Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM)
División de Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnológicas (DCEIT)
Licenciatura:
Matemáticas
Asignatura:
Cálculo Diferencial
Unidad I:
Números Reales y Funciones
Actividad:
Evidencia de aprendizaje. Conjuntos, relaciones
y funciones.
Alumno:
Leonardo Felipe Martínez Estrada - ES202106625
Docente:
Profa. María del Carmen Lozano Arizmendi
Tijuana, B.C., México.
6 de octubre de 2020.
1. Evidencia de aprendizaje. Conjuntos,
relaciones y funciones.
A través de esta actividad, tomando en cuenta los axiomas de los números reales, resolverás y graficarás
funciones en diferentes contextos.
1. Determine el conjunto solución para la siguiente desigualdad. El conjunto solución debe
quedar expresada en término de intevalos.
1
2
x
−
≤
x2 − x − 6 x + 2
x−3
Solución:
x
1
2
−
≤
(x + 2)(x − 3) x + 2
x−3
x
1
2
−
≤
(x + 2)(x − 3) x + 2
x−3
2
x − (x − 3)
≤
(x + 2)(x − 3)
x−3
3
2
≤
(x + 2)(x − 3)
x−3
2
2
2
3
−
≤
−
(x + 2)(x − 3) x − 3
x−3 x−3
3 − 2(x + 2)
≤0
(x + 2)(x − 3)
−2x − 1
≤0
(x + 2)(x − 3)
2x + 1
≥0
(x + 2)(x − 3)
(1.0.1)
Se buscan los puntos de separación de la desigualdad (igualando a cero el numerador y el denominador).
2x + 1 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
x=−
1
2
x+2=0
x−3=0
1
x = −2
x=3
2
Ahora se debe determinar si la expresión (1.0.1) es positiva o negativa en cada uno de los intervalos
obtenidos. Los intervalos que cumplan con la desigualdad son la solución.
x=−
1
CAPÍTULO 1. EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.
Tabla 1: Tabla para comprobar valores.
x
-3
-1
1
5
2x+1
(x+2)(x−3)
≥0
Negativo
Positivo
Negativo
Positivo
Por lo que tenemos que,
Intervalo
(−∞, −2)
Negativo
(−2, −1/2)
Positivo
(−1/2, 3)
Negativo
(3, ∞)
Positivo
Por lo tanto, la respuesta es
−2 < x ≤ −
1
2
ó
3<x
Intervalos: x ∈ (−2, −1/2] ∪ (3, ∞)
2. Encuentre la suma f + g, diferencia f − g, producto f · g y cociente fg de las funciones
√
√
f (x) = 4 − x y g(x) = 3 + x. Además, proporcione el dominio de f + g, f − g, f · g y fg .
Solución:
√
√
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 4 − x + 3 + x
Dominio:
4−x≥0
x≤4
3+x≥0
x ≥ −3
{x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 4}
√
√
(f − g)(x) = f (x) − g(x) = 4 − x − 3 + x
Dominio:
4−x≥0
3+x≥0
x≤4
x ≥ −3
{x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 4}
p
√
√
(f · g)(x) = f (x) · g(x) = 4 − x · 3 + x = (4 − x) (3 + x)
Dominio:
4−x≥0
3+x≥0
x≤4
x ≥ −3
{x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 4}
2
CAPÍTULO 1. EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.
r
√
f (x)
4−x
4−x
(f /g)(x) =
=√
=
g(x)
3+x
3+x
Dominio:
4−x≥0
x≤4
3+x>0
x > −3
{x ∈ R : −3 < x ≤ 4}
√
√
3. Dadas la funciones f (x) = 9 − x2 y g(x) = x − 1, encuentre (f ◦ g) (x) y su dominio.
Solución:
q
√
√
2 √
x − 1 = 10 − x
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f ( x − 1) = 9 −
Dominio:
10 − x ≥ 0
x ≤ 10
{x ∈ R : x ≤ 10}
4. Dibuje la siguiente función estableciendo su dominio y rango y = |2x − 1|.
Gráfica:
2x − 1
y = |2x − 1| =
1 − 2x
x≥
x<
1
2
1
2
Figura 1: Gráfica de la función y = |2x − 1|.
Dominio: x ∈ R
Rango: {y ∈ R : y ≥ 0}
5. Considere la función f : [−1, 1] → [0, 1] definida por f (x) = x2 . ¿Es f inyectiva?. Justifique
su respuesta. Grafique la función.
Solución: La función es inyectiva si cada elemento del conjunto x le corresponde un elemento del
conjunto final y. En términos matemáticos:
Si f (x) = f (y) entonces x = y.
Por lo tanto, verificamos que la función cumpla con la condición de inyectividad:
p
f (x) = f (y) ⇒ x2 = y 2
⇒ x = ± y2
⇒ x = ±y
3
CAPÍTULO 1. EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES.
Por el resultado obtenido se concluye que f (x) = x2 no es inyectiva porque a cada elemento de y
le corresponden dos en x, es decir, no es una función uno a uno.
Figura 2: Gráfica de la función y = x2 .
4