0 y x
1) Calcular el siguiente integral I= z 2 y dzdxdy
1 0 1
Solución:
0 y
x
I= [ z 2 y dz ]dxdy
1 0 1
x
Primero hallamos la siguiente integral interior I= z 2 y dz:
1
x
*I= z 2 y dz:
1
x
Aplicando :
f x g x dx f x dx g x dx
x
* ydz z 2 dz
1
1
z3
3
x
x3 1
x3 1
* yx y z 2 y dz xy y
3 3
3 3
1
* yz |1x
0 y
*Ahora la nueva integral es "I= ( xy y
1 0
y
* ( xy y
0
x3 1
)dx
3 3
x3 1
)dxdy e integraremos en terminos de "dx":
3 3
Aplicando :
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
3
y x
y
y
1
dx
dx ydx yxdx
0 3
0 3
0
0
1
x4
x2 y y
* x |0y y |0y x |0y
|0
3
4
2
*
y
y
1
y4
y3
x3 1
1
y4
y3
* y y 2 ( xy y )dx y y 2
3
12
2
3 3
3
12
2
0
0
1
y4
y3
*Ahora la nueva integral es " ( y y 2 )dy" e integraremos en terminos de "dy":
3
12
2
1
0
1
y4
y3
* ( y y 2 )dy
3
12
2
1
Aplicando :
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
4
3
0 y
0
0 y
1
ydy
dy y 2 dy
dy
1 3
1 12
1
1 2
*
0
1y 2 0 y 5 0 y 3 0 y 4 0
|1 |1 |1 |1
6
60
3
8
1 1 1 1
*
6 60 3 8
*
RPTA :
77
120
( x y z )dxdydz, donde T es la region limitada por: 1 x 3
2) Calcular
T
1 y 3, 1 z 3
Solucion
3 3 3
Integramos la region dada: I= ( x y z ) dxdydz
1 1 1
3
Primero hallamos la siguiente integral interior I= ( x y z )dx:
1
3
*I= ( x y z )dx:
1
3
3
Aplicando :
f x g x dx f x dx g x dx
3
* ydx zdx xdx
1
1
1
x2 3
|1
2
* yx |13 zx |13
3
*=2y+2z+4 ( x y z )dx 2y+2z+4
1
3 3
*Ahora la nueva integral es "I= (2y+2z+4 )dydz e integraremos en terminos de "dy":
1 1
Aplicando :
3
* (2y+2z+4 )dy
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
1
3
3
3
* 4dy 2zdy 2ydy
1
1
1
*4 y |13 2 zy |13 2
y2 3
|1
2
3
* 8+4z+8 (2y+2z+4 )dy 8+4z+8
1
3
*Ahora la nueva integral es " (4z+16)dz" e integraremos en terminos de "dz":
1
Aplicando :
3
* (4z+16)dz
1
3
3
* 4zdz 16dz
1
1
4z2 3
|1 16 z |13
2
*=16+32
*
RPTA : 48
a f x dx a f x dx
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
0
