Bài Tập Lớn Giải Tích 1
Đề số 12: Toạ Độ Cực (Polar System)
Tổng Quan Khái Niệm về Toạ Độ Cực:
-Trong hệ toạ độ Oxy thông thường (Descartes), ta biểu diễn một điểm A thông qua 2 trục Ox và Oy với cùng
đơn vị độ dài, ta có gốc toạ độ là điểm O (0;0), điểm A sẽ có toạ độ (xA; yA).
-Hệ toạ độ cực có một cách biểu diễn khác, trong đó sẽ chỉ có 1 trục có đơn vị độ dài là 1 tia kẻ từ góc toạ độ O
sang phía bên phải, gọi là trục cực. Để biểu diễn điểm A trên hệ toạ độ cực, ta cần biết khoảng cách r giữa A và
gốc toạ độ O, và góc α giữa đoạn thẳng OA và trục cực. Khi này điểm A sẽ có toạ độ là (r; α) còn gốc toạ độ là
O(r, góc bất kỳ).
Câu 1: Cách xác định 1 điểm trong hệ toạ độ cực:
-Với điểm A(r, α) cho trước, để xác định toạ độ điểm A trong hệ toạ độ cực ta làm như sau:
+Nếu r>0, ta xác định 1 điểm A’ sao cho độ dài OA’ = r trên trục Or sau đó ta quay cạnh OA’ một góc α theo
chiều ngược kim đồng hồ tại O nếu α dương hoặc cùng chiều kim đồng hồ nếu α âm.
+Nếu r<0, ta xác định điểm A’(-r, α) trước sau đó ta lấy A đối xứng với A’ qua tâm O.
Ví dụ 1: biểu diễn điểm A (4; π/6) trên toạ độ cực
Ví dụ 2: biểu diễn điểm B(10,10π) trên toạ độ cực
Câu 2: Mối liên hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Descartes:
-Ta đặt hệ trục Oxy đè lên hệ trục cực và phân tích, có kết luận như sau:
+ Điểm A(r; α) trên toạ cực khi chuyển sang toạ độ Descartes sẽ có toạ độ x, y lần lượt là x=r cos(α); y=r sin(α).
Chúng có mối quan hệ như 3 cạnh của một tam giác vuông với r là cạnh huyền, x là cạnh kề của góc α, y là cạnh
đối của góc α.
+Quan hệ giữa x, y, r và α: x² + y² = r² và tan(α) = y/x
Ví dụ 1: Cho điểm A(10; π/4) trong hệ toạ độ cực, tìm toạ độ điểm A trong hệ Descartes?
Ta có: x = r cos(α) = 10cos(π/4) = 5√2
y = r sin(α) = 10sin(α) = 5√2
Vậy toạ độ điểm A trong hệ Descartes là (5√2; 5√2)
Ví dụ 2: Cho điểm B(100; 0) trong hệ Descartes, tìm tọa độ điểm B trong hệ toạ độ cực?
Ta có: r² = x² + y² = 100² + 0² = 10000 => r = 100
Vậy toạ độ điểm B trong hệ toạ độ cực là (100; 0)
tan(α) = y/x = 100/0 = 0 => α = 0