Ejercicios Unidad 1 MAT205
1. Grafique el dominio de las siguientes funciones:
a) 𝑓1 (𝑥, 𝑦) = √4𝑦 − 𝑥 2 − 𝑥 + 12
b) 𝑓2 (𝑥, 𝑦) = ln(4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ) + √ln(𝑥 + 1) − 𝑦
𝑥
1
𝑦
𝑥−𝑦
c) 𝑓3 (𝑥, 𝑦) = √ + ln(6 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ) +
d) 𝑓4 (𝑥, 𝑦) = sin−1 (𝑥𝑦)
2. Compruebe si los siguientes límites existen o no. En el caso de que exista
indique el valor. Puede utilizar el método que desee.
a)
b)
c)
𝑥 9 𝑦 4 +𝑥 2 𝑦 14
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
lim
𝑥 3 +𝑦 7
y∙sin(𝑥𝑦)
(𝑥,𝑦)→(0,0)
lim
𝑥
𝑥𝑦−𝑥−𝑦+1
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2 −2𝑥−2𝑦+2
3. Verifique si la siguiente función es continua en todo su dominio.
sin(𝑥𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 2 + 𝑦 2
0
(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
(𝑥, 𝑦) = (0,0)
4. Calcule las derivadas parciales (de primer orden), de las siguientes funciones:
a) 𝑓1 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦
b) 𝑓2 (𝑥, 𝑦) =
4𝑥𝑦 3
𝑥 2 𝑦 3 +2
c) 𝑓3 (𝑥, 𝑦) = sin(𝑥𝑦) ∙ 𝑒 (𝑥+𝑦)
d) 𝑓4 (𝑥, 𝑦) = cos(3𝑥 − 𝑦) + 4𝑦 − 𝑥 4 + ln(𝑥 2 𝑦 2 )
Respuestas
1. f1
f2
f3
f4
2. a) El límite existe y es igual a 0.
b) El límite no existe.
c) El límite no existe.
3. La función es discontinua en: (𝑥, 𝑦) = (0,0), pero continua en el resto de su
dominio.
4. Calcular las derivadas parciales:
𝑑𝑓1
= 𝑦 ∙ 𝑥 𝑦−1 ,
𝑑𝑥
𝑑𝑓2 4𝑦 3 (2 − 𝑥 2 𝑦 3 )
=
,
(𝑥 2 𝑦 3 + 2)2
𝑑𝑥
𝑑𝑓1
= 𝑥 𝑦 ∙ ln 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑓2
12𝑥𝑦 5
= 2 3
𝑑𝑦 (𝑥 𝑦 + 2)2
𝑑𝑓3
= 𝑒 (𝑥+𝑦) ∙ (𝑦 ∙ cos(𝑥𝑦) + sin(𝑥𝑦)) ,
𝑑𝑥
𝑑𝑓4 2
= − 3 sin(3𝑥 − 𝑦) − 4𝑥 3 ,
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑓3
= 𝑒 (𝑥+𝑦) ∙ (𝑥 ∙ cos(𝑥𝑦) + sin(𝑥𝑦))
𝑑𝑦
𝑑𝑓4 2
= + sin(3𝑥 − 𝑦) + 4
𝑑𝑦 𝑦