1.1 Definición, notación y
operaciones con conjuntos
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una
"colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de
personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay
en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien
definido si se sabe que un determinado elemento pertenece o no al
conjunto.
El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista
de un bolígrafo se puede saber si es azul o no.
El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista
de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede
haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos
denominados elementos del conjunto. Por objeto entenderemos no
sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes
abstractos, como son números, letras, etc..
La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre
es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece
a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso
Notación
Se Llamará elemento a cada uno de los objetos que forman
parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter
individual, tienen cualidades que permiten diferenciarlos, y
cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados
o repetidos.
Se les representará con una letra minúscula: a, b, c…
Se emplean letras mayúsculas para
nombrar los conjuntos.
Se usan los corchetes para
representar y definir conjuntos. En
el interior de los corchetes se
ubican
los
elementos
que
conforman el conjunto separados
por comas.
Un conjunto se puede determinar
de dos maneras:
Definición de
Conjunto:
Por extensión
o enumeración
Por
comprensión
Determinación de un conjunto por extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se
define uno a uno a cada elemento del conjunto.
Ejemplo:
Los números enteros positivos menores que 5: A= {1,2,3,4}
Defina a Q como el conjunto conformado por los colores del
arco iris, en este caso se describir el conjunto por extensión
así:
𝐴 = {𝑟𝑜𝑗𝑜, 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎, 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, í𝑛𝑑𝑖𝑔𝑜, 𝑎𝑧𝑢𝑙, 𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑡𝑎}
Si un conjunto tiene muchos elementos puede hacer uso de
los puntos suspensivos para describir el conjunto por
extensión. Por ejemplo, si el conjunto está conformado por
los cien primeros números enteros, puede representarlos de
la siguiente manera:
𝐴 = {1,2,3, … , 98,99,100}
Determinación por comprensión
En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada
cantidad de elementos y la descripción por extensión
resultaría muy ardua. Se puede entonces describir los
conjuntos mencionando las características que comparten los
elementos que los conforman.
Un conjunto está determinado por comprensión cuando
solamente se menciona una característica común de todos los
elementos.
Ejemplo:
El conjunto de vocales del abecedario:
𝐶 = {𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}
En donde los : se leen como “tales que”. Así, la anterior expresión
se lee: “ es el conjunto de las x tales que x es una vocal”.
C es el conjunto conformado por todos los países del mundo
se puede escribir:
𝐶 = {𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑎í𝑠}
En donde la barra | se lee como “tales que”. Así, la anterior
expresión se lee: “ es el conjunto de las x tales que x es un
país”.
Conectivos
En algunas ocasiones los elementos que conforman un conjunto deben
satisfacer más de una condición, o una de varias. En tales casos se
usan los conectivos disyunción y conjunción.
La disyunción
Sea:
𝐴 = 𝑎 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑚í𝑓𝑒𝑟𝑜 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟}
En esta ocasión hay dos condiciones para los animales que
conforman el conjunto: ser mamífero o volar. La disyunción es
la letra “o” que las conecta y esta significa que los elementos
que conformen el conjunto deben satisfacer alguna de las dos
condiciones o ambas.
La conjunción
Sea:
𝑃 = 𝑝 𝑝 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜}
En este caso también hay dos condiciones pero están unidas
por la conjunción “y”. Esto significa que los elementos que
pertenezcan al conjunto deben cumplir las dos condiciones
simultáneamente.
También es posible combinar los anteriores conectivos para
establecer las condiciones que deben cumplir los elementos de un
determinado conjunto.
Por ejemplo: sea
𝐾 = 𝑘 𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 4 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 8}
Dado el conjunto 𝐵 = {1,2,3,4,5} darlo en su forma de
comprensión.
𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠}
𝐾 = 𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 1 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 6}
𝐾 = 𝑥 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 0 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 6}
5 minutos
Los estudiantes de la
silla
izquierda
escribirán un conjunto
por extensión.
Los estudiantes de la
silla
derecha
escribirán un conjunto
por comprensión.
Ejercicios
• Q={x | x es una letra de la palabra calcular }
Q = {c,a,l,u,r}
• T ={x | x es una cifra del número 2324 }
T = {2,3,4}
• Según la expresión 18 < 𝑥 < 27, los valores que toma x son:
𝐵 = {19, 20, 21,22,23,24,25,26}
• Determinar por comprensión el siguiente conjunto:
𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑁 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 2 < 𝑥 < 12}
A = {3; 5; 7; 9; 11}
Consultar
• https://disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/simbolos.html
• Conjunto Vacío o Nulo
• Conjunto Unitario
• Conjunto Finito
• Conjunto infinito
• Conjuntos iguales
• Conjuntos disjuntos
• Conjunto Universal
Clases de conjuntos
Existen varios tipos de conjuntos que se destacan por sus características especiales.
Conjunto Nulo o Vació
Es cuando no tiene elementos o carece de elementos existentes
racionalmente en nuestra realidad.
Notación:
Vacío = { }, Nulo = ø
{ }=ø
Ejemplos:
A={x|x es un elefante de 500 toneladas}
B={x|x ≠ x}
Conjunto Unitario
También conocido como singletón son aquellos que tienen un
único elemento.
Ejemplos:
A = {1}
B = {0}
D = {{}}
E = {ø}
Conjunto Finito
Un conjunto es finito cuando consta de un determinado
número de elementos distintos y que al encontrarlos de uno
en uno se pueda acabar en un determinado tiempo.
Conjunto Infinito
El conjunto infinito es todo lo contrario, es decir la operación
de contar los diferentes elementos de uno en uno no tenga
cuando terminar.
Conjuntos iguales
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen
los mismos elementos.
Ejemplo:
𝑃 = 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑔𝑜𝑡𝑎
𝑄 = {𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑔𝑎𝑡𝑜}
Estos conjuntos tienen los mismos elementos y se representa:
P=Q
Consideraciones
1. Un conjunto no cambia si sus elementos se repiten
2. Un conjunto no cambia aunque sus elementos estén
dispuestos en otro orden
Conjuntos Disjuntos
Son aquellos que no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
A = {1; 3; 5; 7}
B = {0; 2; 8; 9}
Conjunto Universal
Es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en
un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de
estudio son los números naturales, por lo que el conjunto
universal para este caso puede ser el conjunto de los números
naturales N.
Al conjunto universal también se le denomina conjunto
referencial, universo del discurso o clase universal, según el
contexto, y se denota habitualmente por U o V.
Relación entre Conjuntos
La relación necesariamente tiene que ser de elemento a
conjunto.
𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ∈ ó ∉ 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜
E = {1}
1∈𝐸
Relación de Inclusión (⊂) y no Inclusión (⊄)
La relación es de Subconjunto a Conjunto.
𝑆𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 ⊂ ó ⊄ 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜
Ejemplo:
Sea: A = {1; 2; 3} y B = {0; 1; 2; 3; 4}
A ⊂ B : “A esta incluido en B, por que los elementos de A Pertenecen
a B”
B ⊃ A : “B incluye al conjunto A”
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son
vacíos, unitarios, finitos o infinitos?
A = { x | x es día de la semana}
B = { vocales de la palabra vals}
C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
D = { x | x es un habitante de la luna}
I = { x | x es presidente del Mar Mediterráneo}
J = { x | x es el número de pelos de todos los eslovacos que
viven actualmente}
por comprensión
B = {x / x ϵ N, x | 6 }
lectura
por extensión
“B es el conjunto de todos los números
B = {1,2,3,6 }
naturales que sean divisores de 6”
C = { x / x ϵ N, 6 | x, x ≤
“C es el conjunto de los números naturales
C = {6, 12 }
12}
divisibles por 6 que sean menores o iguales
que 12”, o bien, “C es el conjunto de los
múltiplos de 6 que sean menores o iguales
que 12”
2
D = { x ϵ R / x – 3 x = 0} “D es el conjunto de los números reales que
D = {0,3}
2
sean raíces de la ecuación x – 3 x = 0 ”
E = { x ϵ N / x = 2n, nϵ Z “E es el conjunto de los números naturales que E = {2,4,6,...}
}
se obtengan de multiplicar 2 por un número
entero ”, o bien, “E es el conjunto de los
números naturales que sean múltiplos de 2 ”
2
F = { x ϵ R / x = x}
“F es el conjunto de todos los números reales F = {0,1}
que coincidan con su cuadrado”
Referencias
• Sangaku S.L. (2023) Definición y notación de conjuntos.
sangakoo.com.
Recuperado
de
https://www.sangakoo.com/es/temas/definicion-y-notacion-deconjuntos
• DisfrutaLasMatematicas.com (2021) Símbolos de conjuntos.
disfrutalasmatematicas.com,
Recuperado
de:
https://disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/simbolos.html
• https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/clases-de-conjuntos/1/
Cualquier figura geométrica cerrada (círculos, rectángulos,
triángulos, óvalos, etc) sirve para representar gráficamente las
operaciones entre conjuntos, estos gráficos son llamados
Diagramas de Venn.
Normalmente, al conjunto universal se le representa con un
rectángulo y los conjuntos con un círculo o elipse, tal y como
se muestra en la siguiente figura:
U
A
B
Los diagramas de Venn en ningún momento constituyen una
prueba matemática; sin embargo, permiten tener una visión
intuitiva de la relación que puede existir entre los conjuntos.
Unión
• El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto
a A como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B. (Área
sombreada).
U
A
B
Intersección
• El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente
a A y B se llama la intersección de A y B y se escribe A ∩ B.
U
ÁREA DE
INTERSECCIÓN
A
B
Diferencia
• El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no
pertenecen a B se llama la diferencia de A y B y se escribe A – B.
U
A
B
Complemento
• Son todos los conjuntos no en A y se escribe A’.
U
A
U
A B
Ejemplos de Operaciones de Conjuntos
Sean:
• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6, 7}
• C = {7, 8, 9}
• 𝐴 ∪𝐵=
• 𝐴 ∪𝐶=
• 𝐵 ∪𝐶=
• 𝐴 ∩𝐵=
• 𝐴 ∩𝐶=
• 𝐵 ∩𝐶=
• 𝐴′ =
• 𝐵′ =
• C′ =
• 𝐴−𝐵=
• 𝐵−𝐴=
• 𝐴−𝐶=
• 𝐶−𝐴=
• 𝐵−𝐶=
• 𝐶−𝐵=
• 𝐴∪𝐵 ′=
• 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• 𝐴 ∪ 𝐶 = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}
• 𝐵 ∪ 𝐶 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• 𝐴 ∩ 𝐵 = {3, 4}
• 𝐴 ∩𝐶=∅
• 𝐵 ∩ 𝐶 = {7}
• 𝐴′ = {5, 6, 7, 8, 9}
• 𝐵′ = {1, 2, 8, 9}
• C′ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 𝐴 − 𝐵 = {1, 2}
• 𝐵 − 𝐴 = {5, 6, 7}
• 𝐴 − 𝐶 = {1, 2, 3, 4}
• 𝐶 − 𝐴 = {7, 8, 9}
• 𝐵 − 𝐶 = {3, 4, 5, 6}
• 𝐶 − 𝐵 = {8, 9}
• 𝐴 ∪ 𝐵 ′ = {8, 9}
Ley conmutativa
Ley asociativa
Ley distributiva
EVENTOS
La teoría de conjuntos es aplicada a la probabilidad con
algunas modificaciones en su terminología: al universo se le
llama espacio muestral; a los subconjuntos, eventos; y a los
puntos en el conjunto, eventos simples o sucesos.
Algunas definiciones propias de los eventos
son:
• Experimento: es un conjunto de pruebas o la realización de
un proceso que conducen a un resultado y observación del
cual no se está seguro. Por ejemplo: el lanzamiento de una
moneda, el lanzamiento de un dado, etc.
Espacio muestral: para un experimento, es el conjunto de
todos los resultados experimentales, esto es, cuando se haya
especificado todos los resultados posibles, se habrá
identificado el espacio muestral del experimento. Un
resultado experimental también se conoce como punto
muestral para identificarlo como elemento del espacio
muestral. Ejemplo: Para el experimento de lanzar una
moneda, el espacio muestral es sol y águila. Para el
experimento de lanzar un dado, el espacio muestral es 1, 2, 3,
4, 5 y 6.
Eventos: son los resultados posibles que presentan una
condición dada al realizar un experimento. Cada resultado
posible lo constituye el elemento o suceso.