RESUMEN DE LAS PRUEBAS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
Prof. Luis F. Cáceres
PRUEBA
SERIE
Prueba de la divergencia
CONVERGE
a
n 1
Serie Geométrica
COMENTARIO
lim an 0
Esta prueba no se puede usar para
probar convergencia
| r | 1
a
1 r
Suma S b1 L
p 1
Para p=1 se llama la serie armónica
n
n
ar
DIVERGE
| r | 1
n
Suma S
n0
Serie Telescópica
(b b )
n 1
p-series
1
p
n 1
n 1
Integral (f es continua,
positiva y decreciente en
[1, ) )
Razón
a
n 1
n
an f n 0
1
1
n 1
n
f x dx converge
lim
n
n
bn an y
n
b converge
b diverge
n
lim
n
n
an
L >0 y
bn
n 1
an
n 1
f x dx Rn f x dx donde
n
El criterio no decide si lim
n
an 1
1
an
El criterio no decide si
lim n an 1
n
b converge
Convergencia Absoluta
n
an bn y
n 1
an 1
1
an
lim
lim n an 1
n
n 1
a
an 1
1
an
lim n an 1
n
a
f x dx diverge
Rn S Sn
El criterio también se puede aplicar
aunque la serie no comience en n 1 .
a
n 1
Comparación por Límite
(an , bn 0)
Rn S Sn bn 1
El criterio también se puede aplicar si
los bn son decrecientes a partir de
algún N que no necesariamente sea
N 1.
lim bn 0
a
n 1
Comparación (an , bn 0)
0 bn 1 bn y
bn
n
n 1
Raíz
p>1
1
n
n
n 1
n
n 1
Series Alternantes
lim bn L
n
a
n 1
n
converge
n 1
lim
n
n
an
L >0 y
bn
El criterio no decide si L o L 0
b diverge
n 1
n
Para analizar la serie de los valores
absolutos se pueden usar los criterios
de comparación, el de la integral, el de
la razón o el de la raíz
0
