Conjuntos Numéricos
Definición
Conjunto: colección de objetos (números, letras, nombres, otros conjuntos, ...). Puede tener una cantidad finita
o infinita de elementos, o estar vacío. Los conjuntos se denotan con llaves y se suelen nombrar con letras
imprenta mayúsculas.
Ejemplos:
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
𝐵 = {2,4,6}
𝐶 ={}=∅
𝐷 = {0}
IMPORTANTE: nótese que, el conjunto 𝐶 está vacío, pero el conjunto 𝐷 tiene un elemento, el número 0. Por lo
tanto, 𝐶 ≠ 𝐷.
Los conjuntos anteriores están definidos por extensión, es decir, se nombró cada elemento por separado. Si bien
esta forma de definir conjuntos es práctica cuando los elementos son pocos. Es necesario usar otro método para
definir conjuntos extensos o con infinitos elementos.
Definición por extensión vs. Definición por comprensión:
𝐹 = {1,2,3,4,5,6,7,8}
𝐹 = {𝑥, 𝑥 ∈ ℕ: 1 ≤ 𝑥 ≤ 8}
La forma de la derecha es la definición por comprensión del conjunto 𝐹, y se lee: “conjunto de elementos x, con
x perteneciente al conjunto de números naturales, tal que 1 es menor o igual a x y x es menor o igual a 8”.
(Alternativamente, la condición final puede entenderse como “x entre 1 y 8”).
Ambas son formas válidas para definir al conjunto 𝐹, la ventaja de la forma de la derecha es que nos permite
incluir una cantidad potencialmente infinita de elementos, e incluso elementos que no conozcamos.
Operaciones con conjuntos:
Unión (∪)
Intersección (∩)
Resta / Diferencia (− 𝑜 \)
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
{1,2,3} ∪ {3,4,5}
= {1,2,3,4,5}
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 − 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
𝐵 − 𝐴 = {𝑥: 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
{1,2,3} ∩ {3,4,5} = {3}
{1,2,3} − {3,4,5} = {1,2}
{3,4,5} − {1,2,3} = {4,5}
Operaciones con conjuntos (casos especiales):

Intersección de dos conjuntos separados (no comparten elementos):
Da como resultado el conjunto vacío:
𝐴∩𝐵 ={} =∅
Ejemplo:
{1,2,3,4} ∩ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} = { } = ∅

Intersección entre un conjunto totalmente contenido y el conjunto que lo contiene:
Da como resultado el conjunto más pequeño:
𝐴∩𝐵 =𝐵
Ejemplo:
ℝ ∩ {1,3,5,7} = {1,3,5,7}

Unión entre un conjunto totalmente contenido y el conjunto que lo contiene:
Da como resultado el conjunto más grande:
𝐴∪𝐵 =𝐵
Ejemplo:
ℝ ∪ {1,3,5,7} = ℝ
Nota: el conjunto vacío (∅) está contenido en cualquier conjunto.
Conjuntos Numéricos:
Los números están clasificados en conjuntos según sus características. Estos conjuntos a su vez pueden limitar
las operaciones matemáticas realizables con sus elementos.
Un conjunto es cerrado para una operación si al aplicarla entre dos o más de sus elementos, el resultado es
también un elemento de ese conjunto.
Números
naturales o
enteros
positivos
Suelen ser los números
utilizados para contar,
excluyendo al 0.
1, 2, 3, 2 , √5
Cerrado sólo para la
suma.
ℕ𝑜ℤ
Números
enteros
Todos los números enteros
positivos y negativos, incluyendo
al 0
−5, 0, 5
Cerrado para la suma,
resta y multiplicación.
ℤ
Números
racionales
Todo número expresable como
una división, fracción o razón
entre números racionales.
7 1 0
− , , ,6
11 1 5
Cerrado para la suma,
resta, multiplicación y
división. (Excepto
división entre 0)
ℚ
Números
irracionales
Números con
decimales
infinitos, sin
repetición.
Algebraicos
Trascendentales
√2, ln 8 , −
1
√2
𝜋, 𝜑, 𝑒
No es cerrado para
ninguna operación
elemental.
ℙ 𝑜 ℝ\ℚ
Números
reales
Todos los números de la vida
cotidiana. La unión de todos los
conjuntos anteriores.
3
−3, 0, 1, , 𝜋
2
Cerrado para la suma,
resta, multiplicación,
división (excepto
división entre 0),
potenciación y
radicación (excepto
con radicando
negativo e índice par)
Números
imaginarios
La unidad imaginaria 𝑖
multiplicada por cualquier
coeficiente real (Incluso 0)
𝑖, 2𝑖, −2𝑖, 𝜋𝑖
Cerrado para la suma
y resta.
𝕀
Números
complejos
Números con una parte real y
una imaginaria, de la forma
𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏 son
números reales.
1 + 2𝑖, 1 − 2𝑖, 5
Cerrado para la suma,
resta, multiplicación,
división (excepto por
0), potenciación y
radicación.
ℂ
ℝ
Números reales y la recta real:
El conjunto de números es continuo y completo, es decir, no tiene huecos: entre cualquier par de números, sin
importar lo cerca que estén, existe una infinidad de otros números. Esto puede tornar imposible definir un
conjunto contenido en ℝ.
Nos será útil, entonces, representar conjuntos continuos de números reales en una recta infinita que llamaremos
recta real:
La recta real se extiende infinitamente hacia ambos lados y contiene a todos los números reales, su punto central
es el 0, que divide la semirrecta negativa, a la izquierda, de la semirrecta positiva, a la derecha. Si bien es
conveniente poder visualizar el 0, no es necesario que esté incluido al momento de representar números que
estén lejos de él. Por ejemplo, representemos 𝑦 √350 :
También se puede ajustar la escala para representar números muy cercanos o lejanos entre sí, probemos con
−𝜋 𝑦 − 3,165:
Como se puede observar, los números decrecen hacia la izquierda y crecen hacia la derecha, en otras palabras,
si un número es menor que otro, se encontrará a su izquierda y si es mayor, a su derecha en la recta real.
Sabiendo esto, veamos qué ocurre con las desigualdades al negar ambos lados de la inecuación:
5>3
⟺
−5 < −3
−2𝑥 < 3
⟺
2𝑥 > −3
Debemos prestar atención a este comportamiento al resolver inecuaciones, cuando multiplicamos o dividimos
ambos lados por un número negativo (cuando “pasamos multiplicando / dividiendo”).
Intervalos:
Una forma útil de representar un conjunto continuo de números reales es mediante intervalos:
𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ⟹ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ⟹ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 ⟹ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏)
(Asumiendo que 𝑎 < 𝑏)
En el primer ejemplo se define un intervalo abierto, que incluye todos los números reales entre 𝑎 y 𝑏, pero no
incluye a 𝑎 ni a 𝑏 pues en la definición se utiliza una desigualdad estricta (<, se lee "MENOR que").
En el segundo ejemplo tenemos un intervalo cerrado, que por utilizar una desigualdad no estricta (≤, se lee
"MENOR O IGUAL que") incluye a los extremos 𝑎 y 𝑏 del intervalo.
En el tercer ejemplo la desigualdad es estricta por derecha y no estricta por izquierda, por lo que el extremo
derecho no está incluido en el intervalo y el izquierdo sí.
Intervalos no acotados:
Anteriormente definimos ambos extremos de cada intervalo, pero ¿qué pasa si sólo indicamos uno de sus
extremos?
𝑎 < 𝑥 ⟹ 𝑥 ∈ (𝑎, +∞)
𝑥 ≤ 𝑏 ⟹ 𝑥 ∈ (−∞, 𝑏]
Cuando no definimos uno de los extremos de un intervalo real, sus elementos son libres de crecer o decrecer sin
cota, haciéndose mayores o menores que cualquier número real posible. Llamamos a este concepto infinito y lo
representamos con el símbolo ∞.
Importante: el infinito NO es un número, sino una forma de describir el comportamiento de números en ciertas
circunstancias.
Números imaginarios:
Calcular una raíz cuadrada es comparable a preguntarnos ¿qué número multiplicado por sí mismo da como
resultado el radicando? Además, sabemos que, al multiplicar dos números de igual signo, el resultado será
siempre positivo. Entonces podemos concluir que es imposible obtener la raíz cuadrada de un número negativo,
pues nunca podremos obtener un resultado negativo producto de multiplicar dos números de igual signo. Surge
entonces la necesidad de “inventar” un número que al multiplicarse por sí mismo, pueda dar resultados negativos.
Este número es 𝑖, la unidad imaginaria, y está definido como: 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖 = −1, o similarmente: √−1 = 𝑖.
Esto nos permite ahora calcular raíces con índice par en general y raíces cuadradas de radicandos negativos en
particular. Por ejemplo:
√−25 = 5𝑖
Números complejos:
Los números imaginarios se pueden representar en una recta similar a la recta real, la recta imaginaria, que
suele nombrarse 𝑧. Si combinamos la recta real y la recta imaginaria obtenemos el plano complejo; una de las
formas más completas de representar números gráficamente.
El plano complejo contiene todos los números reales, todos los números imaginarios y todas las combinaciones
de ambos, que llamaremos números complejos.
Los números complejos tienen la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales e 𝑖 es la unidad imaginaria. Por
ejemplo:
5 + 3𝑖
−8 + 𝑖
1 − 3𝑖
7 + 0𝑖 = 7
0 + 3𝑖 = 3𝑖
De momento no nos preocuparemos demasiado por los números complejos, basta con conocerlos.
Números irracionales:
Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como una fracción o razón, y sus valores
numéricos tienen infinitos decimales, sin repetición periódica de cifras. (Por ejemplo 0,333 … no es irracional,
pues es la expresión decimal de , por lo tanto, es un número racional).
Existen dos grupos de números irracionales: los algebraicos y los trascendentes.
Los números irracionales trascendentes son, por lo general, constantes matemáticas o universales, como el
número pi: 𝜋, que es la proporción entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro, sus primeras cifras
son 3,14159 … y siguen infinitamente sin ningún tipo de patrón conocido. Esto es cierto para cualquier
circunferencia en el universo.
El número de Euler es el valor de x para el cual ln 𝑥 = 1, se nombra 𝑒 y sus primeras cifras son 2,71828 …
En general, los números trascendentes tienen su propio nombre y símbolo.
Por otro lado, los números irracionales algebraicos son los provenientes de algunas operaciones no exactas
como los radicales y logaritmos, entre otros. Por ejemplo:
ln 3
√2
cos 19°
3√ 3
−
2
3
Racionalización:
La división por una raíz no exacta suele ser considerado “poco elegante” o “mala gramática” matemáticamente,
por lo que se utilizan algunas herramientas para llegar a una expresión equivalente que no tenga un radical en
el denominador. Por ejemplo:
1
=
√2
1
√2
∙
√2
√2
=
√2
√2
=
√2
2
Aquí tomamos ventaja del hecho que cualquier número dividido por sí mismo es igual a 1, y a su vez, cualquier
número multiplicado por 1 no cambia. Por lo tanto, la expresión inicial y la final tienen el mismo valor.
Como regla general, par racionalizar denominadores que sólo contienen una raíz, multiplicamos y dividimos la
fracción por esa raíz, con el objetivo de “cancelar” la raíz cuadrada al multiplicarla por sí misma (es decir, al
elevarla al cuadrado). La expresión final es considerada apropiada y en muchos casos, más fácil de trabajar.
Racionalizar un denominador que incluye una suma o resta:
3
√3 + 2
=
3
√3 + 2
∙
√3 − 2
√3 − 2
=
3√3 − 6
3√3 − 6
=
= − 3√3 + 6
3−4
−1
En este caso multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador, es decir, la expresión del denominador,
con el signo e uno de sus términos invertido.