INGENIERÍA
CÁLCULO 1
UNIDAD II: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
SESIÓN 14: INTEGRACIÓN FUNCIONES RACIONALES.
PRÁCTICA
NIVEL 1
1. De las siguientes expresiones, identifique cuales son funciones racionales:
x2 + x + 1
x2 − x + 1
b) y =
a) y = 2
x −4
x2
1
x2 + x + 1
d) y =
c) y =
( x −1)( x + 2)( x + 3)
x −1
1/2
x
x2 + 2 x + 1
d) y = 3
e
)
y
=
x − 2x2 − 3x
x3 −1
2. Clasifique las siguientes funciones racionales, en propias e impropias, según sea el caso:
x +1
x2 + x + 1
a) y = 2
b) y =
x −4
x( x − 2)
2
1
x −1
d) y =
c) y = 3
( x + 2)( x + 3)
x −1
4
x2 + x − 6
1− x
d) y = 3
e) y =
2
x − 2x − 3x
x3 − 1
NIVEL 2
3. Resolver las siguientes integrales aplicando el método de separación en fracciones parciales:
𝟐𝒙+𝟑
3.1 ∫ (𝒙−𝟐)(𝒙+𝟓) 𝒅𝒙
𝒙
3.2 ∫ (𝒙+𝟏)(𝒙+𝟐)(𝒙+𝟑) 𝒅𝒙
3.3 ∫
𝟏+𝒙𝟒
𝒙(𝒙𝟐 −𝟏)
𝒅𝒙
𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟐
3.4 ∫ 𝒙(𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏) 𝒅𝒙
𝒙𝟐
3.5 ∫ 𝒙𝟑+𝟓𝒙𝟐+𝟖𝒙+𝟒 𝒅𝒙
𝟓𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟗
3.6 ∫ (𝒙−𝟑)𝟐(𝒙+𝟏)𝟐 𝒅𝒙
Departamento de Ciencias
Rpta. 𝑳𝒏|𝑪(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓)|
𝑪(𝒙+𝟐)𝟒
𝟏
Rpta. 𝟐 𝑳𝒏 |(𝒙+𝟏)(𝒙+𝟑)𝟑 |
Rpta.
𝒙𝟐
𝟐
𝑪(𝒙𝟐 −𝟏)
+ 𝑳𝒏 |
𝒙𝟐
𝒙
|
𝟔
Rpta. 𝑳𝒏 |𝒙+𝟏| + 𝒙+𝟏 + 𝑪
𝟒
Rpta. 𝑳𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝒙+𝟐 + 𝑪
𝟗
𝟏
𝟏
𝟏
Rpta. − 𝟐 (𝒙−𝟑) − 𝟐 (𝒙+𝟏) + 𝑪
INGENIERÍA
CÁLCULO 1
𝟔𝒙𝟑
3.7 ∫ (𝒙𝟐+𝟏)𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒙
3.8 ∫ 𝒙(𝒙𝟑+𝟏)𝟐
𝒙𝟓 𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟐
Rpta. 𝟑𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝟏| − 𝒙𝟐 +𝟏 + 𝑪
𝟏
𝟏
Rpta. 𝑳𝒏|𝒙| − 𝟑 𝑳𝒏|𝒙𝟑 + 𝟏| + 𝟑(𝒙𝟑+𝟏) + 𝑪
𝟏
Rpta. 𝟑 (𝒙𝟑 − 𝑳𝒏|𝒙𝟑 − 𝟏|) + 𝑪
3.9 ∫ 𝒙𝟑−𝟏
𝒙𝟑 +𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟏𝟓
3.10 ∫ (𝒙𝟐+𝟓)(𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟑) 𝒅𝒙
𝒅𝒙
3.11 ∫ 𝒙(𝒙𝟐+𝟒)(𝒙𝟐+𝟏)
𝒙𝟐
3.12 ∫ 𝟏−𝒙𝟒 𝒅𝒙
𝟐𝒙
3.13 ∫ (𝟏+𝒙)(𝒙𝟐+𝟏)𝟐 𝒅𝒙
𝟓𝒙𝟐 −𝟏𝟐
3.14 ∫ (𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟏𝟑)𝟐 𝒅𝒙
𝟑𝒙𝟒 +𝟒
3.15 ∫ 𝒙𝟐(𝒙𝟐+𝟏)𝟑 𝒅𝒙
Rpta. 𝑳𝒏√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 +
𝟏
𝟓
√𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(
𝟏
𝒙+𝟏
√𝟐
𝒙
) − √𝟓𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈( ) + 𝑪
𝟕
√𝟓
𝟏
Rpta.𝟏𝟔 𝑳𝒏|𝒙| − 𝟏𝟖 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝟏| + 𝟐𝟖𝟖 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝟒| − 𝟐𝟒(𝒙𝟐+𝟒) + 𝑪
𝟏
𝟏+𝒙
𝟒
𝟏−𝒙
Rpta. 𝑳𝒏 |
𝟏
| − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 + 𝑪
𝒙−𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
Rpta. 𝟐(𝒙𝟐 +𝟏) − 𝟐 𝑳𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝟒 𝑳𝒏(𝟏 + 𝒙𝟐 ) + 𝑪
𝟏𝟑𝒙−𝟏𝟓𝟗
𝟓𝟑
Rpta. 𝟖(𝒙𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟑) + 𝟏𝟔 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
Rpta. −
𝟓𝟕𝒙𝟒 +𝟏𝟎𝟑𝒙𝟐 +𝟑𝟐
𝟖𝒙(𝒙𝟐 +𝟏)𝟐
−
𝟓𝟕
𝟖
𝒙−𝟑
𝟐
+𝑪
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 + 𝑪
NIVEL 3
4. En una comunidad de 8 000 personas, la tasa a la que se difunde un rumor es conjuntamente
proporcional al número de personas que lo han escuchado y al número de personas que aún no
lo han escuchado, Cuando 20 personas han escuchado el rumor, éste se difunde a una tasa de
200 personas por hora.
a) Si inicialmente 4 personas conocen el rumor, obtenga el modelo matemático que exprese el
número de personas que lo han escuchado 𝑥, en función del tiempo 𝑡 (en horas).
Determine cuantas personas han escuchado el rumor después de
b) 5 min.
c) 15 min.
d) 30 min.
e) 1 h
f) 1.5 h
g) ¿Es cierto que toda la comunidad se enteró del rumor al cabo de 2 horas?
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
N°
1
2
CITA
Stewart, James. Cálculo de una variable
George Thomas. Cálculo
Departamento de Ciencias