó C là đường x 2  y 2  4 ,
C
x z
  1 chiều lấy tích phân
2 3
ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz.
2
2
e)  xdydz  ydzdx  zdxdy với S là mặt ngoài của hình trụ x  y  4, 0  z  2 có pháp tuyến hướng
S
ra phía ngoài
f)
g)
  x  1 e
x y
 là cung x 2  y 2  2 x
dx  xe x  y dy với OA
 y  0
theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0).

OA
 x
y 2  z 2 dydz với S là biên của miền V : x 2  y 2  z 2 , 0  x  2 có pháp tuyến hướng ra phía
3
S
ngoài.
h)
  -x

OA
2
 là nửa cung tròn x 2  y 2  2 y,  x  0  chiều từ
y  2 x  y  dx   xy 2  x  2 y  dy với OA
O(0,0) đến A(0,2)
2
2
2
2
2
2
L  x  y dx  y xy  ln( x  x  y dy  trong đó L là đường tròn  x  2    y  2   4 lấy
i) I  
theo chiều dương.
 x  y  dx   x  y  dy với C là đường tròn bán kính R  3 bao quanh gốc tọa độ. Trong trường
j) 
x2  y2
C
hợp này có áp dụng công thức Green được không?
2
2
2
k) Tìm điều kiện của m để tích phân đường  (3 x  2 y )dx  (mxy  3 y  4)dy không phụ thuộc vào



AB
đường cong nối A(1;3) và B (2; 4) . Hãy tính tích phân đó.
10. Giải phương trình, hệ phương trình vi phân
a) y   3 y  2 y  4 xe x
b)
y   4 y  3 y   x  1 e2 x
c)
y " 4 y ' y  x 2
14
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)
lOMoARcPSD|18725244
d) y " 6 y ' 8 y  e x  e 2 x
e) y " 4 y  x sin 2 x
f) y " y  sin x
g) y " 2 y  4 x 2e x
2
h) y   5 y  4 y  e x  x  3
i)
j)
1
với y  0   1, y   0   2
1 ex
y   3 y   2 y  xe3 x
y   y 
 x  2 x  y
 y '  x  2 y
 x  2 x  y
l) 
 y  x  4 y
y '  2y  z
m) 
z '  y  2z
y '  2y  z
n) 
z '  y  2z
y '  y  z
o) 
 z '  y  3z
k) 
1
ln x
y
x
x
q) xy  y  x 2 sin x
p) y '
r)
s)
t)
1  x y  dx  x  y  x  dy  0
2
2
(1  x 2 ) y ' 2 xy  (1  x 2 )3
(1  x 2 ) y ' xy  1, y (0)  0
u) (1  x 2 y )dx  x 2 ( y  x)dy  0
y
y

v) y   x sin   x  y sin
x
x

w)  sin 2 y  x 2  dx  x sin 2 ydy  0 bằng cách nhân thêm thừa số tích phân
y

với điều kiện y 1 
x
2
x
y) xy  2 y  xy  e bằng phép đổi biến z  x. y
z) x 2 y " xy ' y  x bằng phép đổi biến x  et
1
x2
x) xy  y  x sin
Chúc các em ngày càng tiến bộ, học tập đạt kết quả cao!
15
Downloaded by Nguy?n Vinh (vinhnguyentan2001@gmail.com)