Guía Nro 2: TEORIA DE CONJUNTOS
Mg. Ronald Bladimiro Ticona Méndez
1.
como sigue:
¾Que es un conjunto?
A⊂B
Un conjunto es una colección, agrupación o reunión
de en un todo de objetos bien denidos y diferenciables
entre si, que se llaman elementos del mismo.
Notación. Un conjunto usualmente se denota por
letras mayúsculas A, B, C, etc. La notación estándar
utiliza llaves { } alrededor de la lista de elementos para
indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:
A = {rojo, amarillo, azul},
B = {rojo, azul, amarillo, rojo},
C = {x/x es un color primario}, etc.
y los elementos que lo determinan se designan por
los letras minúsculas a, b, c, etc.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la
relación de pertenencia a ∈ A.
1.1.
⇐⇒
[∀x ∈ A, ∀x ∈ B]
⇐⇒
[∀x ∈ A, x ∈ A =⇒ x ∈ B]
Se dice que A está incluido en B , o que A está
contenida en B .
1.3.
Tipos de conjuntos
1.3.1. Conjunto vacío o nulo φ
El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.
Ejemplo 1.3.
elemento.
A = { }; El conjunto A no posee ningún
Ejemplo 1.4.
B = { números impares entre 5 y 7 }
No existe ningún numero impar entre los números 5
y 7.
Determinación de Conjuntos
Un conjunto se puede determinar de dos maneras:
Por extensión y por comprensión.
1.3.2. El conjunto unitario
Determinación de un Conjunto por Extensión
El conjunto unitario es aquel que posee solamente un
elemento.
Un conjunto está determinado por extensión cuando
se escriben uno a uno todos sus elementos.
res de 8 y menores de 10:
Ejemplo 1.5. El conjunto de números naturales mayoC = {9}
Ejemplo 1.1. El conjunto de los números naturales menores que 9. Se escribe:
El único elemento es el número 9.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Ejemplo 1.6. Conjunto de satélites naturales de la Tierra
Determinación de un Conjunto por Comprensión
El conjunto está formado por un solo elemento, porque
la Tierra solo posee un satélite natural, la Luna.
Un conjunto está determinado por comprensión
cuando solamente se menciona una característica común
de todos los elementos.
Conjunto nito
Ejemplo 1.2. El conjunto formado por las letras voca-
1.3.3. Conjunto nito
les del abecedario. Se escribe:
B = {x/x es una vocal}
1.2.
S = {Luna}
Un conjunto es nito, cuando posee un comienzo y
un nal, en otras palabras, es cuando los elementos del
conjunto se pueden determinar o contar.
Inclusión de conjuntos
Ejemplo 1.7. Conjunto de números pares entre 10 y
Se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento del conjunto B , denotado
por A ⊂ B . Formalmente, esta denición es simbolizada
40:
R = {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}
1
Ejemplo 2.1. Si tenemos los conjuntos A =
{1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} , la unión de ellos
Ejemplo 1.8. Conjunto de las páginas de un libro:
T = { páginas de un libro}
es el conjunto
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
.
Propiedades
1.3.4. Conjunto innito
El conjunto es innito, cuando posee un inicio pero
no tiene n. Es decir, que la cantidad de elementos que
conforman el conjunto no se puede determinar.
1. A ∪ A = A
Ejemplo 1.9. El conjunto de los números naturales:
2. A ∪ B = B ∪ A
La unión de conjunto cumple la siguiente propiedad.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...}
3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
El conjunto de los números naturales es innito, puesto que no es posible contar la totalidad de elementos
(números) que conforman el conjunto.
4. A ∪ φ = A
5. Si A ⊆ B =⇒ A ∪ B = B
Ejemplo 1.10. El conjunto de los peces en el mar:
P = { los peces en el mar}
2.2.
Intersección de Conjuntos
Se dene la intersección de A y B , denotada por A∩B
(que se lee A intersección B ), por el conjunto
1.3.5. El conjunto universal
El conjunto universal o referencia, es el formado por
un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos. Para representar que un conjunto es universal se
utiliza la vocal U mayúscula.
A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B}
En términos prácticos, la intersección de dos conjuntos
es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos.
Ejemplo 1.11. Los conjuntos universales mas impor-
tantes es: N(números naturales), Z(números enteros),
Q(números racionales), R(números reales) y C(números
complejos).
2.
Operaciones entre conjuntos
Con respecto a un conjunto universal U y a dos conjuntos A y B se tiene la siguientes operaciones.
2.1.
Figura 2: A ∩ B
Ejemplo 2.2. Si tenemos los conjuntos A =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y B = {4, 5, 6, 7} , el conjunto in-
Unión de conjuntos
tersección es
Se dene la unión de A con B , denotada por A ∪ B
(que se lee A unión B ), por el conjunto
A ∩ B = {4, 5, 6, 7}
Observación. Dos pares de conjuntos A y B se llaman disjuntos siempre que A ∩ B = φ .
A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B}
En términos prácticos, la unión de dos conjuntos es el
conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos.
Propiedades
1. A ∩ A = A
2. A ∩ B = B ∩ A
3. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
4. A ∩ φ = φ
Figura 1: A ∪ B
5. Si A ⊆ B =⇒ A ∩ B = A
2
2.3.
U
Diferencia de Conjuntos
Se dene la diferencia de A con B , denotada porA −
B (que se lee A menos m), por el conjunto
Ac
A − B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
En términos prácticos, la diferencia de un conjunto A
con un conjunto B , en ese orden, es el conjunto formado
por todos los elementos que están en A pero no están en
B.
Figura 5: A 4 B
En términos prácticos, el complemento de un conjunto es todo lo que no está en el conjunto.
Ejemplo 2.3. Si tenemos los conjuntos
U =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {1, 3, 5, 7, 9} , entonces
el complemento de A es el conjunto Ac = {0, 2, 4, 6, 8}
Propiedades
(a)
(b)
A−B
1. (Ac )c = A
B−A
2. U c = φ
Figura 3: Diferencia de conjuntos
3. φc = U
Ejemplo. Si tenemos los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
4. A ⊆ B =⇒ B c ⊆ Ac
y B = {3, 5} , entonces el conjunto diferencia de A con
B es
2.6.
A − B = {1, 2, 4, 6}
2.4.
tos
Diferencia simétrica
Propiedades combinadas
Se cumplen las siguientes propiedades entre conjun-
1. A − B = A ∩ B c
Se dene la diferencia simétrica de A con B , denotada porA4B , por el conjunto
2. A ∩ Ac = φ
A4B = {x ∈ U/(x ∈ A ∧ x ∈
/ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈
/ A)}
3. A ∪ Ac = U
4. Leyes de distribución
a ) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
b ) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
5. Leyes de de Morgan
a ) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
b ) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
Figura 4: A 4 B
6. Leyes Absorción
a ) A ∩ (A ∪ B) = A
b ) A ∪ (A ∩ B) = A
Es el conjunto formado por la reunión de aquellos
elementos que pertenecen exclusivamente a uno solo de
los conjuntos.
Observación. A4B = (A − B) ∪ (B − A)
2.5.
3.
Conjunto potencia
Es el conjunto formado por todos los subconjuntos
de A, incluye el conjunto vacío φ:
Complemento de un Conjunto
Sea A un conjunto dentro de un conjunto universo U .
Se dene el complemento de A, denotado por Ac (que se
lee A complemento), al conjunto
P (A) = {X / X ⊂ A}
Un elemento de P (A) es un subconjunto de A, es decir:
Ac = {x ∈ U/x ∈
/ A}
X ∈ P (A) ⇐⇒ X ⊂ A
3
4.
Número
de
elementos
de
4. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
U = {x/x ∈ N ∧ x ≤ 12} conjunto universal
un
conjunto
Dado un conjunto A, la familia de elementos de este
conjunto se llama número cardinal de A y se denota
por Card(A) o n(A) y se lee: cardinal de un conjunto
de A.
3x−2
∈ U/x ∈ N ∧ x ≤ 8
2
2
5. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, escriba la negación de la proposición
propuesta.
A
=
{x ∈ N/0 < x < 8}
y B
=
2. Si A ∩ B = φ, entonces n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
{y ∈ N/0 ≤ y ≤ 7}
a ) p : ∀x ∈ A/ x3 ∈ B
b ) q : [∃y ∈ B/2y − 2 ≤ 5]
c ) r : [∃x ∈ A, ∀y ∈ B/x + y > 6]
d ) s : [∀x ∈ A, ∃y ∈ B /x + y = 5]
3. n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
Ejercicios propuestos:
1. Dado los conjuntos A = {2, 3; 4; {2, 3}; {5}; {{1}, 7}; {1}},
B = {2; 1; {2, 4}; {2, 5}; {2}; ϕ} y
6. Dada las proposiciones compuestas:
∼ [∼ (∼ p → t) ∨ ∼ (∼ w ∧ s)] ∆ [(p →∼ r) ↔∼ q]
verdadera y (∼ p ∧ q) → r falsa.
C = {4; {2, 4}, {2}, ϕ, {2, 5}}} determine el valor
de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
Hallar el valor de verdad de:
a ) [∼ (p∆q) → (∼ q → t)] ∨ (r ↔∼ s)
b ) [(w ↔∼ t) ∆ ∼ r] → {p ∨ (q ∧ p)}
a ) ({2, 3} ∈ A) ↔ ({4, {1}} ⊂ A)
b ) [({{2, 4}, 1} ⊂ B) ∧ ({5} ∈ A)] → (2 ∈ B)
7. Si A = {x ∈ Z / − 3 ≤ x < 11, x 6= 9} y
B = {x ∈ Z / − 4 ≤ x ≤ 1 }. Determine el valor de
verdad de la siguientes proposiciones (justique su
respuesta) y luego niegue cada una de las siguientes proposiciones:
c ) (A ∩ B = {2}) ∨ (B − C = {2, 1})
2. Dado el conjunto universal U = {x ∈ Z/ − 2 ≤ x ≤ 3},
determinar por extensión los siguientes conjuntos:
3
B=
o
a ) (Ac − U c )c − (B c ∪ C c )
c
b ) [B c ∪ (A ∩ B c )c ]
1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2x+1
∈ U/x ∈ N ∧ x ≤ 7
Determinar:
Propiedades
A=
x2 −1
4
C = x + 1/x ∈ Z; −2 ≤ x ≤ 3 ⊂ U
del conjunto A es: n(A) = 3.
5.
n
Ejemplo 4.1. Si A = {a, b, d} el número de elementos
4.1.
A=
∈ IN/x ∈ IN ∧ 2 ≤ x + 1 < 6 ,
a ) p : [ ∃ x ∈ A / x2 + 1 = 2]
(x−1)2
x−1 =
2
B = {x ∈ U/ − 1 ≤ 3x + 3 ≤ 2}
b) q : [ ∀ x ∈ R /
C = {3x + 1/x ∈ U ∧ 1 < x ≤ 6}
c ) r : [ ∀x ∈ B : 1 − x ≤ x + 1 ]
√
d ) s : [ ∃x ∈ A/ x2 6= x ]
Realice las siguientes operaciones:
x−1 ]
8. Si ∼ [(∼ p → q)∨ ∼ (r ∨ q)] ↔ [(r ∨ s) → t] es verdadera, y siendo t ≡ V ; hallar el valor de verdad
de las proposiciones p, q y r; además utilizar estos
resultados para evaluar el valor de verdad de:
a ) (A ∩ B)c − C
b ) (A∆B) ∪ (B − A)
c ) (C − B = {4}) ∆ ({{1}, 7} ∈ A)
3. Sea U = {x ∈ IN/1 ≤ x < 13 ∧ x 6= 3} el conjunto
universo.
[(r4 ∼ p) → q ↔ (∼ q ∨ r)]∧ ∼ [p ↔ (q∨ ∼ r)]
Sean los conjuntos: A = x ∈ N/60 ≤ x2 < 130 ,
9. En un centro de idiomas hay 67 alumnos, de los
cuales 47 estudian inglés, 35 alemán y 23 ambos
idiomas. ¾Cuántos no estudian ninguno de los dos
idiomas? Rpta. 8.
B = {2x − 2 ∈ U/x ∈ N ∧ 6 ≤ x + 3 ≤ 10} y
C = {x ∈ U/3x ≤ 12}
Hallar:
10. Se reúnen 60 socios en un club deportivos de los
cuales 21 practican tenis, 18 golf y 10 practican solo tenis. ¾Cuántos socios practican otros deportes?
Rpta. 32.
a ) (A ∪ B) ∆C
c
b ) C ∩ (B c − A)
4
11. De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se
inscribieron en natación y 135 en gimnasia; si 30
no se inscribieron en ninguna de las dos disciplinas,
¾Cuántos se inscribieron en ambas? Rpta. 25.
48 % francés; 8 % francés e ingles; 24 % ninguno de
los tres idiomas. ¾Qué porcentaje estudiaba inglés?
Rpta 18.
18. En una universidad, 100 alumnos han rendido 3
exámenes. De ellos, 40 aprobaron el primero, 39 el
segundo y 48 el tercer examen. Aprobaron 10 los
tres exámenes, 21 no aprobaron examen alguno, 9
aprobaron los dos primeros pero no el tercero, 19
aprobaron solo el tercer examen, 15 aprobaron el
primer y tercer examen. Calcule:
12. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revista A y B. Se observa
que los que leen las dos revistas son el doble de
los que leen solo A, el triple de los que leen solo B
y el cuádruple de los que no leen ninguna de las
dos revistas. ¾Cuántas personas leen la revista A?
Rpta. 36.
a ) ¾Cuántos alumnos aprobaron solo dos exáme-
13. Se realizó una encuesta a 11 personas sobre sus
preferencias por dos tipos de productos A y B. Se
obtuvieron los siguientes resultados: el número de
personas que prerieron uno solo de los productos
fueron 7. El número de personas que prerieron
ambos productos fue igual al número de personas
que no prerió ninguno de los dos productos. El
número de personas que no preeren el producto
A y prerieron el producto B fueron 3. Se desea
saber:
b)
c)
d)
e)
a ) ¾Cuántas personas preeren el producto A?
nes? Rpta 28
¾Cuántos alumnos aprobaron al menos dos
exámenes? Rpta. 38
¾Cuántos alumnos aprobaron el primero y el
tercero pero no el segundo? Rpta. 5
¾Cuántos alumnos aprobaron solo el tercer
examen? Rpta. 19
¾Cuántos alumnos aprobaron el primer y segundo examen? Rpta. 19
19. En un edicio donde hay 33 personas, 16 realizan
compras en el mercado; 15 en la bodega y 18 en el
supermercado; 5 en los dos últimos sitios, 6 en los
dos primero; y 7 en el primero y el último. Halle:
Rpta. 6
b ) ¾Cuántas personas preeren el producto B solamente? Rpta. 3
c ) ¾Cuántas personas preeren ambos productos? Rpta. 2
a ) ¾Cuántas personas compraron solo en el mer-
cado? Rpta. 5
b ) ¾Cuántas personas compraron en la bodega y
en el supermercado? Rpta. 5
c ) ¾Cuántas personas compraron solamente en
el supermercado? Rpta.8
14. De un grupo de 590 alumnos, se observó que 200 no
postulan a la UNI; 300 no postulan a San Marcos
y 50 no postulan a ninguna de estas dos. ¾Cuántos
postularon a ambas universidades? Rpta. 140.
15. En una encuesta realizada sobre un determinado
número de profesionales se observa que el 72 %
son matemáticos, el 52 % físicos, el 37 % químicos, el 32 % físico-matemáticos, el 12 % físicoquímicos, el 22 % matemático-químicos y el 2 %
físico- matemático-químicos. Halle:
20. La cha de datos personales llenados por 74 estudiantes que ingresaron a la UCSP , es el siguiente:
20 estudiantes son de Lima.
49 se prepararon en la academia.
27 postularon por primera vez.
13 de Lima se prepararon en la academia.
17 postularon por primera vez y se prepararon en
la academia.
7 de lima postularon por primera vez.
8 de provincias, que no se prepararon en la academia, postularon por primera vez.
Halle respectivamente:
a ) El porcentaje de encuestados que han seguido
una de la tres carreras. Rpta. 35.
b ) El porcentaje de encuestados que han seguido
otras carreras. Rpta 3.
16. ¾Cuántos de 2000 alumnos están inscritos en economía pero no en comunicación, sabiendo que 1050
están inscritos en economía, 750 en comunicación,
650 en economía y matemática básica, 350 en comunicación y economía, 300 en matemática básica
y comunicación, 1150 en matemática básica y 200
llevan las tres materias? Rpta 700
a ) ¾Cuántos alumnos de Lima que se prepara-
ron en academia postularon por primera vez?
Rpta 7
b ) ¾Cuántos alumnos de provincias que no se
prepararon en academias postularon más de
una vez? Rpta 10
17. En una encuesta realizada entre los alumnos de
un centro de idiomas, se determinó que 18 % estudiaban solo alemán; 23 % estudiaban alemán pero no ingles; 8 % alemán y francés; 26 % alemán;
5
21. En una cafetería, de los 111 clientes que ingresaron
el día de hoy, se sabe que consumieron sándwiches:
40 de ellos de hot-dog; 50, de hamburguesa, y 48
de salchicha. También se sabe que 8 consumieron
hot-dog y hamburguesa, 12 hot-dog y salchicha y
10 de hamburguesa y salchicha. ¾Cuántos consumieron hot-dog, hamburguesa y salchicha?
b ) ¾Cuántos alumnos aprobaron las tres asigna-
turas?
c ) ¾Cuántos alumnos aprobaron dos asignaturas
26. En un departamento de control de calidad de un
producto se consideran 3 defectos A, B, C como
las más importantes. Se analizaron 200 productos
con el siguiente resultado:
22. De un grupo de 72 personas, se sabe que 25 de ellas
leen revistas; 7, revistas y periódicos; 8, revistas y
libros; 15, solamente libros; 2, revistas, periódicos
y libros; y el número de personas que solo leen
libros y periódicos es la tercera parte de las personas que solo leen periódicos. ¾Cuántas personas
leen periódicos?
65 productos poseen el defecto A.
63 productos poseen el defecto B.
82 productos poseen el defecto C.
40 Productos poseen exactamente dos defectos.
10 productos poseen exactamente tres defectos.
23. De 400 personas que siempre desayunan, se observa: 180 toman leche, 160 toman chocolate y 220 toman avena, El triple de los que toman leche, chocolate y avena, toman chocolate y leche; el cuádruple
de los que toman leche, chocolate y avena, toman
leche y avena, y el doble de los que toman leche,
chocolate y avena toman chocolate y avena. Si 60
de ellos solo toman leche
a ) ¾Cuántos productos no poseen ningún defec-
to?
b ) ¾Cuántos productos tienen exactamente un
solo defecto?
c ) ¾Cuántos productos poseen al menos 2 defec-
tos?
a ) ¾Cuántos toman leche, chocolate ya vena?
27. En una academia de baile existen personas que
practican distintas categorías de baile de los cuales 24 no les gusta salsa, 10 les gusta el bolero y el
merengue, 44 no les gusta el bolero, 6 no les gusta ni salsa ni el merengue, 40 les gusta el bolero
o merengue, a ninguno le gusta el bolero o la salsa solamente, 16 no les gusta el bolero ni la salsa.
Determinar:
Rpta.20
b ) ¾Cuántos toman solo avena? Rpta.120
c ) ¾Cuántos no toman leche? Rpta. 220
ADICIONALES
24. Se consultó a 150 estudiantes de la UCSP sobre
el deporte que practican manifestaron lo siguiente:
54 juegan básquet, 82 juegan fútbol, 50 sólo juegan
fútbol, 30 sólo juegan básquet. Además, el número
de personas que juegan sólo básquet y tenis es la
mitad de las que juegan sólo fútbol y tenis; el número de personas que juegan sólo fútbol y básquet
es el triple de las que juegan los tres deportes; las
personas que no practican ningún deporte son tantas como las que practica sólo tenis. Determinar:
a ) ¾Cuántos les gusta solamente un categoría?
b ) ¾Cuántos les gusta por lo menos dos catego-
rías?
c ) ¾Cuántos no bailan merengue o bolero?
d ) ¾Cuántos bailan merengue?
28. De una encuesta hecha a 270 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B
y C se obtuvieron los siguientes resultados. Todos
leen alguna de las tres revistas; todos menos 80,
leen A; 30 leen A y B pero no C; 12 leen B y C
pero no A; 20 leen solo C. El número de los que
leen A y C es el doble del número de los que leen
las tres revistas. El número de los que leen solo B
es el mismo que el total de los que leen A y C.
Según todo esto.
a ) El número de personas que practican sólo dos
deportes.
b ) Número de personas que practican sólo tenis.
c ) Número de personas que practican fútbol pero no tenis.
d ) Número de personas que practican algún deporte que no sea tenis.
25. De 50 alumnos de la Carrera de Administración de
Negocios de la UCSP, aprueban matemática 30 de
ellos, losofía también 30, castellano 35, matemática y losofía 18, losofía y castellano 19, matemática y castellano 20 y, 3 solo aprobaron losofía.
a ) ¾Cuántos leen la revista A solamente?
b ) ¾Cuántos leen la revista B solamente?
c ) ¾Cuántos leen las tres revistas?
a ) ¾Cuántos alumnos no aprobaron ninguna de
d ) ¾Cuántos no leen la revista A?
las asignaturas?
6
29. En una encuesta a 150 alumno de Administración
de Negocios de la UCSP sobre el deporte que practican manifestaron lo siguiente: 82 juegan fútbol,
54 juegan básquet, 50 sólo juegan fútbol, 30 sólo
juegan básquet. Además, el número de personas
que juegan sólo básquet y tenis es la mitad de las
que juegan sólo fútbol y tenis; el número de personas que juegan sólo fútbol y básquet es el triple
de las que juegan los tres deportes; las personas
que no practican ningún son tantas como las que
practica sólo tenis. Hallar:
deporte que no sea Fútbol
30. En un departamento de control de calidad de un
producto se consideran 3 defectos A, B y C como
los más importantes, se analizaron 200 productos
con el siguiente resultado:
55 productos poseen el defecto A.
53 productos poseen el defecto B.
72 productos poseen el defecto C.
30 productos poseen exactamente dos defectos.
10 productos poseen exactamente tres defectos.
a ) El número de estudiantes que practican sólo
dos deportes.
b ) El número de estudiantes que no practican
ningún deporte.
c ) El número de estudiantes practican tenis pero
no fútbol.
d ) El número de estudiantes que practican algún
a ) ¾Cuántos productos no poseen ningún defec-
to?
b ) ¾Cuántos productos tienen exactamente un
solo defecto?
c ) ¾Cuántos productos poseen al menos 2 defectos?
7