Ejercicios Unidad 1 MAT205 1. Grafique el dominio de las siguientes funciones: a) π1 (π₯, π¦) = √4π¦ − π₯ 2 − π₯ + 12 b) π2 (π₯, π¦) = ln(4 − π₯ 2 − π¦ 2 ) + √ln(π₯ + 1) − π¦ π₯ 1 π¦ π₯−π¦ c) π3 (π₯, π¦) = √ + ln(6 − π₯ 2 − π¦ 2 ) + d) π4 (π₯, π¦) = sin−1 (π₯π¦) 2. Compruebe si los siguientes límites existen o no. En el caso de que exista indique el valor. Puede utilizar el método que desee. a) b) c) π₯ 9 π¦ 4 +π₯ 2 π¦ 14 lim (π₯,π¦)→(0,0) lim π₯ 3 +π¦ 7 yβsin(π₯π¦) (π₯,π¦)→(0,0) lim π₯ π₯π¦−π₯−π¦+1 (π₯,π¦)→(0,0) π₯ 2 +π¦ 2 −2π₯−2π¦+2 3. Verifique si la siguiente función es continua en todo su dominio. sin(π₯π¦) π(π₯, π¦) = {π₯ 2 + π¦ 2 0 (π₯, π¦) ≠ (0,0) (π₯, π¦) = (0,0) 4. Calcule las derivadas parciales (de primer orden), de las siguientes funciones: a) π1 (π₯, π¦) = π₯ π¦ b) π2 (π₯, π¦) = 4π₯π¦ 3 π₯ 2 π¦ 3 +2 c) π3 (π₯, π¦) = sin(π₯π¦) β π (π₯+π¦) d) π4 (π₯, π¦) = cos(3π₯ − π¦) + 4π¦ − π₯ 4 + ln(π₯ 2 π¦ 2 ) Respuestas 1. f1 f2 f3 f4 2. a) El límite existe y es igual a 0. b) El límite no existe. c) El límite no existe. 3. La función es discontinua en: (π₯, π¦) = (0,0), pero continua en el resto de su dominio. 4. Calcular las derivadas parciales: ππ1 = π¦ β π₯ π¦−1 , ππ₯ ππ2 4π¦ 3 (2 − π₯ 2 π¦ 3 ) = , (π₯ 2 π¦ 3 + 2)2 ππ₯ ππ1 = π₯ π¦ β ln π₯ ππ¦ ππ2 12π₯π¦ 5 = 2 3 ππ¦ (π₯ π¦ + 2)2 ππ3 = π (π₯+π¦) β (π¦ β cos(π₯π¦) + sin(π₯π¦)) , ππ₯ ππ4 2 = − 3 sin(3π₯ − π¦) − 4π₯ 3 , ππ₯ π₯ ππ3 = π (π₯+π¦) β (π₯ β cos(π₯π¦) + sin(π₯π¦)) ππ¦ ππ4 2 = + sin(3π₯ − π¦) + 4 ππ¦ π¦