Gabarito P1
TEA008 - Mecânica dos Sólidos II - Engenharia Ambiental - UFPR
Data: 31/08/2016
Professor: Emílio G. F. Mercuri
(1) (40,0 pontos) Num determinado instante, uma partícula tem as seguintes componentes
de posição, velocidade e
√
aceleração em relação a um sistema fixo de coordenadas xy: x = 4 m, y = 2 m, ẋ = 2 3 m/s, ẏ = −2 m/s, ẍ = −5 m/s2 ,
ÿ = 5 m/s2 . Determine as seguintes propriedades associadas a coordenadas polares: θ, θ̇, θ̈, r, ṙ e r̈. Dica: desenhar a
geometria da solução à medida que avançar.
Solução da Questão 1
O vetor posição r = 4i + 2j pode ser plotado e são identificadas as direções r e θ:
y
eθ
er
P
2
r
j
θ
x
i
O
4
Diretamente é possível calcular as incógnitas r e θ:
r=
θ = tan
q
−1
x2 + y 2 =
y
x
p
= tan
√
42 + 22 = 2 5 = 4,47 m −1
2
4
= 26,56◦ = 0,4636 rad
Ilustra-se também os vetores velocidade e aceleração com a origem sobre a partícula P:
aθ
a
y
vr
β
P
α
eθ
ar
er
θ
v
x
O
vθ
Posicionando os vetores velocidade e aceleração sobre a origem, temos:
y
aθ
a
5
vr
eθ
er
P
β
α
√
2 3
θ
x
−5
ar
v
−2
vθ
Pode-se calcular os ângulos α e β a partir de relações trigonométricas e da figura acima:
vy
2
α = tan−1
+ θ = tan−1 √
+ 26,56◦ = 56,56◦ ou 0,9872 rad
vx
2 3
−1 ay
−1 5
β = tan
+ θ = tan
+ 26,56◦ = 71,6◦ ou 1,2490 rad
ax
5
Os módulos da velocidade a aceleração são:
q
q
√
v = vy2 + vx2 = 22 + (2 3)2 = 4 m/s
a=
q
a2y + a2x =
p
52 + 52 = 7,07 m/s2
Com os ângulos α e β pode-se calcular as componentes da velocidade no sistema de coordenadas polar:
vr = ṙ = v cos α = 4 cos 56,6◦ = 2,20 m/s
ṙ = 2,20 m/s
vθ = rθ̇ = −v sen α = 4 sen 56,6◦ = −3,34 m/s
vθ
−3,34
θ̇ =
= √ = −0,746 rad/s r
2 5
e as acelerações:
ar = r̈ − rθ̇2 = −a cos β = −7,07 cos 71,6◦ = −2,24 m/s2
√
r̈ = ar + rθ̇2 = −2,24 + 2 5(−0,746)2 = 0,255 m/s2 aθ = rθ̈ + 2ṙθ̇ = a sen β = 7,07 sen 71,6◦ = 6,71 m/s2
6,71 − 2(2,20)(−0,746)
aθ − 2ṙθ̇
√
=
= 2,24 rad/s2 θ̈ =
r
2 5
(2) (30.0 pontos) A velocidade de uma partícula de 1.2 kg é dada por v = 1.5t3 i + (2.4 − 3t2 )j + 5k, onde v é expresso
em metros por segundo e o tempo t é expresso em segundos. Determine 1) a quantidade de movimento linear G da
partícula, 2) o seu módulo G, e 3) a força resultante R que age sobre a partícula quando t = 2 s.
Solução da Questão 2
A expressão para G em t = 2 s é:
h
i
G = mv = 1.2 1.5(2)3 i + (2.4 − 3(2)2 )j + 5k = 14.4i − 11.52j + 6k
kg m/s
Módulo da quantidade de movimento linear G:
G=
q
14.42 + (−11.52)2 + 62 = 19.39 kg m/s
Para encontrarmos a força resultante aplicada à partícula aplica-se a segunda lei de Newton na forma R = ΣF = Ġ. A
derivada da quantidade de movimento linear, para uma partícula de massa constante, é Ġ = mv̇. Derivando a velocidade:
v̇ = 4.5t2 i − 6tj
m/s2
A expressão para R = Ġ em t = 2 s é:
h
i
R = Ġ = mv̇ = 1.2 4.5(2)2 i − 6(2)j = 21.6i − 14.4j
N
(3) (30.0 pontos) O anel de 2 kg é submetido a uma velocidade para baixo de 4 m/s quando está em A. A mola tem
comprimento não deformado de 1 m e rigidez de k = 30 N/m.
Determine a velocidade do anel na posição C, quando s = 1 m.
Solução da Questão 3
Vamos analisar o problema sob a ótica da equação Trabalho-Energia. O sistema de análise é o corpo composto pelo
anel e pela mola, sendo o estado inicial AB e estado final CB, assim podemos escrever:
0
TA + VA + UA−C
= TC + VC
0
Nota-se que o trabalho UA−C
é nulo, uma vez que não há nenhuma força que cause trabalho diferente da força peso e da
força da mola. Portanto, há conservação de energia. Separando a energia potencial nas suas parcelas: energia potencial
gravitacional e a energia potencial elástica, obtemos:
TA + VAg + VAe = TC + VCg + VCe
Definindo o datum (marcação onde a energia potencial gravitacional é nula) na altura definida pela linha AB, percebe-se
que VAg = 0.
TA + VAe = TC + VCg + VCe
1
1
1
1
mv 2 + kx2 = mv 2 − mgh + kx2C
2 A 2 A 2 C
2
Para calcular a extensão ou compressão final da mola (xC = |BC − 1|), observa-se o triângulo retângulo ABC e através
de pitágoras obtem-se: BC 2 = 22 + 12 , ou BC = 2,236 m.
2
16 + 15 = vC
− 19,62 + 22,92
vC = 5,26 m/s
Relações Matemáticas
Coordenadas Polares v = ṙer + rθ̇eθ a = (r̈ − rθ̇2 )er + (rθ̈ + 2ṙθ̇)eθ
2
Coordenadas n − t
v = vet = ρβ̇et a = vρ en + v̇et = ρβ̇ 2 en + v̇et
2a Lei de Newton
ΣF = ma
Eq. Impulso - Quantidade de Movimento ∆G = I 1−2
U1−2 =
R2 P
F · dr
1
Eq. Trabalho - Energia
T = 21 mv 2
ΣF = Ġ
G = mv
ΣM 0 = Ḣ 0
Ve = 12 kx2
Vg = mgh
0
T1 + U1−2 = T2 T1 + V1 + U1−2
= T2 + V2