IES LA ASUNCIÓN d’ELX
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MATEMÁTICAS 4º ESO
TEMA 2: ÁLGEBRA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.
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1. A NTES
DE EMPEZAR , RECUERDA
TEORÍA
...:
* Expresiones algebraicas:
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se llaman variables o incógnitas.
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos entre sí por las operaciones de sumar,
restar, multiplicar, dividir y por paréntesis.
Ejemplos: 3 + 2 ⋅ x 2 − x
o
x ⋅ y − 32 ⋅ ( x ⋅ y 2 − y ) son dos expresiones algebraicas
* Monomios:
¿Qué son? Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o más
variables. Al número lo llamaremos coeficiente y al conjunto de las variables, parte literal.
Llamaremos grado del monomio a la suma de los exponentes de su parte literal y grado respecto de una
variable, al exponente de esa variable.
Ejemplo 1: El monomio 3a tiene como coeficiente "3", parte literal "a" y es de grado "1".
2 2
2
xy tiene como coeficiente " ", parte literal " xy 2 ", es de grado
3
3
"3" y el grado respecto la variable "y" es "2".
Ejemplo 2: El monomio
Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica.
Ejemplo 1: Los monomios " 3a 2 b " y " 7 a 2 b " son semejantes porque tienen la misma parte literal " a 2 b ".
Ejemplo 2: Los monomios " 3ab " y " 7 a 2 b " no son semejantes porque no tienen la misma parte literal.
Suma de monomios:
Dos monomios solo se pueden sumar si son semejantes. En ese caso, se suman los coeficientes, dejando la
misma parte literal.
Si los monomios no son semejantes, la suma queda indicada y esta operación no puede expresarse de manera
más simplificada.
El siguiente ejemplo con peras y manzanas puede aclararte cuando dos monomios se pueden sumar:
3
+2
=5
pero en cambio 3
+2
no es igual a 5 peras ni a 5 manzanas
Ejemplos:
a) 5a + 2a = 7 a
b) 8 x 2 − 3 x 2 = 5 x 2
c) 3 x + 2 x 2 no puede simplificarse
d) a 2 − a + a 2 = 2a 2 − a
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TEORÍA
Multiplicación de monomios.
El producto de dos monomios es un monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y por
parte literal el producto de las partes literales (recuerda la propiedad: a m ⋅ a n = a m + n ).
Ejemplos:
2
a) Multiplica los monomios " 3a b " y " 2a ".
2
2
2 +1
3
Es (3a b) ⋅ (2a ) = (3 ⋅ 2)a ba = 6a b = 6a b
5
− 15 2 + 3 2
5
5
b) (−3x 2 ) ⋅ ( x 3 y 2 ) = (−3 ⋅ ) x 2 x 3 y 2 =
x y = − x5y2
6
6
6
2
c) (2 x 4 y ) 3 = (2 x 4 y ) ⋅ (2 x 4 y ) ⋅ (2 x 4 y ) = (2 3 ) x 4 yx 4 yx 4 y = 2 3 x12 y 3 = 8 x12 y 3 o bien
(2 x 4 y ) 3 = 2 3 ( x 4 ) 3 y 3 = 2 3 x12 y 3 = 8 x12 y 3
* Binomios, Trinomios y Polinomios:
-
Dos monomios no semejantes unidos por los signos + ó – forman un binomio
Ejemplos: a) 3x – 5x2
-
c) 7x4 – 2
De la misma forma, tres monomios no semejantes unidos por las operaciones de suma o resta forman un
trinomio
Ejemplos: a) 2x3 + 4x – 8
-
b) 4ab + b3
b) 5a2b + a3 – 2ab
c) 8t – t2 – 5t3
Cuatro o más monomios no semejantes unidos por las operaciones de suma o resta formen un
polinomio. Cada monomio que lo compone se llama término del polinomio.
Ejemplos: a) A(x) = 3x4 + x3 – 5x2 – x + 7
b) B(t) = – 2t5 + 6t3 + t2 – 10t
Los coeficientes del polinomio son los números que multiplican a cada monomio.
Si uno de los monomios no tiene parte literal se llama término independiente.
El mayor grado de todos los monomios se llama grado del polinomio.
El coeficiente director es el coeficiente del monomio de mayor grado.
Nombramos los polinomios con una letra mayúscula y entre paréntesis las variables que lo integran.
Ejemplo 1: El polinomio P( x) = x 5 + 2 x − 4 tiene una variable (la "x"), es de grado 5, los coeficientes
son el 1 (coeficiente director), el 2 y el – 4 y el término independiente es – 4.
Este polinomio también se llama trinomio porque tiene tres monomios o términos.
Ejemplo 2: El polinomio Q(a, b) = 4a 2 b − 5a tiene dos variables ( la "a" y la "b"), es de grado 3, los
coeficientes son 4 y –5, no hay término independiente.
Este polinomio también se llama binomio porque tiene dos monomios o términos.
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TEORÍA
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El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable o variables por números
concretos y efectuar las operaciones.
Los números cuyo valor numérico en el polinomio es cero se llaman raíces del polinomio.
Ejemplo 1: Dado el polinomio P( x) = x 2 − 5 x + 6 , el valor numérico para x = −1 es el número 12
pues P(−1) = (−1) 2 − 5 ⋅ (−1) + 6 = 12 y para x = 2 el valor numérico es cero,
P(2) = (2) 2 − 5 ⋅ (2) + 6 = 0 . Observa que el número "2" es una raíz del polinomio P( x) = x 2 − 5 x + 6 .
Ejemplo 2: Dado el polinomio Q( x, y ) = 3 x 2 y − 5 x + 6 y , el valor numérico para x = 2 , y = −1 es
el número –28 pues Q(2,−1) = 3 ⋅ 2 2 ⋅ (−1) − 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ (−1) = −12 − 10 − 6 = −28 .
* Operar con polinomios:
Suma y resta de polinomios
Para sumar dos o más polinomios o bien restar dos polinomios tendremos en cuenta lo que ya sabemos sobre
la suma y resta de monomios.
Ejemplo 1: Dados los polinomios A = 2 x 3 − 3 x 2 + 6 y B = x 2 − 5 x + 4 de una sola variable,
halla su suma:
Es A + B = (2 x 3 − 3 x 2 + 6) + ( x 2 − 5 x + 4) = 2 x 3 − 3 x 2 + 6 + x 2 − 5 x + 4 = 2 x 3 − 2 x 2 − 5 x + 10
(hemos sumado los monomios semejantes).
También se puede sumar colocando los polinomios uno debajo del otro, haciendo coincidir, en la
misma columna, los monomios semejantes. Observa la imagen
Ejemplo 2: Dados los polinomios A = 2 x 3 − 3 x 2 + 6 y B = x 2 − 5 x + 4 de una sola variable,
halla la resta A − B :
Es A − B = (2 x 3 − 3 x 2 + 6) − ( x 2 − 5 x + 4) = 2 x 3 − 3 x 2 + 6 − x 2 + 5 x − 4 = 2 x 3 − 4 x 2 + 5 x + 2
(el signo menos delante del paréntesis cambia de signo todos los términos del polinomio B;
después hemos sumado los monomios semejantes).
También se puede sumar colocando los polinomios uno debajo del otro, haciendo coincidir, en la
misma columna, los monomios semejantes y cambiando de signo los término del sustraendo.
Observa la imagen
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TEORÍA
Producto de un polinomio por un número
Recuerda que para multiplicar un número por una suma, debemos multiplicar el número por cada sumando.
Es la propiedad distributiva a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
Ejemplo: 5 ⋅ (2 x 3 − 3x − 4) = 10 x 3 − 15 x − 20
Producto de un polinomio por un monomio
Observa el siguiente ejemplo en el que se vuelve a aplicar la propiedad distributiva.
Ejemplo: 5 x 2 ⋅ (2 x 3 − 3 x − 4) = 10 x 5 − 15 x 3 − 20 x 2
Producto de dos polinomios
Combinando los productos de un polinomio por un número y por un monomio, como hemos visto más
arriba, podemos calcular el producto de dos polinomios.
Para calcular el producto de dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y
cada uno de los monomios del otro factor y se suman los monomios obtenidos, reduciendo los que sean
semejantes.
Ejemplo: Realiza el producto ( x 3 − 4 x 2 + 5 x − 1) ⋅ ( x 2 − 3 x + 2)
* Extracción de factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva pero al revés de como la utilizamos cuando multiplicamos, es
decir:
p ⋅ a + p ⋅ b + p ⋅ c +  = p ⋅ (a + b + c + )
El monomio " p " que se extrae tiene como coeficiente el MCD de los coeficientes y como parte literal, las
variables comunes elevadas al menor exponente.
Ejemplos:
a) 3x − 3 y = 3 ( x − y )
b) 6 x 2 + 8 x = 2 x (3x + 4)
d) 12 x 2 − 4 x = 4 x (3x − 1)
e) 12 x 3 − 4 x 2 + x = x (12 x 2 − 4 x + 1)
–4–
c) 12 x 3 + 18 x 2 = 6 x 2 (2 x + 3)
f) 6 x 2 y + 9 xy 2 = 3xy (2 x + 3 y )
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* Productos notables
TEORÍA
Llamamos productos notables a ciertos productos de binomios cuya memorización resulta útil para abreviar los
cálculos con expresiones algebraicas.
Cuadrado de una suma
Se verifica (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Para demostrarlo basta multiplicar:
(a + b) 2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 pues es ab = ba
Se lee: "El cuadrado de una suma es igual ... al cuadrado del primer sumando .... más el doble del primero
por el segundo ... más el cuadrado del segundo".
Ejemplo 1: ( x + 3) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Ejemplo 2: (2 + 3 x) 2 = 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 x + (3 x) 2 = 4 + 12 x + 9 x 2
Cuadrado de una diferencia
Se verifica (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 . Para demostrarlo basta multiplicar:
(a − b) 2 = (a − b) ⋅ (a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 pues es ab = ba
Se lee: "El cuadrado de una diferencia es igual ... al cuadrado del primer sumando .... menos el doble del
primero por el segundo ... más el cuadrado del segundo."
Ejemplo 1: ( x − 1) 2 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 1 + 12 = x 2 − 2 x + 1
Ejemplo 2: ( x 2 − 3 x) 2 = ( x 2 ) 2 − 2 ⋅ x 2 ⋅ 3 x + (3 x) 2 = x 4 − 6 x 3 + 9 x 2
Suma por diferencia
Se verifica (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2 . Para demostrarlo basta multiplicar:
(a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − ab + ba − b 2 = a 2 − b 2
Se lee: "La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados"
Ejemplo 1: ( x + 2) ⋅ ( x − 2) = x 2 − 2 2 = x 2 − 4
Ejemplo 2: (3 − 4 x) ⋅ (3 + 4 x) = 3 2 − (4 x) 2 = 9 − 16 x 2
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* Binomio de Newton
TEORÍA
* Def.: El factorial de un número natural "n" es el producto de dicho número por todos
los números naturales menores que él, hasta el uno. Se representa por n ! . Es decir
n != n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) 3 ⋅ 2 ⋅1 .
Se define 0!= 1 y 1!=1.
Las calculadoras científicas tienen una tecla específica para hallar el factorial de un
número natural.
Ejemplo: El factorial de 6 es 6!= 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 720
 m
* Def.: Dados dos números naturales m y n, siendo m ≥ n , el número combinatorio   se lee m sobre n, y se
n
 
m
m!
define por la siguiente fórmula   =
.
 n  n!⋅(m − n)!
 m
Propiedades: a)   = 1
0
 
 m
b)   = 1
m
 
 m
c)   = m
1
 
 m   m
 =  
m − n  n 
d) 
 m   m   m + 1
 +   = 

 n − 1  n   n 
e) 
Las calculadoras científicas tienen una tecla específica para hallar un número combinatorio.
5
5!
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
Ejemplo: El número combinatorio   =
=
= 10
 2  2!⋅(5 − 2)! 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
* El triángulo de Tartaglia es la colocación en forma de triángulo de los números combinatorios. Observa que
los valores de cada fila del triángulo de Tartaglia, excepto los extremos, que son unos, se obtienen sumando los
dos números que tiene encima.
*
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Fórmula del binomio de Newton:
n
n
n
n
n
(a + b) n =  a n +  a n −1 b +  a n − 2 b 2 +  a n −3 b 3 +  +  b n
0
1
 2
 3
n
TEORÍA
n
n
n
n
n
(a − b) n =  a n −  a n −1 b +  a n − 2 b 2 −  a n −3 b 3 +  + (−1) n  b n
0
1
 2
 3
n
Para recordar estas fórmulas se debe tener en cuenta:
a) Todos los números combinatorios tienen arriba n, y abajo 0, 1, 2, 3, n. También puedes hallar estos números
con ayuda del triángulo de Tartaglia.
b) El exponente del primer término, a, comienza en n en el primer sumando, y va bajando de uno en uno hasta
llegar a cero.
c) El exponente del segundo término del binomio, b, es cero en el primer sumando, y luego va subiendo de uno
en uno hasta llegar a n. Observa que la suma de los exponentes de a y de b siempre es n.
d) En el binomio a + b, todos los términos son positivos. En el binomio a – b el signo de los términos se va
alternando: de positivo a negativo empezando por positivo.
Ejemplo 1: Desarrolla por el binomio de Newton ( x + 2) 4 y comprueba el resultado multiplicando
( x + 2) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 2)
 4
 4
 4
 4
 4
Solución: ( x + 2) 4 =   ⋅ x 4 +   ⋅ x 3 ⋅ 2 +   ⋅ x 2 ⋅ 22 +   ⋅ x ⋅ 23 +   ⋅ 24 = x 4 + 8x 3 + 24x 2 + 32x + 16
0
1
 2
 3
 4
Ejemplo 2: Halla y simplifica
2
(3 x 2 y − )3
x
Solución:
 3
 3
2
2  3
8
 2   3  2 
(3x 2 y − )3 =   ⋅ (3x 2 y)3 −   ⋅ (3x 2 y) 2 ⋅ +   ⋅ (3x 2 y) ⋅   −   ⋅   = 27 x 6 y3 − 54 x 3 y 2 + 36 y − 3
x
x  2
x
 x   3  x 
0
1
2
3
Ejemplo 3: Halla el coeficiente de x 35 del polinomio que obtienes al desarrollar (2 x − 3) 40
 40 
Solución: Es −   ⋅ (2 x )35 ⋅ 35 = −5493982801944379392x 35
5
Ejercicios cursos anteriores: del 1 al 14. (Están resueltos en vídeo)
Ejercicios curso actual: del 15 al 26.
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D IVISIÓN DE POLINOMIOS :
TEORÍA
División de monomios.
El cociente de dos monomios puede ser un número, otro monomio o una fracción algebraica.
Ejemplos:
(6a 2 b) : (3a 2 b) =
6a 2 b 6
= =2
3a 2 b 3
(un número)
(6 x 5 y) : (15x 3 ) =
6x 5 y 3 ⋅ 2 ⋅ x 3 x 2 y 2 2
=
= x y
5
15x 3
3⋅ 5 ⋅ x3
(un monomio)
a)
b)
6x 5 y 3 ⋅ 2 ⋅ x 3 x 2 y
x2
(6 x y ) : ( 2 x y ) = 3 2 =
=3
y (es una fracción algebraica pero no un monomio)
2x y
2 ⋅ x3y y
c)
5
3
2
División de Polinomios.
La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se
obtiene un cociente y un resto.
Veamos el ejemplo consistente en hacer la división P(x):Q(x) siendo P(x) = 6x4 + 8x2 + 7x + 40 y Q(x) =
2x2 – 4x + 5
1. En el dividendo se dejan huecos
por los términos que faltan.
2. Se divide el primer término del
numerador entre el primer término
del denominador:
(6x4) : (2x2) = 3x2. Este es el primer
término del cociente.
3. El producto de 3x2 por Q(x),
cambiado de signo, se sitúa bajo el
dividendo, y se suma.
4. El primer resto es:
12x3 – 7x2 + 7x + 40
A partir de aquí, volvemos a proceder como en los pasos 2 y 3.
El proceso se continúa mientras el resto parcial obtenido sea de grado mayor o igual que el grado del divisor
Q(x).
El cociente es C{x) = 3x2 + 6x + 17/2 y el resto, R(x) = 11x – 5/2 que es de grado inferior al divisor.
La relación entre el dividendo P(x) , divisor Q(x) , cociente C (x) y resto R(x) es:
P ( x) = Q( x) ⋅ C ( x) + R ( x) , o bien
R( x)
P( x)
= C ( x) +
Q( x)
Q( x)
Cuando R(x) = 0, la división es exacta y se cumple que P( x) = Q( x) ⋅ C ( x) . Entonces decimos que P(x) es
divisible por Q(x) .
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TEORÍA
División de un polinomio por x–a. Regla de Ruffini.
Es muy frecuente tener que dividir un polinomio por una expresión del tipo x – a. El procedimiento que
exponemos a continuación permite realizar esas divisiones de forma rápida y cómoda.
Veámoslo por medio de un ejemplo:
Esta misma división puede realizarse, sintéticamente,
del modo descrito en la imagen inferior.
Los pasos, numerados en verde, son los mismos que
se hacen en la división realizada con el algoritmo
habitual.
Este método, en el que solo intervienen los
coeficientes y solo se realizan las operaciones que
realmente importan, se llama
regla de Ruffini.
Observa que con los dos procedimientos obtenemos:
Cociente C ( x) = 7 x 3 + 10 x 2 + 30 x − 4
Resto R = −5
⇒
2. E L
TEOREMA DEL RESTO
El teorema del resto dice que el valor numérico que toma un
polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con el resto de la
división P(x) : (x–a). Es decir, P(a) = r.
Demostración: Es P( x ) = ( x − a ) ⋅ C( x ) + r . Si hacemos x = a , P(a ) = (a − a ) ⋅ C(a ) + r = r c. q. d.
Como consecuencia del teorema, el número a es raíz del polinomio P(x) si y solo si P(x) es divisible por
x − a (recuerda que un número a se llama raíz de un polinomio P(x) si P(a ) = 0 )
Observa, cómo al aplicar la regla de Ruffini se obtiene como resto el valor de P(x) cuando x vale a.
Tomamos P( x) = 7 x 4 − 11x 3 − 94 x + 7 y a = 3 . Aplicamos la regla de Ruffini indicando las operaciones:
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TEORÍA
El resto obtenido es el resultado de sustituir en el polinomio la x por 3.
Ejemplo 1: Calcular el valor del P( x) = 11x 5 − 170 x 3 + 2 x − 148 para x = 4.
Solución: Podemos hacerlo de dos formas:
1ª forma: Cambiando x por 4 en P(x) . Es P(4) = 11 ⋅ 4 5 − 170 ⋅ 4 3 + 2 ⋅ 4 − 148 = 244 , luego el valor es 244.
2ª forma: Hallando el resto de la división (11x 5 − 170 x 3 + 2 x − 148) : ( x − 4) hallamos también P(4)
Ejemplo 2: Calcular el resto de la división del (3x 156 − 4 x 3 + 5) : ( x + 1)
Solución: Hacer la división llevaría mucho tiempo pero gracias al teorema del resto sabemos que coincide con
el valor del dividendo en x = −1 , por tanto es el resto r = 3 ⋅ (−1)156 − 4 ⋅ (−1) 3 + 5 = 12
3. C RITERIO
DE DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO POR
x–a
PARA VALORES ENTEROS DE
a
Si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros y 
 ⇒ " a" es divisor del término independiente de P(x)
P(x) es divisible por (x - a), siendo " a" un entero 
Según el teorema del resto, equivale a decir:
Si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros
" a" un número entero que es raíz de P(x)
y
 ⇒ " a" es divisor del término independiente de P(x)

En la práctica, este criterio lo utilizaremos en sentido contrario, es decir:
Si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros y 
 ⇒ P(x) no es divisible por (x - a)
" a" no es divisor del término independiente de P(x) 
Si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros y 
 ⇒ " a" no es raíz de P(x)
" a" no es divisor del término independiente de P(x) 
Por tanto, para buscar expresiones x − a que sean divisores de un polinomio P(x) , o lo que es lo mismo, raíces
enteras de P(x) , probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término
independiente.
Este criterio es muy útil para limitar la búsqueda de divisores de un polinomio. Pero ten en cuenta que solo es
válido para polinomios con coeficientes enteros y solo sirve para localizar los valores de a cuando a es
entero.
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TEORÍA
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* Un polinomio P(x) de grado "n" tiene a lo sumo "n" raíces reales y por tanto a lo sumo encontrarás
"n" divisores de la forma x–a.
Ejemplo: Encontrar algún divisor x − a (a es un número entero) del polinomio P( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 160 , es
decir, encontrar alguna raíz entera del polinomio anterior.
Solución: Las raíces enteras de P( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 160 deben ser divisores de 160. Los divisores de 160
(positivos y negativos) son: ± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 8, ± 10, ± 16, ± 20, ± 32, ± 40, ± 80, ± 160 . Podemos asegurar que,
por ejemplo, el 3 no es raíz, pero no podemos asegurar que alguno de estos números sea raíz ya que puede ser
que las raíces sean todas no enteras.
Por ejemplo, para a = −4 , el resto es –396, por tanto P( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 160
no es divisible por x + 4 , o lo que es lo mismo, a = −4 no es raíz de
P ( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 160 ya que es P (−4) = −396 según el teorema del resto.
Sin embargo, para a = 5 , la división (2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 160) : ( x − 5) sí es exacta,
pues el resto es 0. Es por tanto 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 160 = ( x − 5) ⋅ (2 x 2 + 5 x + 32) .
También podemos decir que a = 5 es raíz del polinomio
P ( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 160 ya que es P(5) = 0 según el teorema del resto.
Ejercicios curso actual: del 27 al 48.
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4. D IVISIBILIDAD
TEORÍA
DE POLINOMIOS
La divisibilidad de polinomios se comporta de manera similar a la divisibilidad entre números enteros.
Def.: Un polinomio, D(x), es divisor de otro, P(x), si la división P(x) : D(x) es
exacta. En tal caso, P(x) es múltiplo de D(x), pues P( x) = D( x) ⋅ C ( x)
Ejemplo: ¿Es el polinomio Q( x) = x 2 + 2 x divisor del polinomio
P( x) = x 3 − 4 x ?
Solución: Sí porque la división ( x 3 − 4 x) : ( x 2 + 2 x) es exacta.
También podemos decir que P(x) es múltiplo de Q(x)
Def.:Un polinomio se llama irreducible si no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo.
Ejemplos: Los polinomios x, x – 3, x2 + 1, x2 – 3x + 3 son polinomios irreducibles. Nota: entenderás
mejor porqué son irreducibles cuando estudies el siguiente apartado: "factorización de polinomios"
También es irreducible 2x – 6, aunque sea divisible por x – 3, pues ambos son del mismo grado.
No es irreducible x2 – 3x + 2, porque (x–1) y (x–2) son divisores.
5. F ACTORIZACIÓN
DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios irreducibles. (similar a la factorización
de números que consistía en descomponer el número en producto de números primos).
Los polinomios de grado uno no se pueden factorizar, es decir, son irreducibles. A lo sumo, podremos
sacar factor común.
Algunos polinomios de segundo grado se pueden factorizar y otros no, es decir, algunos son irreducibles y
otros no. Para factorizar un polinomio de segundo grado ax 2 + bx + c , primero hallaremos las raíces
resolviendo la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 , quedando la descomposición factorial
ax 2 + bx + c = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) siendo x1 y x 2 las soluciones de la ecuación.
En el caso de que ax 2 + bx + c = 0 no tenga solución, el polinomio ax 2 + bx + c no se puede factorizar.
Todos los polinomios P(x) de grado tres o más se pueden factorizar, es decir, son todos no irreducibles.
Para factorizar un polinomio P(x) de grado tres o más, con coeficientes enteros, debemos localizar las raíces
enteras del polinomio. Probaremos con los divisores (positivos y negativos) de su término independiente.
Una vez localizada una raíz "a", puesto que P(x) es divisible por x − a , podremos ponerlo así:
P ( x) = ( x − a ) ⋅ P1 ( x) . Seguiremos factorizando buscando las raíces de P1 ( x) y asi sucesivamente hasta
descomponerlo en polinomios del menor grado posible (de grado uno o dos).
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En el proceso de factorización, primero tendremos en cuenta si podemos extraer factor común y si podemos
utilizar algún producto notable (me refiero al cuadrado de una suma o diferencia o bien a una suma por su
diferencia).
Si un polinomio de grado tres o más, tiene más de dos raíces no enteras, entonces, aunque pueda factorizarse,
nosotros no sabremos hacerlo sin ayuda de un ordenador.
Si tenemos descompuesto factorialmente el polinomio P(x), hallaremos las raíces resolviendo la ecuación
P ( x) = 0 teniendo en cuenta que, si al multiplicar varios números el producto es cero, es porque alguno de
los factores es cero.
Ejemplo 1: Factoriza el polinomio P ( x) = 8 x 5 − 8 x 4 − 18 x 3 + 2 x 2 + 4 x y halla las raíces.
Solución:
•
Primero sacamos factor común 2 x , quedando P( x) = 2 x ⋅ (4 x 4 − 4 x 3 − 9 x 2 + x + 2)
•
Buscamos raíces enteras del polinomio 4 x 4 − 4 x 3 − 9 x 2 + x + 2 aplicando la regla de Ruffini (recuerda
que serán divisores de 2 y por tanto pueden ser ± 1 o ± 2 ).
Es
y por tanto –1 es una raíz y es
P( x ) = 2 x ⋅ ( x + 1) ⋅ (4 x − 8x − x + 2)
3
•
2
Seguimos buscando raíces enteras. Ahora de 4 x 3 − 8 x 2 − x + 2 (puede ser –1 otra vez)
y por tanto 2 es una raíz y es P( x) = 2 x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ (4 x 2 − 1)
Es
•
Falta por descomponer 4 x 2 − 1 . Como casualmente es diferencia de cuadrados pues
4 x 2 − 1 = (2 x − 1) ⋅ (2 x + 1) , tenemos en definitiva la factorización pedida. Es
P ( x) = 8 x 5 − 8 x 4 − 18 x 3 + 2 x 2 + 4 x = 2 x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ (2 x − 1) ⋅ (2 x + 1)
P (x) es, por tanto, el producto de 5 polinomios irreducibles.
•
Para hallar las raíces del polinomio P(x) debemos recordar que las raíces de P(x) son las soluciones de
la ecuación P( x) = 0 . En nuestro caso 8 x 5 − 8 x 4 − 18 x 3 + 2 x 2 + 4 x = 0 , o lo que es lo mismo
2 x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ (2 x − 1) ⋅ (2 x + 1) = 0 . Recuerda que el producto de varios números es cero si y solo si
alguno de los factores es cero. Por tanto las raíces las obtenemos resolviendo las cinco ecuaciones
siguientes:
2x = 0 ⇒ x = 0
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
x−2=0 ⇒
2x − 1 = 0 ⇒
2x + 1 = 0 ⇒
x=2
x = 1/ 2
x = −1 / 2
Las raíces de P( x) = 8 x 5 − 8 x 4 − 18 x 3 + 2 x 2 + 4 x son 0, –1, 2, 1/2, –1/2
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TEORÍA
Ejemplo 2: Factoriza el polinomio P( x) = 6 x 2 − x − 2 y halla las raíces.
Solución:
• Las raíces enteras pueden ser ± 1 o ± 2 (divisores del término independiente) . Aplicando la regla de
Ruffini vemos que ninguno de esos cuatro números es raíz. ¿Cómo hallamos las raíces?. Pues
resolviendo la ecuación P( x) = 0 que al ser de segundo grado resulta fácil. Las soluciones son
x=
•
2
− b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c − (−1) ± (−1) − 4 ⋅ 6 ⋅ (−2)
.
=
2⋅a
2⋅6
Las raíces son 1/2 y –2/3.
La descomposición factorial es
P ( x) = 6 x 2 − x − 2 = 6 ⋅ ( x − 1 / 2) ⋅ ( x + 2 / 3) = 2 ⋅ ( x − 1 / 2) ⋅ 3 ⋅ ( x + 2 / 3) = (2 x − 1) ⋅ (3 x + 2)
y es, por tanto, el producto de dos polinomios irreducibles.
Observa que al saber que las raíces eran 1/2 y –2/3, la descomposición era de la forma
k ⋅ ( x − 1 / 2) ⋅ ( x + 2 / 3) . Hemos cambiado k por el coeficiente director, que es 6, para que la igual
6 x 2 − x − 2 = 6 ⋅ ( x − 1 / 2) ⋅ ( x + 2 / 3) sea cierta.
Siempre podemos comprobar si hemos factorizado correctamente multiplicando la descomposición.
En nuestro caso, multiplica (2 x − 1) ⋅ (3x + 2) y comprueba que es 6 x 2 − x − 2
Ejemplo 3: Factoriza el polinomio P( x) = x 3 − 5 x + 12 y halla las raíces.
Solución: Las raíces enteras pueden ser ± 1 , ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 .
Es
y por tanto –3 es raíz y es P ( x) = ( x + 3) ⋅ ( x − 3 x + 4)
2
•
Buscamos raíces de x 2 − 3x + 4 resolviendo la ecuación de segundo grado x 2 − 3x + 4 = 0 . La ecuación
no tiene solución y por tanto no hay más raíces.
•
La factorización es 6 x 2 − x − 2 = ( x + 3) ⋅ ( x 2 − 3x + 4) y la única raíz es –3 y es, por tanto, el producto
de dos polinomios irreducibles.
Ejercicios curso actual: del 49 al 60.
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6.
TEORÍA
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN DE VARIOS POLINOMIOS
También los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo son similares a los
correspondientes conceptos numéricos.
El polinomio máximo común divisor de varios polinomios A, B, C, ... es el divisor común de mayor grado, y
se escribe así: MCD (A, B, C, ...)
El polinomio mínimo común múltiplo de varios polinomios A, B, C, ... es el múltiplo común de menor grado,
y se escribe así: MCM (A, B, C, ...)
El procedimiento para encontrar el MCD y MCM de varios polinomios A, B, C, ... es el siguiente:
* Se descomponen los polinomios A, B, C, ... factorialmente.
* El polinomio MCD (A, B, C, ...) es el resultado de multiplicar los factores irreducibles comunes y solo los
comunes, en todas las descomposiciones factoriales anteriores, elevado cada uno al menor exponente con que
aparece.
* El polinomio MCM (A, B, C, ...) es el resultado de multiplicar los factores irreducibles comunes y los no
comunes en las descomposiciones factoriales anteriores, elevado cada uno al mayor exponente con que aparece.
Ejemplo: Halla el polinomio máx.c.d. de P( x) = 9 x 3 − 9 x y Q( x) = 6 x 4 + 18 x 3 + 12 x 2 . Halla también el
polinomio mín.c.m.
Solución: Descomponemos P(x) y Q(x) en producto de polinomios irreducibles:
P( x) = 9 x 3 − 9 x = 3 2 ⋅ x( x − 1) ⋅ ( x + 1)
y
Q( x) = 6 x 4 + 18 x 3 + 12 x 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2) luego:
máx.c.d .( P ( x), Q( x)) = 3 ⋅ x ⋅ ( x + 1) = 3 x 2 + 3 x
mín.c.m.( P ( x), Q( x)) = 32 ⋅ 2 ⋅ x 2 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2) = 18 x5 + 36 x 4 − 18 x3 − 36 x 2
Ejercicios curso actual: del 61 al 63.
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7. F RACCIONES
TEORÍA
ALGEBRAICAS
Def.: Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios
Ejemplos: Son ejemplos de fracciones algebraicas
3x + 4
;
3x + 5x − 3
2
P( x)
Q( x)
3xy + 4x
;
3x + 5xy 2 − 3y
2
x −1
;
2
7
5x − 3x + 2
7
* Las fracciones entre polinomios se comportan de forma muy parecida a las fracciones numéricas.
Simplificaremos, encontraremos fracciones equivalentes y operaremos (sumar, restar, multiplicar y dividir)
fracciones algebraicas de forma similar a las fracciones numéricas.
Simplificar fracciones algebraicas:
Simplificar una fracción
P( x)
consiste en dividir numerador y denominador por el mismo polinomio. Si no se
Q( x)
puede simplificar, se dice que la fracción es irreducible.
2x 3 − 17 x + 3
3x 2 + 5x − 12
Solución: Descomponemos el numerador y el denominador y vemos que podemos dividir ambos por (x+3):
Ejemplo: Simplifica la fracción algebraica
2x 3 − 17 x + 3 ( x + 3) ⋅ (2x 2 − 6x + 1) 2x 2 − 6x + 1
(Ésta última fracción es irreducible)
=
=
( x + 3) ⋅ (3x − 4)
3x − 4
3x 2 + 5x − 12
Fracciones equivalentes:
Dos fracciones
A( x)
P( x)
y
se dice que son equivalentes si al simplificarse obtenemos la misma fracción
Q( x)
B( x)
irreducible.
También podemos saber si dos fracciones
A( x)
P( x)
y
son equivalentes comprobando si verifican
Q( x)
B( x)
P ( x) ⋅ B ( x) = Q( x) ⋅ A( x)
Ejemplo: Comprueba que las fracciones algebraicas
x+4
2x + 5
y
son equivalentes.
2
2x − x − 15
x + x − 12
2
Solución: 1ª forma. Al simplificarlas obtenemos la misma fracción irreducible:
1
2x + 5
2x + 5
x+4
x+4
1
=
=
=
=
y
2x 2 − x − 15 ( x − 3) ⋅ (2x + 5) x − 3
x 2 + x − 12 ( x − 3) ⋅ ( x + 4) x − 3
2ª forma: Comprobando que se verifica ( x + 4) ⋅ (2 x 2 − x − 15) = (2 x + 5) ⋅ ( x 2 + x − 12) .
En los dos miembros el resultado de la multiplicación es 2x 3 + 7 x 2 − 19x − 60
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* Dada una fracción
TEORÍA
P( x)
, podemos encontrar fracciones equivalentes multiplicando numerador y
Q( x)
denominador por el mismo polinomio. Interesante propiedad si queremos que varias fracciones tengan el
mismo denominador.
Operaciones: Suma, resta, muliplicación y división de fracciones algebraicas.
Las operaciones con fracciones algebraicas son similares a las fracciones numéricas. Recordemos:
Para sumar fracciones algebraicas, se reducen a común denominador (si no lo están ya) y se suman sus
numeradores. Conviene que el común denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores. La
resta es un caso particular de la suma.
El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus
denominadores, es decir
P( x) A( x) P ( x) ⋅ A( x)
⋅
=
.
Q( x) B( x) Q( x) ⋅ B( x)
La división es
P( x) A( x) P( x) ⋅ B( x)
:
=
Q( x) B( x) Q( x) ⋅ A( x)
3
2−x
+ 2
2x + 2 x − 1
Ejemplo 1: Efectua la suma
Solución:
3( x − 1)
2(2 − x)
x +1
3
2− x
3
2− x
3x − 3 + 4 − 2 x
1
+ 2
=
+
=
+
=
=
=
2 x + 2 x − 1 2( x + 1) ( x + 1)( x − 1) 2( x + 1)( x − 1 2( x + 1)( x − 1) 2( x + 1)( x − 1) 2( x + 1)( x − 1) 2( x − 1)
Ejemplo 2: Efectua la resta
x2 − x +1 1
− 2
x
x2 − x
Solución:
x( x 2 − x + 1)
x2 − x +1 1
x2 − x +1 1
x −1
x3 − x2 + x − x + 1 x3 − x2 + 1 x3 − x2 + 1
=
= 2
=
−
=
−
=
−
x( x − 1)
x2 − x
x2
x2
x 2 ( x − 1)
x 2 ( x − 1)
x 2 ( x − 1)
x ( x − 1)
x3 − x2
Ejemplo 3: Efectua la multiplicación
Solución:
(4 x 2 − 1) ⋅ 6 x
(2 x − 1) ⋅ (2 x + 1) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ x 3(2 x + 1)
4x 2 − 1
6x
⋅
=
=
=
2
2
2
2
2 x(2 x − 1)
4x
4 x − 4 x + 1 4 x ⋅ (4 x − 4 x + 1)
2 2 ⋅ x 2 ⋅ (2 x − 1) 2
Ejemplo 4: Efectua la división
Solución:
4x 2 − 1
6x
⋅ 2
2
4x
4x − 4x + 1
x 3 − 2x 2 − 5x + 6 x 2 − 9
:
6
3x + 9
( x − 1) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 3) ⋅ 3
x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 x 2 − 9 ( x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6) ⋅ 3
x −1
=
=
=
:
2
6 ⋅ ( x + 2)
3
3 ⋅ 2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3) 2( x + 3)
6 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 9)
Ejercicios cursos anteriores: del 64 al 71. (Están resueltos en vídeo)
Ejercicios curso actual: del 72 al 92.
8. H ALLAR
LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ASOCIADA A UN ENUNCIADO
Ejercicios cursos anteriores: del 93 al 110. (Están resueltos en vídeo)
Ejercicios curso actual: del 111 al 114.
–17–
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EJERCICIOS
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TEORÍA Y EJERCICIOS
Operaciones combinadas
1. (2º ESO) Reduce:
a) 2(3x − 1) + 3( x + 2) − 4 x + 2
b) ( x + 1) ⋅ (2 x + 3) − 2 ⋅ ( x 2 + 1)
c) (− x + 3) ⋅ (2 x − 3) ⋅ (3x + 2) − 2 x
d) 3(4 x + 3) ⋅ (2 x − 5) − (24 x 2 − 5 x + 2)
e) [3x − ( x 2 + 3x) ⋅ ( x − 1)] + 2 x − 1
f) [3x − ( x 2 + 3x) ⋅ ( x − 1)] ⋅ 2 x − 1
2. (3º ESO) a) Halla el valor numérico del polinomio P( x) = − x 3 + 3x 2 − 5 x − 9 en x = 1 , en x = −1 , en x = −2 , en
x=0.
b) Halla mentalmente el número que anula el binomio Q( x) = 2 x + 12 (ese número se llama raíz del binomio).
c) Halla mentalmente los dos números que anulan el polinomio x 2 − 5 x + 6 (esos números se llama raíces del
polinomio y en el tema posterior aprenderemos a calcularlos resolviendo una ecuación)
d) Halla el valor numérico del polinomio de dos variables P( x, y ) = 5 x 2 y − 2 y 3 + 3x + 2 para x = 2; y = −1
3. (3º ESO) a) ¿Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio?
b) Comprueba si 3 o 0 son raíces de alguno de estos polinomios:
P ( x) = x 3 − 2 x 2 + x − 12
; Q( x) = x 3 − 5 x 2 − 7 x ; R( x) = ( x 4 − 5 x + 10)( x − 3)
c) ¿Cuál debe ser el valor de k para que –2 sea raíz del polinomio x3 – 5x2 –7x + k? Justifica tu respuesta.
4. (3º ESO) Desarrolla y agrupa términos semejantes:
a) x(5x2+ 3x – 1) – 2x2(x – 2) + 12x2
c) 15 ⋅ 

2( x − 3) 4( y − x) x + 2

−
+
− 7
3
5
15

7
b) 5(x – 3) + 2(y + 4) – (y – 2x + 3) – 8
3
d) (x2– 2x + 7)(5x3+ 3) – (2x5– 3x3– 2x + 1)
5. (3º ESO) Desarrolla, reduce e indica el grado de los polinomios obtenidos:
a) x(x2– 5) – 3x2(x + 2) – 7(x2+ 1)
b) 5x2(–3x + 1) – x(2x – 3x2) – 6x
1  3

c) x 2  − x 2 + 6 x − 9 
3  2

6. (3º ESO) Desarrolla y reduce:
a) (2x2+ 3)(x – 1) – x(x – 2)
b) (x + 4)(2x2+ 3x – 5) – 3x(–x + 1)
5
1
1
d)  x 2 + x + (6 x − 12 )
3
6
2
c) (x2– 5x + 3)(x2– x) – x(x3– 3)
7. (3º ESO) □ Desarrolla y reduce:
(
)
a) (3x − 1) ⋅ (2 x) 2 − (3x 2 − 1) ⋅ (2 x + 5) + 5 − 17 x 2 b) − 2 x 3 + (3x + 4)( x − 1)(2 x 2 − 1)
8. (3º ESO) Saca factor común:
a) 3x(x + 1) – x2(x + 1) + (x + 1)(x2– 2)
c) □ x2(x + 1) – x2(x + 2) + 2x2(x – 3)
c) (3x 2 + 2 x − 5) 2 − 2(2 x − 1) 3
b) 2x(x – 2) + x2(x – 2) – 3(x – 2)
d) □ 3x2(x + 3) – 6x(x + 3)
–18–
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EJERCICIOS
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9. (3º ESO) Desarrolla los siguientes productos:
1 
2
a)  x − y 
3 
5
2
1

b)  x + 
2

2
c) (x – 2y)2
1
 1

e)  x − 1 x + 1
2
 2

d) (x2+ x)(x2– x)
 1  1 
f) 1 + 1 − 
 x  x 
10. (3º ESO) Factoriza usando una identidad notable:
a) x2– 4
b) 4x2– 25
c) x2+ 8x + 16
e) x2+ 1 – 2x
f) 9x2+ 6x +1
g) 4x2+ 25 – 20x
d) x2+ 2x + 1
h)
x2
+ x +1
4
11. (3º ESO) Completa el término que falta para formar el cuadrado de un binomio:
b) x2 – 10x +….
c) x2 + …. +9
d) x2– ….+ 16
a) x2+ 4x +….
12. (3º ESO) Expresa en forma de producto utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma
por diferencia).
1
a) 16 x 2 − 9
b) 5 x 4 −
c) x 2 − 6 x + 9
d) 4 x 4 + 4 x 2 + 1
16
13. (3º ESO) Reduce las siguientes expresiones:
a) (x + 3)(x – 3) – (x + 3)2
b) (2x + 3)2– (2x – 3)2– 9
d) (x2+ 2)(x2– 2) – (x2– 1)2
c) 3x(x + 1)2– (2x + 1)(2x – 1)
14. (3º ESO) Reduce las siguientes expresiones:
c) (2 x 2 + x + 3) 2
b) (200 x 2 + 2 ⋅ (102 − 2)) 2
a) (−x − 3) 2
15. □ Opera y simplifica:
)[
(
]
d) ( x − 2) 2 ⋅ ( x + 2)
e) ( x − 2) 4
b) (2 y + x + 1) ⋅ (x − 2 y ) − ( x + 2 y ) ⋅ ( x − 2 y )
a) 5 x 2 − 4 x + 2 ⋅ 2 x 3 − 3 x + 2 − x(2 x − 1)( x − 2 )
16. Simplifica:
a) 2x–2x(x+1)(3x–(x2+1)(2x–3))(5x–1)–8x+2
b) 3x(2x – 1) – (x – 3)(x + 3) + (x – 2)2
c) (2x – 1)2 + (x – 1)(3 – x) – 3(x + 5)2
17. □ Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma
por diferencia).
(
a) 7 x 2 − 3
)
2
b)
(
)(
3x − 2 ⋅
3x + 2
)
18. Desarrolla los productos , teniendo en cuenta las identidades notables, y simplifica las siguientes expresiones:
a) (2y + x)(2y – x) – (x + y)2 – x(y + 3)
b) 3x(x + y) – (x – y)2 + (3x + y)y
c) (2y + x + 1)(x – 2y) – (x + 2y)(x – 2y)
19. □ Extrae factor común en 35 x 5 − 42 x 4 + 7 x 3
20. Saca factor común
a) 6x4– 15x3 + 9x2– 3x
–19–
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5
4
3
b) 35x – 42x + 14x
c) 36x4– 60x3 + 12x2
21. Expresa en forma de producto utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma por
diferencia).
a) 25 x 2 − 4
b) 7 x 4 −
1
25
c) x 2 − 8 x + 16
d) 9 x 4 + 12 x 2 + 4
22. Factoriza teniendo en cuenta las identidades notables:
a) 16x2– 8x + 1
b) 36x2+ 60xy + 25y2
c) 9x4+ y2 + 6x2y
d) 49x2– 16
e) 9x4– y2
f) y4+ 1 – 2y2
g) 81x4– 64x2
h) 1 – 144x4
23. Factoriza, sacando primero factor común y utilizando después, si es posible, las identidades notables:
a) 20x3 – 60x2 + 45x
b) 27x3 – 3xy2
c) 3x3 + 6x2y + 3xy2
d) 4x4 – 81x2
24. Enuncia la fórmula del binomio de Newton y haz el desarrollo de las siguientes potencias:
b) (2x + y)5
c) (x − 3y)6
a) (x2+ 3)4
5
1

25. □ Desarrolla la expresión  2 x −  utilizando la fórmula del binomio de Newton.
2

26. □ Sin desarrollar, calcula el término que se pide:
2
8
a) El término T4 en (3x + 2x)
b) El término T5
 3 x
 4x − 
2

10
División de polinomios, teorema del resto.
(
)(
)
27. □ Efectúa la división 6 x 4 + 3 x 3 − 2 x : 3 x 2 + 2 y comprueba que se verifica
Dividendo = Divisor x Cociente + Resto
(
)(
)
28. □ Efectúa la división 6 x 4 + 7 x 3 − 5 x 2 − 6 x − 6 : 3 x 2 + 2 x + 1 y comprueba que se verifica
Dividendo = Divisor x Cociente + Resto
29. □ En una división conocemos el dividendo D( x) = x 3 + 5 x − 1 , el cociente C ( x) = x − 2 y el resto
R( x) = 9 x − 1 . Halla el divisor d (x) .
30. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (7x2– 5x + 3) (x2– 2x + 1)
b) (2x3– 7x2+ 5x –3) (x2– 2x)
c) (x3– 5x2+ 2x + 4) (x2– x + 1)
d) (x2– 4x + 1) (2x – 3)
31. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
b) (x4– 5x3+ 3x – 2) (x2+ 1)
a) (3x5– 2x3+ 4x – 1) (x3– 2x + 1)
c) (4x5+ 3x3– 2x) (x2– x + 1)
d) (x3– 3x2+ 5) (3x2– 2x)
–20–
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32. Calcula las siguientes divisiones y factoriza las que sean exactas:
a) (6x3+ 5x2– 9x) (3x – 2)
b) (x4– 4x2+ 12x – 9) (x2– 2x + 3)
c) (4x4+ 2x3– 2x2+ 9x + 5) (–2x3+ x – 5)
33. □ Calcula los valores de a y b para que el polinomio P( x) = 4 x 3 + 4 x 2 + ax + b sea divisible por
Q( x) = 2 x 2 − x − 1
(
)
34. □ Efectúa la siguiente división 6 x 5 − 3 x 4 + 2 x : ( x + 1) utilizando el algoritmo tradicional y mediante la regla
de Ruffini. Comprueba que se cumple el teorema del resto, es decir, que el resto de la división coincide con el
valor del dividendo en x = a cuando se divide por x − a .
35. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones mediante la regla de Ruffini:
a) (5x3 – 3x2 + x – 2) (x – 2)
b) (x4– 5x3+ 7x + 3) (x + 1)
c) (–x3 + 4x) (x – 3)
d) (x4– 3x3+ 5) (x + 2)
e) (6x5– 3x4+ 2x) (x + 1)
f) (4x4+ 6x2– 1) (x – 1/2)
(
)
36. □ Efectúa la siguiente división 6 x 4 − 4 x 3 + 3x : (2 x + 1) utilizando la regla de Ruffini.
37. Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y encuentra los binomios
del tipo (x – a) , siendo "a" un número entero, por los que son divisibles:
a) x4+ 3x3– 2x2– 10x – 12
b) x4+ x3+ 7x2+ 2x + 10
38. □ Comprueba que el polinomio P( x) = 2 x 5 + x 4 + 13 x 3 − 3 x 2 + 18 x − 10 no es divisible por x − a para ningún
valor entero de a . ¿Significa ésto que x − a nunca es divisor de P(x) para ningún número real a ?.
Comprueba que Q( x) = x −
1
es divisor de P(x) utilizando la regla de Ruffini.
2
39. □ Dado el polinomio P(x) = 4x3– 3x2– 2x + 1, calcula el valor numérico para:
a) x = 1
b) x = –1
c) x = 2
d) x = 0
e) x =1/2
f) x = –1/3
Hazlo de dos formas: utilizando el teorema del resto y sustituyendo en el polinomio "x" el valor propuesto.
(
)
40. □ Halla el resto de la división − x 6 − 2 x 5 − 4mx 2 + x − m + 1 : (x + 2 ) utilizando el teorema del resto.
¿Para qué valor de m el resto de la división es 16?
41. □ Halla el cociente y el resto de la división ( x 3 + mx + 2) : ( x − 2) . ¿Para qué valor de m el resto de la división
es 6?.
42. Dado el divisor (x – a) de los siguientes polinomios, encuentra el resto de las divisiones mediante el Teorema
del resto para a = 1, a = –2 y a = 3.
a) P(x ) = 2x3– 5x2+ 7x + 3
b) P(x) = 4x2+ 6x – 10
43. Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y obtén sus raíces enteras
aplicando el Teorema del resto.
a) P(x) = x3– 2x2– 5x + 6
b) P(x) = x3– 3x2+ x – 3
c) P(x) = 3x2+ 2x – 8
d) P(x) = x4– 3x2+ 7
–21–
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4
3
2
44. El polinomio x – 2x – 23x – 2x – 24 es divisible por dos binomios del tipo (x – a) siendo "a" un número
entero. Encuéntralos y obtén sus cocientes.
45. Encuentra el valor de k para que (2x4– 5x3+ kx2– 12) (x + 2) sea exacta.
46. Encuentra el valor de m para que P(x) = x3– mx2+ 5x – 2 sea divisible por (x + 1).
47. El resto de la división (2x4+ kx3– 7x + 6) (x – 2) es –8. Encuentra el valor de k .
48. Encuentra el valor de m sabiendo que (x + 2) es un factor del polinomio mx3– 3x2+ 5x + 9m.
Factorización de polinomios
49. □ Factoriza y halla las raíces de los polinomios:
a) P( x) = 2 x − 6
b) P( x) = x 2 − 5 x + 6
c) P( x) = 2 x 2 + 7 x + 6
f) P( x) = x 2 − 4 x + 4
d) P( x) = 10 x 2 + 27 x + 5 e) P ( x) = x 2 + x + 1
50. □ Factoriza y halla las raíces de los polinomios:
a) P ( x) = 21x 5 − 36 x 4 + 9 x 3 + 6 x 2
b) P( x) = 4 x 3 + 8 x 2 − x − 2 c) P( x) = 9 x 4 + 12 x 2 + 4
51. Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
b) 4x3– 24x2+ 36x
c) 45x2– 5x4
a) 3x3– 12x
d) x4+ 2x3+ x2
e) x6– 16x2
f) 16x4– 81
52. □ Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
b) 3x2 – 12x – 15
c) 2x2 – 9x – 5
a) x2 – 4x – 5
f) 2x2 – 3x +5
g) 2x2 – 2x – 2
h) 5x2 – 9x
d) 4x2 – 4x – 3
i) 5x2 – 9
53. □ Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
a) x3+ 2x2– x – 2
b) 3x3– 15x2+ 12x
c) x3– 9x2+ 15x – 7
e) x3– 2x2– 2x – 3
f) 4x6+ 4x5– 3x4– 4x3 – x2 g) 12x4–38x3+16x2+10x
i) x3–6x2+12x–8
j) x3+8
k) 2x4–32
e) 16x2 – 24x + 9
j) 5x2 + 9
d) x4– 13x2+ 36
h) 25x3+80x2+69x+18
l) x4+16 (con ordenador)
54. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio P ( x) = 16 x 3 − 12 x 2 − 24 x − 7 . Ayuda: una raíz es
−1.
2
55. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio P( x) = 18 x 4 + 12 x 3 + 11x 2 + 6 x + 1 . Ayuda: el polinomio
Q( x) = 2 x 2 + 1
es divisor de P(x) .
56. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio P( x) = 5 x( x + 1)2 (3 x + 5)(x 2 − 1)
57. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio P( x) = 5 x( x + 1)(3 x − 5) − 30
58. □ Dado el polinomio P( x) = 2 x 4 + 9 x 3 + 9 x 2 − 8 x + a .
a) Calcula el valor de a para que P(−1) = −2
b) Para el valor de a hallado, descompón el polinomio factorialmente y halla las raíces.
–22–
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59. □ Escribe un polinomio de segundo grado que verifique las tres condiciones siguientes:
* Es divisible por x − 3 .
* Es divisible por x + 4
* El valor numérico en x = −1 es − 36
60. □ Factoriza y halla las raíces de P( x) = x 3 − a 3 .
Máximo común divisor y mínimo común de varios polinomios
61. □ Halla el máx.c.d. y mín.c.d de los polinomios:
P( x) = 12 x 4 − 78 x 3 + 168 x 2 − 120 x
(
Q( x) = 8 x x 3 − 3 x − 2
)
62. □ Halla el máx.c.d. y mín.c.d de los polinomios:
P ( x) = ( x − 3)
2
Q( x) = 9 − x 2
63. Calcula los m.c.m y m.c.d de los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2; Q(x) = x2– x; R(x) = x2– 1
b) P(x) = x – 3; Q(x) = x2– 9; R(x) = x2– 6x + 9
c) P(x) = x + 2; Q(x) = 3x + 6; R(x) = x2+ x – 2
d) P(x) = 2x; Q(x) = 2x + 1; R(x) = 4x2– 1
Fracciones algebraicas
64. (3º ESO) a) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a1)
9x
12 x 2
a2)
x ( x + 1)
5( x + 1)
b) Encuentra fracciones equivalentes a
a3)
x 2 ( x + 2)
2x 3
3x
x+5
y a
que tengan el mismo denominador.
x +1
2x − 3
c) Demuestra que las fracciones algebraicas
3x 3 − 3x 2
x 2 − 2x + 1
y
son equivalentes.
2x 2 − 2
6x3 + 6x 2
65. (2º ESO) Descompón en factores el numerador y el denominador utilizando los productos notables y extraer
factor común y después simplifica:
a)
x2 − 9
x2 − 6x + 9
b)
3x + 3
5 x + 15
c) 2
2
x + 6x + 9
3x − 3
d)
x2 + 2x + 1
2x2 − 6x
e)
5x2 + 5x
2 x 3 − 12 x 2 + 16 x
f)
3x 2 + 6 x + 3
5x2 + 5x
66. (3º ESO) Factoriza el numerador y el denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
x +1
2x + 4
x−2
a)
b) 2
c) 2
2
x −1
3x + 6 x
x − 4x + 4
d)
x 2 − 3x
x2 − 9
e)
x2 − 4
x 2 + 4x + 4
f)
–23–
x3 + 2x 2 + x
3x + 3
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67. (3º ESO) Opera y simplifica:
a)
x2 −1
: ( x − 1)
x
d) 6 x 2 ·
g)
x −3
x3
b)
x ( x − 2) x 2 − 4
:
x
x+2
c)
x 2 − 2x + 1 x − 1
:
x
x
e)
3x − 3 x ( x + 1)
· 2
x2
x −1
f)
4x 2
2x
:
x − 1 2x − 2
x+5
5
· 2
10 x + 10 x + 25
4x − 3 4x 2
·
8x − 6
2x
h)
i)
3x
3x − 3
·
2
18x − 18
x
68. (3º ESO) Opera y simplifica si es posible:
a)
x
3
· 3
x +1 x
b)
3x + 2 x + 1
:
x −1
x
c)
3
2
:
4
( x − 1) ( x − 1) 2
69. (3º ESO) Reduce a común denominador y calcula:
1
1
1
2 3 x−2
a)
b)
+ 2 − 3
+
+
6 x 3x
x 2x
x
2x
2x
x −1
2 x −1
d)
e)
−
+
x −3 x +3
x x−7
g)
2 x 2 + 8x
3
− 4x
− 2
x +1
x +x
h)
2
7x
−
+3
x −9 x −3
2
d) ( x + 1) :
x2 −1
2
3
1 x
+
+
x − 1 2x 4
2
3
x +1
f)
−
+
x x−4 x−4
c)
i)
3
1
− 2
+2
x +1 x + x
70. (3º ESO) Opera y simplifica:
x2
x3 + x 2
1
−
−
5 x 2 − 25 5 ( x + 1)(5 x 2 − 25)
a)
6 x 2  5x
5x 
:
+

2
4x − 9  2x − 3 2x + 3 
b)
c)
1
5 − x x +1
⋅ (3 + x) −
−
3
12
4
d) −
(2 x + 5) 2 x(3 x − 9) ( x − 1)( x + 1)
+
+
3
6
9
71. (2º ESO) Utilizando el asistente matemático WIRIS realiza los siguientes cálculos:
a) Halla el valor numérico del polinomio P( x) = − x 4 − 2 x + 3 en x = 2 . Ayuda: escribe P(x) y luego P(2)
b) Dados los polinomios P( x) = 3x 3 − 5 x 2 − 3x + 2 ; Q( x) = −2 x 3 + 4 x 2 − x − 3 ; calcula: P( x) + Q( x) y
P( x) ⋅ Q( x)
c) Simplifica [3x − ( x 2 + 3x) ⋅ ( x − 1)] ⋅ 2 x − 1
d) Desarrolla (5 − 3a) 2 .
e) Factoriza 4 x 2 + 4 x + 1 . Ayuda: escribe factorizar (4 x 2 + 4 x + 1)
f) Simplifica la fracción algebraica
18 x ⋅ ( x + 2)3 ⋅ ( x − 2)
6 x 2 ( x + 2) 2
72. □ Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones algebraicas de dos formas: simplificando
buscando la fracción irreducible equivalente en cada una y “multiplicando en cruz”.
x3 − x
x3 + x2
y
3x − 3
3x
–24–
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73. Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:
a)
x−4
1
y
3 x − 12
3
b)
x2 +x
x
y
2x
x+y
c) x2 −y2 y
2
74. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
𝑥𝑥 2 −9
a) 𝑥𝑥 2 +6𝑥𝑥+9
𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥𝑥𝑥
c)
𝑥𝑥−2
d) 𝑥𝑥 2 +2𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑦𝑦 2
e) 𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥−6
75. Reduce:
𝑥𝑥 2 −2𝑥𝑥
a) 𝑥𝑥 2 −5𝑥𝑥+6
b)
𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥−42
d) 𝑥𝑥 2
2− x
x2 − 4
b)
𝑥𝑥 3 +𝑥𝑥 2
2𝑥𝑥 2 𝑦𝑦−𝑥𝑥𝑦𝑦 2
e)
−8𝑥𝑥+7
𝑥𝑥 2 −3𝑥𝑥−4
10𝑥𝑥−5𝑦𝑦
1
x
d) x2 −x y
x−y
2
2x−2
𝑥𝑥 2 +25−10𝑥𝑥
𝑥𝑥 2 −25
f)
𝑥𝑥 2 𝑦𝑦−3𝑥𝑥𝑦𝑦 2
c)
𝑥𝑥 3 −3𝑥𝑥 2 +2𝑥𝑥
2𝑥𝑥𝑦𝑦 2
3𝑥𝑥 2 −9𝑥𝑥+6
3𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 −6𝑎𝑎𝑏𝑏 3
f) 3𝑎𝑎3 𝑏𝑏−6𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
76. □ Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
(3 − y )(a + b ) − (a − b )(3 − y )
b)
4by − 12b
4a 2 b 2 − 2a 2 bx
4a 2 b 2 − 4a 2 bx + a 2 x 2
77. □ Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
10 x 2 ( x − 2 )
5 x( x − 1)
b)
10 x 2 ( x − 2 ) + 10
5 x( x − 1)
78. □ Opera y simplifica el resultado:
a)
1
x
−
x −1 x −1
b)
x 2 + 2x + 1 x + 1
−
x
x2 + x
c)
2x 2x − 2
⋅
x − 1 4x
79. □ Opera y simplifica el resultado:
2x + 1
1
−
2
x + 3x x + 3
80. □ Opera y simplifica:
3x − 1
3(2 x − 5)
x+3
− 2
+
x
2− x
x − 2x
81. Reduce a común denominador y calcula:
a)
𝑥𝑥−2
𝑥𝑥 2
𝑥𝑥+2
𝑥𝑥+2
1
+ 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 −1
2
c) 2𝑥𝑥+1 − 4𝑥𝑥 2 −1 +
𝑥𝑥 2
e) 𝑥𝑥 2 −2𝑥𝑥+1 +
2𝑥𝑥+3
𝑥𝑥−1
𝑥𝑥+1
𝑥𝑥+1
2𝑥𝑥
3
𝑥𝑥−2
d) 𝑥𝑥−1 + 𝑥𝑥+1 − 𝑥𝑥 2 −1
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥−3
−3
5
𝑥𝑥−4
b) 𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥−2 − 𝑥𝑥+2 − 3𝑥𝑥+6
𝑥𝑥+1
𝑥𝑥+2
f) 𝑥𝑥 2 −9 − 𝑥𝑥−3 − 𝑥𝑥+3
82. Calcula teniendo en cuenta el orden de operaciones:
1
1
𝑥𝑥
a) �𝑥𝑥 : 𝑥𝑥+1� ∙ 2
𝑥𝑥+1
d) (𝑥𝑥−1)2 ∙
𝑥𝑥 2 −1
𝑥𝑥
2
2
b) �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥+2� :
𝑥𝑥−2
𝑥𝑥
1
1
3
𝑥𝑥
1
1
c) �𝑥𝑥 − 3� : �𝑥𝑥 + 3�
e) ��𝑥𝑥 + 𝑥𝑥� : �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥�� ∙ (𝑥𝑥 − 1)
–25–
2
1
1
f) 𝑥𝑥 ∙ �𝑥𝑥 : 𝑥𝑥−1�
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83. Calcula:
a) �1 −
𝑥𝑥−1
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥 2
� ∙ 𝑥𝑥+3 − 1
2
1
c) 4 − 2𝑥𝑥−1 �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 �
84. □ Opera y simplifica:
1
1
3
b) �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥+3� : 𝑥𝑥 2
3𝑥𝑥
3
1
d) �𝑥𝑥 2 −4𝑥𝑥+4 − 𝑥𝑥−2� : 𝑥𝑥−2
x2 + x x2 −1
⋅
(x − 1)2 x 2
1
1
−
x −1 x
85. □ Opera y simplifica:
2
3x
1
+ 3
− 2
2
2
x + x − 6 4x − 4x − 7x − 2 2x + 7x + 3
86. □ Opera y simplifica:
1
1+
1
1+
1+
1
x
87. □ Opera y simplifica:
2a
3b
a 2 + 3ab + 18b 2
+
−
a − 3b a + 3b
a 2 − 9b 2
88. Calcula:
2𝑥𝑥+𝑦𝑦
3𝑥𝑥
a) 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥𝑥𝑥 �2𝑥𝑥+𝑦𝑦 − 1�
2𝑎𝑎
3𝑏𝑏
c) 𝑎𝑎−3𝑏𝑏 − 𝑎𝑎+3𝑏𝑏 −
𝑥𝑥+𝑦𝑦
𝑎𝑎2 +3𝑎𝑎𝑎𝑎+18𝑏𝑏 2
𝑎𝑎2 −9𝑏𝑏 2
𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥𝑥 2 −𝑦𝑦 2
e) �𝑥𝑥−𝑦𝑦 − 𝑥𝑥+𝑦𝑦�
2𝑥𝑥𝑥𝑥
d)
𝑏𝑏𝑏𝑏−𝑏𝑏
𝑥𝑥+1

f) 1 −

1
𝑎𝑎
b) 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 −
3𝑏𝑏𝑏𝑏
+ 𝑥𝑥−1 +
1+(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2
𝑎𝑎𝑎𝑎
3𝑏𝑏𝑥𝑥 2 +𝑏𝑏𝑏𝑏+2𝑏𝑏
1−𝑥𝑥 2
x− y  x− y x+ y
:

−
x + y   x + y x − y 
89. □ Opera y simplifica:
x− y
1+
x+ y
x− y x+ y
−
x+ y x− y
90. □ Opera y simplifica:

x x 1 
−  3 − 1(2 x − x + 1) + 12 x − x
2 2  x 

91. □ Opera y simplifica:
(x − 1)(2 x − 1) − (x − 1)2
(x − 1)2
–26–
𝑏𝑏
+ 𝑎𝑎
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92. □ Calcula el valor de k para que al simplificar la fracción algebraica
x−9
x −1
x +1
k−
x −1
3+
resulte un polinomio de primer
grado. Escribe la expresión de dicho polinomio.
Hallar la expresión algebraica asociada a un enunciado
93. (1º ESO) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a) Tenía x € y me han dado 23 €. ¿Cuántos euros tengo ahora?
b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide el perímetro?
c) El lado de tres cuadrados iguales mide x metros. ¿Cuál es el área de los 3 cuadrados?
d) El doble del número x.
e) El doble de x más cinco.
f) El doble del resultado de sumarle cinco a x.
g) La mitad del número x.
h) La mitad de x menos cinco.
i) La mitad del resultado de restarle cinco a x.
j) La distancia recorrida en x horas por un camión que va a 60 km/h.
k) El coste de x kilos de peras que están a 0,80 €/kg.
l) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x metros.
m) La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que tenía 60 años cuando nació Pedro.
94. (2º ESO) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a) Mi paso es de 69 cm. ¿Cuántos pasos daré para dar tres vueltas a un circuito de "a" metros?
b) Si hace tres horas estaba en el kilómetro 26 de una carretera y voy a una velocidad media de x km/h ¿En
qué punto kilométrico me encuentro de la misma carretera?
95. (2º ESO) En una granja hay C caballos, V vacas y G gallinas. Asocia cada una de estas expresiones al
número de:
a) Patas b) Cabezas c) Orejas
d) Picos más alas
1ª) 2C+2V
2ª) C+V+G
3ª) 4(C+V)+2G 4ª) 3G
96. (2º ESO) Llamando "x" al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraicamente:
a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo.
b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria.
c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y en Navidad.
97. (2º ESO) Un trabajador cobra un sueldo base, "B", más 16 euros por cada hora extra. A todo ello se le
descuenta un 18% de IRPF. El resultado es el sueldo neto, "S". Si "n" es el número de horas extra que ha
hecho en un mes, ¿cuál, o cuáles, de estas expresiones sirven para calcular el sueldo neto?
a) S = B + 16n − 18
b) S = ( B + 16n) ⋅ 0,82
–27–
c) S =
18 ⋅ ( B + 16n)
100
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98. (2º ESO) Un fontanero que presta servicio a domicilio cobra, por acudir a una llamada, un fijo de 25 €, más
el importe del material utilizado, más 15 € por cada hora de trabajo. Y a todo ello se le añade el 21% de
IVA.
Escribe la fórmula para obtener el importe de la factura (I), en función de las horas invertidas (h) y el coste
del material (M).
99. (2º ESO) a) Halla la expresión algebraica que da las unidades del triple de un número de tres cifras abc ("a"
son las centenas, "b" las decenas y "c" las unidades).
b) Halla la expresión algebraica de un número par, de un número impar, de la suma de tres números pares
consecutivos, de un cuadrado perfecto, de un cubo perfecto.
c) Doblando un alambre de 40 cm formamos un rectángulo. Halla la expresión algebraica que define el área
del rectángulo de base "x" y calcula su valor para x=4.
100.(3º ESO) Traduce los siguientes enunciados a expresiones algebraicas o a
ecuaciones:
x
a) El doble de un número menos su tercera parte.
b) El doble del resultado de sumar tres a un número.
2x
c) El área del triángulo de la derecha es 36 cm2.
d) Gasto tres quintos de mi dinero comprando un vestido, y 60€ en dos camisetas. Me queda la mitad de mi
dinero inicial.
101. (3º ESO) Asocia una expresión algebraica a cada uno de los siguientes enunciados:
a) El cuadrado de un número menos su doble.
b) 80% de un número.
c) Un número impar.
d) Dos tercios de un número más cinco.
102. (3º ESO) Traduce al lenguaje algebraico, usando solo una variable:
a) Tres veces un número menos dos.
b) El producto de dos números consecutivos.
c) El cuadrado de un número menos su mitad.
d) La suma de dos números, uno diez unidades más que el otro.
103. (3º ESO) Traduce al lenguaje algebraico usando dos variables.
a) La suma de los cuadrados de dos números.
b) El cuadrado de la diferencia de dos números.
c) La mitad del producto de dos números.
d) La semisuma de dos números.
–28–
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104.(3º ESO) Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, traduce los siguientes enunciados usando las dos
variables:
a) La suma de sus edades hace 5 años.
b) El producto de sus edades dentro de 6 años.
c) La diferencia entre la edad de uno y la mitad de la del otro.
105.(3º ESO) Expresa usando una expresión algebraica:
a) El área del triángulo azul.
b) El área del trapecio rojo.
c) La longitud de “d”.
d
x
106. (3º ESO)Expresa, usando una expresión algebraica, el área
coloreada:
y
2
2
x
x
y
d
3x
107.(3º ESO) Expresa, mediante expresiones algebraicas, el área del siguiente trapecio y la longitud de su
diagonal “d”
108.(3º ESO) □ Piensa en tres números consecutivos. Resta al cuadrado del mayor el cuadrado del menor.
Divide el resultado por el del medio. ¡Obtienes siempre 4! Justifícalo utilizando el lenguaje algebraico.
109.(3º ESO) □ Utiliza el lenguaje algebraico para demostrar que los siguientes enunciados son verdaderos:
a) La suma de tres números enteros consecutivos es igual al triple del segundo.
b) Si al cuadrado de un número impar le restas 1, obtienes siempre un múltiplo de 4.
c) Si al cuadrado de un número le resto el producto del número anterior por el número posterior, el resultado
es siempre igual a 1.
110.(3º ESO) a) Simplifica la expresión (a + 1) 2 − (a − 1) 2 .
b) Halla, sin utilizar la calculadora, el valor de 25012–24992.
111. □ Expresa el área y el volumen de la siguiente figura usando polinomios:
–29–
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TEMA 2: ÁLGEBRA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIOS
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112.□ a) Expresa el área del siguiente tronco de pirámide de bases cuadradas como función
de x. (Observa que cada cara lateral es un trapecio isósceles). Halla el área para x=1.
b) Halla la altura (distancia entre base mayor y base menor) en función de x. Halla la
altura para x=1.
h
3
c) Halla el volumen en función de x. Recuerda que V = ( AbaseMayor + A'basemenor + A ⋅ A' ) .
Halla el volumen para x=1.
113. □ Expresa el perímetro del rombo inscrito en el rectángulo como una función de x
e y.
114. Expresa el área coloreada como una función de x e y.
Ejercicios de ampliación
115. Descompón y halla las raíces del polinomio x 5 + 2 x 4 − x − 2
116. Simplificar, si es posible,
x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1
x3 + x
g
–30–
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Tema 2: Álgebra.
Polinomios y fracciones algebraicas
SOLUCIONES
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• SOLUCIONES:
a) 5x+6; b) 5x+1; c) − 6 x 3 + 23x 2 − 11x − 18 ; d) − 37 x − 47 ; e) − x 3 − 2 x 2 + 8 x − 1 ; f) − 2 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 − 1
2. a) –12; 0; 21; –9; b) –6; c) 2 y 3; d) –10
3. b) 3 es raíz de P y de R, 0 es raíz de Q ; c) k=14
1.
4.
a) 25 x 4 − 45 x 3 + 40 x 2 − 18 x + 4 b) x − 2 y
5.
a) –2x3–13x2–5x–7; grado 3
6.
a) 2x3–3x2+5x–3
1
2
b) –12x3+3x2–6x; grado 3
b) 2x3+14x2+4x–20
c) –6x3+8x2
c) − x 4 + 2x 3 − 3x 2 ; grado 4
d) 3x3+4x2–19x–2
a) − 18 x 4 − 27 x 3 + 13x b) 6 x 4 − 11x 2 − x + 4 c) 9 x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 − 32 x + 27
8. a) (x+1)(3x–2) b) (x–2)(2x+x2–3) c) x2(2x–7) d) 3x(x+3)(x–2)
7.
1
4 2 4
x − xy + y 2
25
15
9
b) x 2 + x +
1
4
c) x 2 − 4 xy + 4 y 2 d) x4–1
9.
a)
10.
a) (x+2)(x–2) b) (2x+5)(2x–5) c) (x+4)2
2
2
11.
a) x +4x+4
b) x –10x+25
12.
a) (4 x − 3)(4 x + 3)


2
c) x +6x+9
1 
4 
d) (x+1)2
e)
1 2
x −1
4
f) 1 −
1
x2
e) (x–1)2 f) (3x+1)2
x
g) (2x–5)2 h)  + 1
2
2

2
d) x –8x+16
c) (x − 3)2 d) (2 x 2 + 1)
1
4
2
b)  5 x 2 −  5 x 2 + 
a) –6x–15 b) 24x–9 c) 3x3+2x2+3x+1 d) 2x2–5
14. a) x 2 + 6 x + 9 b) 40000 x 4 + 80000 x 2 + 40000 c) 4 x 4 + 4 x 3 + 13 x + 6 x + 9 d) x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 e)
13.
x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16
a) 2x3–5x2+2x b) x–2y
16. a) 20x6–14x5–38x4–32x3–22x2+2
15.
b) 6x2– 7x + 13 c) –30x – 77
a) 49 x 4 − 42 x 2 + 9 b) 3 x 2 − 4
18. a) 3y2– 2x2– 3xy – 3x b) 2x2+ 8xy c) x – 2y
17.
19.
7 x 3 (5 x 2 − 6 x + 1)
20.
a) 3x(2x3– 5x2+ 3x – 1) b) 7x3(5x2– 6x + 2) c) 12x2(3x2– 5x + 1)
21.
a) (5 x − 2)(5 x + 3)


1 
5 
1
5
b)  7 x 2 −  7 x 2 + 
c) (x − 4)2 d) (3x 2 + 2)
2
a) (4x – 1)2 b) (6x +5y)2 c) (3x2+ y)2 d) (7x + 4)(7x – 4) e) (3x2+ y)(3x2– y) f) (y2– 1)2 g) (9x2+
8x)(9x2– 8x) h) (1 + 12x2)(1 – 12x2)
23. a) 5x(2x – 3)2 b) 3x(3x + y)(3x – y) c) 3x(x + y)2 d) x2(2x + 9)(2x – 9)
22.
24.
 4
 4
 4
 4
 4
 
 
 
 
 
a)  ( x 2 ) 4 +  ( x 2 ) 3 .31 +  ( x 2 ) 2 .32 +  ( x 2 )1.33 +  .34 = x 8 + 12 x 6 + 54 x 4 + 108 x 2 + 81
0
1
2
3
4
b)
 5
 5
5
 5
 5
 5
 (2 x)5 +  (2 x) 4 . y1 +  (2 x)3 . y 2 +  (2 x) 2 . y 3 +  .(2 x)1. y 4 +  . y 5 = 32 x 5 + 80 x 4 y + 80 x 3 y 2 + 40 x 2 y 3 + 10 xy 4 + y 5
 0
1
 2
 3
 4
 5
6
6
6
6
6
 6
 6
 
 
c)  .x 6 −  .x 5 .(3 y )1 +  .x 4 .(3 y ) 2 −  .x 3 .(3 y )3 +  .x 2 .(3 y ) 4 −  .x.(3 y )5 +  (3 y ) 6 =
4
5
6
0
1
2
3
 
 
 
 
 
= x − 18 x y + 135 x y − 540 x y + 1215 x y − 1458 xy + 729 y
6
5
4 2
3 3
2 4
5
6
–31–
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Polinomios y fracciones algebraicas
SOLUCIONES
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1
5
x−
8
32
13
26. a) T4 = 108864 x b) T5 = 53760 x22 (empezando a contar los términos desde la izquierda)
8
4
2
27. Cociente: C ( x) = 2 x + x − , Resto: R ( x) = −4 x +
3
3
25.
32 x 5 − 40 x 4 + 20 x 3 − 5 x 2 +
28.
Cociente: C ( x) = 2 x 2 + x − 3 , Resto: R( x) = − x − 3
29.
d ( x) = x 2 + 2 x
a) Q(x) = 7; R(x) = 9x – 4 b) Q(x) = 2x –3; R(x) = –x – 3
c) Q(x) = x – 4; R(x) = –3x + 8 d) Q(x) = x/2–
5/4; R(x) = – 11/4
31. a) Q(x) =3x2+ 4; R(x) = –3x2+ 12x – 5 b) Q(x) = x2– 5x – 1; R(x) = 8x – 1 c) Q(x) = 4x3+ 4x2+ 3x – 1; R(x) =
–6x + 1 d) Q(x) = x/3 – 7/9; R(x) = –14x/9 + 5
32. a) Q(x) = 2x2+ 3x – 1; R = –2 b) Q(x) = x2+ 2x – 3; R = 0 exacta: x4–4x2+ 12x – 9 = (x2– 2x + 3) (x2+ 2x –
3) c) Q(x) = –2x – 1; R = 0 exacta: 4x4+ 2x3– 2x2+ 9x + 5 = (–2x3+ x – 5)(–2x – 1)
33. a = −5 b = −3
30.
34.
Cociente: C ( x) = 6 x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 9 x + 11 , Resto: R ( x) = −11
40.
a) Q(x) = 5x2+ 7x + 15; R = 28 b) Q(x) = x3– 6x2+ 6x + 1; R = 2 c) Q(x) = –x2– 3x – 5; R = –15 d) Q(x) =
x3– 5x2+ 10x – 20; R = 45 e) Q(x) = 6x4– 9x3+ 9x2– 9x + 11; R = –11 f) Q(x) = 4x3+ 2x2+ 7x + 7/2; R = ¾
7
7
5
5
Cociente: C ( x) = 3 x 3 − x 2 + x + , resto: R( x) = −
2
4
8
8
)a) por (x – 2) y por (x + 3) b) por ninguno.
Ver vídeo.
) P(1) = 0 b) P(–1) = –4 c) P(2) = 17 d) P(0) = 1 e) P(1/2) = –1/4 f) P(–1/3) = 32/27
Resto: − 17 m − 1 . Para m = −1
41.
: C ( x) = x 2 + 2 x + m + 4 , Resto: R( x) = 2m + 10 . El resto es 6 cuando m = −2
35.
36.
37.
38.
39.
48.
)a) P(1) = 7; P(–2) = –47; P(3) = 33 b) P(1) = 0; P(–2) = –6; P(3) = 44
a) 1, –2 y 3 b) 3 c) –2 d) ninguno
a) por (x + 4) ⇒Q(x) = x3– 6x2+ x – 6 y por (x – 6) ⇒Q(x) = x3+ 4x2+ x + 4
k = –15
m = –8
k = –4
m = 22
49.
a) 2( x − 3) , Raíces:3;
42.
43.
44.
45.
46.
47.
d) (2 x + 5)(5 x + 1) raíces:
50.
− 5 −1
,
5
2
2
)
c) (2 x + 3)( x + 2 ) , raíces: − 2, −
e) x 2 + x + 1 , raíces: no hay;
a) 3 x 2 ( x − 1)2 (7 x + 2 ) , raíces: 0 (doble), 1 (doble),
(3x
51.
b) (x − 2 )( x − 3) , raíces: 2, 3;
−2
7
3
;
2
f) ( x − 2 )2 , raíces: 2 (doble)
b) (x + 2 )(2 x − 1)(2 x + 1) , raíces: − 2 ,
1 −1
,
2 2
c)
2
+ 2 , raíces: no tiene.
a) 3x(x + 2)(x – 2); raíces: 0, –2, 2 b) 4x(x – 3)2; raíces: 0, 3 doble c) 5x2(3 + x)(3 – x); raíces: 0 doble,–3, 3 d)
x2(x + 1)2; raíces: 0 doble, –1 doble e) x2(x + 2)(x – 2)(x2+ 4); raíces: 0 doble, –2, 2 f) (4x2+ 9)(2x + 3)(2x –
3); raíces: –3/2, 3/2
–32–
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Tema 2: Álgebra.
Polinomios y fracciones algebraicas
SOLUCIONES
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52.
a) (x + 1)(x – 5); raíces: –1, 5 b) 3(x + 1)(x – 5); raíces: –1, 5 c) (x–5)(2x+1); raíces: 5, –1/2 d) (2x–3)(2x+1);
raíces: 3/2, –1/2 e) (4x–3)2; raíz: 3/4 (doble) f) 2x2–3x+5; raíces: no tiene; g) 2( x −
1+ 5 1− 5
,
2
2
1+ 5
1− 5
)( x −
) ; raíces:
2
2
i) ( 5 x − 3)( 5 x + 3) ; raíces: 3 / 5 , − 3 / 5
h) x(5x–9); raíces: 0, 9/5
j) 5x2+9; raíces: no
hay.
53. a) (x – 1)(x + 1)(x + 2); raíces 1, –1, –2 b) 3x(x – 1)(x – 4); raíces 0, 1, 4 c) (x – 1)2(x – 7); raíces: 1doble, 7 d)
(x – 2)(x + 2)(x – 3)(x + 3); raíces: 2, –2, 3, –3 e) (x – 3)(x2+ x +1); raíces: 3 f) x2 (x – 1)(x + 1)(2x + 1)2;
raíces: 1, –1, –1/2 (doble), 0 (doble) g) 2x(x–1)(2x–5)(3x+1); raíces: 0, 1, 5/2, –1/3 h) (x–2)(5x+3)2; raíces:
2, –3/5 (doble)
i) (x–2)3; raíces: 2 (triple) j) (x+2)(x2–2x+3); raíces: –2 k) 2(x–2)(x+2)(x2+4); raíces: 2, –2
l) ( x 2 + 2 2 x + 4)( x 2 − 2 2 x + 4) ; raíces: no hay.
7 −1
,
(doble).
4 2
−1
2
55. (3 x + 1) (2 x 2 + 1) , raíces:
(doble).
3
−5
3
56. 5 x( x + 1) ( x − 1)(3 x + 5) , raíces: 0, 1 ,
, − 1 (triple).
3
54.
(4 x − 7 )(2 x + 1)2
, raíces:
57.
5(x − 2 ) 3 x 2 + 4 x + 3 , raíces: 2
(
)
58.
a) a = −12 b) ( x − 1)( x + 2 )2 (2 x + 3) , raíces: 1,
59.
P( x) = 3 x 2 + 3 x − 36
60.
61.
−3
, − 2 (doble)
2
(x − a )(x 2 + ax + a 2 ) , raíces: a
mcd(P(x),Q(x))= 2 x( x − 2 ) = 2 x 2 − 4 x ,
mcm( P ( x), Q ( x)) = 24 x( x − 2 ) ( x + 1) (2 x − 5) = 48 x 6 − 216 x 5 + 96 x 4 + 552 x 3 − 288 x 2 − 480 x
2
62.
2
(P(x),Q(x))= x − 3 , mcm( P( x), Q( x)) = −( x − 3)2 ( x + 3) = − x 3 + 3 x 2 + 9 x − 27
63.
a) M.c.d = 1; m.c.m = x2(x – 1)(x + 1) b) M.c.d = (x – 3); m.c.m = (x – 3)2(x + 3) c) M.c.d = x + 2; m.c.m =3(x
+ 2)(x – 1) d) M.c.d = 1; m.c.m = 2x(2x + 1)(2x – 1)
64.
a1)
3
4x
a2)
x
5
a3)
x+2
2x
; b)
6x 2 − 9x
x 2 + 6x + 5
y
; c) Utiliza el criterio de los productos cruzados o
2x 2 − x − 3
2x 2 − x − 3
simplifica las dos fracciones
65.
a)
1
x +1
x+3
5
3x + 3
x −3
; b)
; c)
; d)
; e) 2
; f)
x −3
x+3
x −1
5x
5x
x − 6x + 8
1
x −1
66.
a)
2
3x
67.
a)
x +1
x
68.
a)
3
3
= 3
2
( x + 1) x
x + x2
b)
b) 1
c)
1
x−2
c) x–1
d)
d)
b)
x
x +3
e)
x−2
x+2
6( x − 3) 6 x − 18
=
x
x
3x 2 + 2 x
x −1
2
c)
f)
e)
x ( x + 1)
3
3
x
f)
1
x
g)
3
3
= 2
2
2( x − 1)
2x − 4x + 2
–33–
1
1
=
2( x + 5) 2 x + 10
d)
2
x −1
h) x
i)
1
2x
MATEMÁTICAS B 4º ESO
IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org
Tema 2: Álgebra.
Polinomios y fracciones algebraicas
SOLUCIONES
Ejercicios resueltos en http://www.aprendermatematicas.org/
69.
70.
x 2 + 2x − 3
a)
2x + 3
2x
g)
− 4x 2 − 6x − 5
x +1
b)
x 3 − x 2 + 14 x − 2
4 x ( x − 1)
c)
6x 3
− 4 x 2 − 21x − 25
( x + 3)( x − 3)
h)
a) 3/10 ; b) –1/5 ; c)
i)
d)
x 2 + 10 x − 3
( x + 3)( x − 3)
e)
x 2 + x − 14
x ( x − 7)
f)
x2 −8
x ( x − 4)
2 x 2 + 5x − 1
x ( x + 1)
3x − 2
26 x + 27
; d) −
6
6
(Ver vídeo)
72. Sí son equivalentes.
73. a) sí b) no c) sí d) sí
71.
𝒙𝒙−𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝒙𝒙−𝟓𝟓
𝒙𝒙
𝟏𝟏
75.
a) 𝒙𝒙+𝟑𝟑 b) − 𝒙𝒙+𝟐𝟐 c) 𝒙𝒙+𝟓𝟓 d) 𝒙𝒙+𝒚𝒚 e) 𝒙𝒙+𝟑𝟑 f)
76.
a)
74.
𝒙𝒙
𝒙𝒙−𝟒𝟒
𝒙𝒙
a) 𝒙𝒙−𝟑𝟑 b) 𝒙𝒙𝟐𝟐 c) 𝟑𝟑 d) 𝒙𝒙−𝟏𝟏 e)
−1
2
b)
2b
2b − x
2 x(x − 2 )
x −1
78. a) 1 b) 0 c)1
x +1
79.
x( x + 3)
77.
a)
80.
− 3x 2 + 7 x − 1
x( x − 2)
81.
82.
83.
84.
85.
𝒙𝒙+𝟔𝟔
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 +𝒙𝒙+𝟐𝟐
b)
𝒙𝒙𝒙𝒙
𝟓𝟓
(
𝒃𝒃
f) 𝒂𝒂
𝒙𝒙+𝟏𝟏
𝟐𝟐
−𝟑𝟑
𝟒𝟒
)
–𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟒𝟒𝟒𝟒+𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 +𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟗𝟗𝟗𝟗−𝟏𝟏
𝟐𝟐𝟐𝟐(𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏)
(𝒙𝒙+𝟏𝟏)𝟐𝟐
b) (𝒙𝒙+𝟐𝟐)(𝒙𝒙−𝟐𝟐) c) 3 – x d)𝒙𝒙(𝒙𝒙−𝟏𝟏) e)
𝒙𝒙
a) 𝒙𝒙+𝟑𝟑 b) 𝒙𝒙+𝟑𝟑 c)
(x + 1)2
𝟐𝟐𝟐𝟐
2 x2 − x −1
x
a) 𝒙𝒙𝟐𝟐 (𝒙𝒙+𝟏𝟏)(𝒙𝒙−𝟏𝟏) b) 𝟑𝟑(𝒙𝒙+𝟐𝟐)(𝒙𝒙−𝟏𝟏) c)
a)
𝒙𝒙−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐
𝟔𝟔
d) 𝒙𝒙−𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟏𝟏
𝒙𝒙+𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟒𝟒𝟒𝟒
f)
𝟐𝟐(𝒙𝒙−𝟏𝟏)
91.
9 x 2 + 20 x + 4
(x − 2)(x + 3)(2 x + 1)2
92.
93.
89.
95.
96.
𝟏𝟏
y−x
2y
97.
𝒚𝒚−𝒙𝒙
𝟐𝟐𝟐𝟐
98.
99.
x
x −1
k = 1 , − 2x + 6
(Ver vídeo)
a) 3a/0,69; b) 26+3x
1-c; 2-b; 3-a; 4-d
a) 0,8x; b) 1,8x; c) 13,6x
La b.
I = (25 + M + 15h) ⋅ 1,21
a) 300a + 30b + 3c ;
b) 2 x ; 2 x − 1 ;
2 x + 2 x + 2 + 2 x + 4 ; x 2 ; x3 ;
6x − 2x − 7x
2
3
90.
94.
a) 𝒙𝒙 b) -2 c) 1 d) b e) 2 f)
–𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝒙𝒙
𝒙𝒙𝟐𝟐
3x + 2
86.
2x + 1
a + 9b
87.
a + 3b
88.
𝟕𝟕𝟕𝟕−𝟔𝟔
d) (𝒙𝒙+𝟏𝟏)(𝒙𝒙−𝟏𝟏) e) (𝒙𝒙−𝟏𝟏)𝟐𝟐 f) (𝒙𝒙−𝟑𝟑)(𝒙𝒙+𝟑𝟑)
2
(Ver vídeo)
–34–
c) x ⋅ (20 − x) ; 64 cm2
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100.
a) 2x −
x
3
2x.x
= 36
2
b) 2(x + 3) c)
d)
 x
3
x −  x + 60  =
 2
5
101.
102.
a) x2– 2x
a) 3x – 2
b) 0.8x
c) 2x + 1
b) x(x+1) c)
d)
x
x2 −
2
2
x+5
3
106.
4x+4y–16
107.
A = 2xy; d = 9x 2 + y 2
108.
(Ver vídeo)
109.
(Ver vídeo)
110. a) 4a ;
b) 10000
111. A = 6x2+ 8x – 16; V = x3+ 2x2– 8x
d) x + (x
112. a) A = 6x2+ 12x
+10)
103.
2
2
2
a) x + y b) (x – y) c)
104. a)
a)
d)
(x – 5) + (y – 5) = x + y – 10
6) = xy + 6x + 6y + 36
105.
x .y
2
1 2
x
3
b)
2 2
x
3
c)
c) x −
x+y
2
V=
(
= 2�x 2 + y 2
114. A = 4xy – 4x2.
115. 1, –1, –2
y
2
13
x
3
116.
•
•
–35–
)
13
x 2 + 2x
3
3x 2 + 6 x + 4 ;
3
3
113. P
b) (x + 6)(y +
+ 8 ; 26 b) h = x 2 + 2 x ;
x2 + x +1
x
3
c)