Chủ đề. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Thời lượng dự kiến: 03 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo
hàm.
- Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
2. Kĩ năng
- Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó.
- Biết vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải quyết các bài toán thực tế.
3.Về tư duy, thái độ
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển:
+ Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập, tự nhận ra được sai sót và khắc
phục sai sót.
+ Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp cận câu hỏi bài tập, biết đặt câu hỏi, phân tích các tình huống trong
học tập.
+ Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc của bản thân trong học tập và trong cuộc sống. Trưởng nhóm
biết quản lí nhóm của mình, biết phân công nhiệm vụ cho các thành viên và biết đôn đốc, nhắc nhở các
thành viên hoàn thành công việc được giao.
+ Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm. Có thái độ, kĩ
năng trong giao tiếp.
+ Năng lực hợp tác: xác định nhiệm vụ của nhóm của bản thân, biết hợp tác với các thành viên trong nhóm
để hoàn thành nhiệm vụ học tập.
+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Biết nói và viết đúng theo ngôn ngữ Toán học.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm đồng biến, nghịch biến.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả
hoạt động
Trò chơi “Quan sát hình ảnh”. Mỗi nhóm viết lên giấy A4 các
khoảng đồng biến, nghịch biến của của các hàm số tương ứng
từ đồ thị sau:
Đội nào có kết quả đúng, nộp bài
nhanh nhất, đội đó sẽ thắng.
Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.
B
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
Mục tiêu: Nắm được mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu, lập được bảng biến thiên của hàm
số
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
quả hoạt động
* Hoàn thành chính xác phiếu
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết
quả hoạt động
học
tập
số
1, từ đó rút ra nhận
1. Nhắc lại định nghĩa
1. Nhắc lại định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa xét mối liên hệ giữa tính đơn
điệu và dấu của đạo hàm cấp
khoảng. Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên K .
một của hàm số trên khoảng đơn
y  f  x  đồng biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  điệu.
y  f  x  nghịch biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2 
*Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang
phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ
trái sang phải.
Ví dụ 1. Hoàn thành phiếu học tập số 1
Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.
KQ1.
a) y  2  0, x 
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K .
 Nếu f   x   0, x  K thì y  f  x  đồng biến trên K .
 Nếu f   x   0, x  K thì y  f  x  nghịch biến trên K .
VD2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a) y  2 x  1
b) y  2 x  2
b) y   x 2  2 x
Chú ý: Giải sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K . Nếu f   x   0
( f   x   0 ) , x  K và f   x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì KQ2.
y  3x 2
hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
x

3
VD3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y  x
+
y'
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
0

0
+

y

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Quy tắc
1. Tìm tập xác định. Tính f   x  .
*Đọc hiểu quy tắc xét tính đơn
điệu của hàm số.
2. Tìm các điểm tại đó f   x   0 hoặc f   x  không xác định.
3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
2. Áp dụng
VD4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a) y  x3  3x  2
x 1
b) y 
x 1
c) y  x 4  2 x 2  2
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
*Thực hiện vào tập, bạn nào
thực hiện nhanh và chính xác
nhất lên bảng thực hiện từng
câu.
a) Hàm số ĐB trên  ; 1 và
1;  . Hàm số NB trên  1;1 .
b) Hàm số ĐB trên  ; 1 và
 1;   .
c) Hàm số NB trên  ; 1 và
2
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết
quả hoạt động
 0;1 . Hàm số ĐB trên  1;0
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
và 1;   .
*Hàm số
 
VD5. Chứng minh rằng x  sin x trên  0;  bằng cách xét khoảng
 2
đơn điệu của hàm số f  x   x  sin x
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
C
f   x   1  cos x  0
nên hàm số f  x  đồng biến trên
 
 0; 2  . Do đó
f  x   x  sin x  0 .
nửa khoảng
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
của học sinh
1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm  D 
 y  3 x 2  6 x
số y  x3  3x 2  2 .
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
x  0  y  2
Cho y  0  3 x 2  6 x  
.
 x  2  y  2
 Bảng biến thiên:
 Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  và
 2;  .
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  .
2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
 x2  x  7
số y 
.
x2
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
Các nhóm thảo luận, trình bày kết quả của nhóm
lên giấy A0, giáo viên đánh giá kết quả theo gợi
ý:
 D  \ 2
 y 
 x2  4 x  5
 x  2
2
Cho y  0   x 2  4 x  5  0
 x  1  y  3

.
 x  5  y  9
 Bảng biến thiên:
 Kết luận:
3
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng  1; 2  và
 2;5 .
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 và
3. Chứng minh rằng hàm số
y   x 2  2 x  8 đồng biến trên khoảng  2;1 , và
nghịch biến trên khoảng 1;4  .
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
 5;   .
 D   2;4
 y 
x 1
 x2  2 x  8
Cho y  0   x  1  0  x  1 .
 Bảng biến thiên:
 Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng  2;1 và
hàm số nghịch biến trên khoảng 1;4  .
4. Chứng minh rằng
sin x  cos x  2 x  1, x   0;   .
Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.
Các nhóm thảo luận, trình bày kết quả của nhóm
lên giấy A0, giáo viên đánh giá kết quả theo gợi
ý:
 Ta có: sin x  cos x  2x  1


 2 sin  x    2 x  1
4



 Xét f  x   2 sin  x    2 x, x   0;  
4



f   x   2 cos  x    2
4



Do  2  2 cos  x    2
4



 f   x   2 cos  x    2  0 .
4

 Hàm số nghịch biến trên  0;   .
 f  x   f  0  1 .
Vậy : sin x  cos x  2 x  1, x   0;   .
D,E
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
Mục tiêu: Làm được một số bài tập tìm giá trị của tham số m .
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
của học sinh
1. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để TXĐ: D  .
1
 2
hàm số y  x3  mx 2   2m  3 x  1 đồng biến Ta có y  x  2mx   2m  3 .
3
Để hàm số đồng biến trên khoảng thì
trên .
y  0 , x 
Phương thức tổ chức: Cá nhân - ở nhà.
 x 2  2mx  2m  3  0, x 
4
   0
 m 2  2m  3  0
 1  m  3 .
Vậy 1  m  3 là giá trị cần tìm.
TXĐ: D  .
2. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để Ta có y  3x 2  2mx  m2 .
hàm số y   x3  mx 2  m2 x  3 đồng biến trên
khoảng  0;4  .
Phương thức tổ chức: Cá nhân - ở nhà.
x  m
y  0  3 x  2mx  m  0  
.
x   m
3

2
2
Để hàm số đồng biến trên khoảng  0;4  thì
 m
m
  0
 04m   3
m4.
3
 m  4
Vậy m  4 là giá trị cần tìm.
3. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số TH1: m  1 . Ta có: y   x  4 là phương trình của
y   m 2  1 x 3   m  1 x 2  x  4 nghịch biến trên một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn
nghịch biến trên . Do đó nhận m  1 .

;

khoảng 
.
TH2: m  1 . Ta có: y  2 x 2  x  4 là phương
Phương thức tổ chức: Cá nhân - ở nhà.
trình của một đường Parabol nên hàm số không thể
nghịch biến trên . Do đó loại m  1 .
TH3: m  1 .
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng
 ;  thì y  0 x 
 3  m 2  1 x 2  2  m  1 x  1  0 , x 
2

a  0
m  1  0


2
m

1
 3  m2  1  0


   0


2
1  m  1
m  1  0


 1
  m 1
 m  1 4m  2   0

 2
1
   m 1.
2
Vì m nên m  0 .
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc
m = 1.
5
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC
1
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
NHẬN BIẾT
Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;0  .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  .
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  0;1 .
B.  ;0  .
C. 1;  .
Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ?
x 1
x 1
A. y 
.
B. y  x3  x .
C. y 
.
x3
x2
Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;0 .
B.  2;   .
C.  0;2  .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;  .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   .
THÔNG HIỂU
Cho hàm số y  x3  3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;  .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2  .
Câu 8.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f ( x)  x 2  1, x R. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
Câu 7.
D.  0;   .
2
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; ) .
Câu 6.
D. y   x3  3x .
Cho hàm số y  x  x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   .
4
Câu 5.
D.  1;0  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  .
1 3
x  x 2  3x là:
3
B. (-1; 3).
C.  3 ;    .
Khoảng đồng biến của hàm số y 
A.   ;  1 .
D.
  ; 1
 3 ;   .
Câu 9.
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
6
và
A. y 
2x 1
.
x 1
B. y 
x 1
.
2x 1
C. y 
2x 1
.
x 1
2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
x 1
A.  0;   .
B.  1;1 .
C.  ;   .
Câu 10. Hàm số y 
D. y 
x2
.
x 1
2
D.  ;0  .
Câu 11. Cho hàm số y  2 x 2  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  .
Câu 12. Hàm số y  x  x 2 nghịch biến trên khoảng
 1
A. 1;  .
B.  0;  .
 2
3
Câu 13. Tất cả giá trị của m để hàm số y 
nó là
A. 1  m  3 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   .
1 
C.  ;1 .
2 
D.  ;0 
VẬN DỤNG
x3
  m  1 x 2  2  m  1 x  2 đồng biến trên tập xác định của
3
B. m  3 .
C. m  1 .
D. 1  m  3 .
x6
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng
x  5m
10; .
A. 3 .
B. Vô số.
C. 4 .
D. 5 .
3
2
Câu 15. Cho hàm số y   x  mx   4m  9 x  5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
để hàm số nghịch biến trên  ;   .
A. 7 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 5 .
3
2
2
Câu 16. Tìm tấ t cả các giá tri ̣của tham số m để hàm số y  x  3mx   m  1 x  2 luôn đồ ng biế n trên
.
2
2
2
2
m
m
A. 
.
B. 
.
C.  2  m  2 .
D.  2  m  2 .
2
2
2
2
x2
Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng
x  5m
  ; 10 ?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  mx  sin x đồng biến trên .
A. m  0 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  0.
4
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
VẬN DỤNG CAO
mx  4m
với m là tham số . Go ̣i S là tâ ̣p hơ ̣p tấ t cả các giá tri ̣nguyên của m để
xm
hàm số nghich
̣ biế n trên các khoảng xác đinh.
̣ Tim
̀ số phầ n tử của S .
A. 5 .
B. 4 .
C. Vô số .
D. 3 .
mx  2m  3
Cho hàm số y 
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
xm
m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
A. 5 .
B. 4 .
C. Vô số.
D. 3 .
1 3
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x   m  1 x 2   m 2  2m  x  3
3
nghịch biến trên khoảng  0;1 .
Cho hàm số y 
A. 1  m  0 .
B. m  0 .
C. m  1 .
D. 1  m  0 .
7
Câu 4.
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y  x 3  mx 
khoảng  0;   .
A. 5 .
Câu 5.
Câu 6.
B. 4 .
1
đồng biến trên
5 x5
C. 3 .
D. 3 .
tan x  2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 
đồng biến trên khoảng
tan x  m
 
 0;  .
 4
A.   ;0  1;2 .
B.   ;0 .
C. 1;2 .
D.   ;0   1;2  .
Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y   m 2  1 x 3   m  1 x 2  x  4 nghịch biến trên
khoảng   ;    ?
A. Vô số.
V. PHỤ LỤC
B. 1.
C. 2.
1
D. 3.
PHIẾU HỌC TẬP
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Cho hai hàm số sau và đồ thị của chúng
1
a) y  x 2
b) y 
x
Sử dụng máy tính cầm tay tính đạo hàm và hoàn thành bảng biến thiên sau
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
2
Nội dung
Nhận thức
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
…………………………………………………Hết…………………………………………..
8