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Ejercicios Unidad 1 MAT205

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Ejercicios Unidad 1 MAT205
1. Grafique el dominio de las siguientes funciones:
a) 𝑓1 (π‘₯, 𝑦) = √4𝑦 − π‘₯ 2 − π‘₯ + 12
b) 𝑓2 (π‘₯, 𝑦) = ln(4 − π‘₯ 2 − 𝑦 2 ) + √ln(π‘₯ + 1) − 𝑦
π‘₯
1
𝑦
π‘₯−𝑦
c) 𝑓3 (π‘₯, 𝑦) = √ + ln(6 − π‘₯ 2 − 𝑦 2 ) +
d) 𝑓4 (π‘₯, 𝑦) = sin−1 (π‘₯𝑦)
2. Compruebe si los siguientes límites existen o no. En el caso de que exista
indique el valor. Puede utilizar el método que desee.
a)
b)
c)
π‘₯ 9 𝑦 4 +π‘₯ 2 𝑦 14
lim
(π‘₯,𝑦)→(0,0)
lim
π‘₯ 3 +𝑦 7
yβˆ™sin(π‘₯𝑦)
(π‘₯,𝑦)→(0,0)
lim
π‘₯
π‘₯𝑦−π‘₯−𝑦+1
(π‘₯,𝑦)→(0,0) π‘₯ 2 +𝑦 2 −2π‘₯−2𝑦+2
3. Verifique si la siguiente función es continua en todo su dominio.
sin(π‘₯𝑦)
𝑓(π‘₯, 𝑦) = {π‘₯ 2 + 𝑦 2
0
(π‘₯, 𝑦) ≠ (0,0)
(π‘₯, 𝑦) = (0,0)
4. Calcule las derivadas parciales (de primer orden), de las siguientes funciones:
a) 𝑓1 (π‘₯, 𝑦) = π‘₯ 𝑦
b) 𝑓2 (π‘₯, 𝑦) =
4π‘₯𝑦 3
π‘₯ 2 𝑦 3 +2
c) 𝑓3 (π‘₯, 𝑦) = sin(π‘₯𝑦) βˆ™ 𝑒 (π‘₯+𝑦)
d) 𝑓4 (π‘₯, 𝑦) = cos(3π‘₯ − 𝑦) + 4𝑦 − π‘₯ 4 + ln(π‘₯ 2 𝑦 2 )
Respuestas
1. f1
f2
f3
f4
2. a) El límite existe y es igual a 0.
b) El límite no existe.
c) El límite no existe.
3. La función es discontinua en: (π‘₯, 𝑦) = (0,0), pero continua en el resto de su
dominio.
4. Calcular las derivadas parciales:
𝑑𝑓1
= 𝑦 βˆ™ π‘₯ 𝑦−1 ,
𝑑π‘₯
𝑑𝑓2 4𝑦 3 (2 − π‘₯ 2 𝑦 3 )
=
,
(π‘₯ 2 𝑦 3 + 2)2
𝑑π‘₯
𝑑𝑓1
= π‘₯ 𝑦 βˆ™ ln π‘₯
𝑑𝑦
𝑑𝑓2
12π‘₯𝑦 5
= 2 3
𝑑𝑦 (π‘₯ 𝑦 + 2)2
𝑑𝑓3
= 𝑒 (π‘₯+𝑦) βˆ™ (𝑦 βˆ™ cos(π‘₯𝑦) + sin(π‘₯𝑦)) ,
𝑑π‘₯
𝑑𝑓4 2
= − 3 sin(3π‘₯ − 𝑦) − 4π‘₯ 3 ,
𝑑π‘₯ π‘₯
𝑑𝑓3
= 𝑒 (π‘₯+𝑦) βˆ™ (π‘₯ βˆ™ cos(π‘₯𝑦) + sin(π‘₯𝑦))
𝑑𝑦
𝑑𝑓4 2
= + sin(3π‘₯ − 𝑦) + 4
𝑑𝑦 𝑦
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