12.-Para el sistema de control de la Figura 9, calcular:
a) Valores de las señales en los puntos 1 y 2. En régimen permanente, cuando T(t)=1, K=1 y
cuando la entrada r(t)=u(t).
b) Calcular lo mismo cuando r(t)=tu(t)
c) Calcular K para que cuando r(t)=T(t)=u(t), el error en estado estacionario en el punto 1 sea
menor a 0.1.
G(s)
H(s)
ℒ{𝑇(𝑡)} = ℒ{1} =
1
= 𝑇(𝑠)
𝑠
Para la determinación del punto 2:
5
5
𝐺(𝑠)
𝑠
+
5
𝑠
+
5
𝑇2(𝑠) =
; 𝑇2(𝑠) =
; 𝑇2(𝑠) =
5
1
(𝑠 + 5) ∗ (𝑠 + 1) + 5
1 + 𝐺(𝑠) ∗ 𝐻(𝑠)
1+
∗
𝑠+5 𝑠+1
(𝑠 + 5) ∗ (𝑠 + 1)
𝑇2(𝑠) =
5 ∗ (𝑠 + 1)
𝑠 2 ∗ 6𝑠 + 10
1
𝑠
𝑒𝑠𝑠 2 = lim (𝑠 ∗ (1 − 𝑇2(𝑠)) ∗ ) ; 𝑒𝑠𝑠 2 = lim ((1 − 𝑇2(𝑠)))
𝑠→0
𝑒𝑠𝑠 2 = lim (1 −
𝑠→0
𝑠→0
5 ∗ (𝑠 + 1)
)
𝑠 2 ∗ 6𝑠 + 10
𝑒𝑠𝑠 2 = 1 − 0.5 = 0.5
𝐺2(𝑠) = 𝑇2(𝑠) ∗ 1 + 𝑇(𝑠); 𝐺(𝑠) =
𝐺2(𝑠) =
𝑇3(𝑠) =
5 ∗ (𝑠 + 1)
1
+
;
𝑠 2 ∗ 6𝑠 + 10 𝑠
5𝑠 ∗ (𝑠 + 1) + (𝑠 + 1) ∗ (𝑠 + 5) + 5
(𝑠 2 + 6𝑠 + 10) ∗ 𝑠
(𝑠 + 1) ∗ (6𝑠 + 5) + 5
𝐺2(𝑠)
; 𝑇3(𝑠) =
(𝑠 + 1)(𝑠 2 + 5𝑠) + (6𝑠 + 5) + 5𝑠 + 5
1 + 𝐺2(𝑠)
𝑇3(𝑠) =
6𝑠 2 + 11𝑠 + 10
6𝑠 4 + 41𝑠 3 + 60𝑠 2 + 30𝑠 + 5
1
𝑒𝑠𝑠 1 = lim (𝑠 ∗ (1 − 𝑇3(𝑠)) ∗ ) ; 𝑒𝑠𝑠 2 = lim ((1 − 𝑇3(𝑠)))
𝑠→0
𝑠→0
𝑠
𝑒𝑠𝑠 1 = lim ((1 −
𝑠→0
6𝑠 2 + 11𝑠 + 10
))
6𝑠 4 + 41𝑠 3 + 60𝑠 2 + 30𝑠 + 5
𝑒𝑠𝑠 2 = 1 − 2 = −1
b)
1
1
𝑒𝑠𝑠 2 = lim (𝑠 ∗ (1 − 𝑇2(𝑠)) ∗ 𝑠2 ) ; 𝑒𝑠𝑠 2 = lim ((1 − 𝑇2(𝑠) ∗ 𝑠 ))
𝑠→0
𝑠→0
1
5 ∗ (𝑠 + 1) 1
𝑒𝑠𝑠 2 = lim ( − 2
∗ )
𝑠→0 𝑠
𝑠 ∗ 6𝑠 + 10 𝑠
𝑒𝑠𝑠 2 = 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
1
𝑒𝑠𝑠 1 = lim (𝑠 ∗ (1 − 𝑇3(𝑠)) ∗ ) ; 𝑒𝑠𝑠 2 = lim ((1 − 𝑇2(𝑠)))
𝑠→0
𝑠→0
𝑠
𝑒𝑠𝑠 1 = lim ((1 −
𝑠→0
6𝑠 2 + 11𝑠 + 10
1
)∗ )
4
3
2
6𝑠 + 41𝑠 + 60𝑠 + 30𝑠 + 5
𝑠
𝑒𝑠𝑠 2 = 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
c)
𝐺2(𝑠) = 𝑇2(𝑠) ∗ 𝐾 + 𝑇(𝑠); 𝐺(𝑠) =
𝐺2(𝑠) =
5 ∗ (𝑠 + 1) ∗ 𝐾 1
+ ;
𝑠 2 ∗ 6𝑠 + 10
𝑠
5𝑠 ∗ (𝑠 + 1) ∗ 𝐾 + (𝑠 + 1) ∗ (𝑠 + 5) + 5
(𝑠 2 + 6𝑠 + 10) ∗ 𝑠
0.1 = lim ((1 − 𝑇3(𝑠)))
𝑠→0
𝑘 = 0.45