BÀI TẬP ĐƠN ĐIỆU
Bài tập 1:
Xét chiều biến thiên của các hàm số
2x −1
x +1
x+2
10)y=
x −1
−2 x 2 + 2 x − 1
11)y=
x+2
2
x + 4x + 3
12)y=
x+2
1) y = − x 3 − 3x 2 + 24 x + 26
9)y=
2) y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2
3) y = x 3 − 3x 2 + 2
4) y =
−1 4
x + 2x2 − 1
4
5) y = x 4 + 2 x 2 − 3
13)y= 3x 2 − x 3
6) y = x 4 − 6 x 2 + 8 x + 1
14)y= 2 x − x 2
7) y = x 2 − 2 x + 3
15)y =| x 2 − 2 x − 3 |
 5
16)y=x + 2 cos x;( ; )
6 6
18)y = 2 x − 1 − 3 − x
8) y = sin x;(0;2 )
17) y = x + 3 + 2 2 − x
1
19) y = x 2 − x − 4 x − x 2
4
20)y=(x + 1) 1 − x 2
Bài tập 2: Tìm m để hàm số y = −
x3
+ 2 x 2 + (2m + 1) x − 3m + 2 luôn giảm trên R.
3
x3
+ mx 2 + 4 x + 3 luôn tăng trên R.
3
2) Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + (m + 2) x − m luôn tăng trên R.
1) Tìm m để hàm số y =
3) Tìm m để hàm số y = x + m cos x luôn tăng trên R.
x3
− (m + 2) x 2 + (m − 8) x + m 2 − 1 luôn giảm trên R.
3
−3x 2 + mx − 2
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
y=
2x −1
( m − 1) x 2 + 2 x + 1
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
y=
x +1
x
x
y = sin − cos + mx luôn đồng biến trên R.
2
2
3
y = − x + (3 − m) x 2 − 2mx + 2 luôn giảm trên R.
4) Tìm m để hàm số y = (m + 2)
5) Tìm m để hàm số
6) Tìm m để hàm số
7) Tìm m để hàm số
8) Tìm m để hàm số
9) Tìm m để hàm số y =
mx − 2
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
x+2
1
3
10) Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số y = x3 − mx 2 + ( 8 − 2m ) x + m + 3 đồng biến trên
11) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y =
nó?
?
(m + 1) x − 2
đồng biến trên từng khoảng xác định của
x−m
Bài tập 3:
1) Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên (0; +) .
mx + 4
nghịch biến trên khoảng ( −;1) .
x+m
3) Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + (m + 1) x + 4m nghịch biến trên (-1;1)
2) Tìm m để hàm số y =
4) Tìm m để hàm số y = 2 x 3 − 2 x 2 + mx − 1 đồng biến trên (1; +)
5) Tìm m để hàm số y = mx 3 − x 2 + 3x + m − 2 đồng biến trên (- 3;0).
1
3
7) Tìm m để hàm số y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trên (−; −1) và (2; )
8) Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
6) Tìm m để hàm số y = mx 3 + 2(m − 1) x 2 + (m − 1) x + m đồng biến trên (2; +)
( HD: | x1 − x2 |= l  S 2 − 4 P = l 2
mx 2 + 6 x − 2
9) Tìm m để hàm số y =
nghịch biến trên [1; +) .
x+2
10) Tìm m để hàm số y = −2 x 3 + 3mx 2 − 1 đồng biến trên khoảng (x1;x2) với x2- x1 =1.
11) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng y = sin 3 x − 3cos 2 x − m sin x − 1 biến trên
 
đoạn 0; 
 2
1)m  −1; 2) − 2  m  2;3)m  −10; 4)m  −2;5)m 
7)
−7
5
9
−14
 m  ;8) m = ;9)m 
;10)m = 1
12
12
4
5
−1
9
;6)m 
3
13
Bài tập 4:
1) Tìm m để phương trình 2 x 2 x − 2 = m có nghiệm duy nhất .
2) Tìm m để phương trình x + x + 1 = m + 1 có nghiệm duy nhất.
3) Tìm m để phương trình
x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = m có nghiệm.
4) Tìm m để phương trình 2(2 x + 1) 2 + 2( x 2 + 1) = m(2 x + 1) x 2 + 1 có nghiệm.
5) Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 có nghiệm.
6) Tìm m để bất phương trình m 2 x 2 + 1 + 2 x  0 có tập nghiệm là R.
BÀI TẬP CỰC TRỊ
Bài tập 1
Tìm cực trị các hàm số sau:
1 3
5
x − x 2 − 3x +
3
3
3
2
b) y = x + 3 x + 3 x + 5
a) y =
c) y = − x 4 + 6 x 2 − 8 x + 1
d)y =
−1 4
5
x − x2 +
4
4
x +1
x2 + 8
h)y=|x|
g)y=
i)y=
x2 − 2 x + 3
x −1
j)y=|x|(x+2)
e) y = x 4 + 2 x 2 − 3
k)y=x 4 − x 2
f ) y = x 4 − 6 x 2 + 8x + 1
l)y=2x- x 2 − 3
Bài tập 2
1
3
2) Tìm m để hàm số y = mx 3 + 3x 2 + 12 x + 2 đạt cực đại tại x =2.
1) Tìm m để hàm số y = x 3 − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1 đạt cực đại tại điểm x=1.
x 2 + mx + 1
đạt cực đại tại x =2.
x+m
x 2 + mx + 1
4) Tìm m để hàm số y =
đạt cực tiểu tại x =1.
x+m
5
5) Tìm a, b để cực trị của hàm số y = a 2 x 3 + 2ax 2 − 9 x + b đều là những số dương và
3
3) Tìm m để hàm số y =
x0 = -5/9 là điểm cực đại.
6) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số y = f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x =
-2 và đồ thị hàm số qua A(1;0).
2
3
7) Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − mx 2 + (m − ) x + 5 có cực trị tại x=1. Khi đó hàm số đạt cực đại hay
cực tiểu ? Tính giá trị tương ứng.
Bài tập 3
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hàm số y = x 3 − mx 2 − 2 x + 1 luôn có một điểm cực đại và
một cực tiểu.
x 2 + mx − 2
có cực trị .
mx − 1
x 2 − m(m + 1) x + m 3 + 1
3)Chứng minh rằng với mọi m hàm số y =
luôn có hai cực trị.
x−m
4)Tìm m để hàm số y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1) x 2 + 1 có ba cực trị.
2)Tìm m để hàm số y =
5)Tìm m để hàm số y = mx 3 − 3mx 2 − (m − 1) x − 1 không có cực trị.
6)Tìm m để hàm số y = x 3 − (2m + 1) x 2 + (m 2 − 3m + 2) x + 4 có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục
tung.
7)Tìm m để hàm số y = 2 x 3 + mx 2 − 12 x − 13 có cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục
tung.
1
3
8)Tìm m để hàm số y = mx 3 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x +
1
có cực đại và cực tiểu và đồng thời hoành độ
3
cực đại , cực tiểu x1, x2 thoả x1+2x2=1.
1
3
9)Tìm m để hàm số y = mx 3 + (m − 2) x 2 + (m − 1) x + 2 có cực đại và cực tiểu x1, x2 thoả
x1< x2<1.
10)Tìm m để hàm số y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 có cực đại và cực tiểu đồng thời đường thẳng qua hai điểm
cực trị vuông góc đường thẳng y = 3x – 7 .
11)Tìm m để hàm số y = x 3 − 3x 2 + (m − 6) x + m − 2 có cực đại và cực tiểu và khoảng cách từ A(1;-4)
đến đường thẳng qua hai điểm cực trị là
12
.
265
12)Tìm m để hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx + 1 có hai cực trị và khoảng cách từ I(1/2;11/4) đến đường
thẳng qua hai điểm cực trị là lớn nhất .
13)Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3m(m + 2) x + 1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua I(1;3) .
14)Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + m(m + 1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
y=
1
1
x− .
2
2
15)Tìm m để hàm số y = x 4 + (3m + 1) x 2 − 3 có ba cực trị tạo thành tam giác cân và có độ dài cạnh đáy
bằng 2/3 độ dài cạnh bên.
16)Tìm m để hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2 có ba cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi
qua điểm D(3/5;9/5)
17)Tìm m để hàm số y = x 4 − (2m + 1) x 2 + m 2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác vuông.
18) Tìm m để hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA=BC, trong đó O
là gốc toạ độ, A là cực trị thuộc trục tung.
19)Tìm m để hàm số y =
x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m
có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực trị
x+2
cùng với gốc toạ độ O lập thành tam giác vuông tại O.