Tài Liệu Ôn Thi Group
BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC
I. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN
1. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu
thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được
hàm một biến.
Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một
biến vừa tìm được.
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Bài toán 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  1  5i  z  3  i , tìm
số phức có môđun nhỏ nhất.
Giải:
 x; y    .
Gọi z  x  yi
z  1  5i  z  3  i  ( x  1)2  ( y  5)2  ( x  3)2  ( y  1)2
 x  3y  4  0  x  4  3y .
2

6  8 2 10
z  x  y  (4  3y )  y  10 y  24 y  16  10  y    
.
5
5
5


2
2
Đẳng thức xảy ra khi y 
2
2
6
2
x .
5
5
Vậy z đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2 10
2 6
khi z   i .
5
5 5
T
2
E
2 6
 i là số phức cần tìm.
5 5
Bài toán 2: Trong các số phức z có phần thực, phần ảo không âm và thoả

T
P  z2  z 2  z2  z 2 .i.  z(1  i)  z (1  i) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
https://TaiLieuOnThi.Net
H
T
N
O
IE
IL

U
z3
 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức
z  1  2i
A
mãn:
I.
N
Vậy z 
Tài Liệu Ôn Thi Group
Điều kiện: z  1  2i .
Gọi z  x  yi
 x; y    .
*

z3
z3
1
 1  z  3  z  1  2i .
z  1  2i
z  1  2i
( x  3)2  y 2  ( x  1)2  ( y  2)2  x  y  1 .
(luôn thoả mãn điều kiện vì x  1; y  2 không thoả mãn phương trình)
z  x  yi  z2  z 2  4 xy.i  z2  z 2  4 xy (vì x; y không âm)
z
2

 z 2 .i   4 xy  z2  z 2  4 xy
z(1  i )  z (1  i)  2 x  2 y
Do đó P  16 x 2 y 2  4 xy.(2 x  2 y )  16 x 2 y 2  8 xy .
2
xy 1
 1
2
Đặt t  xy  0  t  
  , ta có P  16t  8t; t   0;  .
 2  4
 4
 1
+ Xét hàm số f (t )  16t 2  8t liên tục trên  0;  .
 4
1
f '(t )  32t  8t; f '(t)  0  t  0  t   (loại)
4
 1  33
33
1
f (0)  0; f   
 max f (t ) 
 t  ;min f (t )  0  t  0
 1
16
4 0; 1 
 4  16
 0; 
 4
 4
Khi t 
 x  0; y  1
1
1
 x  y  ; Khi t  0  
2
2
 x  1; y  0
33
1 1
khi z   i .
16
2 2
P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi z  1  z  0 .
H
Nhận xét: Bài tập này cũng có thể giải được bằng cách rút y  1  x và thế vào
I.
N
E
T
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng
N
T
biểu thức P ta được hàm số g( x )  16 x 2 (1  x )2  8 x (1  x ) rồi đi tìm giá trị lớn
IL
IE
U
O
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g( x ) trên  0;1 .
T
A
Bài toán 3: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i .Tìm số
phức z có môđun nhỏ nhất.
https://TaiLieuOnThi.Net
Tài Liệu Ôn Thi Group
Giải:
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R) được biểu diễn bởi điểm
M(x;y).
Ta có x  2  ( y  4)i  x  ( y  2)i (1)
 ( x  2)2  ( y  4)2 
x 2  ( y  2)2
 y  x  4.
Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường
thẳng x + y = 4.
Mặt khác z  x 2  y 2  x 2  x 2  8 x  16  2 x 2  8 x  16
Hay z  2  x  2   8  2 2
2
Do đó z  x  2  y  2 . Vậy z  2  2i .
min


Bài toán4: Biết rằng số phức z thỏa mãn u   z  3  i  z  1  3i là một số
thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Giải
Đặt z= x+ yi (x, y  R ) ta có
u   x  3    y  1 i   x  1   y  3  i   x 2  y 2  4 x  4 y  6  2  x   y  4  i
H
I.
N
E
T
Ta có: u  R  x  y  4  0
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0.
M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM
nhỏ nhất  OM  d .
Tìm được M(-2;2) suy ra z= -2+2i.
N
https://TaiLieuOnThi.Net
A
Giải:
Gọi z  x  yi ( x , y  R )  z  x  yi .
IL
IE
U
O
13
.
2
T
Z 1  i   3  2i 
T
Bài toán5: Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện
Tài Liệu Ôn Thi Group
13
39
 x 2  y 2  x  5y 
0.
2
8
Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
z (1  i)  3  2i 
1 5
26
.
 M  (C ) là đường tròn có tâm I ( ; ) và bán kính R 
2 2
4
Gọi d là đường thẳng đi qua O và I  d : y  5 x .
3 15
1 5
Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C)  M1 ( ; ) và M2 ( ; ) .
4 4
4 4
OM1  OM2
Ta thấy 
OM1  OI  R  OM ( M  (C ))
 Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z 
3 15
 i .
4 4
II. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ
CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng
thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân,
bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và một số bài toán công
cụ sau:
BÀI TOÁN CÔNG CỤ 1:
Cho đường tròn (T ) cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M
di động trên đường tròn (T ) . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất,
nhỏ nhất.
T
A
IL
IE
U
I.
N
H
T
N
O
TH1: A thuộc đường tròn (T)
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A
AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T);
Giả sử AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
E
T
Giải:
https://TaiLieuOnThi.Net
Tài Liệu Ôn Thi Group
AM  AI  IM  AI  IB  AB .
Đẳng thức xảy ra khi M  B
AM  AI  IM  AI  IC  AC .
Đẳng thức xảy ra khi M  C
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với
điểm M bất kì trên (T), ta có:
AM  IM  IA  IB  IA  AB .
Đẳng thức xảy ra khi M  B
AM  AI  IM  AI  IC  AC .
Đẳng thức xảy ra khi M  C
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị
nhỏ nhất.
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất.
BÀI TOÁN CÔNG CỤ 2:
Cho hai đường tròn (T1 ) có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T2 ) có tâm J, bán
kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên (T1 ) , điểm N trên (T2 ) sao cho MN đạt giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J;
d cắt đường tròn (T1 ) tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2 )
tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC).
Với điểm M bất khì trên (T1 ) và điểm N bất kì trên (T2 ) .
Ta có:
MN  IM  IN  IM  IJ  JN  R1  R2  IJ  AD .
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
T
MN  IM  IN  IJ  IM  JN  IJ  R1  R2  BC .
T
A
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất.
khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.
IL
IE
U
O
N
T
H
I.
N
E
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B
và N trùng với C.
https://TaiLieuOnThi.Net
Tài Liệu Ôn Thi Group
BÀI TOÁN CÔNG CỤ 3:
Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng  không có điểm
chung với (T ) . Tìm vị trí của điểm M trên (T ) , điểm N trên  sao cho MN
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d
Đoạn IH cắt đường tròn (T ) tại J
Với M thuộc đường thẳng  , N thuộc đường tròn (T ) , ta
có: MN  IN  IM  IH  IJ  JH  const .
Đẳng thức xảy ra khi M  H ; N  I
Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị
nhỏ nhất.
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Bài toán 1: Trong các số phức z thoả mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của z .
Giải:
 Cách 1
Gọi z  x  yi
 x; y     M ( x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ
Oxy
z  3  4i  4  ( x  3)2  ( y  4)2  4  ( x  3)2  ( y  4)2  16
T
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3; 4) , bán
kính R = 4.
I.
N
E
z  x 2  y 2  OM ; OI  5  R nên O nằm ngoài đường tròn (T)
T
H
z lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
O
U
IE
IL
A
T
 3 4   27 36 
A  ;   ; B  ;    OA  1; OB  9
5 
5 5  5
N
(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt
Với M di động trên (T), ta có: OA  OM  OB  1  OM  9  1  z  9
https://TaiLieuOnThi.Net
Tài Liệu Ôn Thi Group
 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B
3 4
27 36
Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z   i ; z lớn nhất bằng 9 khi z 
 i
5 5
5
5
 Cách 2
Gọi z  x  yi  x; y   
 M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
  3  4i  A(3; 4) biểu diễn cho số phức 
z  OM ;   OA  5  z    AM ;
Theo giả thiết z  3  4i  4  z    4  AM  4 .
Ta có:
OM  OA  AM  4  OM  OA  4  4  OA  OM  4  OA  1  OM  9
3 4
27 36
 i ; z  9 khi z 
 i
5 5
5
5
3 4
27 36
Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z   i ; z lớn nhất bằng 9 khi z 
 i
5 5
5
5
 Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất
đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.
 1  z  9 ; z  1 khi z 
Bài toán 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z ( z  2  4i) là một số ảo,
tìm số phức z sao cho   z  1  i có môđun lớn nhất.
Gọi z  x  yi
 x; y   
Giải:
 M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
T
z ( z  2  4i )  ( x  yi )  ( x  2)  ( y  4)i   x ( x  2)  y( y  4)   x ( y  4)  y ( x  2)  i
I.
N
E
z (z  2  4i ) là một số ảo
IE
IL
  z  1  i  ( x  1)  ( y  1)i  ( x  1)2  ( y  1)2  AM với A(1;1)
U
O
N
 M biểu diễn cho z thuộc đường tròn (T) có tâm I (1;2) , bán kính R  5
T
H
 x ( x  2)  y( y  4)  0  x 2  y 2  2 x  4 y  0  ( x  1)2  ( y  2)2  5
T
A
IA  5  A  (T ) (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 1 - trường hợp 1)
Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất
https://TaiLieuOnThi.Net
Tài Liệu Ôn Thi Group
 AM là đường kính của (T)
 M đối xứng với A qua I
 I là trung diểm của AM
 M (3;3)  z  3  3i    4  2i
Vậy  lớn nhất bằng 2 5 khi z  3  3i .
Bài toán 3: Trong các số phức z có môđun bằng 2 2 . Tìm số phức z sao
cho biểu thức P  z  1  z  i đạt giá trị lớn nhất.
Gọi z  x  yi
Giải:
 x; y   
z  2 2  x 2  y2  2 2  x 2  y2  8
P  z  1  z  i  ( x  1)2  y 2  x 2  ( y  1)2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số
1;1 và
( x  1)2  y 2 ; x 2  ( y  1)2 , ta có:
P 2  2 ( x  1)2  y 2  x 2  ( y  1)2   4(9  x  y)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và x; y , ta có:


x  y  2 x 2  y2  4
 P 2  52  P  2 13 . Đẳng thức xảy ra khi x  y  2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 13 khi z  2  2i .
Bài toán 4: Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho
O
N
T
 x; y   
H
Giải:
U
Gọi z  x  yi
I.
N
E
T
biểu thức P  z  1  z  1  7i đạt giá trị lớn nhất.
https://TaiLieuOnThi.Net
IL
A
T
P  z  1  z  1  7i  ( x  1)2  y 2  ( x  1)2  ( y  7)2


 
Xét u  x  1; y  , v 1  x; 7  y   u  v   0; 7  . Khi đó:
IE
z  2  x2  y2  2  x2  y2  4
Tài Liệu Ôn Thi Group
 
   
P  u  v  u  v  7 . Đẳng thức xảy ra khi u , v cùng hướng
 ( x  1)(7  y )  y(1  x )  x  1
x 1 y   3
 
Với x  1; y  3 thì u , v ngược hướng (không thoả mãn)
 
Với x  1; y   3 thì u , v cùng hướng (thoả mãn)
Vậy z  1  i 3 thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7.
Bài 5: Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: z1  1  i  1 ; z2  6  6i  6 , tìm số
phức z1, z2 sao cho z1  z2 đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi z1  a  b.i ; z2  c  d .i ; (a, b, c, d là những số thực); z1 được biểu diễn bởi
điểm M(a; b); z2 được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
2
z1  1  i  1  z1  1  i  1  (a  1)2  (b  1)2  1 suy ra M thuộc đường
tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1.
2
z2  6  6i  6  z2  6  6i  36  (c  6)2  (d  6)2  36 suy ra M thuộc
đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6.
z1  z2  (c  a)2  (d  b)2  MN .
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2)
Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại
2 2 2 2 
2 2 2 2 
hai điểm M1 
;
;
 ; M2 

 2

 2
2
2 



Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm
 

T

I.
N
E
N1 6  3 2;6  3 2 ; N 2 6  3 2;6  3 2 .
N
T
H
M 2 N1  MN  M1 N 2  5 2  7  z1  z2  5 2  7
U

IE

nhất.
https://TaiLieuOnThi.Net
A
IL
2 2 2 2

i ; z2  6  3 2  6  3 2 i thì z1  z2 đạt giá trị lớn
2
2
T
Vậy z1 
O
max z1  z2  5 2  7 khi M  M1 , N  N 2 .
Tài Liệu Ôn Thi Group
Bài 6: Cho các số phức z1; z2 thoả mãn: z1  1 ; z2  z2  (1  i)   6  2i là một số
thực. Tìm số phức z1; z2 sao cho P  z2
2
  z1z2  z1z2  đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi z1  a  bi ; z2  c  di ;  a, b, c, d   
 M (a; b), N (c; d ) lần lượt biểu diễn cho z1; z2 trong hệ toạ độ Oxy
z1  1  a2  b2  1  a 2  b2  1
 M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = 1
z2  c  di;
  z  z  1  i    6  2i   c  di  (c  1)  (d  1)i   2  6i
 c(c  1)  d (d  1)  2   c(d  1)  d (c  1)  6  i
 là số thực  c(d  1)  d (c  1)  6  0  c  d  6  0
 N thuộc đường thẳng  : x  y  6  0
Ta có d (O;  )  1 nên  và (T ) không có điểm chung
z1 z2  ac  bd  (bc  ad )i;
z1z2  ac  bd  (bc  ad )i  z1 z2  z1z2  2(ac  bd )
P  c 2  d 2  2(ac  bd )  (c  a)2  (b  d )2  1  MN 2  1 (vì a 2  b2  1 )
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  : x  y  6  0  H (3;3)
I.
N
E
T
 2 2
Đoạn OH cắt đường tròn (T ) tại I 
;

 2 2 


Với N thuộc đường thẳng  , M thuộc đường tròn (T ) , ta có:
T
N

2
O

H
MN  ON  OM  OH  OI  IH  3 2  1 .
Đẳng thức xảy ra khi M  I ; N  H
https://TaiLieuOnThi.Net
IE
IL
A
2
2

i; z2  3  3i
2
2
T
Đẳng thức xảy ra khi z1 
U
 P  3 2  1  1  18  6 2 .
Tài Liệu Ôn Thi Group
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18  3 2 khi z1 
2
2

i; z2  3  3i .
2
2
Bài 7: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Tìm số
phức z có môđun lớn nhất.
Gọi z  x  yi
Giải:
 x; y   
 M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
z  3  z  3  10  ( x  3)2  y 2  ( x  3)2  y 2  10
 MF1  MF2  10
;
(với F1 (3;0); F2 (3;0) ).
x 2 y2
 1
 M ( E ) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6  M  ( E ) :
25 9
z  OM ; OM lớn nhất  OM  a  5  M (5;0)  M (5;0)
Vậy z lớn nhất bằng 5 khi z  5  z  5 .
III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI
Bài toán 1: Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho
biểu thức P  z  1  z  1  7i đạt giá trị lớn nhất.
B.1  i
3
C. 3  i
D.  3  i
E
T
A.1  i 3
T
H
I.
N
Hướng dẫn:
IE
U
O
N
- Chuyển qua chế độ số phức: w2
- Nhập biểu thức P :
T
A
Màn hình hiển thị:
IL
qcQ)p1$+ qcQ)p1+7b
https://TaiLieuOnThi.Net
Tài Liệu Ôn Thi Group
- Gán X cho từng đáp án, dùng phím: r
- So sánh kết quả và ta tìm được giá trị lớn nhất là 7
Bài toán 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Tìm
số phức z có môđun lớn nhất.
9
12
A.4  i
B.5
C.3  i
5
5
D.3  5i
Hướng dẫn:
- Chuyển qua chế độ số phức: w2
- Nhập biểu thức: z  3  z  3  10 vào máy tính:
qcQ)p3$ qcQ)+3$p10.
Màn hình hiển thị:
- Dùng phím rđể nhập các đáp án, nếu đáp án nào cho kết quả bằng 0 thì thỏa
T
H
I.
N
E
T
mãn điều kiện z  3  z  3  10 .
T
A
IL
IE
U
O
N
- Ta thấy 3 đáp án A,B,C thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng đáp án B có môđun
lớn nhất. Chọn B.
https://TaiLieuOnThi.Net