MATEMÁTICA
3°
Este procedimiento nos permite descomponer una expresión algebraica en el producto de dos o más
factores literales, enteros y de bases primas.
1) MÉTODO DE FACTOR COMÚN
El factor común es aquel que se repite en todos y cada uno de los términos de una expresión.
Para factorizar se extrae el factor común elevado a su menor exponente.
Factorizar:
P = 4x3y4z4+2x3y3z5+4x2y5z4+2x2y4z5
Solución:
2) MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
En este método se hará uso de los productos notables.
1) Trinomio cuadrado perfecto
2
x2  2xy+y2   x  y 
2) Diferencia de cuadrado
x2-y2 = (x+y)(x-y)
3) Suma de cubos
x3+y3 = (x+y)(x2-xy+y2)
4) Diferencia de cubos
x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2)
3) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Se emplea en trinomios de la forma
ax2m+bxm+c
ó
ax2m+bxmyn+cy2n
Regla:
-
Se descomponen los términos extremos.
Se calcula la suma del producto en aspa.
Dicha suma del producto en aspa tiene que ser exactamente igual al término central, inclusive el
signo.
Factorizar: x2 + 7x + 10
División Algebraica
MATEMÁTICA
3°
Solución:
Los factores se toman horizontalmente (  )
 (x  5)(x  2)
Factorizar: 3x4-52y3-2y6
Solución:
4) MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Este método se emplea para factorizar polinomios de cualquier grado, generalmente de una sola variable
y homogéneos.
Regla:
1) Se buscan los valores que anulen al polinomio (ceros del polinomio)
Si se anula para x = a  (x-a) es factor.
Si se anula para x = -b  (x+b) es factor.
a
 (bx  a) es factor.
b
a
Si se anula para x=   (bx  a ) es factor.
b
Si se anula para x=
2) Luego de calcular el factor, o factores binómicos; para calcular el otro factor se tendrá que dividir el
polinomio inicial entre los factores binómicos obtenidos, utilizando el método de Ruffini.
Nota:
Regla para calcular los posibles ceros
* Para hallar los valores de “x” a probar, se divide un divisor del término independiente entre un divisor del
primer coeficiente.
Factorizar:
P = x3 + x2 – 17x – 30
Solución:
Posibles ceros:  1,  2,  3,  5,...
“P” se anula para : x = -2  (x+2) es factor Por Ruffini:
1
1
-17
-30
División Algebraica
MATEMÁTICA
X = -2
1
-2
2
30
-1
-15
0
3°
 (x+2) (x2-x-15)
Factorizar: E = 9x3+3x2+4x-2
Solución:
Posibles ceros:  1,2,1 / 3,1 / 9,2 / 3,2 / 9
“E” se anula para: x =
9
X = 1/3
9
1
 (3 x  1) es factor.
3
3
4
-2
3
2
2
6
6
0
entre: 3
3
2
2
3x2 + 2x + 2
(3x-1)(3x2+2x+2)
EJERCICIOS EN CLASE:
1) Factorizar los siguientes polinomios aplicando:
(i) Factor común – Agrupación.
a) (x+3)(x+2)(x+1)+(x+2)(x+1)+x+1
b) xyyx + xy + xy+1 + yx+1
c) 3m2 – 6mm + 4m –8n
d) ax – ay + az + x – y + z
e) 12m2n + 24m3n2 – 36m4n3 + 48m5n4
(ii) Identidades (diferencia de cuadrados – Trinomio cuadrado perfecto – Suma o diferencia de cubos).
a) x6 – y6
División Algebraica
MATEMÁTICA
3°
b) 4a2x – 1/25
c) x2 + 6x + 9
d) 4x2 + x +
1
16
e) 1 – x3
f)
8 – 27y3
g) (a+b)2 – 2(a+b)(x+a)+(x+a)2
h) (a+b)3 – (x-1)3
i) (a+b+2c)3 + (a-b-2c)3
(iii) Aspa simple.
a) 15m2n2 – 4x2 – 7mnx
b) x8 – 25x5 – 54x2
c) 32x7y + 28x4y – 4xy
d) x4n + x2n - 2
e) x6 – 6x3 - 7
(iv) Evaluación (divisores binómicos)
a) x4-4x3-x2+16x-12
b) x5+4x4-10x2-x+6
2) Factorizar:
x2-y2-z2-14x+2yz+49
Rpta. : (x-7+y-z) (x-7-y+z)
3) Hallar la suma de los factores primos de:
x2 – x y – y – 1
Rpta. : 2x – y.
4) Hallar la suma de los factores primos de
x4 - 13x2 + 36
Rpta. : 4x
División Algebraica
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3°
5) (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) –15
6) Hallar el producto de los términos independientes de los factores primos de:
(x-1) (x+1) (x-2) (x-4) – 112
Rpta. : - 120
7) Factorizar:
x6 - 7x3 – 8
Rpta. : (x-2)(x2+2x+4)(x+1)(x2-x+1)
8) Hallar el factor primo con 2 términos al factorizar:
a2 - 3ab + ac + 2b2 - 2bc
Rpta. : (a – 2b)
9) Si x-5 es factor de x3-6x2-x+30, hallar la suma de los otros 2 factores.
X3 - 6x2 - x + 30
Rpta. 2x – 1
10) Factorizar:
x4 + 9x2 + 81
Rpta. : (x2+3x+9)(x2+9-3x)
11) El valor de “m” para que el trinomio:
x2 +
1
xm
5
Sea un trinomio cuadrado perfecto es:
Rpta. : 10-2
12) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:
20x4 + 31x2 – 9
Rpta. : 9
13) Uno de los factores primos de:
a2 – 3ab – ac + 2b2 – 2bc
es:
Rpta. : a – 2b
14) Uno de los factores de
División Algebraica
MATEMÁTICA
3°
x2 + 4xy + 4y + 2x + 4y2 es:
Rpta. : x + 2y
15) Al factorizar:
2x4 + 3x2 + x + 3
La suma de los factores primos es:
Rpta. : 3x2 – x + 4
16) Al factorizar el polinomio:
(x2 - y2 + 1)2 + 10(x2 - y2) + 19
El factor primo que tiene mayor término independiente es:
Rpta. : x2 - y2 + 10
17) Al factorizar:
(a - b)(a2 - c2) - (a - c)(a2 - b2)
Se obtiene:
Rpta. : (a-b)(a-c)(c-b)
18) Al factorizar el polinomio:
(x - 2)2 (x2 - 4x + 6) – 15
El factor primo que tiene mayor suma de coeficientes es:
Rpta. : x2 - 4x + 9
19) Uno de los factores primos de:
x2 - 4x - 25y2 + 4
es:
Rpta. : x - 5y - 2
20) ¿Cuántos factores primos tiene la expresión:
mn (x2 - y2) + xy(m2 - n2)?
Rpta. : 2
TAREA
BLOQUE I
1) Hallar la suma de los factores primos de:
(x-1)(x-2)(x-3)+(x-1)(x-2)-(x-1)+3(x-1)(x-3)
a) 3x-2
d) –3x
b) 3x+2
e) N.A.
c) 3x
División Algebraica
MATEMÁTICA
2) Hallar el factor de 2 términos:
2am – 2an + 2a - m + n - 1
a) 2a+1
d) 2a+3
3)
b) a+2
e) N.A.
c) 2a-1
1 b b2
factorizado es:
 
4 3 9
2
2
1 b
1 b
a)   
b)   
2 3
2 3
1

c)   3b 
2

2
b

d)  2  
3

2
e) N.A.
4) Hallar la suma de los factores primos de:
1 - a2 - d2 - 2ad
a) a +d
c) 2 + ad
e) 2a + 2d
b) a - d
d) 2
5) Hallar la suma de los factores primos de:
x5 - 40x3 + 144x
a) 5x
c) 4x
e) N.A.
b) 6x
d) 36
6) Hallar la suma de los factores primos de
x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12
a) 4x-4
b) 4x+4
c) 4x
d) 4x-3
e) 2x+3
7) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:
9m2 + 12mn + 6m + 4n + 4n2
a) 1
b) 0
c) 3
d) 2
e) 5
División Algebraica
3°
MATEMÁTICA
8) La suma de los tres factores primos del polinomio:
8x3 - 12x2 - 2x + 3
a) 5x + 2
b) 3x + 2
c) 6x - 3
es:
d) 6x - 1
e) 6x - 5
9) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:
4x4 + 4xy2 - y4 + 1
a) 0
b) -1
c) -2
d) 3
e) 2
BLOQUE II
1) Señalar uno de los factores de:
x2 - 4xy + 4y2 - 9x + 18y + 8
a) x-2y+1
b) x-2y+3
c) x-2y-1
d) x-2y+6
e) x-2y-2
2) ¿Cuántos factores primos lineales admite:
X5 - 4x3 + x2 - 4?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 3
3) Factorizar: (am + bn)2 + (an – bm)2
4) Al factorizar:
(c–a–b) – (a+b+c)(a+b)
Se obtiene:
5) Un factor de a (a-1)+a3-1 es:
a) 1 - a
b) a + 1
c) a + 2
d) a - 2
e) a
6) Al factorizar: x5-x4-x+1
División Algebraica
3°
MATEMÁTICA
¿cuántos factores primos se obtienen?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7) Un factor primo de:
P(x) = x6 - x2 - 8x - 16 es:
a) x3+2x+1
b) x3-x+7
c) x3+x+4
d) x3+x-4
e) x3+x-1
8) Señalar uno de los factores de:
f(x) = x4 - 8x2 - 9
d) x2+2
e) x2-2
a) x-3
b) x+6
c) 2x+5
9) La suma de los factores primos de primer grado del polinomio:
8x6 + 7x3 – 1
a) 3x - 1
b) 2x - 3
c) 4x -1
es:
d) 3x
e) 2x + 1
10) El número de factores primos de:
20x4 - x2 - 1
a) 2
b) 3
c) 4
es:
d) 5
BLOQUE III
1) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos en:
P(x) = 4x2 – 3x2 - 1
a) 0
b) 1
c) 2
d) -2
e) 3
2) ¿Cuántos factores primos lineales tiene
P(x) si : P(x) = 3x6 – 2x -1
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
División Algebraica
3°
MATEMÁTICA
3°
c) 3
3) Al factorizar:
5x2 + 7xy + 2y2 + 8x + 5y + 3
a) (5x-2y+3) (x+y+1)
b) (5x-2y-3) (x+y+1)
c) (5x +2y-3) (x+y+1)
d) (5x+2y+3)(x+y+1)
e) (5x–2y+3) (x-y+1)
4) Uno de los factores de:
(x - 1)4 + (x - 1)2 – 6
a) x - 1
b) x2 - 2x - 1
c) x2 + 2x - 3
d) x2 - 1
e) x2 + x - 1
5) Factorizar: x3 - 2x2 + 1
6) Factorizar:
1 + x (x + 1) (x + 2) (x + 3)
7) Factorizar:
x(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1
Hallar la suma de los Factores primos.
a) x2+3x+1
b) 2x2+6x+2
c) 2x2+8x
d) 4x2+12x
e) N.A.
8) El valor de “m” para que el trinomio :
2mx2 – 3mxy + 9y2 sea cuadrado perfecto es:
a) 8
b) 4
c) 6
d) 12
e) 16
9) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:
P(x) = x3 - 13x + 12
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
10) Factorizar:
x3 - 6x2 + 5x + q si x+1 es factor y dar como respuesta el mayor de los valores obtenidos al
reemplazar por –1 en cada Factor.
División Algebraica
MATEMÁTICA
a) 10
d) 9
b) 12
e) 8
c) 11
BLOQUE IV
1) Factorizar:
x4 + y4 + (x + y)4
a) (x2+y2+xy)2
d) (x2-y2+xy)2
b) (x2-y2+xy)2
e) N.A.
c) 2(x2+y2+xy)2
2) La diferencia de los factores primos del polinomio:
x4 - x2y2 + 16y4
es:
a)  2 xy
d) x2 - y
b)  6 xy
e)  4 xy
c) 0
3) ¿Cuántos factores lineales tiene la expresión: a2 + 4b4?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) ninguno
4) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de P(x) si:
P(x) = x4 + 2x2 + 9
a) 6
b) 3
c) 2
d) 5
e) 8
5) ¿Cuántos factores primos de 2º grado se obtiene al factorizar:
81x4 + 2x4 + 1?
a) 2
b) 1
c) 3
d) 4
e) ninguno
6) Uno de los factores primos de:
División Algebraica
3°
MATEMÁTICA
x8 + x4 + 1
a) x2-x-1
d) x2-x+1
b) x2+x-1
e) x4+x2-1
c) –x2+x+1
7) Hallar la suma de factores primos que se obtienen al factorizar : 4x4 - 45x2 + 81
a) 2x
b) 3x
c) 4x
d) 5x
e) 6x
8) ¿Cuál es la suma de los términos independiente de los factores primos de
m4 + m2 + 1?
a) -1
b) 2
c) -2
d) 4
e) 3
9) Señalar uno de los factores de:
P(x) = 18x4 + 55x2 - 28
a) 3x - 6
d) 3x + 2
b) 6x - 3
e) 3x - 7
c) 5x + 1
10) El número de factores primos de :
36x4y2 – 9x3y3 – 10x2y4
es:
a) 3
d) 6
b) 4
e) 2
c) 5
RESPUESTAS
BLOQUE I
BLOQUE II
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
A
C
B
D
A
A
D
(c-2m+2)(c-2m-1)
C
E
E
B
B
C
C
A
División Algebraica
3°
MATEMÁTICA
9) C
10) E
9) E
10) B
BLOQUE III
BLOQUE IV
1) B
2) A
3) D
4) B
5) C
6) D
7) A
8) A
9) A
10) B
1) C
2) B
3) E
4) A
5) E
6) D
7) E
8) B
9) D
10) B
División Algebraica
3°