COMPENDIO DE
PROBLEMAS
PARA EL CURSO DE
DIBUJO DE INGENIERÍA II
Autor: Ing. Esteban Ortiz Bosmans
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 1:
PUNTO Y RECTA
Capítulo 1: PUNTO Y RECTA
Nivel de Dificultad I
(Vacío)
Nivel de Dificultad II
1)
2003-1-P01I-prob1, 2004-1-P02I-prob1
Un trípode OABC descansa sobre un suelo nivelado. La pata OA tiene 7 metros de longitud, forma un
ángulo de 50º con el suelo y tiene una orientación N45ºE. Las otras dos patas OB y OC tiene longitudes
de 6.48 y 5.72 metros respectivamente. En la proyección horizontal las patas figuran igualmente
espaciadas es decir, con una separación de 120º entre sí. Sabiendo que B está a la izquierda de C,
determinar las coordenadas de los puntos B, C y O. Además determinar las orientaciones y pendientes
de las patas OB y OC.
A ( 8, 10, 0 )
Rpta:
2)
B(16,21,16.6667)
D(9,26,75)
peAB=191.80%asc
peAD=1151.79%asc
OK
yB=32.5691
orAB=S38º35’E
peBC=62.37%asc
P(22.9904,27.5,20)
or=N6º58’E
pe=74.95%asc
long=30.8455metros
OK
2003-1-EXPK-prob1, 2006-2-P01H-prob1
La dirección de vuelo de un jet que parte del punto A es N45ºE y gana altura a razón de 300m/km. ¿Cuál
es la diferencia de altura entre el obstáculo PQ y el avión en el instante que cruza dicho obstáculo?
A ( 7.5, 2, 12 ) km
P ( 9, 4.5, 10 ) km
Q ( 12, 3.5, 12) km
Rpta:
6)
OK
2003-1-P01K-prob1, 2004-1-P01K-prob1
Una paloma se encuentra en el punto A situado sobre un árbol a una altura de 5 metros del suelo
nivelado. En un momento dado, la paloma alza vuelo y sigue la dirección N30ºE con una pendiente de
30º. Cuando la paloma alcanza una altura de 20 metros recibe el impacto de un proyectil disparado por
un cazador desde el punto B. El punto B está situado a 10 metros al este y 2 metros al sur de A y a una
altura de 1.5 metros del suelo. Hallar las características del recorrido del proyectil (orientación, pendiente
y longitud) y las coordenadas del punto de impacto con la paloma.
A ( 10, 5, 5 )
Rpta:
5)
peOB=147.39%desc
peOC=269.33%desc
2003-1-P01J-prob1, 2003-1-P01L-prob1
La pendiente del segmento AB es 55% descendente. Hallar la orientación y la pendiente de BC sabiendo
que B está más al Norte que A.
A ( 10, 20, 30 )
B ( 8, ¿?, 23 )
C ( 30, 5, 45 )
Rpta:
4)
orOB=N75º0’O
orOC=S15º0’E
2003-1-P01I-prob2, 2004-1-P01K-prob2
Se tienen los puntos A, B, C y D que en su proyección horizontal forman los vértices de un cuadrado. Las
pendientes de los segmentos BC y CD son el doble y el triple de la pendiente del segmento AB
respectivamente. Determinar las coordenadas de los puntos B y D y las pendientes de los segmentos AB
y AD, sabiendo que D está al oeste que C.
A ( 10, 20, 5 )
C ( 15, 27, 40 )
Rpta:
3)
B(1.3042,7.7600,0)
C(5.3337,4.8952,0)
O(4.8184,6.8184,5.3623)
∆h=2.4546km
2003-2-P01H-prob1
Determinar la orientación y pendiente del segmento BC si se sabe que el segmento AB mide 10 3
unidades. Se sabe también que el punto B está 8 unidades al oeste y 5 unidades al sur del punto A y
también que está encima del punto C.
A ( 10, 8, 6 )
B ( ¿?, ¿?, ¿? )
C ( 1, 6, 4 )
Rpta:
B(2,3,20.5258)
Esteban Ortiz Bosmans
or=N18º26’6”O
pe=79º10’02”desc
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
7)
2006-1-P01H-prob2
Completar las coordenadas del punto B y determinar la orientación y pendiente del segmento AB
sabiendo que la relación entre las pendientes de AB y BC es de 5/2.
A ( 17, 18, 45 )
B ( 28, 45, ¿? )
C ( 69, 12, 10 )
Rpta:
8)
OK
inf=(30,23.3333,22.1716)
sup=(30,23.3333,43.3333)
∆z=21.1617m
OK
or=N57º24’36”E
v=0.1575km/h
zR=69.6391
or(RS)=Sur
yS=12.5813
pe(RS)=332.66%desc
M(22,17.3636,40.9091)
or=N57º25’E
vel=0.1575km/h
dist=663.8037m
vel=331.90m/s
or=S83º29’E
pe=40.66%asc
OK
2008-1-P01H-prob1
Un OVNI que desciende verticalmente es observado desde P en dirección N55ºE y pendiente
descendente de 20%, y desde Q en dirección N50ºO y pendiente ascendente de 25º. Determinar las
distancias entre los puntos de observación y el OVNI.
P ( 5, 20, 10 )
Q ( 65, 25, 20 )
Rpta:
15)
long=38.43metros
2007-3-P01G-prob1
Desde una torre de control, T, se ve un avión antes de alzar vuelo con una orientación N18ºO y bajo un
ángulo de 20º. 2 segundos más tarde se le ve en dirección N70ºE y con un ángulo de elevación
(ascendente) de 15º y a una altura de 250m de la pista de aterrizaje (plano XY). Determinar la distancia
recorrida por el avión (supuesta rectilínea), la orientación y pendiente de su dirección de vuelo y la
velocidad (supuesta uniforme) en m/s.
T ( ¿?, ¿?, 100 )
Rpta:
14)
pe=60.93%asc
2007-1-P01I-prob1
Desde un punto situado a 250 metros sobre el nivel del mar se observa un barco en dirección N45ºO,
bajo un ángulo de depresión de 20º30’. Cinco horas después el barco es observado en dirección N12ºE,
bajo un ángulo de depresión de 15º15’. Determinar la dirección en que viaja el barco y la velocidad que
lleva en km/h.
Rpta.:
13)
or=N12º53’E
2007-1-P01H-prob1
RS se corta con PQ en el punto M. Completar las coordenadas que faltan de R y S sabiendo que RM
mide 30 unidades y va hacia abajo. Determinar además la orientación y pendiente de la recta RS.
P ( 12, 11, 50 )
Q ( 34, 25, 30 )
R ( 22, 26, ¿? )
S ( 22, ¿?, 25 )
Rpta.:
12)
pe=69.7113%desc
2006-2-P01J-prob1
Desde un punto situado a 250 metros sobre el nivel del mar se observa un barco en dirección N45ºO,
bajo un ángulo de depresión de 20º30’. Cinco horas después el barco es observado en dirección N12ºE,
bajo un ángulo de depresión de 15º15’. Determinar la dirección en que viaja el barco y la velocidad que
lleva en km/h.
Rpta:
11)
or=N22º09’59”E
2006-2-P01J-prob1
Un árbol vertical se ve desde los puntos A y D, según las direcciones AB y DE. La visual que parte de A
va a la parte más baja del árbol con un ángulo de elevación de 30º y la visual que parte de D va a la
parte más alta del árbol con una pendiente de 100%. Obtener las coordenadas de los extremos del árbol
y encontrar su altura.
A ( 10, 30, 10 )
B ( 25, 25, ¿? )
D ( 50, 50, 10 )
E ( 35, 30, ¿? ) metros
Rpta:
10)
zB=24.6758
2006-1-P01J-prob1
En un concurso de tiro al platillo, el mecanismo que lanza el platillo está en un punto A y el tirador en un
punto B situado 10 metros al Este y 2 metros al Sur de A. El platillo es lanzado en la dirección N30ºE y
con un ángulo de 30º respecto a la horizontal. En el momento que el platillo alcanza una altura de 20
metros recibe el impacto del disparo. Hallar las características de la trayectoria del proyectil (orientación,
pendiente y longitud recorrida). Suponer que no influye la gravedad ni la resistencia del aire y que el
tirador y el aparato que lanza el platillo están sobre el mismo plano horizontal.
Rpta:
9)
Capítulo 1:
PUNTO Y RECTA
distP=44.7624
distQ=34.6332
2008-1-P01I-prob1
¿Cuán atrás está la recta PQ de la recta RS?
P ( 61, 82, 12 )
Q ( 54, 42, 64 )
Rpta:
R ( 19, 75, 24 )
S ( 78, 34, 33 )
distΔy=20.625
Esteban Ortiz Bosmans
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Ciclo 2019-2
16)
2009-1-P01H-prob2
La pendiente de PQ es 55%. Hallar el alejamiento de Q y la orientación y pendiente de QR. Presente
todas las soluciones posibles.
P ( 100, 30, 40 )
Q ( 80, ¿?, 25 )
R ( 10, 35, 20 )
Rptas:
17)
OK
zB=34.0335
or=N63º26’O
zC=27.0977
pe=43.87%asc
zD=24.9044
49.4170m
zA=133.4768
or=S78º41’E
pe=190.14%desc
OK
yQ1=55.4703
yQ2=84.5297
or1=N52º0’E
or2=S69º8’E
pe1=63.04%asc
pe2=74.75%asc
OK
zP=2cm
Q=(9,1.5505,3)cm
or=S50º46’E
pe=25.82%asc
2010-1-EXPI-prob1
Un avión vuela horizontalmente a una altura de 700 metros. Desde un punto P de observación en la
tierra, se le ubica primero en la dirección N18ºO y bajo un ángulo de 30º; dos minutos más tarde en la
dirección N32ºE y bajo un ángulo de 26º. Determinar la orientación que lleva su trayectoria, la distancia
recorrida (supuesta rectilínea) y la velocidad del avión (supuesta uniforme).
Rpta:
24)
dist=38.4394m
2010-1-P01I-prob1
La distancia entre los puntos P y Q es 4 cm. La cota de P es de 2 cm y la cota de Q es de 3 cm.
Determinar las coordenadas de P y Q y obtener la orientación y pendiente de la recta PQ, sabiendo
además que Q se encuentra 3 cm a la derecha de P. Considerar Q delante de P.
P ( 6, 4, ¿? ) cm
Rpta:
23)
pe=60.93%asc
2010-1-P01H-prob1
Hallar la orientación y pendiente de QR, sabiendo que PQ tiene 45% de pendiente. Obtener todas las
soluciones posibles.
P ( 30, 70, 15 )
Q ( 60, ¿?, 30 )
R ( 85, 75, 50 )
Rpta:
22)
or=N12º53’E
2009-3-P01G-prob1
Determinar la cota de A y obtener la orientación y pendiente de AB si las distancias AB y BC están en la
relación de 2 a 3. Tomar A arriba de B.
A ( 15, 20, ¿? )
B ( 40, 15, 85 )
C ( 95, 50, 35 )
Rpta:
21)
pe1=6.77%desc
pe2=7.01%desc
2009-2-P01H-prob1
Un OVNI (objeto volador no identificado) desciende verticalmente y es observado desde A con una visual
de orientación N50ºO y pendiente ascendente de 25%. Desde el punto B se le observa con una visual de
orientación N55ºE y una pendiente de 20% descendente. Hallar la distancia recorrida por el OVNI entre
las dos observaciones.
A ( 100, 85, 125 ) metros
B ( 45, 65, 90 ) metros
Rpta:
20)
or1=N71º25’O
or2=S79º3’O
2009-1-P01I-prob2
Las rectas AB, BC, CD y DE tienen igual pendiente. Determinar las coordenadas de los puntos B, C y D
y la orientación y pendiente de la recta ED.
A ( 5, 25, 45 )
B ( 25, 10, ¿? )
C ( 40, 15, ¿? )
D ( 40, 10, ¿? )
E ( 50, 5, 20 )
Rptas:
19)
yQ1=11.4581
yQ2=48.5419
2009-1-P01I-prob1
Se tiene una paloma situada en el punto A y un tirador situado en el punto B. B está 10 metros al Este, 2
metros al Sur y a la misma altura que A. La paloma alza vuelo y sigue una dirección de N30ºE y con un
ángulo de elevación de 30º. Cuando la paloma alcanza una altura de 20 metros respecto al punto A,
recibe el impacto del proyectil. Hallar las características de la trayectoria rectilínea del proyectil:
orientación, pendiente y distancia recorrida.
Rpta:
18)
Capítulo 1:
PUNTO Y RECTA
or=N86º46’E
dist=1137.0146m
vel=9.4751m/s
2011-1-P01I-prob2
Mostrar la visibilidad de las tuberías, cuyos ejes son los segmentos de recta JL, MN, PQ y RS, cuando
son observadas desde arriba (hacia abajo) y desde adelante (hacia atrás). Las tuberías son de 3
unidades de diámetro y están abiertas en sus extremos. No mostrar las partes de las tuberías que están
ocultas tras las otras tuberías y mostrar los extremos más cercanos al observador como elipses
completas y los más lejanos como medias elipses, de manera similar al ejemplo contiguo.
J ( 20, 14, 22 )
K ( 67, 44, 22 )
M ( 60, 50, 8 )
N ( 60, 6, 50 )
P ( 26, 50, 10 )
Q ( 44, 8, 48 )
R ( 18, 20, 40 )
S ( 68, 20,8)
Rpta:
Ver solución al final del documento
Esteban Ortiz Bosmans
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 1:
PUNTO Y RECTA
Nivel de Dificultad III
25)
2003-1-P01J-prob2, 2004-1-P01L-prob2
Se tiene los puntos A, B, C, D y E que en su proyección horizontal forman los vértices de un pentágono
regular cuyo centro está más al este que el punto D. Los segmentos AB, BC y CD tienen la misma
pendiente. Los segmentos DE y EA tiene la misma pendiente. Determinar las coordenadas de los puntos
B, C y E y las pendientes de los segmentos AB y DE.
A ( 20, 50, 8 )
D ( 10, 12, 25 )
Rpta:
26)
C(30.3923,-3.3205,-2.0444)
F(16.5359,19.7735,-20.1109)
peAB=44.72%desc
peAF=223.61%desc
D(16.9282,-3.5470,-8.0665)
yA=20.1505
yR=13
yB=4.7576
zS=5
OK
A’(23.6878,34.6011,23.6921)
B’(23.6878,346011,35.4608)
C’(23.6878,34.6011,25.3648)
distAA’=26.4346u
distBB’=36.5835u
distCC’=36.0704u
OK
zA=4.6827
B(66,18,23.1218)
D(44,72,78.4391)
OK
2006-2-P01H-prob2
Completar las coordenadas de los puntos Q y R y determinar la orientación y pendiente del segmento
PQ sabiendo que la pendiente de SR es dos veces la pendiente de PQ y tres veces la pendiente de QR.
P ( 17, 18, 45 )
Q ( 28, 45, ¿? )
R ( 69, 12, ¿? )
S ( 78, 50, 25 )
Rpta:
31)
B(36.9282,8.4530,3.9778)
zE=-14.0887
orAB=S30º58’E
orAF=S89º02’O
2006-1-P01J-prob2
La proyección de los segmentos AB, BC, CD y AD sobre el plano Horizontal resulta en un rectángulo tal
que la relación de sus lados es de 2 a 1. Completar las coordenadas de los puntos A, B y D si se sabe
que B está delante de A y que las pendientes de los segmentos AB, BC y CD son iguales entre sí y
equivalen a la inversa de la pendiente del segmento AD. Considerar A debajo de B.
A (40, 20, ¿?)
C (70,70, 60)
Rpta:
30)
OK
2003-1-EXPJ-prob1, 2007-1-P01I-prob2
Desde una torre vertical que tiene diferentes niveles se ha observado a tres puntos: A, B y C. Al punto A
con pendiente descendente de 100%; a B con orientación N40ºE y pendiente descendente de 25º y a C
con orientación S65ºE y pendiente descendente de 30%. Hallar las coordenadas de los puntos de
observación y las respectivas distancias entre éstos y los puntos observados.
A ( 5, 35, 5 )
B ( 45, 60, 20 )
C ( 55, 20, 15 )
Rpta.:
29)
E(1.1957,34.6327,16.5000)
2003-1-EXPI-prob1
Desde un túnel vertical descendente RS de 15 metros de longitud parten dos socavones hacia los puntos
A y B. El que pasa por A tiene una orientación N40ºO y una pendiente ascendente de 90%. El que pasa
por B tiene una orientación S20ºE y una pendiente descendente de 45%. Completar las coordenadas de
los puntos A, B, R y S y hallar las longitudes de los socavones.
A ( 14, ¿?, 14 )
B ( 23, ¿?, 12)
R ( 20, ¿?, 20 )
S ( 20, 13, ¿? )
Rpta:
28)
C(34.2457,13.3795,19.3333)
peDE=35.00%desc
2003-1-P01K-prob2
Se tienen los puntos A, B, C, D, E y F que en su proyección horizontal forman los vértices de un
hexágono regular. Se sabe que las pendientes de los segmentos AB, BC, CD, DE, y EF son iguales y
descendentes, y que la pendiente del segmento AF es la inversa del la pendiente del segmento AB.
Además se sabe que B está a la derecha de A. Determinar las coordenadas de los puntos B, C, D, E y F
y las pendientes de los segmentos AB y AF.
A ( 30, 20, 10 )
E ( 10, 8, ¿? )
Rpta:
27)
B(40.4260,36.8648,13.6667)
peAB=23.33%asc
zQ=87.0687
or=N22º10’E
zR=137.6976
pe=144.29%asc
OK
2006-2-P01J-prob2
Completar las coordenadas del punto Q y determinar la orientación y pendiente del segmento PQ
sabiendo que la pendiente de QR es 3 veces la pendiente de PQ, siendo PQ ascendente y QR
descendente.
P ( 15, 20, 45 )
Q ( 30, 45, ¿? )
R ( 70, 10, -5 )
Rpta:
zQ=68.1736
Esteban Ortiz Bosmans
or=N30º57’50”E
pe=79.48%asc
OK
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
32)
2007-1-P01H-prob2
Determinar la cota del punto B sabiendo que las pendientes de las rectas AB y BC son ascendentes y
tienen valores inversos y que la longitud del segmento AB es menor que la del segmento BC.
A ( 5, 35, 5 )
B ( 45, 60, ¿? )
C ( 50, 40, 95 )
Rpta.:
33)
xP=32
yQ=64
zQ=35.7771
OK
2007-2-P01I-prob1
Completar las coordenadas de los puntos C y D si la recta CD tiene orientación N15ºO y está 20
unidades a la derecha de AB.
A ( 80, 10, 70 )
B ( 15, 50, 30 )
C ( ¿?, 15, 25 )
D ( ¿?, 65, 75 )
Rpta:
35)
zB=17.5567
2006-1-P01H-prob1, 2007-2-P01H-prob1
El segmento PQ tiene una pendiente de 50% ascendente y una longitud de 80 unidades. El alejamiento
de Q es el doble del apartamiento de P y ambos son positivos. Completar las coordenadas de P y Q.
P ( ¿?, 0, 0 )
Q (0, ¿?, ¿? )
Rpta:
34)
Capítulo 1:
PUNTO Y RECTA
xC=64.7340
xD=51.3365
2007-2-P01I-prob2
Completar las coordenadas del punto Q y determinar a orientación y pendiente del segmento PQ
sabiendo que la pendiente de QR es 7 veces la pendiente de PQ.
P ( 15, 20, 45 )
Q ( 30, 45, ¿? )
R ( 70, 10, 5 )
Rpta:
36)
pe=23.56%desc
A(30.8058,45.6004,0)
B(0,30.4003,30)
or=S63º44’O
pe=87.33%asc
2009-1-P01H-prob1
En un instante dado, un avión A y un barco B se cruzan sobre una misma vertical y a una distancia de 3
km. La trayectoria del avión sigue la dirección N45ºE, a una velocidad de 240 km/h y con un ángulo de
descenso de 30º. El barco navega en la dirección N60ºO y a la velocidad de 120 km/h. Hallar la distancia
entre el avión y el barco un minuto después.
Rpta:
38)
or=N30º58’E
2008-1-EXPH-prob1
El punto A está contenido en el plano horizontal principal. El punto B está contenido en el plano principal
de perfil. La cota del punto B es de 30 unidades y su alejamiento es media proporcional entre el
apartamiento de A y la cota de B. El alejamiento de B es como 2 y el alejamiento de A es como 3.
Completar las coordenadas de A y B y determinar la orientación y pendiente del segmento AB si se sabe
además que su proyección frontal mide 43 unidades y asciende hacia la izquierda.
Nota: Se dice que la longitud de un segmento m es media proporcional con respecto a las longitudes a y
b de otros dos segmentos cuando se verifica la siguiente expresión:
a
m

m b .
Rpta:
37)
zQ=38.1311
4.5372km
OK
2009-3-P01G-prob2
La pendiente de la recta ML es 6 veces la pendiente de MN. Completar las coordenadas de M y
obtener la orientación y pendiente de LM.
L ( 15, 35, 45 )
M ( 45, 25, ¿? )
N ( 60, 30, 30 )
Rpta:
39)
or=S71º34’E
pe=59.60%desc
2010-1-P01H-prob2
La pendiente de BA es proporcional a 3 y la pendiente de BC es proporcional a 2. Hallar la cota de B y la
orientación y pendiente de AB.
A ( 35, 5, 45 )
B ( 65, 25, ¿? )
C ( 85, 15, 15 )
Rpta:
40)
zM=26.1528
zB=-6.1465
or=N56º19’E
pe=141.85%desc
2010-2-P01H-prob1 *
Una grúa está conformada por una torre vertical de 50 metros de altura, por un brazo recto y giratorio
(vertical y horizontalmente) de 30 metros de longitud que nace del extremo superior de la torre y por un
cable de longitud variable que cuelga (verticalmente) del extremo del brazo. Se desea usar la grúa para
llevar un objeto pesado desde una posición inicial P a una posición final Q. El punto P se encuentra al
nivel del suelo que tiene la misma cota que la base de la torre, pero que está 10 metros al sur y 15
metros al oeste de ésta. El punto Q se ubica a 20 metros al sur y 5 metros al este de la torre, pero 40
metros por encima del punto P. Determinar la orientación y pendiente del brazo de la grúa y la longitud
de su cable al momento de levantar al objeto de P y al momento de depositarlo en Q, considerando la
menor longitud posible del cable.
Esteban Ortiz Bosmans
6/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
41)
orP=S56º19’O
orQ=S14º2’E
peP=133.01%desc
peQ=105.72%asc
Capítulo 1:
PUNTO Y RECTA
longP=26.0208m
longQ=31.7945m
2011-1-P01H-prob2, 2011-1-EXFI-prob1
Se tiene un avión que vuela con una orientación N40ºE, con una pendiente ascendente de 70% y que
pasa por el punto P. Hay un segundo avión que es visto desde un punto T de una torre, con una visual
de orientación S60ºE y pendiente ascendente de 50%. El segundo avión vuela con una orientación
N40ºO y hace impacto con el primer avión a 300 metros por encima de T. Determinar la pendiente con la
que vuela el segundo avión.
P ( 15, 20, 20 ) metros
T ( 35, 15, 10 ) metros
Rpta:
I(281.2977,337.3613,310)
S(1037.4156,-563.7449,588.7449)
pe=23.76%desc
OK
Nivel de Dificultad IV
42)
2003-2-P01H-prob2
Sea el triángulo isósceles PQR donde los lados PQ y QR tienen igual longitud. Completar las
coordenadas de los puntos P y R si la pendiente de PQ es la inversa negativa de la pendiente de QR. R
está encima de P y debajo de Q.
P ( 12, 7, ¿? )
Q ( 6, 7, 8 )
R ( 8, 14, ¿? )
Rpta:
43)
OK
zB=16.2569
zF=394.8409
zD=97.4270
or=S23º38’O
zE=119.2813
pe=25.03%asc
OK
B(28.4244,11.9338,23.7833)
zE=50.0195
C(51.5756,28.0662,36.2167)
or=N63º26’E
zD=40.1669
pe=44.06%asc
OK
B(-24.5466,20,33.9944)
C(-18.5410,30,-5.5522)
D(21.0056,50,0.4534)
OK
2010-1-P01I-prob2
La pendiente de la recta AB es inversa de la pendiente de BC. Determinar la cota de B y la orientación y
pendiente de AB. Obtener todas las soluciones posibles.
A ( 20, 25, 125 )
B ( 35, 5, ¿? )
C ( 45, 10, 90 )
Rpta:
48)
ZE=119.2813
pe=25.03%asc
2009-1-EXFH-prob2
Los alejamientos de A, B, C y D miden 10, 20, 30 y 50 unidades respectivamente. La proyección frontal
de estos puntos forman un cuadrado de 40 unidades de lado (AFBF=BFCF=CFDF=DFAF=40). La
proyección de perfil de BD mide 45 unidades (BPDP=45). Determinar las coordenadas de cada punto.
Tomar a A y B arriba y a la izquierda de D.
A ( 15, 10, 40 )
Rpta:
47)
zD=97.4270
or=S23º38’O
2009-1-EXFH-prob1
Completar las coordenadas que faltan de A, B, C, D y E y la orientación y pendiente de DE, si las rectas
AB, BC, CD y DE tienen la misma pendiente. Se conoce que la recta AB tiene una orientación S25ºE,
que CD tiene una orientación S70ºE y que M es el punto medio de BC.
A ( 20, 30, 15 )
D ( 60, 25, ¿? )
E ( 80, 35, ¿? )
M ( 40, 20, 30 )
Rpta:
46)
zB=16.2569
zF=84.7606
2007-3-P01G-prob2
Completar las coordenadas que faltan y determinar la orientación y pendiente del segmento DE si las
pendientes de los segmentos AB, BC, CD y DE están en la relación de 1:2:3:1 respectivamente y si las
pendientes de BC y EF tienen valores inversos [pendiente(BC)*pendiente(EF)=1] .
A ( 20, 15, 10 )
B ( 40, 30, ¿? )
C ( 25, 75, 40 )
D ( 100, 60, ¿? )
E ( 65, -20, ¿? )
F ( -30, 80, ¿? )
Rpta:
45)
zR=2.0000
2007-2-P01H-prob2, 2007-2-EXSH-prob1, 2008-1-P01H-prob2, 2008-1-P01I-prob2
Completar las coordenadas que faltan y determinar la orientación y pendiente del segmento DE si las
pendientes de los segmentos AB, BC, CD, DE y EF están en la relación de 1:2:3:1:-1 respectivamente.
A ( 20, 15, 10 )
B ( 40, 30, ¿? )
C ( 25, 75, 40 )
D ( 100, 60, ¿? )
E ( 65, -20, ¿? )
F ( -30, 80, ¿? )
Rpta:
44)
zP=0.7199
zB1=102.3288
pe1=90.68%desc
zB2=112.6712
pe2=49.32%desc
or1=or2=S36º52’E
OK
2010-2-P01H-prob2
Completar las coordenadas de los puntos B, C y D si las pendientes de las rectas AB, BC, CD y DE
están en la relación de 1, -2, 3 y -4 respectivamente.
A ( 15, 20, 30 )
B ( 70, 90, ¿? )
C ( 60, 50, ¿? )
D ( 30, 90, ¿? )
E ( 10, 80, 60 )
Rpta:
zB=69.7909
Esteban Ortiz Bosmans
zC=32.9323
zD=99.9788
OK
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
49)
2010-2-P01I-prob2
Completar las coordenadas de los puntos Q y R y determinar la orientación de PQ y la pendiente de QR
si se sabe que el segmento PQ tiene una longitud de 50 unidades, que la orientación de RQ es S50ºO y
que la pendiente de PQ es la inversa de la pendiente de QR. Tomar Q a la derecha de P.
P ( 20, 40, 25 )
Q ( ¿?, ¿?, 50 )
R ( 75, 45, ¿? )
Rpta:
50)
Q(63.0039,34.9341,50)
or(PQ)=S83º17´E
zR=77.1235
pe(QR)=173.21%asc
OK
2011-1-P01H-prob1
Trazar en el primer octante (x,y,z positivos) un segmento de recta AB que forma un ángulo de 30º con el
plano Horizontal Principal (ángulo de inclinación) y uno de 45º con el plano Frontal Principal. Presentar
las coordenadas completas del punto B y la orientación y pendiente de la recta AB.
A ( 15, 20, 20 )
B ( ¿?, ¿?, 50 )
Rpta:
51)
Capítulo 1:
PUNTO Y RECTA
B(45,62.4264,50)
or=N35º16’E
pe=57.74%asc
2011-1-P01I-prob1, 2011-1-EXFH prob1
Trazar por el punto A, hacia la derecha y hacia abajo, una recta que forme con el plano Horizontal
Principal un ángulo de 15º (ángulo de inclinación) y con el plano Frontal Principal, uno de 30º. Determinar
su orientación, su pendiente y las coordenadas de su intersección con el plano Horizontal Principal.
A ( 15, 20, 50 )
Rpta:
or1=N58º50’E
or2=S58º50’E
pe1=26.79%desc
pe2=pe1
I1(174.6571,116.5926,0)
I2(174.6571,-76.5926,0)
OK
Nivel de Dificultad V
52)
2009-2-P01H-prob2
Determinar el alejamiento de M y la orientación y pendiente de MN. Se sabe que la pendiente de LM es
como 2 y la pendiente de MN es como 3.
L ( 45, 50, 27 )
M ( 45, ¿?, 20 )
N ( 25, 15, 10 ).
Rptas:
53)
pe1=43.79%desc
pe2=1.44%desc
OK
zB=56.8193
or=N68º12’E
zC=71.2495
pe=53.59%asc
OK
2009-2-P01I-prob2, 2009-2-EXSI-prob1
PQ y PR hacen un ángulo de 50º y tienen la misma pendiente descendente. PQ mide 30 unidades y
tiene orientación N30ºE. PR mide 40 unidades y tiene orientación S40ºE. Determinar las coordenadas de
Q y R.
P ( 25, 50, 50 )
Rpta:
55)
or1=S61º8’O
or2=N1º39’O
2009-2-P01I-prob1
Completar las coordenadas de los puntos B y C y determinar la orientación y pendiente de BC, sabiendo
que la pendiente de AC es igual a la inversa de la pendiente de AB y también igual al doble de la
pendiente de BC. Considerar B encima de A y C encima de A.
A ( 30, 40, 40 )
B ( 20, 55, ¿? )
C ( 45, 65, ¿? )
Rpta:
54)
yM1=26.0221
yM2=-678.9489
Q(32.7388,63.4040,24.3009)
R(38.2651,34.1912,15.7346)
OK
2010-2-P01I-prob1 *
Los segmentos de recta AB y CD se cruzan de tal manera que, al proyectarse sobre el plano Horizontal,
se cortan en sus puntos medios, y que, al proyectarse sobre el plano Frontal, se cortan en un punto I que
divide a cada uno en dos segmentos cuya relación es de 3 a 1. Determinar las coordenadas de C y D y
la orientación y pendiente de CD si se sabe que es frontal y que está 40 unidades a la derecha de AB.
Tomar que el punto I está más cercano a BF que a AF y más cercano a DF que a CF.
A ( 20, 30, 80 )
B ( 50, 60, 30 )
Rpta:
C(20,45,33.8462)
or=Este
Esteban Ortiz Bosmans
D(50,45,45.3846)
pe=38.46%asc
OK
8/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
Capítulo 2: PLANOS E INTERSECCIONES
Nivel de Dificultad I
56)
2003-1-P01L-prob2
Hallar las coordenadas de intersección de la recta RW con los planos MNP y STU.
M ( 45, -15, 45 )
N ( 5, 35, 45 )
P ( 55, -15, 5 )
R ( 57, -53, 23 )
S ( 35, -15, 45 )
T ( 5, 85, 45 )
U ( 55, 65, 5 )
W ( 7, 99, 44 )
57)
2003-1-P02I-prob1
Hallar la coordenada del punto de intersección del plano ABC con la recta PQ.
A ( 14, 6, 9 )
B ( 17, 36, 14 )
C ( 5, 36, 19 )
P ( 11, 32, 9 )
Q ( 8, 12, 21 )
Rpta:
58)
2003-1-P02I-prob2
Una paloma levanta vuelo desde el punto P en la dirección S45ºE y con una pendiente ascendente de
150%. Hallar la ubicación (coordenadas) de la paloma cuando ésta aparece ante los ojos de un
observador que se encuentra el punto O sabiendo que entre la paloma y el observador existe un muro de
5 metros de altura (A es un punto que pertenece al borde superior del muro) y de una orientación N30ºE.
Asumir que el suelo es horizontal en z=0 (plano XY).
A ( 11, 3, 5 )
O ( 20, 7, 2 )
P ( 6, 10, 0)
Rpta:
59)
(19.3184,32.7263,43.8771)
h=37.4737m
OK
2003-1-P03K-prob1
La incidencia de los rayos solares sobre un obstáculo produce una sombra en el suelo horizontal (el
plano XY). Hallar la orientación del límite entre la luz y la sombra en el suelo sabiendo que el segmento
MN es el borde superior del obstáculo y que la orientación y la pendiente de los rayos solares son S50ºO
y 90% descendente respectivamente.
M ( 10, 5, 8 )
N ( 6, 10, 4 )
Rpta:
62)
OK
2003-1-P02K-prob2, 2013-2-P01H-prob2
La base de una antena de frecuencia modulada transmisora de 34 metros de altura se encuentra en A y
la base de la receptora en B. La máxima altura de obstrucción es CD. ¿Cuál será la altura mínima de la
antena receptora para recibir una señal en línea recta desde la transmisora, estando B 9 metros debajo
de A?
A ( 10, 80, 0 )m
B ( 160, 55, ¿? )m
C ( 40, 50, 10 )m
D ( 105, 80, 45 )m
Rpta:
61)
(9.2009,6.7991,6.7902)
2003-1-P02J-prob1
Hallar las coordenadas del punto de intersección del plano ABC con la recta PQ.
A ( 34, 32, 18 )
B ( 28, 22, 78 )
C ( 10, 42, 18 )
P ( 25, 10, 6 )
Q ( 16, 46, 66 )
Rpta:
60)
(9.6592,23.0615,14.3631)
or=N4º20’O o S4º20’E
OK
2011-1-P02H-prob1
Trazar por el punto C la horizontal del plano dado por la recta AB y el punto C. Obtener las coordenadas
del punto de intersección de dicha horizontal con la recta AB y también la orientación y pendiente del
plano.
A ( 35, 25, 30 )
B ( 35, 5, 5 )
C ( 5, 10, 15 )
Rpta:
I(35, 13,15)
or=N84º17’E
pe=125.62%SE
Nivel de Dificultad II
63)
2003-1-P02L-prob1, 2006-2-P02J-prob1
Sobre los puntos A, B y C se han efectuado 3 perforaciones verticales hasta llegar al nivel del agua
subterránea alcanzando profundidades de 40, 70 y 20 metros respectivamente. Con el fin de determinar
la velocidad del agua del subsuelo se perfora un cuarto pozo vertical D desde el cual se inyecta una
sustancia química. Hallar la posición del pozo E donde debe detectarse dicha sustancia después de que
recorra 30 metros e indicar su profundidad.
Esteban Ortiz Bosmans
9/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A ( 20, 20, -40 )
Rpta:
64)
5º1’
(19.2411,1.1868,44.0959)
OK
yM1=47.6274
yN1=98.7159
yM2=2.3726
yN2=-48.7159
OK
zP=15
S(52.0174,-3.6139,38.6139)
Q(21.0438,7.3551,27.6449)
T(60.9736,9.0310,25.9690)
R(32.0525,-4.4519,39.4519)
U(49.9649,20.8379,14.1621)
OK
zp=6.8519
zQ=53.2407
OK
Q(78.0212,26.0071,25)
or=N82º28’0
pe=7.29%desc
2008-1-P02H-prob1
Completar las coordenadas del plano MNP sabiendo que tiene una orientación N55ºE y una inclinación
55ºNO. Además indicar el ángulo que hace con el plano frontal y el plano de perfil.
M ( 22, 18, 20 )
N ( 13, 30, ¿? )
P ( 30, 34, ¿? )
Rpta:
73)
OK
2007-3-EXPH-prob2
La pendiente de la recta PQ es 55%. Hallar la orientación y pendiente de la recta QR si se sabe que el
alejamiento y el apartamiento del punto Q están en la relación de 1 a 3. Tomar Q a la izquierda de P.
P ( 105, 30, 40 )
Q ( ¿?, ¿?, 25 )
R ( 10, 35, 20 )
Rpta:
72)
C(7.5,4.4491,4.4491)
2007-1-P02I-prob1
Las rectas PQ y RS pertenecen a un mismo plano. La recta RS es una de las que hace el mayor ángulo
con el plano frontal principal de entre todas las rectas del plano. Completar las coordenadas de P y Q.
P ( 5, 30, ¿? )
Q ( 65, 15, ¿? )
R ( 15, 50, 50 )
S ( 50, 5, 20 )
Rpta.:
71)
OK
2007-1-P02H-prob1
MN es un segmento de recta contenido en un plano ortoperfil que a su vez contiene un hexágono regular
y P es uno de los vértices de dicho hexágono cuyos lados miden 20 unidades. Determinar las
coordenadas de los vértices del hexágono sabiendo que el centro de la circunferencia en que está
inscrito está contenido en el segmento MN.
M ( 20, 25, 10 )
P ( 30, 20, ¿? )
N ( 45, 5, 30 )
Rpta.:
70)
orQ=N49º23’55”E
2006-2-EXPJ-prob1
Determinar las coordenadas que faltan de los vértices del triángulo LMN si se sabe que LM es la recta de
máxima pendiente del plano que lo contiene cuyo valor es 50%.
L ( 43, 25, 9 )
M ( 15, ¿?, 27 )
N ( 10, ¿?, 45 )
Rpta:
69)
orP=N26º33’54”O
2006-2-P02H-prob1*, 2006-2-EXFH-prob1*
Un plano tiene una orientación N75ºO y una pendiente 55%NE. Su borde inferior es una recta horizontal
que pasa por el punto P. ¿En qué punto del plano se debe colocar una esfera para que, al resbalar por
su superficie una longitud de 50 unidades, llegue al borde y caiga sobre el punto M?
M ( 35, 60, 0 )
P ( 25, 45, 20 )
Rpta:
68)
OK
2003-1-EXPL-prob1
Determinar el menor ángulo vertical θ que debe hacer un ángulo de teodolito situado en B para ver una
recta vertical (estadía) que tiene su pie en el punto C; entre B y C, la máxima altura de obstrucción es
EG.
B ( 2, 0.5, 1 )
C ( 7.5, 2, 0.5 )
E ( 3, 2, 1.5 )
G ( 7, 0.5, 1 )
Rpta:
67)
D ( 45, 30, ¿? )
prof=86.8328m
2003-1-P04J-prob2
Determinar las coordenadas del punto C sabiendo que el plano ABC tiene una orientación de N80ºO. Se
sabe también que C equidista de A y B y que a su vez equidista de los planos XY y XZ.
A ( 2, 6, 4 )
B ( 7, 9, 1 )
Rpta:
66)
C ( 45, 10, -20 )
E(45,43.4164,-86.8328)
2003-1-P03I-prob1, 2004-1-P03K-prob1
Una esfera se suelta desde el punto A y resbala sobre dos planos P y Q siguiendo la trayectoria AB y BC
(AB Є plano P y BC Є plano Q). Determinar las orientaciones de los planos P y Q.
A ( 5, 8, 13 )
B ( 13, 12, 10 )
C ( 19, 5, 5 )
Rpta:
65)
B ( 30, 35, -70 )
zD=-60
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
zN=-1.4108
angF=47º51’
zP=7.8353
angP=61º59’
OK
2008-1-P02H-prob2
AB es recta de máxima pendiente del plano ABC. Determinar las coordenadas de C y la orientación y
pendiente del plano ABC sabiendo que la altura trazada de C a AB mide 20 unidades y que el ángulo
ACB es 70º. Tomar C atrás de B.
Esteban Ortiz Bosmans
10/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A ( 16, 33, 8 )
Rpta:
74)
yD=21.1325
angP=69º18’
zA=23.3330
yM=26
zB=-25.5546
zC = 27.3509 ó 79.0735
or = N7º58’O ó S7º58’E
pe = 47.56%desc ó 47.56%asc
OK
yX=14.2265
OK
or1=S13º3’O
or2=S76º57’O
X1(55.6627,56.2906,28.0466)
X2(41.2906,70.6627,28.0466)
OK
zP=68.4064
zQ=5.1608
pe=181.63%NE
2010-2-EXPI-prob1
Se dan las rectas PQ y RS. Hallar una recta TU que tenga una orientación N40ºE y una pendiente
descendente de 60% de tal manera que los extremos T y U estén sobre las rectas PQ y RS. Obtener las
coordenadas de T y de U.
P ( 25, 45, 5 )
Q ( 55, 25, 25 )
R ( 15, 10, 40 )
S ( 45, 20, 25 )
Rpta:
81)
yC=24.0192
angF=52º14’
2010-2-EXPH-prob1
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo PQR y obtener la pendiente del plano que lo
contiene sabiendo que su orientación es S60ºE y que PQ tiene una longitud de 75 unidades. Tomar P
encima de Q.
P ( 15, 25, ¿? )
Q ( 50, 45, ¿? )
R ( 25, 50, 20 )
Rpta:
80)
yB=52.8868
angH=45º0’
2010-2-P02I-prob1
Dibujar una recta BX de 30 unidades de longitud, que tenga 120% de pendiente ascendente y esté
contenida en el plano ABC. Obtener su orientación y las coordenadas del punto X. Dar todas las
soluciones.
A ( 45, 65, 30 )
B ( 60, 75, 5 )
C ( 75, 45, 20 )
Rpta:
79)
OK
2010-1-P02I-prob1
Los puntos X e Y pertenecen a un estrato plano que tiene un rumbo de N60ºO (orientación) y un
buzamiento de 45ºSO (pendiente). Completar las coordenadas de X.
X ( 25, ¿?, 10 )
Y ( 45, 20, 25 )
Rpta:
78)
pe=61.22%SO
2009-2-EXPH-prob1
LM es recta de máxima pendiente de un plano “R” que tiene una pendiente de 40°NO. PQ es recta de
máxima pendiente de un plano “T” que tiene una pendiente de 30°NE. Se sabe que el punto N pertenece
a los planos “R” y “T”. Hallar la orientación y pendiente de la intersección de los planos “R” y “T”.
L ( 30, 30, ¿? )
M ( 50, 20, ¿? )
N ( 55, 28, 75 )
P ( 80, 25, ¿? )
Q ( 90, 45, ¿? )
Rpta:
77)
or=N32º58’O
2009-2-P02I-prob1
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo isósceles ABC (BA = BC = 60 unidades). Se
sabe que el punto M pertenece a AB, que B está debajo de A y que C está encima de B.
A ( 23, 17, ¿? )
B ( 34, 50, ¿? )
C ( 10, 35, ¿? )
M ( 26, ¿?, 10 )
Rpta:
76)
B ( 53, 57, 35 )
C(41.7870,73.5657,34.7598)
2008-1-P02I-prob1, 2008-1-EXSI-prob1
ABCD es un plano que tiene orientación S60ºE y una inclinación de 100%SO. Completar las
coordenadas de ABCD. Además indicar el ángulo que hace con los planos principales de proyección.
A ( 40, 50, 75 )
B ( 65, ¿?, 90 )
C ( 65, ¿?, 65 )
D ( 40, ¿?, 50 )
Rpta:
75)
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
T(33.9476,16.3159,30.5262)
U(46.1725,30.8850,19.1150)
2011-1-P02I-prob2
Determinar las coordenadas del vértice V de un tetraedro PQRV si se sabe que los puntos L, M y N
pertenecen a los planos de las caras PQV, QRV y PRV respectivamente.
L ( 75, 45, 25 )
M ( 40, 35, 15 )
N ( 70, 10, 15 )
P ( 35, 20, 60 )
Q ( 60, 5, 80 )
R ( 80, 45, 40 )
Rpta:
V(63.4821,31.7857,43.3036)
Nivel de Dificultad III
82)
2003-1-P03J-prob2
M, N y P son los puntos medios de los segmentos AB, BC y AC respectivamente. El ángulo MNP es de
60º y el plano ABC es ortoperfil. Determinar las coordenadas de los puntos A, B y C, sabiendo que el
punto P está al sur de la recta MN y dista 18 unidades de éste.
M ( 5, 5, 19 )
N ( 23, 13, 5 )
Esteban Ortiz Bosmans
11/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
83)
C(13.4205,5.1151,11.6452)
OK
C1(5.9874,5.9874,3.4664)
C2(711.8955, -711.8955,462.0970)
OK
zB=32.4808
zC=5.4904
(17.7404,13.7658,28.8493)
OK
zP=21.8182
or1=N58º05’07”E
or2=N49º54’51”O
OK
A(0,6.2190,26.0034)
C(70,43.7810,23.9966)
B(0,39.1260,12.5826)
D(70,10.8740,37.4174)
OK
(67.7998,46.1843,0)
zE=57.6070
zM=13.1321
OK
2006-1-EXFJ-prob1
PQ es la recta descendente de máxima pendiente del triángulo PQR. El ángulo en P es 35º, el ángulo en
Q es 70º y la longitud de PQ es 50 unidades. Determinar las coordenadas del punto R si éste punto tiene
igual cota y alejamiento y está delante de Q.
P ( 20, 35, ¿? )
Q ( 35, 15, ¿? )
Rpta:
91)
zB=12.4111
2006-1-P02H-prob1
Una esfera pequeña parte de un punto M contenido en el plano limitado por el triángulo ABC, rueda
sobre este y cae verticalmente al plano normal limitado por el triángulo DEF; rueda también sobre este y
cae verticalmente al suelo (z=0). Obtener la posición final de la esfera.
A (25, 10, 45)
B (55, 50, 20)
C (83, 25, 65)
D (30, 45, 20)
E (58, 65, ¿?)
F (83, 17, 7)
M (66, 22, ¿?)
Rpta:
90)
OK
2004-1-P02L-prob2, 2006-2-P02H-prob2
El punto I es la intersección de las diagonales de un rectángulo ABCD cuyos lados están en la relación
de 1 a 2. El plano del rectángulo tiene orientación S65ºO y una pendiente de 45%NO. Determinar las
coordenadas de sus vértices si se sabe que el lado menor está contenido en el plano principal de perfil.
El punto A está al sur del punto B y al oeste del punto D.
I ( 35, 25, 25 )
Rpta:
89)
B2(32.5130,17.4535,8.2111)
2003-1-P06J-prob1
Determinar la orientación de un segmento PQ de 75% de pendiente descendente que esté contenido en
el plano LMN.
L ( 25 , 30, 15 )
M ( 10, 35, 10 )
N ( 30, 10, 40)
P ( 20, 25, ¿? )
Rpta:
88)
B1(29.7118,16.4339,8.2111)
2003-1-P04J-prob1
Dado el plano limitado por el triángulo ABC cuya orientación es N60ºO y cuya pendiente es 100% NE.
¿En qué punto del plano ABC se debe colocar una esfera para que al resbalar por dicho plano una
longitud de 30 unidades llegue al borde del plano, y luego de caer llegue al punto M?. Además, complete
las coordenadas de los puntos B y C.
A ( 10, 40, 10 )
B ( 17, 10, ¿? )
C ( 45, 25, ¿? )
M ( 30, 35, 0 )
Rpta:
87)
OK
2003-1-P04I-prob2
Determinar las coordenadas del punto C sabiendo que el plano ABC tiene una orientación de N80ºO. Se
sabe también que C equidista de A y B y que a su vez equidista de los planos XZ y YZ.
A ( 2, 6, 4 )
B ( 7, 9, 1 )
Rpta:
86)
C(45.2696,10.9079,8.6612)
2003-1-P04I-prob1
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC. Se sabe que AB es la recta de máxima
pendiente del plano que contiene a dicho triángulo, que el ángulo en B es 70º y que el ángulo en A es
30º. Además la altura trazada de C al lado AB mide 2.5 unidades (tomar B encima de A, y C al este de B)
A ( 10, 5, 8 )
B ( 12, 3, ¿? )
Rpta:
85)
B(0.7304,15.0921,1.3388)
2003-1-P03K-prob2, 2004-1-P03K-prob2
Completar las coordenadas de los extremos del segmento AB de 4 unidades de longitud, cuya pendiente
es 50% descendente y que está contenido en un plano de orientación N70ºE y pendiente 55% SE
A ( 30, 20, 10 )
Rpta:
84)
A(9.2696,-5.0921,36.6612)
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
zP=36.8289
zQ=-6.4723
R(9.6336,2.3219,2.3219)
OK
2006-2-P02J-prob2
P es un vértice de un pentágono regular contenido en un plano ortoperfil e inscrito en una circunferencia
cuyo diámetro es QR. Obtener las coordenadas de sus vértices sabiendo que P está más abajo que R y
15 unidades a la derecha de Q.
Q ( 15, 25, 20 )
R ( 45, 5, 40 )
Rpta.:
P(30,29.5774,15.4226)
(42.1175,3.2067,41.7933)
Esteban Ortiz Bosmans
(10.3935,19.5047,25.4953)
(49.6065,19.5047,25.4953)
(17.8825,3.2067,41.7933)
OK
12/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
92)
2007-1-P02H-prob2
El triángulo ABC tiene orientación S40ºE. Completar las coordenadas de B y C y determinar la pendiente
del plano si el lado BC está contenido en un plano normal que pasa por el origen de coordenadas.
A ( 15, 45, 20 )
B ( 30, 15, ¿? )
C ( 35, 35, ¿? )
Rpta.:
93)
C(46.2224,16.7776,-7)
pe(ABC)=141.42%SE
OK
(26.9572,23.9137,23.4321)
(19.2973,38.4526,12.8451)
(17.4158,23.9137,21.3118)
(28.8387,38.4526,14.9654)
(13.5858,31.1831,16.0183)
(32.6687,31.1831,20.2589)
OK
zB=34.1369
I(14.5093,13.1809,33.0651)
zC=11.7964
yM=33.0833
OK
yP=11.1090
or=N68º44’O ó S68º44’E
yQ=62.5095
pe=54.39%NE
OK
zQ=51.0523
or=N53º08’E
R(42.3953,48.4730,43.0554)
pe=184.21%NO
OK
2009-1-P02H-prob1
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que es recto en A e
isósceles y que su proyección horizontal es un triángulo equilátero. Determinar también la orientación y
pendiente del plano que lo contiene. Toma C delante y abajo de A.
A ( 33, 46, 30 )
B ( 65, 73, ¿? )
Rpta:
99)
zB=27
or(ABC)=N75ºE
2007-3-P02G-prob1
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo PQR y obtener la orientación y pendiente del
plano que lo contiene. Se sabe que PQ es recta de máxima pendiente, que el ángulo en Q es 70º y que
el ángulo en P es 30º. Además, la altura trazada de R al lado PQ mide 25 unidades. Tomar Q encima de
P y R a la derecha de Q.
P ( 10, 50, 5 )
Q ( 25, 30, ¿? )
Rpta:
98)
OK
2007-2-P02I-prob2, 2007-2-EXSI-prob1
Las rectas PQ y RS pertenecen a un mismo plano. La recta PQ es de máxima pendiente en dicho plano.
Completar las coordenadas de los puntos P y Q y obtener la orientación y pendiente del plano, sabiendo
que P está delante de Q.
P ( 35, ¿?, 45 )
Q ( 55, ¿?, 15 )
R ( 25, 15, 45 )
S ( 75, 35, 25 )
Rpta:
97)
pe(ABC)=18.53%SO
2007-2-P02I-prob1
Dado el plano limitado por el triángulo ABC cuya orientación es S60ºE y cuya pendiente es 40ºNE. ¿En
qué punto del plano ABC se debe colocar una esfera para que al resbalar por dicho plano una longitud
de 30 unidades llegue al borde del plano y, luego de caer verticalmente, llegue al punto M? Completar
además las coordenadas de los puntos B, C y M.
A ( 7, 41, 16 )
B ( 14, 12, ¿? )
C ( 43, 26, ¿? )
M ( 26, ¿?, 5 )
Rpta:
96)
zC=21.6482
2007-2-P02H-prob1
Sea el triángulo LMN, determinar las coordenadas de un hexágono regular que está inscrito en la
circunferencia inscrita en el triángulo, sabiendo que dos de sus lados son frontales.
L ( 11, 27, 18 )
M ( 25, 55, 4 )
N ( 40, 13, 33 )
Rpta:
95)
zB=18.5556
2007-1-P02I-prob2
El triángulo ABC es recto en A e isósceles. Completar las coordenadas del triángulo ABC y determinar su
orientación y pendiente considerando que su proyección horizontal se ve como un triángulo equilátero y
que C está a la derecha y abajo de B.
A ( 23, 23, 10 )
B ( 40, 40, ¿? )
Rpta.:
94)
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
zB=59.6057
or=N79º51’E
C(72.3827,31.7872,0.3943)
pe=141.42%SE
OK
2009-1-EXPH-prob2
Determinar las coordenadas de los vértices del rectángulo ABCD. La recta LM se corta con la diagonal
AC en el punto O. El punto D pertenece a la recta LM y está más cerca a L que a M. Se sabe que AC es
ascendente y mide 50 unidades y que los lados AB y BC están en la relación de 3 a 2, respectivamente.
A ( 25, 35, ¿? )
C ( 50, 50, ¿? )
L ( 10, 55, ¿? )
M ( 45, 40, ¿? )
O ( ¿?, ¿?, 45 )
Rpta:
zA=23.5616
D(14.8437,52.9241,42.1305)
B(60.1563,32.0758,45.6128)
O(38.1944,42.9167,45)
zC=64.1818
100) 2009-1-EXPI-prob1
O es el centro de gravedad de un triángulo equilátero de lado igual a 40 unidades, que es la base de una
pirámide regular de 50 unidades de altura. El lado izquierdo tiene una orientación N50ºE. La base está
Esteban Ortiz Bosmans
13/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
contenida en un plano de orientación S60ºE e inclinación 20ºSO. Hallar las coordenadas de los vértices
de la pirámide y la orientación y pendiente de su altura, sabiendo que es descendente desde O.
O ( 20, 35, 40 )
Rpta:
(-2.2026,31.3398,34.8057)
(28.5505,49.8099,-6.9846)
(26.7903,55.6678,47.7504)
or=N30ºE
(35.4123,17.9924,37.4439)
pe=274.75%desc
OK
101) 2009-2-P02H-prob1
Una bolita resbala en el plano PQR partiendo del punto O de dicho plano. Después de haber recorrido 45
unidades, llega al borde y cae verticalmente 10 unidades llegando al punto M del piso. Determinar las
coordenadas de los puntos O, P y Q y también la orientación y pendiente del plano PQR, sabiendo que
PN es una horizontal del plano PQR.
M ( 35, ¿?, 0 )
N ( 42, 3, ¿? )
O ( 22, 20, ¿? )
P ( 10, 15, ¿? )
Q ( 30, 18, ¿? )
Rpta:
zO=35.5778
or=N69º27’O
zP=41.7229
pe=69.08%NE
zQ=34.9309
OK
102) 2009-2-EXPI-prob1
Completar las coordenadas del plano ABC sabiendo que M pertenece a dicho plano. El plano ABC tiene
orientación S70°E y AB mide 40 unidades. Obtener todas las soluciones posibles.
A ( 18, ¿?, 15 )
B ( 37, ¿?, 5 )
C ( 40, 15, ¿? )
M ( 23, 30, 8 )
Rptas:
yA1=50.6034
yA2=3.3547
yB1=16.8543
yB2=37.1038
zC1=4.7159
zC2=10.1671
OK
103) 2009-3-P02G-prob1
En el punto O, contenido en el plano ABC, se deja caer una billa metálica que, por efectos de la
inclinación del plano, resbala sobre él hasta el borde hasta P. Luego cae verticalmente, encontrando, en
Q, un segundo plano de la misma pendiente, sobre el cual resbala hasta llegar finalmente al punto R.
Obtener la orientación y pendiente de ambos planos y determinar la longitud total del recorrido OPQR.
Considerar que O está 15 unidades detrás y 10 unidades debajo de B.
A ( 45, 70, 25 )
B ( 60, 45, 35 )
C ( 75, 60, 15 )
R ( 70, 65, 5 )
Rpta:
orABC=N52º8’O
or“QR”=N3º4’O
peABC=pe“QR”=95.01%NE
long=26.1705u
OK
104) 2010-1-P02H-prob1, 2010-1-EXSH-prob1
Completar las coordenadas del triángulo PQR sabiendo que tiene pendiente 75%SO y que QR determina
su orientación.
P ( 20, 30, 5 )
Q ( 50, 40, ¿? )
R ( 65, 10, ¿? )
Rpta:
zQ=zR=28.4787
OK
105) 2010-1-EXPH-prob1
Una billa recorre la trayectoria E-F-G-H-I. La billa parte del punto E de un plano Q y resbala sobre los
planos Q, R y S pasando por el punto F de la intersección de los planos Q y R, luego por el punto G de la
intersección de los planos R y S y finalmente llega al punto H ubicado en el borde del plano S, desde
donde cae verticalmente hasta el punto I. Las orientaciones de los planos Q, R y S son N60ºE, S30ºE y
N45ºE, respectivamente. La pendiente de Q es 100%SE, R se inclina hacia el NE y tiene la mitad de la
pendiente de S. Sabiendo que EF mide 30 unidades y que la caída vertical HI mide 10 unidades, obtener
las coordenadas de los puntos F, G y H y hallar las pendientes de R y S.
E ( 10, 65, 40 )
I ( 55, 50, 5 )
Rpta:
F(20.6066,46.6288,18.7868)
peR=6.62%NE
G(44.5484,60.4516,16.9568)
peS=13.24%SE
H(55,50,15)
OK
106) 2010-2-P02H-prob1
Trazar hacia la derecha el segmento de recta JK de 50 unidades de longitud que tenga 80% de
pendiente descendente y que se corte con AB. Obtener su orientación y las coordenadas del punto K.
A ( 45, 55, 10 )
B ( 75, 70, 30 )
J ( 60, 80, 40 )
Rpta:
K(85.6164,50.5349,8.7652)
or=S41ºE
107) 2010-2-P02I-prob2
PQ es recta de máxima pendiente del plano PQR. Hallar las coordenadas del punto R sabiendo que el
ángulo en R mide 50º y que el punto R está 15 unidades a la derecha del punto P y que está delante de
él.
P ( 35, 70, 30 )
Q ( 55, 85, 15 )
Rpta:
R(50,50.3314,29.8807)
Esteban Ortiz Bosmans
OK
14/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
108) 2011-1-P02I-prob1
En el plano dado por las rectas que se cortan AB y CD, trazar una recta frontal KL. Completar las
coordenadas de los puntos D y K y obtener la orientación y pendiente del plano ABCD y de la recta KL,
sabiendo que K es la intersección entre AB y CD y que KL va hacia la derecha.
A ( 5, 30, 15 )
B ( 30, 20, 10 )
C ( 5, 15, 0 )
D ( 30, 30, ¿? )
Rpta:
zD=20
K(20,24,12)
orABCD=N78º41’O
peABCD=101.98%SO
orKL=Este
peKL=20%asc
Nivel de Dificultad IV
109) 2006-1-P02H-prob2, 2010-1-EXSI-prob1 *
Dados los puntos Q y R de un plano PQR, determinar la orientación y pendiente de dicho plano eligiendo
un punto P tal que diste 40 unidades del origen de coordenadas, que el segmento PQ sea horizontal y
que el plano PQR tenga la menor pendiente posible.
P ( ¿?, ¿?, ¿? )
Q ( 25, 45, 25 )
R ( 20, 15, 80 )
Rpta:
P(-12.5027,28.6126,25)
or=N66º23’47”E
pe=215.79%NO
OK
110) 2006-1-P02J-prob1
El segmento AB es de perfil, mide 70 unidades y tiene una pendiente de 150% descendente hacia el
norte. La distancia del punto C al origen de coordenadas es de 30 unidades. Completar las coordenadas
de los vértices del triángulo ABC de tal forma que la recta de orientación del plano que lo contiene forme
el menor ángulo posible con el meridiano (Norte-Sur).
A ( 60, 0, 80 )
B ( ¿?, ¿?, ¿? )
C ( ¿?, ¿?, 0 )
Rpta:
B(60,38.8290,21.7565)
C(26.8662,-13.3495,0)
OK
111) 2006-1-EXPH-prob1 *
Determinar la orientación del plano ABC si se sabe que la relación entre las longitudes de los segmentos
ascendentes AB y CA es la misma que la relación entre sus proyecciones horizontales
(|AB|/|CA|=|AHBH|/|CHAH|).
A ( 15, 25, 20 )
B ( 35, 55, ¿? )
C ( 65, 5, ¿? )
Rpta:
or=N72º44’45”E
OK
112) 2006-1-EXPJ-prob1 *
Determinar la orientación del plano ABC si se sabe que la relación entre las longitudes de los segmentos
ascendentes AB y AC es la misma que la relación entre sus proyecciones horizontales
(|AB|/|AC|=|AHBH|/|AHCH|).
A ( 15, 25, 20 )
B ( 35, 55, ¿? )
C ( 65, 5, ¿? )
Rpta:
or=N17º15’15”O
OK
113) 2006-2-EXPH-prob1
Del punto I que pertenece a la recta AB del plano ABC parte una bolita y resbala sobre dicho plano hasta
cortar con la recta horizontal que pasa por A después de haber recorrido 20 unidades. Completar las
coordenadas de los vértices del triángulo ABC sabiendo que tiene una inclinación de 50%NO.
A ( 40, 30, 10 )
B ( 70, 5, ¿? )
C ( 65, 35, ¿? )
I ( 60, ¿?, ¿? )
Rpta:
I(60,13.3333,18.9443)
ZB=23.4164
ZC=8.2891
OK
114) 2007-1-EXSH-prob2, 2007-2-EXPI-prob2
LM (ascendente) es recta de máxima pendiente del plano que contiene al triángulo LMN. El ángulo en L
es 30º y el ángulo en M es 50º. Se sabe que el punto N está contenido en la recta RS. Completar las
coordenadas de los vértices del triángulo y obtener la orientación y pendiente del plano que lo contiene.
L ( 35, 20, 20 )
M ( 65, 25, ¿? )
R ( 30, 25, ¿? )
S ( 60, 40, ¿? )
Rpta.:
zM=35.7598
pe=51.82%SO
N(53.0192,36.5096,30.6166)
or = N9º28’O ó S9º28’E
OK
115) 2007-2-P02H-prob2
Las rectas AB y CD pertenecen a un mismo plano. De todas las rectas contenidas en el plano ACD, la
recta CD es aquella que hace el mayor ángulo con el plano frontal. Completar las coordenadas de los
puntos C y D sabiendo que D está encima de C.
A ( 55, 30, 25 )
B ( 110, 15, 25 )
C ( 70, 50, ¿? )
D ( 100, 10, ¿? )
Rpta:
zC=-19.7932
zD=39.3676
116) 2008-1-P02I-prob2
Completar las coordenadas de R y obtener la orientación y pendiente del plano PQR, sabiendo que el
ángulo en R es 60º y que PQ es horizontal. Tomar R debajo de P.
P ( 7, 31, 35 )
Q ( 41, 25, 35 )
R ( 36, 33, ¿? )
Rpta:
zR=9.3154
Esteban Ortiz Bosmans
or=N80ºO
pe=366.43%NE
15/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 2:
PLANOS E INTERSECCIONES
117) 2009-2-EXPH-prob2
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC recto en C y determinar la pendiente del
plano que lo contiene. El plano ABC tiene orientación S80°E. C está debajo de B.
A ( 50, 20, 40 )
B ( 65, 10, ¿? )
C ( 75, 15, ¿? )
Rpta:
zB=95.1448
zC=44.4372
pe=761.32%NE
OK
118) 2009-3-P02G-prob2
Completar las coordenadas del cuadrilátero ABED y determinar la orientación y pendiente del plano que
lo contiene, sabiendo que los ángulos AEB y BDE son iguales. Tomar BE ascendente.
A ( 50, 30, ¿? )
B ( 75, 35, 45 )
D ( 40, 15, 30 )
E ( 65, 10, ¿? )
Rpta:
zA=23.3605
or=N46º54’E
zE=63.4052
pe=161.13%NO
OK
119) 2009-3-EXFG-prob2
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo PQR y determinar la orientación y pendiente del
plano que lo contiene si se sabe que PR desciende y es recta de máxima pendiente y que el ángulo en P
(ángulo RPQ) mide 120º.
P ( 35, 40, 30 )
Q ( 20, 45, ¿? )
R ( 50, 55, ¿? )
Rpta:
zQ=34.0825
or=N45ºO
zR=17.7526
pe=57.74%NE
OK
120) 2010-2-P02H-prob2
Las rectas AB y CD se cortan en el punto X. Si el ángulo AXC es de 40º y el plano formado por las dos
rectas tiene orientación S30ºE, completar las coordenadas que faltan y obtener la pendiente del plano.
Tomar B debajo de A.
A ( 30, 40, ¿? )
B ( 40, 60, ¿? )
C ( 25, 65, 50 )
D ( 45, 55, ¿? )
Rpta:
zA=72.5249
pe=275.71%NE
zB=21.0773
zD=16.0315
OK
121) 2011-1-P02H-prob2
La recta de intersección de los planos PQR y LMN tiene una pendiente descendente de 10º y va hacia la
derecha. Completar las coordenadas de L.
L ( 15, 15, ¿? )
M ( 30, 30, 25 )
N ( 50, 15, 5 )
P ( 10, 25, 20 )
Q ( 30, 5, 40 )
R ( 50, 35, 10 )
Rpta:
zL=16.8088
OK
122) 2011-1-EXPI-prob2
BC es recta de máxima pendiente del triángulo ABC. El ángulo en A es 50º, siendo AK bisectriz del
ángulo en A. K pertenece al lado BC y se cumple que CK:KB=2:3. Obtener las coordenadas de A
sabiendo que está a la izquierda de B.
B ( 15, 50, 20 )
C ( 35, 70, 40 )
Rpta:
K(27,62,32)
A(13.1614,90.7545,39.4580)
OK
Nivel de Dificultad V
123) 2006-1-P02J-prob2
Del punto P de un plano parte una bolita que resbala sobre su superficie llegando a un segundo plano
por el punto Q (Q pertenece a ambos planos). En el segundo plano, la bolita pasa por los puntos R y S,
siendo M un punto de este plano. Determinar la pendiente del primer plano sabiendo que tiene
orientación N30ºE.
M ( 42, 38, 11 )
P ( 24, 17, 30 )
R ( 50, ¿?, 15 )
S ( 75, 25, 5 )
Rpta:
pe=52.21%SE
OK
124) 2007-3-EXPH-prob1 *
La pendiente del plano ABC es 6 veces la pendiente del plano BCD. Determinar la orientación y
pendiente de ambos planos sabiendo además que su intersección es una recta horizontal y que ambos
descienden hacia el sureste.
A ( 32, 75, 83 )
B ( 65, 60, 37 )
D ( 76, 23, 14 )
Rpta:
or(BCD)=N57º39’E
Esteban Ortiz Bosmans
pe(ABC)=151.67%SE
pe(BCD)=61.92%SE
OK
16/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Capítulo 3: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Nivel de Dificultad I
125) 2003-1-P02K-prob1
Dadas las coordenadas del punto A, determinar las coordenadas que resultan de la intersección, con los
ejes cartesianos principales, de un plano que contiene al punto A y que es perpendicular al segmento
que resulta de unir el origen de coordenadas O con el punto A.
A ( 20, 15, 10 )
O ( 0, 0, 0 )
Nivel de Dificultad II
126) 2003-1-P02L-prob2
Ubicar un punto X que pertenezca a los planos PQR y LMN pero que equidiste de los puntos A y B.
A ( 39, 13, 19)
B( 20, 3, 8)
L ( 39, 17, 17)
M (45, 4, 1 )
N (55, 15, 5)
P ( 0, 13, 13 )
Q ( 18, 17, 17 )
R ( 8, 3, 4 )
Rpta:
X(37.8638,2.4713,4.0796)
127) 2003-1-P04K-prob2
Por el punto B trazar un segmento BP de 8 unidades contenido en el plano ABC y perpendicular a la
recta MN. Se pide determinar las coordenadas del punto P
A ( 2, 6, 4 )
B ( 7, 9, 1 )
C ( 10, 3, 5 )
M ( 11, 3, 2 )
N ( 15, 7, 4 )
Rpta:
(10.9800,3.1519,4.7363)
(3.0200,14.8481,-2.7363)
OK
128) 2003-1-EXPK-prob2
Se hace una perforación vertical en el punto A del terreno y se encuentra un punto B de la capa superior
de un estrato y C un punto de la capa inferior del mismo estrato. Luego se efectúa otra perforación
oblicua en el punto D encontrando un punto E de la capa superior y F un punto de la capa inferior del
mismo estrato. Hallar la orientación y pendiente de las capas superior e inferior del estrato considerando
que las capas son paralelas. Completar las coordenadas del punto F.
A ( 6.5, 4, 7.5 )
B ( 6.5, 4, 6.5 )
C ( 6.5, 4, 4.5 )
D ( 10, 3, 7 )
E ( 9, 2.5, 6 )
F ( 8, ¿?, ¿? )
129) 2006-1-P03H-prob1
Obtener las coordenadas del punto P si la recta PQ es perpendicular a QR, tiene orientación N45ºE y
una longitud de 30 unidades.
Q ( 25, 50, 10 )
R ( 65, 30, 40 )
Rpta:
P(84.1881,49.1881,27.2080)
130) 2006-2-P03J-prob1
La recta LN es perpendicular a las rectas AB y CD. Se sabe que el punto M equidista de L y N.
Determinar las coordenadas de N.
A (13, 25, 45)
B (55, 45, 15)
C (70, 45, 25)
D (90, 5, 50)
L (85, 30, 10)
M (90, 25, 30)
Rpta:
N(91.8432,46.1303,30.3340)
131) 2006-2-EXRE-prob1
Ubicar un punto X que pertenezca a los planos ABC y DEF pero que equidiste de los puntos GH.
A ( 0, 13, 13 )
B ( 18, 17, 17 )
C ( 8, 3, 4)
D ( 39, 17, 17 )
E ( 45, 4, 1 )
F ( 55, 15, 5 )
G ( 39, 13, 19 )
H ( 20, 3, 8 )
Rpta:
X(37.8638,2.4713,4.0796)
OK
132) 2007-1-P03H-prob1, 2003-1-P04K-prob1
PQR es un triángulo equilátero. El punto R tiene igual cota y alejamiento. Determinar las coordenadas de
R si está debajo de P.
P ( 40, 35, 20 )
Q ( 20, 15, 5 )
Rpta.:
R(51.0428,7.6184,7.6184)
Esteban Ortiz Bosmans
OK
17/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
133) 2007-1-P03I-prob1
Completar las coordenadas que faltan si el plano PQR es paralelo al plano ABCD. El plano ABCD es tal
que contiene a la horizontal AB y al segmento CD que baja de C a D y mide 40 unidades de longitud.
A ( 10, 45, 35 )
B ( 50, 35, ¿? )
C ( 35, 30, ¿? )
D ( 35, 10, ¿? )
P ( 100, 35, 40 )
Q ( 65, 45, ¿? )
R ( 80, ¿?, 15 )
Rpta.:
zB=35
zQ=42.1651
zC=19.8446
yR=25.5662
zD=-14.7965
OK
134) 2007-1-P03I-prob2
RSTU es un rectángulo y también la base de una pirámide regular de 50 unidades de altura y de vértice
V. Completar las coordenadas de la pirámide si su base está encima de la pirámide.
R ( 35, 50, 55 )
S ( 50, ¿?, 65 )
U ( 5, 25, 75 )
Rpta.:
yS=40
T(20,15,85)
V(30.2639,-0.6674,32.6867)
135) 2007-1-EXPI-prob1
Determinar las coordenadas de los vértices del pentágono regular ABCDE si B está a 15 unidades
encima y está delante de C.
A ( 20, 40, 45 )
C ( 60, 15, 15 )
Rpta.:
B(29.2371,10.2793,30)
D(69.7755,47.6383,20.7295)
E(45.0541,63.0891,39.2705)
136) 2007-1-EXSH-prob1
PQ tiene 70% de pendiente, va hacia atrás y es perpendicular al plano ABC. Completar las coordenadas
de los vértices del triángulo ABC.
A ( 20, 20, 15 )
B ( 45, 25, ¿? )
C ( 50, 45, ¿? )
P ( 15, ¿?, 30 )
Q ( 10, ¿?, 20 )
Rpta.:
zB=9.1911
zC=33.4553
137) 2007-2-P03I-prob1
Se hace una perforación vertical en el punto A de la superficie del terreno y se encuentra un punto B de
la capa superior de un estrato y un punto C de la capa inferior del mismo estrato. Luego se efectúa otra
perforación recta en el punto D de la superficie del terreno, encontrando un punto E de la capa superior y
un punto F de la capa inferior del mismo estrato. Hallar la orientación y pendiente de las capas superior e
inferior del estrato considerando que son planas y paralelas y completar las coordenadas de F.
A ( 10, 50, 50 )
B ( 10, 50, 40 )
C ( 10, 50, 20 )
D ( 45, 40, 45 )
E ( 35, 35, 35 )
F ( 25, ¿?, ¿? )
Rpta:
F(25,30,25)
or=N48º49´O
pe=96.64%NE
138) 2008-1-P03H-prob1
Por el punto B, trazar un segmento de 40 unidades contenido en el plano ABC y perpendicular a la recta
MN. Dar todas las soluciones posibles de las coordenadas del otro extremo de este segmento.
A ( 6, 30, 38 )
B ( 31, 45, 52 )
C ( 47, 15, 32 )
M ( 50, 13, 46 )
N ( 71, 36, 37 )
Rptas:
(53.8792,17.2561,34.4838)
(8.1202,72.7439,69.5162)
139) 2008-1-P03I-prob1
Las rectas AB y CD se cruzan. Si no son perpendiculares, desplazar C verticalmente hasta que lo sean.
Determinar la nueva posición del punto y la distancia recorrida.
A ( 10, 17, 30 )
B ( 23, 4, 7 )
C ( 6, 29, 35 )
D ( 25, 12, 30 )
Rpta:
C’(6,29,9.6522)
dist=25.3478
OK
140) 2009-1-P02I-prob1
Desplazar el punto D paralelamente a una recta que tiene orientación S30ºO y una pendiente de 60%
ascendente hasta una posición D’, de tal manera que la nueva recta CD’ sea perpendicular a la recta AB.
Determinar D’ y la orientación y pendiente de un plano paralelo a AB y a CD’.
A ( 70, 15, 40 )
B ( 100, 40, 20 )
C ( 50, 40, 20 )
D ( 70, 60, 35 )
Rpta:
D’(61.7781,45.7593,44.8663)
or=N53º6’E
pe=1008.71%NO
OK
141) 2009-1-EXPH-prob1
Los planos AQR y BQR se intersecan con el plano ABC según dos rectas paralelas. Completar las
coordenadas del punto C y hallar la orientación y pendiente del plano ABC.
A ( 50, 30, 5 )
B ( 25, 30, 15 )
C ( 35, 25, ¿? )
Q ( 30, 45, 15 )
R ( 55, 20, 35 )
Rpta:
zc=17
or=N71º34’O
pe=126.49%NE
OK
142) 2009-2-EXFH-prob1
Trazar un segmento BO descendente, de 40 unidades de longitud, contenido en el plano ABC y
perpendicular a la recta MN. Determinar las coordenadas de O y la orientación y pendiente de BO.
Esteban Ortiz Bosmans
18/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A ( 5, 30, 35 )
M ( 50, 15, 45 )
Rpta:
B ( 30, 45, 50 )
N ( 70, 35, 35 )
O(49.8998,15.7595,31.3186)
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
C ( 45, 15, 30 )
or=S34º14’E
pe=52.82%desc
OK
143) 2009-2-EXFI-prob1
Los segmentos de recta AB y CD se cruzan y son perpendiculares. La distancia vertical entre ambos
segmentos es de 15 unidades. Determinar las coordenadas de D y la orientación y pendiente de CD si
mide 50 unidades de longitud. Tomar AB debajo de CD.
A ( 80, 35, 35 )
B ( 45, 5, 10 )
C ( 90, 10, 5 )
Rpta:
D1(56.3037,19.5829,40.6753) or1=N74º7’O
D2(123.6963,0.4171,-30.6753) or2=S74º7’E
pe1=101.84%asc
pe2=101.84%desc
OK
144) 2010-1-EXFH-prob1 *
Determinar las coordenadas de los vértices del triángulo isósceles de base BC sobre la recta MN y cuyo
vértice A está situado sobre la recta EF. La base BC ha de ser igual a la altura AK del triángulo.
Determinar además la orientación y pendiente del plano que contiene al triángulo.
E ( 10, 15, 15 )
F ( 30, 10, 35 )
K ( ¿?, 25, ¿? )
M ( 15, 35, 5 )
N ( 50, 15, 5 )
Rpta:
A(24.6875,11.3281,29.6875)
K(32.5,25,5)
B ó C(19.7881,32.2639,5)
or=N60º15´O
C ó B(45.2119,17.7361,5)
pe=156.78%NE
OK
145) 2010-2-EXSH-prob1
Trazar un segmento QL de 40 unidades de longitud contenido en el plano PQR y perpendicular a la recta
MN. Obténganse todas las posibles soluciones de las coordenadas de L y de la orientación y pendiente
de QL.
M ( 50, 15, 45 )
N ( 70, 35, 35 )
P ( 5, 30, 40 )
Q ( 30, 45, 50 )
R ( 45, 15, 30 )
Rpta:
L1(49.4029,15.8957,30.5971)
L2(10.5971,74.1043,69.4029)
or1=S33º41’E
or2=N33º41’O
pe1=55.47%desc
pe2=55.47%asc
OK
146) 2011-1-EXPH-prob1
ABCD es la base superior de un prisma recto y EFGH es la base inferior. AE es una arista. Si ambas
bases son paralelogramos, encontrar las coordenadas que faltan de los vértices del prisma y la
orientación y pendiente de sus bases.
A ( 35, 22, 25 )
D ( 22, 33, ¿? )
E ( 23, 10, 20 )
F ( 5, ¿?, 35 )
Rpta:
B(17,33.75,40)
G(-8,32.75,39.8)
C (4,44.75,44.8)
H(10,21,24.8)
zD=29.8
or=N45ºO
yF=21.75
pe=339.41%NE
OK
147) 2011-1-EXSH-prob1
La cara superior de un hexaedro regular es ABCD y está contenida en un plano de orientación N45ºO y
pendiente 30%SO, siendo A el vértice más bajo de dicha cara. La arista AB mide 40 unidades y tiene
orientación N60ºE. Hallar las coordenadas de los vértices del hexaedro.
A ( 25, 45, 30 )
Rpta:
B(58.2722,64.2097,41.1331)
E(33.1274,53.1274,-8.3131)
H(12.4658,87.2585,-5.4558)
C(37.6106,98.3408,43.9904)
F(66.3996,72.3371,2.8200)
D(4.3383,79.1311,32.8573)
G(45.7380,106.4682,5.6773)
OK
Nivel de Dificultad III
148) 2003-1-P02J-prob2
Dado el triángulo ABC, construir la pirámide que se forma al hallar un punto V que equidiste de los
vértices ABC y que esté contenido en el plano Horizontal (plano XY). Determinar las coordenadas del
punto V.
A ( 14, 6, 9 )
B ( 17, 36, 14 )
C ( 5, 36, 19 )
V ( ¿?, ¿?, ¿? )
Rpta:
V(4.1250,24.0542,0)
OK
149) 2003-1-P03I-prob2, 2003-1-P03J-prob1
Los planos ABP y CDP se intersecan en una recta de orientación N75ºO y pendiente 120% ascendente.
Completar las coordenadas del punto P.
A ( 90, 15, 55 )
B ( 40, 75, 55 )
C ( 30, 10, 50 )
D ( 5, 115, 60 )
P ( 15, ¿?, ¿? )
Rpta:
P(15,110.2339,48.0237)
OK
150) 2003-1-EXPI-prob2
AB es un lado de la base pentagonal de una pirámide regular de vértice V. Completar las coordenadas
de los vértices de la pirámide V-ABCDE. Nota: AB lado de mayor cota.
Esteban Ortiz Bosmans
19/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A( 10, 45, 35 )
Rpta:
B ( 35, 25, 35 )
yV=69.3750
D(17,2387,28,4233,-13.5417)
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
V ( 50, ¿?, 5 )
C(39.4737,14.7551,4.9996)
E(-0.9771,47.1157,4.9996)
OK
151) 2003-1-EXPJ-prob2, 2007-1-P03H-prob2
Determinar las coordenadas de los vértices de una pirámide recta V-ABCDE cuya base es un pentágono
regular y la cara VAB es un plano horizontal. La cara VAB está encima de la pirámide.
A ( 90, 40, 80 )
B ( 100, 25, 80 )
V ( 65, ¿?, 80 )
Rpta:
yV=12.5
D(87.0574,27.2049,53.9522)
C(98.1814,17.0922,63.9016)
E(82.0010,41.3627,63.9016)
OK
152) 2003-1-EXPL-prob2
Sea un triángulo rectángulo RST, recto en S perpendicular a la recta AB. El lado descendente RT corta a
la recta AB. La perpendicular trazada desde S hasta AB es la altura relativa a la hipotenusa, que divide a
esta en dos segmentos que están en la relación de 3 a 2. Determinar las coordenadas de los vértices R y
T.
A ( 9, 1.5, 5.5 )
B ( 11, 3.5, 10 )
S ( 11.5, 0, 6)
Rpta:
R1(7.5151,-0.5610,8.0204)
R2(8.1103,0.2263,7.4059)
T1(10.4914,3.3755,4.9480)
T2(11.0867,4.1628,4.3336)
OK
153) 2006-1-P03J-prob1
Determinar las proyecciones de un punto K que equidiste de los puntos A y B. El punto K se encuentra
por encima y a una distancia de 10 unidades del plano ortofrontal CDE, a 30 unidades del punto V y
detrás de A.
A (7, 34, 21)
B (34, 4, 53)
C (63, 50, 41)
D (78, 25, 50)
E (94, 37, ¿?)
V (51, 10, 26)
Rpta:
zE=59.6
K(37.1622,34.1658,37.1592)
OK
154) 2006-2-P03H-prob1
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo ABC, recto en B si el plano que lo
contiene es perpendicular a la recta MN. Se sabe que el cateto AB es frontal y mide 20 unidades y que la
hipotenusa AC se corta con MN. Tomar A debajo de B.
A ( 25, 20, 10 )
M ( 10, 45, 10 )
N ( 30, 25, 30 )
Rpta:
B(10.8579,20.0000,24.1421)
C(21.8573,41.9989,35.1416)
OK
155) 2006-2-P03H-prob2
PQ es una arista de un tetraedro regular y M un punto de la recta que une los puntos medios de las
aristas opuestas PQ y RS. Hallar las coordenadas de los vértices que faltan del tetraedro.
M ( 33, 55, ¿? )
P ( 15, 45, 55 )
Q ( 37, 65, 35 )
Rpta:
zM=52.7
R ó S = (35.6446,69.8661,70.4751)
S ó R = (50.4434,40.1339,57.0217)
OK
156) 2006-2-P03J-prob2, 2006-2-EXFJ-prob1
V es el vértice de una pirámide regular y PQ es una recta de máxima pendiente de su plano de base.
Completar las coordenadas de sus vértices sabiendo que su base es un triángulo equilátero de lado igual
a 30 unidades y que su lado izquierdo es de perfil. Se sabe además que la altura de la pirámide es 20
unidades y que el vértice está debajo del plano de la base.
P ( 10, 40, 20 )
Q ( 35, 20, 60 )
V ( 45, ¿?, 30 )
Rpta:
yV= 29.9297
(25.9424,24.6108,47.5647)
(25.9424,48.2603,29.1065)
(46.5368,46.1807,50.8217)
OK
157) 2007-1-EXPH-prob1
Los segmentos AB y CD son perpendiculares. Si AB tiene 40% de pendiente descendente y CD es
horizontal, determinar las coordenadas de D sabiendo que está delante de C.
A ( 13, ¿?, 27 )
B ( 35, ¿?, 3 )
C ( 6, 28, 13 )
D ( 29, ¿?, 13 )
Rpta.:
yD=18.9353
OK
158) 2007-2-P03H-prob1
Completar las coordenadas de L, M y Q sabiendo que la recta PQ es paralela al plano LMN. LM mide 60
unidades y es la recta de máxima pendiente del plano LMN. Considerar M detrás de L.
L ( 15, ¿?, 35 )
M ( 30, ¿?, 15 )
N ( 40, 25, 30 )
P ( 30, 45, 5 )
Q ( 55, ¿?, 15 )
Rpta:
yL=17.2081
yM=71.7516
yQ=8.7904
OK
159) 2007-2-P03H-prob2
El punto V es el vértice y AB es una arista de la base cuadrada ABCD de una pirámide recta. Si CD está
a la derecha de AB, completar las coordenadas de los vértices de la pirámide.
Esteban Ortiz Bosmans
20/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A ( 80, 50, 25 )
Rpta:
B ( 90, 30, 35 )
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
V ( 80, 25, ¿? )
C(108.2878,31.0116,18.7355) D(98.2878,51.0116,8.7355)
zV=5.0000
OK
160) 2007-2-P03I-prob2
MN es el eje de un prisma recto ABC-DEF cuyas bases son triángulos equiláteros con centros en M y N
y con lados que miden 30 unidades. El vértice A de la base inferior está 10 unidades a la izquierda y
detrás de N. Obtener las coordenadas de los vértices del prisma. B delante de C.
M ( 45, 15, 50 )
N ( 20, 50, 15 )
Rpta:
A(10,55.7691,27.9119)
D(35,20.7691,62.9119)
B(14.7888,36.6081,5.3304)
E(39.7888,1.6081,40.3304)
C(35.2112,57.6228,11.7577)
F(60.2112,22.6228,46.7577)
161) 2007-2-EXPI-prob1
Cortar las dos rectas que se cruzan AB y CD con una recta KM perpendicular al plano dado por el
triángulo EFG. Obtener las coordenadas de los puntos K y M y determinar la orientación y pendiente de
KM sabiendo que K está en AB y que M está en CD.
A ( 85, 40, 45 )
B ( 104, 12, 15 )
C ( 107, 48, 43 )
D ( 143, 22, 55 )
E ( 44, 45, 9 )
F ( 68, 13, 9 )
G ( 33, 13, 40 )
Rpta:
K(99.7694,18.2346,21.6799)
or=N53º8’E
M(123.5345,36.0584,48.5115)
pe=90.32%asc
162) 2007-3-P02G-prob2, 2007-3-P02H-prob2
LM es recta de máxima pendiente de un plano que contiene a un pentágono regular. El pentágono está
inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es LM. Hallar las coordenadas de los vértices del
pentágono, sabiendo que su lado delantero es frontal.
L ( 25, 40, 50 )
M ( 45, 10, 85 )
Rpta:
(42.4178,8.4353,84.8734)
(41.9033,45.4751,54.6796)
(16.4124,8.4353,70.8705)
(58.1721,31.3272,74.8669)
(16.0944,31.3272,52.2097)
OK
163) 2007-3-P03G-prob1
El punto O es el centro de la base superior de una plancha hexagonal (prisma recto) de 10 unidades de
espesor. La base superior tiene orientación S60ºE y una pendiente de 120%NE y, además, dos de sus
lados son de perfil y miden 25 unidades. Determinar las coordenadas de los vértices de la base inferior
considerando que el hexágono es regular.
O ( 30, 40, 40 )
Rpta:
(6.1691,48.0067,30.3572)
(46.1486,18.6873,36.8391)
(26.1589,50.6814,15.5837)
(26.1589,16.0126,51.6126)
(46.1486,36.0217,18.8247)
(6.1691,30.6723,48.3716)
OK
164) 2007-3-EXFG-prob1, 2007-3-EXFH-prob1
Determinar las coordenadas de los vértices del tetraedro regular V-ABC sabiendo que P pertenece a la
cara VBC. La cara VBC tiene orientación S60ºE y pendiente 30%SO. La distancia del punto A al plano
VBC es 20 unidades. La arista VA tiene orientación N60ºE. Tomar A encima de V y B a la derecha de C.
P ( 10, 30, 60 )
V ( 20, 20, ¿? )
Rpta:
lado= 24.4949
A(27.2003,24.1571,81.9426)
zV= 58.9019
B(43.5245,24.8617,63.6937)
C(26.6968,42.5407,65.7627)
OK
165) 2008-1-P03H-prob2
Completar las coordenadas de los puntos A y B sabiendo que en los planos LMN y PQR existe un lugar
geométrico común de los puntos que equidistan de A y B.
A ( 55, ¿?, 80 )
B ( 75, ¿?, 65 )
L ( 20, 20, 45 )
M ( 30, 55, 105 )
N ( 50, 50, 35 )
P ( 10, 55, 55 )
Q ( 50, 40, 65 )
R ( 50, 10, 80 )
Rpta:
yA=73.7227
yB=46.4823
166) 2008-1-P03I-prob2
Los planos AQR y BQR se intersecan con el plano ABC según dos rectas paralelas. Completar las
coordenadas del punto C.
A ( 50, 25, 35 )
B ( 25, 30, 25 )
C ( 35, 20, ¿? )
Q ( 30, 45, 25 )
R ( 55, 20, 10 )
Rpta:
zC=19
OK
167) 2008-1-EXPI-prob1
La recta LM tiene una orientación N50ºE y es perpendicular a JK. La recta JK está contenida en un plano
paralelo a las rectas PQ y RS. Completar las coordenadas de L y M y determinar la pendiente de LM.
J ( 25, ¿?, 42 )
K ( 45, ¿?, 38 )
L ( 85, 5, ¿? )
M ( 95, ¿?, 74 )
P ( 10, 30, 79 )
Q ( 28, 38, 68 )
R ( 20, 47, 50 )
S ( 30, 28, 62 )
Rpta:
zL=27.6807
Esteban Ortiz Bosmans
yM=13.3910
pe=354.83%asc
21/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
168) 2008-1-EXPI-prob2
AB es un segmento de recta ascendente de 50 unidades de longitud y paralela a un plano 100%N.
Completar las coordenadas de A y B.
A ( 5, ¿?, 30 )
B ( 25, 25, ¿? )
Rpta:
yA=57.4037
zB=62.4037
169) 2008-1-EXFI-prob2
AB es una arista de un tetraedro regular ABCD. La arista opuesta CD tiene orientación N60ºE. Completar
las coordenadas del tetraedro y determinar la orientación y pendiente de la base ABC. Tomar CD detrás
de AB.
A ( 30, 35, 10 )
B ( 47, 51, 25 )
Rpta:
C(19.5167,54.2707,26.9923)
or=N87º48’O
D(32.7561,61.9145,3.8344)
pe=90.13%SO
OK
170) 2008-1-EXSH-prob1
Completar las coordenadas de los puntos A y B sabiendo que los puntos en común de los planos LMN y
PQR son un lugar geométrico de puntos que equidistan de A y B.
A ( 55, ¿?, 80 )
B ( 75, ¿?, 65 )
L ( 20, 25, 45 )
M ( 30, 60, 105 )
N ( 50, 55, 35 )
P ( 10, 60, 55 )
Q ( 50, 45, 65 )
R ( 50, 15, 80 )
Rpta:
yA=78.7227
yB=51.4823
171) 2009-1-P02I-prob2
Completar las coordenadas de los vértices del cuadrado PQRS, sabiendo que la recta MN está
contenida en el plano del cuadrado, que el vértice R pertenece a la recta QO y que PQ es ascendente.
M ( 50, 40, 35 )
N ( 75, 25, 35 )
O ( 115, 0, ¿? )
P ( 55, 50, ¿? )
Q ( 60, 20, ¿? )
Rpta:
zp=14.4745
R(106.4408,3.1124,39.7731)
zQ=57.1044
S(101.4408,33.1124,-2.8568)
172) 2009-1-EXPI-prob 2
La recta de intersección de los planos PQR y STU pertenece al plano mediatriz del segmento LM.
Completar las coordenadas de los puntos L y M.
L ( 55, ¿?, 80 )
M ( 75, ¿?, 65 )
P ( 10, 55, 55 )
Q ( 50, 45, 65 )
R ( 50, 10, 80 )
S ( 20, 20, 45 )
T ( 30, 55, 100)
U ( 60, 50, 35 )
Rpta:
yL=72.9746
yM=43.6037
OK
173) 2009-1-EXFI-prob1
Determinar las coordenadas de los vértices de un prisma recto y la orientación y pendiente de sus bases
cuadradas ABCD y EFGH. Se sabe que el punto C pertenece a la recta AX y que AE y BF son aristas.
Tomar D debajo de A.
A ( 15, 20, 20 )
H ( 20, 35, 35 )
X ( 40, 40, 15 )
Rpta:
B(29.8415,18.1691,16.8838)
E(18.1748,19.8357,35.2171)
or=N2º58’E
C(31.6667,33.3333,16.6667)
F(33.0163,18.0048,32.1009)
pe=20.89%SE
D(16.8252,35.1643,19.7829)
G(34.8415,33.1691,31.8838)
174) 2009-1-EXSI-prob1
Completar las coordenadas de los vértices del cuadrado PQRS, sabiendo que la recta horizontal MN
está contenida en el plano del cuadrado, que el vértice R pertenece a la recta QO y que PQ es
ascendente.
M ( 50, 40, 40 )
N ( 75, 25, 40 )
O ( 110, 0, ¿? )
P ( 55, 50, ¿? )
Q ( 60, 20, ¿? )
Rpta:
zP=16.9341
R(110.0403,-0.0161,47.0829)
zQ=64.8402
S(105.0403,29.9839,-0.8233)
OK
175) 2009-2-P02I-prob2
PQ es la recta de máxima pendiente del plano PQR. JK mide 40 unidades y es perpendicular a PQ.
Completar las coordenadas de PQ y determinar la orientación y pendiente del plano PQR. Considerar
que JK va hacia delante y PQ va hacia atrás.
J ( 15, ¿?, 40 )
K ( 30, ¿?, 25 )
P ( 5, ¿?, 45 )
Q ( 15, ¿?, 25 )
R ( 30, 10, 35 )
Rpta:
yp=18.4370
or=N53º0’O
yQ=31.7067
pe=120.37%NE
OK
176) 2009-2-EXPI-prob2
Encontrar las coordenadas de un cubo 12345678 que tiene su cara inferior 3487 contenida en el plano
RST. El punto 1 es un vértice del cubo y está en la arista más alta. Se sabe también que dicho cubo
tiene cuatro aristas horizontales. Tomar 2 a la derecha de 1.
Esteban Ortiz Bosmans
22/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
1 ( 45, 25, 65 )
Rptas:
R ( 50, 40, 50 )
2(59.6296,33.8823,65)
5(50.2496,16.3536,51.1941)
8(43.0846,28.1547,41.0789)
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
S ( 30, 45, 70 )
3(52.4647,45.6834,54.8848)
6(64.8792,25.2359,51.1941)
T ( 10, 20, 55 )
4(37.8351,36.8011,54.8848)
7(57.7142,37.0370,41,0789)
177) 2009-3-EXPG-prob1
Obtener la orientación y pendiente del plano RST y las coordenadas de los vértices del cubo 12345678
que tiene su cara inferior 3487 contenida en dicho plano. El punto 1 es un vértice del cubo y está sobre la
arista más alta 12. Se sabe también que dicho cubo tiene cuatro aristas horizontales. Tomar 2 a la
izquierda de 1.
R ( 60, 45, 70 )
S ( 80, 35, 45 )
T ( 40, 20, 55 )
1 ( 75, 25, 65 )
Rpta:
or=N59º18’E
2(60.5068,16.3946,65)
5(80.1736,16.2865,51.5310)
8(73.2972,27.8679,41.3973)
pe=132.91%SE
3(53.6303,27.9760,54.8663)
6(65.6804,7.6865,51.5310)
lado=16.8554
4(68.1236,36.5814,54.8663)
7(58.8040,19.2625,41.3973)
178) 2009-3-EXPG-prob2
ABCDE es un pentágono regular, base de una pirámide recta de vértice V. Determinar las coordenadas
que faltan de los vértices de la pirámide, sabiendo que D está a la derecha de C.
A ( 25, 25, 45 )
C ( 45, 40, 20 )
V ( 35, ¿?, 50 )
Rpta:
B(24.5610,34.3246,25.2436)
yV=61.6667
D(58.0710,34.1830,36.5158)
O(39.6685,31.6840,35.7452)
E(45.7103,24.9125,51.9666)
lado=21.8508u
OK
179) 2010-1-P02H-prob1
Vienen dadas las rectas EF, MN, KL y HI. Construir el rectángulo ABCD, en el cual el lado AB es paralelo
a la recta EF, el vértice A se encuentra sobre la recta KL, el vértice B, sobre la recta MN y el vértice C,
sobre la recta HI. Obtener las coordenadas de sus vértices y la orientación y pendiente del plano que lo
contiene.
E ( 5, 5, 55 )
F ( 20, 15, 45 )
H ( 50, 5, 55 )
I ( 60, 10, 55 )
K ( 35, 40, 35 )
L ( 55, 15, 45 )
M ( 15, 30, 55 )
N ( 30, 20, 35 )
Rpta:
A(37.3529,37.0588,36.1765)
D(59.0931,12.2917,44.0196)
B(20.8824,26.0784,47.1569)
or=N63º12’O
C(42.6225,1.3113,55)
pe=63.74%NE
OK
180) 2010-1-P02I-prob2
Vienen dados el plano del triángulo LMN y las rectas AE y FG. Construir un paralelogramo, en el cual el
lado AD está situado sobre la recta AE, el lado AB es paralelo al plano del triángulo, el vértice B
pertenece a la recta FG, y la diagonal BD es perpendicular al lado AD. Obtener las coordenadas de sus
vértices y la orientación y pendiente del plano que lo contiene.
A ( 40, 5, 25 )
E ( 50, 30, 20 )
F ( 25, 15, 20 )
G ( 45, 25, 5 )
L ( 20, 25, 15 )
M ( 0, 5, 30 )
N ( 0, 10, 25 )
Rpta:
B(42.5,23.75,6.875)
or=N25º9’E
C(50.2917,43.2292,2.9792)
pe=317.62%NO
D(47.7917,24.4792,21.1042)
181) 2010-1-EXPH-prob2
MN tiene orientación N40ºE y es el eje de un prisma recto cuyas bases son cuadrados que bajan hacia el
suroeste (M y N son los centros de las bases). La base que pasa por N es el cuadrado ABCD. Obtener
las coordenadas que faltan de los vértices del prisma y la orientación y pendiente del plano ABCD, si MN
mide 25 unidades. Tomar a B como el vértice de menor cota.
A ( 50, 55, 10 )
M ( 20, 45, 15 )
Rpta:
B(35.7552,46.3145,-12.8396)
E(36.7870,39.2534,24.2289)
H(17.4578,59.4321,28.6108)
or=N50ºO ó S50ºE
C(16.4260,66.4932,-8.4578)
F(22.5422,30.5679,1.3893)
N(33.2130,60.7466,0.7711)
pe=144.46%SO
D(30.6707,75.1787,14.3819)
G(3.2130,50.7466,5.7711)
OK
182) 2010-2-EXPH-prob2
Hallar las coordenadas que faltan de los vértices del octaedro regular ABCDEF cuya cara CDF está
contenida en un plano que pasa por M y que tiene orientación N60ºE y pendiente 45ºSE. AC, BD y EF
son las diagonales interiores del octaedro. La arista FD tiene orientación S45ºE. Considerar a la arista
BE a la derecha de A. Obtener además la orientación y pendiente de la cara ADF.
A ( 35, 30, 25 )
M ( 15, 40, 15 )
Rpta:
B(45.5635,49.3218,36.4515)
E(58.1870,36.6984,19.2075)
or=N23º8’O
C(50.3353,59.7571,14.4425)
F(27.1483,53.0587,20.2350)
pe=259.31%NE
D(39.7717,40.4352,2.9910)
lado=24.8205
183) 2010-2-EXPI-prob2
Determinar las coordenadas de los vértices del cubo ABCD-EFGH, sabiendo que la arista AE está
contenida en la recta MN y que el vértice G pertenece a una recta que pasa por L, que tiene orientación
Esteban Ortiz Bosmans
23/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
N36ºE y que es perpendicular a MN. Obtener además la orientación y pendiente de la cara ABCD.
Tomar EG ascendente y B a la izquierda de A.
A ( 18, ¿?, ¿? )
L ( 15, 10, 50 )
M ( 20, 40, 30 )
N ( 30, 15, 10 )
Rpta:
A(18,45,34)
D(28.0981,40.2565,44.9785)
G(21.7534,19.2953,41.7576)
or=N68º12’E
B(6.9886,35.7055,40.1125)
E(22.6667,33.3333,24.6667)
H(32.7648,28.5898,35.6451)
pe=134.63%NO
C(17.0868,30.9620,51.0909)
F(11.6553,24.0388,30.7791)
lado=15.6525u
OK
184) 2010-2-EXSI-prob1
Ubicar un punto I que pertenezca a los planos PQR y LMN, pero que equidiste de S y T. Obtener las
coordenadas de I y la orientación y pendiente del segmento SI.
L ( 85, 35, 35 )
M ( 95, 10, 70 )
N ( 120, 30, 60 )
P ( 5, 25, 45 )
Q ( 45, 35, 35 )
R ( 20, 5, 60 )
S ( 65, 25, 30 )
T ( 45, 5, 55 )
Rpta:
I(67.2524,13.3116,50.9512)
or=S10º54’E
pe=176.01%asc
OK
185) 2011-1-EXPI-prob1
RS mide 30 unidades, tiene una pendiente de 80% ascendente, va hacia adelante y es perpendicular a
PR. Hallar las coordenadas de S y la orientación y pendiente del plano PRS.
P ( 20, 35, 35 )
R ( 40, 20, 10 )
Rpta:
S(46.5593,-2.4890,28.7409)
or=N32º34’O
pe=284.80%NE
OK
186) 2011-1-EXSI-prob1
La cara superior de un hexaedro regular es ABCD y está contenida en un plano de orientación N45ºO y
pendiente 30%SO, siendo A el vértice más bajo de dicha cara. La arista AB mide 40 unidades y tiene
orientación N60ºE. Hallar las coordenadas del vértice más bajo del hexaedro.
A ( 25, 45, 30 )
Rpta:
E(33.1274,53.1274,-8.3131)
Nivel de Dificultad IV
187) 2006-1-P03H-prob2
Los puntos A y C son vértices opuestos de la cara ABCD de un cubo y M es un punto contenido en la
cara ABFE del mismo. Completar las coordenadas de los vértices del cubo si se sabe que el vértice A es
el de menor cota.
A ( 10, 43, 10 )
C ( 37, 30, 28 )
M ( 15, 50, 30 )
Rpta:
B(29.3243,52.7097,21.9705)
F(15.9581,53.7062,42.7396)
D(17.6757,20.2903,16.0295)
G(23.6338,30.9965,48.7690)
E(-3.3662,43.9965,30.7690)
H(4.3095,21.2869,36.7985)
OK
188) 2006-1-P03J-prob2
Hallar las coordenadas de los puntos extremos P y Q de un segmento de recta frontal que se encuentran
contenidos en las rectas horizontales RS y TU, respectivamente; sabiendo además que O es el punto
medio de PQ y está contenido en el plano LMN.
L (50, 20, 25)
M (70, 55, 70)
N (100, 35, 50)
R (35, 40, 75)
S (85, 75, 75)
T (85, 75, 30)
U (115, 40, 30)
Rpta:
O(74.9802,39.9308,52.5)
P(34.9012,39.9308,75)
Q(115.0593,39.9308,30)
OK
189) 2006-2-EXPH-prob2, 2007-1-EXFH-prob2 *
Determinar las coordenadas de los vértices del cubo ABCD-EFGH, donde ABCD es la base inferior y la
arista AE es paralela a la recta MN. Se sabe que el punto P pertenece a la arista BF, que el punto Q
pertenece a la diagonal AG del cubo y que el punto R pertenece a la cara ADHE.
M ( 85, 45, 35 )
N ( 90, 80, 80 )
P ( 55, 50, 35 )
Q ( 35, 60, 35)
R ( 30, 35, 40 )
Rpta:
A(40.5044,22.9898,35.6964)
C(31.8289,50.9166,14.9396)
E(42.7199,38.4983,55.6360)
G(34.0444,66.4251,34.8791)
B(53.4939,39.4573,21.4451)
D(18.8394,34.4491,29.1909)
F(55.7094,54.9658,41.3846)
H(21.0549,49.9576,49.1304)
OK
190) 2006-2-EXPJ-prob2 *
Determinar las coordenadas de los vértices del prisma recto ABCD-EFGH, donde
ABCD es la base inferior cuadrada, la arista lateral AE es paralela a la recta MN y
mide el doble del lado de la base. Se sabe también que el punto P pertenece a la
arista BF, que el punto Q pertenece a la diagonal AG del prisma y que el punto R
pertenece a la cara ADHE.
M ( 75, 40, 30 )
N ( 80, 75, 75 )
P ( 50, 50, 35 )
Q ( 30, 60, 35 )
R ( 25, 35, 40 )
Esteban Ortiz Bosmans
24/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
A(33.6166,9.7753,18.7064)
C(24.9516,37.7021,-2.0505)
E(38.0476,40.7924,58.5855)
G(29.3722,68.7192,37.8286)
B(46.6061,26.2428,4.4551)
D(11.9516,21.2346,12.2009)
F(51.0371,57.2599,44.3342)
H(16.3826,52.2517,52.0800)
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
OK
191) 2007-1-EXPH-prob2
Determinar las coordenadas de los vértices del rectángulo ABCD y la orientación y pendiente del plano
que lo contiene si se sabe que la diagonal AC está contenida en la recta LM y sigue el mismo sentido, y
que los puntos B y D están contenidos en las rectas PQ y RS respectivamente.
L ( 20, 29, 15 )
M ( 50, 9, 15 )
P ( 8, 40, 28 )
Q ( 20, 17, 8 )
R ( 31, 17, 28 )
S ( 47, 28, 4 )
Rpta.:
A(17.8646,30.4236,15)
B(15.9160,24.8277,14.8067)
C(37.5892,17.2739,15)
D(39.5378,22.8697,15.1933)
or=N56º19’O
pe=3.37%SO
OK
192) 2007-3-P03G-prob2
Determinar la longitud del mínimo recorrido L-M-N y determinar las coordenadas de M y N, estando el
punto M en el plano PQR y el punto N en la recta AB.
A ( 47, 67, 86 )
B ( 74, 48, 48 )
L (24, 36, 46 )
P ( 15, 38, 70 )
Q ( 25, 63, 95 )
R ( 55, 31, 55 )
Rpta:
long=52.9594u
M(46.1253,39.6592,65.9654)
N(60.3953,57.5737,67.1474)
OK
193) 2008-1-EXPH-prob2
Completar las coordenadas de los vértices del triángulo isósceles PQR (PQ=PR) si se sabe que el plano
PQR tiene orientación S50ºE. Tomar Q encima de P.
P ( 104, 12, 10 )
Q ( 59, 20, ¿? )
R ( 50, 40, ¿? )
Rpta:
zQ=59.3453
zR=38.7046
OK
194) 2009-1-P02H-prob2
Dado el tetraedro PQRS, determinar las coordenadas del centro de un cubo inscrito en él, tal que los
cuatro vértices de una de sus caras estén contenidos en el plano PQR, otros dos vértices de una arista
estén contenidos en el plano PQS y los dos vértices restantes estén contenidos en las caras PRS y
QRS, respectivamente.
P ( 60, 60, 35 )
Q ( 15, 55, 75 )
R ( 35, 25, 45 )
S ( 70, 40, 70 )
Rpta:
O(44.9480,46.3153,53.5012)
OK
195) 2010-1-EXPI-prob2
Completar las coordenadas de los vértices de la pirámide VABCD de 24 unidades de altura cuya base
ABCD es un rombo situado en un plano de orientación S60ºE e inclinación θºSO, sabiendo que la
longitud de los lados del rombo es media proporcional entre las longitudes de la altura de la pirámide y la
diagonal AC. Además determinar la orientación y pendiente de la cara VAB. Tomar a B como el vértice
de menor cota. Nota: Se dice que la longitud de un segmento m es media proporcional con respecto a
las longitudes a y b de otros dos segmentos cuando se verifica la siguiente expresión:
a
m

m b .
A ( 25, 65, 10 )
C ( 30, 50, ¿? )
V ( 10, 45, 25 )
Rpta:
B(10.2274,53.5294,2.0327)
or=N45º50’E
zC=5.1744
pe=385.42%NO
D(44.7726,61.4706,13.1417)
ladorombo=20.3294u
196) 2011-1-EXPH-prob2
Por la recta horizontal LM, pasar un plano cuyas intersecciones con los planos verticales PQR y RST
sean rectas que formen 90º entre sí. Obtener las coordenadas del punto de intersección de los tres
planos, sabiendo que está debajo de L.
L ( 20, 15, 85 )
P ( 5, 5, 5 )
S ( 40, 40, 45 )
M ( 95, 35, ¿? )
Q ( 25, 30, 25 )
T ( 55, 30, ¿? )
Rpta:
I(35.4348,43.0435,74.8034)
Nivel de Dificultad V
197) 2006-1-EXPJ-prob2
Se da la proyección horizontal de las aristas AB, AD y AE de un paralelepípedo rectángulo ABCD-EFGH.
Determinar sus tres dimensiones (largo, ancho y altura) considerando que la altura es la dimensión de la
arista de mayor pendiente y que el vértice A es el de mayor cota.
A ( 55, 50, 80 )
B ( 95, 65, ¿? )
D ( 35, 70, ¿? )
E ( 60, 30, ¿? )
Rpta:
zB=70
largo=43.8748
Esteban Ortiz Bosmans
zD=30
ancho=22.9129
zE=70
altura=57.4456
OK
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 3:
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
198) 2008-1-EXFH-prob2, 2010-1-EXSH-prob2
Completar las coordenadas de los vértices de la pirámide recta truncada ABCD-A’B’C’D’. Las bases
paralelas son rectángulos donde ABCD es la base inferior. Recomendación: empiece usando la
proyección horizontal de la pirámide.
A ( 50, 25, 43 )
B ( 77, 33, ¿? )
D ( 50, 48, ¿? )
A’ ( 35, 60, ¿? )
D’ ( 35, 70, ¿? )
Rpta:
zB=54.0586
zA’=77.6942
zD’=70.4600
C(77,56,37.42)
B’(46.7391,63.4783,82.5023)
zD=26.3614
C’(46.7391,73.4783,75.2681)
199) 2009-2-P02H-prob2, 2009-2-EXSH-prob2
ABCD es la base cuadrada de una pirámide regular de vértice V. Sobre las rectas AM y AN se
encuentran contenidos los lados AD y AB respectivamente. El lado del cuadrado mide 25 unidades y la
altura VO es los 6/5 del lado de la base. Determinar las coordenadas de sus vértices si el eje OV
ascendente tiene orientación N30ºO.
A ( 20, 40, 35 )
M ( 50, 45, ¿? )
N ( 10, 10, ¿? )
Rpta:
B(14.2416,22.7249,52.1292)
V(15.9027,54.4335,66.4227)
C(36.3210,26.4047,63.2630)
D(42.0794,43.6799,46.1337)
OK
200) 2009-2-EXSI-prob2
Determinar las coordenadas de los vértices del tetraedro regular DABC. Las aristas AD y BC son
opuestas y tienen orientación N30ºE y N70ºE respectivamente. M es el punto medio de la arista BC y N
es el punto medio de la arista AD.
M ( 70, 15, 70 )
N ( 50, 30, ¿? )
Rpta:
A1(41.4784,15.2402,55.7183)
C1(78.1579,17.9692,53.7580)
A2(41.4784,15.2402,84.2817)
C2(78.1579,17.9692,86.2420)
Esteban Ortiz Bosmans
B1(61.8421,12.0308,86.2420)
D1(58.5216,44.7598,69.6752)
B2(61.8421,12.0308,53.7580)
D2(58.5216,44.7598,70.3248)
OK
26/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 4:
POLIEDROS
Capítulo 4: POLIEDROS
Nivel de Dificultad I
(Vacío)
Nivel de Dificultad II
201) 2007-3-P04G-prob1
Determinar la longitud total de la intersección del octaedro regular PQRSTU con el plano de orientación
N15ºE y pendiente 20%NO, limitado por una elipse. La elipse tiene centro en O, tiene un eje mayor de 40
unidades de longitud y de orientación S40ºE y tiene un eje menor de 25 unidades de longitud. PS, QT y
RU son diagonales interiores al octaedro. Tomar Q delante de S.
O ( 60, 50, 25 )
P ( 25, 50, 10 )
Q ( ¿?, ¿?, 10 )
S ( 65, 30, 40 )
Rpta:
Q(45.0697,17.6394,10)
long=36.4024u
OK
202) 2008-1-P04I-prob1
Determinar la longitud total de la intersección de la pirámide PQRST-V con el plano limitado por la
circunferencia horizontal con centro en O y radio 30 unidades. La base PQRST de la pirámide es un
pentágono regular y la proyección del vértice V al plano de la base es el punto medio de la diagonal PR.
Considerar al punto P como el vértice de la base de menor cota.
O ( 55, 25, 15 )
P ( 25, 50, 10 )
R ( 65, 30, 40 )
V ( ¿?, 0, 0 )
Rpta:
xV=43.75
Q(58.0877,47.4099,12.4897)
long=103.8507u
203) 2011-1-P03I-prob1
Se dan incompletas las tres proyecciones principales de un
sólido. Completar las líneas que falten y además dibujar su
vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrándola con
una visual que tiene orientación N30ºO y pendiente 60%
descendente. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.
Rpta:
Ver solución al final del documento
Nivel de Dificultad III
204) 2006-2-P04H-prob1, 2007-2-P04I-prob *
Se desea soldar una viga de acero a una plancha vertical
delgada de área infinita ubicada en el plano principal de perfil.
La viga de acero tiene como eje la recta AB, la cual tiene una
orientación S70ºO y una pendiente 30% ascendente, donde B
está contenido en el plano principal de perfil. La viga de acero
tiene una sección transversal (perpendicular al eje) en forma de
I, es decir, está formada por tres planchas de acero previamente
unidas entre sí (dos alas y un alma) que tienen un espesor de
50mm cada una. El plano de su alma es vertical. El peralte de la
viga es de 400mm y el ancho de las alas es de 250mm.
Determinar la longitud total de la soldadura que se debe emplear
si se soldará por todo el contorno de la viga.
A ( 650, 800, 100 ) mm
Rpta:
long=1798.0130mm
Esteban Ortiz Bosmans
27/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 4:
POLIEDROS
205) 2007-1-P04H-prob1
Las bases de un prisma recto son triángulos equiláteros siendo ABC la base inferior. Determinar las
coordenadas de los puntos de intersección del prisma con la recta MN sabiendo que H es el punto medio
del lado BC, que el segmento AH es frontal, que el punto A está detrás de B y que la longitud de las
aristas laterales del prisma es 30 unidades.
A ( 30, 40, 45 )
C ( 60, ¿?, ¿? )
H ( 45, ¿?, 75 )
M ( 25, 5, 70 )
N ( 40, 55, 85)
Rpta.:
M’(33.4429,33.1430,78.4429)
N’(35,38.3333,80)
206) 2007-2-P04H-prob *
Se desea soldar una viga de acero a la cara de una plancha
vertical de acero ubicada en el plano principal de perfil. La viga
de acero tiene como eje la recta AB, la cual tiene una
orientación S65ºO y una pendiente 35% ascendente. La viga de
acero tiene una sección transversal (perpendicular al eje)
constante en forma de C, es decir, está formada por una
plancha de acero que tiene un espesor de 50mm previamente
doblada, formando así dos alas y un alma. El plano de su alma
es vertical y está delante del eje. El peralte de la viga es de
400mm y el ancho de las alas es de 200mm. Determinar la
longitud total de la soldadura que se debe emplear, si se soldará
por todo el contorno de la viga.
A ( 550, 800, 150 ) mm
Rpta:
1628.3530u
207) 2008-1-P04H-prob1
Determinar la longitud total de la intersección del octaedro regular PQRSTU con el plano de orientación
N15ºE y pendiente 20%NO, limitado por una elipse. La elipse tiene centro en O, tiene un eje mayor de 40
unidades de longitud y de orientación S40ºE y tiene un eje menor de 25 unidades de longitud. PS, QT y
RU son diagonales interiores al octaedro. Tomar Q delante de S.
O ( 75, 50, 35 )
P ( 40, 50, 20 )
Q ( ¿?, ¿?, 20 )
S ( 80, 30, 50 )
Rpta:
Q(60.0697,17.6394,20)
long=36.4024u
208) 2009-1-P03H-prob2
Dadas las proyecciones H, F y P de un
poliedro,
dibujar
una
vista
tridimensional, mostrada desde el
Sureste. Dibujar las líneas ocultas
como discontinuas.
Esteban Ortiz Bosmans
28/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 4:
POLIEDROS
209) 2009-1-P03I-prob2
Dadas las proyecciones H, F y P de
un poliedro, dibujar una vista
tridimensional, mostrada desde el
Sureste. Dibujar las líneas ocultas
como discontinuas.
210) 2009-2-P03H-prob1
Dadas las proyecciones H y F de un poliedro,
dibujar
una
vista
de
perfil
y su
correspondiente vista tridimensional (en modo
alámbrico), mostrada desde el Sureste.
Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.
Esteban Ortiz Bosmans
29/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 4:
POLIEDROS
211) 2009-2-P03I-prob1
Dadas las proyecciones H y F de un poliedro,
dibujar una vista de perfil y su correspondiente
vista tridimensional (en modo alámbrico),
mostrada desde el Sureste. Dibujar las líneas
ocultas como discontinuas.
212) 2009-3-P03G-prob1
Dadas las proyecciones H y F de un poliedro,
dibujar una vista de perfil y su correspondiente
vista tridimensional (en modo alámbrico),
mostrada desde el Sureste. Dibujar las líneas
ocultas como discontinuas.
213) 2010-2-P03H-prob1
Dadas las proyecciones frontal (F) y de
perfil (P) de un sólido, dibujar su
correspondiente vista tridimensional (en
modo alámbrico), mostrada en la
dirección del segmento 12. Dibujar las
líneas ocultas como discontinuas.
Todas las superficies del sólido son
paralelas a los planos principales, con
excepción de las superficies cilíndricas.
Rpta:
Ver solución al final del documento
214) 2011-1-P03H-prob1
Se dan incompletas las tres proyecciones principales de
un sólido. Completar las líneas que falten y además
dibujar su vista tridimensional (en modo alámbrico),
mostrándola con una visual que tiene orientación N30ºO
y pendiente 60% descendente. Dibujar las líneas ocultas
como discontinuas.
Rpta:
Ver solución al final del documento
Esteban Ortiz Bosmans
30/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 4:
POLIEDROS
Nivel de Dificultad IV
215) 2010-1-P03I-prob1
Dadas las proyecciones H, F y P de un
poliedro, dibujar la vista tridimensional (en
modo alámbrico), mostrada en la dirección
del segmento 12. Dibujar las líneas ocultas
como discontinuas.
Rpta:
Ver solución al final del documento
216) 2010-2-P03I-prob1
Dadas las proyecciones frontal (F) y
de perfil (P) de un sólido, dibujar su
correspondiente vista tridimensional
(en modo alámbrico), mostrada en
la dirección del segmento 12.
Dibujar las líneas ocultas como
discontinuas. Todas las superficies
del sólido son paralelas a los planos
principales, con excepción de las
superficies cilíndricas.
Rpta:
Ver solución al final del
documento
Nivel de Dificultad V
217) 2010-1-P03H-prob1
Dadas las proyecciones H y F de un poliedro, dibujar una vista de perfil
y su correspondiente vista tridimensional (en modo alámbrico),
mostrada en la dirección del segmento 12. Dibujar las líneas ocultas
como discontinuas.
Rpta:
Ver solución al final del documento
Esteban Ortiz Bosmans
31/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 5:
SUPERFICIES CURVAS
Capítulo 5: SUPERFICIES CURVAS
Nivel de Dificultad I
(Vacío)
Nivel de Dificultad II
218) 2003-1-P05I-prob2
Ubicar un punto P en el plano ABC que se encuentre a 20 unidades del punto R y a 30 unidades del
punto S. Tomar P más al oeste que R.
A ( 10, 36, 83 )
B ( 41, 25, 97 )
C ( 27, 10, 69 )
R ( 27, 18, 93 )
S ( 27, 4, 79 )
219) 2006-1-P05J-prob1
Unir las rectas AB y CD mediante un segmento EF de longitud igual a 10 unidades y que además sea
paralelo al plano LMN. Tomar E en AB, F en CD y EF ascendente.
A ( 15, 20, 30 )
B ( 45, 30, 20 )
C ( 20, 25, 15 )
D ( 35, 5, 45 )
L ( 10, 25, 50 )
M ( 15, 5, 60 )
N( 25, 15, 40 )
Rpta:
E(25.2544,23.4181,26.5819)
F(27.7914,14.6115,30.5828)
OK
220) 2006-2-EXSH-prob1
ABC es un triángulo equilátero. El vértice B está en la recta AD y el vértice C está en la recta
perpendicular al plano ADE que pasa por M. Determinar las coordenadas de B y C y también la
orientación y pendiente del plano ABC. Tomar C arriba de B.
A ( 82, 12, 65 )
D ( 45, 20, 82 )
E ( 57, 40, 45 )
M ( 72, 30, 72 )
Rpta:
B(54.7979,17.8815,77.4983)
or=N49º23’E
C(76.8709,38.9224,78.4027)
pe=56.37%SE
OK
221) 2007-1-P06H-prob1
Conectar los segmentos de recta AB y CD por uno tercero EF que mida 40 unidades y que tenga una
pendiente de 40º. Obtener las coordenadas de los puntos E y F si están contenidas en AB y CD
respectivamente.
A ( 40, 80, 80 )
B ( 95, 20, 15 )
C ( 45, 65, 60 )
D ( 25, 40, 5 )
Rpta.:
E(63.2180,54.6712,52.5605)
F(32.9451,49.9314,26.8490)
OK
222) 2007-1-P06I-prob1
Determinar en la recta LM los puntos V y W de tal manera que los ángulos PVQ y PWQ sean 90º.
L (45, 40, 40 )
M ( 70, 10, 80 )
P ( 10, 15, 75 )
Q ( 40, 55, 35 )
Rpta.:
V ó W = (55.8882,26.9342,57.4211)
W ó V = (38.1118,48.2658,28.9789)
OK
223) 2007-1-P06I-prob2
Conectar los segmentos de recta AB y CD por uno tercero EF que mida 35 unidades y que tenga una
pendiente de 40º. Obtener las coordenadas de los puntos E y F si están contenidas en AB y CD
respectivamente.
A ( 30, 60, 80 )
B ( 85, 0, 15 )
C ( 35, 45, 60 )
D ( 15, 20, 5 )
Rpta.:
E(51.3716,36.6855,54.7427)
F(24.9073,32.3841,32.2451)
OK
224) 2007-2-P06H-prob1
Ubicar un punto K en el plano limitado por el triángulo PQR que se encuentre a 20 unidades de I y a 30
unidades de J.
I ( 55, 20, 5 )
J ( 55, 5, 20 )
P ( 40, 35, 15 )
Q ( 70, 25, 5 )
R ( 55, 10, 30 )
Rpta:
L(43.2534,32.2489,15.5822)
OK
225) 2007-2-P06I-prob2, 2006-2-EXRE-prob2
El punto L está contenido en el plano horizontal principal y dista 75 unidades del origen de coordenadas.
El segmento LM asciende con una orientación N30ºE y una pendiente de 200%. Determinar las
coordenadas de los puntos L y M si se sabe que el segmento MN es horizontal y mide 50 unidades.
Tomar M atrás de N.
N ( 100, 75, 50 )
Esteban Ortiz Bosmans
32/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
L(38.7012,64.2434,0)
M(51.2012,85.8940,50)
Capítulo 5:
SUPERFICIES CURVAS
OK
226) 2008-1-P06H-prob1
AC es diagonal de un rectángulo. El punto B se encuentra en RS y está delante de A. Determinar las
coordenadas de los vértices B y D del rectángulo.
A ( 43, 15, 35 )
C ( 67, 30, 20 )
R ( 58, 5, 40 )
S ( 75, 35, 20 )
Rpta:
B(61.1748,10.6026,36.2649)
D(48.8252,34.3974,18.7351)
227) 2008-1-P06I-prob1
El cuadrado ABCD es un plano normal, donde M es el punto medio de BC (B es el vértice más bajo). O
es el centro de una esfera y el punto T está contenido en la esfera. El cuadrado ABCD produce en la
esfera una sección circular de radio 16 unidades y centro O’, siendo O’ también centro del cuadrado
ABCD. Hallar las coordenadas de O
A ( 30, 53, 43 )
M ( 51, 95, 17 )
T ( 69, 62, 62 )
Rpta:
B(57.3561,73.2314,9.1306)
O(56.2640,84.8843,49.2340)
OK
228) 2009-1-EXSI-prob2
AM es la altura de un triángulo equilátero ABC. P pertenece al lado AB. Hallar las coordenadas de los
vértices del triángulo ABC y la orientación y pendiente del plano que lo contiene. Obténganse todas las
soluciones posibles.
A ( 10, 25, 20 )
M ( 35, 40, 10 )
P ( 20, 40, ¿? )
Rpta:
B1(29.7290,54.5935,18.7128)
C1(40.2710,25.4065,1.2872)
or1=N30º50’E
pe1=72.57%SE
B2(25.2347,47.8520,-2.6353)
C2(44.7653,32.1480,22.6353)
or2=N74º58’E
pe2=124.91%NO
229) 2010-2-P03I-prob2
Desde A trazar un segmento AB de 30 unidades de longitud, con pendiente de 60º y que corte a MN.
Obtener todas las soluciones posibles de las coordenadas de B.
A ( 45, 55, 35 )
M ( 25, 60, 10 )
N ( 70, 70, 20 )
Rpta:
B1(32.1737,62.7772,9.0192)
B2(50.8203,68.8248,9.0192)
Nivel de Dificultad III
230) 2003-1-P06K-prob2
Trazar por el punto P una recta horizontal PQ de 35 unidades, cuyo extremo Q se encuentre en la
superficie del cilindro recto de eje O1O2 y radio igual a 20 unidades.
O1 ( 30, 50, 10 )
O2 ( 60, 150, 140 )
P ( 8, 120, 60 )
Q ( ¿?, ¿?, ¿? )
Rpta: Q1(21.1184,87.5515,60)
Q2(42.4061,113.5798,60)
OK
231) 2003-1-P06L-prob1
Determinar las coordenadas del punto de mayor cota que pertenezca al plano ilimitado MNP y que diste
5 unidades del eje Z.
M ( -10, 1, 2 )
N ( 20, -9, 12 )
P ( 0, 11, 32 )
Rpta:
(2.2361,4.4721,21.1803)
232) 2003-1-EXSI-prob2
Los segmentos AB y CD son perpendiculares entre sí y miden 50 y 40 unidades respectivamente.
Considerando CD ascendente. Se pide completar las coordenadas de A y B.
A ( 50 , 30, ¿?)
B ( 40 , ¿?, 30)
C ( 30 , 60, ¿?)
D( 10 , 40, ¿?)
Rpta:
zA1=6.6269
yB1=73.0546
zA2=62.8012
yB2=-6.3879
OK
233) 2006-1-P05H-prob1
Pasar por la recta MN un plano que corte a los otros dos, ABC y ABD, según dos rectas perpendiculares
entre sí. Determinar las coordenadas del punto L contenido en los tres planos considerando la solución
de mayor alejamiento (mayor Y).
A ( 20, 15, 30 )
C ( 60, 25, 10 )
B ( 20, 55, 35 )
D ( 20, 45, 50 )
N ( 45, 35, 15 )
M ( 25, 35, 45 )
Rpta:
L(20,50.2626,34.4078)
OK
234) 2006-2-P05H-prob1
V es el vértice de un cono y O es el centro de su base. La base es un plano normal de pendiente 60%
Oeste, que se ve como una circunferencia de radio 20 unidades en la proyección horizontal. Determinar
las intersecciones de la recta AB con el cono.
A ( 25, 10, 25 )
B ( 25, 35, 30 )
O ( 20, 45, 40 )
V ( 20, 5, 5 )
Rpta:
I1=(25,16.7551,26.3510)
Esteban Ortiz Bosmans
I2=(25,45.3066,32.0613)
OK
33/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 5:
SUPERFICIES CURVAS
235) 2006-2-P05J-prob1
VP y VQ son dos generatrices de un cono recto, estando P y Q en la directriz circular del cono de centro
O. VP y VQ forman 60º entre sí y la altura del cono es de 20 unidades. El vértice V está 10 unidades
detrás de P. Determinar la orientación y pendiente del eje OV del cono y el radio de su base si O está por
debajo de P.
P (10, 23, 10)
Q (28, 10, 25)
Rpta:
V(34.6798,33,12.9842)
or=N26º11’E
O(26.1124,15.5813,8.1689)
pe=24.81%asc
r=17.8326u
OK
236) 2006-2-EXFJ-prob2
Un panetón apoyado sobre el plano horizontal, cuya base tiene 15 centímetros de diámetro y cuya altura
total es de 20 centímetros se corta en la dirección de un plano de orientación N50ºE y pendiente 200%
NO. El panetón está formado por un cilindro donde el eje coincide con el eje coordenado Z y por una
semiesfera en su copa de igual diámetro que el cilindro. Se desea untar con mantequilla una de las dos
superficies cortadas. Determinar el área que se untará si el plano de corte pasa por el punto C.
Recomendación: usar los comandos region y area.
C ( 5, 5, 5 )
Rpta:
área= 260.0480cm2
237) 2006-2-EXSJ-prob2
AC es la diagonal de un rectángulo ABCD. El vértice B pertenece a la recta LM y al plano limitado por el
triángulo PQR. Obtener las coordenadas de los vértices que faltan del rectángulo.
A ( 43, 13, 35 )
C ( 65, 32, 22 )
L ( 45, 9, 15 )
M ( 74, 13, ¿? )
P ( 48, 12, 35 )
Q ( 60, 22, 40 )
R ( 71, 1, 35 )
Rpta:
zM=53.0917
B(61.6326,11.2941,36.8470)
D(46.3674,33.7059,20.1530)
238) 2007-1-P06H-prob2
El cuadrado ABCD está contenido en un plano normal, donde M es el punto medio del lado BC y B es el
vértice más bajo del cuadrado. El punto O es el centro de una esfera y el punto T está contenido en la
superficie de la misma. El plano del cuadrado ABCD produce en la esfera una sección circular de radio
20 unidades y centro O’, siendo también O’ el centro del cuadrado. Determinar las coordenadas del
centro de la esfera y la longitud de su radio.
A ( 15, 25, 45 )
M ( 30, 45, 30 )
T( 40, 30, 55 )
239) 2007-2-P06H-prob2
Se dan un plano ABC y un segmento de recta MN. Determinar las coordenadas de un punto L contenido
en el plano limitado por el triángulo ABC, talque el ángulo MLN sea recto y que las suma de las
longitudes de los segmentos LM y LN sea de máxima longitud.
A ( 25, 35, 40 )
B ( 85, 35, 40 )
C ( 85, 60, 40 )
M ( 40, 60, 45 )
N ( 70, 30, 55 )
Rpta:
L(71.8604,54.5251,40)
240) 2007-2-P06I-prob1
La longitud de los segmentos PQ y QR están en la relación de 10 a 2. Completar las coordenadas que
faltan si la pendiente de PR es 40% descendente. Tomas Q a la derecha de R.
P ( 45, 40, 40 )
Q ( ¿?, 15, 0)
R ( 70, 10, ¿? )
Rpta:
xQ=120.5121
zR=24.3795
OK
241) 2007-2-EXPH-prob1
AM es la altura de un triángulo equilátero ABC. El punto N pertenece al lado AB ascendente. Completar
las coordenadas de los vértices del triángulo.
A ( 30, 25, 20 )
M ( 58, 40, 10 )
N ( 43, 42, ¿? )
Rpta:
B(53.3577,55.5447,20.3188)
C(62.6423,24.4553,-0.3188)
zN=20.1774
242) 2007-3-P06G-prob1
Los puntos de intersección de la recta MN con la superficie del cilindro circular recto cuyo eje es la recta
EF, distan 30 unidades entre sí. Determinar el radio del cilindro y las coordenadas de os puntos de
intersección.
E ( 30, 15, 40 )
F ( 15, 30, 30 )
M ( 15, 30, 25 )
N ( 45, 15, 35 )
Rpta:
R=6.4597
I1(23.2418,25.8791,27.7473)
I2(-2.4725,38.7363,19.1758)
243) 2007-3-P06G-prob2
Determinar las coordenadas de los vértices que faltan del rectángulo ABCD, sabiendo que la pendiente
de BD es de 60% y que la relación entre los lados BA y BC es de 3 a 2, respectivamente. Tomar B
delante de A.
A ( 50, 20, 40 )
C ( 70, 35, 15 )
Esteban Ortiz Bosmans
34/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
B(69.5060,15.6925,18.4049)
D(50.4940,39.3075,36.5951)
Capítulo 5:
SUPERFICIES CURVAS
OK
244) 2008-1-P06H-prob2*
La intersección de un cono circular recto con un plano es una elipse. El cono tiene su vértice en V y su
eje es la recta VO. El punto O divide a al eje mayor AB de la elipse tal que AO es a OB como 3 es a 2.
Determinar la longitud de la elipse. Tomar V encima de B.
A ( 95, 40, 70 )
O ( 70, 60, 40 )
V ( 25, 75, ¿? )
Rpta:
long=222.1884u
OK
245) 2008-1-P06I-prob2
Completar las coordenadas de la recta descendente AB sabiendo que mide 35 unidades. La recta AB es
perpendicular a RS. RS mide 40 unidades. Tomar R debajo de S.
A ( 5, ¿?, 12 )
B ( 20, 23, ¿? )
R ( 30, 27, ¿? )
S ( 30, 7, ¿? )
Rpta:
yA=50.3861
zB=-3.8114
246) 2009-1P03H-prob1
C es el centro de un círculo que tiene orientación N60ºE, inclinación 30ºSE y radio 35 unidades. La recta
LM pertenece a un plano paralelo al círculo. Hallar un punto X en la circunferencia de tal manera que XL
sea perpendicular a XM. LM mide 45 unidades, va hacia adelante y M está a la derecha y 20 unidades
debajo de L.
C ( 15, 15, 65 )
L ( 20, 30, 80 )
Rptas:
X1(47.3283,9.3433,52.8393)
X2(35.37934,42.3686,72.8030)
247) 2009-1-P03I-prob1
C es el centro de un círculo que tiene orientación N60ºE, inclinación 30ºSE y radio 33 unidades. La recta
LM pertenece a un plano paralelo al del círculo. Hallar un punto X en la circunferencia de tal manera que
XL sea perpendicular a XM. LM mide 45 unidades, va hacia adelante y M está a la derecha y 20
unidades debajo de L.
C ( 13, 17, 66 )
L ( 22, 31, 80 )
Rpta:
X1(41.4594,6.8679,52.7184)
X2(32.8576,42.4167,72.9760)
OK
248) 2010-1-P03H-prob2
Dadas las proyecciones horizontal y frontal de una
superficie de revolución, determinar las coordenadas de
los puntos A y B contenidos en su superficie. Tomar A
delante de B.
Rpta:
A(-2.5,-3.7889,3)
Esteban Ortiz Bosmans
B(3,1.5,5.4963)
35/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 5:
SUPERFICIES CURVAS
249) 2011-1-P03H-prob2
Dadas las proyecciones horizontal y frontal de una superficie de
revolución, determinar las coordenadas de los puntos A y B
contenidos en su superficie. Tomar A delante de B.
Rpta:
A(-2,-2.0508,3)
B(1.5,1,8.2239)
250) 2011-1-P03I-prob2
Dadas las proyecciones horizontal y frontal de una superficie de
revolución, determinar las coordenadas de los puntos A y B
contenidos en su superficie. Tomar A delante de B.
Rpta:
A(-2,-4.3301,3)
B(3,2,6.9282)
Nivel de Dificultad IV
251) 2003-1-P06I-prob1
Dado un punto P y un cono recto de ápice V con base de centro O y radio igual a 20 unidades. Se pide
determinar las coordenadas de un punto Q situado sobre la superficie del cono de tal forma que el
segmento PQ tenga 50 unidades de longitud y a su vez sea paralelo al plano ABC.
A ( 41, 38, -20 )
B ( -30, 40, 10 )
C ( 16, 115, 5 )
O ( 30, 20, 0 )
P ( 10, 60, 50 )
V ( 30, 20, 50 )
Rpta:
Q1(26.2141,15.2235,34.7628) Q2(37.0388,22.1966,31.5662)
OK
252) 2003-1-P06L-prob2
Determinar un punto R sobre el plano ABC tal que CR tenga 90 unidades de longitud y VR tenga 250%
de pendiente descendente.
A ( 78, 16, 5 )
B ( 3, -19, 20 )
C ( -16, 95, 25)
R ( ¿?, ¿?, ¿? )
V ( 30, 20, 50 )
Esteban Ortiz Bosmans
36/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 5:
SUPERFICIES CURVAS
253) 2006-1-P05J-prob2
PQRS es un tetraedro regular y M es el punto medio de RS. El plano PQR tiene una orientación N30ºE y
una pendiente de 50% SE. Determinar las coordenadas que faltan de los vértices del tetraedro. Tomar R
detrás de P y a la izquierda de Q.
P ( 10, 43, 10 )
M ( 15, ¿?, 30)
Rpta:
yM= 66.2118
Q(34.4020,68.9410,5.9189)
R(2.8975,76.2411,21.3857)
S(27.1025,56.1825,38.6143)
OK
254) 2006-2-P05J-prob2 *
El triángulo ABC tiene de perímetro 100 unidades y sus lados AB, BC y AC están en la relación de 1, 2 y
6 respectivamente. Determinar las coordenadas de sus vértices si se sabe que AB tiene orientación
N60ºO y pendiente 30% ascendente y que el vértice C está contenido en el segmento MN.
A ( ¿?, 50, 35 )
M ( 35, 25, 50 )
N ( 90, 65, 20 )
Rpta:
xA=85.0256
B(69.8040,58.7882,40.2729)
C(44.8885,32.1916,44.6063)
OK
255) 2007-2-EXFI-prob1 *
Una esfera muy pequeña resbala por la superficie superior de una esfera grande a partir del punto I.
Luego, cae verticalmente sobre un cilindro, resbala por su superficie y cae verticalmente sobre un cono.
Al llegar al borde del cono, cae verticalmente sobre el plano horizontal principal. Determinar la posición
final de la esfera pequeña y la longitud de su recorrido. La esfera grande tiene centro en M y radio 30
unidades. El cilindro es circular recto, de radio 20 unidades y de eje horizontal que pasa por el punto N y
que tiene orientación N45ºE. El cono es circular y recto, de vértice en V y cuya base es de 50 unidades
de radio con centro en O. Considérese que la gravedad es tan grande que no permite que la esfera
pequeña deje de estar en contacto con la superficie por la que resbala.
I ( 75, 30, ¿? )
M ( 80, 20, 80 )
N ( 50, 15, 40 )
O ( 70, 55, 10 )
V ( 70, 55, 40 )
Rpta:
long=141.4580u
F(20.6755,46.8090,0)
256) 2007-2-EXFI-prob2 *
Un cono circular recto de eje AB y un cilindro circular recto de eje CD tiene en común una generatriz.
Obtener el radio del cilindro y la orientación y pendiente de otra generatriz del cono que se sabe pasa por
el punto P.
A ( 25, 40, 30 )
B ( 40, 80, 45 )
C ( 30, 20, 20 )
D ( 65, 35, 50 )
P ( 50, 60, 60 )
Rpta:
or=N62º36’E
pe=109.21%asc
R=27.4476u
V(28.2762,48.7364,33.2762)
OK
257) 2008-1-P07H-prob2, 2008-1-EXSH-prob2, 2008-1-EXSI-prob2
Una de las curvas de intersección de un cono circular
recto con un cilindro circular recto es una elipse. La elipse
está contenida en un plano que hace 70º con el eje de
cono. Las generatrices del cono forman un ángulo de 30º
con su eje. Determinar el ángulo que forman los ejes del
cilindro y del cono.
Rpta:
ang1=3º16’
Elipse
ang2=43º16’ OK
258) 2009-2-P03H-prob2 *
Un plano vertical de orientación S70ºE contiene un triángulo ABC de 90 unidades de perímetro.
Determinar las coordenadas de sus vértices si A está contenido en la recta DE y está a la izquierda de C.
B ( 20, ¿?, 50 )
C ( 40, ¿?, 20 )
D ( 15, 20, 5 )
E ( 70, 70, 25 )
Rpta:
A(31.9064,35.3695,11.1478)
yB=39.7031
yC=32.4237
OK
259) 2009-2-P03I-prob2 *
Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo contenido en un plano frontal. El punto A pertenece
al segmento DV, el punto B pertenece al segmento EV y el punto C pertenece al segmento FG.
Esteban Ortiz Bosmans
37/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 5:
SUPERFICIES CURVAS
Determinar las coordenadas de los vértices si se sabe que el ángulo ACB mide 120º y que C está debajo
de A.
D ( 55, 20, 30 )
E ( 20, 10, 45 )
F ( 40, 35, 10 )
G ( 40, 60, 60 )
V ( 30, 80, 20 )
Rpta:
A(45.9544,41.7094,26.3818)
B(24.5299,41.7094,33.6752)
C(40,41.7094,23.4187)
OK
260) 2010-1-P03I-prob2, 2010-1-EXSI-prob2
Una superficie cónica tiene como directriz el arco de circunferencia PQR de centro O, y su vértice V dista
50 unidades de los segmentos PQ y QR. Hallar la longitud de la curva de intersección de la superficie
cónica con el plano ABC. Se sabe además que VO es perpendicular al plano del arco y que V está a la
derecha de O.
A ( 45, 20, 30 )
B ( 30, 10, 90 )
C ( 40, 80, 20 )
P ( 10, 25, 40 )
Q ( 10, 50, 20 )
R ( 10, 75, 40 )
Rpta:
O(10,50, 45.625)
long=26.4370u
eje mayor = 22.7364u
I(36.9018,50,45.625)
Oelipse(36.3526,50.7828,42.2777)
V(55.8215, 50, 45.625)
eje menor= 21.4661
OK
Nivel de Dificultad V
261) 2006-1-P05H-prob2 *
Completar las coordenadas de un cuadrilátero plano ABCD tal que al orientación de AB sea N15ºO y que
la medida de los ángulos ACB y ADB sean ambas iguales a 60º.
A ( ¿?, 0, 0 )
B ( 0, ¿?, 0 )
C ( ¿?, 20, 20 )
D ( 0, 0, ¿?)
Rpta:
xA=7.2368
xC=-6.4415
yB=27.0080
zD=17.3975
OK
262) 2006-2-P05H-prob2 *
Sea un triángulo PQR cuyo perímetro es de 130 unidades y cuyo ángulo PQR mide 30º. Determinar las
coordenadas de sus vértices si se sabe que PQ tiene orientación N45ºE y que el vértice R está contenido
en el segmento MN.
M ( 35, 25, 50 )
N ( 90, 65, 20 )
P ( ¿?, 20, 35 )
Q ( ¿?, 60, 45 )
Rpta:
xP=67.9873
Esteban Ortiz Bosmans
xQ=107.9873
R(68.4258,49.3097,31.7677)
OK
38/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 6:
ÁNGULOS
Capítulo 6: ÁNGULOS
Nivel de Dificultad I
(Vacío)
Nivel de Dificultad II
263) 2003-1-P05J-prob2
Hallar, en la recta TU, las coordenadas de un punto W tal que el segmento VW forme un ángulo de 40º
con el plano LMN. Tomar W más al oeste que V.
L ( 8, 4, 15 )
M ( 2, 4, 20 )
N ( 5, 8, 12 )
T ( 3, 10, 7 )
U ( 13, 5, 12 )
V ( 10, 9, 16 )
Rpta:
W(3.7700,9.6150,7.3850)
264) 2003-1-P05K-prob2
Determinar la orientación de una recta horizontal que pase por el punto V y que haga un ángulo de 30º
con el plano MNP.
M ( 10, 57, 22 )
N ( 41, 83, 4 )
P ( 62, 60, 43 )
V ( 28, 75, 37 )
Rpta:
N72º12’08”O
S72º12’08”E
N30º46’54”E
S30º46’54”O
265) 2006-2-P06H-prob1
Determinar las coordenadas de los vértices de la pirámide V-ABC sabiendo que las aristas hacen
ángulos iguales con la base ABC, que la longitud de VC es de 40 unidades, que C está contenido en el
segmento VC’, que VA tiene orientación Oeste y pendiente 80% descendente, y que VB es horizontal y
tiene orientación S50ºO. Determinar también el ángulo que hacen las aristas con la base ABC.
C’ ( 40, 10, 20 )
V ( 46, 55, 40 )
Rpta:
A(14.7652,55,15.0122)
ang=54º56’
B(15.3582,29.2885,40)
C(41.1621,18.7159,23.8737)
OK
266) 2006-2-EXSJ-prob1
PQ y RS hacen un ángulo de 30º. Completar las coordenadas del punto S y determinar la orientación y
pendiente de la recta RS. Elegir la solución más corta para RS.
P ( 31, 43, 55 )
Q ( 57, 56, 40 )
R ( 22, 62, 63 )
S ( 50, 68, ¿? )
Rpta:
zS=62.6491
or=N77º54’E
pe=1.23%desc
267) 2007-1-P07H-prob1
Determinar la orientación de una recta que pase por P, que sea ortogonal a la recta LM y que haga un
ángulo de 30º con el plano ABC.
A ( 20, 55, 70 )
B ( 40, 20, 50 )
C ( 55, 45, 85 )
L ( 25, 35, 80 )
M ( 25, 35, 60 )
P ( 50, 45, 65 )
Rpta.:
or1=N13º32’O
or2=N85º25’E
or3=S13º32’E
or4=S85º25’O
268) 2008-1-P07I-prob1
LM hace un ángulo de 30º con el plano PQR. Completar las coordenadas del punto M sabiendo que está
debajo de R.
L ( 13, 25, 40 )
M ( 42, 38, ¿? )
P ( 6, 40, 35 )
Q ( 24, 15, 15 )
R ( 46, 33, 50 )
Rpta:
zM=45.7597
269) 2009-2-P04H-prob1
La recta LM hace 60º con el plano vertical ABC. Completar las coordenadas de M y determinar la
orientación y pendiente de LM. Presentar todas las soluciones posibles.
A ( 5, 20, 80 )
B ( 25, ¿?, 40 )
C ( 60, 65, 95 )
L ( 5, 20, 70 )
M ( 50, ¿?, 50 )
Rpta:
yB=36.3636
yM1=-4.9560
yM2=-247.1751
Esteban Ortiz Bosmans
or1=S60º59’E
or2=S9º34’E
pe1=38.87%desc
pe2=7.38%desc
OK
39/65
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Ciclo 2019-2
Capítulo 6:
ÁNGULOS
270) 2009-2-P04I-prob1
La recta AL hace un ángulo de 30º con el plano ABC. Completar las coordenadas de L y determinar la
orientación y pendiente de AL. Presentar todas las soluciones posibles.
A ( 5, 29, 17 )
B ( 18, 3, 35 )
C ( 32, 18, 8 )
L ( 30, 25, ¿? )
Rpta:
zL1=23.7669
zL2=-86.6423
or1=S80º55’E
or2=or1
pe1=26.73%asc
pe2=409.36%desc
271) 2009-3-EXFG-prob1
La recta descendente LM hace un ángulo de 50º con el plano normal ABCD. Hallar la cota de M y la
orientación y pendiente de LM.
A ( 20, ¿?, 20 )
B ( 45, ¿?, 35 )
L ( 15, 10, 40 )
M ( 50, 30, ¿? )
Rpta:
zM=21.3026
or=N60º15’E
pe=46.38%desc
272) 2010-2-P04H-prob1
PQ hace un ángulo de 70º con el plano ABC. Completar las coordenadas de los puntos P y Q, si P
pertenece al plano ABC. Presentar todas las soluciones posibles.
A ( 24, 15, 20 )
B ( 37, 24, 32 )
C ( 59, 11, 53 )
P ( 41, 16, ¿? )
Q ( 70, 20, ¿? )
Rpta:
zQ1= 20.2923
zQ2= -30.2117
273) 2010-2-P04I-prob1
Determinar todas las soluciones posibles de las coordenadas del vértice J de un tetraedro AJMC
sabiendo que los ángulos diedros interiores en AM, AC y CM miden 30º, 60º y 115º respectivamente.
A ( 38, 30, 85 )
C ( 60, 48, 70 )
M ( 48, 38, 90 )
Rpta:
J1(68.1110,40.3837,76.2101)
J2(54.3560,57.4137,76.4721)
274) 2010-2-EXFH-prob1
Trazar por R un segmento de recta RS de 50 unidades de longitud que corte con PQ y que haga un
ángulo de 30º con LM. Obtener las coordenadas de S y la orientación y pendiente de RS.
L ( 40, 5, 40 )
M ( 60, 15, 40 )
P ( 35, 45, 25 )
Q ( 55, 20, 10 )
R ( 25, 25, 25 )
Rpta:
S1(70.5906,30.6434,5.2605)
S2(52.6397,66.5452,21.8306)
or1=N82º57´E
or2=N33º38´E
pe1=42.97%desc
pe2=6.35%desc
OK
275) 2010-2-EXFI-prob1
Se da el espejo ABC y el rayo incidente ST. Determinar las coordenadas del punto de incidencia del
rayo sobre el espejo y la orientación y pendiente del rayo reflejado.
A ( 70, 25, 45 )
B ( 40, 65, 65 )
C ( 30, 45, 45 )
S ( 35, 90, 20 )
T ( 45, 65, 40 )
Rpta:
I(52.5,46.25,55)
or=N74º56´E
pe=74.28%desc
Nivel de Dificultad III
276) 2003-2-P08H-prob2
Hallar las coordenadas del segmento MN que forma ángulos de 50º con los segmentos PQ y RS. M
pertenece al segmento PQ y N pertenece al segmento RS.
P ( 0, 60, 60 )
Q ( 60, -20, 20 )
R ( 10, 65, 10 )
S ( 90, 5, -10 )
Rpta:
M1(45.8433,-1.1245,29.4378) N1(29.8591,50.1057,5.0352)
M2(24.1567,27.7911,43.8956) N2(60.3973,27.2020,-2.5993)
OK
277) 2006-1-P06H-prob1
Un rayo luminoso parte del punto P, incide sobre un espejo plano en el punto Q, se refleja y llega al
punto R. Determinar la longitud de la trayectoria y la orientación y pendiente del plano del espejo,
sabiendo que QN es un segmento perpendicular al plano del espejo, tal que N divide al segmento PR en
la relación de 3 a 2 (|PN|/|NR|=3/2). Tomar Q arriba de R.
P (20, 15, 30 )
Q ( 45, 55, ¿? )
R (20, 55, 35)
Rpta:
zQ=65.2869
or=N32º37’09”O
long=98.1802u
pe=91.93%NE
OK
278) 2006-1-P06J-prob1
Un rayo luminoso parte del punto P, incide sobre un espejo plano en el punto Q bajo un ángulo de 60º
con dicho espejo, se refleja y llega al punto R. Determinar la longitud de la trayectoria y la orientación y
pendiente del plano del espejo. Toma Q arriba de P.
P ( 20, 15, 30 )
Q ( 45, 25, ¿? )
R ( 20, 55, 30 )
Rpta:
zQ=50.5525
or=N16º25’34”E
Esteban Ortiz Bosmans
long=78.0028u
pe=126.82%SE
OK
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 6:
ÁNGULOS
279) 2006-2-P06J-prob1
PQ y RS son los ejes de dos tuberías de agua que deben ser conectadas mediante una tercera tubería
MN (M en PQ y N en RS). Para esto se usarán Yees de 45º como la que se muestra en la figura.
Determinar dónde deberán ubicarse los puntos de conexión M y N.
P ( 5, 25, 50 )
R ( 40, 80, 50 )
Q ( 35, 79, 62 )
S ( 50, 55, 60 )
Rpta:
M1(29.7102,69.4784,59.8841) N1(37.8251,85.4373,47.8251)
M2(39.3194,86.7749,63.7277) N2(44.8426,67.8935,54.8426)
OK
280) 2006-2-EXSH-prob2
Los triángulos PQR y RST tienen orientación N30ºE y el ángulo entre ellos es de 120º. Si PQR
desciende hacia el SE y RST hacia el NO, completar las coordenadas de los vértices de ambos
triángulos.
P ( 20, 30, 20 )
Q ( 25, 5, ¿? )
R ( 30, 30, ¿? )
S ( 20, 15, ¿? )
T ( 40, 8, 12 )
Rpta:
zQ=-1.2104
zR=9.0858
zS=8.9138
OK
281) 2007-2-P07I-prob1
El segmento de recta AE es ascendente, mide 40 unidades y forma ángulos iguales con los planos ABC,
ABD y ACD. Obtener las coordenadas del punto E y el ángulo que forma AE con los planos.
A ( 50, 60, 30 )
B ( 100, 50, 30 )
C ( 60, 90, 80 )
D ( 50, 20, 70 )
Rpta:
E(73.0094,51.9067,61.7028)
ang=29º35’
OK
282) 2007-3-P07G-prob1
Pasar por la recta PQ un plano que haga ángulos iguales con las rectas AB y CD. Obtener la orientación
y pendiente del plano.
A ( 40, 40, 45 )
B ( 55, 45, 50 )
C ( 30, 10, 55 )
D ( 45, 25, 55 )
P ( 40, 35, 70 )
Q ( 60, 15, 70 )
Rpta:
or=N45ºO
pe1=204.84%NE
pe2=16.27%SO
OK
283) 2009-1-EXFI-prob2
El hexágono regular horizontal ABCDEF es base inferior de una pirámide cuyo vértice V se encuentra a
la derecha de D. Los ángulos diedros AB=FA, BC=EF, CD=DE, AV=150º, DV=135º. Completar las
coordenadas del poliedro.
A ( 15, 40, 15 )
D ( 70, 40, 15 )
Rpta:
B ó F (28.7500,16.1843,15)
F ó B (28.7500,63.8157,15)
C ó E (56.2500,16.1843,15)
E ó C (56.2500, 63.8157,15)
V(126.9576,40,73.6597)
OK
284) 2009-1-EXSH-prob2
Trazar un segmento de recta PQ que mida 40 unidades y forme con el plano ABC un ángulo de 60º. El
segmento PQ se corta con LM. Determinar las coordenadas del punto Q tal que esté a la derecha de A.
A ( 5, 10, 25 )
B ( 25, 30, 30 )
C ( 20, 25, 5 )
L ( 40, 25, 15 )
M ( 15, 10, 15 )
P ( 35, 10, 20 )
Rpta:
Q(17.3821,41.3719,2.5239)
OK
285) 2009-3-P04G-prob1
Determinar el ángulo que forman dos caras contiguas de un dodecaedro regular (sus caras son 12
pentágonos regulares).
Rpta:
ang=116º34’
286) 2010-1-P04H-prob1
Están dadas dos rectas que se cruzan PQ y RS. Trazar el segmento de recta TU que corta a dichas
rectas y que forma con la recta PQ un ángulo de 46º y con la recta RS un ángulo de 53º. Dar las
soluciones de las coordenadas de los extremos del segmento (T en PQ y U en RS) en las que se
encuentren dentro de los límites del primer octante (x, y, z positivos).
P ( 15, 35, 30 )
Q ( 25, 10, 50 )
R ( 30, 35, 25 )
S ( 45, 5, 40 )
Rpta:
T(11.1431,44.6423,22.2862)
U(19,0895,56.8210,14.0895)
OK
287) 2010-1-P04I-prob1
Trazar por el punto S una recta que forma con las rectas dadas AB, CD y EF un mismo ángulo. Obtener
su orientación y pendiente.
A ( 5, 30, 35 )
B ( 10, 10, 55 )
C ( 10, 25, 35 )
D ( 20, 5, 40 )
E ( 25, 20, 25 )
F ( 35, 5, 55 )
S ( 40, 35, 25 )
Rpta:
or1=N89º33’O
or2=N52º19’E
or3=N69º28’E
or4=N46º11’O
Esteban Ortiz Bosmans
pe1=68.10%asc
pe2=20.85%asc
pe3=2.31%desc
pe4=65.17%desc
or5=S89º33’E
or6=S52º19’O
or7=S69º28’O
or8=S46º11’E
pe5=68.10%desc
pe6=20.85%desc
pe7=2.31%asc
pe8=65.17%asc
OK
41/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 6:
ÁNGULOS
288) 2011-1-P04H-prob1
Pasar por la recta AB un plano ABC de manera que la intersección de éste plano con el plano vertical
PQR haga un ángulo de 50º con la recta AB. Determinar el ángulo entre ambos planos.
A ( 88, 39, 35 )
B ( 88, 7, 27 )
P ( 77, 8, ¿? )
Q ( 100, 30, ¿? )
Rpta:
ang1= ang2=66º14’
OK
289) 2011-1-P04I-prob1
Trazar hacia la derecha un segmento de recta ascendente TU de 30 unidades de longitud, pero que
haga un ángulo de 45º con RS y 30º con PQ. Determinar las coordenadas del punto U.
P ( 40, 25, 70 )
Q ( 55, 10, 75 )
R ( 55, 45, 50 )
S ( 75, 40, 45 )
T ( 45, 35, 65 )
Rpta:
U(69.3111,26.7326,80.5119)
Nivel de Dificultad IV
290) 2009-1-P04I-prob2
Pasar por RS un plano cuyo ángulo diedro con el plano vertical ABC sea igual al ángulo diedro con el
plano ortofrontal ABD. Obtener dicho ángulo. R pertenece a ambos planos dados.
A ( 22, 20, 30 )
B ( 52, 28, 13 )
R ( 27, ¿?, ¿? )
S ( 46, 14, 26 )
Rpta:
R(27,21.3333,27.1667)
ang1=56º8’
ang2=49º28’
OK
Nivel de Dificultad V
291) 2009-1-P04H-prob2
AB y CD son las aristas opuestas de un tetraedro y miden 30 y 45 unidades, respectivamente. Hallar las
coordenadas de sus vértices si se sabe que el ángulo diedro en AB mide 50º y en CD mide 40º. AB y CD
están contenidas en las rectas PQ y RS, respectivamente y tienen el mismo sentido.
P ( 10, 35, 40 )
Q ( 40, 15, 40 )
R ( 5, 5, 15 )
S ( 55, 25, 35 )
Rpta:
4 tetraedros: A1B1C3D3, A1B1C4D4, A2B2C3D3, A2B2C4D4
A1 (7.3838,36.7442,40)
A2 (45.5119,11.3254,40)
B1 (32.3453,20.1032,40)
B2 (70.4734,-5.3156,40)
C3 (-3.1818,1.7273,11.7273)
C4 (47.0663,21.8265,31.8265)
D3 (35.9857,17.3943,27.3943) D4 (86.2338,37.4935,47.4935) OK
Esteban Ortiz Bosmans
42/65
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Ciclo 2019-2
Capítulo 7:
GIROS
Capítulo 7: GIROS
Nivel de Dificultad I
292) 2010-2-P04I-prob2
Obtener la posición final del punto X y el menor ángulo que debe rotar alrededor de la recta AB para que
se ubique 10 unidades a su derecha.
A ( 35, 6, 35 )
B ( 63, 28, 7 )
X ( 42, 6, 13 )
Nivel de Dificultad II
293) 2003-1-P08J-prob2
Girar el plano determinado por el triángulo LMN alrededor de un eje normal que pasa por E de tal
manera que el punto K se encuentre en este plano. Presentar las coordenadas finales del triángulo LMN.
E ( 67, 5, 78 )
K ( 91, 116, 89 )
L ( 14, 111, 43 )
M ( 35, 135, 81 )
N ( 54, 98, 45 )
Rpta:
Para ang=12º18’42”:
L’(22.6820,111,32.5037)
Para ang=169º28’37”:
L’(125.5008,111,102.7318)
M’(35.0963,135,74.1076)
N’(61.3356,98,42.9869)
M’(97.9139,135,69.2062)
N’(85.8082,98,108.0707)
294) 2003-1-EXFI-prob2
Rotar el plano ABC hasta que sea paralelo a la recta LM. El eje de giro es vertical y pasa por el punto E.
Se pide determinar las nuevas coordenadas de los puntos A, B y C luego de efectuada la rotación
considerando el menor ángulo de giro.
A ( 35, 22, 3 )
B ( 59, 40, 12 )
C ( 49, 12, 28 )
E ( 80, 30, 20 )
L ( 82, 15, 31 )
M ( 106, 30, 13 )
295) 2006-2-P06H-prob2
Rotar la recta PQ alrededor del eje EF hasta que sea perpendicular a la recta RS. Obtener el menor
ángulo de giro y las coordenadas finales de la recta rotada.
E ( 55, 25, 30 )
F ( 20, 65, 20 )
P ( 5, 25, 50 )
Q ( 30, 70, 60 )
R ( 50, 55, 80 )
S ( 40, 80, 70 )
Rpta:
P’(25.8033,26.9004,-15.2100) Q’(-4.1140,32.0381,27.5516)
ang=97º21’
OK
296) 2006-2-P06J-prob2
El tetraedro regular ABCD tiene su base ABC con orientación N45ºE y altura AH (H en BC). Se hace
rotar al tetraedro alrededor de cierto eje hasta que la cara BCD esté contenida en el plano frontal.
Determinar la intersección de este eje con el plano horizontal de tal forma que éste produzca el menor
ángulo de giro posible. Tomar D debajo de A.
A ( 50, 100, 70 )
H ( 55, 30, 10 )
Rpta:
B ó C(9.8816,9.7349,29.8827) C ó B(100.1184,50.2651,-9.8827)
D(7.2129,99.4538,-27.6506)
I(249.9819,0,0)
Nivel de Dificultad III
297) 2003-1-P08I-prob2
Utilizando el eje vertical que pasa por E se pide determinar ¿Cuál es el menor ángulo que deberá girar la
recta PQ de tal forma que llegue a ser perpendicular a RS?
E ( 60, 7, 5 )
P ( 39 , 65 , 55 )
Q ( 67 , 91 , 31 )
R ( 5 , 74 , 41 )
S ( 36 , 103 , 20 )
Rpta:
108º18’54”
-107º53’28”
298) 2003-1-P08K-prob2
Hallar el ángulo de giro y las coordenadas de P cuando se rota la recta PR alrededor de un eje
perpendicular al plano XZ que pasa por R, hasta que sea perpendicular a la recta QS.
P (40, 10, 30)
Q ( 130, 110, 50)
R ( 40, 90, 70)
S ( -10, 50, -20)
299) 2003-1-P08L-prob2
Hallar el ángulo de giro y las coordenadas respectivas del plano ABC cuando se rota alrededor de un eje
perpendicular al plano XY que pasa por C, hasta que sea paralelo a la recta LM.
Esteban Ortiz Bosmans
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A ( 55, -5, 56 )
L ( 65, 55, 29 )
B ( 35, 20, 25 )
M ( 32, 12, 0 )
Capítulo 7:
GIROS
C ( 80, 8, 40 )
300) 2003-1-EXFJ-prob2
Rotar el segmento AB alrededor del eje normal que pasa por E hasta que corte al segmento CD. Se sabe
que AB y el eje están contenidos en un mismo plano. Obtener las coordenadas finales de AB luego de
efectuada la rotación considerando el mínimo ángulo de giro.
A ( 9, 4, 5 )
B ( 10, 8, ¿? )
C ( 1, 7, 12 )
D ( 10, 4, 12 )
E ( 6, 15, 8 )
Rpta:
ang=108º4’
A’(7.9057,4,11.7906)
B’(8.5409,8,13.0541)
301) 2003-1-EXFK-prob2
Rotar el plano LMN alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que sea perpendicular al
plano PQR. Determinar las coordenadas finales de los puntos L, M y N luego de efectuada la rotación
considerando el menor ángulo de giro.
E ( 33, 24, 20 )
L ( 55, 30, 30 )
M (72, 23, 65 )
N ( 50, 20, 60 )
P ( 30, 12, 20 )
Q ( 11, 8 ,25 )
R ( 9, 21, 32 )
Rpta:
L’(54.4011,16.1264,30)
M’(64.1887,0.5636,65)
N’(44.5277,10.8809,60)
OK
302) 2003-1-EXFL-prob2
Determinar el menor ángulo de giro necesario para que al rotar el plano LMN sea perpendicular a la recta
PQ.
L ( 55, 30, 30 )
M (72, 23, 65 )
N ( 50, 20, 60 )
P ( 30, 12, 20 )
Q ( 9, 21, 32 )
303) 2003-1-EXSK-prob2
La recta MN interseca al cono circular recto en dos puntos tales que las generatrices que los contienen
forman entre sí un ángulo de 30º. Hallar las coordenadas de N y de los puntos de intersección de MN
con el cono de vértice V, centro de base O y radio de la base 30 unidades.
M ( 5, -20, 20 )
N ( n, n, 9)
O ( 0, 0, 0 )
V ( 0, 0, 40 )
304) 2003-2-P08H-prob1
Hallar el menor ángulo que debe girar el segmento OL para que sea perpendicular al plano XY. Se sabe
que dicho segmento forma ángulos de 70º y 60º con los segmentos AB y CD respectivamente.
A ( 60, 20, 0 )
B ( 0, 50, 40 )
C ( 80, 0, 60 )
D ( 0, 20, 40 )
O ( 0, 0, 0 )
Rpta:
ang1=69º59’11”
ang2=84º38’24”
305) 2006-1-P06H-prob2
Indicar el ángulo que debe girar el punto A alrededor del eje EF sabiendo que la posición final del punto
rotado es A’. El punto A está 10 unidades a la derecha de A’ y el radio de giro es 25 unidades. Obtener la
solución que tenga un menor ángulo de giro y completar las coordenadas de A y A’.
A ( 30, ¿?, ¿? )
A’( 20, ¿?, 15 )
E ( 10, 20, 5 )
F ( 35, 15, 10 )
Rpta:
A(30,12.4172,-16.0856)
A’(20,-6.4972,15)
ang=98º00’17”
OK
306) 2007-1-P07H-prob2
Rotar el plano PQR hasta que sea paralelo a la recta ST. El eje de giro pasa por R y es ortofrontal.
Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas finales de los vértices del triángulo.
P ( 35, 20, 90 )
Q ( 60, 40, 80 )
R ( 50, 15, 65 )
S ( 80, 15, 60 )
T ( 110, 30, 80 )
Rpta.:
áng=69º29’
Q’(21.3281,20,59.7158)
P’(39.4575,40,79.6238)
R’(50,15,65)
OK
307) 2007-1-P07I-prob2
Rotar la recta PQ alrededor de un eje que pasa por el punto E hasta que sea paralela a la recta RS.
Obtener las coordenadas de los puntos P y Q luego del giro, el menor ángulo de giro y la orientación y
pendiente del eje.
E ( 50, 40, 30 )
P ( 60, 10, 10 )
Q ( 60, 10, 25 )
R ( 40, 10, 20 )
S ( 55, 25, 5 )
Rpta.:
P’(75.7735,25.7735,6.9060)
áng=54º44’
Q’(67.1132,17.1132,15.5662)
or=N45ºO o S45ºE
pe=0%
OK
308) 2007-2-P07H-prob2
Rotar el segmento de recta PQ alrededor de un eje normal que pasa por el punto P (hasta una posición
P’Q’) y luego volver a rotarlo (rotar P’Q’) alrededor de un eje horizontal de orientación N20ºE que pasa
por el punto M hasta que contenga al punto N. Obtener los ángulos de giro considerando los de menor
magnitud y las coordenadas de la posición final de los extremos de PQ (P”Q”).
Esteban Ortiz Bosmans
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
M ( 5, 50, 40 )
Rpta:
N ( 10, 45, 90 )
ang1=97º22’
ang2=175º33’
Capítulo 7:
GIROS
P ( 40, 90, 20 )
Q ( 10, 40, 70 )
P”=(5.4150,102.5879,61.4322)
Q”=(10.8796,33.9522,95.4805)
309) 2007-2-P07I-prob2 *
Rotar el segmento de recta PQ alrededor de un eje paralelo a él que pasa por el punto L (hasta una
posición P’Q’) y luego volver a rotarlo (rotar P’Q’) alrededor de un eje normal que pasa por el punto M
hasta que contenga al punto N. Obtener los ángulos de giro considerando los de menor magnitud y las
coordenadas de la posición final de los extremos de PQ (P”Q”).
L ( 10, 20, 60 )
M ( 40, ¿?, 33 )
N ( 70, 15, 45 )
P ( 40, 90, 20 )
Q ( 10, 40, 70 )
Rpta:
ang1=153º15’
ang2=152º4’
P”(23.1499,61.9184,73.2645)
Q”(73.0772,11.9184,43.1436)
OK
310) 2009-1-P04H-prob1 *
Rotar el triángulo de perfil LMN alrededor del eje Y hasta que el área del triángulo que se encuentra bajo
el plano horizontal principal sea de 800 unidades cuadradas. Determinar el menor ángulo de giro y la
posición final del vértice L.
L ( 50, 0, 50 )
M ( 50, 0, 100 )
N ( 50, 100, 100 )
Rpta:
ang=57º26’
L’(69.0522,0.0000,-15.2247)
311) 2009-1-P04I-prob1 *
Rotar el rectángulo frontal KLMN alrededor del eje X hasta que el área del rectángulo que se encuentra
bajo el plano horizontal principal sea de 1000 unidades cuadradas. Determinar el menor ángulo de giro y
la posición final del vértice K.
K ( 0, 50, 50 )
L ( 50, 50, 50 )
M ( 50, 50, 100 )
N ( 0, 50, 100 )
Rpta:
ang=54º28’
K’(0,69.7486,-11.6248)
OK
312) 2009-2-P04H-prob2
Girar la recta RS alrededor del eje normal E hasta que sea paralelo al plano ABC. Obtener el menor
ángulo de giro y las coordenadas finales de RS luego del giro.
A ( 30, 40, 65 )
B ( 50, 35, 85 )
C ( 45, 20, 55 )
E ( 70, ¿? , 70 )
R ( 80, 35, 90 )
S ( 95, 20, 65 )
Rpta:
ang=39º12’
R’(90.3888,35,79.1813)
S’(86.2161,20,50.3267)
OK
313) 2009-2-P04I-prob2
Girar la recta RS alrededor del eje vertical E hasta que sea paralelo al plano ABC. Obtener el menor
ángulo de giro y las coordenadas finales de RS luego del giro.
A ( 30, 65, 40 )
B ( 50, 85, 35 )
C ( 45, 55, 20 )
E ( 70, 70, ¿? )
R ( 80, 90, 35 )
S ( 95, 65, 20 )
Rpta:
ang=39º12’
R’(90.3888,79.1813,35)
S’(86.2161,50.3267,20)
314) 2009-3-P04G-prob2
Elegir convenientemente un eje que pase por el punto E, alrededor del cual se gire la recta CD el menor
ángulo posible hasta que sea paralela a la recta AB. Obtener la orientación y pendiente del eje de giro, el
ángulo de giro y la posición final de la recta CD.
A ( 30, 40, 65 )
B ( 50, 35, 85 )
C ( 70, 80, 70 )
D ( 80, 35, 90 )
E ( 95, 20, 65 )
Rpta:
or=N75º58’O
C’(37.2090,44.5591,47.4770)
pe=103.08%asc
D’(72.1982,35.8118,82.4661)
ang=55º08’
315) 2010-1-P04H-prob2 *
A’B’ es la posición final descendente de la recta AB luego de ser girada alrededor de cierto eje.
Determinar la posición de este eje y la magnitud del ángulo de giro. Expresar la posición de dicho eje
mediante su orientación, pendiente e intersección con el plano frontal.
A ( 5, 5, 45 )
B ( 20, 35, 30 )
A’ (40, 5, ¿? )
B’ (40, 35, 45 )
Rpta:
zA’’=66.2132
int=(48.1066,0,13.3579)
Esteban Ortiz Bosmans
or=N
ang=45º0’
pe=0%
OK
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 7:
GIROS
316) 2010-1-P04i-prob2
Obtener el menor ángulo de giro y la posición final del punto A luego
de ser rotado alrededor del eje EF hasta que se ubique sobre la
superficie del toro mostrado en la figura.
Rpta:
ang=24º5’
A’(-16.1025,26.7006,-10)
317) 2010-1-EXFH-prob2
El plano ABC contiene a P’Q’ que es la posición final luego de la rotación del segmento de recta PQ
alrededor de cierto eje vertical. Completar las coordenadas de P’ y Q’ y determinar las coordenadas de la
intersección del eje con el plano Horizontal Principal. Considerar el menor ángulo de giro.
A ( 60, 60, 0 )
B ( 40, 60, 40 )
C ( 40, 20, 20 )
P ( 30, 10, 90 )
Q ( 10, 50, 30 )
P’ ( ¿?, ¿?, ¿? )
Q’ ( 20, ¿?, ¿? )
Rpta:
P’(-16.4706,-65.8824,90)
Q’(20,-40,30)
I(-37.5,-0.8333,0)
Nivel de Dificultad IV
318) 2006-1-P06J-prob2
Determinar el menor ángulo que deben girar las rectas AB y CD alrededor del eje vertical que pasa por el
punto E para que sus proyecciones frontales sean paralelas.
A ( 20, 25, 35 )
B ( 50, 45, 15 )
C ( 30, 15, 10 )
D ( 60, 5, 25 )
E ( 55, 25, ¿? )
Rpta:
ang=84º33’35”
OK
319) 2007-2-EXSH-prob2 *
Rotar el segmento de recta PQ alrededor de un eje normal que pasa por el punto P (hasta una posición
P´Q´) y luego volver a rotarlo (rotar P’Q’) alrededor de un eje horizontal de orientación N20ºE que pasa
por el punto M hasta que contenga al punto N. Obtener los ángulos de giro considerando los de menor
magnitud y las coordenadas de la posición final de los extremos de PQ (P”Q”).
M ( 15, 40, 30 )
N ( 20, 35, 80 )
P ( 50, 80, 10 )
Q ( 20, 30, 60 )
Rpta:
P”(15.4150,92.5879,51.4322) ang1=97º22’
Q”(20.8796,23.9522,85.4805) ang2=175º33’
OK
320) 2008-1-P07H-prob1
Rotar el plano ABC alrededor del eje DE hasta que su proyección sobre el plano de perfil se vea como
una recta. Determinar el menor ángulo y su posición final luego de la rotación.
A ( 20, 40, 25 )
B ( 70, 30, 50 )
C ( 35, 70, 80 )
D ( 10, 65, 15 )
E ( 90, 0, 75 )
Rpta:
ang.= 59º15’
A’(29.5524,44.0220,16.6206)
B’(64.6330,32.3803,59.7347)
C’(5.4984,28.4432,74.3156)
OK
321) 2008-1-P07I-prob2
Rotar el plano ABC alrededor del eje DE hasta que su proyección sobre el plano frontal se vea como una
recta. Determinar el menor ángulo y su posición final luego de la rotación.
A ( 20, 40, 25 )
B ( 70, 30, 50 )
C ( 35, 70, 80 )
D ( 10, 65, 15 )
E ( 90, 0, 75 )
Rpta:
ang=60º6’
A(17.3384,47.0587,36.1957)
Esteban Ortiz Bosmans
B(67.0593,20.7132,43.8601)
C(71.0743,81.6106,44.4790)
OK
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 7:
GIROS
322) 2010-2-EXFH-prob2, 2010-2-EXFI-prob2 *
Rotar la recta PQ alrededor de cierto eje ortofrontal hasta que pase por el origen de coordenadas y tenga
una pendiente de 100%. Presentar el ángulo de giro y las coordenadas de la posición final de la recta y
de la intersección del eje con el plano frontal. Considerar el menor ángulo de giro.
P ( 20, 10, 35 )
Q ( 35, 20, 45 )
Rpta:
ang=20º16’
E(72.4270,0,-1.4854)
P’(10.6066,10,14.5774)
Q’(21.2132,20,29.1548)
OK
323) 2011-1-P04H-prob2
Girar la recta AB alrededor del eje E hasta que la distancia entre sus intersecciones C y D con los planos
principales Frontal y de Perfil sea 50 unidades. Determinar el menor ángulo de giro que dé solución al
problema y las coordenadas de los puntos C y D sabiendo que CD se ubica en el primer octante.
A ( 20, 15, 7 )
B ( 50, 30, 20 )
E ( ¿?, 12, 25 )
Rpta:
ang=169º14’
C(41.6989,0,36.0326)
D(0,23.8574,49.8900)
OK
324) 2011-1-P04I-prob2
Determinar la orientación, pendiente e intersección con el plano Horizontal Principal del eje de giro que
pertenece al plano ABC, para que, al rotar este plano alrededor de él, contenga al punto N y sea paralelo
al plano DEF.
A ( 10, 20, 35 )
B ( 45, 40, 50 )
C ( 32, 5, 20 )
D ( 65, 15, 45 )
E ( 82, 5, 5 )
F ( 95, 25, 20 )
N ( 50, 20, 10 )
Rpta:
or1=N30º18’E
or2=S30º18’E
pe1=72.57%asc
pe2=72.57%desc
I(10.1464,-19.4901,0)
Nivel de Dificultad V
(Vacío)
Esteban Ortiz Bosmans
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 8:
DISTANCIAS
Capítulo 8: DISTANCIAS
Nivel de Dificultad I
(Vacío)
Nivel de Dificultad II
325) 2003-1-P06J-prob2
Dadas dos rectas AB y CD, se pide determinar las coordenadas de los puntos de intersección con el
plano XY de las rectas que cortan a AB, son paralelas a CD y se encuentran a una distancia de 5
unidades de ésta última.
A ( 2, 6, 12 )
B ( 11, 2, 10 )
C ( 5, 2, 4 )
D ( 11, 6, 12 )
Rptas:
(5.5450,-3.5843,0)
(-4.1989,-0.8003,0)
326) 2003-1-EXFJ-prob1
Determinar el lugar geométrico de los puntos que disten 20 unidades del punto P y a su vez equidisten
de las rectas LM y LN. Definir el tipo de lugar geométrico y sus propiedades principales.
L ( 43, 15, 42 )
M ( 53, 30, 7 )
N ( 70, 56, 10 )
P ( 27, 40, 32 )
327) 2003-1-EXSI-prob1
EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD. Completar las coordenadas que faltan. (E  AB y F 
CD).
A ( 16, 45, 32 )
B ( 42, 7, 17 )
C ( 23, ¿?, 38 )
D ( 52, ¿?, 51 )
E ( 33, ¿?, ¿? )
F ( 30, ¿?, ¿? )
Rpta:
yC=6.5885
E(33,20.1538,22.1923)
yD=23.3014
F(30,10.6227,41.1379)
OK
328) 2003-1-EXSJ-prob1
EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD. Completar las coordenadas que faltan. (E  AB y F 
CD).
A ( 30, ¿?, 69 )
B ( ¿?, 88, ¿? )
C ( 12, 83, 66 )
D ( 39, 107, 44 )
E ( 39, ¿?, 66 )
F ( 23, ¿?, ¿? )
Rpta:
yA=71.0241
yE=82.9938
B(42.7641,88,64.7453)
F(23,92.7778,57.0370)
OK
329) 2006-1-P07H-prob1
El segmento EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD. Completar las coordenadas que faltan
(E  AB y F  CD).
A ( 15, 45, 30 )
B ( 40, 5, 15 )
C ( 25, ¿?, 40 )
D ( 50, ¿?, ¿? )
E ( 35, ¿?, ¿? )
F ( 30, ¿?, 40 )
Rpta:
yC=3.8228
E=(35,13,18)
D=(50,-7.1662,40)
F=(30,1.625,40)
OK
330) 2006-1-P07J-prob1
Hallar en la recta CD un punto cuya distancia a la recta AB sea de 15 unidades. Obtener la solución de
mayor apartamiento.
A ( 38, 30, 23 )
B ( 53, 14, 40 )
C ( 23, 9, 40 )
D ( 45, 32, 20 )
Rpta:
P(49.5314,36.7374,15.8805)
331) 2006-1-EXFH-prob1
El plano PQR equidista de los puntos A, B, C y D. Completar las coordenadas del plano y determinar su
orientación y pendiente, considerando que está encima de A, B y C y debajo de D.
A ( 50, 30, 20 )
B ( 80, 25, 10 )
C ( 90, 50, 30 )
D ( 70, 10, 50 )
P ( 20, 45, ¿? )
Q ( 45, 40, ¿? )
R ( 40, 15, ¿? )
Rpta:
zP=64.375
or=N77º54’19”E
zQ=55.3125
pe=89.49%SE
zR=34.375
OK
332) 2006-1-EXSH-prob1
Trazar un plano que pase por la recta LM y cuya distancia al punto dado A sea el triple de su distancia a
otro punto dado B. Obténgase la orientación y pendiente del plano.
Esteban Ortiz Bosmans
48/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A ( 22, 10, 30 )
Rpta:
B ( 40, 35, 12 )
or1=N74º26’E
or2=N35º44’E
Capítulo 8:
DISTANCIAS
L ( 20, 18, 10 )
M ( 10, 35, 30 )
pe1=104.93%SE
pe2=110.83%SE
333) 2006-1-EXSJ-prob1
Trazar un plano paralelo a LM y que equidiste del punto P y de la recta QR. Determinar la orientación y
pendiente del plano y las coordenadas de su intersección con el eje z.
L ( 50, 40, 35 )
M ( 50, 15, 20 )
P ( 30, 15, 30 )
Q ( 10, 20, 20 )
R ( 20, 35, 10 )
334) 2006-2-P07H-prob1
EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD (E en AB y F en CD). Completar las coordenadas que
faltan.
A ( 25, 30, 45 )
B ( 50, 15, 5)
C ( 35, 40, ¿? )
D ( 25, 50, ¿? )
E ( 45, ¿?, ¿? )
F ( 40, ¿?, ¿? )
Rpta:
zC=15.0789
E(45,18,13)
zD=38.2368
F(40,35,3.5)
OK
335) 2006-2-P07J-prob1
Completar las coordenadas del punto E si se sabe que dista 30 unidades de la recta MN y 40 unidades
del plano ABC.
A ( 100, 50, 30 )
B ( 50, 60, 30)
C ( 60, 90, 80 )
E ( 60, ¿?, ¿? )
M ( 65, 10, 35 )
N ( 15, 30, 70 )
Rpta:
E1(60,34.9465,69.2285)
E2(60,-6.3891,4.6416)
OK
336) 2007-1-P08H-prob1
En un hexaedro regular cuya base superior es ABCD y su base inferior es EFGH. Hallar la mínima
distancia entre HC y EG si la arista del cubo mide 50 unidades.
Rpta.:
dist=28.8675u
OK
337) 2008-1-P08I-prob1
En un exaedro regular cuya base superior es ABCD y su base inferior es EFGH. Hallar la mínima
distancia entre HC y EG si la arista del cubo mide 50 unidades.
Rpta:
28.8675
338) 2009-1-P05I-prob1
Hallar en la recta MN los puntos que equidisten de los planos ABC y BCD.
A ( 10, 15, 80 )
B ( 30, 45, 60 )
C ( 60, 15, 40 )
D ( 45, 25, 90 )
M ( 10, 40, 60 )
N ( 60, 0, 85 )
Rpta:
L1(36.6831,18.6535,73.3415)
L2(2.6730,45.8616,56.3365)
339) 2009-3-P05G-prob1
Determinar la mínima distancia absoluta y la mínima distancia horizontal entre las rectas PQ y RS.
P ( 70, 40, 30 )
R ( 15, 30, 15 )
Q ( 10, 80, 60 )
S ( 60, 60, 80 )
Rpta:
distabs=13.9631u
disthor=16.6716u
OK
Nivel de Dificultad III
340) 2003-1-P06I-prob2
Determinar sobre el plano principal XY la orientación del lugar geométrico de los puntos que equidistan
de los puntos más cercanos entre dos rectas que se cruzan AB y CD. Determinar también su
intersección con el eje Y.
A ( 11, 19, 10 )
B ( 18, 13, 4 )
C ( 11, 10, 4 )
D ( 18, 16, 10 )
Rpta:
or=Este
y=7.5u
OK
341) 2003-1-P07I-prob1
Unir las rectas AB y CD por una tercera PQ de mínima longitud y que haga un ángulo de 30º con el plano
vertical LMN. Determinar las coordenadas de los puntos P y Q si se sabe que P pertenece a AB y que Q
pertenece a CD.
A ( 10, 6, 39 )
B ( 17, 15, 47 )
C ( 32, 11, 22 )
D ( 13, 27, 36 )
L ( 30, 35, 19 )
M ( 35, 25, 6 )
N ( 40, 15, 16 )
Rpta:
P(14.2272,11.4350,43.8311)
Q(17.6665,23.0703,32.5615)
OK
342) 2003-1-P07L-prob1
Determinar las coordenadas de un punto R situado sobre el segmento de recta MN de tal manera que la
suma de los segmentos PR y QR sea mínima.
Esteban Ortiz Bosmans
49/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
M ( 5, 1, 15 )
Rpta:
N ( 3, 9, 8 )
Capítulo 8:
DISTANCIAS
P ( 8, -7, 3 )
Q ( 6, 9, 10 )
R(3.5890,6.6439,10.0616)
OK
343) 2003-1-P08I-prob1
Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos
rectas AB y CD, pero que sea paralela al plano LMN.
A ( 150, 80, 20 )
B ( 40, 55, 80 )
C ( 120, 35, 15 )
D ( 45, 110, 65 )
L ( 23, 27, 41 )
M ( 105, 120, 25 )
N ( 80, -6, 20 )
Rpta:
en AB: (146.7001,79.2500,21.8000)
long=71.3180u
en CD: (78.5502,76.4498,42.6332)
OK
344) 2003-1-P08J-prob1
Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos
rectas AB y CD, pero que forme un ángulo de 50º con el plano RST.
A ( 30, 78, 73 )
B ( 160, 108, 20 )
C ( 112, 48, 13 )
D ( 40, 128, 57 )
R ( 150, 45, 10 )
S ( 20, 2, 15 )
T ( 45, 75, 20 )
Rpta:
en AB: (83.7329,90.3999,51.0935)
long=18.4638u
en CD: (71.0710,93.4767,38.0122)
OK
345) 2003-1-P08K-prob1
Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos
rectas AB y CD, pero que forme un ángulo de 45º con el plano LMN.
A ( 111, 38, 10 )
B ( 36, 118, 54 )
C ( 150, 98, 17 )
D ( 31, 58, 70 )
L ( 136, 90, 25 )
M ( 11, 58, 2 )
N ( 28, 135, 15 )
Rpta:
en AB: (74.1283,77.3298,31.6314)
en CD: (84.8246,76.0923,46.0277)
long= 17.9777u
OK
346) 2003-1-P08L-prob1
Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos
rectas AB y CD , que sea paralela al plano RST.
A ( 140, 85, 15 )
B ( 30, 55, 70 )
C ( 110, 35, 10 )
D ( 35, 100, 55 )
R ( 115, 80, 5 )
S ( 45, 10, 10 )
T ( 6, 100, 15 )
Rpta:
en AB: (95.9054,72.9742,37.0473)
en CD: (59.3550,78.8924,40.3870)
347) 2006-1-P07H-prob2
Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto que une las rectas PQ
y RS de tal manera que forme un ángulo de 60º con el plano frontal.
P ( 100, 75, 20 )
Q ( 55, 105, 115 )
R ( 90, 25, 40 )
S ( 50, 140, 70 )
Rpta
long=19.0646u
M en PQ=(83.3523,86.0985,55.1452)
N en RS=(74.4911,69.5880,51.6317)
OK
348) 2006-1-P07J-prob2
Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto que une las rectas PQ
y RS de tal manera que forme un ángulo de 60º con la recta TU.
P ( 40, 20, 50 )
R ( 80, 10, 30 )
T ( 20, 45, 35 )
Q ( 80, 75, 80 )
S ( 70, 80, 60 )
U ( 60, 50, 30 )
Rpta:
long=19.4806u
M en PQ=(65.5818,55.1749,69.1863)
N en RS=(72.4434,62.8963,52.6699)
OK
349) 2006-2-P07H-prob2
Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto y más largo que une
las rectas PQ y RS de tal manera que forma 50º con la recta TU.
P ( 40, 20, 50 )
Q ( 80, 75, 80 )
R ( 80, 10, 30 )
S ( 70, 80, 60 )
T ( 20, 45, 35 )
U ( 60, 50, 30 )
Rpta:
M1(62.5200,50.9650,66.8900) N1(73.0398,58.7211,50.8805)
long1=20.6671u
long2=no existe, tiende al infinito
OK
350) 2006-2-P07J-prob2
Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos de los segmentos más corto y más largo que
unen las rectas PQ y RS de tal manera que tengan 100% de pendiente.
P ( 30, 40, 20 )
R ( 40, 90, 20 )
Q ( 50, 15, 45 )
S ( 10, 40, 70 )
Rpta:
M1(27.1429,43.5714,16.4286) N1(27.1429,68.5714,41.4286)
long1=35.3553u
long2=infinito
Esteban Ortiz Bosmans
OK
50/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 8:
DISTANCIAS
351) 2006-2-EXFH-prob2 *
Obtener la orientación y pendiente del plano ABC tal que BC tenga la menor longitud posible. Se sabe
que el punto A está contenido en la recta PQ, que el punto B dista 25 unidades de la recta PQ, que el
punto C está contenido en la recta RS y que AB tiene 5% de pendiente ascendente.
P ( 45, 75, 30 )
Q ( 100, 50, 60 )
R ( 70, 30, 0 )
S ( 40, 20, 80 )
Rpta:
or=N6º07’O
A(56.3301,69.8499,36.1801)
pe=57.66%SO
B(62.0425,40.6921,37.6657)
C(57.2498,25.7499,34.0006)
OK
352) 2006-2-EXRE-prob3
El segmento TU es la mínima distancia entre las rectas PQ y RS y tiene una pendiente de 50%
ascendente (T en PQ y U en RS). Completar las coordenadas que faltan.
P(10,¿?,¿?)
Q(3,15,40)
R(22,27,¿?)
S(42,¿?,¿?)
T(20,12,¿?)
U(30,23,¿?)
Rpta:
yP=13.7647
zS=21.7369
zP=32.4107
zT=21.5688
zR=33.8450
zU=29.0018
OK
353) 2007-1-P07I-prob1
Determinar las coordenadas de los extremos del segmento más corto RS paralelo al plano LMN, que
conecte a las rectas AB y CD pero que haga un ángulo de 30º con AB.
A ( 45, 45, 50 )
B ( 70, 30, 50 )
C ( 35, 55, 55 )
D ( 50, 60, 35 )
L ( 75, 25, 65 )
M ( 35, 15, 55 )
N ( 55, 50, 45 )
Rpta.:
RAB: (23.0506,58.1697,50)
SCD: (34.3086,54.7695,55.9218)
354) 2007-1-P08H-prob2
Unir las rectas PQ y RS mediante un segmento de mínima y máxima longitud pero que haga un ángulo
30º con el plano vertical LMN. Determinar las longitudes y las coordenadas de sus extremos.
L ( 40, 30, ¿? )
M ( 50, 15, 25 )
P ( 20, 5, 50 )
Q ( 25, 15, 60 )
R ( 40, 15, 30 )
S ( 20, 30, 45 )
Rpta.:
en PQ: (22.7208,10.4415,55.4415)
en RS: (25.0450,26.2163,41.2163)
mín=21.3683u
máx = no existe (hipérbola)
OK
355) 2007-1-P08I-prob2
Determinar las coordenadas de los extremos de los segmentos de mínima y máxima distancia que hacen
las rectas PQ y RS pero que tengan una pendiente de 100%.
P ( 10, 10, 60 )
Q ( 40, 40, 90 )
R ( 0, 85, 20 )
S ( 50, 50, 70 )
Rpta.:
en PQ: (43.8235,43.8235,93.8235)
en RS: (58.8235,43.8235,78.8235)
mín=21.2132u
máx = no existe (parábola)
OK
356) 2007-1-EXFI-prob1
Determinar la orientación, pendiente y coordenadas de los extremos del segmento más corto RS paralelo
al plano LMN, que conecte a las rectas AB y CD pero que haga un ángulo de 30º con AB (R en AB y S
en CD).
A ( 30, 50, 45 )
B ( 55, 35, 45 )
C ( 20, 60, 50 )
D ( 35, 65, 30 )
L ( 60, 30, 60 )
M ( 20, 20, 50 )
N ( 40, 55, 40 )
Rpta.:
R(8.0506,63.1697,45)
or=S73º12’E
S(19.3086,59.7695,50.9218)
pe=50.35%asc
OK
357) 2007-2-P08I-prob1
Determinar las coordenadas de los puntos Q y R tal que la trayectoria PQR sea la de menor longitud (PQ
y QR son segmentos de recta) sabiendo que Q está contenido en la recta MN y R está contenido en el
plano ABC.
A(35, 40, 65)
B(75, 45, 85)
C(60, 10, 50)
M(60, 45, 60)
N(65, 40, 65)
P(75, 55, 50)
Rpta:
Q(67.3893,37.6107,67.3893)
R(65.5735,33.8062,71.9720)
OK
358) 2007-3-P08G-prob1
Conectar los ejes de los segmentos de tubería PQ y RS por una tercera de mínima longitud pero que
haga 60º con PQ. Obtener su longitud y las coordenadas de sus extremos.
P (35, 35, 35 )
R ( 40, 35, 5 )
Q ( 5, 30, 20 )
S ( 20, 50, 20 )
Rpta:
long=21.1434u
I1  PQ: (11.4506,31.0751,23.2253)
I2  PQ: (30.1551,34.1925,32.5775)
J1  RS: (23.7183,47.2113,17.2113)
J2  RS = J1
OK
359) 2008-1-P08H-prob1
Conectar los ejes de las tuberías AB y CD por una tercera de mínima longitud pero que haga 60º con AB.
Obtener su longitud y las coordenadas de sus extremos. Obtenga todas las soluciones posibles.
A ( 34, 37, 15 )
B ( 6, 28, 32 )
C ( 42, 37, 44 )
D ( 20, 50, 30 )
Esteban Ortiz Bosmans
51/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
Capítulo 8:
DISTANCIAS
E1(13.8180,30.5129,27.2534) E2(30.8217,35.9784,16.9297)
F1=F2=(24.0974,47.5788,32.6075)
OK
360) 2009-1-P05H-prob1
Unir las rectas AB y CD mediante un segmento MN que haga un ángulo de 30º con una recta ortoperfil
(M en AB y N en CD). Obtener la solución de menor longitud.
A ( 45, 25, 20 )
B ( 10, 55, 50 )
C ( 60, 80, 50 )
D ( 30, 50, 80 )
Rptas:
M(38.9966,58.9966,71.0034)
N(6.9908,57.5793,52.5793)
OK
361) 2009-2-P05H-prob1
Conectar las rectas AB y CD por un segmento de recta EF de mínima longitud, pero que sea horizontal.
Determinar la longitud de EF y las coordenadas de sus extremos.
A ( 23, 35, 30 )
B ( 55, 25, 55 )
C ( 35, 5, 45 )
D ( 50, 20, 30 )
Rpta:
E(35.1036,31.2176,39.4560)
F(40.5440,10.5440,39.4560)
long=21.3774u
OK
362) 2009-2-P05I-prob1
Conectar las rectas AB y CD por un segmento de recta EF de mínima longitud, pero que tenga una
pendiente de 30º. Determinar la longitud de EF y las coordenadas de sus extremos.
A ( 27, 22, 54 )
B ( 54, 33, 36 )
C ( 37, 23, 17 )
D ( 56, 4, 33 )
Rpta:
E(51.7679,32.0906,37.4881)
F(47.5545,12.4455,25.8880)
long=23.2001u
OK
363) 2010-P05H-prob1
Construir una recta CD, paralela a la recta AB y que está a la distancia de 17 unidades de esta última.
Completar las coordenadas de sus extremos. Obtener todas las soluciones posibles.
A ( 5, 5, 30 )
B ( 20, 20, 5 )
C ( 25, 5, ¿? )
D ( 35, ¿?, ¿? )
Rpta:
zC1=27.9145
D1(35,15,11.2479)
zC2=-1.2479
D2(35,15,-17.9145)
OK
364) 2010-1-EXFI-prob1
Están dados los puntos A, L, M y N. Determinar las coordenadas de los vértices del paralelogramo
ABCD, en el cual el vértice B se encuentra en el plano Horizontal Principal, el lado CD está situado sobre
una recta cuyos puntos equidistan de los puntos L, M y N, y el vértice D equidista de los planos Frontal y
Horizontal Principales. Determinar además la orientación y pendiente del plano que contiene al
paralelogramo.
A ( 50, 15, 25 )
L ( 5, 10, 25 )
M ( 25, 20, 25 )
N ( 40, 5, 40 )
Rpta:
B(58.3333,-1.6667,0)
or=N54º38’E
pe=135.76%SE
C1(60.8333,-76.6667,-85)
C2(36.8333,-28.6667,-13)
D1(52.5,-60,-60)
D2(28.5,-12,12)
OK
365) 2010-2-P05I-prob1
Determinar la longitud del segmento de mínima distancia que une las rectas AB y CD, pero que hace un
ángulo de 50º con el plano de perfil. Obténgase además las coordenadas de sus extremos.
A ( 10, 5, 40 )
B ( 15, 15, 45 )
C ( 30, 10, 20 )
D ( 15, 25, 35 )
Rpta:
long=16.2146u
en AB: (20.5466,26.0931,50.5466)
en CD: (8.1255,31.8745,41.8745)
OK
366) 2011-1-P05H-prob2
Trazar un segmento de recta LM de 40 unidades de longitud, que pase a una distancia de 10 unidades
de N, pero que tenga una pendiente de 45º ascendente. Obtener todas las soluciones posibles de las
coordenadas de M.
L ( 40, 25, 5 )
N ( 30, 15, 10 )
Rpta:
M1(11.8175,22.6033,33.2843) M2(37.6033,-3.1825,33.2843)
OK
367) 2011-1-P05I-prob1
Determinar la intersección con el plano horizontal principal de una recta que está contenida en el plano
vertical PQR, que tiene 30º de pendiente y cuya mínima distancia a la recta LM es de 15 unidades.
Obtener sólo una de las soluciones e indicar cuántas soluciones habrá.
L ( 38, 28, 67 )
M ( 53, 46, 52 )
P ( 16, 26, 40 )
Q ( 42, 40, 52 )
Rpta:
I1(-103.4159,-38.3009,0)
I3(105.1815,74.0208,0)
I2(50.2266,44.4297,0)
I4(159.5427,103.2922,0)
OK
Nivel de Dificultad IV
(Vacío)
Esteban Ortiz Bosmans
52/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 8:
DISTANCIAS
Nivel de Dificultad V
368) 2003-1-P07K-prob1
La perpendicular común a las rectas LM y PQ mide 10 unidades. Entre todos los segmentos que van
desde PQ hasta LM con una pendiente de 50% ascendente, RS es el de mínima longitud. Determinar las
coordenadas que faltan. Tomar M debajo de Q.
L ( 22, 27 , ¿? )
M ( 42, 17, ¿? )
P ( 10, 10, ¿? )
Q ( 35, 15, 40 )
R ( 30, 23, ¿?)
S ( 20, 12, ¿?)
Rpta:
zL=28.9599
zR=27.8624
zM=26.2161
zS=45.5791
zP=49.2985
OK
369) 2007-3-P08G-prob2
MN es la mínima distancia con pendiente de 30º entre AB y CD. La perpendicular que conecta AB y CD
mide 15 unidades. Completar las coordenadas que faltan si MN desciende hacia el sureste. (M en AB y
N en CD)
A ( 45, ¿?, 55 )
B ( 75, 55, 70 )
C ( 55, ¿?, 35 )
D (80, ¿?, 60 )
M ( 55, ¿?, ¿? )
N ( 65, ¿?, ¿? )
Rpta:
yA=33.1060
M(55,40.4040,60)
yC=5.9991
N(65,16.4248,45)
yD=32.0634
OK
370) 2011-1-P05H-prob1
RS es la mínima distancia horizontal entre AB y CD (R en AB y S en CD). La perpendicular común a las
rectas AB y CD tiene 200% de pendiente descendente de AB a CD. Completar las coordenadas de B, C,
D, R y S.
A ( 30, 17, 50 )
B ( 52, 26, ¿? )
C ( 45, 5, ¿? )
D ( 68, 9, ¿? )
R ( 40, ¿?, ¿? )
S ( 61, ¿?, ¿? )
Rpta:
zB=56.8825
R(40,21.0909,53.1284)
Esteban Ortiz Bosmans
zC=47.1158
S(61,7.7826,53.1284)
zD=55.7589
OK
53/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 9:
TANGENCIA
Capítulo 9: TANGENCIA
Nivel de Dificultad I
(Vacío)
Nivel de Dificultad II
371) 2003-1-P06K-prob1
Dados un punto V y una esfera con centro en O y con radio igual a 20 unidades; determinar las
coordenadas de un punto W ubicado sobre la superficie esférica de tal modo que la recta VW sea
tangente a la esfera y a su vez paralela al plano ABC.
A ( 40, -19, 2 )
B ( 61, 21, 22 )
C ( 4, 7, 12 )
O ( 40, 40, 0 )
V ( 0, 45, 0 )
Rpta:
W1(32.0988,56.7902,7.4606)
W2(28.2035,25.6277,-7.3675)
372) 2003-1-EXSJ-prob2
Hallar la longitud, orientación y pendiente del eje PQ del cilindro circular oblicuo de bases horizontales,
cuyo extremo inferior Q pertenece al plano XY y que es tangente a los planos YZ y LMN.
L ( 10, 35, 8 )
M ( 23, 30, 6 )
N ( 9, 25, 30 )
P ( 22, ¿?, 20 )
Rpta:
or=Norte
pe=210.37%desc
long=22.1446u
373) 2003-1-EXSK-prob1
PQ mide 40 unidades y es la menor distancia trazada desde el punto P al plano LMN. Completar las
coordenadas del punto L si Q está debajo de P.
L ( 13, 74, ¿? )
M ( 40, 122, 6 )
N ( 80, 68, 50)
P ( 14, 98, 50 )
Rpta:
zL1=10.7931
zL2=-374.2499
374) 2006-1-P08J-prob1
Trazar por P una recta que tenga 120% de pendiente que esté contenida en un plano de 200% de
pendiente que pasa por Q. Determinar la orientación de dicha recta. Presentar la solución que desciende
hacia el cuadrante NO.
P ( 60, 40, 20 )
Q ( 30, 40, 30 )
Rpta:
or=N43º32’10”O
OK
375) 2006-2-P08H-prob1, 2006-2-EXRE-prob3
Trazar por P un plano paralelo a MN pero que pase a una distancia de 15 unidades del punto Q.
Obtenga la orientación y pendiente del plano más empinado.
M ( 30, 30, 5 )
P ( 20, 35, 5 )
N ( 50, 35, 15)
Q ( 50, 20, 10 )
Rpta:
or=N88º46’O
pe=184.24%NE
376) 2006-2-P08J-prob1
Por el punto M de la superficie de un cono circular oblicuo, trazar una recta MN normal a ella. El cono
tiene una base horizontal con centro en O y radio 10 unidades y su vértice es V. Completar las
coordenadas del punto M y obtener la orientación y pendiente de dicha normal.
M ( 55, 50, ¿? )
O ( 60, 45, 10 )
V ( 75, 70, 30 )
Rpta:
zM=14
or=Oeste
pe=125%asc
OK
377) 2007-1-P09H-prob1
Pasar por P un plano paralelo a la recta AB y que haga un ángulo de 50º con el plano vertical LMN.
Obtener su intersección con el eje Z.
A ( 25, 35, 20 )
B ( 40, 33, 35 )
L ( 25, 5, 20 )
M ( 45, 15, 5 )
P ( 30, 28, 30 )
Rpta.:
I1(0,0,19.5425)
I2(0,0,-118.7549)
OK
378) 2007-1-P09I-prob1
Pasar por P un plano paralelo a AB pero que pase a una distancia de 15 unidades del punto O. Obtener
su intersección con el eje Z.
A ( 30, 30, 10 )
B ( 45, 38, 20 )
O ( 50, 20, 10 )
P ( 28, 28, 10 )
Rpta.:
I1(0,0,-5.4306)
Esteban Ortiz Bosmans
I2(0,0,-66.4113)
OK
54/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 9:
TANGENCIA
379) 2007-2-P08H-prob1
Desplazar el punto D paralelamente a una recta que tiene orientación N30ºE y pendiente ascendente de
25% hasta una posición D’ de tal manera que la mínima distancia entre las rectas AB y CD’ sea de 15
unidades. Determinar las coordenadas de D’.
A ( 13, 30, 40 )
B ( 38, 50, 15 )
C ( 10, 25, 15 )
D ( 30, 17, 25 )
Rpta:
D’(34.6788,25.1040,27.3394)
OK
380) 2008-1-P08H-prob2
Trazar por P un plano paralelo a la recta AB y que haga un ángulo de 50º con el plano vertical LMN.
Determinar la orientación y pendiente del plano trazado. Obtenga todas las soluciones posibles.
A ( 5, 37, 20 )
B ( 22, 28, 35 )
L ( 8, 37, 18 )
M ( 40, 28, 10 )
P ( 12, 28, 31 )
Rpta:
or1=N33º21’O
or2=N74º35’E
pe1=162.07%SO
pe2=113.68%NO
381) 2009-1-P05H-prob2
Pasar por PQ un plano que haga 30º con RS. Determinar su orientación y pendiente para todas las
soluciones posibles.
P ( 5, 30, 70 )
Q ( 35, 45, 60 )
R ( 10, 40, 65 )
S ( 40, 30, 65 )
Rptas:
or1=N34º2’E
or2=N73º16’E
pe1=60.74%SE
pe2=174.74%NE
OK
382) 2009-2-P05I-prob2
Pasar por LM un plano que tenga 120% de pendiente. Obténgase su orientación y su intersección con el
eje Z, en todas las soluciones posibles.
L ( 50, 65, 40 )
M ( 70, 60, 20 )
Rpta:
or1=N50º5’E
or2=N22º1’O
zint1=18.6627
zint2=124.8667
OK
383) 2010-1-EXFI-prob2
Construir un cono circular recto tangente al plano ABC, si el punto O es el centro de la base y está
situada sobre el plano PQR. Determinar la altura, el radio de la base y las coordenadas del ápice y del
centro de la base del cono.
A ( 20, 60, 45 )
B ( 35, 35, 35 )
C ( 5, 40, 30 )
P ( 60, 60, 0 )
Q ( 40, 60, 40 )
R ( 40, 20, 20 )
O ( 35, 30, ¿? )
Rpta:
V(27.6829,31.8293,31.3415)
h=8.3828u
O(35,30,35)
r=2.4687u
OK
Nivel de Dificultad III
384) 2003-1-P07J-prob1
Desplazar el punto P verticalmente hasta que la menor distancia entre el punto R y la recta PQ sea 11
unidades. Determinar las coordenadas de la posición final del punto P.
P ( 24 , 13, 28 )
Q ( 28, 5, 20 )
R ( 10, 20, 12 )
Rpta:
P’1(12,13,19.0659)
P’2(24,13,13.7565)
OK
385) 2003-1-P07K-prob2
Sean AB y AC dos rectas tangentes a una esfera de centro O. Determinar la coordenadas de O sabiendo
que está a la derecha de P, que los puntos P y Q pertenecen a la superficie esférica y que el punto Q
pertenece al plano ABC.
A ( 67, 27, 40 )
B ( 40, 22, 25 )
C ( 58, 8, 10 )
P ( 30, 5, 25 )
Q ( 25, 10, ¿? )
Rpta:
zQ=3.3654
O(40.3681,8.2650,11.3855)
OK
386) 2003-1-P07L-prob2
Determinar las coordenadas del centro O de la base del cono circular recto que es tangente al plano XY
y cuyas generatrices son los segmentos AV y BV.
A ( 10.5 , 36 , 50 )
B ( 10.5 , 14 , 60 )
O ( ¿? , ¿? , ¿? )
V(0,0,0)
Rpta:
O1(-25.1459,14.1629,31.1585)
O2(35.7400,13.8358,30.4387)
OK
387) 2003-1-EXFI-prob1
VP y VQ son generatrices de un cono circular recto (V es el ápice). Los puntos P y Q no están en la base
del cono. El cono es tangente a un plano que pasa por la recta AB. Determinar la orientación y pendiente
del eje VO del cono.
A ( 85, 5, 41 )
B ( 108, 14, 11 )
P ( 70, 6, 18 )
Q ( 58, 23, 18 )
V ( 90, 27, 18 )
Esteban Ortiz Bosmans
55/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
or=N63º14’E
pe1=39.93%desc
Capítulo 9:
TANGENCIA
pe2=191.94%asc
OK
388) 2003-1-EXSL-prob2
Desplazar el punto M en forma ascendente y paralelamente a una recta de orientación N30ºE y
pendiente 80% hasta M’ de tal manera que la mínima distancia entre PQ y LM’ sea 30 unidades. Se pide
determinar las coordenadas del punto M’.
L ( 18, 79, 63 )
M ( 26, 42, 35 )
P ( 10, 36, 39 )
Q ( 41, 62, 19 )
Rpta:
M’1(38.1982,63.1279,54.5171) M’2=69.0874,116.6296,103.9398)
OK
389) 2006-1-P08H-prob1
Determinar las coordenadas del punto K de una recta contenida en el plano PQR que tenga una
pendiente de 70% pero que pase a una distancia de 15 unidades de L.
K ( 50, ¿?, ¿? )
L ( 55, 25, 20 )
P ( 45, 15, 15 )
Q ( 55, 30, 35 )
R ( 30, 30, 25 )
Rptas:
K1(50,5.0131,6.3473)
K3(50,30.9304,33.9924)
K2(50,8.0211,9.5559)
K4(50,46.8254,50.9471)
OK
390) 2006-1-P08H-prob2
AB y AC son rectas tangentes a una esfera de centro O. Determinar las coordenadas del centro y el
radio de la esfera más pequeña sabiendo que los puntos M y N pertenecen a su superficie y que el punto
N pertenece al plano ABC.
A ( 65, 27, 35 )
B ( 37, 22, 22 )
C ( 55, 8, 9 )
M ( 62, 4, 15 )
N ( 48, 9, ¿? )
Rpta:
zN=8.5415
O(43.7034,-0.7570,30.6400)
R=24.5358u
OK
391) 2006-1-P08J-prob2
C es el centro de una circunferencia horizontal de 15 unidades de radio que es el contacto de una esfera
inscrita a un cono circular recto. La recta LM es tangente a éste cono. Hallar las coordenadas del vértice
V y el centro O de la esfera, considerando la esfera de mayor radio.
C ( 70, 30, 20 )
L ( 65, 45, 5 )
M ( 40, 25, 30 )
Rpta:
V(70,30,8.2410)
O(70,30,39.1343)
OK
392) 2007-1-P09H-prob2
Obtener las coordenadas del centro y el radio de una esfera que es tangente a los planos VAB, VBC y
VAC y que contiene en su superficie al punto P.
A ( 25, 30, 20 )
B ( 80, 55, 70 )
C ( 40, 20, 100 )
P ( 40, 40, 65 )
V ( 25, 80, 40 )
Rpta.:
O1(42.6486,47.8546,55.9379) R1=12.2814u
O2(54.8615,25.6097,66.9670) R2=20.7801u
OK
393) 2007-2-P08H-prob2
Las rectas VP y VQ son rectas que contienen a las generatrices de un cono circular recto. El cono tiene
40 unidades de altura y es tangente a un plano que pasa por la recta RS. Determinar las coordenadas
del centro de su base O, considerando la base de menor radio y a VO descendente.
P ( 18, 7, 70 )
Q ( 6, 24, 70 )
R ( 34, 5, 50 )
S ( 57, 15, 80 )
V ( 40, 27, 70 )
Rpta:
O(5.9523,12.0838,55,2264)
OK
394) 2007-2-P08I-prob2
El plano vertical LMN es tangente a un cono circular recto de eje VO, siendo la recta CD la generatriz de
tangencia. La recta AB está contenida en la superficie del cono. Determinar la orientación y pendiente del
eje VO del cono.
A ( 25, 40, 30 )
B ( 40, ¿?, 45 )
C ( 43, ¿?, 40 )
D ( 50, ¿?, 40 )
M ( 38, 10, ¿? )
N ( 63, 40, ¿? )
Rpta:
V(35,6.4,40)
or=N9º32’E
pe=0%
OK
395) 2008-1-P08I-prob2
Trazar por P un plano paralelo a LM pero que pase a una distancia de 15 unidades del punto O. Obtener
su orientación y pendiente. Obtenga todas las soluciones posibles.
L ( 8, 32, 7 )
M ( 25, 37, 15 )
O ( 28, 20, 6 )
P ( 6, 28, 7 )
Rpta:
or1=N70º8’E
or2=N42º39’E
pe1=744.22%NO
pe2=87.76%NO
OK
396) 2008-1-EXFH-prob1
Desplazar el punto Q paralelamente a una recta de orientación N60ºO y pendiente 100% ascendente
hasta Q’ de tal manera que PQ’ diste 15 unidades de O. Obtener las coordenadas de Q’ y la orientación
y pendiente de PQ’.
Esteban Ortiz Bosmans
56/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
O ( 29, 25, 25 )
Rpta:
P ( 48, 8, 14 )
Q’(44.0268,25.8713,21.7426)
Capítulo 9:
TANGENCIA
Q ( 49, 23, 16 )
or=N12º32’O
pe=42.29%asc
OK
397) 2009-1-P05I-prob2
Pasar desde P un segmento de recta de 65 unidades que se corte con la recta LM y que pase a una
distancia de 20 unidades del punto Q. Obtener las coordenadas de su extremo para todas las soluciones
posibles.
L ( 10, 40, 30 )
M ( 30, 15, 35 )
P ( 40, 45, 20 )
Q ( 15, 20, 50 )
Rptas:
R1(-15.1061,20.8015,44.5510) R2(19.9716,-10.1332,48.0035)
OK
398) 2009-2-P05H-prob2
Pasar por P un segmento de recta PQ de 40 unidades de longitud que pase a una distancia de 15
unidades de RS, pero que tenga una pendiente de 45º ascendente. Obténgase su orientación y las
coordenadas del punto Q, en todas las soluciones posibles.
P ( 27, 18, 13 )
R ( 17, 38, 25 )
S ( 5, 22, 12 )
Rpta:
or1=S81º57’O
or2=S77º27’E
or3=N73º15’E
or4=N26º49’E
Q1(-1.0051,14.0357,41.2843)
Q2(54.6085,11.8543,41.2843)
Q3(54.0850,26.1487,41.2843)
Q4(39.7568,43.2441,41.2843)
OK
399) 2009-3-P05G-prob2
Pasar por el punto L una recta LM de 60 unidades de longitud, de pendiente ascendente 30º, pero que
diste 20 unidades de la recta AB. Determinar las coordenadas de M sabiendo que está a la derecha de L.
A ( 65, 25, 30 )
B ( 85, 20, 30 )
L ( 50, 25, 5 )
Rpta:
M(84.7658,-13.6179,35)
OK
400) 2010-1-P05H-prob2
Completar las coordenadas de plano PQR, si se le conoce una recta horizontal RS y que la distancia del
punto K al plano es de 10 unidades. S pertenece a PQ. Obtener todas las soluciones posibles.
K ( 15, 40, 25 )
P ( 5, 40, ¿? )
Q ( 20, 50, ¿? )
R ( 31, 30, 15 )
S ( 12, ¿?, ¿? )
Rpta:
S(12,44.6667,15)
zP1=11.9267
zQ1=18.5123
zP2=15
zQ2=15
OK
401) 2010-2-EXSH-prob2, 2010-2-EXSI-prob2 *
Obtener la orientación, la pendiente y la intersección con el eje Z de un plano que diste 20 unidades de
A, 30 unidades de B y 40 unidades de C. Indicar cuántas soluciones tiene el problema y presentar sólo
una de ellas.
A ( 15, 30, 40 )
B ( 90, 50, 50 )
C ( 5, 70, 70 )
Rpta:
Z1=-13.1981
Z2=13.7757 OK
Z3=28.9326 OK
Z4=86.5890
or1=N14º52’O OK
or2=N74º14’E
or3=N87º56’E OK
or4=N35º31’E
pe1=107.42%SO OK
pe2=23.00%SE
pe3=17.38%SE
pe4=29.28%SE
Nivel de Dificultad IV
402) 2003-1-P05L-prob2
Determinar el centro “O” de una esfera que pasa por los puntos A, B y C. La recta PQ es tangente a la
esfera.
A(22,12,28)
B(32,20,36)
C(41,28,23)
P (5,10,10)
Q (22,4,36)
Rpta:
O1(2.8470,53.7077,24.4835)
O2(48.1811,-0.8011,22.3247)
OK
403) 2003-1-P07I-prob2
Hallar el radio y las coordenadas del centro de una esfera que es tangente al plano PQR y que además
pasa por los puntos A, B y C.
A ( 53, 9, 13 )
B ( 72, 33, 13 )
C ( 87, 13, 13 )
P ( 20, 21, 30 )
Q ( 43, 62, 10 )
R ( 67, 42, 30 )
Rpta:
O(69.4730,15.4797,23.0085)
r=20.3351u
OK
404) 2003-1-P07J-prob2
Hallar el radio y las coordenadas del centro de una esfera que pasa por los puntos A, B y C. El plano
LMN es tangente a la esfera.
A ( 20, 16, 25 )
B ( 42, 5, 25 )
C ( 48, 20, 25 )
L ( 10, 32, 29 )
M ( 37, 47, 37 )
N ( 33, 26, 2 )
Rpta:
O1(34.1666,16.8333,18.5786) R1=15.5764u
O2(34.1666,16.8333 52.9953) R2=31.3867u
Esteban Ortiz Bosmans
OK
57/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 9:
TANGENCIA
405) 2003-1-EXFK-prob1
Dado un cubo ABCD-EFGH se pide determinar las coordenadas del centro y el radio de la esfera que es
tangente a dos caras que tienen a GH como arista común y que además pasa por los puntos A y B.
(EFGH encima de ABCD).
A ( 160, 60, 50 )
B ( 60, 60, 50 )
C ( 60, 156, 22 )
D ( 160, 156, 22)
Rpta:
O(110,100.0366,71.9555)
r=67.7124u
OK
406) 2003-1-EXFL-prob1
Hallar las coordenadas del centro de la esfera que es tangente a las rectas VP, VQ, VR siendo A un
punto que pertenece a la superficie esférica.
A ( 32, 30, 36 )
P ( 36, 20, 20)
Q ( 26, 34, 20 )
R ( 26, 20, 26 )
V ( 26, 20, 20 )
Rpta:
O1(32.8604, 26.8604,26.8604) O2(83.1396,77.1396,77.1396)
OK
407) 2007-2-EXFH-prob2 *
Una esfera con centro en A es tangente interior a un cono circular recto y tangente exterior a un cilindro
circular recto. Determinar el centro y el radio de la esfera. Se sabe que el cono y el cilindro tienen como
eje el segmento BC (B es el vértice del cono) y que ambas superficies pasan por el punto D. Obtener la
solución de menor radio.
A ( 65, 90, ¿? )
B ( 10, 25, 70 )
C ( 50, 40, 30 )
D ( 40, 10, 50 )
Rpta:
zA=22.5446
R=19.9814u
OK
408) 2007-2-EXSI-prob2
El plano vertical LMN es tangente a un cono circular recto de eje VO, siendo la recta CD la generatriz de
tangencia. La recta AB está contenida en la superficie del cono. Determinar la orientación y pendiente del
eje VO del cono.
A ( 40, 15, 30 )
B ( ¿?, 30, 45 )
C ( ¿?, 20, 40 )
D ( ¿?, 55, 40 )
M ( 10, 28, ¿? )
N (40, 53, ¿? )
Rpta:
V(6.4,25,40)
or1=N80º28’E
pe1=pe2=pe3=pe4=0%
xB=-10.4
or2=S80º28’O
xC=0.4
or3=?
xD=42.4
or4=?
OK
409) 2009-2-EXSH-prob1
Determinar la orientación y pendiente de un plano que haga 60º con el plano frontal y de perfil.
Rpta:
or1=or2=N45ºO
or3=or4=N45ºE
pe1=100%NE
pe3=100%NO
pe2=100%SO
pe4=100%SE
410) 2010-2-P05I-prob2
Dado un cilindro, trazar un plano tangente a él, pero que haga un ángulo de 60º con el plano vertical
PQR. El cilindro es circular oblicuo de eje ST y bases horizontales de radio 11 unidades. Indicar cuántas
soluciones tiene el problema y presentar sólo la intersección con el eje Z de una de ellas.
P ( 87, 7, ¿? )
Q ( 106, 23, ¿? )
S ( 36, 28, 43 )
T ( 71, 22, 71 )
Rpta:
z1=11.8759
z3=-87.8770
z2=29.2634
z4=-193.4401
OK
411) 2011-1-EXSH-prob2, 2011-1-EXSI-prob2
O Y O’ son los centros de dos esferas de 40 y 20 unidades de diámetro respectivamente. Trazar por P
un plano tangente a las dos esferas. Determinar su orientación, su pendiente y su intersección con el eje
Z de todas las soluciones posibles.
O ( 55, 15, 70 )
O’ ( 75, 30, 75 )
P ( 55, 40, 85 )
Rpta:
or1=N66º31’O
or2=N80º59’E
pe1=24.36%NE
pe2= 375.55%SE
I1(0,0,99.2747)
I2(0,0,-30.9890)
OK
Nivel de Dificultad V
412) 2007-3-EXFG-prob2
Pasar por M un plano que pase a una distancia de 15 unidades de N y que tenga una pendiente de
100%. Obtener la orientación de uno de los planos de solución y su intersección con el eje Z.
M ( 5, 25, 25 )
N ( 25, 15, 20 )
Rpta:
or1=N16º58’O
or2=N70º5’E
z1=12.925
z2=46.8030
OK
413) 2007-1-P09I-prob2
Obtener la intersección con el eje Z del plano de 30% de pendiente, que forma un ángulo de 40º con la
recta PQ y que contiene al punto M.
M ( 10, 10, 60 )
P ( 0, 85, 20 )
Q ( 50, 50, 70 )
Rpta.:
I1(0,0,64.2423)
Esteban Ortiz Bosmans
I2(0,0,55.9951)
OK
58/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 9:
TANGENCIA
414) 2011-1-P05I-prob2
Los puntos A y B pertenecen a la superficie de una esfera. Los planos principales horizontal y frontal son
tangentes a dicha esfera. Determinar las coordenadas del centro y el radio de dicha esfera. Obtener sólo
una de las soluciones.
A ( 12, 27, 7 )
B ( 30, 27, 22 )
Rpta:
O1(19.6463,16.1245,16.1245) O2(-4.2037,44.7444,44.7444)
r1=16.1245u
r2=44.7444u
Esteban Ortiz Bosmans
OK
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Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 10:
VARIADOS
Capítulo 10: VARIADOS
Nivel de Dificultad I
(Vacío)
Nivel de Dificultad II
415) 2006-1-EXSJ-prob2
Determinar las coordenadas de los vértices de la pirámide V-ABC sabiendo que las aristas hacen
ángulos iguales con la base ABC, que la longitud de VC es de 43 unidades, que C’ está contenido en la
recta VC, que VA tiene orientación Oeste y pendiente 100% descendente, y que VB es horizontal y tiene
orientación S40ºO. Determinar también el ángulo que hacen las aristas con la base ABC.
C’ ( 40, 10, 20 )
V ( 46, 55, 40 )
416) 2006-2-P08J-prob2
Rotar la recta AB alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que diste 20 unidades de la
recta CD también vertical. Determinar el menor ángulo de giro.
A ( 45, 75, 30 )
B( 100, 50, 60 )
C ( 40, 20, 0 )
E ( 70, 30, 0 )
Rpta:
ang=62º30’
A’(18.5409,28.5990,30)
B’(66.1092,65.8450,60)
OK
417) 2007-1-P08I-prob1
Hallar en el segmento de recta CD un punto cuya mínima distancia a la recta AB sea de 15 unidades.
A ( 40, 30, 25 )
B ( 55, 15, 40 )
C ( 30, 10, 40 )
D ( 45, 30, 20 )
Rpta.:
en CD: (34.1342,15.5122,34.4878)
418) 2010-2-P05H-prob1
Ubicar los posibles puntos C en el plano RST de tal manera que su distancia a los puntos A y B sea 20 y
10 unidades respectivamente.
A ( 42, 12, 26 )
B ( 41, 29, 21 )
R ( 28, 30, 23 )
S ( 54, 26, 36 )
T ( 46, 15, 8 )
Rpta:
C1(31.0959,28.3319,22.2094)
C2(33.5981,30.0756,27.6374)
OK
Nivel de Dificultad III
419) 2006-1-EXPH-prob2
PQRS es un tetraedro regular y M es el punto medio de RS. El plano PQR tiene una pendiente de 50%
Este. Determinar las coordenadas que faltan de los vértices del tetraedro. Tomar R detrás de P y a la
izquierda de Q. Recomendación: usar los comandos scale por referencia y align
P ( 10, 43, 10 )
M ( 15, ¿?, 30 )
Rpta:
yM=80.3832
Q(39.6650,79.4690,-4.8325)
S(33.4162,70.8088,43.2919)
R(-3.4162,89.9575,16.7081)
OK
420) 2006-1-EXSH-prob2 *
Un rayo luminoso parte del punto P, incide en el punto Q sobre un espejo curvo y al reflejarse llega al
punto R. La superficie del espejo curvo es el exterior de un cilindro circular recto de eje vertical cuya
base tiene centro en O y radio 35 unidades. Determinar las coordenadas del punto R y la longitud total
de la trayectoria sabiendo que la longitud de PQ y QR son iguales.
O ( 10, 10, 0 )
P ( 50, 80, 50 )
Q ( 40, ¿?, ¿? )
R ( ¿?, ¿?, 30 )
421) 2007-1-EXPI-prob2
LO es un lado descendente de un cuadrado LMNO. La recta horizontal PQ y el punto J están contenidos
en el plano del cuadrado y además el punto J está en la prolongación del lado ON. Completar las
coordenadas de los vértices del cuadrado y determinar la orientación y pendiente del plano que los
contiene.
J ( 50, 5, ¿? )
L ( 7, 42, ¿? )
O ( 12, 18, ¿? )
P ( 4, 33, 25 )
Q ( 22, 20, 25 )
Rpta.:
zJ=31.8180
M(37.9933,31.3970,54.9602)
or=N54º10’O
Esteban Ortiz Bosmans
zL=39.5790
N(42.9933,7.3970,28.3408)
pe=161.05%SO
zO=12.9596
OK
60/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 10:
VARIADOS
422) 2007-1-EXFH-prob1
Conectar los segmentos de recta AB y CD por uno tercero EF que mida 40 unidades y que tenga una
pendiente de 100% descendente. Obtener la orientación de EF y las coordenadas de los puntos E y F si
están contenidas en AB y CD respectivamente.
A ( 45, 70, 90 )
B ( 100, 10, 25 )
C ( 50, 55, 70 )
D ( 30, 30, 15 )
Rpta.:
E(65.4787,47.6595,65.7978)
F(38.1868,40.2334,37.5136)
or=S74º47’O
OK
423) 2007-1-EXSI-prob1
Determinar las coordenadas del punto D, sabiendo que está contenido en un plano vertical que pasa por
M y tiene orientación S50ºE. La distancia de AB a CD es 10 unidades y la distancia de CD a EF es 7.5
unidades. Obtener sólo una de las soluciones posibles.
A ( 10, 15, 23 )
B ( 23, 24, 12 )
C ( 21, 29, 34 )
E ( 26, 16, 25 )
F ( 37, 8, 30 )
M ( 40, 30, ¿? )
Rptas:
(194.4548,-99.6030,-250.2145) (23.5079,43.8385,39.1193)
(35.7269,33.5856,44.3470)
(140.9593,-54.7149,610.5045)
OK
424) 2009-1-EXSH-prob1
Pasar por PQ un plano que haga 30º con RS. Determinar su orientación y pendiente para todas las
soluciones posibles.
P ( 10, 30, 70 )
Q ( 35, 45, 60 )
R ( 10, 40, 65 )
S ( 40, 30, 65 )
Rpta:
or1=N71º52’E
or2=N22º45’E
pe1=154.40%NO
pe2=57.95%SE
425) 2010-1-P05I-prob1
Vienen dados la recta PQ y el punto O. Trazar por P rectas que corten a PQ bajo un ángulo de 30º y que
se encuentren a la distancia de 20 unidades del punto O. Dar todas las soluciones posibles de la
orientación y pendiente de estas rectas.
O ( 35, 10, 30 )
P ( 20, 35, 0 )
Q ( 5, 15, 25 )
Rpta:
or1=N1º44’E OK
or2=S1º44’O OK
pe1a=264.20%desc
pe2a=264.20%asc
pe1b=62.92%desc OK
pe2b=62.92%asc OK
426) 2010-1-P05I-prob2
Trazar una recta equidistante de las rectas AB, CD y EF y paralela a la recta GK. Determinar la distancia
común y la intersección de la recta con el plano horizontal. Presentar sólo una de las soluciones
A ( 5, 0, 12 )
B ( 19, 27, 30 )
C ( 26, 4, 35 )
D ( 42, 25, 18 )
E ( 60, 28, 10 )
F ( 73, 4, 20 )
G ( 37, 32, 25 )
K ( 58, 12, 37 )
Rpta:
dist1=12.4308u
dist2=25.2613u
dist3=29.0552u
dist4=155.2307u
I1(-05892,35.4374,0)
I2(0.3913,99.9869,0)
I3(-62.1032,16.7582,0)
I4(,,0)
OK
OK
427) 2010-2-P03H-prob2
Unir las rectas AB y CD mediante un segmento de recta EF de longitud igual a 10 unidades y que
además sea paralelo al plano LMN. Obtener todas las soluciones posibles de las coordenadas de E y F.
Tomar E en AB y F en CD.
A ( 40, 18, 56 )
B ( 73, 29, 42 )
C ( 47, 25, 38 )
D ( 61, 7, 70 )
L ( 35, 24, 73 )
M ( 44, 7, 81 )
N ( 52, 15, 62 )
Rpta:
E1(52.9021,22.3007,50.5264)
E2(44.7645,19.5882,53.9787)
F1(55.0960,14.5909,56.5051)
F2(50.4070,20.6196,45.7874)
OK
428) 2010-2-P05IH-prob2
El plano LMN tiene pendiente 60º y pasa a una distancia de 15 unidades de la recta PQ. Completar las
coordenadas de LMN. Indicar cuántas soluciones tiene el problema y presentar sólo una de ellas.
L ( 28, 34, ¿? )
M ( 50, 36, ¿? )
N ( 42, 23, ¿? )
P ( 20, 7, 33 )
Q ( 35, 20, 44 )
Rpta:
zL1=101.0342
zL2=51.2653
zL3=41.0342
zL4=-8.7347
zM1=89.8091
zM2=82.3686
zM3=29.8091
zM4=22.3686
zN1=74.2174
zN2=81.8232
zN3=14.2174
zN4=21.8232
Nivel de Dificultad IV
429) 2006-1-EXFH-prob2
El segmento AD es una diagonal mayor del hexágono regular ABCDEF. Completar las coordenadas de
los vértices del hexágono considerando al vértice B como aquel que dista de GH lo más posible.
Recomendación: capturar perpendicular hacia una elipse
Esteban Ortiz Bosmans
61/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
A ( 10, 45, 10 )
Rpta:
D ( 40, 30, 30 )
B(26.9699,41.5142,0.9933)
E(23.0301,33.4858,39.0067)
Capítulo 10:
VARIADOS
G ( 15, 50, 30 )
H ( 55, 70, 80 )
C(41.9699,34.0142,10.9933)
F(8.0301,40.9858,29.0067)
OK
430) 2006-1-EXFJ-prob2, 2006-2-P08H-prob2 *
Rotar el segmento AB alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que sea tangente a un
cono circular recto de eje también vertical. El punto V es el vértice del cono y su base tiene 20 unidades
de radio y centro en O. Determinar el menor ángulo de giro.
A ( 45, 75, 30 )
B ( 100, 50, 60 )
E ( 70, 30, 0 )
O ( 40, 20, 10 )
V ( 40, 20, 80 )
Rpta:
ang=78º33’
OK
431) 2007-1-EXFI-prob2 *
PQ es un segmento de 300% de pendiente descendente que dista 20 unidades de la recta horizontal RS.
El punto P está contenido en la recta TU y el punto Q también dista 20 unidades de la recta RS.
Determinar las coordenadas de los puntos P y Q de tal manera que el segmento PQ sea el de mayor
longitud posible.
R ( 35, 30, 30 )
S ( 65, 55, 30 )
T ( 70, 0, 35 )
U ( 35, 80, 70 )
Rpta.:
P(36.9371,75.5723,68.0629)
Q(46.4092,64.2058,23.6754)
OK
432) 2007-1-EXSI-prob2
Un plano π se interseca con el plano PQR y con el plano STU según las rectas HI y JK respectivamente.
Las rectas HI y JK hacen un ángulo de 60º. Hallar la orientación, pendiente e intersección con el plano
horizontal de la recta de intersección de los planos PQR y STU si se sabe que HK es frontal y que HI va
hacia atrás.
H ( 49, 15, 22 )
I ( 60, ¿?, 16 )
J ( 73, ¿?, 20 )
K ( 85, 15, 25 )
P ( 36, 42, 54 )
S ( 67, 4, 37 )
Rpta.:
or1=N39º03’E
or2=S39º03’O
int3=int4=(64.7022,-19.9914,0) or3=N29º39’O
or4=S29º39’E
int1=int2=(76.2373,62.5202,0)
pe1=64.84%desc
pe2=64.84%asc
pe3=232.81%asc
pe4=232.81%desc
OK
OK
433) 2007-2-P07H-prob1
Girar el plano ABC alrededor de un eje frontal que pasa por el punto D paralelo al plano hasta que forme
el mayor ángulo (agudo) posible con la recta EF. Obtener las coordenadas finales de los puntos A, B y C
luego efectuar el menor giro posible.
A ( 25, 30, 45 )
B ( 50, 15, 5)
C ( 50, 75, 5)
D ( 35, 40, 55 )
E ( 45, 50, 90 )
F ( 40, 15, 65 )
Rpta:
A’(39.0475,23.2033,53.7797)
B’(75.4259,16.4982,20.8912)
C’(29.9123,43.3187,-7.5548)
OK
434) 2007-2-EXPH-prob2
Dado el tetraedro irregular VPQR, determinar la orientación y pendiente de un plano en el cual el
tetraedro se proyecta como un paralelogramo.
P ( 60, 8, 52 )
Q ( 60, 47, 100 )
R ( 60, 33, 15 )
V ( 3, 50, 63 )
Rpta:
or1=N21º6’O
Vertical
OK
or2=N26º10’E
pe2=85.82%SE
OK
or3=N44º30’E
pe3=83.24%NO
(revisar)
435) 2007-2-EXFH-prob1 *
Una esfera muy pequeña resbala por la superficie superior de un cilindro a partir del punto I. Luego, cae
verticalmente sobre una esfera grande, resbala por su superficie y cae verticalmente sobre un cono. Al
llegar al borde del cono, cae verticalmente sobre el plano horizontal principal. Determinar la posición final
de la esfera pequeña y la longitud de su recorrido. El cilindro es circular recto, de radio 15 unidades y de
eje horizontal que pasa por el punto M y que tiene orientación N45ºE. La esfera grande tiene centro en N
y radio 30 unidades. El cono es circular y recto, de vértice en V y cuya base es de 50 unidades de radio
con centro en O. Considérese que la gravedad es tan grande que no permite que la esfera pequeña deje
de estar en contacto con la superficie por la que resbala.
I ( 90, 40, ¿? )
M ( 80, 20, 80 )
N ( 90, 50, 40 )
O ( 70, 15, 10 )
V ( 70, 15, 40 )
Rpta:
zI=93.2288
long=125.7370u
F(59.3006,63.8418,0)
OK
436) 2007-3-P07G-prob2
Girar el plano LMN alrededor del eje vertical que pasa por el punto E hasta que se encuentre a la
distancia de 20 unidades del punto O. Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas de las
posiciones finales de los puntos L, M y N luego del giro.
E ( 80, 35, ¿? )
L ( 50, 30, 70 )
M ( 60, 45, 80 )
N ( 70, 40, 60 )
O ( 95, 35, 75 )
Esteban Ortiz Bosmans
62/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Rpta:
ang=22º10’
L’(50.3308,41.6887,70)
M’(65.2513,51.8070,80)
Capítulo 10:
VARIADOS
N’(72.6256,43.4035,60)
OK
437) 2008-1-EXFI-prob1
Completar las coordenadas de la recta ascendente PQ sabiendo que mide 35 unidades. La recta PQ es
perpendicular a RS. RS mide 40 unidades. Tomar R debajo de S.
P ( 5, ¿?, 15 )
Q ( 20, 25, ¿? )
R ( 30, 25, ¿? )
S ( 30, 5, ¿? )
Rpta:
yP=-2.3861
zQ=30.8114
OK
438) 2009-2-EXFH-prob2 *
PQR es un triángulo cuyo perímetro mide 100 unidades. Obtener todas las soluciones posibles de Q, R y
U tal que el ángulo agudo entre UV y PQ sea máximo. Se sabe que Q es el punto medio de PV y que UV
contiene al vértice R.
P ( 30, 20, 15 )
U ( 15, ¿?, 25 )
V ( 5, 20, 100 )
Rpta:
Q(17.5,20,57.5)
R1(12.3258,7.2287,45.0565)
R2(12.3258,32.7713,45.0565)
yu1=2.5666
yu2=37.4334
OK
439) 2009-2-EXFI-prob2
El punto S pertenece al lado PQ de un triángulo PQR. El segmento RS mide 50 unidades. Elegir un
punto P tal que el ángulo PQR sea máximo. Obtener el alejamiento de P.
P ( 50, ¿?, 40 )
Q ( 70, 30, 20 )
R ( 70, 60, 80 )
Rpta:
y=93.1513
OK
440) 2009-3-P03G-prob2 *
Determinar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC, contenido en un plano vertical, sabiendo
que A pertenece a la recta PQ, que C pertenece a la recta RS, que AB tiene orientación N80ºO y
pendiente 20%asc, y que el ángulo ACB es de 110º. Tomar C arriba de A.
B ( 20, ¿?, ¿? )
P ( 55, 25, 15 )
Q ( 15, 90, 80 )
R ( 45, 60, 20 )
S ( 10, 15, 60 )
Rpta:
A(48.3492,35.8075,25.8075)
B(20,40.8063,31.5648)
C(28.8569,39.2446,38.4493)
OK
441) 2011-1-EXFH-prob2 *
Cierto plano contiene a un cuadrilátero ABCD. Se sabe que la diagonal AC del cuadrilátero mide 40
unidades, que las longitud de AB es el doble de la longitud de BC, que el ángulo ABC mide 50º, que el
perímetro del cuadrilátero es de 150 unidades y que la recta LM contiene al vértice D. Determinar las
coordenadas de los vértices del cuadrilátero y la orientación y pendiente del plano que lo contiene.
Tomar A a la izquierda de C, B Arriba de C y D abajo de A.
A ( ¿?, 25, 25 )
B ( ¿?, 40, ¿? )
C ( ¿?, 50, 50 )
L ( 80, 50, 5 )
M ( 55, 20, 85 )
Rpta:
xA=61.9273
xC=80.6356
B(73.8117,40,72.6314)
D(78.5661,48.2793,9.5885)
or=N36º4’E
pe=6121.56%NO
OK
442) 2011-1-EXFI-prob2 *
Cierto plano contiene a un cuadrilátero ABCD. Se sabe que la diagonal AC del cuadrilátero mide 40
unidades, que las longitud de AB es el doble de la longitud de BC, que los ángulos ABC y ADC miden
50º cada uno y que la recta LM contiene al vértice D. Determinar las coordenadas de los vértices del
cuadrilátero y la orientación y pendiente del plano que lo contiene. Tomar A a la izquierda de C, B Arriba
de C y D abajo de A.
A ( ¿?, 25, 25 )
B ( ¿?, 40, ¿? )
C ( ¿?, 50, 50 )
L ( 80, 50, 5 )
M ( 55, 20, 85 )
Rpta:
xA=62.5411
or=N36º4’E
xC=81.2494
pe=6121.56%NO
B(74.4255,40,72.6314)
D(81.7815,52.1378,-0.7007)
OK
Nivel de Dificultad V
443) 2010-2-P04H-prob2
Mediante un solo giro, rotar la recta AB alrededor de un eje que convenientemente elegirá el alumno
hasta que sea perpendicular a la recta CD, para obtener el menor ángulo de giro posible y la orientación
y pendiente del dicho eje.
A ( 25, 15, 75 )
B ( 45, 35, 55 )
C ( 55, 25, 70 )
D ( 75, 35, 75 )
Rpta:
ang=39º3’
Esteban Ortiz Bosmans
or1=N30º58’O
or2=S30º58’E
pe1=34.30%asc
pe2=34.30%desc
OK
63/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Capítulo 11:
SOLUCIONES
Capítulo 11: SOLUCIONES
Solución 24) 2011-1-P01I-prob2:
Solución 203) 2011-1-P03I-prob1:
Solución 213) 2010-2-P03H-prob1:
Solución 214) 2011-1-P03H-prob1:
Esteban Ortiz Bosmans
64/65
Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II
Ciclo 2019-2
Solución 215) 2010-1-P03I-prob1:
Capítulo 1:
Solución 216) 2010-2-P03I-prob1:
Solución 217) 2010-1-P03H-prob1:
Esteban Ortiz Bosmans
65/65