0 y x
1) Calcular el siguiente integral I=     z 2  y  dzdxdy
1 0 1
Solución:
0 y
x
I=   [   z 2  y  dz ]dxdy
1 0 1
x
Primero hallamos la siguiente integral interior I=   z 2  y  dz:
1
x
*I=   z 2  y  dz:

1
x
Aplicando :
 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
x
*    ydz   z 2 dz
1
1
z3
3
x
x3 1
x3 1
*   yx  y       z 2  y  dz   xy  y  
3 3
3 3
1
*   yz |1x 
0 y
*Ahora la nueva integral es "I=   ( xy  y 
1 0
y
* ( xy  y 
0
x3 1
 )dx
3 3

x3 1
 )dxdy e integraremos en terminos de "dx":
3 3
Aplicando :
  f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  dx    g ( x)  dx
3
y x
y
y
1
dx  
dx   ydx   yxdx
0 3
0 3
0
0
1
x4
x2 y y
*  x |0y  y |0y  x |0y 
|0
3
4
2
* 
y
y
1
y4
y3
x3 1
1
y4
y3
*   y   y 2    ( xy  y   )dx   y   y 2 
3
12
2
3 3
3
12
2
0
0
1
y4
y3
*Ahora la nueva integral es "  ( y   y 2  )dy" e integraremos en terminos de "dy":
3
12
2
1
0
1
y4
y3
*  ( y   y 2  )dy
3
12
2
1

Aplicando :
  f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  dx    g ( x)  dx
4
3
0 y
0
0 y
1
ydy  
dy   y 2 dy  
dy
1 3
1 12
1
1 2
* 
0
1y 2 0 y 5 0 y 3 0 y 4 0
|1  |1  |1  |1
6
60
3
8
 1 1 1  1
*      
 6  60 3  8 
*
RPTA :
77
120
 ( x  y  z )dxdydz, donde T es la region limitada por: 1  x  3
2) Calcular
T
1  y  3, 1  z  3
Solucion
3 3 3
Integramos la region dada: I=    ( x  y  z ) dxdydz
1 1 1
3
Primero hallamos la siguiente integral interior I=  ( x  y  z )dx:
1
3
*I=  ( x  y  z )dx:

1
3
3
Aplicando :
 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
3
*   ydx   zdx   xdx
1
1
1
x2 3
|1
2
*  yx |13  zx |13 
3
*=2y+2z+4   ( x  y  z )dx  2y+2z+4
1
3 3
*Ahora la nueva integral es "I=   (2y+2z+4 )dydz e integraremos en terminos de "dy":
1 1
Aplicando :
3
* (2y+2z+4 )dy

  f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  dx    g ( x)  dx
1
3
3
3
* 4dy   2zdy   2ydy
1
1
1
*4 y |13 2 zy |13 2
y2 3
|1
2
3
*  8+4z+8   (2y+2z+4 )dy  8+4z+8
1
3
*Ahora la nueva integral es " (4z+16)dz" e integraremos en terminos de "dz":
1
Aplicando :
3
* (4z+16)dz 
1
3
3
* 4zdz   16dz
1
1
4z2 3
|1 16 z |13
2
*=16+32
*
RPTA : 48
 a  f  x  dx  a   f  x  dx
  f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  dx    g ( x)  dx