BÀI 1: SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ
Phần 1: Số thực
Xin chào các anh/chị học viên!
Rất hân hạnh được gặp các anh/chị trong phần 1 môn Giải tích Toán
học.
Số thực là một trong những khái niệm đầu tiên, quan trọng của Toán
học nói chung và của Giải tích Toán học nói riêng.
Tuy nhiên, trước khi nói về số thực, phần này nêu ra khái niệm về
mệnh đề toán học, được sử dụng trong tất cả các phần sau.
Sau đó, nội dung của phần này trình bày các khái niệm về số thực và
trục số, trị tuyệt đối của số thực và các tính chất của nó.
Để chuẩn bị cho các phần sau xét về giới hạn và liên tục của hàm số,
cũng như đạo hàm, vi phân của hàm số, ta cần xét dãy số, giới hạn và tiêu
chuẩn tồn tại giới hạn của dãy số.
Phần 1 gồm bảy nội dung:
1.1. Một số khái niệm và ký hiệu cần thiết
1.2. Trị tuyệt đối của số thực
1.3. Dãy số
1.4. Tóm lược
1.5. Bài tập
1.6. Câu hỏi trắc nghiệm (t gi i)
Mục tiêu:
Sau khi học xong phần này, anh/chị sẽ:
- Hiểu về mệnh đề toán học và cách trình bày;
- Khái niệm về số thực và các thành phần của tập số thực;
- Khái niệm về trị tuyệt đối và các tính chất của s th c.
1
- Khái niệm về dãy số;
- Khái niệm về dãy bị chặn;
- Khái niệm về giới hạn của dãy số và các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn;
- Giải được các bài toán thông thường về trị tuyệt đối và giới hạn của
các dãy số theo cách tự luận và trắc nghiệm.
Chú ý: Các bài tập cuối phần đều có bài giải và đáp án để anh/chị
tự đối chiếu. Tuy nhiên, anh/chị nên tự làm bài trước, rồi so sánh với
đáp án.
1.1. Một số khái niệm và ký hiệu cần thiết
1.1.1. Khái niệm về mệnh đề toán học
Mệnh đề toán học là một khẳng định toán học hoặc là đúng hoặc là
sai (không có nhập nhằng), ký hiệu bởi các chữ in A, B, C,...
Ví dụ:
A : 12  8 là mệnh đề đúng.
B : 4  0 là mệnh đề sai.
Nếu từ mệnh đề A đúng suy ra mệnh đề B cũng đúng thì ta viết:
A  B (đọc là A kéo theo B ).
Ví dụ:
a  b  (a  c)  (b  c)
Nếu A  B và B  A thì ta viết A  B (đọc là A tương đương B ,
hay là A khi và chỉ khi B , hay A là điều kiện cần và đủ để có B ).
Ví dụ:
(a  b)  (b  a)
Để chỉ với mỗi phần tử x của tập X đều có tính chất p(x) , ta viết:
x  X : p( x)
Ví dụ:
x  R : x 2  1  0
Để chỉ có ít nhất một phần tử x của tập X có tính chất p(x) , ta viết:
x  X : p( x)
Ví dụ:
x  R : x 2  5x  4  0 . Ta có x1  1, x2  4
1.1.2. Số thực và trục số
a. Các tập hợp số thường gặp
2
Ta đã biết các tập hợp số sau đây:
1. N  0,1,2,3,..., n,... : tập số tự nhiên, N *  N \ 0
2. Z  0,1,2,3,...,n,...: tập số nguyên
p

q

3. Q   p, q  Z  : tập số hữu tỷ
4. R \ Q : tập hợp các số vô tỷ như:
2, 3,   3,1416..., e  2,71...
5. R : tập các số thực, gồm những số vô tỷ và hữu tỷ.
Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì một số hữu tỷ biểu diễn
dưới dạng số thập phân hữu hạn (ví dụ
5
 1, 25 ) hoặc thập phân vô hạn
4
4
 1,3333... ); còn số vô tỷ biểu diễn dưới dạng số thập
3
phân vô hạn không tuần hoàn (ví dụ e  2,71828... ).
tuần hoàn (ví dụ
Các tập kể trên có mối quan hệ như sau: N  Z  Q  R .
b. Trục số
Trục số là một đường thẳng trên đó xác định một chiều dương (chỉ
bằng mũi tên), một đơn vị dài và một điểm 0 làm gốc.
Mỗi điểm M trên trục số biểu diễn một số thực x . Ngược lại, mỗi số
thực x  R ứng với một điểm trên trục số.
Trên trục số, người ta có thể xét các khoảng sau:
1. a  x  b   a; b 
2. a  x  b  (a; b)
3. a  x  b  (a; b 
4. a  x  b   a; b 
5. a  x     a;  
6.    x  b   ; b 
c. Các tiên đề của tập số thực
Tiên đề 1. Tính chất đóng kín
3
Với bất kỳ a, b  R : a  b  R và ab  R
Tiên đề 2. Luật giao hoán
Với bất kỳ a, b  R : a  b  b  a và ab  ba
Tiên đề 3. Luật kết hợp
Với bất kỳ a, b, c  R : (a  b)  c  a  (b  c) và (ab)c  a(bc)
Tiên đề 4. Luật phân phối
Với bất kỳ a, b, c  R : a(b  c)  ab  ac và (b  c)a  ba  ca
Tiên đề 5. Phân tử trung hòa
Tồn tại một số thực gọi là số không, viết là 0, sao cho bất kỳ
a  R : a  0  a.
Tồn tại một số thực khác không, gọi là số một, viết là 1, sao cho bất
kỳ a  R : a.(1)  a.
Số 0 gọi là phân tử trung hòa của phép cộng, số 1 gọi là phân tử
trung hòa của phép nhân.
Vì số 0 và số 1 là những số thực nên từ Tiên đề 2 suy ra
a  0  0  a  a và a.(1)  (1).a  a.
Tiên đề 6. Phần tử đối và nghịch đảo
Với mỗi a  R, tồn tại một số thực, gọi là đối của a , ký hiệu là  a ,
sao cho a  (a)  0 .
Với mỗi số thực khác không a  R, tồn tại một số thực gọi là nghịch
đảo của a , ký hiệu là
1
1
hoặc a -1 sao cho a.  1.
a
a
Do tập số thực thỏa 6 tiên đề trên nên người ta gọi tập số thực R là
trường số thực.
Nhờ các tiên đề trên mà ta có thể xây dựng các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia và phép nâng lên lũy thừa cùng với các tính chất của các phép
toán đó.
Ngoài ra, trường số thực còn thỏa các tiên đề thứ tự.
Tiên đề 7.
4
Nếu a, b  R thì có một và chỉ một quan hệ sau đây đúng:
a  b, a  b, a  b
Tiên đề 8. Tính đóng đối với các số dương
Nếu a, b  R và a  0, b  0 thì a  b  0; ab  0.
1.2. Trị tuyệt đối của số thực
1.2.1. Định nghĩa 1.1
Trị tuyệt đối của số thực x , ký hiệu bởi x được xác định như sau:
khi x  0
khi x  0
x
x 
 x
Ví dụ 1:
5 5
 5  5
5  (5)  5   x  x
Ví dụ 2:
sin x
sin x  
 sin x
khi 2k  x    2k
khi   2k  x  2k
1.2.2. Tính chất của trị tuyệt đối
a. x  a  a  x  a
x  b
b. x  b  
 x  b
c. a  b  a  b
a,b 0
d. a  b  a  b
a,b 0
e. a.b  a . b
f.
a
a

b
b
1.2.3. Các ví dụ
5
a0
b0
 2
x  2x
Bài 1: y  x  2 x  
 2
 x  2 x
x  2
khi 
x  0
khi 0  x  2
2
Minh họa trên Đồ thị 1.1
1
0
2
Đồ thị 1.1
Bài 2: Chứng minh x 
Giải: x 
1
x
x,
1
cïng dÊu
x
Bài 3: y  arcsin
1
 2.
x
1

x 2

1
x
 x
 2
C«si
x
 x  1  2

x
2x  1
. Tìm miền xác định.
x
Giải: Hàm số đã cho được hiểu là
2x  1
 sin y .
x
Miền xác định là tập nghiệm của bất phương trình sau:
2x  1
 1 2 x  1  x
x
x0
Do z  z 2 nên bình phương hai vế ta được:
2
6
4x2  4x  1  x2
3x 2  4 x  1  0

1
 x 1
3
Bài 4: Giải log sin x cos x  log cos x sin x  2
Giải:
Đặt T  log sin x cos x 
1
 log cos x sin x
T
Điều kiện: sin x  0; sin x  1; cos x  0; cos x  1.
1
1
 2 (theo ví dụ 2), mà theo đầu bài T   2 nên chỉ
T
T
đúng với dấu “=”  T  1  log sin x cos x  1
Vế trái = T 
 sin x  cos x  tgx  1
x

4
 k
( k chẵn do điều kiện).
1.3. Dãy số
1.3.1. Các định nghĩa
a. Định nghĩa 1.2
Nếu với mỗi số n  N bằng quy luật f ta cho tương ứng một số thực
xn  f (n) thì ta có một dãy số x1 , x2 , x3 ,... , ký hiệu là ( xn ) .
Nếu từ xn ta suy ra được mọi số hạng của dãy số thì xn gọi là số hạng
tổng quát.
Ví dụ:
1 
1  1 1
( xn )     1, , ,..., ,...
n 
n  2 3
7


( xn )  (n2 )  1, 4, 9,16,..., n 2 ,...


( xn )  (1)n  1,1, 1,...,(1)n ,...
n

 1   9 64
 1
( xn )   1    1, , ,...,  1   ,...
 n   4 27
 n

n
b. Định nghĩa 1.3
Cấp số cộng là
 x1  a

 xn 1  xn  d
n  N
một
dãy
số
được
định
nghĩa
bởi
trong đó a, d là các hằng số thực. a gọi là số
hạng đầu, d gọi là công sai.
n( x1  xn )
.
2
Tổng của n số hạng đầu tiên: Sn  x1  x2  ...  xn 
c. Định nghĩa 1.4
 x1  a
q  1, q
 xn 1  xn q
Cấp số nhân là một dãy số được định nghĩa bởi 
gọi là công bội.
Tổng của n số hạng đầu tiên:
Sn  x1  x2  ...  xn 
x1 (1  q n )
x x q
hay Sn  1 n
1 q
1 q
1.3.2. Giới hạn của dãy số thực
a. Dãy bị chặn
* Dãy ( xn ) được gọi là bị chặn trên nếu: (C  R)n  N : xn  C .
* Dãy ( xn ) được gọi là bị chặn dưới nếu: (C  R)n  N : xn  C .
* Dãy ( xn ) được gọi là bị chặn nếu: (C  R, C  0)n  N : xn  C .
 n  1
.
 n 
Ví dụ 1: ( xn )  
n  N : n  n  1 nên xn  1 n  N dãy bị chặn dưới bởi 1.
 n 1 
 bị chặn trên bởi 1.
 n 
Tương tự, ( xn )  
8
Ví dụ 2: ( xn )  cos nx .
n  N
x  cos nx  1 dãy bị chặn.
b. Dãy tăng (giảm)
Dãy ( xn ) gọi là dãy tăng (giảm) nếu n  N , xn  xn 1
( xn  xn 1 ) .
1
n
Ví dụ: ( xn )    là dãy giảm, ( xn )  (n2 ) là dãy tăng.
c. Giới hạn của dãy
Để dễ hiểu, ta xét ví dụ:
 n  1
 bị chặn dưới bởi 1.
 n 
Dãy ( xn )  
1 
 n2
( xn 1 )  
 1

1
1
n  1 
 n 1 

 v×
n n 1
n 1
1

xn 
 1

n
n
nªn
xn  xn 1
Vậy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên khi n càng lớn thì xn càng
gần 1 hay xn  1 càng gần tới 0.
Như vậy, có thể tìm được n để xn  1 nhỏ tùy ý, chẳng hạn ta muốn
1
n 1
1
1
thì từ xn  1 
ta suy ra n  100 nghĩa là
1  
100
n
n 100
1
tìm được n từ 101 trở đi thì xn  1 
.
100
xn  1 
Tương tự, xn  1 
1
khi n  1000 .
1000
Dãy ( xn ) có tính chất trên gọi là dãy có giới hạn và 1 gọi là giới hạn của
nó.
Định nghĩa 1.5: Số a  R gọi là giới hạn của dãy ( xn ) nếu:
(  0)
(n0  N ),

Ký hiệu lim xn  a hay xn n
 a .
n 
9
n  n0  xn  a   .
Trong ví dụ trên  
xn  1 
1
1000
thì n0  1001 . Khi n  n0 ta có
1
.
1000
Chú ý:
Vì xn  a nên nếu cho trước một lân cận của a, (a   , a   ) thì
(n0  N ),
n  n0 ta có xn thuộc lân cận đó, nghĩa là a    xn  a   .
* Một dãy có giới hạn cũng gọi là hội tụ. Một dãy không hội tụ gọi là
phân kỳ.
Trong trường hợp dãy phân kỳ ra vô hạn gọi là dãy có giới hạn vô
1
n
hạn. Một dãy không có giới hạn cũng là phân kỳ, ví dụ xn  cos .
Định nghĩa 1.6: Dãy xn có giới hạn vô hạn nếu cho trước số M  0
đủ lớn luôn n0  N sao cho n  n0  xn  M

Ký hiệu lim xn   hay xn n
 
n 
d. Các tính chất của dãy số có giới hạn
Tính chất 1. Nếu dãy số ( xn ) có giới hạn khi n   thì giới hạn
đó là duy nhất.
Tính chất 2. Nếu 2 dãy số ( xn ) và ( yn ) đều có giới hạn khi n   và
xn  yn , n thì lim xn  lim yn .
n 
n 
Các phép toán:
lim( xn  yn )  lim xn  lim yn
n 
n 
n 
lim( xn . yn )  lim xn .lim yn
n 
n 
 x  lim xn
lim  n   n ,
n  y
yn
 n  lim
n 
n 
lim yn  0
n 
1.3.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
Tiêu chuẩn 1. Xét 3 dãy ( xn ) , ( yn ) , ( zn ) . Nếu:
10
a. xn  yn  zn
b.  lim xn   lim zn  a
n 
n 
thì yn có giới hạn và lim yn  a .
n 
Chứng minh:
Do (b) với   0  n1  N , n  n1
 xn  a   , n2  N , n  n2  zn  a   .
Chọn n0  maxn1, n2  thì:

 xn  a    a    xn  a  
n  n0 

 zn  a    a    zn  a  
(1)
Do (a), (1)  n  n0 : a    xn  yn  zn  a    n  n0  yn  a  
  lim yn  a .
n 
Tiêu chuẩn 2. Xét dãy ( xn )
a. Nếu ( xn ) đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi số M thì ( xn ) có giới hạn
aM .
b. Nếu ( xn ) đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi số N thì ( xn ) có giới hạn
bN.


1
n
n
Ví dụ: Tìm lim xn  lim 1  
n
n
* ( xn ) đơn điệu tăng x1  2, x2 
9
64
 2, 25, x3 
 2,37...
4
27
* Ta chứng minh ( xn ) bị chặn trên.
Theo nhị thức Niutơn:
11
1 n(n  1) 1 n(n  1)(n  2) 1
n(n  1)...(n  (k  1)) 1
 1
. 2
. 3  ... 
. k  ...
1    1  n 
n
1.2 n
1.2.3
n
1.2.3...k
n
 n
n(n  1)...2.1 1
1
1
1
1

.  2

 ... 
 ... 
1.2.3...n n n
1.2 1.2.3
1.2.3...k
1.2.3...n
1 1
1
1
1
 2   2  ...  k 1  ...  n1  2 
3
1
2 2
2
2
1
2
n
Vậy ( xn ) bị chặn bởi 3, suy ra ( xn ) có giới hạn. Ơle tìm ra số:
 1
e  lim 1  
n
 n
n
Tiêu chuẩn Cauchy: Điều kiện cần và đủ để dãy ( xn ) hội tụ là:
(  0)
(n0  N ) : m, n  n0  xm  xn  
Có khi viết n  n0 và p  N xn p  xn   .
1.4. Tóm lược
Anh/chị đã được học về số thực.
Anh/chị cần ghi nhớ các vấn đề sau:
- Mệnh đề toán học và cách trình bày;
- Khái niệm về số thực và các thành phần của tập số thực;
- Khái niệm về trị tuyệt đối của số thực và các tính chất của trị tuyệt
đối;
- Khái niệm về dãy số;
- Khái niệm về dãy bị chặn;
- Khái niệm về giới hạn của dãy số và các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn;
- Giải được các bài toán thông thường về trị tuyệt đối và giới hạn của
các dãy số theo cách tự luận và trắc nghiệm;
Phần tiếp theo anh/chị sẽ được học về hàm số.
Chúc anh/chị học tập tốt!
12
1.5. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a. x 2  5 x  4  x  4
(1)
b. x  1  x3  x  1
(2)
Giải:
a. Ta có:
x  4  0
 x  4
x  0
(1)   2



x  6
2
2
2
2

( x  5 x  4)  ( x  4)
( x  4 x  8) ( x  6 x)  0
Vậy phương trình có 2 nghiệm x  0 và x  6 .
b. Ta có:
 x  1  0
 x  1

 3
3
 x  1  x  x  1
 x  2  0
(2)  

x 1  0
x 1


 x  1  x 3  x  1  x 3  2 x  0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  0 .
2. Giải bất phương trình:
x 2  5x  4
1
x2  4
Giải:
Điều kiện x  2
(1)
(*)
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:
(1)  x 2  5 x  4  x 2  4  ( x 2  5 x  4) 2  ( x 2  4) 2
 ( x 2  5 x  4  x 2  4)( x 2  5 x  4  x 2  4)  0
 8 5

 (2 x 2  5 x)(8  5 x)  0  x  0;    ; .
 5  2

3. Giải bất phương trình:
13
x 2  2 x  3  3x  3
(1)
Giải:
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:
2

x  x  6  0
(1)  3x  3  x  2 x  3  3x  3   2
 2  x  5.

x  5x  0
2
Vậy nghiệm của bất phương trình là [2; 5].
4. Giải bất phương trình:
1  4x  2x  1
(1)
Giải:
Sử dụng phép biến đổi tương đương, ta được:
1  4 x  2 x  1
x  0
(1)  

1  4 x  2 x  1  x  1
Vậy nghiệm của bất phương trình là (,0)  (1,).
5. Giải phương trình:
( x  1) 2  4 x  1  3  0.
(1)
Giải:
Đặt t  x  1 , điều kiện t  0 . Khi đó:
(1)  t 2  4t  3  0
t  1

t  3
(lo¹i)
x 1  3
x  4
 x 1  3  

 x  1  3
 x  2
Vậy phương trình có hai nghiệm là x  4 và x  2 .
6. Giải phương trình:
x 2  5x  2 
6
1  0
x  5x  2
2
(1)
Giải:
Điều kiện x 2  5x  2  0  x 
14
5  17
2
Đặt t  x 2  5x  2 , điều kiện t  0 .
Khi đó:
6
(1)  t   1  0  t 2  t  6  0  t  2  x 2  5 x  2  2
t 0
t
 x 2  5x  2  2
 x  0 hoÆc x  5
 2

 x  1 hoÆc x  4
 x  5 x  2  2
Vậy phương trình có 4 nghiệm x  0, x  5, x  1, x  4 .
7. a. Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng:
n
 1.
n n  1
lim
b. Cho dãy số (un ) với un  1 
1
1
 ...  2 . Chứng minh rằng dãy số
2
2
n
này có giới hạn.
Giải:
a. Với   0 , ta xét:
n
1
1
1
1   
 
   n  1
n 1
n 1
n 1

1

Chọn N    1  1 , ta được:
 
  0, N  N * :
n
n
 1   với n  N  lim
 1.
n n  1
n 1
b. Bằng việc chứng minh
2, cụ thể:
un  2 
(un ) đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi
1
 2, ta kết luận được dãy số có giới hạn.
n
1
0
n n  1
8. a. Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng: lim
 1
b. Cho dãy số (un ) với un  1  
 n
15
2
n1
. Chứng minh rằng dãy số này có giới
hạn.
Giải:
a. Với   0 , ta xét:
1
1
1
1
0  2
 2   n 
n 1
n 1 n

2
 1 
  1 , ta được:
 
Chọn N  
  0, N  N * :
1
1
 0   với n  N  lim 2
 0.
n n  1
n 1
2
b. Ta sẽ chứng minh (un ) đơn điệu giảm và bị chặn dưới.
 Vì un  0 với mọi n , nên ta xét tỷ số:
u
1 

P  n1  1 

un  n  1 

1 
 1 
2
 (n  1) 
n 1
n 2
 1
: 1  
 n
n 1
n1
n2 n  n2

.
 .
 n 1 n 1 n 1
1 

1 

 n 1
Theo bất đẳng thức Bernoulli (1  a) n  1  na , do đó:
1  
1 

1 
  1 
2
 n  1   (n  1) 

1 
Suy ra: P  1 
2
 (n  1) 
n1
n1

1 
1  (n  1) 2 


n1

1 
 1 
4
 (n  1) 
Vậy dãy (un ) giảm.
 Ta có un  1 , tức là nó bị chặn dưới.
Vậy dãy (un ) có giới hạn.
1.6. Câu hỏi trắc nghiệm
 1
1
1 

 ... 
n.(n  1) 
1.2 2.3
1. Tính giới hạn sau: lim 
n
16
n1
1
A: 0
B: 1
C: 2
D: 
3
5
2n  1 
 1
 2  2  ...  2 
2
n n
n
n
n 

2. Tính giới hạn sau: lim
A: 0
17
B: 1
C: 3
D: 
BÀI 1: SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ
Phần 2: HÀM SỐ
Xin chào các anh/chị học viên!
Rất hân hạnh được gặp lại các anh/chị trong phần 2 môn Giải tích Toán
học.
Các anh/chị đã được học khá nhiều về hàm số và các kiến thức liên
quan ở phần trình phổ thông. Tuy nhiên, ở đây có những phần nâng cao
hơn.
Điều nâng cao trước hết là ở ngay định nghĩa về hàm số. Hàm số
được định nghĩa như một trường hợp riêng của ánh xạ, khi tập gốc (miền
xác định) và tập ảnh (miền giá trị) đều là các tập số thực.
Điều kiện tồn tại hàm ngược của một hàm số được nêu một cách chặt
chẽ. Đó là hàm số phải là song ánh, đơn điệu.
Phần 2 gồm 11 nội dung:
2.1. Biến và hằng số
2.2. Hàm số và đồ thị
2.3. Các phương pháp cho hàm số
2.4. Hàm ngược
2.5. Các dáng điệu của hàm số
2.6. Các hàm số sơ cấp cơ bản
2.7. Các ví dụ tổng hợp
2.8. Tóm lược
2.9. Bài tập
2.10. Câu hỏi trắc nghiệm
2.11. Đáp án câu hỏi trắc nghiệm
Mục tiêu:
Sau khi học xong phần này, anh/chị sẽ:
- Nắm được định nghĩa chính xác về hàm số;
18
- Các phương pháp cho hàm số dưới dạng công thức giải tích và đồ
thị;
- Cách tìm miền xác định của hàm số;
- Điều kiện tồn tại hàm ngược của một hàm số và cách tìm hàm ngược
của nó;
- Các dáng điệu của hàm số: Hàm số không đổi, hàm bị chặn, hàm
đơn điệu tăng (giảm), hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn;
- Các hàm số sơ cấp cơ bản cũng giống như ở phần trình phổ thông;
- Làm thành thạo các bài tập thông thường cả về tự luận và về trắc
nghiệm.
Chú ý: Các bài tập cuối phần đều có bài giải và đáp án để anh/chị
tự đối chiếu. Tuy nhiên anh/chị nên tự làm bài trước, rồi so sánh với đáp
án.
2.1. Biến và hằng số
a. Đại lượng toán học
Một trong số các khái niệm cơ bản của toán học là đại lượng và số đo
của nó. Đặc trưng cơ bản của đại lượng là nó có thể đo được bằng cách so
sánh với đơn vị của nó. Trong kết quả đo lường ta được một số tương
ứng, biểu thị tỷ số giữa đại lượng cần đo với đơn vị của nó. Vậy, mỗi đại
lượng ứng với một số xác định không kể thứ nguyên.
b. Biến số và hằng số
- Biến số: là đại lượng có thể lấy nhiều giá trị biến thiên khác nhau.
- Hằng số: là đại lượng luôn luôn chỉ lấy 1 giá trị.
c. Miền biến thiên
Tập hợp các giá trị mà một biến số có thể lấy.
2.2. Hàm số và đồ thị
2.2.1. Ánh xạ
Cho 2 tập E và F , ta gọi một ánh xạ f từ E  F và viết là f : E  F
là một quy tắc làm ứng với một phần tử của E với một phần tử xác định
duy nhất của F , tập E được gọi là tập gốc, tập F được gọi là tập ảnh;
19
phần tử y  F được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và viết là y  f  x  .
* Ánh xạ f : E  F gọi là đơn ánh nếu:
f  x1   f  x2   x1  x2
Ví dụ:
y = f(x) = x3
* Ánh xạ f : E  F gọi là toàn ánh nếu: f  X   Y .
Ví dụ:
y = f(x) = x +1
* Ánh xạ f : E  F gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là
toàn ánh (còn gọi là ánh xạ một – một).
Ví dụ:
y  f  x  x
2.2.2. Hàm số
Cho 2 tập X  R và Y  R , ánh xạ f : X  Y được gọi là một hàm số
biến số thực. Tập X được gọi là miền xác định, tập Y được gọi là miền giá
trị của hàm số f ; x được gọi là biến độc lập hay đối số; y được gọi là biến
phụ thuộc; f còn gọi là quy luật của hàm, người ta thường ký hiệu
y  f  x  hoặc y  y  x 
Ví dụ: (1) y  f  x   x , có miền xác định là:   x   ,
miền giá trị là:   y  
(2) y  4  x 2 , có miền xác định là: 2  x  2
miền giá trị là: 0  y  4
Đồ thị x  y  f ( x)  có (x,y) cặp số có thứ tự.
Tập hợp các điểm  x, y  f  x   là đồ thị của y  f  x 
2.3. Các phương pháp cho hàm số
2.3.1. Phương pháp cho bằng biểu thức
a) Một biểu thức: y  sin x ; y  x 2
2
 x khi x  0
b) Nhiều biểu thức: y  
 x khi x  0
20
c) Hàm ẩn F


x 2  y2  ln  x 2  y2   0
2.3.2. Phương pháp bảng
Lập một bảng gồm 2 dòng: Dòng một ghi các giá trị của đối số, dòng
hai ghi các giá trị tương ứng của hàm số.
x
sin x


2
1



4
2
2

6
0
0

2
2

4

2

3
2
2
2
2
1
0
1
0
2.3.3. Phương pháp đồ thị
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp
những điểm trong mặt phẳng có tọa
độ M(x,y), trong đó y = f(x), x thuộc
miền xác định X.
t: thời gian
t1: nhiệt độ lúc nhập viện
tn: nhiệt độ khi ra viện
T: nhiệt độ bệnh nhân
ToC
39
38
37
35
t1
2.4. Hàm ngược
y  f  x  (1)  x  f 1  y  (2)  y  f 1  x  (3)
(2) là hàm ngược của (1) khi chưa đổi ký hiệu.
(3) là hàm ngược của (1) khi đã đổi ký hiệu.
f 1 : ánh xạ ngược của f .
21
t
2
Đồ
thị 2.1
t
n
t
Điều kiện có hàm ngược: f là ánh xạ 1 - 1 (song ánh) thường là hàm
y  f  x  phải đơn điệu trong miền xét.
y
2
1
1
1
2
Đồ thị 2.2
Ví dụ:
Đồ thị 2.3
y  2 x có hàm ngược là y 
x
(xem đồ thị 2.2)
2
y  2 x có hàm ngược là y  log 2 x (xem đồ thị 2.3)
Trên đồ thị 2.2 ta thấy: đồ thị của hàm gốc (1) và hàm ngược (3) khi
vẽ trong cùng một hệ trục tọa độ thì đối xứng với nhau qua y  x .
2.5. Các dáng điệu của hàm số
2.5.1. Hàm không đổi: y = C (đồ thị 2.4)
Đồ thị 2.4
22
2.5.2. Hàm bị chặn
Hàm y  f  x  gọi là hàm bị chặn trên (dưới) trong miền xác định X
nếu:
 C  R  x  X  : f  x   C  f  x   C 
Gọi là bị chặn nếu (C  R, C  0)(x  X ) f  x   C
 Ta gọi Supremum là cái chặn trên nhỏ nhất ký hiệu sup f ; còn
infimum là cái chặn dưới lớn nhất ký hiệu là inf f của f trong X .
Ví dụ:
1 1
 , trong đó 0  a  b
a
x a , b  x
sup
1
1
 1
x 0,  1  x
inf

2
Nếu  x0  X  : f  x0   sup f thì x0 là điểm cực đại.
 x0  X  : f  x0   inf
f thì x0 là điểm cực tiểu.
2.5.3. Hàm đơn điệu tăng (đồ thị 2.5)
y
2.5.4. Hàm đơn điệuĐồ
giảm
(đồ thị 2.6)
thị 2.5
Đồ thị 2.6
23
2.5.5. Hàm chẵn

 MiÒn x¸c ®Þnh ®èi xøng qua 0
 f  x  là hàm chẵn

f

x

f
x






y  f  x  có đồ thị đối xứng qua trục Oy (Oy là trục đối xứng)
Ví dụ:
y  x2 ; y  x ; y  cos x; y  3.
2.5.6. Hàm lẻ

 MiÒn x¸c ®Þnh ®èi xøng qua 0
 f  x  là hàm lẻ


 f x   f x
(Gốc O là tâm đối xứng của đồ thị)
Ví dụ:
y  x3 ; y  tgx; y  x x
2.5.7. Hàm tuần hoàn
Có C  0 để f  x  C   f  x   f  x  là hàm tuần hoàn, số C dương
nhỏ nhất tìm được là chu kỳ T .
Định lý 2.1: f  x  có chu kỳ T thì f  ax  có chu kỳ
Ví dụ:
T
a
y  cos x có chu kỳ 2 .
y  sin x có chu kỳ 2 .
y  tgx có chu kỳ  .
y  cotgx có chu kỳ  .
Thì cos 2x có chu kỳ
cotg
24
x
có chu kỳ 3 .
3
2

x
; tg3x có chu kỳ ; sin có chu kỳ 6 ;
2
3
3
2.6. Các hàm số sơ cấp cơ bản
2.6.1. Hàm luỹ thừa: y  x
(  : số thực)
Ví dụ:
(xem đồ thị 2.7)
0
Đồ thị 2.7
(xem đồ thị 2.8)
0
Đồ thị 2.8
(xem đồ thị 2.9)
x
0
Đồ thị 2.9
25
(xem đồ thị 2.10)
-2 -1 0
1
x
2
Đồ thị 2.10
1
(xem đồ thị 2.11)
-1
0 1
-1
Đồ thị 2.11
2.6.2. Hàm số mũ
y  a x  a  0, a  1
Hàm số đồng biến khi a  1 và nghịch biến khi 0  a  1 (đồ thị 2.12)
1
1
0
0
Đồ thị 2.12
26
2.6.3. Hàm logarit
y  lg a x
a  0 và a  1
x  a y  aloga x
Hàm số đồng biến khi a  1 và nghịch biến khi 0  a  1 (đồ thị 2.13)
1
1
0
0
Đồ thị 2.13
Nếu a  e ( e : là số vô tỷ  2,71828 …) khi đó  y  ln x
(logaritnepe).
27
2.6.4. Các hàm lượng giác
1) y  sin x
hàm tuần hoàn chu kỳ là 2 (đồ thị 2.14)
1
0
-1
2) y  cos x (đồ thị 2.15) Đồ thị 2.14
1
0
-1
Đồ thị 2.15
28
3) y  tgx (đồ thị 2.16)
0
Đồ thị 2.16
4) y = cotgx (đồ thị 2.17)
MX§: x  k
MGT: (-;+)
0
Đồ thị 2.17
2.6.5. Các hàm lượng giác ngược
Định nghĩa 2.1:
y  arcsin x
* Hàm ngược của hàm y  sin x là hàm số y  arcsin x (ác sinx).
Trong đó arcsin x là cung hoặc góc mà sin của nó bằng x , với điều kiện
29


2
x

2
.
Ta có: sin(arcsin x )  x
Đồ thị của hàm số y  arcsin x đối xứng với đồ thị của y  sin x qua
đường phân giác thứ nhất (xem đồ thị 2.18).
y
-1
0
x
1
Đồ thị 2.18
Định nghĩa 2.2: y  arccos x (cung đơn)
* Hàm ngược của hàm y  cos x được định nghĩa là hàm y  arccos x
là cung hoặc góc mà cos của nó bằng x , với điều kiện 0  x   .
Đồ thị của hàm số y  arccos x đối xứng với đồ thị của y  cos x qua
đường phân giác thứ nhất (xem đồ thị 2.19).
-1
Đồ thị 2.19
30
0
1
Định nghĩa 2.3: y  arctgx (hàm đơn trị)
* Hàm ngược của hàm y  tgx được định nghĩa là hàm y  arctgx là
cung hoặc góc mà tg của nó bằng x .
Hàm y  arctgx có đồ thị đối xứng với đồ thị của y  tgx qua đường
phân giác thứ nhất (xem đồ thị 2.20).
y
0
Đồ thị 2.20
Định nghĩa 2.4: y = arc cotgx (hàm đơn trị)
* Hàm ngược của hàm y = cotgx là hàm y = arc cotgx trong đó arc
cotgx là cung hoặc góc mà cotg của nó bằng x .
cotg (arc cotgx) = x


Ví dụ: Giá trị x   cotg  1
4
4
Hàm y = arc cotgx có đồ thị đối xứng với đồ thị của y = cotgx qua
đường phân giác thứ nhất (xem đồ thị 2.21).
31
Đồ thị 2.21
0
Ví dụ:
1) Tìm miền xác định của hàm số y  arcsin(3x  x )
Giải:
1  (3x  2)  1 hay 1  3x  3
1
3
Chia cả 2 vế cho 3 bất phương trình không đổi chiều   x  1
2) Miền xác định của hàm số: y  arccos
3x  1
x2
3x  1
 3x  1
 x  2  1  x  2  1  0
ĐK: 
x  2
 3 x  1  1  3 x  1  1  0
x2
 x  2
2x  3
3
 3x  1  x  2


0


0


2

x


x2
x2
2


 x  2
 3 x  1  x  2  0  4 x  1  0  
x   1

x2
x2

4


1
3
x
4
2
Giá trị:
x
arcsin x
arccos x
x
32
1


2




3
2

3


5
6
 3
1
2

6
2
3
1

0
1
2
3
2
1
0

6

3

2

2

3

6
0
1
3
0
1
3
1
3


arc tgx
arccostgx

2




3
5
6



4
3
4

6
2
3

6

4

3


2

3

4

6
0
2.7. Các ví dụ tổng hợp


1
1
Bài 1: Cho f  x    x 2  2 , x  0 , hãy tìm f  x 
x
x

1
x
Đặt t  x   t 2  x 2 
1
 2  f t   t2  2
2
x
 f  x   x2  2
Bài 2: Cho các hàm số: f  x   x 2 , g  x   2 x
Hãy tìm f  f  x  , g  g  x  , f g  x  , g  f  x 
 
f  f  x    f  x   x 2
2
 
f  g  x    g  x   2 x
2
2
 x 4 ; g  g  x   2
2
; g  f  x   2
f  x
g x 
 22 x
 2x
2
Bài 3: Tìm miền xác định của các hàm số:
1) f  x   log2 1  3x  x 2 
2

(1)
1  3 x  x  0
ĐK: 
2
2

log2 1  3 x  x  0 (2) log2 1  3 x  x  log2 (1)




(2)  1  3x  x 2  1 (do hàm đồng biến) thỏa mãn cả (1)
 x 2  3x  0  x  x  3  0

3

x 3

0

x  x  3

0

x

MXĐ:  , 3   0,  
33

0
0


0


2
2) f  x   arcsin  lg x 
ĐK:
log(101 )  lg x  lg(101 )
(1)
x  0

  1

1
1
 x  10 tháa m·n c¶ (1)
1  lg x  1 (2)
10  x  10 

10
3) f  x   log0,5
x 1
1
2x  3
3

x  2

 x 1
0
ĐK: 
2
x

3

x 1

log 0,5 2 x  3  1

(1)
(2)
(3)


x
3
2
1

x 1

2x  3

x 1
2x  3


0
0




0

MXĐ: x  
3
hoặc x  1
2
(3)  log0,5
x 1
x 1 1
 1  log0,5 0,5 
 (do hàm nghịch biến)
2x  3
2x  3 2

5
3
0x
2(2 x  3)
2
(4)
(5)
Kết hợp (4) và (5)  x  1
Bài 4: Tìm hàm ngược của các hàm số:
a) y  f  x  
34
5x3  1
2y  1
 5x3  1  2y  5x3  2y  1  x  3
2
5
thay vai trò của x và y: y  3
2x  1
5


sin x khi 0  x  2
arcsin y, 0  y  1




b) y  f  x   cos x khi  x    x  arccos y, 1  y  0
2



x
log2 y, y  2
2 khi x  


arccos x, 0  x  1

thay vai trò của x và y: y  arcsin x, 1  x  0
log x, x  2
 2
Bài 5: Vẽ đồ thị của hàm số y  3  3  x
y là hàm chẵn ta chỉ cần vẽ đồ thị với x  0 rồi lấy đối xứng qua trục
tung (xem đồ thị 2.22)
x  0  y  3 3 x
Đồ thị 2.22
3  (3  x )  x, nÕu 0  x  3
y
3  (3  x )  6  x, nÕu x  3
Bài 6: Xác định các hàm số sau, hàm nào là chẵn, là lẻ:
y  x 2  x 2
a) y   x    x  2   x  2  ( x  2)  ( x  2)
 x  2  x  2  yx
Vậy y là hàm chẵn.
35
b) y 
16 x  1
16 x  1 1  16 x

y

x


  y( x )  y là hàm lẻ.


4x
4 x
4x
y  ln( x  1  x 2 )  y( x )  ln( x  1  x 2 )

 ln
1  x2  x

c)
 ln
  ln

1  x2  x
1  x2  x

 ln 

1  x2  x
1




1  x2  x


1


1  x 2  x   y( x )
 y là hàm lẻ.
Bài 7: Chứng minh rằng một hàm số bất kỳ f(x) có thể biểu diễn
dưới dạng tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ.
1
2
1
2
Đặt f1  x    f  x   f   x  , f2  x    f  x   f   x 
Ta có: f  x   f1  x   f2  x 
Mặt khác:
f1  x  là hàm chẵn vì f1   x  
f2  x  là hàm lẻ vì f2   x  
1
 f   x   f  x   f1  x 
2
1
 f   x   f  x    f2  x 
2
Bài 8: Xác định các hàm số sau có tuần hoàn không? Nếu có thì tìm chu
kỳ.
a) y  A cos(kx  b), k  0; b  0
A cos  k ( x  a)  b   A cos(kx  b)
k ( x  a)  b  kx  b  2m
mZ
k ( x  a)  b  kx  b  2m
2m
2
T

k
k
ka  2kx  2b  2m
a
36
Đẳng thức sau loại vì a phụ thuộc x.
b) sin x  a  1  sin x  1 

a  ( x  1  2k )2  x  1
a  (  x  1  2k )2  x  1
x  a  1  x  1  2k
x  a  1    x  1  2k
 hàm không tuần hoàn
c) 3tg 5( x  a)  1  3tg(5 x  1)
 5( x  a)  1  5 x  1  k  a 
k

T
5
5
Bài 9: Biết đồ thị của hàm số y  f  x  . Vẽ đồ thị của:
 f  x  , nÕu f ( x )  0


 f ( x ), nÕu f ( x )  0
a) f  x   
Ta vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  rồi giữ nguyên phần đồ thị trên trục
hoành, lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành
(xem đồ thị 2.23)
Đồ thị 2.23
b) Hàm y  f ( x ) là hàm chẵn vì f   x   f  x  . Ta vẽ đồ thị
y  f ( x ) . Giữ lại phần bên phải trục tung và lấy đối xứng qua trục tung
(xem đồ thị 2.24)
37
Đồ thị 2.24
Bài 10: Tìm miền giá trị của các hàm số:
a) Cho y là hàm của x
dưới
dạng
phương
trình
( y  1) x  ( y  1) x  y  1  0
2
Ta tìm y để phương trình có nghiệm đối với x
( y  1) x 2  ( y  1) x  y  1  0
(1)
* Với y  1 : rõ ràng (1) có nghiệm với phương trình 2 x  0  x  0
* Với y  1 : để (1) có nghiệm phải có:
  ( y  1)2  4( y  1)  0
 3y 2  10 y  3  0 
1
 y3
3
1  sin 2 x
b) y 
1  cos2 x
(2)
(2)  y  y cos2 x  1  sin2 x
 (1  y)sin2 x  2 y  1
(3)
* Với y  1 : phương trình (3) vô nghiệm vì 0 : sin2 x  3  0  3 vô
lý.
* Với y  1 : phương trình (3)  sin 2 x 
38
2y  1
có nghiệm khi:
y 1
0
2y  1
1
1  y  2
y 1
2
Vậy miền giá trị của hàm số là
1
y2
2
2.8. Tóm lược
Anh/chị đã được học về hàm số.
Anh/chị cần ghi nhớ các vấn đề sau:
- Nắm được định nghĩa chính xác về hàm số;
- Các phương pháp cho hàm số dưới dạng công thức giải tích và đồ
thị;
- Cách tìm miền xác định của hàm số;
- Điều kiện tồn tại hàm ngược của một hàm số và cách tìm hàm ngược
của nó;
- Các dáng điệu của hàm số: Hàm số không đổi, hàm bị chặn, hàm
đơn điệu tăng (giảm), hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn;
- Các hàm số sơ cấp cơ bản cũng giống như ở phần trình phổ thông;
- Làm thành thạo các bài tập thông thường về giới hạn và liên tục cả
về tự luận và về trắc nghiệm.
Phần tiếp theo anh/chị sẽ được học về giới hạn và liên tục của hàm
số.
Chúc anh/chị học tập tốt!
2.9. Bài tập
Bài 1: Tìm miền xác định của các hàm số:
1. y  f ( x )  ln( x 2  4 x  5)
2. y  f ( x )  log
3. y  f ( x )  log 1 (ln 2 x  5 ln x  6)
4. y  f ( x )  e
42  x 2
x 1 1
2
Giải:
1. y  f ( x )  ln( x 2  4 x  5) có ĐKXĐ: x 2  4 x  5  0
39
x 2 1
(sin x )
Xét: x 2  4 x  5  x 2  4 x  4  1  ( x  2)2  1  1  0x
Vậy: D f  R .
2. y  f ( x )  log
42  x 2
(sin x ) có ĐKXĐ:

sin x  0

2
2

1  4  x  0
k 2  x    k 2 ; k  Z
sin x  0

 2
 4  x 2  0  4  x  4
42  x 2  1


 x   15

Vậy: D f   4;     ;4  \  15

3. y  f ( x )  log 1 (ln 2 x  5 ln x  6)
2
x  0
x  0

2
3
ln x  5 ln x  6  0
 x  e hoÆc x  e
Có ĐKXĐ: 
2
Vậy: D f   0; e2    e3 ;  
x 1 1
4. y  f ( x )  e
x 2 1
Vậy: D f  1;  
40
x 1  0
x  1

 x 1
 x  1
x 1  0
có ĐKXĐ: 
2
Bài 2:
Tìm miền xác định của các hàm số:
 x 

 2000 
1. y  g( x )  arcsin 
2. y  h( x )  arctg 3
x 1
x 1
Giải:
x
 x 
; có ĐKXĐ: 1 
 1  2000  x  2000

2000
 2000 
1. g( x )  arcsin 
Vậy: Dg   2000;2000
2. y  h( x )  arctg 3
x 1
có ĐKXĐ:
x 1
3
x 1
có nghĩa
X 1
 1 x  0  x  1
Vậy: Dh   ;1  1;  
Bài 3: Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
1. y  f ( x )   x 4  5 x 2  4
2. y  f ( x )  ( x 3  x )sin x
3. y  f ( x )  ax  b  ax  b
4. y  f ( x ) 
5. y  f ( x )  esin x  esin x
y  f ( x )  ln

x2  1  x

tgx
x
6.
Giải:
1. Xét: f ( x )   x 4  5 x 2  4 ; có ĐKXĐ:  x 4  5 x 2  4  0
 x  1 hoÆc x  1
 1  x2  4  
 2  x  1 hoÆc 1  x  2
2  x  2
 D f   2; 1  1;2  D f0
Ta có: f ( x )  ( x )4  5( x)2  4   x 4  5 x 2  4  f ( x)
(1) và (2) cho: f là hàm chẵn trên D f
41
(1)
(2)
2. Xét: f ( x )  ( x 3  x )sin x ; có D f  R  D f
0


f ( x )    x 3  ( x ) sin( x )  ( x 3  x )( sin x )  ( x 3  x )sin x


 f ( x )  f ( x ). Vậy: f là hàm chẵn trên R .
3. Xét: f ( x )  ax  b  ax  b ; có D f  R  D f
0
f ( x )  a( x )  b  a( x )  b
 (ax  b)  (ax  b)  ax  b  ax  b
 ( ax  b  ax  b )   f ( x )
Vậy: f là hàm lẻ trên R .
4. Xét: f ( x ) 
 f ( x ) 
tgx


; có D f   ;0    0;   \   k ; k  Z 
x
2

tg( x ) tgx tgx


 f ( x)
( x )
x
x
Vậy: f là hàm chẵn trên D f  D f
0
5. Xét: f ( x )  esin x  e sin x ; có D f  R  D f
0
 f ( x )  esin(  x )  esin(  x )  esin x  esin x  f ( x )
Vậy: f là hàm chẵn trên R.
6. Xét: f ( x )  ln( x 2  1  x )
Để ý:
x 2  1  x  0 (1)
x  0
x  0

 x 2  1  x   x  0

 x  R
x

0


 x 2  1  x 2

 D f  R  D f0  f ( x )  ln
42

(  x )2  1  (  x )


f ( x )  ln
x2  1  x
  ln



x2  1  x
x2  1  x


  ln

1
x2  1  x

x2  1  x   f (x)
Vậy f là hàm lẻ trên R .
Bài 4: Tìm chu kỳ của hàm số:
f  x   A sin  x    ; , A  0.
Giải:
Ta có: với T  2 là chu kỳ hàm y  sin x .
 

2 
y  f ( x )  A sin  x     A sin   x 


  
 
2 

 f ( x)  f  x 
 f ( x ) là hàm tuần hoàn.
 

Ta cần chứng minh: T 
2

là chu kỳ của hàm số. Thật vậy, nếu giả
sử:
0T
2

; mà có: f  x  T   f  x  ; x
 A sin  x     A sin   x  T    
(1)
(1)
Cho: x  0  A sin   A sin  T   
 T  k 2 ; k  Z
T
k 2

; k  Z (vô lý vì: 0  T 
Vậy hàm số tuần hoàn có chu kỳ: T 
2

2

)
 A  0;  0  .
Bài 5: Tìm chu kỳ của hàm số:
1. y  cos  2 x  3
43
2. y  f ( x )  sin2 x
3. y  f ( x)  sin x  cos x
4. y  f ( x )  tg    x 
5. y  cos3 x
6. y  sin6 x
Giải:
1. Xét: y  f ( x )  cos  2 x  3
1
2
T
1
2
2. Xét: y  f ( x )  sin 2 x   cos 2 x
2

2
T


3. Xét: y  f ( x )  sin x  cos x  2 sin  x  
4

2

2
 T  2

Bài 6: Tìm f 1 biết f : R   0;1
x
y  f x 
1
x 1
2
Giải:
Ta có: y  f  x  
1
x 1
 f  1  f 1 
2
1
2
 Hàm f không có tính đơn điệu 1  1 ; trên R . Vậy không tồn tại
f 1 .
2.10. Câu hỏi trắc nghiệm
1. Hàm số xác định bởi phương án nào sau đây có tập xác định là
R?
(A): f  x   x 2  4 x  5
(C): f  x   arcsin
(B): f  x   arctgx
x
2
(D): Câu (A) và (B)
2. Hàm số: f  x   ln  4  x 2  không xác định tại giá trị nào của x , ở sau
đây?
44
(A): 2
(B): x  2 hoÆc x  2
(C): 2  x  2
3. Anh/chị hãy
(D): (A) hay (B)
chỉ
ra
tập
xác
định
của
hàm:
y  f  x   log2  3x  4 
(A):  1;  
(B): 1; 
(C):  1;  
(D):   ;  
 1
 3


4. Các hàm số định bởi công thức nào sau đây là hàm lẻ?
(A): f  x  
x
x
 cotgx
(C): h  x   x 2 sin x


 x
2

(B): g  x   cos 
(D): Cả 3 kết quả trên.
5. Hàm số định bởi công thức nào sau đây là hàm chẵn?
x 3
(A): x  2000
(B):
(C): x  sin 2 x
(D): x 3 cos x
x
6. Cho hàm số g : R \ 1  R \ 2
x
y  gx 
2x  1
x 1
Hàm số ngược (đảo) g 1 cho bởi công thức nào sau đây?
(A): y 
2x  1
x 2
(B): y 
x 1
x 2
(C): y 
1 x
2x
(D): y 
x 1
2x 1
7. Cho hàm số: f  x   3x  1 trên R có tập giá trị là  1;   . Câu
nào sau đây biểu diễn công thức của f 1 ?
(C).
45
(A): log3  x  1
(B): log3  x  1
(C): lg 1  x  log3 10
(D): Câu (B) hoặc câu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tạ Văn Đĩnh, Vũ Long, Dương Thủy Vĩ, Thái Thanh Sơn, Bài tập
giải tích, Nhà xuất bản Đại học Bách Khoa.
2. G.M.Fichtengon, Cơ sở giải tích toán - Tập 1, 2, Nhà xuất bản
Khoa học và kỹ thuật.
3. Lê Ngọc Lăng (chủ biên) và các tác giả khác, Ôn thi học kỳ và thi
vào giai đoạn 2, Nhà xuất bản Giáo dục 1997.
4. Liasko, Boiartruc, Giải tích toán học với các ví dụ và bài tập, Nhà
xuất bản Khoa học và kỹ thuật 1995.
5. Piskunov, Giáo trình vi phân và tích phân, Nhà xuất bản Khoa học
và kỹ thuật 1980.
6. Nguyễn Đình Trí và các tác giả khác, Toán học cao cấp - Tập
1,2,3, Nhà xuất bản Giáo dục 1999.
7. Nguyễn Đình Trí và các tác giả khác, Bài tập toán học cao cấp,
Nhà xuất bản Giáo dục 1999.
8. Nguyễn Đình Trí (chủ biên) - Lê Trọng Vinh - Dương Thủy Vỹ,
Bài tập toán học cao cấp, Tập hai, Nhà xuất bản Giáo dục 2007.
9. Bùi Minh Trí và Nguyễn Định Thành, Giải tích toán học, Nhà xuất
bản Thống kê 2005.
10. Lê Trọng Vinh - Tống Đình Quỳ, Ôn tập Toán cao cấp (Dùng ôn
thi Cao học các trường khoa học công nghệ),Nhà xuất bản Bách Khoa
2007.
46