RESUMEN DE LAS PRUEBAS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
Prof. Luis F. Cáceres
PRUEBA
SERIE
Prueba de la divergencia
CONVERGE

a
n 1
Serie Geométrica

COMENTARIO
lim an  0
Esta prueba no se puede usar para
probar convergencia
| r | 1
a
1 r
Suma S  b1  L
p 1
Para p=1 se llama la serie armónica
n 
n
 ar
DIVERGE
| r | 1
n
Suma S 
n0
Serie Telescópica
 (b  b )
n 1
p-series

  1
p
n 1
n 1
Integral (f es continua,
positiva y decreciente en
[1, ) )
Razón

a
n 1
n
an  f  n   0




1
1
n 1
n
 f  x  dx converge
lim
n
n 
bn  an y
n
 b converge
 b diverge

n
lim
n 
n
an
 L >0 y
bn

n 1

 an
n 1
 f  x  dx  Rn  f  x  dx donde
n 
El criterio no decide si lim
n 
an 1
1
an
El criterio no decide si
lim n an  1
n 
 b converge
Convergencia Absoluta
n 
an  bn y

n 1
an 1
1
an
lim
lim n an  1
n 
n 1
a
an 1
1
an
lim n an  1
n

a
 f  x  dx diverge
Rn  S  Sn
El criterio también se puede aplicar
aunque la serie no comience en n  1 .

a
n 1
Comparación por Límite
(an , bn  0)
Rn  S  Sn  bn 1
El criterio también se puede aplicar si
los bn son decrecientes a partir de
algún N que no necesariamente sea
N 1.
lim bn  0

a
n 1
Comparación (an , bn  0)
0  bn 1  bn y
bn
n 
n 1
Raíz
p>1
1
n

n 
n 1
n
n 1
Series Alternantes
lim bn  L

n

a
n 1
n
converge

n 1
lim
n 
n
an
 L >0 y
bn
El criterio no decide si L   o L  0

 b diverge
n 1
n
Para analizar la serie de los valores
absolutos se pueden usar los criterios
de comparación, el de la integral, el de
la razón o el de la raíz