Mục lục
Trang
Lời nói đầu
1
Chương 1 . Không gian metric
1.1. Không gian metric và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
5
Chương 2 . Không gian tôpô
6
Tài liệu tham khảo
7
Trang i
Lời nói đầu
Trang 1
Chương 1
KHÔNG GIAN METRIC
1.1. Không gian metric và sự hội tụ
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một tập khác rỗng. Ánh xạ ρ : X × X −→ R
được gọi là một metric hay một khoảng cách trên X nếu các điều kiện sau đồng
thời thỏa mãn:
i) ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và ρ(x, y) = 0 ⇔ x ≡ y ;
ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X (tính đối xứng) ;
iii) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) với mọi x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
Nếu ρ là một metric trên X thì ta nói (X, ρ) là một không gian metric. Đôi khi
ta nói không gian metric X thay cho không gian metric (X, ρ) nếu metric trên
X đã được xác định rõ.
Định lí 1.1.2. Trong không gian metric, giới hạn của một dãy hội tụ là duy
nhất.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng, tồn tại dãy {xn } trong không gian
metric (X, ρ) hội tụ tụ đến hai điểm phân biệt x, y ∈ X. Khi đó tồn tại số
r > 0 thỏa mãn r <
ρ(x, y)
.
2
Với số r > 0 này, bởi xn → x và xn → y nên tồn tại số tự nhiên n0 nào đó
sao cho
(
ρ(xn , x) < r
với mọi n ≥ n0 .
ρ(xn , y) < r
Điều này dẫn tới
ρ(xn , x) + ρ(xn , y) < r + r < ρ(x, y),
tức ρ không là một metric trên X. Mâu thuẫn này khiến giả sử phản chứng
không thể thành lập. Như vậy x ≡ y.
Trang 2
Định lý 1.1.2 có thể được chứng minh đơn giản hơn như sau.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có được
0 < ρ(x, y) ≤ ρ(x, xn ) + ρ(xn , y) → 0 (n → ∞).
Điều này là vô lý.
1.2. Tập mở và tập đóng
Định lí 1.2.1. Hình cầu mở là một tập mở và hình cầu đóng là một tập đóng
trong không gian metric tương ứng.
Chứng minh. Đương nhiên mỗi hình cầu mở là một tập mở. Ta chứng minh
trường hợp hình cầu đóng.
Cho hình cầu đóng B[x0 , r] tùy ý trong không gian metric (X, ρ). Với mỗi
điểm x ∈ X \ B(x0 , r), bởi ρ(x0 , x) > r nên phải tồn tại tương ứng số rx thỏa
mãn
0 < rx < ρ(x0 , x) − r.
Khi đó, với mọi điểm y ∈ B(x, rx ), ta có
ρ(x0 , y) ≥ ρ(x0 , x) − ρ(x, y) = ρ(x0 , x) − rx > r.
Điều này chứng tỏ y ∈ X \ B[x0 , r] và do đó B(x, rx ) ⊆ X \ B[x0 , r] . Như vậy,
X \ B[x0 , r] là môt tập mở hay B[x0 , r] là một tập đóng trong X.
Định lý 1.2.2 x
i) Giao hữu hạn những tập mở là một tập mở. Hợp đếm được những tập mở
là một tập mở.
ii) Giao đếm được những tập đóng là một tập đóng. Hợp hữu hạn những tập
đóng là một tập đóng.
Trang 3
Mệnh đề 1.2.3. Tập con A của không gian metric X là mở nếu và chỉ nếu với
mọi dãy {xn } trong X hội tụ về x ∈ A thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn ∈ A
với mọi n ≥ n0 .
Chứng minh x
(⇒)
Giả sử A là một tập mở trong không gian metric X và {xn } là một dãy
trong X hội tụ về x ∈ A. Khi đó, tồn tại hình cầu mở B(x, r) chứa trong A.
Bởi xn → x nên với số r > 0 này phải tồn tại số tự nhiên n0 thỏa mãn
xn ∈ B(x, r) ⊆ A với mọi n ≥ n0 .
Mệnh đề thuận đã được chứng minh.
(⇐)
Ngược lại, nếu mọi dãy {xn } trong X hội tụ đến x ∈ A thì tồn tại số tự
nhiên n0 sao cho xn ∈ A với mọi n ≥ n0 . Giả sử phản chứng rằng, A không
mở trong X. Khi đó, tồn tại x ∈ A sao cho
1
∩ (X \ A) 6= ∅ với mọi n ∈ N∗ .
B x,
n
Từ đây, ta sẽ xây dựng được dãy {xn } thỏa mãn tính chất đã nới ở trên.
Rõ ràng rằng xn → x, thế nhưng xn ∈
/ A với mọi n ∈ N∗ . Mâu thuẫn với giả
thiết này chứng tỏ A phải là một tập mở trong X.
Định lí 1.2.4. Mỗi tập mở trên đường thẳng thực là hợp của hữu hạn hay đếm
được của những khoảng mở rời nhau.
Mệnh đề 1.2.5. Phần trong của A là một tập mở và là tập mở lớn nhất chứa
trong A. Do đó, tập A là mở nếu và chỉ nếu A = A◦ .
Chứng minh x
Với mọi x ∈ A◦ , tồn tại hình cầu mở B(x, r) chứa trong A. Điều này dẫn
đến, mọi điểm trong hình cầu mở này đều là điểm trong của A. Như vậy,
hình cầu mở này chứa trong A◦ và thế thì A◦ là một tập mở trong X.
Cuối cùng, bởi A0 ⊆ A và mọi hình cầu mở chứa trong A đều phải chứa
trong A◦ nên A◦ phải là tập mở lớn nhất chứa trong A.
Mệnh đề 1.2.6. Bao đóng của A là một tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa
A. Do đó, tập A là đóng nếu và chỉ nếu A = A.
Trang 4
Chứng minh. Với mọi x ∈ (X \ A), bởi x ∈
/ A nên tồn tại hình cầu mở B(x, r)
thỏa mãn
B(x, r) ∩ A = ∅
Mệnh đề 1.2.7. Điểm x ∈ X là một điểm dính của tập A nếu và chỉ nếu tồn
tại dãy {xn } chứa trong A hội tụ đến x.
Mệnh đề 1.2.8. Tập con F của không gian metric X là đóng nếu và chỉ nếu
với mọi dãy {xn } chứa trong F mà xn → x thì x ∈ F.
Định nghĩa 1.2.9. Tập con A của không gian metric X được gọi là trù mật
trong X nếu A = X. Không gian metric X được gọi là khả ly nếu tồn tại một
tập M đếm được trù mật trong X.
1.3. Ánh xạ liên tục
Mệnh đề 1.3.1. f liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu và chỉ nếu với mọi dãy {xn }
chứa trong X, xn → x0 thì f (xn ) → f (x0 ).
Định lí 1.3.2. Cho f : X −→ Y là một ánh xạ từ không gian metric X vào
không gian metric Y. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
i) f liên tục ;
ii) f −1 (G) là mở trong X với mọi G mở trong Y ;
iii) f −1 (F ) là đóng trong X với mọi F đóng trong Y.
Trang 5
Chương 2
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trang 6
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tôpô đại cương − độ đo và tích phân, Nhà xuất
bản Giáo dục.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội.
Trang 7