ANÁLISE MATEMÁTICA II D
2023/2024-1º semestre
Ficha 1
Noções Topológicas em Rn
1. Interprete geometricamente os seguintes conjuntos indicando, se existirem, os pontos interiores,
exteriores e fronteiros.
a) {(x, y) ∈ R2 : (5x − x2 − 6)(1 − y 2 ) > 0};
b) {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y 2 − 4)(9 − x2 − 9y 2 ) ≥ 0};
y 2 + 2xy − 3x2
≥
0
;
c) (x, y) ∈ R2 :
x2 + y 2 − 1
d) {(x, y) ∈ R2 : y 2 + (x4 + x)y + x5 > 0}.
2. Determine, para cada um dos conjuntos seguintes, o interior, o exterior e a fronteira. Quais os
conjuntos que são abertos? E fechados?
1
2
2
a) (x, y) ∈ R : y −
y + cos(x) ≥ 0 ;
2
xy
2
b) (x, y) ∈ R : 2 x ≥ 0 ;
tg (e )
(
)
√ 2
2−1
5)
+
(y
−
1)
(x
−
√
c) (x, y) ∈ R2 :
≥0 ;
(x − 5)2 + (y + 1)2 − 1
log(x2 + y 2 − 25)
2
≥0 .
d) (x, y) ∈ R :
(x − y)(x + y)
3. Especifique, para cada um dos conjuntos seguintes, o interior, o exterior e a fronteira. Quais os
conjuntos que são abertos? E fechados?
a) {(x, y) ∈ R2 : (ex − ey ) sen(x) ≤ 0};
b) {(x, y) ∈ R2 : |arcsen(x2 + y)| > 0};
tg(x)
2
c) (x, y) ∈ R :
≥0 ;
tg(y)
xy
2
d) (x, y) ∈ R :
>0 .
log | cos(x)|
4. Considere as expressões designatórias definidas por
p
x2 y 2
x2 − (y − 1)2
log 1 −
−
e
9
4
e sejam A e B os respectivos domı́nios.
a) Interprete geometricamente os conjuntos A e B.
b) Determine o interior e os pontos de acumulação de A ∩ B.
5. Considere as expressões designatórias definidas por
1
1
e p
2
2
log 9 − (x − 2) − (y − 1)
9 − x2 − 2y 2
1
e sejam A e B os respectivos domı́nios.
a) Represente geometricamente os conjuntos A e B.
b) Determine a fronteira de A ∩ B. Averigúe se A ∩ B é um conjunto aberto.
6. Considere os conjuntos A e B definidos por
A=
1
(x, y) ∈ R : | cos(y)| ≥
2
2
e
B = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y 2 )(x2 − 4) > 0}.
a) Interprete geometricamente os conjuntos A e B.
b) Indique o interior, a fronteira e os pontos de acumulação de A ∩ B.
7. Considere a expressão designatória definida por log(y) +
domı́nio.
p
y 2 sen(x) − 9 sen(x) e seja A o seu
a) Represente geometricamente o conjunto A.
b) Determine o conjunto dos pontos interiores de A.
8. Considere a expressão designatória definida por
1
25
log
− x2 − y 2
16
e seja A o seu domı́nio.
a) Interprete geometricamente o conjunto A.
b) Determine o conjunto dos pontos interiores, exteriores e fronteiros de A.
c) Verifique se A é fechado ou aberto. É limitado?
9. Considere as expressões designatórias definidas por
1
e
2
log(x + y 2 − 4)
q
4
(x + 2) 2 − sen(x + y)
e sejam A e B os respectivos domı́nios.
a) Interprete geometricamente o conjunto A ∩ B.
b) Determine a fronteira de A ∩ B. Averigúe se A ∩ B é um conjunto aberto e se é um conjunto
limitado.
2