Aula 23 Fasores I Fontes senoidais Exemplo de representações de fontes senoidais • Fontes senoidais podem ser expressar em funções de senos ou cossenos • A função senoidal se repete periodicamente π£ π‘ = Vm cos(ππ‘ + π) ou π π‘ = πΌπ cos(ππ‘ + π) π½π → Amplitude da senoide (tensão - V) π°π → Amplitude da senoide (corrente - A) π → Frequência angular (rad/s) π → Fase (graus ou radianos) Fontes senoidais A senoide se repete a cada π segundos π → Período (segundos) Se π → πππ/π e a cada 2π temos um período (π − π ) 2π π= π O inverso do período de uma função periódica é o tempo de um ciclo completo, medido em frequência. 1 π = → π»π§ π π = 2ππ Por exemplo, a rede doméstica brasileira trabalha em uma frequência de 60Hz, seja, a cada 1 Segundo ocorrem 60 ciclos. Fontes senoidais Deslocamento de fase: π₯ = π ππ(ππ‘) π₯ = π ππ(ππ‘ + 90π ) Deslocamento de fase: π₯ = π ππ(ππ‘) π₯ = π ππ(ππ‘ − 90π ) π ππ → π π Identidades trigonométricas π ππ π΄ ± π΅ = π ππ π΄ ⋅ cos π΅ ± cos π΄ ⋅ π ππ π΅ πππ π΄ ± π΅ = πππ π΄ ⋅ cos π΅ β sen π΄ ⋅ π ππ π΅ π ππ ππ‘ ± π = π ππ ππ‘ ± 180π = −π ππ ππ‘ πππ ππ‘ ± π = πππ ππ‘ ± 180π = −πππ (ππ‘) π π ππ ππ‘ ± = π ππ ππ‘ ± 90π = ±πππ ππ‘ 2 π πππ ππ‘ ± = πππ ππ‘ ± 90π = βπ ππ(ππ‘) 2 Números complexos (π = Os números complexos podem ser expressos em 3 formas: Retangular Polar πΆπ΄ π₯ = β π π = π ⋅ πππ(π) cos π = Considere que: πΆπ π¦ = β π π = π ⋅ π¬ππ§(π) π ππ π = Retangular: π§ = π cos π + ππ ππ π Retangular: π§ =π₯+π¦ π = π + ππ Polar: Identidade de Euler: Exponencial: π ±ππ = cos π ± ππ ππ(π) π = π ⋅ πππ π§ = π∠π π= π₯2 + π¦2 π = atan π¦ π₯ * π§ = 8 ∠ atan 1 π = π ∠πππ No segundo quadrante somamos 180º de π No terceiro quadrante subtraímos 180º de π −1) Números complexos – Transformações Retangular → Polar Temos: π§ = π₯ + ππ¦ Queremos: π§ = π∠π π π + ππ π π = ππππ§ π π= Polar → Retangular Temos: π§ = π∠π Queremos: π§ = π₯ + ππ¦ π = π ⋅ πππ π π = π ⋅ π¬ππ§(π) Como a forma exponencial utiliza as relações polares, assim: Retangular → Exponencial Polar → Exponencial Transformar para polar e: Apenas colocar na forma: π = π ⋅ πππ π = π ⋅ πππ Números complexos – Operações Adição e subtração → forma retangular Multiplicação e divisão → forma polar ππ = ππ + πππ = ππ ∠ππ ππ = ππ + πππ = ππ ∠ππ π§1 + π§2 = π₯1 + π₯π₯ + π(π¦1 + π¦2 ) 1 = −π π π§1 − π§2 = π₯1 − π₯π₯ + π(π¦1 − π¦2 ) Exercício: Simplifique: π§1 π1 = ∠ π1 − π2 π§2 π2 π1 π§1 = π1 ∠ 2 40∠50π 1 π + 20∠ − 30 2 Resposta: π, ππ∠ππ, πππ Números complexos – Operações Exercício: Simplifique: 40∠50π **Lembrem-se de utilizar a calculadora em graus 1 π + 20∠ − 30 2 **Conversão graus → radianos: π → ππππ 40∠50π = 40 πππ 50π + ππ ππ 50π = 25,71 + π ⋅ 30,64 20∠−30π = 20 πππ −30π + ππ ππ −30π = 17,32 − π ⋅ 10 ππ∠πππ + ππ∠ − πππ = ππ, ππ + πππ, ππ π= 43,032 + 20,642 = 47,72 ππ, ππ ∠ππ, πππ = ππ, ππ ∠ 20,64 π = atan = 25,62π 43,03 ππ,ππ π = π, ππ∠ππ, πππ Exemplo π½π π = ππ ⋅ πππ π ⋅ π π½ π π = π, ππ ⋅ πππ(π ⋅ π + ππ, πππ )π¨ Note que a frequência é constante ππͺ π = π, ππ ⋅ πππ π ⋅ π − ππ, πππ π½ Corrente π= π 4 = = 0,64π»π§ 2⋅π 2⋅π Tensão (fonte x capacitor) Fasor Fasor é a representação complexa da magnitude e fase de uma senoide Dedução do fasor: π ππ = πππ π + ππ ππ π → πΌππππ‘πππππ ππ πΈπ’πππ πππ π = ℜ π ππ → π·ππππ πΉπππ π = ππ π ππ ππ’ π = ππ ∠π π ππ π = ℑ π ππ → π·ππππ π°πππππáπππ π£ π‘ = ππ πππ ππ‘ + π = ℜ(ππ ⋅ π π(ππ‘+π) ) π£ π‘ = ℜ ππ ⋅ π ππ ⋅ π πππ‘ π£ π‘ = ℜ π ⋅ π πππ‘ π = π½π πππ ππππ É a representação fasorial de uma fonte senoidal Fasor Fasor é a representação complexa da magnitude e fase de uma senoide π = π½π πππ½ = π½π ∠π π π = π½π πππ(ππ + π) = π½(π ⋅ ππππ ) Fasor Representação no domínio do tempo: Representação no domínio dos fasores: π£ π‘ = ππ cos(ππ‘ + π) π = ππ ∠π π£ π‘ = ππ sen ππ‘ + π = ππ cos ππ‘ + π − 90π π = ππ ∠ π − 90π π π‘ = πΌπ cos(ππ‘ + π) π = πΌπ ∠π π π‘ = πΌπ sen ππ‘ + π = πΌπ cos ππ‘ + π − 90π π = πΌπ ∠ π − 90π Derivada e integral no domínio dos fasores Derivada no domínio dos fasores π π π⋅90 = π π π£ π‘ = ππ cos ππ‘ + π = ℜ(π ⋅ π πππ‘ ) ππ£ = −π€ ⋅ ππ π ππ ππ‘ + π = π€ ⋅ ππ πππ ππ‘ + π + 90π ππ‘ ππ£ π = ℜ(π ⋅ ππ ⋅ π πππ‘ ⋅ π ππ ⋅ π π⋅90 ) ππ‘ ππ£ = ℜ(π ⋅ π½π ⋅ πππ ⋅ π πππ‘ ⋅ π) ππ‘ ππ£ = ℜ(π ⋅ π ⋅ π ⋅ π πππ‘ ) ππ‘ π π⋅90 = cos 90π + ππ ππ 90π π π π⋅90 = 0 + π1 π = π½π πππ Derivada e integral no domínio dos fasores Quando comparamos a derivada no domínio do tempo e dos fasores, concluímos que a derivada, no domínio dos fasores, passa a ser considerada uma simples multiplicação. Tais relações também são validas para a corrente, uma vez que a corrente também obedece a uma função senoidal Domínio do tempo Domínio dos fasores ππ£ ππ‘ πππ ΰΆ± π£ ππ‘ π ππ * Foram omitidos os cálculos para dedução da integral, porém seguem o mesmo raciocínio Tensão, corrente e impedância Analisando o indutor no domínio dos fasores, temos: π = π ⋅ π ⋅ π³ ⋅ π → π‘πππ ãπ (π) π π= → πππππππ‘π (π΄) π⋅π⋅π³ πππΏ (π‘) π£πΏ π‘ = πΏ ππ‘ Quanto maior a frequência, maior a impedância π = π = π ⋅ π ⋅ π³ → πΌππππâππππ (Ω) π Tensão, corrente e impedância Analisando o capacitor no domínio dos fasores, temos: π = π ⋅ π ⋅ πͺ ⋅ π → πππππππ‘π (π΄) π π= → π‘πππ ãπ (π) π⋅π⋅πͺ ππ£πΆ (π‘) ππΆ π‘ = πΆ ππ‘ Quanto maior a frequência, menor a impedância π π =π= → πΌππππâππππ (Ω) π π⋅π⋅πͺ Tensão, corrente e impedância Analisando o resistor no domínio dos fasores, temos: π = πΉ ⋅ π → π‘πππ ãπ (π) π π = → πππππππ‘π (π΄) πΉ π£ π‘ π π‘ = π No resistor a frequência não influência na impedância π = π = πΉ → πΌππππâππππ (Ω) π Tensão, corrente e impedância Impedância representa a oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente senoidal Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre as expressões i(t) e vc(t). Considere que π½π π = ππ ⋅ ππ¨π¬ ππ π½ Respostas: π π = π, ππ ⋅ πππ(π ⋅ π + ππ, πππ )π¨ π π = π, ππ ⋅ πππ π ⋅ π − ππ, πππ π½ Exercício 5Ω π Fasor ππΆ 1 = −2,5jΩ π ⋅ 4 ⋅ 0,1 10∠0π πππ = 5 + π= 1 = 5 − 2,5π Ω π ⋅ 4 ⋅ 0,1 52 + −2,5 2 = 5,59 π π = atan 0 − 2,5π = −2,5 5 02 + −2,5 2 ∠ atan − 2,5 0 0 − 2,5π = 2,5∠ − 90π = −26,56π ππ 10∠0π 10 π= = = ∠ 0π − −26,56π π πππ 5,59∠ − 26,56 5,59 = π, ππ∠ππ, πππ π¨ ππΆ = π ⋅ ππΆ = (1,79∠26,56π ) ⋅ −2,5π = (1,79∠26,56π ) ⋅ 2,5∠ −90π = 1,79 ⋅ 2,5 ∠(26,56π + (−90π )) ππͺ = π, ππ∠ −ππ, πππ π½ Exercício 5Ω π Fasor ππΆ 10∠0π π = π, ππ∠ππ, πππ π¨ ππͺ = π, ππ∠ −ππ, πππ π½ Voltando para o domínio do tempo: π π = π, ππ ⋅ πππ(π ⋅ π + ππ, πππ )π¨ π π = π, ππ ⋅ πππ π ⋅ π − ππ, πππ π½ 1 Ω π ⋅ 4 ⋅ 0,1 Exercício π π = π, ππ ⋅ πππ(π ⋅ π + ππ, πππ )π¨ π π = π, ππ ⋅ πππ π ⋅ π − ππ, πππ π½ Corrente π= π 4 = = 0,64π»π§ 2⋅π 2⋅π Tensão (fonte x capacitor)
