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Unidad 3
Conjuntos
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Unidad 3
Noción de conjuntos. Inclusión. Subconjuntos. Unión.
Intersección. Leyes de De Morgan. Diferencia simétrica.
Diagrama de Venn. Par Ordenado.
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Conjuntos
Definir, dar o determinar un conjunto significa enunciar un criterio
que permita decidir si un elemento cualquiera pertenece o no a
dicho conjunto.
Cuando se dispone de tal criterio se dice que el conjunto esta
definido, esta dado o esta determinado.
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Conjuntos
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Conjuntos
Cardinalidad:
Es el numero de elementos de un conjunto y se simboliza como
n(A)
Ejemplo:
Dado el conjunto B = { 1; 1; 2; 2; 3 }
n(B) = 3
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Conjuntos
Igualdad de conjuntos:
El conjunto A será igual al conjunto B siempre que se cumplan
las dos condiciones siguientes:
1 – Todo elemento de A es un elemento de B
2 – Todo elemento de B es un elemento de A
En otras palabras, dos conjuntos son iguales si poseen los
mismos elementos.
Propiedades de la Igualdad de conjuntos:
1) A = A : Propiedad reflexiva
2) A = B ⇒ B = A : Propiedad simétrica
3) A = B л B = C ⇒ A = C : Propiedad transitiva
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Conjuntos
Distintas formas de definir un conjunto:
Extensión: dar un conjunto por extensión es nombrar todos y
cada uno de los elementos que pertenecen al conjunto
B = { a; e; i; o; u }
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Conjuntos
Distintas formas de definir un conjunto:
Comprensión: dado un esquema proposicional con una
variable P(x), existe y es único un conjunto B cuyos elementos
son todos aquellos objetos que satisfacen P(x). Se dice en este
caso que el conjunto B ha sido dado por comprensión
U = { x|x es una letra de nuestro alfabeto}
Dado un conjunto universal
P(x) = “x es una vocal de nuestro alfabeto”
Y un enunciado abierto
o propiedad
B = { x|P(x)}
Queda perfectamente definido el conjunto de todas las x que
cumplen con ese enunciado
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Conjuntos
Ejemplo:
“x es un numero natural
comprendido entre 1 y 5”
Queda perfectamente definido un conjunto cuyos elementos
cumplen con dicha propiedad:
B = { x|P(x)}
Comprensión
Extensión
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Ejercicios
11
Ejercicios
2 – Defina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:
a) A = { x|x es un día de la semana }
b) B = { x|x es el conjunto de los divisores positivos de 20 }
c) A = { x|x es una vocal de la palabra HOMOLOGO }
3 – Defina por comprensión cada uno de los siguientes
conjuntos:
a) A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }
b) B = { 1; 3; 5; 7; 9 }
c) C = { 2; 4; 6; 8 }
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Conjuntos
El complemento de un conjunto:
Ejemplo:
Sea U = {a, b, c, d, e, f, g, h } ; M = { a, b, e, f } ; N = { b, d, e, g, h }
Encuentre los conjuntos M’ y N’
M´ = { c, d, g, h }
N’ = { a, c, f }
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Conjuntos
El Conjunto vacío:
Ejemplo:
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Conjuntos
Subconjuntos:
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B cuando cada
elemento de A también es elemento de B. Esto se expresa
como:
A⊆B
Cuando A es un subconjunto de B se dice también que “A esta
incluido en B”.
Ejemplo: escriba ⊆ o ⊈ según corresponda
A = {3, 4, 5, 6 }
B = { 3, 4, 5, 6, 8 }
A⊆B
C = {1, 2, 3 }
D = { 2, 4, 6, 8 }
C⊈D
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Conjuntos
Propiedades de los Subconjuntos:
La relación de inclusión goza de las siguientes propiedades:
1) A ⊆ A
(Propiedad reflexiva)
2) ∅ ⊆ A
3) (A ⊆ B л B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C
(Propiedad transitiva)
4) (A ⊆ B л B ⊆ A) ⇒ A = B
(Propiedad antisimétrica)
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Conjuntos
Igualdad de conjuntos (una definición alterna):
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Conjuntos
A = { 5, 6, 7 }
B = { 5, 6, 7, 8 }
C = {1, 2, 3 }
D = { 1, 2, 3 }
A⊂B
C⊆D
∅⊆D
Para cualquier conjunto D
∅⊂D
Para cualquier conjunto D ≠ ∅
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Conjuntos
Ejemplo:
Para cada conjunto encuentre todos los posibles subconjuntos
{ 7, 8 }
{ a, b, c }
{ a, b, c } ; { a } ; { b } ; { c };
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Conjuntos
Ejemplo:
Encuentre el numero de subconjuntos y el numero de
subconjuntos propios de cada conjunto.
{ 3, 4, 5, 6 , 7 }
{ 1, 2, 3, 4, 5, 9 , 12, 14 }
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Ejercicios
1 – Escriba ⊆ o ⊈ en los espacios en blanco de tal forma que las
proposiciones sean verdaderas:
a) { -1, 0, 1 } _______ { -2, -1, 1, 2, 5 }
b) { 4, 5 } _______ { 3, 4, 7, 6 }
c) { ∅ } _______ { p, q, r, s, t }
d) { ∅ } _______ { 0 }
e) { -3, 6, 7, 1 } _______ { x|x es un numero entero }
f) { -4, -9, 2, 0, } _______ { x|x es un numero irracional }
2 – En el punto anterior determine en cuales de los pares de
conjuntos puede establecer que son subconjuntos propios,
agregando el símbolo ⊂
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Ejercicios
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Conjuntos
Intersección de conjuntos:
La intersección de los conjuntos A y B, que se escribe como A∩B, es
el conjunto de todos los elementos comunes a ambos conjuntos A y
B, esto es:
A∩B = { x|x ∈ A л x ∈ B }
A∩B = {4, 6 }
Conjuntos disjuntos : sin elementos en común
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Conjuntos
Propiedades de la Intersección de conjuntos:
1) A∩B = B∩A
(Propiedad conmutativa)
2) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
(Propiedad asociativa)
3) (A∩B)⊆ A y (A∩B)⊆ B
4) A∩∅ = ∅
5) A∩A = A
(Propiedad de idempotencia)
6) A ⊆ B ⇒ A∩B = A
7) A ⊆ B л C ⊆ D ⇒ A∩C ⊆ B∩D
8) AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC)
9) A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)
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Conjuntos
Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B, que se escribe AUB, es el
conjunto de todos los elementos que pertenecen a ambos
conjuntos:
AUB = { x|x ∈ A v x ∈ B }
Ejemplo
Encuentre la unión de los siguientes conjuntos:
A = { 2, 4, 6 } y B = { 4, 6, 8, 10, 12 }
AUB = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
C = { a, b, d, f, g, h } y D = { c, f, g, h, k }
E = { 3, 4, 5 } y
F=𝜙
CUD = {a, b, c, d, f, g, h, k }
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Conjuntos
Propiedades de la unión de conjuntos
1) AUB = BUA ( Propiedad conmutativa)
2) (AUB)UC = AU(BUC) (Propiedad asociativa)
3) A⊆ AUB л B⊆ AUB
4) AU𝜙 = A
5) AUA = A
(Propiedad de idempotencia)
6) A ⊆ B ⇔ AUB = B
7) (A ⊆ B) л (C ⊆ D) ⇒ (AUC) ⊆ (BUD)
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Conjuntos
Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 } ; A = { 1, 2, 3, 4 } ; B = { 2, 4, 6 } ; C = { 1, 3, 6, 9 }
Resuelva cada una de las operaciones:
a) A’∩B = { 5, 6, 9 } ∩ { 2, 4, 6 } = { 6 }
b) B’UC’ = { 1, 3, 5, 9 } U { 2, 4, 5 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 9 }
c) A∩(BUC’) = { 1, 2, 3, 4 } ∩ ({ 2, 4, 6 } U { 2, 4, 5 }) =
= { 1, 2, 3, 4 } ∩ { 2, 4, 5, 6 } = { 2, 4 }
d) (A’UC’) ∩ B’ = ({ 5, 6, 9 } U { 2, 4, 5 }) ∩ { 1, 3, 5, 9 } =
{ 2, 4, 5, 6, 9} ∩ { 1, 3, 5, 9 } = { 5, 9 }
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Conjuntos
Diferencia entre conjuntos:
La diferencia entre los conjuntos A y B, que se escribe A-B, es el
conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y no
pertenecen a B:
A – B = { x|x ∈ A л x ∉ B }
Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; B = { 2, 3, 6 }; C = { 3, 5, 7 }
Resuelva cada una de las operaciones:
a) A – B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } - { 2, 3, 6 } = { 1, 4, 5 }
b) B – A = { 2, 3, 6 } - { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = ∅
c) (A – B) U C’ = { 1, 4, 5 } U { 1, 2, 4, 6 } = { 1, 2, 4, 5, 6 }
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Conjuntos
Propiedades de la diferencia y del complemento:
1) A∩A’= ∅
2) AUA´= U
3) (A’)’= A (Propiedad de involución)
4) A - B = A∩B’
5) A ⊆ B ⇔ B’ ⊆ A’
6) (A ∩ B)’ = A’ U B’ (Leyes de De Morgan)
7) (AUB)’ = A’ ∩ B’
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Conjuntos
Diferencia simétrica:
La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, que se escribe AΔB,
es el conjunto de todos los elementos que pertenecen solamente a
A o a B pero no a ambos:
A Δ B = { x|x ∈ A v x ∈ B }
La diferencia simétrica puede también definirse así:
A Δ B = (A – B)U(B – A)
La diferencia simétrica goza de las siguientes propiedades:
1) A Δ B = B Δ A (propiedad conmutativa)
2) A Δ (B Δ C) = (A Δ B)Δ C (propiedad asociativa)
3) A Δ ∅ = A
4) A Δ A = ∅
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Conjuntos
Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; B = { 2, 3, 6 }; C = { 3, 5, 7 }
Resuelva cada una de las operaciones:
a) A Δ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Δ { 2, 3, 6 } = { 1, 4, 5 }
b) B Δ C = { 2, 3, 6 } Δ { 3, 5, 7 } = { 2, 5, 6, 7 }
c) (A Δ ∅) U C’ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } U { 1, 2, 4, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
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Ejercicios
Sean :
U = { x|x ∈ ℕ л x<20 }
A = { x|x ∈ ℕ л x<20 л x es múltiplo de 2 } ; B = { x|x ∈ ℕ л x ≤ 10 } ;
C = {x|x ∈ ℕ л 10 < x < 20 }; D = {x|x ∈ ℕ л x<20 л x es múltiplo de 5 }
Resuelva cada una de las operaciones:
a) A U B
c) (A ∩ B) U (A ∩ C)
d) A’ U B’ U C U D
e) (A∩D)’
f) A’ ∩ D’
g) B - C
h) B Δ D
b) A ∩ C
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Conjuntos
Pares ordenados:
En el par ordenado (a, b), a se denomina primer componente y b se
denomina segundo componente. En general: (a, b) ≠ (b, a)
Producto cartesiano de conjuntos:
El producto cartesiano de A y B, simbolizado como A x B, es:
A x B = {(a, b)|a ∈ A л b ∈ B }
Ejemplo:
Sean A = { 1, 5, 9 } y B = { 6, 7 } . Encuentre cada uno de los siguientes
conjuntos:
a) A x B = { (1, 6), (1, 7), (5, 6), (5, 7), (9, 6), (9, 7) }
b) B x A = { (6, 1), (6, 5), (6, 9), (7, 1), (7, 5), (7, 9) }
c) B x B = 𝐵2 = { (6, 6), (6, 7), (7, 6), (7, 7) }
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Conjuntos
Numero cardinal de un producto cartesiano:
Si n(A)=a y n(B)=b, entonces:
n(A x B) = n(A) . n(B) = n(B) . n(A) = a . b
Ejemplo: Encuentre n(AxB) y n(BxA) a partir de la siguiente
información:
a) A = { a, b, c, d, e, f, g } y B = { 2, 4, 6 }
n(A)= 7 y n(B)= 3
n(A x B)= n(B x A)= 7 . 3 = 21
b) n(A)= 24 y n(B)=5
n(A x B)= n(B x A)= 24 . 5 = 120
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Conjuntos
Operaciones entre conjuntos y diagramas de Venn:
El complemento de A:
A’ = { x|x ∈ U л x ∉ A}
La intersección de A y B:
A∩B = { x|x ∈ A л x ∈ B}
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Conjuntos
Operaciones entre conjuntos y diagramas de Venn:
La unión de A y B:
AUB = { x|x ∈ A v x ∈ B }
La diferencia de A y B:
A-B = { x|x ∈ A л x ∉ B}
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Conjuntos
Operaciones entre conjuntos y diagramas de Venn:
La diferencia simétrica de A y B:
AΔB = { x|x ∈ A v x ∈ B }
AΔB = (A – B)U(B – A)
Conjuntos
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Ejemplos:
Represente mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos:
a) A’∩ B
b) A’ U B’
c) (A ∩ B)’
d) (A ∩ B’) ∩ C
a)
A’
B
A’∩ B
Conjuntos
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Ejemplos:
Represente mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos:
a) A’∩ B
b) A’ U B’
c) (A ∩ B)’
d) (A ∩ B’) ∩ C
b)
A’
B’
A’U B’
Conjuntos
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Ejemplos:
Represente mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos:
a) A’∩ B
b) A’ U B’
c) (A ∩ B)’
d) (A ∩ B’) ∩ C
c)
A∩B
(A ∩ B)’
Conjuntos
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Ejemplos:
Represente mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos:
a) A’∩ B
b) A’ U B’
c) (A ∩ B)’
d) (A ∩ B’) ∩ C
d)
A ∩ B’
(A ∩ B’) ∩ C
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Conjuntos
Leyes de De Morgan:
Para cualquiera de los conjuntos A y B:
(A ∩ B)’= A’ U B’
y
(A U B)’ = A’ ∩ B’
Ejemplo:
Describa con símbolos el área sombreada de cada uno de los
siguientes diagramas de Venn, utilizando A, B, C, ∩ , U, - y ‘ según sea
necesario:
b)
a)
B – (A U C)
A∩B∩C
B ∩ A’∩ C’
B ∩ (A U C)’
De Morgan
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Ejercicios
1 – Dados los siguientes conjuntos, realice las operaciones solicitadas:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
X = { 5 , 6 } ; y = { 1 , 2, 3, 6 } ; Z = { 9, 10, 11, 12 }
a) X∩Y
e) X ∩ (X-Y)
i) (ZΔY)’
b) XUY
f) XΔY
j) (Y’ΔZ)∩X
c) XUU
g) (ZUX’)’∩Y
d) X’UY’
h) (Y∩X’)’UZ’
2 – Diga si el enunciado es verdadero o falso:
a) (4, 5) = (5, 4)
c) {(6, 7), (3, 0)} = {(3, 0), (6,7)}
b) (8, 9)= (4+4, 6+3)
d) {(6, 7), (3, 0)} = {(3, 0), (7,6)}
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Ejercicios
3 – Dados los siguientes conjuntos:
A = { a, b, c, d } ; B = { 1, 2, 3, 4 }
Calcular:
a) AxB
b) BxA
e) n(A)
f) n(B)
c) 𝐵2
g) n(AxB)
d) 𝐴2
f) n(BxA)
4 – Coloque en el lugar correcto los elementos de estos conjuntos en
el diagrama de Venn:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A={5,6}
B = { 1 , 2, 3, 6 }
C = { 9, 10, 11, 12 }
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Ejercicios
5 – Utilice un diagrama de Venn para sombrear cada uno de los
siguientes conjuntos:
a) A’UA
b) BU(A’∩B’)
c) AΔBΔC
d) A-(BUC)
e) U’
f) (AUB)-C
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Ejercicios
6 – Redacte una descripción de cada área sombreada. Utilice los
símbolos A, B, C, U, ∩, Δ, ‘ y –
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Bibliografía
• Miller C.D., 2004, Matemática: Razonamiento y Aplicaciones,
Naucalpan de Juárez, México, Pearson Educación de
México.
• Petrocelli J.A., 1976, Matemática Básica: Lógica, conjuntos,
relaciones y funciones, Buenos Aires, Argentina, Marymar
Ediciones.
• Grassmann W. K., 1998, Matemática Discreta y Lógica,
Madrid, España, Prentice Hall.
• Rojo A., 1996, Algebra I, Buenos Aires, Argentina, El Ateneo.