TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
Điện thoại: 0946798489
Bài 1. PHÉP TỊNH TIẾN - LỜI GIẢI CHI TIẾT
• Chương 1. PHÉP BIẾN HÌNH
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Khái niệm

- Cho v   a; b  và điểm M  x0 ; y0  . Phép biến hình biến điểm
 
M thành M  sao cho v  MM  gọi là phép tịnh tiến theo

v , kí hiệu là Tv .
 
Tv  M   M   v  MM 
II. Tính chất
 
- Tv  M   M  , Tv  N   N   M N   MN
- Biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
III. Biểu thức tọa độ
 x  x  a
- Tv : M  x; y   M   x; y  . Khi đó: 
.
 y  y  b
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, ỨNG
DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
A. Bài tập tự luận
Câu 1.

Cho tam giác ABC , dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ BC .
Lời giải
D
A
B
C
E
Ta có T
 B  C .
BC
Để tìm ảnh của điểm A ta dựng hình bình hành ABCD .
 
 
A

D
CE
 BC .
Do AD  BC nên T
,
gọi
là
điểm
đối
xứng
với
qua
,
khi
đó
C
E
B


BC
Suy ra T
 C   E . Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE .
BC
Câu 2.
Cho tam giác ABC . Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại
M , N sao cho AM  CN .
Lời giải
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn bài toán. Từ M dựng đường thẳng
song song với AC cắt BC tại P , khi đó MNCP là hình bình hành nên CN  PM . Lại có
AM  CN suy ra MP  MA , từ đó ta có AP là phân giác trong của góc A .
Cách dựng:
- Dựng phân giác trong AP của góc A
- Dựng đường thẳng đi qua P song song với AC cắt AB tại M
 C  .
- Dựng ảnh N  T
PM
Đường thẳng MN chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có MNCP là hình bình hành suy ra MN  BC và CN  PM , ta có
 = CAP

MAP
APM  MAP cân tại M  AM  MP .
Vậy AM  CN
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình
Câu 3.
 
   không đổi và BC  v không đổi. Tìm tập hợp
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, BAC
các điểm B, C .
Lời giải
BC
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó theo định lí sin ta có
 2R
sin 
 
không đổi (do BC  v không đổi).
BC
BC
Vậy OA  R 
, nên O di động trên đường tròn tâm A bán kính AO 
. Ta có
2sin 
2sin 
0
  2 không đổi suy ra OBC
  OCB
  180  2 không đổi.
OB  OC  R không đổi và BOC
2

 
Mặt khác BC có phương không đổi nên OB, OC cũng có phương không đổi.
   
Đặt OB  v1 , OC  v2 không đổi, thì Tv  O   B, Tv  O   C .
1
2
BC 
BC 


Vậy tập hợp điểm B là đường tròn  A1 ;
 ảnh của  A,
 qua Tv1 , và tập hợp điểm
 2sin  
 2sin  
BC 
BC 


C là đường tròn  A2 ;
 ảnh của  A,
 qua Tv2 .
2sin  

 2sin  
Câu 4.
Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn  O  và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm
quĩ tích trực tâm H của ABC .
Lời giải
- Nếu BC là đường kính thì trực tâm H của tam giác ABC chính là A . Vậy H nằm trên đường
tròn  O; R  .
- Nếu BC không là đường kính. Vẽ đường kính BB’ của đường tròn.
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
 
Ta có AH  B ' C ( do tứ giác AHCB’ là hình bình hành)

Mà B ' C cố định. Vậy ta có phép tịnh tiến T
: biến A thành H . Do đó A chạy trên đường
B 'C
tròn
 
chạy
t
rên
đường
tròn
được
xác
định
O
;
R

H
O
';
R
,
O
'
OO
'  B 'C .
 
 
Vậy quĩ tích điểm H là đường tròn tâm  O '; R  là ảnh của đường tròn  O; R  qua phép tịnh
tiến T
.
B 'C
 
  CDM
.
Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi AB  DM và CBM

Chứng minh 
ACD  BCM
Câu 5.
Lời giải
 
Lây điểm N sao cho CN  AB

Như vậy qua phép tịnh tiến theo AB biến điểm
A  B, D  M , C  N

 DCA  MNB  
ACD  BNM
  BCM

Ta chỉ cần chứng minh BNM
  CNM
  CNM
  CBM

Thật vậy vì CDM
  BNM

Suy ra tứ giác CNBM là tứ giác nội tiếp  BCM
(đpcm).
Câu 6.
Cho đường tròn tâm O và bán kính R không đổi đi qua một điểm cố định A . Đường kính MN
của đường tròn có phương không đổi. Tìm tập hợp các điểm M , N .
Lời giải
M
O
A'
N
A
A''


 
Ta có OM và ON có phương không đổi và OM  ON  R .
   
Lấy điểm A, A sao cho AA  OM , AA  ON
 
 AA, AA cố định.
Ta có phép tịnh tiến T
:O  M
AA
 : O  N
T
AA
Mặt khác quỹ tích điểm O là đường tròn  A; R 
 quỹ tích điểm M là đường tròn  A là ảnh của  A  qua phép tịnh tiến T
, quỹ tích điểm N
AA
là đường tròn  A là ảnh của  A  qua phép tịnh tiến T
.
AA
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 7.
Trên đường tròn  O  cho B, C cố định và A di động  A  B, C  . Tìm quỹ tích trực tâm H của
tam giác ABC .
Lời giải
A
C'
Nhận thấy, khi A thay đổi thì AH luôn vuông góc với BC
 phương của AH không đổi.
Dựng đường thẳng qua C và vuông góc với BC cắt  O  tại C  .
H
O
B
 BC là đường kính đường tròn  O 
 AC   AB
Suy ra AHCC là hình bình hành.
 .
Vậy quỹ tích điểm H là đường tròn  O  ảnh của  O  qua phép tịnh tiến TCC

C
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 8.
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án
D.

Khi véc tơ v của phép tịnh tiến Tv có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì sẽ có
vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
Câu 9.
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án
B.
 
Khi v  0 : Đường tròn  C  có tâm I thì Tv biến đường tròn  C  thành chính nó.
Câu 10. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án
B.
 
Khi v  0 có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó.
Câu 11. Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai điểm.
B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.
C. Tọa độ của điểm.
D. Diện tích.
Lời giải
Đáp án
C.
 
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến v  0 .

Câu 12. Cho hình chữ nhật MNPQ . Phép tịnh tiến theo véc tơ MN biến điểm Q thành điểm nào?
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
A. Điểm Q .
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
C. Điểm M .
B. Điểm N .
D. Điểm P .
Lời giải
 
 Q   P .
Do MNPQ là hình chữ nhật nên MN  QP  T
MN
Câu 13. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
B. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
C. Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
D. Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.
Lời giải
Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Câu 14. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó?
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải
Có một phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó là T0 .
Câu 15. Kết luận nào sau đây là sai?
 
 (A)  B
A. Tu ( A)  B  AB  u B. T
AB
C. T0 ( B )  B


 ( M )  N  AB  2 MN
C. T2 
AB
Lời giải:
Đáp án D


 ( M )  N  MN  2 AB . Vậy D sai.
Ta có T2 
AB
Câu 16. Giả sử Tv ( M )  M '; Tv ( N )  N ' . Mệnh đề nào sau đây sai?
 
 
A. M ' N '  MN .
B. MM '  NN '
C. MM '  NN ' .
D. MNM ' N ' là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D
Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
MNM ' N ' không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
Câu 17. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1 thành d 2
A. Không.
Đáp án A
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.
Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên
không có phép tịnh tiến nào biến d1 thành d 2 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A  2; 3  , B 1; 0  .Phép tịnh tiến theo u  4; 3 biến
điểm A, B tương ứng thành A, B khi đó, độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. AB  10 .
C. AB  13 .
Lời giải
B. AB   10 .
D. AB  5 .
Phép tịnh tiến bảo toàn độ dài nên AB  AB  10 .

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M  0; 2  , N  2;1 và véctơ v  1; 2  . Ơ. Phép tịnh

tiến theo véctơ v biến M , N thành hai điểm M , N  tương ứng. Tính độ dài M N  .
A. M N   5 .
Đáp án
B. M N   7 .
C. M N   1 .
Lời giải:
D. M N   3 .
A.
Tv  M   M 
Ta có 
 MN  M N  


T
N

N


 v
2
2
 2  0   1  2   5 .
 
Câu 20. Với hai điểm A, B phân biệt và Tv  A  A, Tv  B   B với v  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 
 
 
  
A. AB   v .
B. AB  AB .
C. AB  v .
D. AB   AB  0 .
Lời giải
Đáp án
B.
 
Ta chỉ ra được ABB ' A ' là hình bình hành  A ' B '  AB
 
Câu 21. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ v  0
biến d1 thành d 2 ?
B. 1.
A. 0 .
C. 2 .
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án
D.
  d  thành d nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn.
Chẳng hạn lấy bất kỳ A  d1 , B  d2  T
2
1
AB
  biến điểm A thành điểm nào?
Câu 22. Cho hình bình hành ABCD . Phép tịnh tiến T
AB  AD
A. A đối xứng với A qua C .
C. O là giao điểm của AC qua BD .
B. A đối xứng với D qua C .
D. C .
Lời giải
Đáp án
D.
  
Ta có AB  AD  AC  T
 A  C .
AC
Câu 23. Cho tam giác ABC có trọng tâm G , T
 G   M . Mệnh đề nào là đúng?
AG
A. M là trung điểm BC .
B. M trùng với A .
C. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCM .
D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCGM .
Lời giải
Đáp án
C.
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
 
G

M

AG  GM  BGCM là hình bình hành.
Ta có T


AG

Câu 24. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Tìm ảnh của AOF qua phép tịnh tiến theo vectơ AB .
A. AOB .
B. BOC .
C. CDO .
D. DEO .
Lời giải
Đáp án
B.
T  A   B
 AB
  O   C  T  AOF   BCO .
Ta có T
AB
AB



TAB  F   O
Câu 25. Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây sai?
  A  B .
A. T
DC
  B   A .
B. TCD
 I   B .
C. T
DI
D. TIA  I   C
Lời giải
Đáp án
D.
Ta có TIA  I   A nên đáp án D sai.
.
Câu 26. Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, DC . Phép tịnh tiến
theo vectơ nào sau đây biến AMI thành MDN ?



A. AM .
B. NI .
C. AC .

D. MN .
Lời giải
Đáp án
A.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
  AMI   MDN .
Từ hình vẽ ta có T
AM
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng AB thành đường
thẳng CD và biến đường thẳng AD thành đường thẳng BC ?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án
B.
Từ hình vẽ ta có
T
 AB   CD với AB, CD là các đoạn thẳng.
BC
T
 AB   CD , với AD, BC là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.
BC
Câu 28. Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD, DC . Phép tịnh tiến theo
vectơ nào sau đây biến tam giác AMI thành INC

A. AM .

B. IN .

C. AC .
Lời giải:

D. MN .
Đáp án D
  
 ( AMI )  INC
Ta có MN  AI  IC  T
MN
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận nào sau đây là sai?
 ( D)  C .
 ( B )  A .
A. T
B. TCD
C. T
(I )  C .
AB
AI
D. T
(I )  B .
ID
Lời giải:
Đáp án D
 
Ta có T
(
I
)

I
'

II '  ID  I '  D . Vậy D sai
ID
Câu 30. Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình D),
hình nào có phép tịnh tiến?
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
A.
B.
C.
Lời giải:
D.
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một
hướng xác định.
Câu 31. Cho đường tròn  C  có tâm O và đường kính AB . Gọi  là tiếp tuyến của  C  tại điểm A . Phép

tịnh tiến theo vectơ AB biến  thành:
A. Đường kính của đường tròn  C  song song với  .
B. Tiếp tuyến của  C  tại điểm B .
C. Tiếp tuyến của  C  song song với AB .
D. Đường thẳng song song với  và đi qua O
Lời giải:
Đáp án
B.
       //,  là tiếp tuyến của đường tròn  C 
Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên T
AB
tại điểm B .
Câu 32. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn  O, R  và A thay đổi trên đường tròn đó, BD là
đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm H của ABC là:
A. Đoạn thẳng nối từ A tới chân đường cao thuộc BC của ABC .
B. Cung tròn của đường tròn đường kính BC .
.
C. Đường tròn tâm O bán kính R là ảnh của  O, R  qua T
HA
.
D. Đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của  O, R  qua T
DC
Lời giải:
Đáp án
D.
Kẻ đường kính BD  ADCH là hình bình hành(Vì AD//CH và AH //DC cùng vuông góc với
một đường thẳng)
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
 
  A  H .
 AH  DC  T
DC
.
Vậy H thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính R là ảnh của  O, R  qua T
DC
Câu 33. Cho hình bình hành ABCD , hai điểm A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn  C  . Khi đó
quỹ tích trung điểm M của cạnh DC :
 , K là trung điểm của BC .
A. là đường tròn  C   là ảnh của  C  qua T
KI
 , K là trung điểm của AB .
B. là đường tròn  C   là ảnh của  C  qua T
KI
C. là đường thẳng BD .
D. là đường tròn tâm I bán kính ID .
Lời giải:
Đáp án
B.
Gọi K là trung điểm của AB  K cố định.
  I   M  M   C    T   C   .
Ta có T
KI
KI
Câu 34. Cho đường tròn  O  và hai điểm A, B . Một điểm M thay đổi trên đường tròn  O  . Tìm quỹ
  
tích điểm M  sao cho MM   MA  MB .
 O  .
 O  .
A.  O   T
B.  O   T
 O   . C.  O  TBA   O   . D.  O  T
AB 
AM 
BM 
Lời giải
Đáp án
A.
  
   
  M   M .
Ta có : MM   MA  MB  MM   MB  MA  AB  T
AB
.
Vậy tập hợp điểm M  là ảnh của đường tròn  O  qua T
AB


Câu 35. Cho tứ giác lồi ABCD có AB  BC  CD  a , BAD  75 và ADC  45 .Tính độ dài AD .
A. a 2  5 .
B. a 3 .
C. a 2  3 .
D. a 5 .
Lời giải
Đáp án
C.
Xét T
 A   A.
BC
Khi đó CA  BA  CD  CAD cân tại C .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

ACD  60 0  CAD đều.

ADA  150 và AA  BC  CD  AD  a

D  1500
 AA
Do đó AD 2  2 AA2  2 AA2 cos AAD  2a2  3a2 (áp dụng định lí cosin).
 AD  a 2  3 .
  150, D
  90 . Tính độ dài BC .
A  60, B
Câu 36. Cho tứ giác ABCD có AB  6 3, CD  12 , 
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 2 .
Lời giải
Đáp án
C.
Xét T
 A   M  ABCM là hình bình hành.
BC
  300  BCD
  600 và MCD
  30 0
 BCM
Ta có MD 2  MC 2  DC 2  2 MC .DC . cos 30 0  36  MD  6
1
MD  CD và MC  MD 3  MDC là nửa tam giác đều.
2
  900  MDA
  300
 DMC
  MAD
  MAB
  30 0  AMD cân tại M  BC  MA  MD  6 .
Vậy MDA
Câu 37. Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho
AC BD
. Tìm quỹ tích đỉnh C .

AD AB
A. Đường tròn tâm A , bán kính là AB 3 .
B. Đường tròn tâm A , bán kính là AC .
C. Đường tròn tâm A , bán kính là AD .
D. Đường tròn tâm A , bán kính là AD 2 .
Lời giải
Đáp án
D.
Chọn hệ trục về chiều dương như hình vẽ.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Cố định D 1; 0  . Với B  x; y   C  x  1; y 
Từ giả thiết AC . AB  AD .BD
2
2
 x  1  y . x  y   x  1  y

2
2
2
2

 x  y  2 x   1  2 x
  x  y  1 x  y  2 x   x  y  2 x  1  2 x
 x 2  y2
2
2
2
2
2


2
2

2
2
2
 x 2  y 2  1 x 2  y 2  2 x  1  0 (do x  y  1  0 ).
2
 x 2  y 2  2 x  1  0   x  1  y 2  2 (1) .
Suy ra quỹ tích B là đường tròn tâm I , bán kính
2 ( I là điểm đối xứng của D qua A )
Ta có T
B  C
BC
Vậy quỹ tích của C là đường tròn tâm A , bán kính AD 2 .
Câu 38. Cho hai đường tròn có bán kính R cắt nhau tại M , N . Đường trung trực của MN cắt các đường
tròn tại A và B sao cho A, B nằm cùng một phía với MN . Tính P  MN 2  AB 2 .
A. P  2 R 2 .
B. P  3R 2 .
C. P  4 R 2 .
D. P  6 R 2 .
Lời giải
Đáp án
C.
Giả sử trung trực MN cắt  O1  tại A , cắt  O2  tại B ( O1 ở giữa A, B )
(Bạn đọc tự vẽ hình)

Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ O2O1 đường tròn O2  biến thành đường tròn  O1  . vì vậy
B biến thành A , M biến trhành M1 , N biến thành N1 .
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
MNN1 M1
là
hình
2
2
2
bình
2
hành
nội
tiếp
nên
là
hình
chữ
nhật.
Vậy
2
MN  M1 M  MN  AB  4 R .
Câu 39. Cho hai đường tròn có bán kính R tiếp xúc ngoài với nhau tại K . Trên đường tròn này lấy điểm
A , trên đường tròn kia lấy điểm B sao cho 
AKB  90 . Độ dài AB bằng bao nhiêu?
A. R .
C. R 3 .
B. R 2 .
D. 2R .
Lời giải
Đáp án
D.

Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ O1O2 thì K biến thành C , KA thành CB . Vì vậy AB  2 R .
Câu 40. Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH của nó biết
KH  3, BD  5 . Khoảng cách từ B đến trực tâm H1 của tam giác BKH có giá trị bằng bao
nhiêu?
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4, 5 .
Lời giải
Đáp án
A.
P
B
C
H
H1
A
D
K

Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ KD ta có :
K biến thành D , H1 biến thành H , B biến thành P
Ta có PHK vuông tại H và KH  3, KP  BD  5 nên PH  25  9  4  BH1  PH  4 .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
A. Bài tập tự luận
Câu 1. Cho A 1;2  , B  1; 4  , C  0; 4  . Tìm ảnh A ', B ', C ' của điểm A, B, C qua phép tịnh tiến Tv :



a. v   2;1 b. v   4;2  c. v   3; 5 
Lời giải

 x  2
x '  x  a 
 x  x A  a  x A '  1  1
  A'

  A'
 A '  2;1
a. v   2;1 Áp dụng công thức 
y '  y  b
 y A '  y A  b  y A '  2  1  y A '  1
Tương tự ta tìm được B '  0;3 , C ' 1;5
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

b. v   4;2  Tương tự ta tìm được A '  3; 4  , B '  5;6  , C '  4; 2 

c. v   3; 5  Tương tự ta tìm được A '  4; 3 , B '  2; 1 , C '  3; 9 
Câu 2.

Cho A  2;4  , B 1;0  và vecto v   4; 1 . Tìm tọa độ A ', B ' sao cho Tv  A '   A, Tv  B '   B
Lời giải
Tv  A '   A, Tv  B '   B nên A, B là ảnh của A ', B '
 x '  x  a  x A  x A '  a  x A '  x A  a  x A '  2



 A '  2;5 
Áp dụng công thức 
 y A  y A '  b  y A '  y A  b  y A '  5
y '  y  b
Tương tự ta tìm được B '  3;1 ,
Câu 3.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   2;3 . Hãy tìm ảnh của các điểm A 1; 1 , B  4;3 qua

phép tịnh tiến theo vectơ v .
Lời giải
x '  x  a
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 
.
y'  y  b
 x '  1  (2)
 x '  1
Gọi A '  x '; y '   Tv  A  

 A '  1; 2 
 y '  1  3
y '  2
Tương tự ta có ảnh của B là điểm B '  2;6  .
Câu 4.

Cho đường thẳng  d  : x  y  1  0, v  1; 2  .
Tìm đường thẳng  d '  là ảnh của đường thẳng  d  qua phép tịnh tiến Tv .
Lời giải
Lấy 2 điểm A  0; 1 ; B  1; 0   d 
Gọi A ', B ' là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến Tv khi đó phương trình đường thẳng  d '  là pt dt qua A ', B ' .
 x A '  x A  a  x A '  0  1
 x  1

  A'
 A ' 1; 3 

 y A '  y A  b  y A '  1  2  y A '  3
 xB '  xB  a  xB '  0

 B '  0; 2 

 yB '  yB  b  yB '  2
Phương trình A ' B ' : x  y  2  0 .
Câu 5.

Cho đường thẳng  d  : x  2 y  1  0, v   1; 2  . Tìm đường thẳng  d   là ảnh của đường thẳng
 d  qua phép tịnh tiến Tv .
Lời giải
Ta có: Tv  d   d   d / / d   Phương trình  d   có dạng: x  2 y  m  0 ;
Gọi A  1;0    d 
 x  x A  xv  2
Tv  A  A  x; y  
 y  y A  yv  2
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
Mặt khác: A  2; 2    d     2   2.2  m  0  m  6 .
Vậy phương trình  d   : x  2 y  6  0 .
Câu 6.

2
2
Cho phương trình đường tròn  C  :  x  2    y  2   16, v   1; 4  . Tìm đường tròn  C   là
ảnh của  C  qua phép Tv .
Lời giải
Đường tròn  C  có tâm I  2;2  và bán kính R  4 ;
T  I   I 
.
Tv  C    C     v
 R  R  4
 x  xI  xv  3
Ta có: Tv  I   I   x; y   
 y  yI  yv  6
2
2
Vậy phương trình  C   :  x  3   y  6   16 .
Câu 7.

2
2
Cho đường tròn  C  :  x  2    y  2   16, v   3; 4  .
Tìm pt đường tròn  C '  là ảnh của đường tròn  C  qua phép tịnh tiến Tv .
Lời giải
2
2
C  : x  2    y  2   16 có tâm I  2;2  , R  4
Gọi I ' là ảnh của I qua phép tịnh tiến Tv
 xI '  xI  a  xI '  5

 I '  5;6 

 yI '  yI  b  yI '  6
2
2
Phương trình đường tròn  C '  là  x  5   y  6   16
Câu 8.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v  1; 3 và đường thẳng d có phương trình 2 x  3 y  5  0 .
Viết phương trình đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv .
Lời giải
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc d , ta có 2 x  3 y  5  0
 *
x '  x 1
 x  x ' 1
Gọi M '  x '; y '  Tv  M   

 y '  y  3  y  y ' 3
Thay vào (*) ta được phương trình 2  x ' 1  3  y ' 3  5  0  2 x ' 3 y ' 6  0 .
Vậy ảnh của d là đường thẳng d ' : 2 x  3 y  6  0 .
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Do d '  Tv  d  nên d ' song song hoặc trùng với d , vì vậy phương trình đường thẳng d ' có dạng
2 x  3 y  c  0 .(**)
Lấy điểm M  1;1  d . Khi đó M '  Tv  M    1  1;1  3   0; 2  .
Do M '  d '  2.0  3.  2   c  0  c  6
Vậy ảnh của d là đường thẳng d ' : 2 x  3 y  6  0 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Cách 3. Để viết phương trình d ' ta lấy hai điểm phân biệt M , N thuộc d , tìm tọa độ các ảnh
M ', N ' tương ứng của chúng qua Tv . Khi đó d ' đi qua hai điểm M ' và N ' .
Cụ thể: Lấy M  1;1 , N  2;3 thuộc d , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M '  0; 2  , N '  3;0  .
Do d ' đi qua hai điểm M ', N ' nên có phương trình
Câu 9.
x0 y2

 2x  3 y  6  0 .
3
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  có phương trình x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 . Tìm

ảnh của  C  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2; 3 .
Lời giải
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.
Lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc đường tròn  C  , ta có x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 *
x '  x  2
 x  x ' 2
Gọi M '  x '; y '  Tv  M   

 y '  y  3  y  y ' 3
Thay vào phương trình (*) ta được
2
2
 x ' 2    y ' 3  2  x ' 2   4  y ' 3  4  0  x '2  y '2  2 x ' 2 y ' 7  0
Vậy ảnh của  C  là đường tròn  C ' : x 2  y 2  2 x  2 y  7  0 .
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Dễ thấy  C  có tâm I  1; 2  và bán kính r  3 .
Gọi  C '  Tv   C   và I '  x '; y '  ; r ' là tâm và bán kính của (C ') .
 x '  1  2  1
Ta có 
 I ' 1; 1 và r '  r  3
 y '  2  3  1
2
2
nên phương trình của đường tròn  C '  là  x  1   y  1  9

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng d : 3 x  y  9  0 . Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ v
có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua điểm A 1;1 .
Lời giải


v có giá song song với Oy nên v   0; k  ,  k  0  .
Lấy M  x; y   d  3x  y  9  0 * .
x '  x
Gọi M '  x '; y '  Tv  M   
thay vào *  3x ' y ' k  9  0
y'  y  k
Hay Tv  d   d ' : 3x  y  k  9  0 , mà d đi qua A 1;1  k  5 .

Vậy v   0; 5  .
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d : 2 x  3 y  3  0 và d ' : 2 x  3 y  5  0 . Tìm

tọa độ v có phương vuông góc với d để Tv  d   d ' .
Lời giải

Đặt v   a; b  , lấy điểm M  x; y  tùy ý thuộc d , ta có d : 2 x  3 y  3  0 *
Gọi sử M '  x '; y '  Tv  M  .
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
x '  x  a
 x  x ' a
Ta có 
, thay vào (*) ta được phương trình

y'  y b
 y  y ' b
2 x ' 3 y ' 2a  3b  3  0 .
Từ giả thiết suy ra 2a  3b  3  5  2a  3b  8 .


Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng d là n   2; 3 suy ra VTCP u   3; 2  .
  
Do v  u  v.u  3a  2b  0 .
16

a
2a  3b  8 
13 .
Ta có hệ phương trình 

3
a

2
b

0
24

b 

13
B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M  2;5  . Phép tịnh tiến theo vectơ v  1; 2  biến
điểm M thành điểm M  . Tọa độ điểm M  là:
A. M   3; 7  .
B. M  1;3 .
C. M   3;1 .
D. M   4; 7  .
Lời giải
 x  2  1  3
Gọi Tv  M   M   x ; y    
. Vậy M   3; 7  .
 y  5  2  7
Câu 13. Phép tịnh tiến biến gốc tọa độ O thành điểm A 1;2  sẽ biến điểm A thành điểm A có tọa độ là:
A. A  2; 4  .
B. A  1; 2  .
C. A  4; 2  .
D. A  3;3 .
Lời giải
 
Phép tịnh tiến biến gốc tọa độ O thành điểm A 1;2  nên vectơ tịnh tiến u  OA  1; 2  .
 x  1  1  2
 A  2; 4  .
Khi đó, 
 y  2  2  4

Câu 14. Cho v   1;5  và điểm M   4; 2  . Biết M  là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv . Tìm M .
A. M  4;10  .
B. M  3;5  .
C. M  3; 7  .
D. M  5; 3  .
Lời giải
 x  x  a
4  x  1
 M  5; 3 


 y  y  b
2  y  5
Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm A là ảnh của điểm A  1;3  qua phép tịnh tiến

theo vectơ v   2;1 .
A. A  1;  4  .
B. A 1; 4  .
C. A 1;  4  .
D. A  1; 4  .
Lời giải

Gọi A  x; y  là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v  2;1 .
 
x 1  2
x  1
Khi đó AA  v  

.
y 3 1
y  4
Vậy A 1; 4  .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy , cho v  1; 2  , điểm M  2;5  . Tìm tọa độ ảnh của điểm M qua phép tịnh

tiến v .
A. 1;6  .
B.  3;7  .
C.  4;7  .
D.  3;1 .
Lời giải

Gọi M   x; y  là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v .
 
 x  2  1
 x  3
 M   3;7  .
Ta có MM   v   x  2; y  5   1; 2   

 y  5  2
 y  7

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  3;0 và vectơ v  1;2 . Phép tịnh tiến Tv biến A thành A .
Tọa độ điểm A là
A. A  4;2 .
B. A  2; 2 .
C. A  2; 2 .
D. A  2; 1 .
Lời giải
 x  x  1
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv là 
nên ảnh của điểm A  3;0 là điểm A  4;2 .
 y  y  2
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho  ABC có A  2; 4  , B  5;1 , C 1; 2  . Phép tịnh tiến
T
biến ABC thành A ' B ' C ' . Tìm tọa độ điểm A ' .
BC
A.  2;1 .
B.  2; 1 .
C.  2; 4  .
D.  6; 5  .
Lời giải

BC   4; 3 .
x '  x  a
 x '  2  4  2
Biểu thức tọa độ của T
là:
. Vậy A '  2;1 .

A

A
'




BC
y'  y  b
y'  4 3 1

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ v 1; 2  . Tìm ảnh của điểm A  2;3  qua phép tịnh tiến

theo vectơ v .
A. A  5; 1 .
B. A  1;5  .
C. A  3; 1 .
D. A  3;1 .
Lời giải
Giả sử A  x; y  .
 
x  2  1
 x  1
Ta có Tv  A   A  AA  v  

 A  1;5  .
y 3  2
y  5

Câu 20. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A(2;5) . Phép tịnh tiến theo vectơ v  1;2  biến A thành điểm
A. P  3; 7  .
B. N 1;6  .
C. M  3;1 .
D. Q  4; 7  .
Lời giải
 
x  2  1
x  3
Ta có Tv : A  2;5   A  x, y   AA  v  
.

y 5  2
y  7
 A  3;7   A  P .
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489

Vậy phép tịnh tiến theo vectơ v  1; 2  biến A thành điểm P  3; 7  .
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  3; 3 . Tìm tọa độ diểm A là ảnh của A qua phép

tịnh tiến theo véctơ v   1;3 .
A. A  2; 6  .
B. A  2;0  .
C. A  4;0  .
D. A  2;0  .
Lời giải:
Đáp án
B.
 
 xA  xA  xv
 xA  2

 A  2; 0  .
Ta có Tv  A   A  x A y A   AA  v  
 y A  y A  yv
 y A  0
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tọa độ điểm M  là ảnh của điểm M 1; 2  qua phép tịnh tiến

theo vectơ v   3;1 .
A. M   4; 2  .
B. M   4;2  .
C. M   2;1 .
D. M   4; 1 .
Lời giải
Đáp án
B.
 x  4
Tv  M   M   x ; y   
 M   4; 2 
 y  2

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ v   2;1 và điểm A  4;5  . Hỏi A là ảnh của điểm nào

sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
A. 1;6  .
B.  2; 4  .
C.  4;7  .
D.  6;6  .
Lời giải
Đáp án
B.
x  2
 x  x  xv
Theo biểu thức tọa độ   A

y  4
 y A  y  yv

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2; 2  , B  4;6  và Tv  A  B . Tìm vectơ v.
A. 1; 2  .
B.  2; 4  .
C.  4; 2  .
D.  2; 4  .
Lời giải
Đáp án
B.
 x  xB  x A
 x  2
 v
Ta có  v
 yv  yB  y A
 yv  4
Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biết điểm M   3;0  là ảnh của điểm M 1; 2  qua Tu và điểm
 
M   2;3 là ảnh của M  qua Tv . Tìm tọa độ vectơ u  v.
A. 1;5  .
B.  2; 2  .
C. 1; 1 .
D.  1;5  .
Lời giải
Đáp án
A.
  
   
Ta có u  MM , v  M M   u  v  MM   1; 5  .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A, B lần lượt là ảnh của các điểm A  2;3 , B 1;1


qua phép tịnh tiến theo vectơ v   3;1 . Tính độ dài vectơ AB.
A. 2 .
B.
3.
C.
5.
D.
2.
Lời giải
Đáp án
C.
Ta có
Tv  A   A
Tv  B   B
 AB  AB  5 .
Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các điểm A  3;0  , B  2; 4  , C  4;5 . G là
 
trọng tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u  0 biến điểm A thành G . Tìm tọa độ
G biết G  Tu  G  .
A. G  5;6  .
B. G   5;6  .
C. G  3;1 .
D. G  1;3 .
Lời giải
Đáp án
A.
 
Ta tìm được G  1;3  u  AG   4;3 
 

T
G

G

AG  GG  G  5; 6  .
 
AG
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M   4;2  , biết M  là ảnh của M qua phép tịnh tiến

theo véctơ v  1; 5 . Tìm tọa độ điểm M .
A. M  3;5 .
B. M  3;7  .
C. M  5;7  .
D. M  5; 3 .
Lời giải:
Đáp án
C.
 
Ta có: Tv  M   M   xM  ; yM    MM   v
 xv  xM   xM
 xM  xM   xv
 xM  5



 M  5;7  .
 yv  yM   yM
 yM  yM   yv
 yM  7
Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M  5; 2  và điểm M   3;2  là ảnh cảu M qua phép


tịnh tiến theo véctơ v . Tìm tọa độ véctơ v .




A. v   2;0  .
B. v   0; 2  .
C. v   1;0  .
D. v   2; 0  .
Lời giải:
Đáp án
D.
 
 xv  xM   xM
 xv  2


 v   2;0  .
Ta có: Tv  M   M   xM  ; yM    MM   v  


 yv  yM   yM
 yv  0
Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình F xác định như sau: Với mỗi điểm M  x; y  ta
có điểm M '  F  M  sao cho M '  x '; y ' thỏa mãn: x '  x  2; y '  y  3 . Mệnh đề nào sau đây
đúng:

A. F là phép tịnh tiến theo v   2;3 .

C. F là phép tịnh tiến theo v   2; 3 .

B. F là phép tịnh tiến theo v   2;3 .

D. F là phép tịnh tiến theo v   2; 3 .
Lời giải
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
Đáp án
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
C.

 x   x  a a  2
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của Tv  M   M  

 v   2; 3  .
 y  y  b b  3
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;6  ; B  1; 4  . Gọi C , D lần lượt là ảnh của A, B

qua phép tịnh tiến theo v  1;5  . Kết luận nào sau đây là đúng:
A. ABCD là hình vuông.
C. ABDC là hình bình hành.
B. ABCD là hình bình hành.
D. A, B, C , D thẳng hàng.
Lời giải
Đáp án
D.
Tv  A   C  C  2;11
Tv  B   D  D  0;1



AB   2; 10  , CD   2; 10  , BC   3;15 


  
AD   1; 5   BC  3 AD, AB  CD  A, B, C, D thẳng hàng.
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC biết A  2; 4  , B  5;1 , C  1; 2  . Phép tịnh tiến theo

véctơ BC biến ABC thành ABC  tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm G của ABC  là:
A. G  4; 2  .
B. G  4; 2  .
C. G  4; 2  .
D. G  4; 4  .
Lời giải:
Đáp án
A.

Ta có tọa độ trọng tâm ABC là G  2;1 ; BC   6; 3 .
 
 x   x  x
 x  4
T
 G   4; 2  .
 G   G  xG ; yG   GG  BC   G G BC   G
BC
 yG   yG  y BC
 yG   2
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  5;2  , C  1;0  . Biết B  Tu  A , C  Tv  B  .
 
Tìm tọa độ của vectơ u  v để có thể thực hiện phép tịnh tiến Tu v biến điểm A thành điểm C.
A.  6;2  .
B.  2; 4  .
C.  4; 2  .
D.  4; 2  .
Lời giải:
Đáp án
C.
 
Ta có: Tu  A   B  AB  u
 
Tv  B   C  BC  v
    
Mà AC  AB  BC  u  v
  
Do đó: Tu  v  A   C  AC  u  v   4; 2  .
Ta có sơ đồ tổng quát:
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
T
T
u
A
B
v
C
T
u+v
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với  , a, b là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi
 x '  x.cos   y.sin   a
điểm M  x; y  thành điểm M '  x '; y ' trong đó: 
. Cho hai điểm
 y '  x.sin   y.cos   b
M  x1; y1  , N  x2 ; y2  , gọi M ', N ' lần lượt là ảnh của M , N qua phép biến hình F . Khi đó
khoảng cách d giữa M ' và N ' bằng:
2
2
2
2
A. d 
 x2  x1    y2  y1  .
C. d 
 x2  x1    y2  y1  .
2
2
2
2
B. d 
 x2  x1    y2  y1  .
D. d 
 x2  x1    y2  y1  .
Lời giải
Đáp án
A.
 x   x .cos   y .sin   a  x   x .cos   y .sin   a
1
1
2
2
2
Ta có  1

 y1  x1 .sin   y1 .cos   b  y2  x2 .sin   y2 .cos   b
2
2
   
  x   x   cos    y   y   sin    x   x   sin    y   y   cos 
x2  x1
 M N  
2
2

 y2  y1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
x  x  y  y   d  x  x  y  y  .
2
1
2
1
2
1
2
1
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng có phương trình d : y  2 , và hai điểm A 1;3 ;
B  3; 4  . Lấy M trên d , N trên trục hoành sao cho MN vuông góc với d và AM  MN  NB
nhỏ nhất. Tìm tọa độ M , N ?
6  6 
7  7 
A. M  ; 2  , N  ;0  . B. M  ; 2  , N  ;0  .
5  5 
5  5 
8  8 
9  9 
C. M  ;2  , N  ;0  . D. M  ;2  , N  ;0  .
5  5 
5  5 
Lời giải
Đáp án
B.
Cách 1 : Thử các tọa độ M , N ta được kết quả AM  MN  NB nhỏ nhất với M  d , N  Ox và
MN  d .
Cách 2 :
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
A
d1
H
A1
M
d2 K
N
B
Gọi H  d1 , K  d2 sao cho HK  d1 .

Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ HK
  A  , A B  d  N , M  d với MN  d
Gọi A1  T
1
2
1
1
HK
AM  MN  NB nhỏ nhất  AM  NB nhỏ nhất ( MN không đổi)
AM  NB  A1 N  NB  A1 B
Dấu "  " xảy ra khi N  A1 B  d2
Lấy A1 1;1 , điểm N cần tìm là giao điểm của A1 B và trục hoành.


Gọi N  x0 ; 0   A1 N   x0  1; 1 , A1B   2; 5


x  1 1
7 
7 
7

 x0   N  ; 0  và M  ;2  .
Vì A1N và A1B cùng phương nên 0
2
5
5
5 
5 
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng
 d1  : 2 x  3 y  1  0
và
 d 2  : x  y  2  0 . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1 thành d 2 .
C. 1.
D. 0 .
Lời giải

Nhắc lại kiến thức: " Phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường thẳng thành đường thẳng song song
hoặc trùng với nó " .
Ta có:  d1  và  d2  không song song hoặc trùng nhau, suy ra không có phép tịnh tiến nào biến
A. Vô số.
B. 4 .
đường thẳng  d1  thành  d2  .
Câu 37. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2 x  y  1  0 . Để phép tịnh tiến theo


v biến đường thẳng d thành chính nó thì v phải là vectơ nào trong các vectơ sau đây?




A. v   2; 4  .
B. v   2;1 .
C. v   1; 2  .
D. v   2; 4  .
Lời giải


Phép tịnh tiến theo v biến đường thẳng d thành chính nó khi vectơ v cùng phương với vectơ chỉ

phương của d . Mà d có VTCP u  1; 2  .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường thẳng  là ảnh của đường thẳng

 : x  2 y  1  0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v  1; 1 .
A.  : x  2 y  3  0 .
B.  : x  2 y  0 .
C.  : x  2 y  1  0 .
D.  : x  2 y  2  0 .
Lời giải
Gọi M  x; y  là điểm thuộc  .
 x  x  1  x  x  1
M   x; y   Tv  M   

.
 y  y  1  y  y  1
Thay vào phương trình đường thẳng  ta được: x  1  2  y   1  1  0  x  2 y   0 .
Vậy phương trình đường thẳng  là ảnh của đường thẳng  có dạng: x  2 y  0 .
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng
 d1  : 2 x  3 y  1  0
và
 d 2  : x  y  2  0 . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d1 thành d 2 .
B. 4 .
C. 1.
D. 0 .
Lời giải

Nhắc lại kiến thức: " Phép tịnh tiến theo vectơ v biến đường thẳng thành đường thẳng song song
hoặc trùng với nó " .
Ta có:  d1  và  d2  không song song hoặc trùng nhau, suy ra không có phép tịnh tiến nào biến
A. Vô số.
đường thẳng  d1  thành  d2  .
Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình x  y  2  0 . Hỏi phép dời hình có

được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo véc tơ v   3; 2 
biến đường thẳng d thành đường thẳng nào sau đây?
A. x  y  2  0 .
B. x  y  2  0 .
C. 3x  3 y  2  0 .
D. x  y  3  0 .
Lời giải
Gọi M  x; y   d , M '  x '; y '  là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O , M ''  x ''; y '' là ảnh của
M ' qua phép tịnh tiến Tv .
x '  x
 x ''  x ' 3
 x ''   x  3
 x   x '' 3
Ta có: 
và 
. Do


y'  y
 y ''  y ' 2  y ''   y  2
 y   y '' 2
M  x; y   d  x  y  2  0   x '' 3  y '' 2  2  0  x '' y '' 3  0 . Vậy ảnh của d qua liên

tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo v là d '' : x  y  3  0 .

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  5 y  1  0 và vectơ v   4; 2  . Khi đó ảnh

của đường thẳng  qua phép tịnh tiến theo vectơ v là
A. x  5 y  15  0 .
B. x  5 y  15  0 .
C. x  5 y  6  0 .
D.  x  5 y  7  0 .
Lời giải
Đáp án
A.
Ảnh của  có dạng x  5 y  c  0    
Chọn
A 1; 0    : Tv  A   A  x; y     A  5;2 
  : 5  10  c  0  c  15
  : x  5y  15  0 .
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
thế
vào
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   4; 2  và đường thẳng  : 2 x  y  5  0 . Hỏi  là ảnh
của đường thẳng  nào sau đây qua Tv .
A.  : 2 x  y  5  0 .
B.  : 2 x  y  9  0 .
C.  : 2 x  y  15  0 . D.  : 2 x  y  11  0 .
Lời giải
Đáp án
D.
 x  x  4
Điểm M  x; y    biến thành M  x ; y     
thay x , y  vào
 y  y  2
 : 2 x  y  11  0 .
 x  1  2t
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : 
và đường thẳng  : x  2 y  1  0 .
 y  1  t

Tìm tọa độ vectơ v biết Tv     .




A. v   0; 1 .
B. v   0; 2  .
C. v   0;1 .
D. v   1;1 .
Lời giải
Đáp án
C.
Chọn A 1; 1  
Thử đáp án C  Tv  A   A  A 1; 0    (thỏa mãn)
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đườn thẳng   là ảnh của đường thẳng

 : x  2 y  1  0 qua phép tịnh tiến theo véctơ v  1; 1 .
A.  : x  2 y  0 .
B.  : x  2 y  3  0 . C.  : x  2 y  1  0 .
D.  : x  2 y  2  0 .
Lời giải:
Đáp án
A.
Cách 1:
Chọn A 1;0     Tv  A  A  2; 1   .
Chọn B  1;1    Tv  B   B  0;0    .
 đường thẳng   chính là đường thẳng AB .

Đường thẳng   qua A  2; 1 và có một véctơ pháp tuyến n  1; 2  có phương trình
là:  :1 x  2   2  y  1  0  x  2 y  0 .
Cách 2.
Tv       ,  là hai đường thẳng cùng phương nên   có dạng x  2 y  m  0 .
Chọn A 1;0     Tv  A  A  2; 1    m  0 .
Vậy phương trình  : x  2 y  0 .
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
Lấy M  xM ; yM     xM  2 yM  1  0 1 .
 x  xM  1
 xM  x  1

Ta có Tv  M   M   x; y     
 y   yM  1  yM  y   1
Thay vào 1 ta được  x  1  2  y  1  1  0  x  2 y   0 .
Vậy  : x  2 y  0 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC với điểm A  2;1 , điểm B thuộc
đường thẳng  : 2 x  y  5  0 . Tìm quỹ tích đỉnh C ?
A. Là đường thẳng có phương trình 2 x  y  10  0 .
B. Là đường thẳng có phương trình x  2 y  7  0 .
C. Là đường thẳng có phương trình 2 x  y  7  0 .
D. Là đường tròn có phương trình x2  y 2  2 x  y  0 .
Đáp án
A.
Lời giải:
Vì OABC hình bình hành nên T
 B  C
AO
Vậy quỹ tích điểm C là đường thẳng  ' song song với  . Ta tìm được phương trình
 ' : 2 x  y  10  0 .

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3 x  y  9  0 . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ v
có giá song song với Oy biến d thành d ' đi qua A 1;1



A. v   0;5 .
B. v  1; 5  .
C. v   2; 3 .
Đáp án

D. v   0; 5 .
D.
Lời giải:


Véc tơ v có giá song song với Oy  v   0; k  , k  0
x '  x
Gọi M  x; y   d  Tv  M   M '  x '; y'  
y'  y  k
Thế vào phương trình d  d ' : 3 x ' y´ k  9  0 mà d ' đi qua A 1;1 nên k  5 .
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : 2 x  3 y  3  0 và d' : 2 x  3 y  5  0 . Tìm

tọa độ v có phương vuông góc với d và Tv biến đường thẳng d thành d ' .
  6 4 
A. v   ;  .
 13 13 
Đáp án
D.
  1 2 
B. v   ;  .
 13 13 
  16 24 
;
C. v  
.
 13 13 
  16 24 
D. v   ;
.
 13 13 
Lời giải:

 x  x ' a
Gọi v   a; b  , ta có Tv  M   M '  x '; y'  d '  
 y  y ' b
Thế vào phương trình đường thẳng d : 2 x ' 3 y ' 2a  3b  3  0
Từ giả thiết suy ra 2a  3b  3  5  2a  3b  8 1

  
Véc tơ chỉ phương của d là u   3; 2  . Do u  v  u.v  0  3a  2b  0
Giải hệ 1 và  2  ta được a 
 2
16
24
.
;b 
13
13

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   2;1 và đường thẳng d : 2 x  3 y  3  0 ,

d1 : 2 x  3 y  5  0 . Tìm tọa độ w   a; b  có phương vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh
của d qua phép tịnh tiến Tw . Khi đó a  b bằng:
A.
6
.
13
B.
16
.
13
C.
8
.
13
D.
5
.
13
Lời giải
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
Đáp án
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
C.


Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n   2; 3   w   2m; 3m 
Tw  M   M   2 m;1  3m  , với M  d
Tw  d   d   d  có dạng 2 x  3 y    0
Vì d  qua M  4m  3  9m    0    3  13m .
 d  : 2 x  3y  3  13m  0
Để d1  d   3  13m  5  m 
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ
8
  16 24 
8
 w   ;   a  b   .
13
13
 13 13 
Oxy , cho hai đường tròn
2
2
 C  :  x  m    y  2  5
và

 C   : x 2  y 2  2  m  2  y  6 x  12  m 2  0 . Vectơ v nào dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến
biến  C  thành  C   ?

A. v   2;1 .

B. v   2;1 .

C. v   1; 2  .

D. v   2;  1 .
Lời giải
2
Điều kiện để  C   là đường tròn  m  2   9  12  m2  0  4m  1  0  m 
1
.
4
Khi đó:
Đường tròn  C   có tâm là I   2  m; 3  , bán kính R  4m  1 .
Đường tròn  C  có tâm là I   m; 2  , bán kính R  5 .

 R  R
Phép tịnh tiến theo vectơ v biến  C  thành  C   khi và chỉ khi  
 II   v
 4m  1  5
m  1
.Vậy chọn A
   
 
v   2;1
v  II    3  m;  m 
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn  C ' : x 2  y 2  2  m  2  x  6 y  12  m 2  0 và

2
2
 C  :  x  m    y  2  5. Vecto v nào dưới đây là vecto của phép tịnh tiến biến  C  thành
 C ' ?

A. v  1; 2  .

B. v   2;1 .

C. v   2;1 .

D. v   2; 1 .
Lời giải
Đường tròn  C '  có tâm I '   m  2;3 ,


 C  có tâm I  m; 2   II '  2;1   I '  Tv  I   v  2;1 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn  C   là ảnh cảu đường tròn

 C  : x2  y 2  2x  4 y  1  0 qua Tv với v  1;2  .
2
A.  x  2   y 2  6 .
2
B.  x  2   y 2  6 .
C. x2  y 2  2x  5  0 . D. 2 x 2  2 y 2  8 x  4  0 .
Lời giải:
Đáp án
B.
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ta có: đường tròn  C  có tâm I 1; 2  , bán kính R  6 .
Suy ra: Tv  I   I   2;0  .
Vậy đường tròn  C   có tâm I   2;0  , bán kính R  R  6 có phương trình:
2
 x  2  y2  6 .
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
Gọi M  x; y    C   Tv  M   M   x; y 
 x  x  1
 x  x  1


 y  y  2
 y  y  2
Thế x, y vào phương trình đường tròn  C  , ta có:
2
2
2
2
 x  1   y  2   2  x  1  4  y  2   1  0   x    y   4 x  2  0
2
Vậy  C   :  x  2   y 2  6 .


Câu 52. Cho vectơ v   a; b  sao cho khi tịnh tiến đồ thị y  f  x   x 3  3x  1 theo vectơ v ta nhận được
đồ thị hàm số y  g  x   x3  3x 2  6 x  1 . Tính P  a  b .
B. P  1.
A. P  3 .
C. P  2 .
D. P  3 .
Lời giải:
Đáp án
A.
3
Từ giả thiết ta có: g  x   f  x  a   b  x3  3x 2  6 x  1   x  a   3  x  a   1  b


 x3  3 x 2  6 x  1  x 3  3ax 2  3  a 2  1 x  a 3  3a  1  b
a  1
Đồng nhất thức ta được: 
 P  a b  3.
b  2
Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường tròn  C   là ảnh của đường tròn

 C  : x2  y 2  4 x  2 y  1  0 qua phép tịnh tiến theo v  1;3 .
A.  C   :  x  3   y  4   2 .
2
2
B.  C   :  x  3   y  4   4 .
2
2
D.  C   :  x  3   y  4   4 .
C.  C   :  x  3   y  4   4 .
2
2
2
2
Lời giải
Đáp án
B.
Đường tròn  C  có tâm I  2;1 , bán kính R  2
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
2
2
Ta có I   Tv  I   I   3;4    C   :  x  3    y  4   4 .

2
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v   3; 1 và đường tròn  C  :  x  4   y 2  16 . Ảnh của  C 
qua phép tịnh tiến Tv là
2
2
B.  x  1   y  1  16 .
2
2
D.  x  7    y  1  16 .
A.  x  1   y  1  16 .
C.  x  7    y  1  16 .
2
2
2
2
Lời giải
Đáp án
C.
Đường tròn  C  có tâm I  4; 0  , bán kính R  4
Ta có Tv  I   I   7; 1
2
2
Vậy đường tròn ảnh là  C  :  x  7    y  1  16

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v  1; 2  và đường cong  C  : 2 x 2  4 y 2  1 . Ảnh của  C  qua
phép tịn tiến Tv là
A. 2 x2  4 y 2  4 x  16 y  17  0 .
B. 2 x2  4 y 2  4 x  16 y  17  0 .
C. 2 x2  4 y 2  4 x  16 y  17  0 .
D. 2 x2  4 y 2  4 x  16 y  7  0 .
Lời giải
Đáp án
B.
 x  x  1  x  x   1
Sử dụng quỹ tích điểm M  x; y    C  : Tv  M   M   x ; y    C    

 y  y  2  y  y   2
Thay vào  C  ta được đáp án
B.
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip  E  :

x2 y 2

 1 và véc tơ v   2;1 . Ảnh của  E  qua
16 9
phép tịn tiến Tv là:
2
2
2
 x  2    y  1  1 .
A.  E  :
16
2
9
2
C.  E  :
x
y

1.
4 9
Đáp án
A.
16
2
D.  E  :
2
 x  2    y  1  1 .
B.  E  :
9
2
x  2 y 1

1.
16
9
Lời giải
 x  x  2
Sử dụng quỹ tích điểm: Tv  M   M   x ; y  với mọi điểm M  x; y    E   
 y  y  2
Thay vào  E  ta được đáp án
A.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/


x2  x  1
Câu 57. Cho véc tơ v   a; b  sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị y  f  x  
theo véc tơ v ta nhận
x 1
2
x
đồ thị hàm số y  g  x  
. Khi đó tích a.b bằng:
x 1
A. 1.
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
Lời giải
Đáp án
C.
Ta có g  x   f  x  a   b
2
 x  a   x  a  1  b
x2


x 1
x  a 1
2
2
x   2a  b  1 x  a2  ab  a  b  1
x


x 1
x  a 1
 a  2

 a.b  6 .
 b  3
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) 
https://www.facebook.com/groups/703546230477890/
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/